Funzioni trigonometriche Corsi di Accompagnamento Lezione 4 11 settembre 2009 Angoli Consideriamo due semirette (r , s) uscenti da un punto O nel piano s (r , s) coppia ordinata β α rotazioni in senso antiorario O r α angolo convesso β angolo concavo Angoli particolari (misure in gradi sessagesimali) se r = s =⇒ α = 0◦ se r ⊥s =⇒ α = 90◦ se r = −r =⇒ α = 180◦ Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 2 / 20 Radianti Sistema cartesiano con origine 0 r semiasse positivo delle ascisse C (0, R) circonferenzacentro 0 e raggio R > 0 P = C (0, R) ∩ s AP lunghezza arco da A a P C (0, R) P s R α 0 r A = (R, 0) Misura in radianti dell’angolo (r , s): α = AP/R Angoli particolari gradi rad Corsi di Accompagnamento 0◦ 0 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ π 6 π 4 π 3 π 2 180◦ π 270◦ 3π 2 360◦ 2π 11 settembre 2009 3 / 20 Funzioni trigonometriche I b C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) P x r b 0 P = (cos x , sin x ) La funzione seno dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1] periodica T = 2π; sin(0) = sin(π) = 0; = −1; sin π2 = 1 e sin 3π 2 sin(−x ) = − sin(x ). Corsi di Accompagnamento 1 −π −π/2 π/2 π x −1 11 settembre 2009 4 / 20 Funzioni trigonometriche II b C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) P x r b 0 P = (cos x , sin x ) La funzione coseno dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1] periodica T = 2π; cos π2 = cos 3π = 0; 2 cos(0) = 1 e cos(π) = −1; cos(−x ) = cos(x ). Corsi di Accompagnamento 1 π −π π/2 −π/2 x −1 11 settembre 2009 5 / 20 Funzioni trigonometriche III b C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) P x r b 0 P = (cos x , sin x ) La funzione tangente y = tan x = sin x cos x dom(f ) = R \ im(f ) = R π 2 + k π, k ∈ Z ; periodica T = π; π −π/2 −π π/2 x tan(0) = 0; tan(−x ) = − tan(x ). Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 6 / 20 Formule trigonometriche fondamentali P b C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) x r b 0 P = (cos x, sin x) sin2 x + cos2 x = 1 Angoli notevoli sin π 6 cos π 6 tan π Corsi di Accompagnamento 6 = = = 1 2 √ 3 2 √ 3 3 π 3 √ = 23 cos π3 = 12 √ tan π3 = 3 sin sin π 4 cos π 4 tan = π 4 = √ 2 2 √ 2 2 =1 11 settembre 2009 7 / 20 Angoli associati e simmetrie I b C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) P x r b 0 P = (cos x, sin x) b P1 P1 = (cos(x + π), sin(x + π)) = (− cos x, − sin x) Relazioni notevoli sin(π + x) = − sin(x) cos(π + x) = − cos(x) tan(π + x) = tan(x) Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 8 / 20 Angoli associati e simmetrie II C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) P b x r b 0 P = (cos x, sin x) b P1 P2 = (cos(2π − x), sin(2π − x)) = (cos x, − sin x) Relazioni notevoli sin(2π − x) = sin(−x) = − sin(x) cos(2π − x) = cos(−x) = cos(x) tan(2π − x) = tan(−x) = − tan(x) Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 9 / 20 Angoli associati e simmetrie III C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) P3 b b P x r b 0 P = (cos x, sin x) P3 = (cos(π − x), sin(π − x)) = (− cos x, sin x) Relazioni notevoli sin(π − x) = sin(x) cos(π − x) = − cos(x) tan(π − x) = − tan(x) Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 10 / 20 Angoli associati e simmetrie IV C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) b P4 b P x b 0 r P = (cos x, sin x) π π P4 = cos + x , sin +x = (− sin x, cos x) 2 2 Relazioni notevoli sin cos tan π 2 + x = cos x π 2 + x = − sin x π 2 + x = − cot x Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 11 / 20 Angoli associati e simmetrie V C (0, 1) circonferenza goniometrica (R = 1) b P b P5 r b 0 P = (cos x, sin x) π π P5 = cos − x , sin −x = (sin x, cos x) 2 2 Relazioni notevoli sin cos tan π 2 − x = cos x π 2 − x = sin x π 2 − x = cot x Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 12 / 20 Formule di addizione e di sottrazione Formule di addizione sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y Formule di sottrazione Usare f (x − y) = f (x + (−y)), formule di addizione e simmetrie sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x Formule di duplicazione Usare 2x = x + x e formule di addizione sin(2x) = 2 sin x cos x Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 13 / 20 Formule di Werner e prostaferesi Formule di Werner sin x cos y = 1 2 (sin(x sin x sin y = 1 2 (cos(x cos x cos y = 1 2 (cos(x + y) + sin(x − y)) − y) − cos(x + y)) + y) + cos(x − y)) Formule di prostaferesi sin x + sin y cos x + cos y x−y = 2 cos x+y 2 cos 2 cos x − cos y x−y = −2 sin x+y 2 cos 2 sin x − sin y Corsi di Accompagnamento x−y = 2 sin x+y 2 cos 2 x−y = 2 cos x+y 2 sin 2 11 settembre 2009 14 / 20 Equazioni trigonometriche I Si cercano x ∈ R : sin(x) = c se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma α ∈ − π , π , α + 2kπ 1 1 2 2 α = π − α , α + 2kπ 2 c 1 1 2 c1 π −1 Corsi di Accompagnamento 2π 3π x α1 −1 α2 π 2π 11 settembre 2009 3π x 15 / 20 Equazioni trigonometriche II Si cercano x ∈ R : cos(x) = c se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma α ∈ [0, π] , α1 + 2kπ 1 α = 2π − α , α + 2kπ 2 c 1 1 c π −1 Corsi di Accompagnamento 2π 3π x 2 1 α2 α1 −1 π 2π 11 settembre 2009 3π x 16 / 20 Equazioni lineari in seno e coseno Dati a, b, c, ∈ R, si cercano x ∈R: a sin(x) + b cos(x) = c Si pongono t = sin(x), s = cos(x) e si risolve, in t e s at + bs = c t 2 + s2 = 1 Se (t̄, s̄) soluzioni, si cercano x ∈ R : sin(x) = t̄ cos(x) = s̄ Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 17 / 20 Equazioni omogenee di II grado in seno e coseno Dati a, b, c, ∈ R, si cercano x ∈ R : a sin2 (x ) + b cos2 (x ) + c sin(x ) cos(x ) = d a 6= d d = d(cos2 (x ) + sin2 (x )) a=d 2 2 d = d(cos (x ) + sin (x )) si divide per cos2 (x ) si risolve il sistema si risolve cos(x ) [( b−d) cos x +c sin x ] = 0 (a−d)t 2 +ct +(b−d) = 0 ⇒ t soluzioni x ∈ R : tan(x ) = t Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 18 / 20 Equazioni e disequazioni trigonometriche Indicazioni generali scrivere tutte le funzioni trigonometriche in termini di seno e coseno scrivere le funzioni utilizzando lo stesso angolo se non ci sono termini noti, scrivere l’equzione come prodotto di vari fattori studiare attentamente i valori ammissibili quando si fanno certe operazioni algebriche, come, ad esempio, dividere per una certa funzione metodo grafico interpretazione geometrica ricorrendo all’esame della circonferenza trigonometrica Corsi di Accompagnamento 11 settembre 2009 19 / 20 Proprietà dei triangoli C Teorema dei seni b a b c = = sin α sin β sin γ A Teorema di Carnot a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α b2 = a2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a2 + b2 − 2ab cos γ Corsi di Accompagnamento γ α a β c B Altre relazioni b = a sin β = a cos γ c = a sin γ = a cos β b = c tan β c = b tan γ 11 settembre 2009 20 / 20
