Numeri complessi NUMERI COMPLESSI z = a + ib z = a − ib Modulo z = a 2 + b2 Somma: z1 + z2 = a1 + a2 + i ( b1 + b2 ) Differenza: Prodotto: z1 − z2 = a1 − a2 + i ( b1 − b2 ) i0 = 1 = i 4 = ... i1 = i = i 5 = ... i 2 = −1 = i6 i 3 = −i = i7 z1 ⋅ z2 = a1 ⋅ a2 − b1 ⋅ b2 + i ( b1 ⋅ a2 + a1 ⋅ b2 ) Segue che: Quoziente: z ⋅ z = a 2 + b2 z1 z1 z2 a1a2 + b1b2 ba −a b = ⋅ = + i 1 22 12 2 2 2 z2 z2 z2 a2 + b2 a2 + b2 Coordinate polari nel piano ρ = x2 + y 2 x x cos θ = = 2 ρ x + y2 y sen θ = y = ρ x2 + y 2 x = ρ cos θ y = ρ sen θ P [ ρ ,θ ] Rappresentazione trigonometrica o polare di numeri complessi z = ρ ( cos θ + i sen θ ) z1 ⋅ z2 = ρ1ρ 2 cos (θ1 + θ 2 ) + i sen (θ1 + θ 2 ) z1 ρ1 = cos (θ1 − θ 2 ) + i sen (θ1 − θ 2 ) z2 ρ 2 z n = ρ n ( cos nθ + i sen nθ ) formula di DE MOIVRE (dim. con principio di induzione) Esponenziali complessi Definizione: e z = e x +iy = e x ( cos y + i sen y ) Modulo dell’esponenziale complesso: Una formula famosa: per z = 0 + iπ e z = e x +iy = e x si ha l’esp. Comp. eiπ = e0 ( cos π + i sen π ) Riassumendo un numero complesso può essere rappresentato da cui z = x + iy z = ρ ( cos θ + i sen θ ) iθ z = ρ ⋅ e eiπ = −1 oppure: eiπ + 1 = 0 Formule di EULERO: eiθ + e− iθ cos θ = 2 iθ − iθ sen θ = e − e 2i Varie sui numeri complessi - Un paradosso sui numeri complessi: −1 = −1 Oppure: −1 = i 2 = i ⋅ i = −1 ⋅ −1 = 1 −1 = −1 1 1 −1 = −1 1 ( −1) 2 = 1 =1 quindi 1 ⋅ 1 = −1 ⋅ −1 −1 = 1 quindi 1 = −1 - Una uguaglianza inaspettata: ii = e − π 2 dimostrazione: dalla definizione e i π 2 = i = eln i i π 2 = ln i i ⋅i π 2 = i ⋅ ln i − π 2 = ln i i e − π 2 = ii π i i = e2 analogamente - Moltiplicare per i un numero equivale ad una rotazione di 90° nel piano cartesiano (es. 1*i=….) - Moltiplicare per 2i un numero equivale ad una rotazione di 90° più una traslazione nel piano cartesiano (es. 1*2i=….) - il prodotto di due numeri sulla circonferenza unitaria è un numero sulla circonferenza unitaria (es. banale -1*i oppure Grafici in coordinate polari θ = cost semiretta uscente da O ρ = cost circonferenza di centro l’origine ρ sen θ = cost retta orizzontale ρ cos θ = cost retta verticale ρ = a ⋅ sen θ circonferenza ρ = a ⋅ cos θ circonferenza ρ=θ ρ= …… spirale d ⋅e 1 ± e ⋅ cos θ conica (e=eccentricità; d=direttrice) 1 3 +i ⋅i 2 2
