Introduzione alla Fisica • Ripasso di matematica • Grandezze fisiche • Vettori Algebra dei numeri relativi Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno – segno a = − 5,2 modulo o valore assoluto (si indica con |a|) Due numeri relativi sono • • • • concordi se hanno lo stesso segno es: (–3 ; –7,15 ; –6001); discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; –12,2); opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: (–2,13 ; +2,13) reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso es: (–4/5 ; –5/4) Chiamiamo espressione algebrica una espressione matematica che contiene numeri relativi 2 1 4 2 3 numerica: − letterale: 3a 2b − 5ab 2 ... dove le lettere rappresentano In una espressione matematica un generico numero In una legge fisica una grandezza fisica • intero (0; 1; 2; 3; ...) valore numerico + unità di misura • intero relativo (.. –2; -1; 0; 1; ...) • m ( 3,7 kg; 8 mg; 12 lb; ...) • reale (-1/2; 136,11111; √7; e2,7...) • t ( 8,7 ms; 3 h; 2,7 giorni; ...) Stessa algebra !! Somma algebrica Nell’algebra dei numeri relativi, una espressione contenente addizioni e sottrazioni numeriche e letterali 3 − 2z + 5 − 8 y − 4 viene sempre considerata come una somma algebrica, ovvero intesa come somma di numeri relativi: + 3 + (−2 z ) + (+5) + (−8 y ) + (−4) Nota: per scioglimento delle parentesi in una espressione • si elimina la parentesi se preceduta dal segno + • si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo interno se preceduta dal segno - + (4 x − 2 y + 3 z ) = 4 x − 2 y + 3 z − (4 x − 2 y + 3z ) = −4 x + 2 y − 3z Le 4 operazioni • Addizione (somma) (−2) + (−6) = −8 (−13) + (+9) = −4 Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno Addendi discordi:differenza dei moduli • Sottrazione (differenza) segno dell’addendo di modulo maggiore Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo) (−4) − (−9) = (−4) + (+9) = +5 • Moltiplicazione (prodotto) (−4)(−3)(−7) = −84 Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pari di segni − negativo -> numero dispari di segni − • Divisione (quoziente o rapporto) 1 (−21) : (+7) = (−21) + = −3 7 Si ottiene moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore Esempi: 2 1 1 1 − 1 3 − − − = 5 3 2 6 [R. = −2] 3 2 3 7 − : 2 − + − : 1 − = 2 3 4 6 [R. = −5] Potenze a = base, b = esponente a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ L (b volte) b Proprietà delle potenze an + am ! (nessuna an * am = an+m (an)m = an*m di ugual base particolare proprietà) a3 + a2 = (a*a*a) + (a*a) = … dipende! a3 * a2 = (a*a*a) * (a*a) = a*a*a*a*a = a5 (a3)2 = (a*a*a) * (a*a*a) = a*a*a*a*a*a = a6 an/am = an-m a3/a2 = (a*a*a)/(a*a) = a = a1 Ma attenzione: a3/a2 = (a*a*a)/(a*a) = a = a1 = a3-2 a2/a3 = (a*a)/(a*a*a) = 1/a = a-1 = a2-3 a3/a3 = (a*a*a)/(a*a*a) = 1 = a0 = a3-3 La regola continua a valere, purchè si definisca a-n = 1/an a0 = 1 potenza a esponente negativo potenza a esponente nullo Esempi: 4 1 R. = − 128 (− 2)(+ 2)2 = [R. = −8] [R. = −216] 3 1 1 − − = 2 2 (+ 2)3 (− 3)3 = 1 − 2 (− 3)5 4 1 − = 2 [R. = 16] −3 [R. = 9] 8 1 − = 3 1 − 1 2 2 −3 = [R. = 64] Radice E` l’operazione inversa dell’elevamento a potenza: n a è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a : ( a) n n = n a ⋅ n a ⋅ L (n volte) = a • la radice di indice pari di un numero negativo non esiste −4 • la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica 3 8 = 2; • esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo 3 − 27 = −3 25 = ±5 Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione m√an = an/m 2√a6 = a6/2 = √(a*a*a)*(a*a*a) = √(a*a*a)2 = a*a*a = a3 Esempi: 6 2 = [R. = 4] 3 2 1 R. = 2 12 4 ⋅4 −2 3 2 = (−4) ⋅ (−4) 3 −2 4 ⋅10 4 ⋅ 2 ⋅10 −2 = −4 10 = [R. = assurdo] [R. = 200] Momomi e Polinomi Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali Coefficiente 4 − 3 ab 3 Grado nella lettera b Parte letterale identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale 2 2 4 2 ab ; a b ; 0, 6 a 2b ; K 3 6 simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente − 8a 2bc 4 ; 5 2 4 a bc 7 ; 5,2a 2bc 4 ; L Polinomio: è una somma algebrica di più monomi non simili 2a − 3b ; mn + 2n − 4 ; 3ab − 4a + 2b − 9 Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere sommati algebricamente Esempi: 3a 2b + 2ab 2 − 5a 2b − ab 2 = (6ab )⋅ (− 3a b) = 2 2 5 2 8a b = 3 − 2ab 2a 3b 2ab : − 2 2 = 3c 9a c (3a bc ) 2 3 2 = [R. = ab − 2a b] [R. = −18a b ] 2 2 3 3 a4 R. = −4 b [R. = −3a c] 4 [R. = 9a b c ] 4 2 6 Il prodotto di due polinomi si ottiene come somma algebrica dei prodotti di ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo. Esempi: (− 2a + ab )(− 3a b ) = 2 2 (3x + 2 y )(4 x − 5 y ) = [R. = 6a b − 3a b ] [R. = 12 x − 7 xy − 10 y ] 3 3 3 2 I calcoli possono essere semplificati nel caso di prodotti notevoli: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 3 3 2 2 3 (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b 2 Il quoziente di due polinomi non è in generale risolubile. Tuttavia, è spesso possibile semplificare una frazione algebrica raccogliendo ed eliminando i fattori moltiplicativi comuni a tutti i termini del numeratore e del denominatore Esempi: (8a b − 12ab ): (4ab) = [R. = 2a − 3b] 2 a 2 − 2a = 4ab − 4b a R. = 2b 2 2 378 = 315 3 x + 11y + 6 = 12 x + 3 y + 9 6 R. = 5 3 x + 11 y + 6 R. = 12 x + 3 y + 9 Le frazioni di frazioni si risolvono facilmente ricordando le proprietà viste finora Esempi: 1 5 = 1⋅8 = 8 1 5 1 5 8 3 7 = 3⋅1 = 1 9 7 9 21 Equazioni Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri verificata per particolari valori di una variabile incognita ax + b = 0 ! x = -b/a Proprietà: Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri → il risultato non cambia …e da qui deriva il metodo di risoluzione: ax + b = 0 ax + b – b = 0 – b ! ax = -b ax/a = -b/a ! x = -b/a Es. 2x - 6 = 0 2x – 6 + 6 = 0 + 6 ! 2x = 6 2x/2 = 6/2 ! x=3 Esempi: 3(2 x + 5) = 5 + x [R. x = −2 ] 2a + b = x − 2( x + b ) [R. x = b − 2a ] 1 R. a = b − c 1 =b a−c [R. 2(5 − x) = x − 3( x + 2) 2(−3 − x) = x − 3( x + 2) [R. impossibile] sempre verificato] Proporzioni a:b = c:d ! ad = bc a/b = c/d ! Prodotto dei medi = prodotto degli estremi Nulla di magico: sono solo normali equazioni! a = bc/d b = ad/c c = ad/b d = bc/a Conversione di unità di misura Es. Prezzo in lire ! Prezzo in euro N lire 1936.27 lire N lire ∗ 1 euro 1 = ⇒ x= = N∗ euro = N ∗ 0.000516 euro x 1 euro 1936.27 lire 1936.27 Prezzo in euro ! Prezzo in lire N euro 1 euro N euro ∗ 1936.27 lire = ⇒ x= = N ∗ 1936.27 lire x 1936.27 lire 1 euro Fattore di conversione = rapporto tra due unità di misura Esempio: risolvere usando le proporzioni Mediante perfusione intravenosa vengono somministrate 50 gocce al min di soluzione fisiologica (20 gocce = 1mlitro). Dopo 30 min, quanti mlitri di soluzione sono stati somministrati ? [R. 75 ml] Potenze di dieci e notazione scientifica 105 (si legge “dieci alla quinta”) 10-5 è uguale a 1 moltiplicato per 1*100000 = 100000 (si legge “dieci alla meno 5”) 105 è uguale a 1.0 spostando la virgola a destra di 5 posti è uguale a 1 diviso per 105 1/100000 = 0.00001 è uguale a 1.0 spostando la virgola a sinistra di 5 posti Notazione scientifica (forma esponenziale) Si usa nei calcoli scientifici per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli parte numerica 5,213·10-7 numero compreso tra 0,1 e 10 prodotto si usano anche i simboli ∗ e × potenza di 10 l’esponente rappresenta il numero di posti decimali di cui occorre spostare la virgola Esempi: convertire da notazione numerica scientifica a notazione numerica ordinaria (o viceversa) 0,00321 = 972000 = 4 8,26 ⋅10 = 3,2 ⋅10 −7 = [R. [R. ] 9,72 ⋅10 ] 3,21 ⋅10-3 5 [R. [R. 82600] 0,00000032 ] Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operazioni complicate, con risultati esatti o non lontani dal risultato vero. 0,00002 × 0,0003 = 0,02 × 3000 = 60 × 0,4 7987 × 70444 = Equazioni nella Fisica Equazioni Relazione di uguaglianza tra due membri tutto ciò che è a 1o membro (numeri + unità di misura) deve essere uguale a tutto ciò che è a 2o membro Es. Area di un rettangolo: A = ab = (50 cm)*(1 m) = 50 cm*m (da evitare!) = 50 cm * 100 cm = 5000 cm2 = 5000 cm NO! = 0.5 m * 1 m = 0.5 m2 = 0.5 m NO! Equivalenze tra unità di misura b a A a = 50 cm, b = 1 m Equivalenze tra unità di misura Occorre conoscere il fattore di conversione tra le diverse unità di misura Es. Velocità km/h ! m/s 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 0,28 m/s m/s ! km/h 1m/s = 0,001 km / (1/3600) h = 3,6 km/h n km/h = n · 0,28 m/s n m/s = n · 3,6 km/h Velocità di un atleta dei 100 m: di un’automobile: della luce: 10 m/s = 10 · 3.6 km/h = 36 km/h 120 km/h = 120 · 0,28 m/s = 33,6 m/s 300000 km/s = 3 · 108 m/s = 3 · 108 · 3,6 km/h = 1,08 · 109 km/h Ovviamente il fattore di conversione inverso è l’inverso del fattore di conversione! Es. 0,28 = 1 / 3,6 Esempi: convertire le seguenti grandezze nelle unità di misura indicate • 12 in/min in cm/s • 33 kg/m3 in g/cm3 • 1h 7’ 30’’ in min Percentuale Metodo “comodo” per esprimere variazioni (aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota 1 % = 1/100 = 10-2 = 0.01 n % = n/100 = 10-2•n = 0.01•n Esempi: • 3% di 150 = 3/100 · 150 = 0,03 · 150 = 4,5 • 20% di 10000 = 0,20 · 10000 = 2000 • 20% di 0,003 = 0,20 · 0,003 = 2 · 10-1 · 3 · 10-3 = 6 · 10-4 = 0,0006 • 200% di 1000 = 2 · 1000 = 2000 (raddoppiare ⇒ aumentare del 100% ⇒passare al 200 %) “Per mille”: 1 ‰ = 1/1000 = 0.001 = 0.1% “Parte per milione”: 1 ppm = 1/1000000 = 0.000001 = 0.0001% = 0.001 ‰ Attenzione: la percentuale e’ sempre relativa alla grandezza a cui si riferisce! Esempi: • 20% di 1000 grammi = (0.20 · 1000) grammi = 200 grammi • Aumentare una quantità Q del 5%: Q ⇒ Q + 5%Q = Q + 0,05 · Q = Q · (1 + 0,05) = 1,05· Q • Diminuire una quantità Q del 5%: Q ⇒ Q - 5%Q = Q - 0,05 · Q = Q · (1 - 0,05) = 0,95 · Q • Soluzione di una sostanza in acqua al 5% = in volume: ad es. in 1 litro di soluzione, 950 cm3 d’acqua e 50 cm3 di soluto in peso: ad es. in 1 kg di soluzione, 950 g d’acqua e 50 g di soluto Superfici e volumi Retta – [L]1 Piano – [L]2 L (m) Spazio – [L]3 V (m3) S (m2) L’area della superficie di un corpo si misura sempre in m2, cm2,… Il volume (o capacità) di un corpo si misura sempre in m3, cm3,… c S = a•b V = a•b•c b r a S = π•r2 V = π•r2•l r S = π•r2 V = (4/3)•π π•r3 In generale: S = base•altezza V = area base•altezza l Attenzione alle conversioni tra unità di misura! 1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2 1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3 1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2 1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3 1 l = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = (101 cm)3 = 10-3 m3 = 103 cm3 Angolo piano α Unità di misura s α R angolo giro angolo piatto angolo retto 360° ≡ 2π rad 180° ≡ π rad 90° ≡ π/2 rad gradi, minuti, secondi 1° = 60' 1' = 60" es: 32° 27' 38" lunghezza arco s radianti = R Per convertire tra gradi e radianti si può utilizzare la semplice proporzione x rad : y gradi = π : 180° Esempio: convertire 60o in radianti Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora a c a =b +c 2 b Esempio: 2 2 b = a2 − c2 Casi particolari b a b c= a 2 = 2 ⋅ b2 a = 2 ⋅b a b= 2 30o a b 60o c 1 a 2 b2 = a 2 − c2 = 2 3 1 = a2 − a = a2 4 2 3 b= a 2 Funzioni Funzione = relazione univoca tra due grandezze variabili y=f(x) variabile dipendente variabile indipendente Esempi: y=x y=2x Assi Cartesiani variabile dipendente La funzione che lega le due grandezze X ed Y può essere rappresentata graficamente attraverso una curva in un piano cartesiano Y Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x. 0 variabile indipendente X Attenzione: Una relazione di dipendenza e’ una funzione se per ogni valore della variabile indipendente x esiste uno e un solo valore della variabile dipendente y Esempio: persona ! data di nascita " SI NO persona ! targa auto " NO SI x=n x=n ! y = n2 ! y = √n y y SI NO SI x ? ? NO Una funzione e’ invertibile se a ogni valore della variabile dipendente y corrisponde uno e un solo valore della variabile indipendente x. x Le funzioni della Fisica Retta 1o grado Iperbole ! proporz.diretta proporz.inversa " y raddoppia al raddoppiare di x s = v•t λ = c•T F = m•a ∆V = R•I y si dimezza PV=k ! P=k/V λf = c ! λ = c/f s P Retta t Iperbole V Parabola 2o grado ! proporz.dir.quadr. y quadruplica Fraz. quadr. proporz.inv.quadr." " y si riduce a un quarto al raddoppiare di x al raddoppiare di x s = ½ a t2 Fg = G•m1m2/r2 Ek = ½ m v2 s Fe = K•q1q2/r2 F Parabola t proporz.inv.quadr r Funzioni dipendenti dal tempo Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quotidiana) Tempo = variabile indipendente parametro del moto • Moti: • Oscillazioni: • Decadimenti: s=s(t), v=v(t), a=a(t) s(t) = A sin(ωt) n(t) = n0 e-λλt Grandezze fisiche Definizione operativa: Grandezza fisica ! Proprietà misurabile Es. Sensazione di caldo/freddo NO (soggettiva, diversa per ciascuno) Temperatura SI (oggettiva, uguale per tutti) Misura di una grandezza: • mediante un dispositivo sperimentale • in confronto con un’altra grandezza omogenea di riferimento costante e riproducibile Espressione di una grandezza: numero + unità di misura rapporto tra misura e campione di riferimento MAI dimenticare l’unità di misura! Dire “un corpo è lungo 24” non ha senso. Dire “la densità dell’acqua è 1” non ha senso. …e dirlo all’esame… Grandezze fondamentali e derivate Fondamentali concetti intuitivi e indipendenti l’uno dall’altro non definibili in termini di altre grandezze Lunghezza Massa Tempo Intensità di corrente Temperatura assoluta [L] [M] [t] [i] [T] Derivate definibili in termini delle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche Superficie Volume Velocità Accelerazione Forza Pressione In generale: ………… (forza/superficie) [L]2 [L]3 [L] [t]-1 [L] [t]-2 [L] [M] [t]-2 [L]-1 [M] [t]-2 ………… [L]a[M]b[t]c[i]d[T]e (lunghezza)2 (lunghezza)3 (lunghezza/tempo) (velocità/tempo) (massa*acceleraz.) Sistemi di unità di misura Stabilire un sistema di unità di misura = fissare le grandezze fondamentali e il valore dei loro campioni unitari Sistema [L] [M] [t] [i] [T] MKS / SI m kg chilogr. s secondo A oK cgs cm g s A oC Internazionale Sistemi pratici Lunghezza Tempo Volume Velocità Pressione Energia Calore lunghezza massa metro centim. grammo tempo intens. corrente secondo vari esempi angstrom, anno-luce minuto, ora, giorno, anno litro chilometro/ora atmosfera, millimetro di mercurio elettronvolt, chilowattora caloria ampere ampere temper. assoluta gr.kelvin gr.Celsius Fattori di conversione: MKS ! cgs 1 m = 102 cm 1 kg = 103 g cgs ! MKS 1 cm = 10-2 m 1 g = 10-3 kg MKS, cgs ! pratici e viceversa proporzioni con fattori numerici noti Se si sbagliano le unità di misura… Multipli e sottomultipli Per esprimere brevemente grandezze fisiche grandi o piccole: numero a 1,2,3 cifre + unità di misura con multiplo/sottomultiplo (di 3 in 3) Es. 57800 g = 5.78 • 104 g = 5.78 • (101•103) g = 57.8 kg 57.8 kg = 57.8 •103 g = 5.78 • 104 g 0.0047 g = 4.7 • 10-3 g = 4.7 mg 0.00047 g = 4.7 • 10-4 g = 4.7 • (102 • 10-6) g = 470 µg Per confrontare grandezze “infinitamente” grandi o piccole: Ordine di grandezza = potenza di 10 più vicina al numero considerato Es. Idrogeno: raggio atomo: 10-10 m, raggio nucleo 10-15 m ! 10-10 m /10-15 m = 105 L’atomo di idrogeno è 100000 volte più grande del suo nucleo! Esempio: • Il referto di un esame del sangue di un fornisce i seguenti valori: V.E.S. 7,2 mm/h Glicemia 98 mg/dl Si esprimano tali risultati nelle unità del Sistema Internazionale R. 2,0 ⋅10-6 m/s 3 0,98 kg/m • Una cellula sferica ha un diametro d = 20 µm. Quale è il volume della cellula in cm3 ? [R. V = 4,19 ⋅10 −9 cm 3 ] Alcune grandezze fisiche Alcune lunghezze valore in m - distanza della stella più vicina - anno-luce - distanza Terra-Sole - distanza Terra-Luna - raggio della Terra - altezza del Monte Bianco - altezza di un uomo - spessore di un foglio di carta - dimensioni di un globulo rosso - dimensioni di un virus - dimensioni di un atomo - dimensioni di un nucleo atomico 3.9•1016 m 9.46•1015 m 1.49•1011 m = 149 Gm 3.8•108 m = 380 Mm 6.38•106 m = 6.38 Mm 4.8•103 m = 4.8 km 1.7•100 m = 1.7 m 10-4 m = 100 µm 10-5 m = 10 µm 10-8 m = 10 nm 10-10 m 10-15 m (9 milioni di miliardi di km) (150 milioni di km) (400000 km) (6000 km) (5 km) (1/10 di mm) (1/100 di mm) (100 angstrom) (1 angstrom) Alcune grandezze fisiche Alcune masse valore in kg - massa del Sole - massa della Terra - massa di un uomo - massa di un globulo rosso - massa del protone - massa dell’elettrone 1.98•1030 kg 5.98•1024 kg 7•102 kg 10-16 kg 1.67•10-27 kg 9.1•10-31 kg Alcuni tempi valore in s - era cristiana - anno solare - giorno solare - intervallo tra due battiti cardiaci - periodo di vibraz. voce basso - periodo di vibraz. voce soprano - periodo di vib. onde radio FM 100 MHz - periodo di vib. raggi X 6.3 • 1010 s (2000 anni) 7 3.15 • 10 s 8.64 • 104 s (8/10 di sec.) 8 • 10-1 s -2 5 • 10 s (2/100 di sec.) -5 (50 milionesimi di sec.) 5 • 10 s -8 10 s (10 miliardesimi di sec.) -18 10 s (1 miliardesimo di miliardesimo di sec.) Errori di misura Ogni misura diretta o indiretta di una grandezza è affetta da errore ⇒ stima di quanto il valore ottenuto può discostarsi dal valore reale. Esempio: l = 5,3 ± 0,2 Per convenzione: l = 5,3 equivale a Attenzione : Errore relativo o percentuale Misura: a ± ∆a Errore relativo: err = ∆a/a Errore percentuale: err% = ∆a/a • 100 l = 5,3 ± 0,1 5,3 ≠ 5,30 lungh = (63 ± 0.5) cm err = (0.5 cm)/(63 cm) = 0.0079 err% = err • 100 = 0.79 % grandezze vettoriali • si indicano con v (oppure con la lettera v in grassetto) modulo (v o |v|) • sono caratterizzate da 3 dati direzione vettore verso modulo direzione verso → v punto di applicazione Esempio di vettore: spostamento ∆s •modulo ∆s = |∆s|= 2,7 m •direzione : verticale •verso : dall’alto verso il basso altri vettori: velocità, accelerazione, ... Le grandezze che non hanno natura vettoriale sono chiamate grandezze scalari Esempio: temperatura, pressione, densità,.... Vettori uguali stesso modulo stessa direzione stesso verso Vettori opposti stesso modulo stessa direzione verso opposto Nota: • due vettori possono essere uguali anche se il punto di applicazione è differente; • il vettore opposto di v è il vettore (-v). somma di due vettori regola del parallelogramma (metodo grafico) → a → → a s → → + b = s → → b s è anche chiamato → → vettore risultante di a e b Due vettori opposti hanno risultante nulla !! scomposizione di un vettore Un vettore può sempre essere scomposto in una somma di due vettori detti componenti, uno parallela (//) ed uno perpendicolare (⊥ ⊥) rispetto ad una qualsiasi direzione e verso stabiliti. e n io z re i d Per chi conosce la trigonometria: ta l e sc v// = v cos α v⊥ = v sen α v// α v⊥ ... altrementi: usare (quando → possibile) le proprietà dei triangoli v differenza di due vettori regola del parallelogramma (metodo grafico) → → → → a – b = d a → d → b → d → -b → a → b → d → → → b +d = a moltiplicazione o divisione di un vettore per uno scalare Moltiplicare o dividere un vettore per uno scalare equivale a moltiplicare o dividere il modulo del vettore, lasciando invariata la direzione ed il verso. Esempio: v 2·v ½·v prodotto scalare di due vettori → a → → a b = a·b// • b// → φ b → φ=0 b → a → → • a b = a · b// = a·b → φ = 90° b → → φ = 180° → → • a b = a · b// = 0 a b → a → → • a b = a · b// = – a·b caso unidimensionale Se tutti i vettori nel problema considerato hanno la stessa direzione, il problema si semplifica notevolmente (problema unidimensionale) somma e differenza di vettori somma algebrica dei corrispondenti moduli prodotto scalare di due vettori Prodotto algebrico dei corrispondenti moduli algebra ordinaria delle grandezze scalari Simbologia Matematica = ~ = ≈ oppure ~ ≠ > (<) >> (<<) ≤ (≥ ) ∝ |x| ∆x -∆ x uguale a approssimativamente uguale a circa uguale, dell’ordine di grandezza di diverso da maggiore (minore) di molto maggiore (minore) di maggiore (minore) o uguale direttamente proporzionale a modulo (o valore assoluto) di x variazione (aumento) di x (xdopo-xprima) diminuzione (o differenza) di x (xprima-xdopo)
