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Introduzione alla Fisica
• Ripasso di matematica
• Grandezze fisiche
• Vettori
Algebra dei numeri relativi
Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno –
segno
a =  5,2
modulo o valore assoluto
(si indica con |a|)
Due numeri relativi sono
• concordi se hanno lo stesso segno es: (–3 ; –7,15 ; –6001);
• discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; –12,2);
• opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: (–2,13 ; +2,13)
• reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso
es: (–4/5 ; –5/4)
Chiamiamo espressione algebrica una espressione matematica che
contiene numeri relativi
2
 1  4
numerica:     
 2  3
letterale:
3a 2b  5ab 2
... dove le lettere rappresentano
In una espressione matematica
un generico numero
In una legge fisica
una grandezza fisica
• intero (0; 1; 2; 3; ...)
valore numerico + unità di misura
• intero relativo (.. –2; -1; 0; 1; ...)
• m ( 3,7 kg; 8 mg; 12 lb; ...)
• reale (-1/2; 136,11111; 7; e2,7...)
• t ( 8,7 ms; 3 h; 2,7 giorni; ...)
Stessa algebra !!
Somma algebrica
Nell’algebra dei numeri relativi, una espressione contenente addizioni e
sottrazioni numeriche e letterali
3  2z  5  8 y  4
viene sempre considerata come una somma algebrica, ovvero intesa
come somma di numeri relativi:
 3  (2 z )  (5)  (8 y )  (4)
Nota: per scioglimento delle parentesi in una espressione
•
si elimina la parentesi se preceduta dal segno +
•
si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo
interno se preceduta dal segno -
 (4 x  2 y  3z )  4 x  2 y  3z
 (4 x  2 y  3z )  4 x  2 y  3z
Le 4 operazioni
• Addizione (somma)
(2)  (6)  8
(13)  (9)  4
Addendi concordi:somma dei moduli
stesso segno
Addendi discordi:differenza dei moduli
• Sottrazione (differenza)
segno dell’addendo di modulo maggiore
Si ottiene sommando al primo numero
(minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)
(4)  (9)  (4)  (9)  5
• Moltiplicazione (prodotto)
(4)( 3)( 7)  84
Il modulo è il prodotto dei moduli
Il segno è positivo -> numero pari di segni 
negativo -> numero dispari di segni 
• Divisione (quoziente o rapporto)
 1
(21) : (7)  (21)    3
 7
Si ottiene moltiplicando il dividendo
per il reciproco del divisore
Esempi:
2 1 1
 1 
  1 3       
5 3 2
 6 
R.  2
3  2  3
 7 
   :  2       : 1   
2  3  4
 6 
R.  5
Potenze
a = base, b = esponente
a  a  a  a  (b volte)
b
Proprietà delle potenze
an + am  (nessuna
an * am = an+m
(an)m = an*m
di ugual base
particolare proprietà)
a3 + a2 = (a*a*a) + (a*a) = … dipende!
a3 * a2 = (a*a*a) * (a*a) = a*a*a*a*a = a5
(a3)2 = (a*a*a) * (a*a*a) = a*a*a*a*a*a = a6
an/am = an-m
a3/a2 = (a*a*a)/(a*a) = a = a1
Ma attenzione:
a3/a2 = (a*a*a)/(a*a) = a = a1 = a3-2
a2/a3 = (a*a)/(a*a*a) = 1/a = a-1 = a2-3
a3/a3 = (a*a*a)/(a*a*a) = 1 = a0 = a3-3
La regola continua a valere, purchè si definisca
a-n = 1/an
a0 = 1
potenza a esponente negativo
potenza a esponente nullo
Esempi:
 1
 
 2
3
4
 1
  
 2
 2 2
2

 23  33 
 1
 
 2
 35
4
R.  16
3
R.  9
 1
  
 3
 1 
  1
 2 
R.  8
R.  216
 1
  
 2
8
2
1 

 R.   128 
3

 

R.  64
Radice
E` l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
n
a
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a :
 a
n
n
 n a  n a  (n volte)  a
• la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
4
• la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
3
8  2;
• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
3
 27  3
25  5
Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale
che ha per indice il denominatore della frazione
man
= an/m
2a6
= a6/2 = (a*a*a)*(a*a*a) = (a*a*a)2 = a*a*a = a3
Esempi:
6
2 
R.  4
3
2

 R. 
12
4  42 
3
2
(4)  (4)
3
2
4 10 4  2 10 2

4
10

1
2 
R.  assurdo 
R.  200
Momomi e Polinomi
Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto
forma di prodotto di fattori numerici e letterali
Coefficiente
4

3
ab
3
Grado nella lettera b
Parte letterale
identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale
2 2
4 2
ab ;
a b ; 0, 6 a 2b ; 
3
6
simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente
 8a 2bc 4
;
5 2 4
a bc
7
; 5,2a 2bc 4
; 
Polinomio: è una somma algebrica di più monomi non simili
2a  3b ; mn  2n  4 ; 3ab  4a  2b  9
Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole
viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere
sommati algebricamente
Esempi:
3a 2b  2ab 2  5a 2b  ab 2 
6ab   3a b 
2
2
5 2
8a b

3
 2ab
 2a 3b   2ab 

 :   2 2  
 3c   9a c 
3a bc 
2
3 2

R.  ab  2a b
R.  18a b 
2
2
3 3

a4 
 R.  4 
b

R.  3a c
4
R.  9a b c 
4 2 6
Il prodotto di due polinomi si ottiene come somma algebrica dei prodotti
di ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo.
Esempi:
 2a  ab  3a b 
2
2
3x  2 y 4x  5 y  
R.  6a b  3a b 
R.  12x  7 xy 10 y 
3
3 3
2
I calcoli possono essere semplificati nel caso di prodotti notevoli:
(a  b)( a  b)  a 2  b 2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
3
3
2
2
3
(a  b)  a  3a b  3ab  b
2
Il quoziente di due polinomi non è in generale risolubile.
Tuttavia, è spesso possibile semplificare una frazione algebrica
raccogliendo ed eliminando i fattori moltiplicativi comuni a tutti i
termini del numeratore e del denominatore
Esempi:
8a b 12ab : 4ab 
R.  2a  3b
2a 2  2a

4ab  4b
a

 R.  2b 
2
2
378

315
3x  11y  6

12 x  3 y  9

 R. 
6
5 

3x  11y  6 
 R.  12 x  3 y  9 


Le frazioni di frazioni si risolvono facilmente ricordando le proprietà
viste finora
Esempi:
1
5  18  8
1 5 1 5
8
3
7  31  1
9 7 9 21
Equazioni
Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri
verificata per particolari valori di una variabile incognita
ax + b = 0

x = -b/a
Proprietà:
Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri
Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri
 il risultato non cambia
…e da qui deriva il metodo di risoluzione:
ax + b = 0
ax + b – b = 0 – b  ax = -b
ax/a = -b/a
 x = -b/a
Es.
2x - 6 = 0
2x – 6 + 6 = 0 + 6  2x = 6
2x/2 = 6/2  x=3
Esempi:
32x  5  5  x
R.
x  2
2a  b  x  2x  b
R.
x  b  2a
1 

 R. a  b  c 
1
b
ac
R.
2(5  x)  x  3( x  2)
2(3  x)  x  3( x  2)
R.
impossibil e
sempre verifica to
Proporzioni
Prodotto dei medi = prodotto degli estremi
a:b = c:d  ad = bc
a/b = c/d
Nulla di magico: sono solo normali
equazioni!
a = bc/d
b = ad/c

c = ad/b
d = bc/a
Conversione di unità di misura
Es.
Prezzo in lire  Prezzo in euro
N lire 1936.27 lire

x
1 euro
 x
N lire  1 euro
1
 N
euro  N  0.000516 euro
1936.27 lire
1936.27
Prezzo in euro  Prezzo in lire
N euro
1 euro

x
1936.27 lire
 x
N euro  1936.27 lire
 N  1936.27 lire
1 euro
Fattore di conversione = rapporto tra due unità di misura
Esempio: risolvere usando le proporzioni
Mediante perfusione intravenosa vengono somministrate 50 gocce al
min di soluzione fisiologica (20 gocce = 1mlitro). Dopo 30 min, quanti
mlitri di soluzione sono stati somministrati ?
R.
75 ml 
Potenze di dieci e notazione scientifica
105
(si legge “dieci alla quinta”)
è uguale a 1 moltiplicato per
1*100000 = 100000
10-5
(si legge “dieci alla meno 5”)
105
è uguale a 1.0 spostando la virgola a
destra di 5 posti
è uguale a 1 diviso per 105
1/100000 = 0.00001
è uguale a 1.0 spostando la virgola a
sinistra di 5 posti
Notazione scientifica (forma esponenziale)
Si usa nei calcoli scientifici per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli
parte numerica
5,213·10-7
numero compreso
tra 0,1 e 10
prodotto
si usano anche i
simboli  e 
potenza di 10
l’esponente rappresenta il
numero di posti decimali
di cui occorre spostare la
virgola
Esempi: convertire da notazione numerica scientifica a notazione
numerica ordinaria (o viceversa)
0,00321 
972000 
4
8,26 10 
3,2 10 7 
R.
R.

9,72 10 
3,2110-3
5
R.
R.
82600
0,00000032
Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operazioni
complicate, con risultati esatti o non lontani dal risultato vero.
0,00002  0,0003 
0,02  3000

60  0,4
7987  70444 
Equazioni
nella Fisica
Equazioni
Relazione di uguaglianza tra due membri
tutto ciò che è a 1o membro (numeri + unità di misura) deve essere uguale a
tutto ciò che è a 2o membro
Es. Area di un rettangolo:
A = ab = (50 cm)*(1 m)
= 50 cm*m (da evitare!)
= 50 cm * 100 cm = 5000 cm2
= 5000 cm NO!
= 0.5 m * 1 m = 0.5 m2
= 0.5 m NO!
Equivalenze tra unità di misura
b
a
A
a = 50 cm, b = 1 m
Equivalenze tra unità di misura
Occorre conoscere il fattore di conversione tra le diverse unità di misura
Es.
Velocità
km/h  m/s
1 km/h = 1000 m / 3600 s
= 0,28 m/s
m/s  km/h
1m/s = 0,001 km / (1/3600) h
= 3,6 km/h
n km/h = n · 0,28 m/s
n m/s = n · 3,6 km/h
Velocità di un atleta dei 100 m:
di un’automobile:
della luce:
10 m/s = 10 · 3.6 km/h = 36 km/h
120 km/h = 120 · 0,28 m/s = 33,6 m/s
300000 km/s = 3 · 108 m/s
= 3 · 108 · 3,6 km/h = 1,08 · 109 km/h
Ovviamente il fattore di conversione inverso è l’inverso del
fattore di conversione!
Es. 0,28 = 1 / 3,6
Esempi: convertire le seguenti grandezze nelle unità di misura indicate
• 12 in/min in cm/s
• 33 kg/m3 in g/cm3
• 1h 7’ 30’’ in min
Percentuale
Metodo “comodo” per esprimere variazioni
(aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota
1 % = 1/100 = 10-2
= 0.01
n % = n/100 = 10-2•n = 0.01•n
Esempi:
•
3% di 150 = 3/100 · 150 = 0,03 · 150 = 4,5
• 20% di 10000 = 0,20 · 10000 = 2000
• 20% di 0,003 = 0,20 · 0,003 = 2 · 10-1 · 3 · 10-3 = 6 · 10-4 = 0,0006
• 200% di 1000 = 2 · 1000 = 2000 (raddoppiare  aumentare del 100% passare al 200 %)
“Per mille”: 1 ‰ = 1/1000 = 0.001 = 0.1%
“Parte per milione”: 1 ppm = 1/1000000 = 0.000001 = 0.0001% = 0.001 ‰
Attenzione: la percentuale e’ sempre
relativa alla grandezza a cui si riferisce!
Esempi:
• 20% di 1000 grammi = (0.20 · 1000) grammi = 200 grammi
• Aumentare una quantità Q del 5%:
Q  Q + 5%Q = Q + 0,05 · Q = Q · (1 + 0,05) = 1,05· Q
• Diminuire una quantità Q del 5%:
Q  Q - 5%Q = Q - 0,05 · Q = Q · (1 - 0,05) = 0,95 · Q
• Soluzione di una sostanza in acqua al 5% =
in volume: ad es. in 1 litro di soluzione, 950 cm3 d’acqua e 50 cm3 di soluto
in peso:
ad es. in 1 kg di soluzione, 950 g d’acqua e 50 g di soluto
Superfici e volumi
Retta – [L]1
Piano – [L]2
L (m)
Spazio – [L]3
V (m3)
S (m2)
L’area della superficie di un corpo si misura sempre in m2, cm2,…
Il volume (o capacità) di un corpo si misura sempre in m3, cm3,…
c
S = a•b
V = a•b•c
b
r
a
S = p•r2
V = p•r2•l
r
S = p•r2
V = (4/3)•p•r3
In generale:
S = base•altezza
V = area base•altezza
l
Attenzione alle conversioni tra unità di misura!
1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2
1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3
1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2
1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3
1 l = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3
= (101 cm)3
= 10-3 m3
= 103 cm3
Angolo piano a
Unità di misura
s
a
R
angolo giro
angolo piatto
angolo retto
360°  2p rad
180°  p rad
90°  p/2 rad
gradi, minuti, secondi
1° = 60'
1' = 60"
es: 32° 27' 38"
lunghezza arco s
radianti =
R
Per convertire tra gradi e radianti si può utilizzare la semplice proporzione
x rad : y gradi = p : 180°
Esempio: convertire 60o in radianti
Triangolo rettangolo
Teorema di Pitagora
a
c
a2  b2  c2
b
Esempio:
b  a2  c2
Casi particolari
b
a
b
a2  2  b2
a  2 b
a
b
2
1
c a
2
30o
a
b
60o
c
b2  a 2  c2 
2
3
1 
 a2   a   a2
4
2 
3
b
a
2
Funzioni
Funzione = relazione univoca tra due grandezze variabili
y=f(x)
variabile dipendente
variabile indipendente
Esempi:
y=x
y=2x
Assi Cartesiani
variabile dipendente
La funzione che lega le due
grandezze X ed Y può essere
rappresentata graficamente
attraverso una curva in un
piano cartesiano
Y
Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la
variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x.
0
variabile indipendente
X
Attenzione:
Una relazione di dipendenza e’ una funzione se per ogni valore della
variabile indipendente x esiste uno e un solo valore della variabile
dipendente y
Esempio:
persona  data di nascita

SI
NO
persona  targa auto

NO
SI
x=n
x=n
SI
NO
 y = n2
 y = n
y
y
SI
x
? ?
NO
Una funzione e’ invertibile se a ogni valore della variabile
dipendente y corrisponde uno e un solo valore della variabile
indipendente x.
x
Le funzioni della Fisica
Retta
1o grado
Iperbole
 proporz.diretta
proporz.inversa 
y raddoppia
al raddoppiare di x
s = v•t
 = c•T
F = m•a
V = R•I
y si dimezza
PV=k 
P=k/V
f = c   = c/f
s
P
Retta
t
Iperbole
V
Parabola
2o grado
 proporz.dir.quadr.
y quadruplica
Fraz. quadr.
proporz.inv.quadr.
y si riduce a un quarto
al raddoppiare di x
al raddoppiare di x
s = ½ a t2
Fg = G•m1m2/r2
Ek = ½ m v2
s
Fe =
K•q1q2/r2
F
Parabola
t
proporz.inv.quadr
r
Funzioni dipendenti dal tempo
Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quotidiana)
Tempo = variabile indipendente
parametro del moto
• Moti:
• Oscillazioni:
• Decadimenti:
s=s(t), v=v(t), a=a(t)
s(t) = A sin(t)
n(t) = n0 e-t
Grandezze fisiche
Definizione operativa: Grandezza fisica  Proprietà misurabile
Es. Sensazione di caldo/freddo NO (soggettiva, diversa per ciascuno)
Temperatura
SI (oggettiva, uguale per tutti)
Misura di una grandezza:
• mediante un dispositivo sperimentale
• in confronto con un’altra grandezza omogenea di riferimento
costante e riproducibile
Espressione di una grandezza:
numero + unità di misura
rapporto tra misura e campione di riferimento
MAI dimenticare l’unità di misura!
Dire “un corpo è lungo 24” non ha senso.
Dire “la densità dell’acqua è 1” non ha senso.
…e dirlo all’esame…
Grandezze fondamentali
e derivate
Fondamentali
concetti intuitivi e indipendenti
l’uno dall’altro non definibili in
termini di altre grandezze
Lunghezza
Massa
Tempo
Intensità di corrente
Temperatura assoluta
[L]
[M]
[t]
[i]
[T]
Derivate
definibili in termini delle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche
Superficie
Volume
Velocità
Accelerazione
Forza
Pressione
In generale:
…………
(forza/superficie)
[L]2
[L]3
[L] [t]-1
[L] [t]-2
[L] [M] [t]-2
[L]-1 [M] [t]-2
…………
[L]a[M]b[t]c[i]d[T]e
(lunghezza)2
(lunghezza)3
(lunghezza/tempo)
(velocità/tempo)
(massa*acceleraz.)
Sistemi di
unità di misura
Stabilire un sistema di unità di misura = fissare le grandezze fondamentali
e il valore dei loro campioni unitari
Sistema
[L]
[M]
[t]
[i]
[T]
MKS / SI
m
kg
s
A
oK
cgs
cm
g
s
A
oC
Internazionale
Sistemi pratici
Lunghezza
Tempo
Volume
Velocità
Pressione
Energia
Calore
lunghezza massa
metro
centim.
chilogr.
grammo
tempo
intens.
corrente
secondo
secondo
vari esempi
angstrom, anno-luce
minuto, ora, giorno, anno
litro
chilometro/ora
atmosfera, millimetro di mercurio
elettronvolt, chilowattora
caloria
ampere
ampere
temper.
assoluta
gr.kelvin
gr.Celsius
Fattori di conversione:
MKS  cgs
1 m = 102 cm
1 kg = 103 g
cgs  MKS
1 cm = 10-2 m
1 g = 10-3 kg
MKS, cgs  pratici e viceversa
proporzioni con fattori numerici noti
Se si sbagliano
le unità di misura…
Multipli e sottomultipli
Per esprimere brevemente grandezze fisiche grandi o piccole:
numero a 1,2,3 cifre +
unità di misura con multiplo/sottomultiplo (di 3 in 3)
Es.
57800 g = 5.78 • 104 g = 5.78 • (101•103) g = 57.8 kg
57.8 kg = 57.8 •103 g = 5.78 • 104 g
0.0047 g = 4.7 • 10-3 g = 4.7 mg
0.00047 g = 4.7 • 10-4 g = 4.7 • (102 • 10-6) g = 470 mg
Per confrontare grandezze “infinitamente” grandi o piccole:
Ordine di grandezza =
potenza di 10 più vicina al numero considerato
Es. Idrogeno:
raggio atomo: 10-10 m, raggio nucleo 10-15 m
 10-10 m /10-15 m = 105
L’atomo di idrogeno è 100000 volte più grande del suo nucleo!
Esempio:
• Il referto di un esame del sangue di un fornisce i seguenti valori:
V.E.S.
7,2
mm/h
Glicemia
98
mg/dl
Si esprimano tali risultati nelle unità del Sistema Internazionale
 R. 2,0 10-6 m/s 

3
0,98
kg/m


• Una cellula sferica ha un diametro d = 20 mm. Quale è il volume
della cellula in cm3 ?
R.
V  4,19 109 cm3

Alcune grandezze fisiche
Alcune lunghezze
valore in m
- distanza della stella più vicina
- anno-luce
- distanza Terra-Sole
- distanza Terra-Luna
- raggio della Terra
- altezza del Monte Bianco
- altezza di un uomo
- spessore di un foglio di carta
- dimensioni di un globulo rosso
- dimensioni di un virus
- dimensioni di un atomo
- dimensioni di un nucleo atomico
3.9•1016 m
9.46•1015 m
1.49•1011 m = 149 Gm
3.8•108 m = 380 Mm
6.38•106 m = 6.38 Mm
4.8•103 m = 4.8 km
1.7•100 m = 1.7 m
10-4 m = 100 mm
10-5 m = 10 mm
10-8 m = 10 nm
10-10 m
10-15 m
(9 milioni di miliardi di km)
(150 milioni di km)
(400000 km)
(6000 km)
(5 km)
(1/10 di mm)
(1/100 di mm)
(100 angstrom)
(1 angstrom)
Alcune grandezze fisiche
Alcune masse
valore in kg
- massa del Sole
- massa della Terra
- massa di un uomo
- massa di un globulo rosso
- massa del protone
- massa dell’elettrone
1.98•1030 kg
5.98•1024 kg
7•102 kg
10-16 kg
1.67•10-27 kg
9.1•10-31 kg
Alcuni tempi
valore in s
- era cristiana
- anno solare
- giorno solare
- intervallo tra due battiti cardiaci
- periodo di vibraz. voce basso
- periodo di vibraz. voce soprano
- periodo di vib. onde radio FM 100 MHz
- periodo di vib. raggi X
6.3 • 1010 s
(2000 anni)
7
3.15 • 10 s
8.64 • 104 s
8 • 10-1 s
(8/10 di sec.)
-2
5 • 10 s
(2/100 di sec.)
-5
5 • 10 s
(50 milionesimi di sec.)
-8
10 s
(10 miliardesimi di sec.)
-18
10 s (1 miliardesimo di miliardesimo
di sec.)
Errori di misura
Ogni misura diretta o indiretta di una grandezza è
affetta da errore  stima di quanto il valore ottenuto
può discostarsi dal valore reale.
Esempio: l = 5,3  0,2
Per convenzione:
l = 5,3
equivale a
Attenzione :
Errore relativo o percentuale
Misura: a  a
Errore relativo: err = a/a
Errore percentuale: err% = a/a • 100
l = 5,3  0,1
5,3  5,30
lungh = (63 ± 0.5) cm
err = (0.5 cm)/(63 cm) = 0.0079
err% = err • 100 = 0.79 %
grandezze vettoriali
• si indicano con v (oppure con la lettera v in grassetto)
modulo (v o |v|)
• sono caratterizzate da 3 dati direzione
vettore
verso
direzione
verso
modulo

v
punto di
applicazione
Esempio di vettore: spostamento s
•modulo s = |s|= 2,7 m
•direzione : verticale
•verso : dall’alto verso il basso
altri vettori: velocità, accelerazione, ...
Le grandezze che non hanno natura vettoriale sono
chiamate grandezze scalari
Esempio: temperatura, pressione, densità,....
Vettori uguali
stesso modulo
stessa direzione
stesso verso
Vettori opposti
stesso modulo
stessa direzione
verso opposto
Nota:
•
due vettori possono essere uguali anche se il punto
di applicazione è differente;
•
il vettore opposto di v è il vettore (-v).
somma di due vettori
regola del parallelogramma
(metodo grafico)

a


a
s


+ b = s


b
s è anche chiamato
 
vettore risultante di a e b
Due vettori opposti hanno risultante nulla !!
scomposizione di un vettore
Un vettore può sempre essere scomposto in una somma di due
vettori detti componenti, uno parallela (//) ed uno perpendicolare ()
rispetto ad una qualsiasi direzione e verso stabiliti.
Per chi conosce la trigonometria:
v// = v cos a
v = v sen a
v//
a
v
... altrementi: usare (quando

possibile) le proprietà dei triangoli
v
differenza di due vettori
regola del parallelogramma (metodo grafico)



a – b = d

a

d

b

d

-b

a

b

d



b +d = a
moltiplicazione o divisione di un vettore
per uno scalare
Moltiplicare o dividere un vettore per uno scalare
equivale a moltiplicare o dividere il modulo del
vettore, lasciando invariata la direzione ed il verso.
Esempio:
v
2·v
½·v
prodotto scalare di due vettori

a


a b = a·b//

b//

f
b

f=0
b

a
 

a b = a · b// = a·b

f = 90°
b


f = 180°
 

a b = a · b// = 0
a
b

a
 

a b = a · b// = – a·b
caso unidimensionale
Se tutti i vettori nel problema considerato hanno la
stessa direzione, il problema si semplifica notevolmente
(problema unidimensionale)
somma e differenza
di vettori
somma algebrica dei
corrispondenti moduli
prodotto scalare di
due vettori
Prodotto algebrico dei
corrispondenti moduli
algebra ordinaria delle grandezze scalari
Simbologia Matematica
=
~
=
 oppure ~

> (<)
>> (<<)
 ()

|x|
x
-x
uguale a
approssimativamente uguale a
circa uguale, dell’ordine di grandezza di
diverso da
maggiore (minore) di
molto maggiore (minore) di
maggiore (minore) o uguale
direttamente proporzionale a
modulo (o valore assoluto) di x
variazione (aumento) di x (xdopo-xprima)
diminuzione (o differenza) di x (xprima-xdopo)