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Appunti, lezione 1 e 2 - reti due porte - elettronica e
elettrotecnica - a.a. 2015/2016
Elettrotecnica ed elettronica (Università degli Studi Roma Tre)
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cap XI -1
CAPITOLO I
RETI
DUE PORTE
1. Reti a più terminali
Una rete con n punti di accesso è genericamente rappresentata come in fig. 1:
1
2
3
4
5
Fig. 1 - Rappresentazione a parametri concentrati di una rete elettrica a 5 poli
Questa rappresentazione considera la rete come un n-polo che può avere scambi
energetici con strutture esterne soltanto attraverso i suoi poli e tutti i fenomeni
elettromagnetici prodotti sono confinati all'interno del rettangolo senza poter influenzare altre
strutture; si considera una rete come un n-polo quando il punto di vista che interessa è il
comportamento elettrico esterno alla rete. Esempi di n-poli sono le schede che formano
numerose apparecchiature elettroniche; ciascuna scheda è in genere costituita da un numero
elevato di connessioni tra bipoli e tra strutture a stato solido più complesse (chip) a più poli
non identificabili con reti costituite da bipoli.
Sono particolarmente interessanti alcune strutture che si presentano come blocchi a
quattro poli, dette quadripoli o meno comunemente quadrupoli. Un caso particolare, molto
diffuso in parecchi problemi tecnici, si ha quando è possibile associare i quattro poli in due
coppie tali che la somma delle correnti in ciascuna coppia è nulla; per esempio un caso del
genere si ha per un amplificatore audio collegato con una coppia di poli alla sorgente di
ingresso (microfono, lettore nastri o compact disk, etc) e con un’altra coppia all’utenza di
uscita (diffusori acustici, cuffia, etc). In questo caso ogni coppia di poli è detta porta e il
quadripolo è detto più specificamente doppio bipolo o rete due porte; la condizione per cui la
corrente entrante in un polo è eguale a quella uscente dall'altro è senz'altro verificata se le
porte sono connesse a reti reciprocamente isolate; infatti è sufficiente applicare il primo
principio di Kirchhoff (fig. 2) alle due reti per verificare che la somma delle correnti in ogni
porta è nulla.
cap XI - 1
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cap XI -2
i1
i2
rete due
rete 1
rete 2
porte
i1'
i2'
i1 − i1′ = 0
i 2 − i 2′ = 0
Fig. 2 – Rete due porte collegato a due strutture che non hanno collegamenti in comune
In queste condizioni di funzionamento ciascuna porta si comporta come un bipolo, in
quanto la corrente entrante in un polo è sempre eguale alla corrente uscente dall’altro. Un
blocco a quattro poli si comporta come una rete 2-porte soltanto in particolari circostanze; in
una situazione diversa da quella indicata in fig. 2, il comportamento come rete due porte del
blocco a quattro poli inserito in una rete come in fig. 3, non può essere garantito né escluso da
una semplice ispezione poiché è ancora possibile che la corrente entrante in una porta sia
eguale a quella uscente dall’altra.
A
+
e
Fig. 3 - Blocco a quattro poli inserito in rete
In questo caso si manifesta una situazione di incertezza che può essere risolta soltanto
conoscendo la particolare costituzione del blocco a quattro poli in esame; ad esempio se
nell’interno del blocco a quattro poli non esiste alcun collegamento fra le due porte, come è
indicato in fig. 4, allora il blocco a quattro poli si comporta necessariamente come una rete
due porte.
+
Fig. 4 - Doppio bipolo collegato a due strutture che hanno collegamenti in comune
Comunque è sempre possibile modificare la rete di fig. 3 in modo che il blocco a quattro
poli, di cui si ignora la struttura interna, si comporta certamente come rete due porte; è
sufficiente infatti inserire un trasformatore a rapporto unitario, come indicato in fig. 5, per
imporre l’eguaglianza delle correnti in ciascuna coppia di poli.
cap XI - 2
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cap XI -3
i2 1:1
i1
A
+
e
i1’
i2’
Fig. 5 - Blocco a quattro poli che si comporta necessariamente come rete 2-porte
In questo caso indicando con i1 la corrente entrante nel polo 1 e con notazione analoga
le correnti degli altri poli, in base al I principio di Kirchhoff applicato alla superficie chiusa
che contiene il blocco a quattro poli, dovrà essere:
i1 − i1′ + i2 − i2′ = 0
e poiché il trasformatore impone i2 = i2 ′ , ne consegue che anche per la porta 1 dovrà essere
i1 − i1′ = 0 , rispettando così la condizione che garantisce che il blocco a quattro porte si
comporta come una rete due porte.
L’avere inserito il trasformatore a rapporto unitario non comporta nessun effetto sulla
rete se il blocco A, per la sua particolare costituzione interna, si comportava già come rete due
porte, ma cambia le correnti in rete obbligando il blocco a comportarsi come rete due porte se,
per la sua costituzione interna, nella situazione precedente non si comportava come tale.
Il grafo associato ad una rete due porte (fig. 6) deve indicare in modo evidente la
condizione che la somma delle correnti entranti in ciascuna porta è nulla. Il grafo è indicato
in fig. 4 e si può orientare applicando a ciascuna porta la convenzione degli utilizzatori.
1
2
1 i1
v1
i2
v2
2'
1'
GRAFO
1'
2'
Fig. 6 – Rete due porte: grafo orientato e versi di orientamento delle tensioni e delle
correnti
Generalizzando si possono definire multibipoli quegli n-poli in cui è possibile associare
i poli in coppie, in ciascuna delle quali la somma delle correnti è nulla; è possibile così avere
tripli bipoli se i sei poli di accesso alla rete si possono accoppiare in tre coppie, individuando
così tre porte, come è per il trasformatore a tre avvolgimenti che è un esempio di un triplo
bipolo bilanciato.
cap XI - 3
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cap XI -4
2. Reti due porte resistive
Nelle reti lineari e resistive, le grandezze incognite (correnti o tensioni) sono una
combinazione lineare di tutte le eccitazioni della rete e pertanto hanno un’espressione
generale del tipo:
x k (t ) = ∑ Aki ecci (t )
Applicando questa relazione ad un bocco a quattro poli privo di eccitazioni nel suo interno e
considerando come eccitazioni esterne le due correnti entranti nei poli, i1 e i2, allora le
tensioni incognite delle due porte, v1 e v2, saranno date dalla combinazione lineare di queste
due eccitazioni.
⎧v1 = r11i1 + r12 i 2
⎨
⎩v 2 = r21i1 + r22 i 2
Ove i coefficienti di proporzionalità Aki, avendo le dimensioni di una resistenza, sono stati
indicati con r. Nel caso in cui il blocco a quattro poli si comporta come rete due porte, i
coefficienti rij dipendono esclusivamente dagli elementi all’interno del blocco, per cui
soltanto in questo caso, tali coefficienti possono considerarsi identificativi e caratteristici del
blocco a quattro poli.
Il sistema di equazioni delle tensioni di porta si può porre anche in forma matriciale:
⎡ v1 ⎤ ⎡ r11 r12 ⎤ ⎡i1 ⎤
⎢v ⎥ = ⎢ r r ⎥ ⋅ ⎢i ⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 2 ⎦
Più sinteticamente:
[ v ] = [R ] ⋅ [i]
Un doppio bipolo può essere anche costituito da una struttura a 3 poli, in cui un polo è
in comune con le due porte (fig. 7) e in tal caso il doppio bipolo è detto sbilanciato, in
contrapposizione al termine bilanciato che viene usato per definire le reti 2-porte costituite da
strutture a quattro poli.
i2 2
1 i1
v1
v2
1'
2'
Fig. 7 - Rete 2-porte sbilanciata
Nella pratica le reti due porte sbilanciate si riferiscono prevalentemente ad un
determinato dispositivo a tre terminali (transistor), mentre quelle bilanciate rappresentano
generalmente strutture più complesse costitite da numerose interconnessioni di bipoli e anche
di elementi a tre terminali. Il fatto sorprendente è che per le reti due porte sbilanciate i
coefficienti rij che determinano le relazioni tra tensioni e correnti in ciascuna porta, dipendono
cap XI - 4
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cap XI -5
esclusivamente dagli elementi all’interno del blocco senza alcuna restrizione, e cioè senza
dover fare nessuna considerazione sulle correnti di porta.
L’espressione matriciale
[ v ] = [R ] ⋅ [i]
è analoga alla legge di Ohm dei bipoli resistori e rappresenta la legge costitutiva del doppio
bipolo controllato (o pilotato) in corrente; questa forma è particolarmente conveniente
quando sono note le correnti impresse, come è nel caso in cui le eccitazioni sono costituite da
generatori di corrente o quando una porta è lasciata aperta, nella quale la corrente è nota
essendo i=0.
Mentre la legge costitutiva dei bipoli può avere solo due forme, una controllata in
corrente e l’altra controllata in tensione, quella dei doppi bipoli può avere sei forme poiché vi
sono due grandezze controllate da altre due, e si ottengono raggruppando a due a due le
grandezze v1, v2, i1, i2.
Nella tabella seguente sono indicate le sei forme possibili, poste sia in forma scalare
(sistema di equazioni) che vettoriale (forme matriciali), ove gli elementi del vettore sono posti
in modo che il primo elemento si riferisce alla porta 1; nel caso in cui si hanno grandezze non
distinguibili in base alle porte di accesso (matrici di trasmissione) si pone prima la tensione e
poi la corrente.
Sei rappresentazioni del doppio bipolo
Rappresentazione
controllata in corrente
controllata in tensione
ibrida
ibrida inversa
trasmissione diretta
trasmissione inversa
Forma scalare
⎧v1 = r11i1 + r12 i 2
⎨
⎩v 2 = r21i1 + r22 i 2
Forma vettoriale
[ v ] = [ R ] ⋅ [ i]
⎧i1 = g11v1 + g12 v 2
⎨
⎩i 2 = g 21v1 + g 22 v 2
i = G ⋅ v
⎧v1 = h11i1 + h12 v 2
⎨
⎩i2 = h21i1 + h22 v 2
⎡v1 ⎤
⎡ i1 ⎤
⎢i ⎥ = H ⋅ ⎢v ⎥
⎣ 2⎦
⎣ 2⎦
′ v1 + h12
′ i2
⎧i1 = h11
⎨
′ v1 + h22
′ i2
⎩v 2 = h21
⎡ i1 ⎤
⎡v1 ⎤
⎢v ⎥ = H ′ ⋅ ⎢i ⎥
⎣ 2⎦
⎣ 2⎦
⎧v2 = A ′ v1 + B ′ i1
⎨
⎩−i 2 = C ′v1 + D ′ i1
⎧⎪v1 = Av 2 + B ( −i 2 )
⎨
⎩⎪i1 = C v 2 + D ( −i 2 )
⎡ v2 ⎤
⎡v1 ⎤
⎢−i ⎥ = T ′ ⋅ ⎢ i ⎥
⎣ 2⎦
⎣ 1⎦
⎡v1 ⎤
⎡ v2 ⎤
⎢ i ⎥ = T ⋅ ⎢−i ⎥
⎣ 1⎦
⎣ 2⎦
[ ]
[ ]
[ ]
[]
cap XI - 5
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cap XI -6
Il segno meno assegnato alla corrente i2 nelle matrici di trasmissione si giustifica in
quanto in questa configurazione, per motivi di convenienza che saranno evidenti più oltre, i
coefficienti della matrice sono riferiti ad una corrente uscente dalla porta 2.
La rappresentazione delle reti due porte resistive, prive di eccitazioni interne, si può
estendere alle reti non resistive trasferendosi nel dominio della pulsazione ω, se ci si limita ad
un’analisi nel regime permanente sinusoidale, o nel dominio della pulsazione complessa s, per
un’analisi più generale; se la rete è priva di eccitazioni interne e quindi i condensatori e gli
induttori sono inizialmente scarichi, le grandezze incognite sono ancora una combinazione
lineare delle eccitazioni esterne e la rete due-porte si comporterà analogamente alle reti
resistive; in particolare nella rappresentazione controllata in corrente, i coefficienti rij della
matrice delle resistenze [R ] sono sostituiti da quattro funzioni di rete zij di una matrice delle
impedenze [ Z] , funzione di jω o di s a seconda della trasformazione effettuata, o, nella
rappresentazione controllata in tensione i coefficienti gij della matrice delle conduttanze
[ G] sono sostituiti da quattro funzioni di rete yij di una matrice delle ammettenze [ Y] e così
via.
3. Determinazione dei coefficienti delle reti due porte resistive
Per quanto riguarda le sei matrici definite in base alle tensioni e alle correnti,
considerando le reti resistive lineari, il significato dei coefficienti delle matrici è immediato se
si pone una delle eccitazioni uguale a zero e si alimenta il bipolo da una sola porta; così ad
esempio per la determinazione dei coefficienti della matrice R se si eccita soltanto la porta 1
con un generatore di corrente i1 e si lascia aperta l'altra porta (i2 = 0 ) , nella forma scalare si
ha:
⎧v1 = r11i1
⎨
⎩v 2 = r21i1
Da cui il significato dei coefficienti r11 e r21 a cui si possono dare le seguenti interpretazioni:
v
v
r11 = 1
e
r21 = 2
i1 i =0
i1 i =0
2
2
Per cui r11 è la resistenza di ingresso a circuito aperto alla porta 1, essendo il rapporto fra la
tensione e la corrente alla porta 1, quando la corrente della porta 2 è nulla; r21 è la resistenza
di trasferimento diretta a circuito aperto, ed è il rapporto fra la tensione alla porta 2 e la
corrente alla porta 1, quando la porta 2 è aperta.
Alimentando il bipolo soltanto dalla porta 2, lasciando aperta la porta 1 (i1 = 0) si
determinano gli altri due coefficienti:
⎧v1 = r12 i 2
e quindi:
⎨
⎩v 2 = r22 i 2
r12 =
v1
i 2 i =0
1
e r22 =
v2
i 2 i =0
1
da cui analogamente si hanno le definizioni di r12, resistenza di trasferimento inversa a
circuito aperto, e di r22, resistenza di ingresso a circuito aperto alla porta 2. La matrice R
cap XI - 6
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cap XI -7
sarà chiamata matrice di resistenza a circuito aperto e i quattro parametri r11, r12, r21, e r22
parametri di resistenza a circuito aperto.
In modo duale si possono definire i quattro parametri g11, g12, g21, e g22 , detti parametri
di conduttanza in corto circuito, della matrice di conduttanza G, detta matrice delle
conduttanze in corto circuito. Si può notare che mentre la matrice G è l’inversa della matrice
R nessuno dei coefficienti ghk è il reciproco dei coefficienti rhk.
Analogamente si possono determinare i coefficienti della matrice H a parametri ibridi in
base alle espressioni delle forme scalari, per cui si ha:
v
i
v
i
h11 = 1
h21 = 2
h12 = 1
h22 = 2
i1 v =0
i1 v = 0
v 2 i =0
v 2 i =0
2
2
1
1
Quindi h11, che ha le dimensioni di una resistenza, è la resistenza di ingresso in corto circuito
alla porta 1 ed è, per definizione, il reciproco del coefficiente g11; h21 è un numero puro ed è
noto come il rapporto di trasferimento di corrente diretto; anche h12 è un numero puro ed è
noto come il rapporto di trasferimento di tensione inverso, mentre h22 , detto conduttanza di
ingresso a circuito aperto, reciproco di r22, ha le dimensioni di una conduttanza. La matrice
H è detta infatti matrice ibrida (hybrid) proprio perché i suoi coefficienti non hanno
dimensioni omogenee. In modo analogo è possibile dare significato e definizione ai parametri
di tutte le altre matrici.
Poiché in generale in un sistema di equazioni è possibile scambiare i termini noti con le
incognite e rappresentare arbitrariamente due grandezze in funzione delle altre due, si può
dedurre che da una qualunque forma di rappresentazione è possibile ricavare tutte le altre; è
comunque bene porre in evidenza che in alcuni casi particolari, come si ha quando qualche
coefficiente ha valore nullo, non sono sempre possibili tutte le rappresentazioni. Nella tabella
seguente sono riportate le formule di passaggio da una rappresentazione all’altra per ottenere
rapidamente i coefficienti di una qualsiasi matrice.
cap XI - 7
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cap XI -8
Formule di passaggio da una rappresentazione all’altra per le reti 2-porte
( Δ A indica il determinante della matrice A )
R
G
g22
R
r11
r12
r21
r22
r22
G
ΔR
−
H
H’
T
4.
r21
−
ΔG
−
ΔG
−
g12
ΔR
ΔG
g11
ΔG
1
h
− 12
h11 h11
h21 Δ H
h11 h11
g 11 g 12
r11
r22 r22
r
1
− 21
r22 r22
r
1
− 12
r11
r11
r21 Δ R
r11
r11
g 21 g 22
ΔR
r21
r22
r21
1
h11
′
h21
′
h11
′
Δ H′
h22
′
h′
− 21
h22
′
h22
′
g
1
− 12
g 11 g 11
g 21 Δ G
g 11 g 11
h11 h12
h21 h22
Δ G g 12
g 22 g 22
g
1
− 21
g 22 g 22
g
1
− 22 −
g 21 g 21
Δ G g 11
−
−
g 21 g 21
H’
h12
h22
1
h22
h22
h
− 21
h22
r12
ΔR ΔR
Δ R r12
r11
r21
1
r21
g21
H
ΔH
h22
ΔH
−
−
h21
−
h21
h22
−
h21
−
h21
′
Δ H′
ΔH
h11
h11
h21
1
−
h21
h11
′
h12
′
h22
′
1
h22
′′
h′
− 12
Δ H′
h11
′
Δ H′
h11
′ h12
′
h21
′ h22
′
1
h21
′
h11
′
h21
′
A
C
1
C
Δ H′
h12
ΔH ΔH
ΔH
Δ H′
T
h′
− 12
h22
′
h′
− 22
h21
′
Δ H′
h21
′
D
B
1
−
B
B
D
1
D
C
A
1
A
ΔT
C
D
C
−
B
A
B
ΔT
D
C
D
−
A
ΔT
ΔT
A
B
A
B
C D
Teorema di reciprocità
Le reti elettriche costituite da interconnessioni di bipoli elementari possiedono una
particolare proprietà; nel caso in cui agisce una sola eccitazione (causa) e si consideri soltanto
una corrente (effetto), è possibile scambiare la posizione dell’effetto con quella della causa
(legge di reciprocità di Lorenz); ad esempio nella rete in fig. 8A si consideri soltanto la
corrente i ( i = 0,35 A ) prodotta dal generatore E ( E = 100 V ); spostando il generatore nel
lato ove è stata considerata la corrente (fig. 8B), e orientandolo secondo il verso della
corrente, si troverà che la stessa corrente i ( i = 0,35 A ), orientata secondo il verso del
generatore, percorrerà il lato ove era il generatore.
cap XI - 8
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cap XI -9
50
50
48
30
48
30
+
i1=0,35
E=100
i=0,35
60
E=100
60
+
40
100
40
100
B
A
Fig 8 - Rete elettrica a cui è stata scambiata la posizione dell’effetto con quella della
causa (i valori delle grandezze elettriche sono posti accanto ai simboli, senza le dimensioni)
Questa proprietà è un caso particolare del teorema di reciprocità e si può dimostrare
applicando il teorema di Tellegen; infatti, siano date due reti appartenenti allo stesso grafo,
con le stesse resistenze di lato ed eccitate da un solo generatore posto in due lati diversi; le
due reti possono essere rappresentate schematicamente come in fig. 9 ove due diversi
generatori di tensione sono posti nei due lati diversi indicati con h e k.
ih
ik′
Rh
eh
Rk
+
+
ek′
Fig 9 - Reti appartenenti allo stesso grafo, costituite dalle stesse resistenze ed eccitate
con due generatori di tensione diversi posti nei lati h e k
Si indichino con un apice tutte le grandezze elettriche della rete a destra in fig. 6 e si
applichi il teorema di Tellegen due volte: una prima volta considerando i prodotti delle
tensioni di ciascun lato della prima per le corrispondenti correnti della seconda, ed un’altra
volta considerando le correnti della prima e le tensioni della seconda; applicando la
convenzione degli utilizzatori per tutti i lati della rete, si ha:
∑ vi′ = 0
I applicazione
cioè:
i
cioè: ( − ek′ + Rk ik′ ) ⋅ ik + ∑ Ri ii′⋅ ii = 0
∑ v′i = 0
II applicazione
( − eh + Rhih ) ⋅ ih′ + ∑ Ri ii ⋅ ii′ = 0
i
Essendo entrambe le espressioni eguali a zero, sussiste l’eguaglianza:
( −eh + Rh ih ) ⋅ ih′ + ∑ Ri ii ⋅ ii′ = ( −e k′ + Rk i k′ ) ⋅ i k + ∑ Ri ii′ ⋅ ii
Si osserva che i termini
∑ R i ⋅ i′
i i
i
i
i
e
∑ R i′ ⋅ i
i i
i
i
non sono eguali in quanto nella prima somma
i
manca il termine h-esimo e nella seconda il k-esimo; sono invece eguali le espressioni:
cap XI - 9
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cap XI -10
Rh ih ⋅ ih′ + ∑ Ri ii ⋅ ii′
Rk ik′ ⋅ ik + ∑ Ri ii′ ⋅ ii
e
i
i
Si ha dunque:
eh ih′ = ek′ ik
Nel caso particolare in cui eh = ek′ si ha l’enunciato della legge di reciprocità di Lorenz.
Il teorema di reciprocità si può enunciare anche in modo più generale, considerando la rete
eccitata da più generatori; in tal caso si ottiene:
∑ ehih′ = ∑ ek′ ik
h
k
Il teorema di reciprocità, nella sua forma più generale, afferma quindi che le potenze
virtuali erogate da generatori che eccitano reti appartenenti allo stesso grafo e costituite
dagli stessi elementi passivi, sono identiche.
Tutte le reti costituite da bipoli, rispettando il teorema di reciprocità, sono reciproche;
qualora esistano reti non reciproche, queste dovranno contenere necessariamente strutture
elettriche diverse dai bipoli, come n-poli costituite da strutture a stato solido (chip).
La proprietà di reciprocità, se riferita ad elementi con n-poli ove è possibile individuare
tante porte di accesso, può esprimersi anche in un'altra forma. Si abbia una rete eccitata con k
generatori di tensione applicati a k porte, e si calcoli la potenza fornita dai generatori:
k
p G = ∑ ei i i
1
Si alimenti la stessa rete con un altro gruppo di k generatori che alimentano le stesse porte,
posti in luogo dei primi; analogamente questi erogheranno una potenza:
k
pG′ = ∑ ei′i i′
1
Si consideri ora la stessa rete eccitata da tutti i generatori contemporaneamente; poiché in
ogni porta è presente ora una fem data dalla somma di e e di e’, per il principio di
sovrapposizione degli effetti, le correnti nelle porte saranno la somma delle correnti e la
potenza quindi globalmente fornita alla rete da tutti i generatori sarà:
n
n
n
1
1
1
pG'' = ∑ (ei + ei′ )(i i + ii′ ) = pG + pG′ + ∑ ei ii′ + ∑ ei′i i
n
Un n-polo è reciproco se sono eguali le interazioni fra le due eccitazioni
∑ ei ii′ e
1
n
∑ ei′ii ,
1
cioè se sono eguali le potenze mutue. La proprietà di reciprocità ha grande importanza nella
descrizione degli n-poli, sia per il numero dei parametri che li definiscono sia per la
costruzione di modelli circuitali che li rappresentano.
5. Reciprocità e simmetria delle reti due porte
Le reti due porte non sono sempre reciproche, nel senso che non sono tutte costituite da
interconnessioni tra bipoli; in generale è molto utile sapere se la rete due porte possiede la
cap XI - 10
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cap XI -11
proprietà di reciprocità, in quanto in questo caso si riducono a tre i parametri delle matrici che
lo rappresentano.
Applicando infatti il teorema della reciprocità ai doppi bipoli è possibile dedurre delle
condizioni semplici cui devono soddisfare i coefficienti della matrice che li rappresenta dette
condizioni di reciprocità. Per la matrice R ad esempio, si consideri la stessa rete 2-porte
alimentata da due generatori di corrente; in un primo caso si applichi alla porta 1 il generatore
di corrente i1 e alla porta 2 il generatore di corrente di valore 0; in un secondo caso si applichi
alla porta 1 il generatore di corrente di valore 0 e alla porta 2 il generatore di corrente i 2′ .
i
i1
i2 = 0
i1′ = 0
v1′
v2
v1
i2′
v2′
i′2
Fig 10 - Alimentazione della stessa rete 2-porte soltanto da una porta, lasciando l’altra a
vuoto
Nel caso in cui il doppio bipolo sia reciproco vale il teorema della reciprocità, per cui
eguagliando le potenze virtuali erogate dai generatori, si ha:
v1′ i1 + v 2′ i 2 = v1i1′ + v 2 i 2′
Da cui, tenendo conto che i 2 = 0 e i1′ = 0 :
v1′ i1 = v 2 i 2′
Cioè:
v1′
i 2′
v
= 2
i1 =0 i1 i2 =0
Poiché per definizione si ha:
r12 =
v1′
i2′ i = 0
1
e r21 =
v2
i1 i = 0
2
dovrà essere: r12 = r21 . Questa è quindi la condizione di reciprocità che riduce a tre i
coefficienti indipendenti della matrice R. Applicando ancora il teorema di reciprocità in
diverse condizioni di carico è possibile dedurre le condizioni di reciprocità per i coefficienti
delle matrici di tutte le altre forme di rappresentazione; come altro esempio si calcola la
condizione di reciprocità per i coefficienti h. In base alla definizione dei parametri h12 e h21 si
ha:
v
i
h12 = 1
h21 = 2
v 2 i =0
i1 v = 0
1
2
Queste definizioni sono corrispondenti ad una rete 2-porte alimentate in un primo caso da un
generatore di corrente i1=0 e da un generatore di corrente i2; in un secondo caso da un
generatore di corrente i1′ e da un generatore di tensione v 2′ = 0 .
Applicando il teorema della reciprocità, eguagliando le potenze virtuali erogate dai
generatori, si ha:
cap XI - 11
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cap XI -12
v1i1′ + v 2 i 2′ = v1′ i1 + v 2′ i 2
Da cui, tenendo conto che i1 = 0 e v 2′ = 0 :
v1i1′ + v 2 i 2′ = 0
Cioè:
v1
i′
=− 2
v2
i1′
e quindi:
h12=-h21
Le condizioni di reciprocità per ogni rappresentazione sono riportate nella tabelle
seguente.
CONDIZIONI
Rappresentazione
[ R]
[G]
[ H]
[ H ′]
[T ]
DI
RECIPROCITÀ
Relazioni tra
i coefficienti
r21 = r12
g 21 = g 12
h21 = − h12
h21
′ = − h12′
ΔT = 1
Un’altra proprietà dei doppi bipoli è la simmetria; una rete due porte si dice simmetrica
se è possibile scambiare la prima porta con la seconda senza che vi siano conseguenze per i
bipoli collegati. Anche questa proprietà pone delle condizioni ai coefficienti delle matrici.
Poiché si dimostra che la proprietà di simmetria è possibile solo per le reti reciproche, le
condizioni di simmetria presuppongono quelle di reciprocità; queste ulteriori condizioni
riducono a due i coefficienti necessari a definire le matrici delle rappresentazioni delle reti
due porte. Nella tabella seguente sono riportate le condizioni di simmetria per ciascuna delle
rappresentazioni; al primo rigo si riconoscono le condizioni di reciprocità.
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CONDIZIONI
DI
SIMMETRIA
Rappresentazione
Relazioni tra i coefficienti
[ R]
r21 = r12
r11 = r22
[G]
g 21 = g 12
g 11 = g 22
[ H]
h21 = − h12
ΔH = 1
[ H ′]
h21
′ = − h12′
ΔH ′ = 1
[T ]
ΔT = 1
A= D
6. Doppi bipoli resistivi lineari di importanza fondamentale
Alcuni doppi bipoli ideali hanno grande importanza per la costruzione di modelli
circuitali di dispositivi molto complessi; tra questi sono fondamentali i generatori controllati,
il trasformatore ideale e il giratore. Ciascuno di essi non deriva da un comportamento
idealizzato di doppi bipoli reali, ma è definito soltanto in base a semplici leggi matematiche
ed è caratterizzato da relazioni di proporzionalità tra le quattro variabili di porta; pertanto, in
base alla definizione, essi rappresentano doppi bipoli resistivi lineari. Infine sarà definito
anche un doppio bipolo lineare non resistivo (induttore accoppiato) utile per la descrizione di
circuiti accoppiati magneticamente.
7. Generatori controllati
I generatori controllati forniscono tensioni o correnti che dipendono da una grandezza,
detta di controllo, costituita da una tensione o da una corrente; la grandezza di controllo
determina il valore della tensione o della corrente del generatore mediante un coefficiente di
proporzionalità detto parametro di controllo. Si possono così avere due generatori di tensione
a seconda che la grandezza di controllo è costituita da una tensione o da una corrente e
analogamente due generatori di corrente, uno controllato in tensione e l'altro controllato in
corrente. I generatori controllati sono dunque doppi bipoli in cui una porta fornisce la
tensione o la corrente del generatore e l’altra è eccitata dalla grandezza di controllo; se la
grandezza di controllo è una tensione e se non si vuole perturbare la rete eccitatrice, la porta
eccitata dalla grandezza di controllo dovrà avere una resistenza di ingresso infinita, e quindi
sarà internamente aperta; analogamente, se la grandezza di controllo è una corrente e se non si
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cap XI -14
vuole perturbare la rete eccitatrice, la porta eccitata dalla grandezza di controllo dovrà avere
una resistenza di ingresso nulla, e quindi sarà in corto circuito.
I simboli per i generatori controllati sono gli stessi dei generatori indipendenti;
comunque a volte, per richiamare l’attenzione sulla presenza di questi generatori, la
circonferenza è sostituita da un rombo come nella tabella seguente in cui sono riportati i
diversi generatori controllati e le relazioni scalari e vettoriali che li definiscono. Il parametro
di controllo può avere le dimensioni di una resistenza, di una conduttanza o può essere un
numero puro; il parametro di controllo a seconda dei casi è indicato con rm, μ, α o gm.
Nella tabella seguente le grandezze di controllo sono applicate nella porta a destra.
Generatori controllati
Modello circuitale
i1
Generatore di tensione
controllato in corrente
GTCC
i2
+
v1
v2=0
rmi 2
i2
v2=0
αi2
v1
v2
=
0 rm
0 0
i1
i2
i 2=0
gmv
⎧v1 = μ v 2
⎨
⎩i 2 = 0
⎧i1 = αi 2
⎨
⎩v 2 = 0
v1
i2
=
0 μ i1
0 0 v2
H
i1 0 α v 1
=
v2 0 0 i2
H′
i1
Generatore di corrente
controllato in tensione
GCCT
v2
μv2
i1
Generatore di corrente
controllato in corrente v 1
GCCC
v1
i 2 =0
+
v1
⎧v1 = rmi2
⎨
⎩v 2 = 0
Legge costitutiva
in forma vettoriale
R
i1
Generatore di tensione
controllato in tensione
GTCT
Legge
costitutiva in
forma scalare
2
v2
⎧i1 = g m v 2
⎨
⎩i2 = 0
i1 0 g m v 1
=
i2 0 0 v2
G
Dai coefficienti delle matrici si deduce che i generatori controllati sono doppi bipoli non
reciproci e pertanto non sono proponibili modelli circuitali alternativi costituiti
esclusivamente da interconnessioni di bipoli.
I generatori controllati inoltre, fornendo tensioni o correnti dipendenti da grandezze di
controllo che sono in un'altra parte della rete o anche in altri circuiti, permettono di
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cap XI -15
considerare anche la dipendenza delle grandezze elettriche di una rete da altre reti alle quali
non sono fisicamente connesse, ma elettricamente dipendenti.
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