TEORIE STRUTTURALI Il principio dei lavori virtuali (PLV) e’ indicato nelle applicazioni che coinvolgono le travi. Le relazioni numeriche sono molto semplici per travi ad asse rettilineo. Pur essendo a tutti gli effetti un continuo, la trave e’ una struttura, in cui la dimensione dell’asse e’ predominante sulle dimensioni della sezione trasversale. A causa di questa sua caratteristica e’ possibile introdurre una trattazione semplificata del suo comportamento meccanico. Le teorie semplificate che sfruttano le caratteristiche geometriche di una struttura vengono chiamate teorie strutturali. Le teorie strutturali possono essere sviluppate per travi, lastre, piastre e gusci. Oltre al vantaggio operativo, le teorie strutturali sono convenienti concettualmente perche’ sono di facile comprensione. La loro caratteristica e’ quella di sostituire le grandezze sforzo e deformazione del continuo con grandezze statiche e cinematiche generalizzate o globali (mediate su una porzione di volume o di superficie) che includono le dimensioni ridotte della struttura. Per le grandezze generalizzate e’ possibile definire le equazioni di statica, di cinematica e di legame costitutivo, in parallelo a con quanto fatto per il continuo. La corretta definzione delle variabili generalizzate si basa sul PLV, scritto in modo adeguato per la struttura in esame. In base al modello strutturale scelto, si introducono le forze esterne generalizzate ππππ , gli spostamenti generalizzati ππππ , gli sforzi interni generalizzati ππππ e le deformazioni generalizzate ππππ . Indicando con Δππ e Δππ le porzioni di volume e di superficie dove sono mediate le grandezze generalizzate, le espressioni del lavoro interno ed esterno si possono scrivere in termini di prodotti scalari tra vettori delle grandezze generalizzate: 1 2 βππ = οΏ½ ππππ π π ππ ππππ + οΏ½ π‘π‘ππ π π ππ ππππ = οΏ½ ππππ ππππ , π₯π₯π₯π₯ π₯π₯πππ‘π‘ ππ βππ = οΏ½ ππππππ ππππππ ππππ = οΏ½ ππππ ππππ , π₯π₯π₯π₯ ππ dove ππππ e π‘π‘ππ sono le forze di volume e le trazioni superficiali definite nella teoria del continuo. Il procedimento piu’ spontaneo per costruire un modello strutturale per le travi parte da ipotesi di natura geometrica. Per tipologie strutturali diverse dalle travi, l’uso di un procedimento basato su ipotesi geometriche puo’ essere meno intuitivo e puo’ introdurre difficolta’ nella scrittura delle equazioni di equilibrio. In questi casi si usa direttamente il PLV come condizione sufficiente per l’equilibrio. 1 TEORIE STRUTTURALI PER TRAVE AD ASSE RETTILINEO La trave e’ un solido che puo’ pensarsi generato da una sezione trasversale che trasla mantenendosi ortogonale alla traiettoria (asse geometrico) seguita dal suo baricentro. La lunghezza della linea d’asse e la sua curvatura devono essere grandi rispetto al diametro (massima dimensione trasversale) della sezione. Si lavora sempre nell’ambito di piccoli spostamenti e piccole deformazioni. La trave e’ detta piana se la sua linea d’asse e’ contenuta in un piano (ad esempio π₯π₯, π§π§, Figura 1) e i carichi applicati sono tali da definire un problema piano negli sforzi. Come caso particolare si considerano le travi ad asse rettilineo, e si assume l’asse π₯π₯ coincidente con l’asse della trave. In un problema piano nessuna variabile e’ funzione della coordinata π¦π¦. Figura 1: Geometria della trave, con indicazione della lunghezza e dell'area della sezione retta. Le grandezze cinematiche coinvolte nel problema piano, per comodita’ raccolte in vettori, sono le due componenti di spostamento nel piano e le tre componenti piane del tensore delle piccole deformazioni: π π (π₯π₯, π§π§) ππ(π₯π₯, π§π§) = οΏ½ π₯π₯ οΏ½, π π π§π§ (π₯π₯, π§π§) πππ₯π₯ (π₯π₯, π§π§) πΊπΊ(π₯π₯, π§π§) = οΏ½ πππ§π§ (π₯π₯, π§π§) οΏ½ . πΎπΎπ₯π₯π₯π₯ (π₯π₯, π§π§) Ovviamente devono valere le equazioni di congruenza che legano spostamenti e deformazioni. Le grandezze statiche significative sono le tre componenti del tensore di sforzo, anch’esse raccolte in un vettore: πππ₯π₯ (π₯π₯, π§π§) ππ(π₯π₯, π§π§) = οΏ½ πππ§π§ (π₯π₯, π§π§) οΏ½, πππ₯π₯π₯π₯ (π₯π₯, π§π§) e di equilibrio con le forze esterne applicate. Nel seguito si introducono alcune teorie strutturali della trave basate su assunzioni di tipo cinematico. 2 MODELLO CINEMATICO In un problema piano, la deformata della linea d’asse di una trave rimane nel piano π₯π₯, π§π§. Alla base del modello cinematico qui presentato c’e’ l’ipotesi che le sezioni si mantengano piane nel processo deformativo (ipotesi di Bernoulli). La traccia della sezione nel piano, segmento rettilineo ortogonale alla linea d’asse nella geometria indeformata, si mantiene rettilinea anche a deformazione avvenuta, anche se ruotata rispetto alla geometria indeformata. La posizione della sezione nella configurazione cdeformata e’ individuata da due componenti di spostamento π’π’(π₯π₯) e π€π€(π₯π₯) e da una rotazione ππ(π₯π₯) misurata rispetto alla direzione verticale originaria (Figura 2). Figura 2: Spostamenti generalizzati della trave conseguenti all'ipotesi di planarita' delle sezioni a deformazione avvenuta. Indicazione delle componenti si spostamento di un generico punto di coordinate (x,z). Lo spostamento di un generico punto di coordinate (π₯π₯, π§π§) non appartenente all’asse e’ definito da: π π π₯π₯ (π₯π₯, π§π§) = π’π’(π₯π₯) + π§π§ π π π π π π ππ(π₯π₯) ≅ π’π’(π₯π₯) + π§π§ ππ(π₯π₯), π π π§π§ (π₯π₯, π§π§) = π€π€(π₯π₯) − π§π§ +π§π§ ππππππ ππ(π₯π₯) ≅ π€π€(π₯π₯). dove si usano approssimazioni consentite dalla piccolezza degli spostamenti (sin ππ ≅ ππ e cos ππ ≅ 1). In forma matriciale si puo’ scrivere: ππ(π₯π₯, π§π§) = π΅π΅(π§π§)πΌπΌ(π₯π₯), 1 0 π§π§ οΏ½, π΅π΅(π§π§) = οΏ½ 0 1 0 π’π’(π₯π₯) πΌπΌ(π₯π₯) = οΏ½π€π€(π₯π₯)οΏ½ . ππ(π₯π₯) Queste equazioni definiscono il modello di spostamento per la sezione di trave, governato dal vettore πΌπΌ(π₯π₯) (vettore degli spostamenti generalizzati), che dipende solo dalla coordinata π₯π₯,attraverso la matrice π΅π΅(π§π§) (corrisponde alla matrice delle funzioni di forma nei metodi di approssimazione), che dipende solo dalla coordinata π§π§. Dalle equazioni di congruenza esterna si ricavano le deformazioni πππ₯π₯ = ππππ πππ π π₯π₯ ππππ = + π§π§ = ππ(π₯π₯) + π§π§π§π§(π₯π₯), ππππ ππππ ππππ πππ§π§ = 0, 3 πΎπΎπ§π§π§π§ = ππππ πππ π π₯π₯ πππ π π§π§ + = ππ + = π‘π‘(π₯π₯). ππππ ππππ ππππ che possono essere espresse in funzione delle deformazioni generalizzate: deformazione assiale ππ(π₯π₯), curvatura flessionale ππ(π₯π₯) e deformazione a taglio π‘π‘(π₯π₯). Il significato delle deformazioni generalizzate e’ illustrato con l’aiuto di Figura 3. Figura 3: Significato geometrico delle deformazioni generalizzate, conseguenti all'ipotesi di planarita' delle sezioni. Deformazione assiale, deformazione flessionale e deformazione tagliante. La deformazione assiale ππ(π₯π₯) misura l’allungamento percentuale della linea d’asse della trave nella direzione della linea d’asse stessa. La curvatura flessionale ππ(π₯π₯) misura l’inverso del raggio di curvatura indotto da una rotazione relativa ππππ tra le due facce di una porzione di trave di lunghezza ππππ: 1 ππππ = ππ = . ππ ππππ L’abbassamento relativo ππππ tra le due facce del concio include due contributi: (i) l’innalzamento della faccia di destra rispetto a quella di sinistra dovuta a una rotazione antioraria dell’asse della trave, ππ(π₯π₯), e (ii) la deformazione al taglio π‘π‘(π₯π₯) che misura lo spostamento relativo in direzione trasversale tra due facce poste a distanza unitaria: ππππ = π‘π‘(π₯π₯)ππππ − ππ(π₯π₯)ππππ. Da qui si ricava la deformazione a taglio: π‘π‘(π₯π₯) = ππ(π₯π₯) + ππππ . ππππ Escludendo la deformazione πππ§π§ che e’ nulla, si puo’ introdurre una forma matriciale anche per le deformazioni, raccogliendo le deformazioni generalizzate nel vettore ππ(π₯π₯) ed introducendo la matrice π©π©(π§π§) (matrice spostamenti-deformazioni o matrice di congruenza): πΊπΊ(π₯π₯, π§π§) = π©π©(π§π§)ππ(π₯π₯), 1 π§π§ 0 οΏ½, π©π©(π§π§) = οΏ½ 0 0 1 ππ(π₯π₯) ππ(π₯π₯) = οΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½. π‘π‘(π₯π₯) 4 La cinematica e’ completata dalle condizioni di congruenza al contorno, che si traducono nelle imposizoni dei vincoli (spostamenti e rotazioni) alle estremita’ π₯π₯ = 0 e π₯π₯ = πΏπΏ, rispettivamente: π’π’ = π’π’0 , π€π€ = π€π€0 , ππ = ππ0 , π’π’ = π’π’πΏπΏ , π€π€ = π€π€πΏπΏ , ππ = πππΏπΏ VARIABILI STATICHE GENERALIZZATE Figura 4: Definizione delle forze generalizzate (per unita' di lunghezza) a partire dalle forze di volume dei continui. Le variabili statiche generalizzate sono definite da una condizione di equivalenza in termini di lavori virtuali, riferendosi a un concio di trave di lunghezza ππππ. Il volume del concio e’ ππππ = π΄π΄ ππππ, dove π΄π΄ e’ l’area della sezione, Figura 4. Su di esso agiscono le forze di volume: ππ = οΏ½ πππ₯π₯ οΏ½. πππ§π§ Il lavoro esterno (si veda Eq. 1) per il concio e’ dato da: ππβππ = οΏ½ ππππ π π ππ ππππππππ = οΏ½ (πππ₯π₯ π π π₯π₯ + πππ§π§ π π π§π§ )ππππ ππππ, π΄π΄ π΄π΄ che, per unita’ di lunghezza di trave (lavoro esterno specifico), si scrive: ππβππ = οΏ½ (πππ₯π₯ π π π₯π₯ + πππ§π§ π π π§π§ )ππππ = οΏ½ [πππ₯π₯ π’π’(π₯π₯) + π§π§πππ₯π₯ ππ(π₯π₯) + πππ§π§ π€π€(π₯π₯)]ππππ, ππππ π΄π΄ π΄π΄ ππβππ = οΏ½οΏ½ πππ₯π₯ πππποΏ½ π’π’(π₯π₯) + οΏ½οΏ½ πππ§π§ πππποΏ½ π€π€(π₯π₯) + οΏ½οΏ½ π§π§π§π§π₯π₯ πππποΏ½ ππ(π₯π₯). ππππ π΄π΄ π΄π΄ π΄π΄ Per esprimere in forma matriciale il lavoro esterno specifico si riutilizza la matrice delle funzioni di forma π΅π΅(π§π§), in modo da ottenere un’espressione compatta: ππβππ = οΏ½οΏ½ π΅π΅ππ (π§π§)ππ(π₯π₯, π§π§)πππποΏ½ β πΌπΌ(π₯π₯) = π·π·(π₯π₯) β πΌπΌ(π₯π₯). ππππ π΄π΄ 5 Il vettore π·π·(π₯π₯) rappresenta le forze esterne generalizzate, ossia integrate sulla sezione della trave. Esso corrisponde ai carichi per unita’ di lunghezza (carico assiale, carico trasversale e momento distribuito) che appaiono nelle equazioni di equilibrio indefinite per le travi ad asse rettilineo: β§ οΏ½ πππ₯π₯ ππππ β« βͺ π΄π΄ βͺ βͺ βͺ ππ(π₯π₯) π·π·(π₯π₯) = οΏ½ ππ(π₯π₯) οΏ½ = οΏ½ πππ§π§ ππππ . β¨ π΄π΄ β¬ ππ(π₯π₯) βͺ βͺ βͺοΏ½ π§π§π§π§ ππππβͺ π₯π₯ β© π΄π΄ β Gli sforzi interni generalizzati vengono definiti in modo analogo, partendo dal’ Eq. 2 scritta per il concio di trave, Figura 5: Figura 5: Definzione degli sforzi generalizzati a partire dagli sforzi dei continui. Dato che le deformazioni πππ§π§ non sono previste dal modello di trave, nel lavoro interno saranno presenti solo due termini: ππβππ = οΏ½ ππππππ ππππππ ππππππππ = οΏ½ (πππ₯π₯ πππ₯π₯ + πππ₯π₯π₯π₯ πΎπΎπ₯π₯π₯π₯ )ππππ ππππ. π΄π΄ π΄π΄ Il lavoro interno specifico (per unita’ di lunghezza di trave) si scrive: ππβππ = οΏ½ ππππππ ππππππ ππππ = οΏ½ (πππ₯π₯ πππ₯π₯ + πππ₯π₯π₯π₯ πΎπΎπ₯π₯π₯π₯ )ππππ = οΏ½ [πππ₯π₯ ππ(π₯π₯) + π§π§πππ₯π₯ ππ(π₯π₯) + πππ₯π₯π₯π₯ π‘π‘(π₯π₯)]ππππ , ππππ π΄π΄ π΄π΄ π΄π΄ ππβππ = οΏ½οΏ½ πππ₯π₯ ππππ οΏ½ ππ(π₯π₯) + οΏ½οΏ½ π§π§πππ₯π₯ πππποΏ½ ππ(π₯π₯) + οΏ½οΏ½ πππ₯π₯π₯π₯ ππππ οΏ½ π‘π‘(π₯π₯). ππππ π΄π΄ π΄π΄ π΄π΄ Per esprimere in forma matriciale il lavoro interno specifico si riutilizza la matrice spostamentideformazioni π©π©(π§π§) e il vettore degli sforzi ππ(π₯π₯, π§π§), Eq. 3, in cui si tralascia la componente πππ§π§ perche’ la sua presenza non e’ prevista nel modello cinematico adottato: 6 ππβππ = οΏ½οΏ½ ππππ (π§π§)ππ(π₯π₯, π§π§)πππποΏ½ ⋅ ππ(π₯π₯) = πΈπΈ(π₯π₯) ⋅ ππ(π₯π₯). ππππ π΄π΄ Il vettore πΈπΈ(π₯π₯) rappresenta le forze interne generalizzate, ossia integrate sulla sezione. Esso corrisponde alle azioni interne (azione assiale, azione tagliante e momento flettente) introdotte nella statica delle travi rigide: 3 β§ οΏ½ πππ₯π₯ ππππ β« βͺ π΄π΄ βͺ βͺ βͺ ππ(π₯π₯) πΈπΈ(π₯π₯) = οΏ½ππ(π₯π₯)οΏ½ = οΏ½ π§π§πππ₯π₯ ππππ . β¨ π΄π΄ β¬ ππ(π₯π₯) βͺ βͺ βͺ οΏ½ ππ ππππ βͺ π₯π₯π₯π₯ β© π΄π΄ β Si afferma che le azioni esterne ed interne generalizzate sono coniugate (nel senso di lavoro virtuale) alle variabili cinematiche generalizzate che definiscono il modello di trave. L’EQUILIBRIO ESPRESSO ATTRAVERSO IL PLV Le equazioni di equilibrio per il modello di trave si ricavano utilizzando il PLV come condizione sufficiente di equilibrio: βππ = βππ . Il lavoro virtuale viene scritto utilizzando una cinematica virtuale (cinematica congruente internamente e rispettosa dei vincoli sulle estremita’ della trave, Figura 6, anche se non necessariamente quella reale) definita sull’intera trave: Figura 6: Cinematica virtuale (conguente e rispettosa dei vincoli, ma non necessariamente reale) per una trave. 7 e una statica equilibrata definita sull’intera trave (non necessariamente quella reale), le cui forze esterne sono riportate in Figura 7: Figura 7: Statica costituita da forze esterne generalizzate (per unita' di lunghezza di trave) e forze di estremita'. Gli sforzi interni generalizzati in equlibrio con le forze esterne rispettano il PLV. Le due espressioni sono: πΏπΏ πΏπΏ πΏπΏ πΏπΏ βππ = οΏ½ ππβππ = οΏ½ πΈπΈ(π₯π₯) ⋅ ππ(π₯π₯) ππππ = οΏ½ (ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)π‘π‘(π₯π₯)) ππππ, 0 πΏπΏ 0 0 πΏπΏ βππ = οΏ½ ππβππ = οΏ½ π·π·(π₯π₯) ⋅ πΌπΌ(π₯π₯) ππππ + π·π·ππ (π₯π₯) ⋅ πΌπΌππ (π₯π₯) = οΏ½ οΏ½ππ(π₯π₯)π’π’(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)π€π€(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯)οΏ½ ππππ + 0 0 0 π»π»0 π’π’0 + ππ0 π€π€0 + ππ0 ππ0 +π»π»πΏπΏ π’π’πΏπΏ + πππΏπΏ π€π€πΏπΏ + πππΏπΏ πππΏπΏ Gli ultimi addendi del lavoro esterno considerano il lavoro compiuto dai carichi esterni conccentrati applicati all’estremita’ della trave. In ogni estremo sono presenti vincoli o carichi (possibilmente nulli). I vincoli possono impedire spostamenti o rotazioni. Se i vincoli sono fissi, il corrispondente lavoro e’ nullo. Se il vincolo ha uno spostamento assegnato, il lavoro e’ dato da tale spostamento per la reazione vincolare corrispondente. Se su un estremo sono presenti carichi, essi compiono lavoro per lo spostamento libero del loro punto di applicazione. Per dimostrare che il PLV e’ equivalente a una condizione di equilibrio, occorre manipolare l’espressione del lavoro interno introducendo il legame tra deformazioni generalizzate e spostamenti generalizzati ed integrando per parti: πΏπΏ πΏπΏ πΏπΏ ππππ ππππ ππππ + ππ + ππ + πππποΏ½ ππππ, ππππ ππππ ππππ 0 0 0 πΏπΏ ππππ ππππ ππππ βππ = [ππππ]πΏπΏ0 + [ππππ]πΏπΏ0 + [ππππ]πΏπΏ0 − οΏ½ οΏ½ π’π’ + ππ + π€π€ − πππποΏ½ ππππ. ππππ ππππ ππππ 0 βππ = οΏ½ ππβππ = οΏ½ [ππππ + ππππ + ππππ]ππππ = οΏ½ οΏ½ππ Imponendo l’uguaglianza tra lavoro esterno e lavoro interno si ottiene: 8 πΏπΏ οΏ½ (ππππ + π€π€ + ππππ) ππππ + π»π»0 π’π’0 + ππ0 π€π€0 + ππ0 ππ0 +π»π»πΏπΏ π’π’πΏπΏ + πππΏπΏ π€π€πΏπΏ + πππΏπΏ πππΏπΏ 0 πΏπΏ οΏ½ οΏ½ 0 = πππΏπΏ π’π’πΏπΏ − ππ0 π’π’0 + πππΏπΏ πππΏπΏ − ππππ0 +πππΏπΏ π€π€πΏπΏ − ππ0 π€π€0 πΏπΏ ππππ ππππ ππππ −οΏ½ οΏ½ π’π’ + ππ + π€π€ − πππποΏ½ ππππ , ππππ ππππ ππππ 0 πΏπΏ πΏπΏ ππππ ππππ ππππ + πποΏ½ π’π’ ππππ + οΏ½ οΏ½ + πποΏ½ π€π€ ππππ + οΏ½ οΏ½ + ππ − πποΏ½ ππ ππππ + (π»π»0 + ππ0 )π’π’0 + (ππ0 + ππ0 )π€π€0 ππππ ππππ 0 ππππ 0 + (ππ0 + ππ0 )ππ0 + (π»π»πΏπΏ − πππΏπΏ )π’π’πΏπΏ + (πππΏπΏ − πππΏπΏ )π€π€πΏπΏ + (πππΏπΏ − πππΏπΏ )πππΏπΏ = 0. La precedente relazione deve valere per ogni cinematica virtuale e per qualsiasi valore del campo di spostamenti virtuale. Quindi si richiede che siano soddisfatte le tre equazioni differenziali: 4 ππππ + ππ(π₯π₯) = 0, ππππ ππππ + ππ(π₯π₯) = 0, ππππ ππππ + ππ(π₯π₯) − ππ = 0. ππππ gia’ incontrate nella statica delle travi rigide, e le sei condizioni al contorno: ππ0 = −π»π»0 se π’π’0 ≠ 0, ππL = π»π»πΏπΏ se π’π’πΏπΏ ≠ 0, ππ0 = −ππ0 se π€π€0 ≠ 0, ππL = ππL se π€π€πΏπΏ ≠ 0, ππ0 = −ππ0 se ππ0 ≠ 0, ππL = ππL se πππΏπΏ ≠ 0. Le equazioni 4 sono le equazioni indefinite di equilibrio ricavate per travi ad asse rettilineo. Il PLV permette di ricavare le equazioni di equilibrio anche per problemi in cui queste equazioni non possono essere ricavate in modo intuitivo come fatto per le travi. Dato che il PLV coinvolge una statica equilibrata ed una cinematica congruente, ha validita’ indipendentemente dall’esistenza di un rapporto causa-effetto tra la statica e la cinematica, ovvero indipendentemente dalla natura del materiale di cui e’ costituito il corpo (la trave) in esame. Tuttavia nelle applicazioni reali non e’ possibile prescindere dall’effettivo comportamento del materiale, su cui occorre fare un’ipotesi. IL LEGAME SFORZI-DEFORMAZIONI ELASTICO LINEARE Limitando l’attenzione a materiali elastici lineari, il legame costitutivo sforzi-deformazioni (legge di Hooke) si scrive: 5 ππππππ = πΆπΆππππβππ ππβππ , ππ = ππππ Nel caso delle travi, il legame si puo’ tradurre in termini di sforzi e deformazioni generalizzate. Il modo di procedere piu’ spontaneo consiste nell’introdurre la legge di Hooke (5) nella espressione degli sforzi (3): 9 πΈπΈ = οΏ½ ππππ ππππππ = οΏ½ ππππ ππππππππ = οΏ½ ππππ ππππππππ ππ = π«π«π«π« π΄π΄ π΄π΄ π΄π΄ dove si e’ introdotta la matrice di rigidita’ elastica π«π« della trave: 6 π«π« = οΏ½ ππππ ππππππππ π΄π΄ Seguendo questa strada per uno stato di sforzo piano, condizione tipica delle travi, occorrerebbe a rigore considerare la matrice ππ del legame costitutivo piano dove si trascurano le componenti nulle del tensore di sforzo: πΈπΈ πππ₯π₯ οΏ½ππ οΏ½ = οΏ½1 − ππ 2 π₯π₯π₯π₯ 0 0 οΏ½ οΏ½ πππ₯π₯ οΏ½ πΎπΎπ₯π₯π₯π₯ πΊπΊ Usando la (6) e la matrice di congruenza π π si arriva alla seguente espressione: 7 πΈπΈπΈπΈ β‘ 2 β’1 − ππ π«π« = β’ β’ 0 β£ 0 0 πΈπΈπΈπΈ 1 − ππ 2 0 0β€ β₯ 0 β₯β₯ πΊπΊπΊπΊβ¦ dove πΌπΌ e’ il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse π¦π¦. L’uso diretto della espressione (7) e’ pero’ inappropriato perche’ le rigidezze della sezione vengono sopravvalutate. Si utilizza pertanto una espressione modificata della π«π« che si ricava direttamente dalla soluzione dei casi di De Saint Venant: 8 πΈπΈπΈπΈ π«π« = οΏ½ 0 0 0 πΈπΈπΈπΈ 0 0 0 οΏ½ πΊπΊπ΄π΄∗ dove π΄π΄∗ e’ l’area di taglio, una misura ridotta dell’area della sezione che tiene conto dell’ingobbamento indotto dagli sforzi tangenziali. L’espressione classica del legame costitutivo per le travi elastiche espresso in termini di grandezze generalizzate e’ il seguente: 9 ππ = πΈπΈπΈπΈπΈπΈ, ππ = πΈπΈπΈπΈπΈπΈ, ππ = πΊπΊπ΄π΄∗ π‘π‘ Per ragioni di completezza, e’ conveniente scrivere anche l’energia di deformazione specifica della trave, utilizzando le espressioni matriciali degli sforzi e delle deformazioni in funzione delle deformazioni generalizzate: 10 Ω = οΏ½ ππππππ = π΄π΄ 1 1 1 οΏ½ πΊπΊπΊπΊπΊπΊππππ = ππππ οΏ½ ππππ ππππππππ ππ = ππππ π«π«π«π«. 2 π΄π΄ 2 2 π΄π΄ Sviluppando il prodotto si ottiene l’espressione scalare dell’energia specifica della trave: Ω= 1 1 1 πΈπΈπΈπΈππ2 + πΈπΈπΈπΈππ 2 + πΊπΊπ΄π΄∗ π‘π‘ 2 2 2 2 LE DEFORMAZIONI ANELASTICHE (DISTORSIONI TERMICHE) Le deformazioni elastiche (reversibili) sono legate agli sforzi dal legame costitutivo. La cinematica di una trave puo’ includere anche deformazioni anelastiche che non entrano nel legame costitutivo, ma che vanno sommate alle deformazioni elastiche per rispettare la congruenza. Le piu’ comuni deformazioni anelastiche sono le deformazioni termiche, che, nell’ipotesi di piccoli spostamenti e di trave snella, possono essere distinte in assiali e flessionali. Infatti nelle travi snelle si possono trascurare gli effetti di dilatazione termica nel piano della sezione. Figura 8: Deformazioni termiche assiali e flessionali, indotte da una distribuzione di temperature costanti e variabili linearmente con valore nullo nel baricentro della sezione. Come visualizzato in Figura 8, se le deformazioni termiche sono originate da un campo di temperature uniforme sulla sezione, esse inducono una deformazione puramente assiale. Se la distribuzione di temperatura varia linearmente nella sezione ed e’ nulla nel baricentro, essa induce una deformazione puramente flessionale. Detto πΌπΌ il coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale, la deformazione termica assiale e’ esprimibile come: πππ’π’ ππ = πΌπΌΔπππΊπΊ ππππ = ππ ππ ππππ, ππ ππ = πππ’π’ ππ = πΌπΌΔπππΊπΊ . ππππ οΏ½πΌπΌΔππsup ππππ − πΌπΌΔππinf πππποΏ½ = ππππ ππππ, β ππππ = 1 ππππ ππ πΌπΌοΏ½Δππinf − Δππsup οΏ½ . = = β ππππ ππππ Detta h l’altezza della sezione su cui si sviluppa il gradiente termico, la deformazione termica flessionale (curvatura flessionale) si valuta come: ππππ ππ = − 11 Se la distribuzione di temperatura e’ variabile linearmente ma non e’ nulla nel baricentro saranno presenti entrambi gli effetti. Le deformazioni anelastiche si sommano alle deformazioni elastiche nella definizione delle deformazioni totali nell’ipotesi di piccoli spostamenti e piccole deformazioni: 10 ππ = ππππ + ππ ππ , ππ = ππππ + ππππ , che devono soddisfare la congruenza. Si ricorda che solo la parte elastica della deformazione entra nel legame sforzo-deformazione ed e’ legata alla presenza di sforzi generalizzati. In presenza di distorsioni termiche, le equazioni della linea elastica assumono la forma: ππ = πΈπΈπΈπΈ(ππ − ππ ππ ), πΈπΈπΈπΈπΈπΈ(π₯π₯) = ππ(π₯π₯) + πΈπΈπΈπΈππ ππ , ππ = πΈπΈπΈπΈ(ππ − ππππ ), πΈπΈπΈπΈπΈπΈ(π₯π₯) = ππ(π₯π₯) + πΈπΈπΈπΈππππ . dove la componente di deformazione termica e’ generalmente nota. 12 LINEA ELASTICA - MODELLO DI TRAVE DI TIMOSHENKO Un metodo di soluzione che si basa sulla teoria strutturale precedentemente descritta e’ noto come metodo della linea elastica o della deformata elastica. Esso si basa sulle equazioni di equilibrio (4) e del legame elastico (9), che vengono scritte nella seguente forma: ππ = πΈπΈπΈπΈπΈπΈ′, ππ ′ + ππ = 0, ππ = πΈπΈπΈπΈπΈπΈ′, ππ ′ + ππ = 0, ππ = πΊπΊπ΄π΄∗ (ππ + π€π€′), ππ′ + ππ − ππ = 0, e combinate in modo da formare un sistema di equazioni differenziali ordinarie, dette equazioni della linea elastica di Timoshenko: (πΈπΈπΈπΈπ’π’′ )′ + ππ = 0 ′ 11 οΏ½πΊπΊπ΄π΄∗ (ππ + π€π€ ′ )οΏ½ + ππ = 0 (πΈπΈπΈπΈππ ′ )′ + ππ − πΊπΊπ΄π΄∗ (ππ + π€π€ ′ ) = 0 con c. c. su π’π’ con c. c. su π€π€ con c. c. su ππ oppure su πΈπΈπΈπΈπ’π’′ = ππ oppure su πΊπΊπ΄π΄∗ (ππ + π€π€ ′ ) = ππ oppure su πΈπΈπΈπΈππ′ = ππ Le condizioni al contorno che occorre applicare per integrare le equazioni differenziali possono coinvolgere una componente cinematica (spostamento o rotazione) oppure una componente statica (azione interna, che a sua volta coinvolge le deformazioni della trave attraverso il legame costitutivo). Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, le equazioni della linea elastica tengono conto dell’equilibrio e del legame costitutivo. Le soluzioni delle tre equazioni sono le sono funzioni π’π’, π€π€ e ππ che descrivono la cinematica della trave. La deformata assiale π’π’ e’ disaccoppiata dalla deformata flessionale ππ e trasversale π€π€, le quali sono invece intrinsecamente accoppiate. Questo e’ un risultato generale: nelle travi ad asse rettilineo e nell’ipotesi di piccoli spostamenti, il problema assiale e quello flessionale sono disaccoppiati e possono essere risolti in modo indipendente. Esempio 1. Linea elastica assiale Si consideri la seguente colonna compressa, caratterizzata da una rigidita’ assiale πΈπΈπΈπΈ costante, soggetta a un carico distribuito variabile linearmente. Equazione differenziale: (πΈπΈπΈπΈπ’π’ ′ )′ + ππ = 0 Con condizioni al contorno: πΈπΈπΈπΈπ’π’′ (0) = −πΉπΉ π’π’(ππ) = 0 13 Esplicitando l’espressione del carico assiale si ottiene: (πΈπΈπΈπΈπ’π’′ )′ = −3 Integrando due volte: πΈπΈπΈπΈπ’π’′ = − πΈπΈπΈπΈπΈπΈ = − πΉπΉ πΉπΉ π₯π₯ − 2 ππ ππ 3 πΉπΉ 2 πΉπΉ π₯π₯ − π₯π₯ + πΆπΆ1 = ππ(π₯π₯) 2 ππ 2 ππ 1 πΉπΉ 3 1 πΉπΉ 2 π₯π₯ − π₯π₯ + πΆπΆ1 π₯π₯ + πΆπΆ2 2 ππ 2 2 ππ Imponendo le condizioni al contorno si trovano le due costanti πΆπΆ1 e πΆπΆ2 : ππ(0) = πΆπΆ1 = −πΉπΉ 1 1 πΈπΈπΈπΈπΈπΈ(ππ) = − πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉππ + πΆπΆ2 = 0, 2 2 La soluzione e’ fornita in termini di spostamenti in direzione assiale: e di azione assiale: π’π’ = πΆπΆ2 = 2πΉπΉπΉπΉ 1 πΉπΉ 1 πΉπΉ 2 1 οΏ½− 2 π₯π₯ 3 − π₯π₯ − πΉπΉπ₯π₯ + 2πΉπΉπΉπΉοΏ½ 2 ππ 2 ππ πΈπΈπΈπΈ 3 πΉπΉ 2 πΉπΉ π₯π₯ − πΉπΉ ππ(π₯π₯) = − π₯π₯ − 2 ππ 2 ππ Nella seguente figura vengono visualizzati il diagramma dell’azione assiale e la deformata assiale in forma adimensionale. 14 Esempio 2. Linea elastica flessionale In presenza di una sola forza trasversale non sono previste deformazioni normali. Nell’ipotesi che πΊπΊπ΄π΄∗ = cost e πΈπΈπΌπΌ = cost, le equazioni differenziali della linea elastica diventano: οΏ½ πΊπΊπ΄π΄∗ (π€π€ ′′ + ππ′) = 0 πΈπΈπΈπΈππ ′′ − πΊπΊπ΄π΄∗ (π€π€ ′ + ππ) = 0, da integrare con le quattro condizioni al contorno: π€π€ = 0 in π₯π₯ = 0, πΈπΈπΈπΈππ ′ = 0 in π₯π₯ = ππ, ππ = 0 in π₯π₯ = 0, Integrando la prima equazione si ottiene: οΏ½ Imponendo la quarta cc: πΊπΊπ΄π΄∗ (π€π€′ + ππ) = πΉπΉ in π₯π₯ = ππ. πΊπΊπ΄π΄∗ (π€π€ ′ + ππ) = πΆπΆ1 . πΈπΈπΈπΈππ ′′ − πΆπΆ1 = 0 οΏ½ πΆπΆ1 = πΉπΉ . πΈπΈπΈπΈππ ′′ = πΉπΉ Si integra quindi la seconda equazione due volte: πΈπΈπΈπΈππ ′ = πΉπΉπΉπΉ + πΆπΆ2 Si impongono la terza e la seconda cc: πΈπΈπΈπΈπΈπΈ = 1 2 πΉπΉπ₯π₯ + πΆπΆ2 π₯π₯ + πΆπΆ3 , 2 πΆπΆ2 = −πΉπΉπΉπΉ , da cui risulta: πΈπΈπΈπΈπΈπΈ = πΆπΆ3 = 0 . 1 2 πΉπΉπ₯π₯ − πΉπΉπΉπΉπΉπΉ . 2 Combinando l’equazione relativa all’abbassamento con l’espressione calcolata di ππ si ottiene: πΊπΊπ΄π΄∗ π€π€ ′ = πΉπΉ − πΉπΉ che integrata fornisce la funzione π€π€: πΊπΊπ΄π΄∗ π€π€ = πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉ πΊπΊπ΄π΄∗ 1 2 οΏ½ π₯π₯ − πππποΏ½, πΈπΈπΈπΈ 2 πΊπΊπ΄π΄∗ 1 3 1 2 οΏ½ π₯π₯ − πππ₯π₯ οΏ½ + πΆπΆ4 . 2 πΈπΈπΈπΈ 6 15 La costante πΆπΆ4 viene determinata con la prima cc, πΆπΆ4 = 0. La soluzione del problema e’: π€π€ = πΉπΉ 1 1 πΉπΉ π₯π₯ + οΏ½ πππ₯π₯ 2 − π₯π₯ 3 οΏ½ , πΈπΈπΈπΈ 2 6 πΊπΊπ΄π΄∗ πΉπΉ 1 2 ππ = οΏ½ π₯π₯ − πππποΏ½ . πΈπΈπΈπΈ 2 La freccia della trave (spostamento trasversale all’estremita’ libera) vale: ππ = π€π€(ππ) = 1 πΉπΉ 3 πΉπΉ ππ + ππ . 3 πΈπΈπΈπΈ πΊπΊπ΄π΄∗ Nell’espressione della freccia appaiono distintamente i due contributi dovuti alla flessione (termine con πΈπΈπΈπΈ) e al taglio (termine con πΊπΊπ΄π΄∗ ). L’influenza dei due contributi sulla deformata trasversale puo’ essere valutata se e’ nota la geometria della sezione. Si consideri il caso di una sezione rettangolare di base ππ e di altezza β. In prima approssimazione possiamo considerare l’area π΄π΄∗ ≅ π΄π΄ = ππβ. Dalla geometria delle aree si ottiene l’espressione del momento di inerzia πΌπΌ: πΌπΌ = 1 ππβ3 . 12 In elasticita’ lineare vale inoltre la relazione: πΊπΊ = πΈπΈ . 2(1 + ππ) Si assuma ππ = 0.25. L’espressione della freccia puo’ essere manipolata in questo modo: In forma adimensionale: ππ = ππt + ππm = 2.5 πΉπΉ ππ πΉπΉ ππ 3 πΉπΉπΉπΉ ππ 2 +4 = οΏ½2.5 + 4 οΏ½. πΈπΈππ β πΈπΈπΈπΈ β3 πΈπΈπ΄π΄ β2 πΈπΈπ΄π΄ πΈπΈπ΄π΄ ππ 2 πΈπΈπ΄π΄ ππ = ππt + ππm = 2.5 + 4 2 . πΉπΉπΉπΉ πΉπΉπΉπΉ πΉπΉπΉπΉ β Nelle travi snelle, in cui il rapporto tra diametro massimo e lunghezza e’ superiore a 10, il contributo adimensionale della flessione e’ almeno pari a 400, contro un contributo tagliante pari a 2.5: ππm = 160. ππt Nelle applicazioni tipiche dell’ingegneria meccanica, dove le travi comunemente impiegate sono snelle, e’ sensato trascurare il contributo della deformazione tagliante sulla deformazione trasversale della trave. 16 LINEA ELASTICA - MODELLO DI TRAVE DI EULERO-BERNOULLI Il modello di linea elastica piu’ usato si basa sull’ipotesi di Eulero-Bernoulli, in cui si ammette che le sezioni si mantengono ortogonali alla linea d’asse della trave anche a deformazione avvenuta. Cio’ equivale ad ammettere che la deformazione tagliante sia nulla: π‘π‘(π₯π₯) = ππ(π₯π₯) + ππππ(π₯π₯) = 0, ππππ → ππ(π₯π₯) = − ππππ(π₯π₯) = −π€π€ ′ , ππππ L’ipotesi implica che le rotazioni ππ corrispondano alle derivate degli spostamenti trasversali π€π€. Ne segue che la curvatura puo’ essere legata direttamente agli spostamenti trasversali attraverso un’equazione di congruenza che coinvolge le derivate seconde degli spostamenti: 12 ππ = ππππ ππ 2 π€π€ ≅ − 2 = −π€π€ ′′ . ππππ πππ₯π₯ Nelle teorie strutturali le equazioni di congruenza sono tipicamente caratterizzate da derivate di ordine superiore al primo. Inserendo l’equazione di congruenza (12) nell’equazione del legame costitutivo si ottiene: 13 ππ = −πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ . Questa rappresenta la forma operativa piu’ comune della linea elastica flessionale per la trave di EuleroBernoulli. Tuttavia non e’ l’unica forma possibile, in quanto si usa anche una espressione piu’ generale che ingloba le equazioni di equilibrio indefinite per il momento e per il taglio. L’equazione di equilibrio indefinito per il momento flettente (9) puo’ essere scritta come: e derivata rispetto alla coordinata π₯π₯: ππ′ = (−πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ )′ = ππ − ππ (−πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ )′′ = ππ ′ − ππ′ . Ricordando che ππ ′ = −ππ, si ottiene l’espressione della linea elastica del quarto ordine, che include congruenza, equilibrio e legame costitutivo: 14 (πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ )′′ = ππ + ππ′ . La forma (13) e’ utilizzata nelle situazioni in cui l’equilibrio sia facimente imponibile. In essa viene infatti usata un’espressione analitica del momento calcolata con le equazioni di equilibrio. La sua soluzione richiede l’imposizione di condizioni al contorno di natura cinematica, sugli spostamenti π€π€ e sulle rotazioni ππ: 17 π€π€ = π€π€ οΏ½, ππ = πποΏ½. La forma (14) invece non richiede a priori la conoscenza del momento flettente. E’ pero’ di ordine superiore, e nella sua integrazione compaiono quattro costanti da determinare non solo con condizioni di tipo cinematico, ma anche di tipo statico: π€π€ = π€π€ οΏ½, ππ = ππ, οΏ½ οΏ½οΏ½οΏ½ πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ = −ππ, (πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ )′ = −πποΏ½. La forma piu’ utilizzata e’ la (13), in quanto si presta bene al calcolo delle reazioni vincolari iperstatiche. A questa espressione e’ possibile dare un’interpretazione geometrica basata sulla teoria delle linee piane. Figura 9: Raggio del cerchio osculatore approssimante la linea elastica nell'intorno del punto considerato. Il raggio di curvatura di una linea piana e’ definito come l’inverso del raggio del cerchio osculatore, il cerchio la cui circonferenza meglio approssima la curva π€π€(π₯π₯) in un determinato punto. L’espressione del raggio di curvatura e’ legata alla geometria della linea: 1 π€π€′′ οΏ½ = ππ. =οΏ½ ππ οΏ½(1 + π€π€′2 )3 Se gli spostamenti sono piccoli, anche le derivate degli spostamenti sono piccole, e i loro quadrati sono trascurabili rispetto all’unita’. Pertanto il raggio di curvatura si puo’ approssimare come: 1 = ππ ≅ |π€π€ ′′ |. ππ Questa approssimazione equivale a dire che la forma della linea d’asse di una trave soggetta a flessione costante non e’ un arco di circonferenza ma un arco di parabola. Includendo il legame costitutivo ottenuto dalla soluzione di De Saint Venant: π€π€ ′′ = ± ππ . πΈπΈπΈπΈ Il segno ± e’ dettato dalle convenzioni prese nella scrittura dell’equazione del momento. 18 Esercizio 3. Effetto di elementi ad elasticita’ concentrata. La struttura e’ vincolata con due vincoli semplici deformabili. E’ ipostatica, ma le forze non danno contributo nella direzione del grado di liberta’ residuo e si puo’ considerare isostatica. Le reazioni vincolari sono: ππ0 = −πΉπΉ, ππ0 = −πΉπΉπΉπΉ. Le reazioni uguali e contrarie applicate alle molle inducono spostamenti e rotazioni che diventano cc nel primo estremo della trave. Gli spostamenti e le rotazioni sono pari a: π€π€0 = πΉπΉ 1 πΉπΉππ 3 = , ππ 4 πΈπΈπΈπΈ ππ0 = −π€π€ ′ (0) = − πΉπΉππ 2 . πΈπΈπΈπΈ Il momento flettente, ipotizzato positivo se tende le fibre inferiori della trave, ha equazione: ππ(π₯π₯) = πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ. Essendoci un solo campo di integrazione, l’equazione della linea elastica e’ una sola: Integrando due volte: πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ = −ππ(π₯π₯) = πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ. 1 πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′ = πΉπΉπΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπ₯π₯ 2 + πΆπΆ1 , 2 Condizioni al contorno: Soluzione: πΈπΈπΈπΈπΈπΈ = 1 1 πΉπΉπΉπΉπ₯π₯ 2 − πΉπΉπ₯π₯ 3 + πΆπΆ1 π₯π₯ + πΆπΆ2 . 6 2 −πΈπΈπΈπΈππ0 = πΉπΉππ 2 = πΆπΆ1 , π€π€(π₯π₯) = πΈπΈπΈπΈπ€π€0 = 1 3 πΉπΉππ = πΆπΆ2 . 4 1 1 πΉπΉ 1 3 οΏ½ ππ + ππ 2 π₯π₯ + πππ₯π₯ 2 − π₯π₯ 3 οΏ½, 2 6 πΈπΈπΈπΈ 4 con spostamento e rotazione all’estremo: ππ = π€π€(ππ) = 19 πΉπΉππ 3 , 12 πΈπΈπΈπΈ 19 1 π€π€ ′ (ππ) = − πΉπΉππ 2 . 2 Esercizio 4. Calcolo di iperstatiche. Dopo aver tolto i vincoli, si individua una reazione vincolare come sovrabbondante e la si tratta come un carico esterno non noto. In questo esempio si puo’ scegliere come iperstatica la reazione verticale del carrello. La soluzione della linea elastica iperstatica richiede la determinazione delle due costanti di integrazione e dell’incognita iperstatica. Le reazioni vincolari sono: ππ0 = −πΉπΉ + ππ, 1 ππ0 = − πΉπΉπΉπΉ + ππππ. 2 Il momento flettente, ipotizzato positivo se tende le fibre inferiori della trave, ha equazione: 1 1 πΉπΉ 2 ππ(π₯π₯) = − πΉπΉπΉπΉ + ππππ + πΉπΉπΉπΉ − ππππ − π₯π₯ . 2 2 ππ L’equazione della linea elastica diventa: πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′′ = 1 1 πΉπΉ 2 πΉπΉπΉπΉ − ππππ − πΉπΉπΉπΉ + ππππ + π₯π₯ , 2 2 ππ da integrare con tre condizioni al contorno (l’ultima ripristina la congruenza del carrello): π€π€0 = π€π€ οΏ½= Integrando due volte: πΈπΈπΈπΈπ€π€ ′ = Imponendo le cc: πΈπΈπΈπΈπΈπΈ = 5 πΉπΉππ 3 , 8 πΈπΈπΈπΈ π€π€0′ = −πποΏ½ = − 1 πΉπΉππ 2 , 8 πΈπΈπΈπΈ π€π€πΏπΏ = 0. 1 1 1 1 πΉπΉ 3 πΉπΉπΉπΉπΉπΉ − ππππππ − πΉπΉπ₯π₯ 2 + πππ₯π₯ 2 + π₯π₯ + πΆπΆ1 , 2 2 2 6 ππ 1 1 1 1 1 πΉπΉ 4 πΉπΉπΉπΉπ₯π₯ 2 − πππππ₯π₯ 2 − πΉπΉπ₯π₯ 3 + πππ₯π₯ 3 + π₯π₯ + πΆπΆ1 π₯π₯ + πΆπΆ2 . 4 2 6 6 24 ππ 1 πΆπΆ1 = − πΉπΉππ 2 , 8 Si ottiene l’espressione del momento: ππ(π₯π₯) = πΆπΆ2 = 5 3 15 πΉπΉππ , ππ = πΉπΉ . 8 8 7 1 πΉπΉ 2 11 πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ − π₯π₯ , 8 2 ππ 8 20 del taglio: πΉπΉ 7 ππ(π₯π₯) = − πΉπΉ − π₯π₯, ππ 8 e della linea elastica: πΈπΈπΈπΈπΈπΈ = 7 11 1 5 1 πΉπΉ 4 π₯π₯ + πΉπΉπ₯π₯ 3 − πΉπΉπΉπΉπ₯π₯ 2 − πΉπΉππ 2 π₯π₯ + πΉπΉππ 3 . 48 16 8 8 24 ππ 21 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Il metodo noto come principio dei lavori virtuali si basa sull’utilizzo diretto dell’equazione dei lavori virtuali βππ = βππ . nella forma precedentemente ricavata per le travi πΏπΏ πΏπΏ βππ = οΏ½ (ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)π‘π‘(π₯π₯)) ππππ, 0 βππ = οΏ½ οΏ½ππ(π₯π₯)π’π’(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)π€π€(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯)οΏ½ ππππ + π»π»0 π’π’0 + ππ0 π’π’0 + ππ0 ππ0 +π»π»πΏπΏ π’π’πΏπΏ + πππΏπΏ π’π’πΏπΏ + πππΏπΏ πππΏπΏ . 0 Nelle applicazioni tipiche della meccanica delle strutture, l’equazione viene utilizzata per imporre una singola condizione di congruenza, scegliendo in modo opportuno i campi di forze equilibrate e di spostamenti congruenti. In particolare, e’ comodo definire campi fittizi (virtuali) di forze esterne e sforzi generalizzati e usare i campi veri (sicuramente congruenti) di spostamenti e deformazioni generalizzati. La scelta e’ praticamente obbligata, data la necessita’ di fare sparire dall’espressione del lavoro esterno l’integrale sulle forze distribuite che non puo’ essere integrato: infatti gli spostamenti generalizzati dell’asse della trave sono incogniti. La scelta della famiglia di forze fittizie e’ legato al problema che si vuole risolvere. Nella forma indicata, il PLV ha dei limiti legati al fatto che l’equazione e’ scalare e puo’ servire a calcolare una sola incognita. Se il problema in esame ha molte incognite (struttura molteplicemente iperstatica), occorre scrivere tante equazioni del PLV quante sono le incognite da determinare. In base a quanto discusso nel metodo della linea elastica, quando si applica il PLV su strutture snelle e’ lecito trascurare la deformabilita’ a taglio e quella assiale, salvo quando esplicitamente richiesto. CALCOLO DI UNA COMPONENTE DI SPOSTAMENTO IN STRUTTURA ISOSTATICA Si supponga di voler calcolare la componente di spostamento in direzione ππ di un punto P di una struttura isostatica. In tal caso, si considera la cinematica ammissibile degli spostamenti reali e delle deformazioni ad esse associate: π’π’(π₯π₯) πΌπΌ(π₯π₯) = οΏ½π€π€(π₯π₯)οΏ½ , ππ(π₯π₯) ππππ β‘ β€ ππππ β’ β₯ ππππ β₯ ππ(π₯π₯) = β’ β’ ππππ β₯ ππππ β₯ β’ β£ππ + ππππ β¦ Dato che la cinematica e’ quella vera, essa e’ legata agli sforzi generalizzati dal legame costitutivo, per cui, invertendo il legame costitutivo generalizzato (8), si esprime la cinematica in funzione della statica congruente (che sara’ anche equilibrata, ma questo aspetto non e’ considerato nell’applicazione): 22 1 β‘ β’πΈπΈπ΄π΄ −1 ππ = π«π« πΈπΈ = β’ 0 β’ β’0 β£ 0 1 πΈπΈπΈπΈ 0 ππ β‘ β€ 0 β€ β₯ ππ β’ πΈπΈπΈπΈ β₯ ππ β₯. 0 β₯ οΏ½πποΏ½ = β’ β’ πΈπΈπΈπΈ β₯ β₯ ππ 1 β₯ β’ ππ β₯ β£πΊπΊπ΄π΄∗ β¦ πΊπΊπ΄π΄∗ β¦ La statica equilibrata viene scelta in modo da rendere molto semplice l’epressione del lavoro esterno. In modo ipotetico, sulla struttura in esame si tolgono i carichi reali e si applica un sistema di carichi fittizio costituito da una sola forza di intensita’ unitaria, applicata nel punto P e con retta d’azione in direzione ππ. Essendo la struttura isostatica, le reazioni vincolari e le azioni interne del sistema fittizio sono ottenute con le sole equazioni di equilibrio. Indicando con π π 1 le reazioni vincolari che equilibrano la forza unitaria e con ππ1 , ππ1 e ππ1 le azioni interne corrispondenti, si scrive quindi l’equazione dei lavori virtuali considerando la statica equilibrata fittizia e la cinematica congruente vera: πΏπΏ οΏ½ (ππ1 ππ + ππ1 ππ + ππ1 π‘π‘) ππππ = 1π’π’ππ + π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ . 0 Nel lavoro esterno compaiono due tipi di contributi. Il primo e’ quello dei gradi di liberta’ vincolati, dove le reazioni vincolari fittizie sono accoppiate agli spostamenti noti dei vincoli, classificabili in spostamenti rigidi (noti) e elastici (connessi a molle e noti). L’altro e’ quello dei gradi di liberta’ non vincolati, che forniscono lavoro solo se sono presenti forze; l’unico contributo non nullo e’ associato alla forza unitaria assegnata. L’incognita della equazione e’ lo spostamento π’π’ππ cercato, che pertanto puo’ essere univocamante determinato. Per travi snelle, e’ lecito scrivere la precedente equazione trascurando ππ e π‘π‘: πΏπΏ οΏ½ ππ1 ππ ππππ = π’π’ππ + π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ . 0 In presenza di deformazioni anelastiche, le deformazioni totali che appaiono nel PLV devono includere anche i contributi anelastici descritti nella (10): πΏπΏ οΏ½ [ππ1 (ππππ + ππ ππ ) + ππ1 (ππππ + ππππ ) + ππ1 π‘π‘] ππππ 0 = π’π’ππ + π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ . Anche in questo caso l’unica incognita e’ lo spostamento cercato. Per travi snelle, e’ lecito scrivere la precedente equazione trascurando ππππ e π‘π‘, ma il contributo anelastico della deformazione anelastica assiale va comunque incluso perche’ puo’ assumere valori rilevanti: πΏπΏ οΏ½ [ππ1 ππ ππ + ππ1 (ππππ + ππππ )] ππππ = π’π’ππ + π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ . 0 23 Nel caso che l’espressione analitica delle azioni interne cambi per la presenza di un carico concentrato, di un vincolo o di una piegatura dell’asse della struttura, l’integrale relativo al lavoro interno deve essere scisso nella somma dei contributi dei diversi campi di integrazione. Esercizio 5. Si consideri la struttura dell’esercizio 3 e si calcoli lo spostamento verticale all’estremo libero con il PLV. Si comincia a costruire la cinematica congruente: Reazioni vincolari: Momento flettente: ππ0 = −πΉπΉ, ππ0 = −πΉπΉπΉπΉ, ππ(π₯π₯) = πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ. Deformazioni flessionali vere: ππ = ππ πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ = πΈπΈπΈπΈ πΈπΈπΈπΈ Spostamenti alle estremita’, di cui due dovuti agli elementi elastici (dall’esercizio 3): π€π€0 = 1 πΉπΉππ 3 , 4 πΈπΈπΈπΈ ππ0 = − πΉπΉππ 2 , π€π€πΏπΏ libero, πΈπΈπΈπΈ πππΏπΏ libero. Si costruisce poi una statica equilibrata sostituendo ad F una forza unitaria: Reazioni vincolari: Momento flettente: ππ10 = −1, ππ10 = ππ, ππ1 (π₯π₯) = π₯π₯ − ππ. Lavoro interno e lavoro esterno della cinematica congruente per la statica equilibrata: ππ ππ βππ = οΏ½ ππ1 ππ ππππ = οΏ½ (π₯π₯ − ππ) 0 0 (πΉπΉπΉπΉ − πΉπΉπΉπΉ) ππππ πΈπΈπΈπΈ βππ = π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ = − Equazione dei lavori virtuali: Da cui: 5 πΉπΉππ 3 πΉπΉ ππ οΏ½ (π₯π₯ − ππ)2 ππππ = − + π€π€πΏπΏ . 4 πΈπΈπΈπΈ πΈπΈπΈπΈ 0 24 1 πΉπΉππ 3 πΉπΉππ 2 −b + π€π€πΏπΏ . 4 πΈπΈπΈπΈ πΈπΈπΈπΈ ππ = π€π€πΏπΏ = 19 πΉπΉππ 3 1 πΉπΉππ 3 5 πΉπΉππ 3 + = . 4 πΈπΈπΈπΈ 12 πΈπΈπΈπΈ 3 πΈπΈπΈπΈ CALCOLO DI UNA REAZIONE VINCOLARE IPERSTATICA Si supponga di voler calcolare la reazione vincolare iperstatica di una struttura una volta iperstatica. Si procede sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti garantito dalla linerarita’ del problema (linearita’ geometrica e di materiale). Si rende la struttura isostatica non labile eliminando un vincolo e si tratta la corrispondente reazione vincolare incognita ππ come un carico esterno, di cui il valore non e’ noto, ma e’ nota la posizone e la direzione di azione. Ci si riduce pertanto allo studio di una struttura isostatica, le cui reazioni vincolari ed azioni interne sono calcolabili con le equazioni di equilibrio. Nella struttura reale, il vincolo rimosso e’ presente ed impone una condizione sullo spostamento corrispondente. La statica equilibrata (indicata con le azioni π π e ππ, indefinita perche’ la reazione ππ non e’ nota) della struttura isostatica e’ la somma della statica dovuta dai carichi esterni effettivamente applicati (struttura principale isostatica, indicata con indici 0, ad esempio π π 0 e ππ0 ) e della statica dovuta alla sola reazione iperstatica considerata come unitaria (struttura isostatica di servizio, indicata con indici 1, con π π 1 .e ππ1 ) moltiplicata per l’intensita’ incognita ππ. Si ha: π π = π π 0 + πππ π 1 , ππ(π₯π₯) = ππ0 (π₯π₯) + ππππ1 (π₯π₯) La cinematica ottenuta (indefinita perche’ la reazione ππ non e’ nota) e’ quella vera ed e’ legata agli sforzi generalizzati dal legame costitutivo: ππ = ππ0 (π₯π₯) + ππππ1 (π₯π₯) πΈπΈπΈπΈ Grazie alla decomposizione precedente, la statica equilibrata piu’ conveniente per l’applicazione del PLV e’ gia’ disponibile: e’ quella della struttura di servizio. Si scrive quindi l’equazione dei lavori virtuali considerando la statica equilibrata della struttura isostatica di servizio e la cinematica congruente della struttura iperstatica vera: πΏπΏ οΏ½ ππ1 0 ππ0 + ππππ1 ππππ = π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ , πΈπΈπΈπΈ che grazie alla linearita’ si puo’ scrivere come: οΏ½ πΏπΏ 0 πΏπΏ 2 ππ1 ππ0 ππ1 ππππ + ππ οΏ½ ππππ = π»π»10 π’π’0 + ππ10 π€π€0 + ππ10 ππ0 +π»π»1πΏπΏ π’π’πΏπΏ + ππ1πΏπΏ π€π€πΏπΏ + ππ1πΏπΏ πππΏπΏ . πΈπΈπΈπΈ 0 πΈπΈπΈπΈ Nel lavoro esterno compaiono gli eventuali contributi di cedimenti vincolari noti, rigidi o dovuti ad elementi a deformabilita’ concentrata presenti nei vincoli. Tra questi c’e’ ancho lo spostamento, noto, associato al vincolo rimosso. Il lavoro esterno e’ dunque noto, mentre l’incognita ππ appare nel lavoro interno. L’equazione dei lavori virtuali nella sola incognita ππ ha soluzione: 25 ππ = πΏπΏ ππ1 ππ0 βππ − ∫0 πΈπΈπΈπΈ 2 πΏπΏ ππ ∫0 πΈπΈπΈπΈ1 ππππ ππππ . In presenza di deformazioni anelastiche, le deformazioni totali che appaiono nel PLV devono includere anche i contributi anelastici, descritti ad esempio nella (10): πΏπΏ e la soluzione diventa: οΏ½ οΏ½ππ1 ππ ππ + ππ1 οΏ½ 0 ππ0 + ππππ1 + ππππ οΏ½οΏ½ ππππ = βππ . πΈπΈπΈπΈ πΏπΏ ππ ππ βππ − ∫0 οΏ½ππ1 ππ ππ + 1 0 + ππ1 ππππ οΏ½ ππππ πΈπΈπΈπΈ . ππ = 2 πΏπΏ ππ ∫0 πΈπΈπΈπΈ1 ππππ Nel caso che l’espressione analitica delle azioni interne cambi per la presenza di un carico concentrato, di un vincolo o di una piegatura dell’asse della struttura, l’integrale relativo al lavoro interno deve essere decomposto nella somma dei contributi dei diversi campi di integrazione. Si osservi che, in caso di travi ad asse rettilineo, l’azione assiale e’ sempre disaccoppiata dall’azione flessionale. Esercizio 6. Si risolve l’esercizio 4 con il PLV. Si sceglie come incognita iperstatica la reazione verticale del carrello che si indica con ππ. La soluzione della linea elastica iperstatica richiede la determinazione delle due costanti di integrazione e dell’incognita iperstatica. Statica della struttura principale (si assume il momento positivo se tende le fibre inferiori della trave): ππ00 = −πΉπΉ, 1 ππ00 = − πΉπΉπΉπΉ, 2 1 πΉπΉ 2 1 π₯π₯ . ππ0 (π₯π₯) = − πΉπΉπΉπΉ + πΉπΉπΉπΉ − 2 ππ 2 La statica della struttura di servizio costituisce la statica equilibrata: ππ10 = 1, ππ10 = ππ. ππ1 (π₯π₯) = ππ − π₯π₯. 26 La cinematica congruente e’ quella vera della struttura iperstatica ed e’ data dalla deformazione flessionale: e dalle condizioni al contorno L’espressione del PLV e’: οΏ½ ππ οΏ½− 0 π€π€0 = 1 1 πΉπΉ 2 − πΉπΉπΉπΉ + πΉπΉπΉπΉ − π₯π₯ + ππ(ππ − π₯π₯) 2 2 ππ ππ = , πΈπΈπΈπΈ 5 πΉπΉππ 3 , 8 πΈπΈπΈπΈ ππ0 = − 1 πΉπΉππ 2 , 8 πΈπΈπΈπΈ π€π€πΏπΏ = 0, πππΏπΏ libero. 1 1 πΉπΉ 2 ππ (ππ πΉπΉπΉπΉ + πΉπΉπΉπΉ − π₯π₯ οΏ½ (ππ − π₯π₯) 5 πΉπΉππ 3 1 πΉπΉππ 2 − π₯π₯)2 2 2 ππ ππππ + ππ οΏ½ ππππ = − + 1 β 0. πΈπΈπΈπΈ πΈπΈπΈπΈ 8 πΈπΈπΈπΈ 8 πΈπΈπΈπΈ 0 Sviluppando i termini si ottiene l’espressione: ππ Da cui: οΏ½ οΏ½−πΉπΉππ 2 + 3πΉπΉπΉπΉπΉπΉ − 3πΉπΉπ₯π₯ 2 + 0 ππ πΉπΉ 3 π₯π₯ οΏ½ ππππ + 2ππ οΏ½ (ππ 2 − 2ππππ + π₯π₯ 2 ) ππππ = πΉπΉππ 3 . ππ 0 ππ = 15 πΉπΉ. 8 27
