GRAFI La teoria dei grafi permette di esprimere in modo sistematico le LKT e LKC, con i metodi della topologia combinatoria. DEFINIZIONE INTUITIVA DI GRAFO Un grafo è un insieme di nodi (rappresentabili con elementi zero-dimensionali) ed un insieme di lati (rappresentabili con elementi mono-dimensionali) vincolati dalla condizione seguente: ogni lato termina ad ogni estremità con un nodo (ma non ogni nodo presuppone un lato che vi termini) OSSERVAZIONI: 1) un nodo che non ha lati collegati è un grafo 2) un grafo può essere costituito da un nodo, più un lato chiuso su se stesso formante la cosiddetta maglia propria. Il grafo permette di esprimere le proprietà topologiche invarianti per deformazioni continue. Non interessano la posizione dei nodi né la lunghezza, la posizione e la forma degli archi. Interessano le proprietà di incidenza e appartenenza. ORDINE DI UN NODO è il numero dei lati che incidono nel nodo. SOTTOGRAFO Dato un grafo G si dice che G1 è un sottografo di G se G1 è un grafo e se ogni lato ed ogni nodo di G1 appartengono a G. GRAFO COMPLEMENTARE è il grafo rimanente da G dopo l’estrazione di G1. SOTTOGRAFO DEGENERE è un sottografo formato da un solo nodo. GRAFO ORIENTATO è un grafo i cui lati hanno un orientamento. CAMMINO (O PERCORSO) è un sottografo avente tutti i nodi di ordine 2 ad eccezione di due nodi che hanno ordine 1 PROPRIETÀ DI CONNESSIONE, PARTI SEPARATE Un grafo si dice connesso se, dati due nodi del grafo almeno un cammino che li congiunge. OSSERVAZIONI: Per definizione un grafo composto di un solo nodo è un grafo connesso. Un grafo connesso consta di un’unica parte separata. Dato un grafo non connesso i suoi sottografi massimamente connessi sono detti parti separate. INSIEMI DI TAGLIO E MAGLIE Un insieme di taglio è un insieme di lati di un grafo tali che la loro eliminazione rende il grafo risultante non connesso. Per un grafo connesso questo equivale a dire che 1) la rimozione dei lati dell’insieme di taglio fa sì che il restante grafo abbia due parti separate 2) la rimozione di tutti i lati eccetto uno lascia il grafo connesso. Per grafi composti da più parti separate l’insieme di taglio aumenta di 1 i gradi di sconnessione. MAGLIA è un sottografo connesso i cui nodi sono tutti di ordine 2. ALBERO E COALBERO Dato un grafo connesso G, si dice albero di ALBERO: G un sottografo connesso di G che comprende tutti i nodi di G e nessuna maglia. LATI DI ALBERO: Sono tutti i lati di G appartenenti all'albero LATI DI COALBERO: Sono tutti i lati di G appartenenti al complementare dell' albero. Per un dato grafo G esistono numerosi alberi. Il numero di alberi per grafi in cui un solo lato congiunge una coppia di nodi è: nt ( nt 2 ) con n = numero di nodi. t Il numero di lati d' albero di un grafo avente n nodi è (n-1). Il numero di lati di coalbero è [ -(n-1)] essendo il numero totale di lati. ALBERO A STELLA: E' un albero che comprende tutti gli (n-1) lati connessi ad un unico nodo con orientamento emergente da tale nodo. MAGLIE FONDAMENTALI L'aggiunta di un ramo del coalbero all'albero fornisce una maglia (questa è una conseguenza della definizione di albero). Tali maglie (in numero di - n+1) prendono il nome di maglie fondamentali associate all'albero. OSSERVAZIONI: una maglia fondamentale contiene uno e uno solo lato di coalbero ed ogni lato di coalbero compare in una ed una solo maglia fondamentale. INSIEMI DI TAGLIO FONDAMENTALI Togliendo un lato dell'albero di un grafo connesso, questo viene suddiviso in due parti separate. E' possibile allora individuare un insieme di taglio costituito da quel lato dell'albero e da altri lati appartenenti solo al coalbero, che viene detto insieme di taglio fondamentale associato al lato d'albero. Il numero di tali insiemi di taglio fondamentali è (n-1). OSSERVAZIONI: un insieme di taglio fondamentale contiene uno ed uno solo lato d'albero ed ogni lato d'albero compare in uno ed uno solo insieme di taglio fondamentale. LE TENSIONI DEI LATI D'ALBERO COSTITUISCONO UNA BASE Basta verificare che siano valide le proprietà di indipendenza e completezza. 1) Non esistono relazioni che leghino tali quantità poiché per definizione di albero non esistono maglie quindi nessuna tensione d'albero è deducibile dalle altre mediante la LKT. 2) Le tensioni dei lati di coalbero sono tutte deducibili dalle tensioni d'albero. Infatti in corrispondenza di ciascun lato di coalbero esiste una maglia fondamentale che permette di esprimere tale tensione in funzione delle tensioni d'albero mediante una LKT. LE CORRENTI DEI LATI DI COALBERO COSTITUISCONO UNA BASE 1) Non esistono relazioni che legano tali quantità poiché non esiste un insieme di taglio formato da soli lati di coalbero perché è un insieme connesso. 2) Le correnti dei lati d'albero sono esprimibili in funzione delle correnti di coalbero considerando LKC applicate ai tagli fondamentali. Queste proprietà permettono di risolvere il problema dell'individuazione del sotto insieme di tensioni indipendenti e del sotto insieme di correnti indipendenti per una data rete. GRAFO DI UN ELEMENTO CIRCUITALE E SCELTA DELLE VARIABILI DESCRITTIVE, GRAFO DI UN CIRCUITO Dato un componente con n morsetti, si dice grafo del componente un qualsiasi albero che abbia come nodi gli n morsetti del componente ed i cui lati si sviluppino integralmente al di fuori della superficie limite del componente. ESEMPIO: TENSIONI E CORRENTI ASSOCIATE AD UN GRAFO Al grafo di un elemento circuitale o circuito possono essere associate un insieme di tensioni ed un insieme di correnti. All'insieme di tensioni appartiene ogni tensione tra i nodi estremi di ogni lato del grafo. All'insieme delle correnti appartiene ogni corrente associata con un lato del grafo. Nel caso della scelta dell'albero come grafo rappresentativo di un elemento circuitale si può dimostrare che le tensioni e le correnti del grafo (cioè dell’ albero) sono variabili descrittive per il componete in esame. Esse infatti godono dei requisiti di indipendenza e completezza (costituiscono una sorta di base nello spazio funzionale). PROPRIETÀ DI INSIEMI DI TAGLIO E MAGLIE FONDAMENTALI RELATIVE AD UNO STESSO ALBERO La maglia fondamentale relativa ad un lato del coalbero comprende tutti e soli i lati dell'albero i cui insiemi di taglio fondamentali comprendono quel lato. L'insieme di taglio fondamentale relativo ad un lato dell'albero comprende tutti e soli i lati del coalbero le cui maglie fondamentali comprendono quel lato. TRASFORMAZIONI DI GENERATORI Usando le trasformazioni dei generatori si può modificare qualsiasi rete assegnata in modo tale che ogni generatore di tensione risulti collegato in serie ad un elemento che non è un generatore, ed ogni generatore di corrente risulta collegato in parallelo ad un elemento che non è un generatore. Queste trasformazioni, che possono essere usate sia per generatori indipendenti sia per generatori pilotati, sono di seguito illustrate. TRASFORMAZIONE DI GENERATORI DI TENSIONE Nella fig.1(a) il lato 1 è un generatore di tensione es collegato tra i nodi 1 e 2. Il nodo 2 è collegato al nodo 3 attraverso il lato 3 ed al nodo 4 attraverso il lato 4. Se non interessa determinare la corrente nel lato 1 si può sostituire il circuito della fig.1(a) con il suo equivalente della fig.1(b). Nel nuovo circuito è stato tolto il lato 1 e viene introdotto un nuovo nodo 1’. Questo nuovo nodo 1’ risulta dall’unione dei nodi 1 e 2 del circuito iniziale. Per ottenere un circuito equivalente, devono essere in seriti nei lati 3 e 4 del nuovo circuito due generatori es. Fig. 1 TRASFORMAZIONE DI GENERATORI DI CORRENTE Nella fig.2(a) il lato 4 è un generatore di corrente is collegato tra i nodi 1 e 2. I nodi 1 e 2 sono collegati al nodo 3 attraverso i lati 1 e 2, rispettivamente. Nella fig.2(b) si mostra il circuito equivalente, dove è stato eliminato il generatore di corrente nel lato 4, due nuovi generatori di corrente is sono stati invece collegati in parallelo ai lati 1 e 2. Fig. 2 Queste trasformazioni non alterano le LKC e LKT 4. METODI SISTEMATICI PER LA SOLUZIONE DELLE RETI ELETTRICHE. 4.1 Grafo Planare. Un grafo planare è un grafo che può essere tracciato su di un piano in modo tale che nessuna coppia di lati si intersechi in un punto che non sia un nodo. Per un grafo planare tracciato specificatamente su di un piano, si possono individuare l’interno e l’esterno di una maglia. La maglia formata dai lati 2, 5 e 6 di G’ in figura non racchiude alcunché al suo interno, e la maglia consistente dei medesimi lati 2, 5 e 6 in G non ha alcunché al suo esterno. La prima maglia sarà denotata col termine anello, mentre la seconda sarà chiamata anello esterno. 4.1.1 GRAFO NON ARTICOLATO. Un grafo non articolato gode della proprietà che ogni qualvolta viene suddiviso in due sottografi connessi e non degeneri, i sottografi hanno almeno due nodi in comune. 4.2 Analisi degli insiemi di taglio. Tensioni d’albero. LKC Qi 0 LKT v QT v albero Gli elementi devono essere controllati in tensione i f v Yq* (D)v albero igq 4.3 Analisi ai nodi. A i 0 LKC ( n 1) 1 v A T e LKT 1 ( n 1) ( n 1)1 Tutti gli elementi devono essere controllati in tensione i f v Af AT e 0 i f AT e n-1 equazioni non lineari nelle incognite e Nel caso di reti lineari t. i. distinguiamo 1) analisi in transitorio nel dominio del tempo (non si considera mai in un lato la presenza contemporanea di un conduttore e un capacitore) allora i K A Dv K ( t ) i gK ed in generale i( t ) Y( D)v( t ) i g ( t ) Es: i K CDv K i*gK Sostituendo nella LKC e LKT si ottiene: AY( D)v ( t ) i*g 0 AY( D) A T e( t ) i*g ( t ) 0 che si scrive Y*(D)e(t) ig (t) iGk(t) somma di tutte le correnti impresse che entrano nel nodo K matrice che esprime gli operatori “integrodifferenziali” tra i nodi (simile alla matrice delle ammettenze di nodo in s) Le caratteristiche della matrice di Y( D). Y*(D) dipendono principalmente dalle proprietà In assenza di accoppiamenti tra i vari lati i termini di Y*(D) possono ottenersi direttamente in quanto Yii(D) rappresenta la somma delle ammettenze operatoriali che afferiscono al nodo i e Yij(D) rappresenta la somma delle ammettenze operatoriali tra il nodo i ed il nodo j. Nel caso in cui esistano accoppiamenti distinguiamo i casi in cui la matrice Y( D) è ancora simmetrica (es. mutui accoppiamenti di tipo induttivo) dal caso più generale in cui Y( D) perde ogni caratteristica di simmetria (es. generatori pilotati) 2) reti risolte con Laplace idem 3) reti in regime sinusoidale idem 4) reti resistive (matrice diagonale di pure conduttanze) idem Y( D) G 4.4 Analisi delle maglie e degli anelli. LKT Bv 0 LKC i BT J Le leggi di lato devono potersi esprimere sotto forma di v f i lati controllati in corrente Y( D) Y(s) Y( D) Y( j) Nel caso di reti lineari tempo invarianti si perviene infine alle equazioni v Z(D)i vg da cui sostituendo BZ(D)i vg 0 BZ(D)BT J v*g ossia Z (D)J v * * g Esempio generico di lato K vK L di K vgK dt 4.5 Dualità. Si considera un grafo G, connesso, non articolato e planare, con n t=n+1 nodi, b lati e quindi =b-n anelli (senza contare l’anello esterno). Un grafo planare Ĝ è detto grafo duale di un grafo G se: vi è una corrispondenza biunivoca tra gli anelli di G (incluso l’anello esterno) ed i nodi di Ĝ ; vi è una corrispondenza biunivoca tra gli anelli di ed i nodi di G; Ĝ (incluso l’anello esterno) vi è una corrispondenza biunivoca tra i lati di ciascun grafo in modo che ogni qualvolta due anelli di un grafo hanno il lato corrispondente in comune, i nodi corrispondenti dell’altro grafo sono collegati dal lato corrispondente; Dalla definizione ne segue che Ĝ ha b lati, +1 nodi, n anelli ed un solo anello esterno. Se Ĝ è un grafo duale di G, allora G è un grafo duale di Ĝ . In altre parole, la dualità è una relazione simmetrica tra grafi connessi, planari e non articolati.
