L2-TFA1-Variabili Aleatorie pp 102

Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Teoria elementare della probabilità e teoria della probabilità
Teoria elementare della probabilità  Spazi Campione finiti;
Teoria della probabilità  Spazi infiniti (continui infiniti non numerabili)

Occorre che la classe degli eventi sia un campo di Borel .
Campo di Borel: è una classe che comprende  ed S ed è tale che data
una sequenza infinita di suoi insiemi A1 , A2 , A3 ,.... la loro intersezione ed
unione appartiene ad .
Un campo di Borel è anche detto -algebra.
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Spazio di Probabilità
La teoria della probabilità definisce “Spazio di Probabilità” la terna:
S , , P
 S è l'Insieme Universale o Spazio Campione (a volte indicato con )
  è un campo di Borel di sottoinsiemi (o “parti”) di S
 P è una probabilità su , cioè una corrispondenza che attribuisce ai
sottoinsiemi di  una misura che soddisfa gli assiomi di Kolmogorov,
incluso quello dell'additività infinita nel caso in cui  è infinito.
Nelle pratica ben di rado sorge il problema di verificare che la classe degli
eventi sia un campo di Borel.
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
FORMALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI PROVE
Con reinserimento (Bernoulliana)
 Estrazione da un’urna: 
Senza reinserimento (estrazione in blocco)
Esempio:
Se con n si indica il numero di palline distinte nell’urna, allora
l’esperimento di “estrazione da un urna” è equivalente ai seguenti
esperimenti per:
n=2
 lancio ripetuto di una moneta (prova bernoulliana)
n=6
 lancio ripetuto di un dado (prova bernoulliana)
n = 40  estrazione di una o più carte (con o senza reinserimento)
n = 90  estrazioni del lotto (estrazione in blocco)
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
FORMALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI PROVE
Attesa di eventi:
DISCRETO

N°. di Prove ripetute fino al verificarsi dell'evento

(Infinità numerabile di eventi)



CONTINUO

Intervallo che intercorre tra il presentarsi di due eventi

(Infinità continua non numerabile di eventi)
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Prove ripetute
o Per “prove ripetute” si intende la ripetizione del medesimo esperimento
per un certo numero di volte nelle stesse condizioni di tutti gli oggetti
che intervengono nell’esperimento e dell’ambiente circostante.
o Le “prove ripetute” permettono di introdurre la “variabile aleatoria”
binomiale.
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Interpretazione empirica delle prove ripetute
La probabilità P  A  di un evento A definito sullo spazio campione S,
costituito
da
n ripetizioni di un esperimento (prova), è definita
approssimativamente come:
nA
P  A 
n
dove nA è il numero di successi di A nelle n ripetizioni.
Ipotesi: n “elevato” P  A   f  A  .
108
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempio: dati simulati
0.18
Stima della probabilità che esca "6" nel lancio di un dado regolare
Frequenza relativa
0.175
0.17
0.165
0.16
0.155
0.15
0
1000
2000
3000
 nA

P   P  A     0
 n

4000
5000
100*n
6000
per n  
7000
8000
9000
10000
con   0 (qualsiasi)
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Interpretazione concettuale delle prove ripetute
L'esperimento analizzato genera lo spazio:
Sn  S  S  S
(n volte)
i cui elementi sono sequenze del tipo  1 , 2 ,..., n
dove  i  S , per i  1,2,...,n
ed il simbolo “” indica il Prodotto Cartesiano.
110
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Lancio di una moneta (non necessariamente “non truccata”)
Interpretazione empirica:
Esperimento: lancio di una moneta.
Risultati: “Testa” (T) o “Croce” (C) con probabilità P T  e P  C 
Le prove ripetute possono essere usate per determinare empiricamente
P T  e P  C  .
Dopo n lanci della moneta, avendo ottenuto nT volte “Testa”, si pone:
nT
P T  
n
P  C   1  P T 
L’approssimazione è valida per n “abbastanza grande”.
111
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Lancio di una moneta (non necessariamente “non truccata”)
Interpretazione concettuale:
Esperimento: lancio di una moneta n volte.
Spazio campione:
Sn  S  S  S (prodotto cartesiano)
che consiste di 2 n possibili risultati del tipo TTCTCC  CT .
lI numero di lanci n può essere qualunque, non necessariamente “grande”.
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Prove bernoulliane e legge binomiale
Un insieme di prove, tra di loro indipendenti, in cui esistono due soli risultati
possibili si dice un insieme di prove bernoulliane.
 Ogni prova di un insieme bernoulliano ha come risultato l’evento A
oppure l’evento B  A (negato o complementare di A).
 Gli eventi A e B sono una partizione dello spazio campione S.
 Un insieme di prove bernoulliane ha come risultato una sequenza del
tipo
A A A A A  A
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Probabilità di k successi in un dato ordine


q  1  p  P  A
Dato un insieme di n prove bernoulliane, con A, A partizione di S e
p  P  A
e
la probabilità che l'evento A si verifichi k volte in un dato ordine è:
p k q nk
Infatti, dalla sequenza A A A A A  A , per l'indipendenza delle prove:
P  A A A A A  A  
 P  A  P  A  P  A  P  A  P  A   P  A  
 ppqpq  p  p k q n  k
114
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Probabilità di k successi in un qualsiasi ordine
(Legge Binomiale)


q  1  p  P  A
Dato un insieme di n prove bernoulliane, con A, A partizione di S e
p  P  A
e
la probabilità che l’evento A si verifichi k volte indipendentemente dall'ordine
è:
 n  k n k
pn  k     p q
k
che costituisce la legge Binomiale.
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Probabilità di k successi in un qualsiasi ordine (segue)
 n
Infatti ci sono   eventi del tipo:
k
L'evento A si presenta k volte in un dato ordine
e questi eventi sono mutuamente esclusivi.
La loro unione equivale all'evento
L'evento A si presenta k volte in un qualsiasi ordine
 n
la cui probabilità è la somma delle probabilità di questi   eventi, in virtù
k
del terzo assioma di Kolmogorov.
116
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Il lancio di una moneta
Sequenze
Descrizione
Probabilità
Valore per p = 0.5
TTT
3 teste:
k=3
2 teste, 1 croce:
k=2
p3
1/8
3p2q
3/8
2 croci, 1 testa:
k=1
3q2p
3/8
3 croci:
k=0
q3
1/8
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
Somma delle colonne
 p  q
3
1
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Legge Binomiale generalizzata
Il concetto di prove bernoulliane può essere esteso al caso in cui ogni prova
ha r risultati possibili, con r qualsiasi.
Esempio: lancio di un dado (r = 6).
La partizione dello spazio campione è formata da r eventi:
A1 , A2 , ..., Ar
che hanno rispettivamente probabilità
p1 , p2 , ..., pr
tali che
p1  p2  ...  pr  1
118
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Legge Binomiale generalizzata (segue)
Il risultato di n prove bernoulliane generalizzate è quindi una sequenza in
cui ogni elemento è del tipo:
Ai : Si verifica il risultato i-esimo
1i  r
Indicando con ki il numero di volte in cui si verifica l'evento Ai si ha:
k1  k2  ...  kr  n
La probabilità che nel corso di n prove si verifichi
k1 volte l'evento A1 , k2 volte l'evento A2 , ... , kr volte l'evento Ar in un dato
ordine è:
p1k1  p2k2  ... prkr
119
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Legge Binomiale generalizzata (segue)
La probabilità che nel caso di n prove si verifichi k1 volte l'evento A1 , k2
volte l'evento A2 , ..., kr volte l'evento Ar con un qualsiasi ordine è:
n!
p1k1  p2k2  ...  prkr
k1 ! k 2 ! ...  k r !
Questo risultato si ottiene immediatamente considerando le combinazioni
generalizzate di r oggetti.
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Legge Binomiale generalizzata (segue)
Dati n oggetti, i gruppi ordinati di dimensione k1 ,k2 ,...,kr si ottengono
prendendo k1 volte il 1° oggetto, k2 volte il 2° oggetto, kr volte l’ultimo
oggetto, con k1  k2  ...  kr  n , sono in numero di:
n
k1 ,...,kr
C
 n   n  k1   n  k1  k2   kr 
  

...  


 k1   k2   k3
  kr 
n  k1  !

n!


...  1 
k1 !  n  k1  ! k2 !  n  k1  k2  !

n!
k1 ! k2 ! ...  kr !
121
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Eventi “rari” e Teorema di Poisson
Un evento raro è un evento che si verifica con probabilità molto minore di
uno ( p << 1).
Se si considera un evento raro A e si vuole calcolare la probabilità che esso
si verifichi k volte nel corso di n prove, con n molto maggiore di 1, l'uso della
formula di Bernoulli comporta alta complessità.
In questo caso si può ricorrere al Teorema di Poisson.
122
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Teorema di Poisson
Il Teorema di Poisson è utile quando si trattano prove Bernoulliane ripetute
in gran numero di volte e di “bassa probabilità” nel senso spiegato di
seguito.
Teorema: Dato l’evento A, se:
- il numero di prove n  
- la probabilità
P  A  p  0
- il prodotto
n p  a
allora, per k dell'ordine di np , la probabilità che A si verifichi k volte è
k
a
pn  k   e  a 
k!
123
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Teorema di Poisson (segue)
Dimostrazione:
 n k
nk
pn  k     p  1  p 
k
k  0,1,2,...,n
n  n  1  ...   n  k  1 n k
 n
n!

k  nk !k! 
k!
k!

  
1  p 
nk
 1  p    e
n

p n
essendo k  n
 e  np essendo k  n e p  1
1-p
e-p
0
1
p
Evento raro
124
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
 n k
n k  np
nk
 np  np 
pn  k     p  1  p  
p e e
k!
k!
k
k
a  n p
pn  k   e a
k
ak
k!
Modello di Poisson k  0,1,2,....
125
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Punti di Poisson
 T T
Esperimento: inserire un punto a caso nell’intervallo   ,  .
 2 2
-T/2
x
t1
ta
xx
t2
x
t3
tb
x
x
t4
x
T/2
ta
p  P t   t1 ,t2   
T
Ripetendo n volte l’esperimento con n  1 e ta  T

nta
T
e  nta 
pn  k  


k!  T 
k
Ciascun punto inserito sulla retta è privo di memoria
126
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempio: la multiplazione nelle reti a pacchetto
o Nelle reti a pacchetto l’informazione relativa ad un flusso non
ha un canale dedicato. I flussi di pacchetti condividono le
risorse trasmissive della rete (link di collegamento tra i nodi).
o All’arrivo in un nodo un pacchetto viene memorizzato,
analizzato e trasferito verso il link d’uscita.
o In generale gli istanti di arrivo dei pacchetti in un nodo sono
casuali.
127
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempio: la multiplazione nelle reti a pacchetto
o Il tempo di attesa prima della trasmissione dipende da: il
numero di pacchetti già in coda, la loro lunghezza, la politica
di gestione della coda (es. First In First Out - FIFO).
o Per studiare in modo quantitativo il ritardo di trasferimento (e
di accodamento in particolare) si utilizza la Teoria delle Code.
128
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Sistemi di attesa
o Processo degli arrivi (che descrive gli arrivi dei pacchetti)
o Processo dei tempi di servizio (lunghezza dei pacchetti e
capacità del link che determinano i tempi di trasmissione)
o Politica di gestione della coda
129
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Processo dei tempi di arrivo
o N(0,t) numero di arrivi in (0,t)
o {Yk } sequenza dei tempi di interarrivo.
o Parametro caratteristico: numero medio di arrivi nell’unità di
tempo (pacchetti/secondo)
130
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Processo dei tempi di servizio
o Descrive la durata del servizio (trasmissione)
{Xk} sequenza dei tempi di servizio
Xk = Lk/C, dove Lk è la lunghezza del pacchetto e C la
capacità del link
o Parametri caratteristici:
– Tempo medio di servizio, E[X]
– Frequenza media di servizio, m = 1/E[x]
131
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Arrivi di Poisson
o Nelle reti si usa il termine “traffico” per indicare la quantità di
informazione gestita da una sistema di trasmissione. Si può
dimostrare che al tendere all’infinito del numero di sorgenti di
traffico, il traffico complessivo tende ad essere un traffico di
Poisson.
o La probabilità che il numero di arrivi (punti) di Poisson
N  t, t+  in un intervallo temporale fra t e t +  è pari a:
   

P  N  t, t+   k  
e
k
k!
o Gli inter-arrivi Yk sono variabili casuali indipendenti con
densità di probabilità esponenziale negativa:
fT  t     e   t t  0
132
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Definizione di Variabile Aleatoria
Dato lo spazio di probabilità S , , P, una variabile aleatoria è una
funzione X 

che ha come dominio l'insieme S dei risultati di un
esperimento e come codominio l'insieme dei numeri reali  , tale che:
x  
A  x    : X    x è un evento di  .
x( i)
x
x
Si dice anche che :
x
A
→
x
x1
x
x
i
x2
x
x x
B
x
X
S
è “misurabile” rispetto alla -algebra  .
133
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Definizione di Variabile Aleatoria (segue)
 La definizione di variabile aleatoria garantisce l’esistenza, per ogni
numero reale x della probabilità:
P  A  x    P  : x    x  P  X  x 
cioè consente di trasferire la probabilità da insiemi dello spazio
campione S a insiemi di numeri reali.
 Le variabili aleatorie si indicano per convenzione con una lettera
maiuscola.
 La definizione di v.a. si può estendere al campo complesso:
Z  X  jY
134
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Definizione di Variabile Aleatoria (segue)
o Nella definizione di una variabile aleatoria X i valori assunti da X
possono essere sia finiti che infiniti.
o Tuttavia si assume che i risultati dell’esperimento a cui si fa
corrispondere un valore infinito della variabile aleatoria abbiano
probabilità nulla:
P  X    0 ;
P  X    0
Tale condizione è parte integrante della definizione di variabile
aleatoria.
135
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempio di Variabile Aleatoria
Esperimento: lancio di un dado
Risultati: le sei facce del dado ( fi i-esima faccia del dado).
TABELLA A
X( fi )
TABELLA B
f1
f2
f3
f4
f5
f6
10
20
30
40
50
60
X: 0
10
20
30
Y( fi )
40
50
f1
f2
f3
f4
f5
f6
0
1
0
1
0
1
60
X
f1x
f2x
Y: 0
f3x
f4x
f5x
1
f6x
S
Y
136
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempio di eventi generati da variabili aleatorie
x
x
x( i)
x0
x
x
x
x1
x
A
x
x
x2
x2
x1
x
x
i
x x
B
x
x
S
A   X  x
B   x1  X  x2 
C   X  x0 
137
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Funzione di Distribuzione
Definizione:
La funzione di distribuzione cumulativa FX  x  di una variabile
aleatoria X permette di quantificare la probabilità che X assuma valori
minori od uguali ad un dato valore x.
FX  x   P  X  x 
P  X  x  1  FX  x   Q  x  (“coda”)
o il pedice “X” denota la variabile aleatoria e l'argomento “x” il valore
che definisce l'evento  X  x di cui interessa la probabilità.
o Per i primi due assiomi di Kolmogorov:
0  FX  x   1
138
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempi di Funzione di Distribuzione
Esperimento: lancio di un dado.
Risultati: le sei facce del dado ( fi i-esima faccia del dado).
Variabile Aleatoria: X  f i   10  i
FX  x 
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
0
10
20
30
40
50
60
x
f1
x
f2
x
f3
x
f4
x
f5
x
f6
FX  x   0 per x  10
x
FX  x   1 per x  60
139
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempi di Funzione di Distribuzione (segue)
Esperimento: lancio di un dado.
Risultati: faccia dispari f d   f1 , f 3 , f 5  , faccia pari f p   f 2 , f 4 , f6  .
 
Variabile Aleatoria: Y f p  1 , Y  f d   0
FY  y 
1
1/2
0
x
f1
x
f2
y
1
x
f3
FY  y   0 per y  0
x
f4
x
f5
x
f6
FY  y   1 per y  1
140
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Esempi di Funzione di Distribuzione (segue)
Esperimento: lancio di una freccia contro il piano  y,z  .
Risultati: i punti di coordinate Pi   yi ,zi  nel piano  y,z  .
Variabile aleatoria: R 
 yi  y0    zi  z0 
2
FR  r 
2
, distanza centro  y0 ,z0  .
r 0
0

FR  r   
 r2 
1  exp  2  r  0
 

Modello di Rayleigh
0
r
141
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Proprietà della Funzione di Distribuzione
1a
FX     P  X     0 , FX     P  X     1.
2a
La funzione FX  x  è monotona non decrescente, cioè se x1  x2 allora
FX  x1   FX  x2  .
Verifica: se x1  x2 , allora l'evento
 X  x1
è un sottoinsieme
dell'evento  X  x2  , quindi
FX  x1   P  X  x1  P  X  x2   FX  x2 
Inoltre se FX  x0   0 allora
FX  x   0 x  x0 .
142
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Proprietà della Funzione di Distribuzione (segue)
3a
P  X  x  1  FX  x 
Verifica: gli eventi  X  x e  X  x sono mutuamente esclusivi e la
loro unione ricopre lo spazio campione S, quindi
P  X  x  P  X  x  P S   1
P  X  x  1  P  X  x  1  FX  x 
Con il termine “coda della distribuzione di X ” si indica la funzione
Q  x   1  FX  x 
FX  x 
1
Q  x
0
x
143
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Proprietà della Funzione di Distribuzione (segue)
4a
La funzione di distribuzione è continua da destra:
lim FX  x   FX  x0   FX  x0 
FX(x)
P(X=x0)
x  x0
Verifica: essendo FX  x   P  X  x  , allora
x0
x
lim FX  x   lim P  X  x   FX  x0 
x  x0
mentre:
x  x0
lim FX  x   lim P  X  x   FX  x0   P  X  x0 
x  x0
x  x0
solo se P  X  x0   0 , non c’è una "massa di probabilità concentrata"
nel punto x0 , i due limiti coincidono e valgono FX  x0  .
144
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Proprietà della Funzione di Distribuzione (segue)
5a
P  x1  X  x2   FX  x2   FX  x1 
Verifica:  X  x1 e  x1  X  x2  sono mutuamente esclusivi e la loro
unione costituisce l'evento  X  x2  , quindi
P  X  x1  P  x1  X  x2   P  X  x2 
P  x1  X  x2   P  X  x2   P  X  x1  FX  x2   FX  x1 
6a
P  X  x0   FX  x0   FX  x0 
Verifica:
FX  x0   P  x  x0   P  X  x0   P  X  x0 
145
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Tipi di Variabili Aleatorie
Variabili aleatorie di tipo continuo
FX  x  è una funzione continua, ne segue che
P  X  x  0
x
FX  x 
1
Q  x
0
x
146
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Tipi di Variabili Aleatorie (segue)
Variabili aleatorie di tipo discreto: FX  x  è una funzione a gradini.
Se xi è un punto di discontinuità di FX  x  e se il salto in corrispondenza ad
esso è pari a pi , si ha (6a proprietà):
P  X = xi  = FX  xi   FX  xi   pi
FX  x 
1
FX  xi 
pi
FX  xi 
0
xi
x
147
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Tipi di Variabili Aleatorie (segue)
Variabili aleatorie di tipo misto
FX  x  è discontinua ma non a gradini.
FX  x 
1
P  X  x0 
0
x0
x
148
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Distribuzione Empirica
Si effettua n volte un esperimento e si memorizza per ogni prova il
valore della variabile aleatoria X:
x1 , x2 , x3 ,..., xn
Ordinando per valori crescenti la sequenza
 xi 
si costruisce Fn  x  ,
1
in corrispondenza ad ogni xi .
una funzione a gradini di altezza
n
149
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Distribuzione Empirica (segue)
o Per n “sufficientemente grande”: Fn  x   FX  x 
o Questa
proprietà
si
giustifica
con
l'approssimazione
della
frequenza relativa e con la statistica delle prove.
150
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
I Percentili
Definizione: Il percentile di ordine “u” (o percentile u-esimo) della
variabile aleatoria X è quel valore xu tale che P  X  xu   u .
Il percentile è l'inversa della funzione di distribuzione con dominio
nell'intervallo [0,1] e codominio nell’insieme di valori assunti da X.
x
FX  x 
1
xu
u
u  FX  xu 
m
0.5
0
0
m
Distribuzione
xu
x
0.5
u
1
Percentile
151
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
I Percentili (segue)
Calcolo dei percentili per interpolazione lineare
Se u si trova tra i valori tabulati ua e ub
FX  xa   ua  u  ub  FX  xb 
allora si ricava la retta che passa per i punti  ua , xa  e  ub , xb 
x  xa
u  ua

xb  xa ub  ua
da cui
xb  xa
xu  xa 
 u  ua 
ub  ua
152
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
I Percentili (segue)
La curva empirica dei percentili (curva di Quetelet)
1) Si effettua n volte un esperimento e si memorizza per ogni prova il
valore della variabile aleatoria X: x1 , x2 , x3 ,..., xn .
2) Si costruiscono n segmenti di lunghezza xi e si collocano paralleli
all'asse delle ordinate, in ordine di lunghezza crescente, e
distanziati di
1
;
n
3) Si forma una poligonale i cui vertici sono gli estremi di questi
segmenti.
153
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
I Percentili (segue)
xi
0
1
n
1
u
Per n sufficientemente elevato la curva di Quetelet approssima la
curva dei percentili, nel senso che le frequenze relative approssimano
le probabilità.
154
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Mediana
Definizione:
Il valore 0.5  percentile (o 50° percentile) è detto la mediana (o valore
mediano, spesso indicato con la lettera m) della variabile aleatoria X.
La mediana è quindi quel valore tale che X assume con uguale
probabilità (50 %) valori minori o maggiori di esso:
P  X  m   P  X  m   0.5
Analoghe definizione si danno per i “quartili” ed i “decili”.
155
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Funzione di Densità di Probabilità
Definizione:
La funzione di densità di probabilità f X  x  , nel caso di variabile
aleatoria continua, è definita come la derivata prima della funzione di
distribuzione:
fX  x 
dFX  x 
dx
F (x)
f (x)
1
1
T
X
X
0
T
x
0
T
x
Densità di probabilità distribuzione (modello Uniforme)
156
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Proprietà della Funzione di Densità di Probabilità
1a
La funzione di densità è non negativa:
fX  x  0
Questa proprietà deriva dal fatto che la funzione di distribuzione è
monotona non decrescente.
a
2
FX  x2   FX  x1  

x2
f X  x  dx
x1
3a
La funzione di distribuzione si ottiene per integrazione di f X  x  :
FX  x  

x

f X   d 
Si applica la 2a proprietà ponendo x1   e x2  x , ricordando che
FX     0 .
157
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Proprietà della Funzione di Densità di Probabilità (segue)
a
4


-
f X  x  dx  1
Si ottiene dalla 2a proprietà per x1   e x2   , ricordando che
FX     0, FX     1.
5a
P  x1  X  x2  

x2
f X  x  dx
x1
è una diversa espressione della 2a proprietà.
158
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Relazione tra Densità di Probabilità e Probabilità
Si può definire direttamente la funzione di densità senza ricorrere alla
funzione di distribuzione mediante un’operazione al limite:
f X  x   lim
x  0
P  x  X  x  x
x
Infatti per la 5a proprietà se x1  x e x2  x  x ( x “piccolo”)
P  x  X  x   x  f X  x   x
avendo assunto f X  x  costante nell'intervallo di integrazione.
159
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Relazione tra Densità di Probabilità e Probabilità (segue)
 Con l'operazione di passaggio al limite ( x  0 ) l'eguaglianza
diventa rigorosa.
fX(x)
P(x < X  x+dx) = fX (x)dx
0
x x+dx
x
 Per x finito (nel seguito indicato con ) si ha l’istogramma.
160
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
L’Istogramma
1) Si effettua n volte un esperimento e si memorizza per ogni prova il
valore xi della variabile aleatoria X, i  1,2,...,n .
2) Si divide l'asse delle ascisse x in m intervalli di lunghezza , m  n
.
3) Si calcola nk pari al numero di punti xi che ricadono all'interno del
k  esimo intervallo, 1  k  m .
4) Si forma una funzione costituita da tratti orizzontali (gradini) di
base  e di altezza f n  x  definita come:
nk
fn  x  
n
ck  x  ck  
il termine  rende conto del nome “densità”.
161
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
L’Istogramma (segue)
nk
n
fX  x
fn  x 
nk  1
2
3 6
11 15 9 7
3
2
x
f n  x   f X  x  per n   e   0
nel senso della frequenza relativa che approssima la probabilità.
162
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
TFA 1 - Iscritti al Corso 2004 (Totale 513)
400
70
64.3%
60
300
50
250
40
200
330
150
100
50
30
23.2%
20
11.9%
119
0.4%
2
Percentuale (%)
Frequenza Assoluta
350
61
0.2%
1
0
10
0
AET
ELT
GES
TLC
MOD
Corso di Laurea
163
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
TFA 1 - Iscritti al Corso 2004 (Totale 513)
Frequenza Assoluta
250
100%
94,7%
225
90%
200
80%
175
70%
150
60%
50,3%
125
50%
100
40%
26,9%
75
50
30%
20%
13,3%
7,8%
25
10%
4,9%
1,8%
0
0%
1968-74
1975-77
1978-79
1980
1981
1982
1983
1984
Classe
164
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Istogramma della massima velocità del vento sul tetto di
Ingegneria Industriale nel mese di Gennaio 2004
o Ogni 30 minuti è rilevata la massima velocità del vento
o 48 misure in un giorno e 1488 (48 x 31) nel mese di Gennaio
o 17 classi di ampiezza 1 m/s, da 0 a 17 m/s
165
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Dati su foglio Excel: Giorno del mese, Ora, Valore
166
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
0,25
125%
0,2
100%
0,15
75%
0,1
50%
0,05
25%
0
Distribuzione empirica
Istogramma
Velocità Massima del vento (Gennaio 2004) - 1488 misure
0%
0,5
1,5 2,5 3,5
4,5 5,5
6,5 7,5
8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5
Velocità (m/s)
167
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Relazione tra Densità di Probabilità e Percentili
Se xu è il percentile di ordine u di X, allora per la 3a proprietà:
u  FX  xu  
Se f X  x  è una funzione pari allora
1  FX  x   FX   x 

xu

f X  x  dx

x1u   xu
fX(x)
1
1-u
0.5
u
u
xu
0
x1-u
FX(x)
u
x
xu
0
x1-u
x
168
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Funzione di Massa di Probabilità
Se X è una variabile aleatoria discreta, la sua funzione di distribuzione
è una funzione a gradini con discontinuità nei punti xk , si ha:
pk  P  X  xk   FX  xk   FX  xk 
FX  x 
pk
FX  xk 
FX  xk 
xk
La funzione
x
pk  P  X  xk  è chiamata Funzione di Massa di
Probabilità (Probability Mass Function).
169
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
La Funzione di Massa di Probabilità (segue)
FX  x 
1
7
8
1
2
1
8
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
pk
3
8
1
8
Esempio di funzione di massa di probabilità
170
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Momenti di una variabile aleatoria
o La distribuzione FX  x  e la densità
f X  x  forniscono tutta
l’informazione statistica di v.a. X.
o A volte è sufficiente una descrizione statistica sintetica mediante
degli indicatori numerici piuttosto che le funzioni FX  x  e f X  x  :
 Valore atteso (media)
 Varianza
 Momento di una v.a.
171
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Valore Atteso
Definizione:
Il valore atteso (o media statistica o speranza matematica o
semplicemente media) di una variabile aleatoria X è il centro di gravità
della densità o delle masse di probabilità nei casi continuo o discreto
rispettivamente.
Si indica con
EX 
 X o semplicemente 
 X o semplicemente 
172
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Valore Atteso (segue)
Per le variabili aleatorie continue:
EX  



x  f X  x  dx
(Potrebbe non esistere se l’integrale non converge)
f (x)dx
X
dx
173
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Valore Atteso (segue)
Per le variabili aleatorie discrete:
EX  
 x  PX  x 
k
k
k
In forma concisa:

x  p
k
k
k
(Potrebbe non esistere se la sommatoria non converge)
=
xk p
k
pk
xk
x
Osservazione:  X non coincide necessariamente con uno dei valori xk .
174
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Linearità della Media Statistica
Se a e b sono costanti ed X una variabile aleatoria
E  a  X  b  a  E  X   b .
Verifica:
E  a  X  b 

  ax  b  f
X
 x  dx  a  x  f X  x  dx  b  f X  x  dx 
 aEX b
175
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
VALORE ATTESO - ESEMPIO
Calcolare il valore atteso di S  X  Y , dove X e Y sono v.a. che
Dado nero
indicano il risultato del lancio di un dado rosso e di uno nero.
Spazio Campione
6
5
4
3
2
1
1 2 3
Ad esempio: P  S  3  
4 5
2
1

36 18
6
Dado rosso
P S  6  
5
36
176
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
VALORE ATTESO - ESEMPIO (segue)
Si può calcolare per ogni valore di k (2, ..., 12) la funzione di massa di
probabilità, che risulta:
k 1
k = 2,3,...,7
 36

PS  k   
 13  k
k = 8,9,...,12
 36
S=X+Y
0.18
0.16
Massa di Probabilità
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2
3
4
5
6
7
S=k
8
9
10
11
12
177
Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
VALORE ATTESO - ESEMPIO (segue)
Quindi il valore atteso vale:
12

 1   2 
 1 
  E S  
k  P  S  k   2    3    ...  12    7
 36   36 
 36 
k 2
Sfruttando la linearità di E   , si ottiene:
  E  S   E  X  Y   E  X   E Y  
7 7
 7
2 2
Utile nel caso di calcolo del valore atteso di una somma di tanti
termini.
178
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Funzioni di Densità Pari
Dalla definizione di  risulta



 x     f X  x  dx  0
Se la densità f X  x  è simmetrica rispetto al valore a, cioè
fX a  x  fX a  x
allora
EX   a
179
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Interpretazione Empirica della Media
o Se si ripete un esperimento n volte si definisce Campione Aleatorio
la n-pla di realizzazioni delle variabili aleatorie
X 1 , X 2 ,..., X n
indipendenti ed identicamente distribuite (i.i.d.).
o Indicando con xi le realizzazioni delle variabili aleatorie Xi , si può
calcolare la media aritmetica:
x  x2  ...  xn 1
X

n
n
1
x
n
i
i 1
o X è detta media campionaria è costituisce una “stima” del valore
atteso di X.
o X è anch’essa una v.a. in quanto dipende dal campione che si
considera.
180
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Interpretazione Empirica della Media
Utilizzando il campione di 1488 valori di velocità massima del vento,
precedentemente impiegato per calcolare l’istogramma, si ha:
VMax
1 1488
1



v
i
4.22
m
s


 Max
1488 i 1
181
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
0,25
125%
0,2
100%
0,15
75%
0,1
50%
Media campione = 4.22 m/s
0,05
Distribuzione empirica
Istogramma
Velocità Massima del vento (Gennaio 2004) - 1488 misure
25%
0
0%
0,5
1,5 2,5 3,5
4,5 5,5
6,5 7,5
8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5
Velocità (m/s)
182
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Varianza di una variabile aleatoria
o La varianza di una variabile aleatoria X esprime una misura della
“dispersione” dei valori assunti dalla variabile aleatoria attorno al
suo valore medio.
fX  x
X
X
x
2
2
o Si indica con Var  X ,  X o semplicemente 
183
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Varianza di una variabile aleatoria (segue)
Definizione:
2

  Var  X   E  X   X  


2
X
La determinazione positiva  X della radice quadrata della varianza è
chiamata deviazione standard (a volte, “scarto tipo”):
2

 X   E  X   


184
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Varianza di una variabile aleatoria (segue)
 Per variabili aleatorie continue
la varianza (se esiste) si calcola come:
 
2
X
per
alcune



variabili
 x  
f X  x  dx
2
aleatorie
l'integrale
potrebbe
non
convergere; si dice che esse “non hanno varianza”.
 Per le variabili aleatorie discrete
la varianza (se esiste) si calcola mediante la sommatoria
 
2
X
  x   P  X  x     x  
2
k
k
k
k
2
pk
k
185
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Varianza di una variabile aleatoria (segue)
Varianza tendente a zero
Se la varianza di una variabile aleatoria X tende a zero:
P X X    1

fX  x
f X2  x
2  1
f X1  x 
X
x
186
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Calcolo della VARIANZA - ESEMPIO
Calcolare la varianza di X , dove X è una v.a. che indica il risultato del
lancio di un dado: X : 1,2,3,4,5,6 .
Soluzione
1
21 7
  E  X   1  2  3  4  5  6  

6
6 2
2
Var  X   E  X     E  X 2   2

*
(*) E  X 2  2X  2   E  X 2   2E  X   2  E  X 2   2
E  X 2  
1
91
1
4
9
16
25
36








6
6
2
91  7 
91 49 35
Var  X  
  


6 2
6
4 12
187
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
CONFRONTO TRA DISCRETO E CONTINUO - ESEMPIO
pk
Discreto
1/6
1 2
fX(x)
3 4 5 6
k
Continuo

1/6
0
7
   3.5
2
35
Var  X  
 2.91666
12

6
0
1 2
3 4 5 6
Var  X  
x
6
1
1  x  18
x dx      3
6
6  2 0 6
2

6
0
36
2 1



3
x
3
dx


6
12
188
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Interpretazione Empirica della Varianza
o Dato un Campione Aleatorio (n-pla di realizzazioni di variabili
aleatorie X 1 , X 2 ,..., X n indipendenti ed identicamente distribuite), si
definisce varianza campionaria (corretta):
1 n
2
S 
 xi  X 

n  1 i 1
2
con
1 n
X   xi
n i 1
o S 2 costituisce una “stima corretta” della varianza di X.
o Utilizzando il campione di 1488 valori di velocità massima del
vento,
precedentemente
impiegato
per
calcolare
la
media
campionaria pari a 4.22 m/s, si ha:
1488
2
1
2
2
2 2


S 
v
i
4.22
8.45
m
s





Max


1488  1 i 1
189
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Coefficiente di Dispersione
Per ottenere un’indicazione della dispersione relativamente al valore atteso
si usa il coefficiente di dispersione
D

EX 
che è definito solo per le variabili a valor medio non nullo.
190
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Momenti di una Variabile Aleatoria
Il momento di ordine n di una variabile aleatoria X è definito come:
mn  E  X n 
 La media E  X  è quindi il momento del primo ordine.
 Per una densità simmetrica rispetto all’origine (funzione pari), tutti i
momenti di ordine dispari sono nulli.
191
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Momenti Centrali di una Variabile Aleatoria
Il momento centrale di ordine n di una variabile aleatoria X è definito
come:
n

n  E  X    


 Il momento centrale del primo ordine è sempre nullo.
 Il momento centrale del secondo ordine coincide con la varianza
 2   X2 .
192
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Relazione tra Media Quadratica e Varianza
Dalla definizione di varianza e dalle proprietà della media statistica si
ricava
  E  X     E  X    E  X   m2   22  m2  m12
2
X
2
2
X
2
2
cioè la varianza è anche la differenza tra il secondo momento e il
quadrato del primo momento.
Infatti per la linearità dell'operatore valore atteso:
2
 X2  E  X   X    E  X 2   X2  2 X X  


 E  X 2    X2  2 X E  X   E  X 2    X2  2 X2  E  X 2    X2
193
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Indicatori di Forma
La moda:
è quel valore della variabile aleatoria a cui corrisponde il massimo
della funzione di densità di probabilità o della funzione di massa di
probabilità.
fX  x
xMODA
x
194
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Indicatori di Forma: il Coefficiente di asimmetria (Skewness)
S
3
3/ 2
 2 
 S = 0 densità simmetrica
195
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Indicatori di Forma: il Curtosi (Kurtosis)
4
K  2 3
2
Permette di valutare quanto è pronunciato il picco della densità
K=3
K=2
K = 1.2
K=0
K = −0.59
K = −1
K = −1.2
Laplace (D)
Hyperbolic (S)
Logistic (L)
Normal (N)
Cosine (C)
Semicircle (W)
Uniform (U)
196
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Diseguaglianza di Chebyshev
La diseguaglianza di Chebyshev mostra che la probabilità che la
variabile aleatoria X di valore atteso  e dispersione  assuma valori
esterni ad un intervallo arbitrario    ,     è trascurabile se il

è sufficientemente piccolo
rapporto

 
P X      
 
2
Essa è un caso particolare della diseguaglianza di Bienaymè:
P X    

E X 
n

n
197
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Diseguaglianza di Chebyshev (segue)
Dimostrazione:
f (x)
X
p
p
1
2
a
a  
b
x
b  
p1  P  X  a 
p2  P  X  b 
p1  p2  P  X     
198
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Diseguaglianza di Chebyshev (segue)
a
x
b
p
p
1
2
a
b
x
Si sostituisce ai tratti della funzione di densità a destra di b ed a
sinistra di a le due masse puntiformi p1 e p2 .
199
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Diseguaglianza di Chebyshev (segue)
Così si “riduce la varianza”, nel senso che il momento d'inerzia
risultante rispetto ad  sarà minore di  :
2
p1   2  p2   2   2
quindi
2
P X     2

_______________________________________
2

  pk  xk   
Per definizione:
2
k
200
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Diseguaglianza di Chebyshev (segue)
Dimostrazione alternativa:
Var  X    
2


a




 x  
 x    f X  x  dx 
  a  
2
f X  x  dx 
2


 x    f X  x  dx 
2
b
2

a

f X  x  dx   b   
2
  2 p1   2 p2   2 P  X     


f X  x  dx 
b
201
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Diseguaglianza di Chebyshev (segue)
2
Se nella disuguaglianza: P  X       2

poniamo:   k  
2
1
P  X   k    2 2  2
k
k
1
1  P  X   k    2
k

1
P  X   k    1  2
k
Esempio:
k2
k 3
3
P  X    2    0.75
4
8
P  X    2    0.888
9
(per la Gaussiana 0.954)
(per la Gaussiana 0.997)
Gli intervalli di Chebyshev sono “conservativi”
202
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Diseguaglianza di Markov
I valori assunti da una variabile aleatoria non negativa ( X  0 ) sono
concentrati per la maggior parte in un intervallo  0 , c  dell'ordine di
grandezza del valore medio  :
p  P  X  c 

c 
c
f X (x)
p
0
c
x
203
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Teoria dei Fenomeni Aleatori 1
Diseguaglianza di Markov (segue)
Dimostrazione:
Partendo dalla definizione di valore atteso



c



x f X  x  dx 
0
x f X  x  dx 
c


f X  x  dx 
c
 c P  X  c
P  X  c 

c
204
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