Legge di Gauss

LEZIONE 5
5.1 La legge di Gauss
Siamo finalmente giunti a considerare la legge di Gauss,
già altre volte menzionata nella lezione 4. Prima di
enunciare e dimostrare tale legge, ricordiamo la
definizione di angolo solido infinitesimale 𝑑Ω. In
trigonometria definiamo un angolo infinitesimale 𝑑𝜃 =
𝑑𝑠/𝑟 come il rapporto tra la lunghezza 𝑑𝑠 dell’arco
tracciato da un raggio di lunghezza r e il raggio stesso.
Similmente, possiamo definire l’angolo solido come
segue:
Figura 1 Superficie infinitesima 𝑑𝑆 (in colore
rosa) costruita facendo ruotare un segmento di
lunghezza 𝑟 nella direzione dell’angolo di
zenit 𝜃 di 𝑑𝜃 e la proiezione di 𝑟 sul piano 𝑥 −
𝑦 di un angolo 𝑑𝜑.
𝑑𝑆
𝑑Ω = 𝑟2 ,
(1)
ove 𝑑𝑆 è l’elemento di superficie, disegnato in colore
rosa nella fig. 1, ottenuto dalle due rotazioni
infinitesime mostrate nella figura stessa. Come si può evincere dalla fig. 1, allora, possiamo
porre:
𝑑Ω =
(𝑟 sin 𝜃 d𝜑)(𝑟 d𝜃)
𝑟2
= sin 𝜃 d𝜃 d𝜑.
(2)
Questa espressione è molto importante. Infatti, ci dà la
possibilità di calcolare la superficie e il volume di una
sfera di raggio 𝑅. Possiamo fare questi calcoli per
curiosità, ma anche per arricchire il nostro bagaglio di
conoscenze di elementi di geometria di base.
a) Superficie di un sfera di raggio 𝑅.
Figura 2 Volume infinitesimo 𝑑𝑉 (in colore
rosa) costruito attraverso la nozione di angolo
solido.
In questo caso bisogna scrivere, dalla (1), 𝑑𝑆 = 𝑅 2 𝑑Ω e
integrare come segue:
𝑆 = ∫ 𝑑𝑆 = 𝑅 2 ∫ 𝑑Ω.
(3)
Bisogna quindi trovare l’angolo solido Ω sotteso da una sfera. Aiutandoci ancora con la fig. 1,
possiamo vedere che il calcolo deve procedere come segue:
𝜋
2𝜋
𝑆 = 𝑅 2 ∫0 sin 𝜃 d𝜃 ∫0
d𝜑 = 4𝜋𝑅 2.
(4)