LEZIONE 5 5.1 La legge di Gauss Siamo finalmente giunti a considerare la legge di Gauss, già altre volte menzionata nella lezione 4. Prima di enunciare e dimostrare tale legge, ricordiamo la definizione di angolo solido infinitesimale πΩ. In trigonometria definiamo un angolo infinitesimale ππ = ππ /π come il rapporto tra la lunghezza ππ dell’arco tracciato da un raggio di lunghezza r e il raggio stesso. Similmente, possiamo definire l’angolo solido come segue: Figura 1 Superficie infinitesima ππ (in colore rosa) costruita facendo ruotare un segmento di lunghezza π nella direzione dell’angolo di zenit π di ππ e la proiezione di π sul piano π₯ − π¦ di un angolo ππ. ππ πΩ = π2 , (1) ove ππ è l’elemento di superficie, disegnato in colore rosa nella fig. 1, ottenuto dalle due rotazioni infinitesime mostrate nella figura stessa. Come si può evincere dalla fig. 1, allora, possiamo porre: πΩ = (π sin π dπ)(π dπ) π2 = sin π dπ dπ. (2) Questa espressione è molto importante. Infatti, ci dà la possibilità di calcolare la superficie e il volume di una sfera di raggio π . Possiamo fare questi calcoli per curiosità, ma anche per arricchire il nostro bagaglio di conoscenze di elementi di geometria di base. a) Superficie di un sfera di raggio π . Figura 2 Volume infinitesimo ππ (in colore rosa) costruito attraverso la nozione di angolo solido. In questo caso bisogna scrivere, dalla (1), ππ = π 2 πΩ e integrare come segue: π = ∫ ππ = π 2 ∫ πΩ. (3) Bisogna quindi trovare l’angolo solido Ω sotteso da una sfera. Aiutandoci ancora con la fig. 1, possiamo vedere che il calcolo deve procedere come segue: π 2π π = π 2 ∫0 sin π dπ ∫0 dπ = 4ππ 2. (4)
