gravitazione universale

La legge di
Gravitazione Universale
Le leggi di Keplero
Enunciati delle leggi di Keplero
I I pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche di cui il
Sole occupa uno dei fuochi.
II Il segmento che unisce il Sole a un pianeta spazza (cioè
copre), durante il moto del pianeta, aree uguali in
intervalli di tempo uguali.
III I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti intorno al
Sole sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi
maggiori delle loro orbite.
I legge di Keplero
Nella figura è rappresentata un'orbita ellittica, con
indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore
(a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c),
eccentricità (e).
Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti:
La distanza dei pianeti dal
Sole non è costante, ma varia
da un massimo (afelio) ad un
minimo (perielio).
II legge di Keplero
La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo
l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui sotto sono
infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso
tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è
più
corto
che
all'afelio,
l'arco
di
ellisse
è
corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la
velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio.
Sul pianeta viene esercitata
una forza centrale, cioè diretta
secondo la congiungente tra il
pianeta e il sole.
III legge di Keplero
Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano
intorno ai pianeti e può essere espressa in forma
matematica nel modo seguente:
dove K è una costante (a volte detta di Keplero), che
dipende dal corpo celeste preso in considerazione (il Sole
o qualcuno degli altri pianeti).
• Newton scoprì che le masse dei corpi celesti si
attraggono con una forza direttamente
proporzionale al prodotto delle masse
inversamente proporzionale al quadrato delle
distanze; tale attrazione prese il nome di
gravità.
m1m2
F G 2
R
Come Newton giunge alla legge di Gravitazione
Universale
Sapendo che nel moto circolare uniforme l’accelerazione
centripeta è:
2
v
2
ac 
 R
R
E che
2

T
4
ac  2 R
T
2
Terza legge di Keplero
T  kR
2
3
T2
Sostituiamo
nella formula
4
4 1
ac  3 R 
2
kR
k R
2
4 2
k
4 2
 CS
k
2
È una costante quindi posto
Ricaviamo che
CS
ac  2
R
Tenendo conto della II legge della Dinamica F = ma andando a
sostituire l’accelerazione centripeta, si potrà affermare che sul
pianeta P esiste una forza orientata verso il Sole
mP C S
FSP  mP a  2
RSP
Ma Newton mirava ad una espressione universale della
forza agente fra i corpi
principio di azione e reazione
FPS
mS C P
 2
RPS
Le due forze appena espresse devono essere uguali
FSP  FPS
Sostituendo FSP e ad FPS le loro espressioni e
2
semplificando il termine comune RPS
mS CP  mPCS
Da cui dividendo ambo i membri dell’equazione per mS mP
CS C P

mS mP
Questo procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del
Sistema Solare
Allora il rapporto fra la costante Cm di un generico centro
attrattore e la sua massa risulta uguale per qualunque
corpo considerato come centro dell’attrazione e
rappresenti la costante G, che è la costante di Gravitazione
Universale
C S C P Cm
G


mS m P
m
Tornando alle forze FSP - FPS possiamo
ora sostituire in entrambe la costante G
ricordando che CP = GmP e CS = GmS
Così otteniamo:
mS m P
FSP  G 2
RSP
mP mS
FPS  G 2
RPS
Siccome le formule sono identiche la legge si
può definire valente per qualsiasi coppia di
corpi nell’Universo
Legge di
Gravitazione Universale
m1m2
F G 2
R
Schema della
bilancia di
Cavendish
Fr 2
G
Mm
Mm
F G 2
r
x
M
m
r
IL VALORE DELLA COSTANTE G
Esperimento di Cavendish
https://youtu.be/vj0fNxhyh-Y
L’esperimento di Cavendish
• Nell’apparato di Cavendish, si supponga M = 12,7 kg e m = 9,85 g. La
lunghezza L della sbarretta sia 52,4 cm. La sbarretta e il filo formano un
pendolo di torsione avente momento d’inerzia
I = 1,25 x 10-3 Kgm2
Sia t 0 769 sec il periodo di oscillazione. L’angolo 2 tra le due posizioni di
equilibrio della sbarretta è 0,516° con la distanza R fra i centri delle sfere
grandi e piccole uguale a 10,8 cm. Qual è il valore della costante
gravitazionale G ottenuta da questi dati?
Determiniamo prima la costante di torsione K del filo. Il periodo di
oscillazione è legato a K dalla relazione
T  2
I
K
• Risolvendo rispetto a K otteniamo:
 

4 2 I
4 2 1,25 x103
8
K 2 

8
,
34
x
10
N m
2
T
769
La sbarretta è in equilibrio sotto l’azione di due momenti opposti, dovuti alle
azioni del filo e delle sfere grandi. Il modulo del momento torcente
esercitato dal filo è legato allo spostamento angolare dalla relazione:
 0,516 2 
10
x
  3,75 x10 N  m
360 
 2
  K  8,34 x10 8 
Questo momento è equilibrato dal momento totale dovuto alla forza di
gravitazione esercitata da ciascuna sfera grande sulla piccola.
• La forza F è data da:
GmM
F
R2
• E il braccio di tale forza è L/2
• Il momento gravitazionale è quindi:
  2F
L
GmML
 FL 
2
R2
• Risolvendo rispetto a G otteniamo:
3,75 x1010 x0,108
G

 6,67 x1011 N  m 2 / Kg 3
MmL 12,7 x0,00985 x0,524
R 2
2