La legge di Gravitazione Universale Le leggi di Keplero Enunciati delle leggi di Keplero I I pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi. II Il segmento che unisce il Sole a un pianeta spazza (cioè copre), durante il moto del pianeta, aree uguali in intervalli di tempo uguali. III I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite. I legge di Keplero Nella figura è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c), eccentricità (e). Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti: La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio). II legge di Keplero La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui sotto sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio. Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il sole. III legge di Keplero Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e può essere espressa in forma matematica nel modo seguente: dove K è una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste preso in considerazione (il Sole o qualcuno degli altri pianeti). • Newton scoprì che le masse dei corpi celesti si attraggono con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle masse inversamente proporzionale al quadrato delle distanze; tale attrazione prese il nome di gravità. m1m2 F G 2 R Come Newton giunge alla legge di Gravitazione Universale Sapendo che nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è: 2 v 2 ac R R E che 2 T 4 ac 2 R T 2 Terza legge di Keplero T kR 2 3 T2 Sostituiamo nella formula 4 4 1 ac 3 R 2 kR k R 2 4 2 k 4 2 CS k 2 È una costante quindi posto Ricaviamo che CS ac 2 R Tenendo conto della II legge della Dinamica F = ma andando a sostituire l’accelerazione centripeta, si potrà affermare che sul pianeta P esiste una forza orientata verso il Sole mP C S FSP mP a 2 RSP Ma Newton mirava ad una espressione universale della forza agente fra i corpi principio di azione e reazione FPS mS C P 2 RPS Le due forze appena espresse devono essere uguali FSP FPS Sostituendo FSP e ad FPS le loro espressioni e 2 semplificando il termine comune RPS mS CP mPCS Da cui dividendo ambo i membri dell’equazione per mS mP CS C P mS mP Questo procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del Sistema Solare Allora il rapporto fra la costante Cm di un generico centro attrattore e la sua massa risulta uguale per qualunque corpo considerato come centro dell’attrazione e rappresenti la costante G, che è la costante di Gravitazione Universale C S C P Cm G mS m P m Tornando alle forze FSP - FPS possiamo ora sostituire in entrambe la costante G ricordando che CP = GmP e CS = GmS Così otteniamo: mS m P FSP G 2 RSP mP mS FPS G 2 RPS Siccome le formule sono identiche la legge si può definire valente per qualsiasi coppia di corpi nell’Universo Legge di Gravitazione Universale m1m2 F G 2 R Schema della bilancia di Cavendish Fr 2 G Mm Mm F G 2 r x M m r IL VALORE DELLA COSTANTE G Esperimento di Cavendish https://youtu.be/vj0fNxhyh-Y L’esperimento di Cavendish • Nell’apparato di Cavendish, si supponga M = 12,7 kg e m = 9,85 g. La lunghezza L della sbarretta sia 52,4 cm. La sbarretta e il filo formano un pendolo di torsione avente momento d’inerzia I = 1,25 x 10-3 Kgm2 Sia t 0 769 sec il periodo di oscillazione. L’angolo 2 tra le due posizioni di equilibrio della sbarretta è 0,516° con la distanza R fra i centri delle sfere grandi e piccole uguale a 10,8 cm. Qual è il valore della costante gravitazionale G ottenuta da questi dati? Determiniamo prima la costante di torsione K del filo. Il periodo di oscillazione è legato a K dalla relazione T 2 I K • Risolvendo rispetto a K otteniamo: 4 2 I 4 2 1,25 x103 8 K 2 8 , 34 x 10 N m 2 T 769 La sbarretta è in equilibrio sotto l’azione di due momenti opposti, dovuti alle azioni del filo e delle sfere grandi. Il modulo del momento torcente esercitato dal filo è legato allo spostamento angolare dalla relazione: 0,516 2 10 x 3,75 x10 N m 360 2 K 8,34 x10 8 Questo momento è equilibrato dal momento totale dovuto alla forza di gravitazione esercitata da ciascuna sfera grande sulla piccola. • La forza F è data da: GmM F R2 • E il braccio di tale forza è L/2 • Il momento gravitazionale è quindi: 2F L GmML FL 2 R2 • Risolvendo rispetto a G otteniamo: 3,75 x1010 x0,108 G 6,67 x1011 N m 2 / Kg 3 MmL 12,7 x0,00985 x0,524 R 2 2
