Esercizi Geometria Algebrica 1
Damiano Vinciarelli
23 Marzo 2017
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ESERCIZIO 1
Esercizio 1
Si consideri l’immersione di Segre:
Ψ : Pr × Ps −→ PN
([a0 : ... : ar ], [b0 : ... : bs ]) 7−→ [...ai bj ...]
ove i prodotti ai bj sono presi in ordine lessicografico.
Abbiamo già provato che Im(Ψ) = Z(A ), ossia che l’immagine dell’immersione di Segre è un insieme algebrico in PN (ricordiamo che N = rs + s + r).
Ricordiamo che A è l’ideale di C[...Zij ...] generato da tutti i polinomi di
secondo grado del tipo
Zij Zlk = Zik Zlj
Un insieme chiuso in Pr × Ps per la topologia prodotto è della forma U × V
ove U è un chiuso di Pr e V un chiuso di Ps .
Possiamo ridurci allo studio di ipersuperfici, quindi consideriamo insiemi
chiusi che siano insiemi degli zeri di un polinomio irriducibile.
Sia quindi Y ⊆ Pr ×Ps un chiuso; possiamo scrivere Y = Z(f (X0 , ..., Xr )g(Y0 , ..., Ys ))
ove f ∈ C[X0 , ..., Xr ] e g ∈ C[Y0 , ..., Ys ]. Un chiuso nella topologia indotta
dall’immersione di Segre, invece, è l’antimmagine tramite Ψ di un chiuso di
PN .
In particolare, riducendoci anche in questo caso allo studio di ipersuperfici, sia
F (...Zij ...) ∈ C[...Zij ...] un polinomio irriducibile; diamo ora una descrizione
dell’insieme Ψ−1 (Z(F )):
Ψ−1 (Z(F )) = {([a0 : ... : ar ], [b0 : ... : bs ]) ∈ Pr × Ps t. c. F (...ai bj ...) = 0}
Mostriamo innanzitutto che la topologia indotta dall’immersione è più fine
di quella prodotto, ossia che un chiuso nella topologia prodotto è anche un
chiuso per la topologia indotta dall’immersione.
Possiamo considerare, senza perdere generalità, l’intersezione di Y con U0 ×
V0 ossia il caso di un prodotto di ipersuperfici affini; si può ripetere poi
considerando U1 × V1 e cosı̀ via.
Ciò che si ottiene è che se un punto P ∈ Y è affine, allora la sua immagine
è zero del polinomio F (...Zij ...) = f (Z00 , ..., Zr0 )g(Z00 , ..., Z0s ) (utilizzando il
fatto che Z00 = 1 per la scelta di ridurci al caso affine).
Si nota immediatamente che l’insieme Y può essere visto come l’insieme:
Y = {([a0 : ... : ar ], [b0 : ... : bs ]) ∈ Pr × Ps t. c. F (...ai bj ...) = 0}
quindi Y è chiuso anche per la topologia indotta dall’immersione. Viceversa,
è possibile trovare un insieme che sia chiuso per quest’ultima, ma non per la
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topologia prodotto. Si consideri il caso particolare dell’immersione
Ψ : P1 × P1 −→ P3
la cui immagine è una quadrica rigata di P3 . Intersecando tale insieme con
un iperpiano di P3 (che è un chiuso) otteniamo un insieme chiuso per la
topologia indotta dall’inclusione formato da un numero infinito di punti;
invece un qualunque insieme chiuso di P1 × P1 per la topologia prodotto è il
prodotto di due chiusi di P1 , che sono formati da un numero finito di punti.
Pertanto la topologia indotta dall’inclusione è strettamente più fine di quella
prodotto.
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ESERCIZIO 2
Esercizio 2
Consideriamo il d-embedding:
ρd : Pn −→ PN
[a0 : ... : an ] 7−→ [M0 (a) : ... : MN (a)]
ove gli Mi (a) sono tutti i possibili monomi di grado d nelle n variabili
{X0 , ..., Xn }.
Si dimostra che N = n+d
− 1.
n
Mostriamo che il nucleo dell’omomorfismo:
Θ : C[Y0 , ..., YN ] −→ C[X0 , ..., Xn ]
definito da Θ(Yi ) = Mi , è un ideale primo ed omogeneo, che indichiamo con
A.
L’ideale A è primo poiché è nucleo di un omomorfismo di domini d’integrità.
Mostriamo che è omogeneo: sia f = f1 + ... + fk polinomio in C[Y0 , ..., YN ]
scritto come somma di componenti omogenee fi di grado i ciascuna. Visto
che f (Mi ) = 0, allora fj (Mi ) = 0 per ogni i e j; sono, infatti, tutti monomi
di grado differente e quindi devono essere zero singolarmente.
Mostriamo ora che Im(ρd ) = Z(A ). La prima inclusione, Im(ρd ) ⊆ Z(A )
, è semplice: sia P ∈ Im(ρd ), P = (M0 (a), ..., MN (a)) con a ∈ Pn .
Allora, se f ∈ A , si ha che f (M0 (a), ..., MN (a)) = 0 per ogni a ∈ Pn . In
particolare, P annulla ogni elemento f ∈ A , quindi P ∈ Z(A ).
Viceversa: sappiamo che A ⊆ I(Im(ρd )). Sappiamo inoltre che Z(A ) è irriducibile.
Mostriamo dunque che la mappa ρd è chiusa, ossia ρd (Y ) = Z(Θ−1 (I(Y )))
per ogni Y ⊆ Pn chiuso. In particolare, nel caso Y = Pn ottengo I(Y ) = 0,
e quindi ottengo l’uguaglianza cercata.
Innanzitutto, un elemento di ρd (Y ) è del tipo (M0 (a, ..., MN (a)) con a ∈
Y . Un elemento di Θ−1 (I(Y )) è un polinomio F ∈ C[Y0 , ..., YN ] tale che
F (M0 (−), ..., MN (−)) si annulla in a ∈ Y . Abbiamo provato la prima inclusione ρd (Y ) ⊆ Z(Θ−1 (I(Y ))).
Viceversa: si consideri [b0 : ... : bN ] ∈ Z(Θ−1 (I(Y ))). Indichiamo le coordinate in PN con Y0 = M0 = X0d , Y1 = M1 = X0d−1 X1 ,...,Yn = Mn =
X0d−1 Xn ,...,YN = MN = Xnd .
Se scegliamo M = X0d0 X1d1 ...Xndn con d0 + ... + dn = d, allora M0d−d0 M =
M0 M1d1 ...Mndn , che scritto con le Y è: (Y0d−d0 Ym = Y0 Y1d1 ...Yndn ) ∈ A =
Ker(Θ).
Sia ora b0 6= 0; consideriamo le prime n entrate b0 , ..., bn come punto di Pn :
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so che la sua immagine tramite ρd è [b0 : ... : bN ] visto che Ym = Y1d1 ...Yndn
come sopra. Allora rimane da mostrare che [b0 : ... : bn ] è in Y .
Mostriamo che f ([b0 : ... : bn ]) = 0 per ogni f ∈ I(Y ). Fissiamo un tale f ; visto che [b0 : ... : bN ] ∈ Z(Θ−1 (I(Y ))), allora [b0 : ... : bN ] è uno zero di Θ−1 (f ),
ossia di un polinomio F che, calcolato in [M0 (−) : ... : MN (−)] si annulla e
tale che F (M0 (a) : ... : MN (a)) = f (a) per a ∈ Pn . Ora, F (b0 : ... : bN ) = 0
ma 0 = F (b0 : ... : bN ) = f (b0 : ... : bn ). Abbiamo cosı̀ provato l’altra inclusione.
Proviamo ora che ρd è un omeomorfismo di Z(A ) e Pn : è suriettiva poiché
Z(A ) = Im(ρd ), ed è iniettiva banalmente.
So già che è una mappa chiusa, basta mostrarne la continuità per dimostrare
che è un omeomorfismo. Come per l’esercizio precedente, studiamo insiemi
chiusi riducendoci alle ipersuperfici: sia allora F ∈ C[Y0 , ..., YN ], vorrei che
n
ρ−1
d (Z(F )) sia un insieme chiuso in P . Ma tale insieme è:
n
ρ−1
d (Z(F )) = {[a0 : ... : an ] ∈ P t.c F ([M0 (a) : ... : MN (a)]) = 0} =
= Z(F (M0 (X), ..., MN (X)))
che è un insieme chiuso, dunque la mappa è un omeomorfismo.
Infine, un esempio particolare:
ρ3 : P1 −→ P3
I punti dell’immagine del 3-embedding sono i punti della twisted cubic: infatti l’immagine di ρ3 è [X03 : X02 X1 : X0 X12 : X13 ]; i punti di questo tipo,
disomogeneizzando rispetto a X0 sono esattamente i punti del tipo (t, t2 , t3 )
in A3 , con t ∈ A1 .
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ESERCIZIO 3
Esercizio 3
Sia f ∈ C[X1 , ..., Xn ] un polinomio; definiamo l’insieme D(f ) = {a ∈ An :
f (a) 6= 0}. Ovviamente D(f ) = An r Z(f ).
Un qualunque aperto nella topologia di Zariski è del tipo An r Z(A ) con
A ideale di C[X1 , ..., Xn ]. Essendo C[X1T, ..., Xn ] noetheriano, possiamo scrivere A = (f1 , ..., fr ) S
e quindi Z(A ) = ni=1 Z(fi ); pertanto, An r Z(A ) =
S
n
n
n
i=1 (A r Z(fi )) =
i=1 D(fi ).
Gli insiemi del tipo D(f ) sono quindi una base per la topologia di Zariski e
vengono detti aperti standard.
Proviamo ora che D(f ) è una varietà algebrica affine (dimostreremo che
è isomorfa ad una varietà algebrica affine in An+1 ).
Consideriamo la mappa:
Φ : D(f ) −→ Z(Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1) ⊂ An+1
(a1 , ..., an ) 7−→ (a1 , ..., an ,
1
)
f (a1 , ..., an )
Mostriamo intanto che la mappa è biiettiva.
Per l’iniettività, consideriamo due punti (a1 , ..., an ) e (b1 , ..., bn ) in D(f ) tali
che Φ((a1 , ..., an )) = Φ((b1 , ..., bn )). Ovviamente devono coincidere componente per componente e quindi (a1 , ..., an ) = (b1 , ..., bn ).
Per la suriettività, sia (c1 , ..., cn+1 ) un punto di Z(Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1);
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allora cn+1 f (c1 , ..., cn ) = 1 e quindi f (c1 , ..., cn ) 6= 0 e inoltre cn+1 = f (c1 ,...,c
n)
quindi il punto è l’immagine tramite Φ di (c1 , ..., cn ) ∈ D(f ).
Mostriamo ora che la mappa Φ è bicontinua.
Possiamo ridurci a studiare il caso di ipersuperfici, ossia ci riduciamo ad
insiemi chiusi della forma Z(F ) con F ∈ C[X1 , ..., Xn+1 ]. L’antimmagine
tramite Φ di Z(F ) ∩ Z(Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1) è l’insieme:
{(a1 , ..., an ) ∈ An : F (a1 , ..., an ,
1
) = 0}
f (a1 , ..., an )
esiste un polinomio G ∈ C[X1 , ..., Xn ] ed un intero positivo r tali che
1
1 ,...,Xn )
F (X1 , ..., Xn , f (X1 ,...,X
) = fG(X
. Pertanto l’antimmagine cercata è l’in(X1 ,...,Xn )r
n)
sieme Z(G) ∩ D(f ) che è un chiuso in D(f ).
Viceversa, la funzione mappa chiusi in chiusi: infatti se Z(g) ∩ D(f ), con
g ∈ C[X1 , ..., Xn ], è un chiuso del dominio, allora:
Φ(Z(g) ∩ D(f )) = Z(g) ∩ Z(Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1)
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con g visto, nel membro di destra, come polinomio in C[X1 , ..., Xn+1 ].
Dato che Φ è dunque bicontinua e biiettiva, D(f ) è omeomorfo a Z(Xn+1 f (X1 , ..., Xn )−
1) che è una varietà algebrica affine in quanto l’ideale di C[X1 , ..., Xn ] generato da Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1 è primo.
Concludiamo mostrando che ogni varietà algebrica affine ammette una
base per la topologia formata da varietà algebriche affini.
Sia Y ⊆ An una varietà algebrica affine; ad essa è associato l’ideale primo A
in C[X1 , ..., Xn ] tale che Y = Z(A ). Sapendo che gli insiemi del tipo D(f )
sono una base per la topologia di An , gli insiemi D(f ) ∩ Y sono una base per
la topologia di Y (che è quella indotta da An ).
Occorre dunque mostrare che gli insiemi del tipo D(f ) ∩ Y = D(f ) ∩ Z(A )
sono varietà algebriche affini.
Applichiamo lo stesso ragionamento di prima alla mappa seguente:
Φ : D(f ) ∩ Z(A ) −→ Z(A , Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1) ⊂ An+1
(a1 , ..., an ) 7−→ (a1 , ..., an ,
1
)
f (a1 , ..., an )
ove nel codominio l’ideale A è visto in C[X1 , ..., Xn+1 ].
La mappa Φ è biiettiva per lo stesso ragionamento fatto sopra. Mostriamo
che è bicontinua: se Z(F ) ∩ Z(A , Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1) è un chiuso del
codominio, la sua antimmagine tramite Φ è l’insieme dei punti (a1 , ..., an ) in
An che verificano le seguenti condizioni:
- h(a1 , ..., an ) = 0 ∀ h ∈ A
- f (a1 , ..., an ) 6= 0
1
- F (a1 , ..., an , f (a1 ,...,a
)=0
n)
Per il ragionamento precedente, esistono un polinomio G ∈ C[X1 , ..., Xn ] e
1
1 ,...,Xn )
un intero positivo r tali che F (X1 , ..., Xn , f (X1 ,...,X
) = fG(X
, pertanto
(X1 ,...,Xn )r
n)
n
l’antimmagine cercata è Z(G) ∩ Z(A ) ∩ D(f ) ⊂ A .
Viceversa, se Z(g) ∩ D(f ) ∩ Z(A ), con g ∈ C[X1 , ..., Xn ], è un chiuso del
dominio:
Φ(Z(g) ∩ D(f ) ∩ Z(A )) = Z(g) ∩ Z(A , Xn+1 f (X1 , ..., Xn ) − 1)
con g visto in C[X1 , ..., Xn+1 ] nel membro di destra.
Abbiamo ottenuto che D(f )∩Z(A ) è omeomorfo a Z(A , Xn+1 f (X1 , ..., Xn )−
1) che è una varietà algebrica affine in An+1 visto che l’ideale (A , Xn+1 f (X1 , ..., Xn )−
1) di C[X1 , ..., Xn ] è primo.
