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RIASSUNTO

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RIASSUNTO
Che cosa è la fisica: Studio delle proprietà e dei fenomeni della materia e della radizazione. E’ uno studio
sperimentale, quantitativo e progressivo.
Grandezza fisica: ogni caratteristica che può essere misurata
Funzioni: Quando una grandezza y varia in relazione ad un’altra grandezza x si parla di funzione e si indica
con y(x). La x si chiama variabile indipendente e la y variabile dipendente
Misurare una grandezza: confrontarla con uno standard (unità di misura)
Grandezze fondamentali: grandezze, scelte per convenzione, dalle quali si possono ottenere tutte le altre
(grandezze derivate)
Errore di misura e loro trattazione: La misura è il rapporto tra una grandezza fisica e una unità campione.
Una misura comporta sempre un errore. Migliorando la qualità degli strumenti di misura possiamo ridurre
l’errore e aumentare la precisione
•
•
Le cifre significative di un numero decimale sono tutte quelle che compaiono, dopo eventuali zeri
iniziali
Le cifre significative di un numero intero sono tutte quelle che compaiono prima di eventuali zeri
finali
Scrivere il numero in notazione scientifica aiuta a contare le cifre significative. In una misura indiretta, bisogna
arrotondare il risultato a seconda del numero di cifre significative di partenza:
•
•
nella moltiplicazione/divisione, il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative del
fattore meno preciso
nella somma/sottrazione, individuare la misura meno precisa e arrotondare le altre misure in modo
che abbiano lo stesso numero di cifre decimali della misura meno precisa
Analisi dimensionale: Ogni grandezza derivata G può essere espressa in termini delle grandezze
fondamentali
Grandezze scalari: definite da un numero con una unità di misura. Definite completamente dalla loro
intensità (non hanno una direzionalità). Per determinarle è sufficiente un numero reale (eventualmente con
unità di misura). Le operazioni che si eseguono obbediscono alle regole dell’algebra
Grandezze vettoriali: definite da modulo, direzione e verso, si indicano con una freccia sopra o in grassetto.
Il modulo di un vettore si indica con il valore assoluto. Due vettori sono uguali se hanno stessa intensità,
direzione e verso.
1
Componenti cartesiane: In due dimensioni, le componenti cartesiane sono due e sono dirette lungo gli assi
x e y.
con x^ e y^ versori, cioè vettori di modulo unitario diretti lungo gli assi x e y
rispettivamente
Somma di vettori:
Il risultato è un vettore. In vettori con direzioni diverse si ricorre alla
regola del parallelogramma (1) o regola punto coda (2)
(1)
(2)
Differenza di vettori:
Il risultato è un vettore. Equivale a somma il vettore u con il
vettore –v. Il vettore –v ha stesso modulo e direzione ma verso opposto
Prodotto di uno scalare per un vettore:
Il risultato è un vettore. Modulo:
. Stessa direzione di v. Stesso verso di v se a > 0, verso opposto se a < 0
Prodotto scalare: Il risultato è uno scalare.
. Proprietà:
•
•
È nullo quando i vettori sono perpendicolari
•
a > 0 per
Prodotto
vettoriale:
; a > 0 per
Il
risultato
è
un
vettore.
.
Modulo:
. Direzione: perpendicolare al piano contenete i vettori uv. Verso dato
dalla regola della mano destra. Proprietà:
•
•
È nullo quando i vettori sono paralleli
2
Regola della mano destra: Sia w = u x v. Mettere il pollice della mano destra nella direzione e verso del primo
vettore (u). Mettere le altre quattro dita della mano destra nella direzione e verso del secondo vettore (v). Il
vettore w, ortogonale al piano contenente u e v, ha verso uscente dal palmo della mano destra
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CINEMATICA
Posizione e spostamento: La posizione del punto materiale viene individuata fissando un sistema di
riferimento (una retta). Quando la posizione cambia, si verifica uno spostamento. Lo spostamento è il vettore
che va dal punto iniziale al punto finale. Lo spostamento non sempre coincide con il cammino percorso.
Traiettoria: E’ il luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento. Casi particolari:
• Se la traiettoria è una retta, il moto viene detto rettilineo
• Se la traiettoria è una circonferenza, il moto viene detto circolare
Velocità: E’ un vettore, rappresenta la rapidità con cui cambia la posizione nel tempo. La velocità media è il
rapporto fra lo spostamento avvenuto in un intervallo di tempo e l’intervallo di tempo:
Il limite
della velocità media è la velocità istantanea:
. L’unità di
misura è metro al secondo (m/s). Graficamente, la velocità istantanea ha la direzione della tangente alla
traiettoria.
Accelerazione: E’ un vettore, rappresenta la rapidità con cui cambia il vettore velocità nel tempo.
Accelerazione media: è il rapporto fra la variazione di velocità in un intervallo di tempo e l’intervallo di
tempo:
Il limite
dell’accelerazione media è l’accelerazione istantanea:
Si misura in metri al secondo (m/s2).
.
Moto rettilineo: In un moto rettilineo la traiettoria è una retta. Spostamento, velocità e accelerazione hanno
sempre la stessa direzione. Fissato un verso, sono positivi se concordi al riferimento, negativi se hanno verso
opposto.
Se un punto materiale si sposta lungo una retta dalla posizione x1 al tempo t1 alla posizione x2 al tempo t2,
la sua velocità media è:
Per ogni istante di tempo si può definire la velocità istantanea:
Il segno della velocità indica il verso del moto sull’asse x. Se nell’intervallo
l’accelerazione media è:
L’accelerazione istantanea del moto rettilineo è:
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la velocità varia di
,
MOTO RETTILINEO UNIFORME
Rettilineo: la traiettoria è una retta
Uniforme: velocità costante in modulo, direzione e verso, quindi spazi uguali sono percorsi in tempi uguali e
l’accelerazione è nulla: a = 0
Sia x0 la posizione occupata dal punto materiale al tempo t0, v la sua velocità (costante), allora
Nel piano x, t è l’equazione di una retta con pendenza v
MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Rettilineo: la traiettoria è una retta
Uniformemente accelerato: accelerazione è costante in modulo, direzione e verso
Sia x0 la posizione occupata dal punto materiale al tempo t0 e v0 la sua velocità, allora
Ricaviamo la legge oraria:
CADUTA LIBERA
Esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato
“Se si lascia cadere qualsiasi oggetto da una certa altezza, eliminando gli effetti dell’aria, esso cadrà con
accelerazione costante, indipendentemente dalla sua massa, densità, …”
La traiettoria è lungo la verticale. L’accelerazione (costante in modulo, direzione e verso) è l’accelerazione di
gravità, di modulo
, diretta lungo la verticale, verso il basso, cioè a=-g
COMPONENTI CARTESIANE
Sia il vettore posizione che individua un punto materiale che si muove nel piano x,y.
Il vettore posizione, la velocità e l’accelerazione possono essere espresse in componenti cartesiane
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Il moto può essere scomposto nei moti lungo x e y, indipendenti fra loro.
MOTO DEL PROIETTILE
Il moto del proiettile è il moto di un punto materiale lanciato con velocità iniziale
formante un angolo θ
con l’asse delle ascisse. Conviene studiarlo separandolo nelle due componenti orizzontale e verticale perché
il moto lungo la direzione orizzontale e quello lungo la direzione verticale sono indipendenti.
Moto in orizzontale: moto rettilineo uniforme con velocità v0x
Moto in verticale: moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione g e velocità iniziale v0y
Dal sistema, si ottiene la traiettoria parabolica nel piano x,y:
GITTATA
La gittata G è la distanza che il proiettile ha percorso lungo l’asse x quando ha raggiunto il suolo, cioè quando
y = 0. Si trova imponendo y(t) = 0, ricavando t e sostituendolo nell’equazione per x(t):
ALTEZZA MASSIMA
L’altezza massima raggiunta dal proiettile si ottiene imponendo che la componente della velocità lungo la
direzione verticale sia nulla:
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che corrisponde al punto avente ascissa
e ordinata
MOTO CIRCOLARE
La traiettoria di un moto circolare è una circonferenza. In ogni punto, il vettore velocità è tangente alla
circonferenza. Conviene scomporre l’accelerazione nelle due componenti tangenziale e centripeta:
• L’accelerazione tangenziale cambia il modulo della velocità
• L’accelerazione centripeta cambia la direzione della velocità
GRANDEZZE ANGOLARI
Un moto circolare può essere descritto riferendosi allo spazio s(t) percorso lungo la circonferenza, oppure
all’angolo ϴ(t) sotteso dall’arco:
dove R è il raggio della circonferenza. L’angolo ϴ si misura in radianti [rad]. Un angolo giro è pari a
360° = 2π rad.
•
velocità angolare
diretta lungo la perpendicolare al cerchio, verso dalla regola della mano destra: il pollice della
mano destra indica il verso della velocità e le altre dita si devono chiudere nel verso della
rotazione; si misura in radianti al secondo [rad/s]
•
accelerazione angolare
diretta lungo la perpendicolare al cerchio: si misura in radianti al secondo quadro [rad/s2]
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Nel moto circolare uniforme la traiettoria è una circonferenza, percorsa a velocità costante in modulo, pari a
v
• L’accelerazione tangenziale è nulla!
•
•
L’accelerazione centripeta è costante e vale
Si definisce periodo T il tempo impiegato a percorrere l’intera circonfereza, e vale
•
Legge oraria per gli archi:
•
Legge oraria per gli angoli:
MOTO CIRCOLARE UNIFORMEMENTE ACCELERATO
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Nel moto circolare uniformemente accelerato la traiettoria è una circonferenza, percorsa con accelerazione
costante. E’ presente quindi anche un’accelerazione tangenziale, pertanto anche il modulo della velocità
cambia nel tempo.
•
Legge oraria per gli archi
dove v0 è la velocità iniziale e at l’accelerazione tangenziale
•
Legge oraria per gli angoli
dove ϴ=s/R, ω0=v0/R è la velocità angolare iniziale, ɑ=at/R, con R raggio della circonferenza.
•
Legge per la velocità lineare:
• Legge per la velocità angolare:
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DINAMICA
Prima legge di Newton: Se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, allora il corpo perservera nello
stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Anche detta legge di inerzia, perché l’inerzia è la tendenza di
un corpo a mantenere la propria velocità. Tale legge vale nei sistemi di riferimento inerziali. Dato un sistema
di riferimento inerziale, tutti i sistemi che si muovono con velocità costante rispetto ad esso sono inerziali.
Forza: La variazione di una velocità (in modulo e/o direzione) è dovuta all’azione di una forza. La forza è la
grandezza che misura l’interazione fra i corpi. E’ una grandezza vettoriale, quindi la risultante di due forze si
calcola secondo le regole della somma dei vettori. L’unità di misura della forza è il newton(N).
Seconda legge di Newton: Una forza determina una variazione di velocità del punto materiale secondo la
relazione
dove m è la massa inerziale del punto materiale, è una grandezza scalare che esprime la proprietà di un
corpo di opporsi alle variazioni del suo stato di moto; si misura in kg.
è l’accelerazione subita (ha stessa
direzione e verso di
. La sommatoria indica che bisognare sommare tutte le forze che agiscono sul
punto materiale. Se la sommatoria è uguale a 0 viene riprodotta la prima legge di Newton. Vale nei sistemi
di riferimento inerziali.
La seconda legge di Newton è un’equazione vettoriale. Può essere espressa anche attraverso le sue
componenti:
Si ottiene anche la definizione di newton:
Quantità di moto: Di un punto materiale di massa m e che si muove con velocità v è:
vettore che ha la stessa direzione e verso di v. Per definizione di accelerazione, si ha:
La seconda legge di Newton si può anche esprimere nel modo seguente:
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. E’ un
per cui una forza determina una variazione della quantià di moto.
Terza Legge di Newton: Se un corpo A esercita una forza
su un corpo B, il corpo B reagisce esercitando
una forza
, lo stesso modulo e verso opposto:
sul corpo A, avente la stessa direzione di
E’ noto come principio di azione e reazione. Le due forze agiscono su corpi diversi.
Forza Peso:
E’ la forza esercitata dalla Terra su un corpo posto in prossimità della sua superficie dovuta all’attrazione
gravitazionale.
• la forza peso che agisce su un corpo è costante
• è sempre diretta lungo la direzione verticale, verso il basso
• si misura in newton
Si ricava dalla seconda legge della dinamica, osservando che un corpo lasciato cadere in assenza di altre forze
ha un’accelerazione pari a
, diretta verticalmente verso il basso. NON CONFONDERE MASSA
CON PESO. La massa è caratteristica solo del corpo e ha ovunque lo stesso valore.
Reazione vincolare normale: Un oggetto resta fermo su un tavolo nonostante su di esso agisca la forza peso.
Spiegazione: sull’oggetto agisce anche un’altra forza, uguale e opposta alla forza peso, nota come reazione
vincolare normale o forza normale, esercitata dal tavolo (vincolo). Normale significa perpendicolare, in
quanto la reazione è sempre diretta in direzione perpendicolare alla superficie.
La forza normale e la forza peso che agiscono su un oggetto non sono forze di azione e reazione, che invece
non agiscono sullo stesso corpo.
Tensione di una corda: E’ una reazione vincolare, esercitata da una corda tesa. Si noti che la reazione
vincolare e la tensione di una corda non sono note a priori, ma vanno determinate caso per caso, note le
altre forze agenti e l’accelerazione.
Forze di attrito: Quando la superficie di un corpo scivola su quella di un altro corpo, ciascuno dei due esercita
una forza di attrito sull’altro, che agisce lungo la superficie di contatto, in verso opposto a quella del moto
(forza di attrito radente). Ci sono due tipi di forze di attrito radente:
• Statico: esercitata quando il corpo è fermo
• Dinamico: esercitata quando il corpo è in movimento
Forza di attrito statico: Se viene applicata una forza F, con direzione orizzontale, a un corpo che si trova su
un piano orizzontale, esso non si muove finchè il modulo della forza applicata non supera un valore di soglia,
che vale
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è il coefficiente di attrito statico (scalare), N è il modulo della forza normale. La forza di attrito statico
non ha un valore noto a priori, ma ha un valore compreso fra 0 e Fsmax. Il valore di Fs deve essere determinato
caso per caso attraverso la seconda legge di Newton.
Forza di attrito dinamico: Compare quando un corpo è in movimento su una superficie, ha modulo
è il coefficiente di attrito dinamico (scalare), N è il modulo della forza normale. La forza di attrito dinamico
ha direzione parallela al piano e verso opposto al moto fra le superfici. Si ha sempre
Forza centripeta: Perché un punto materiale possa compiere un moto circolare, deve esserci
un’accelerazione centripeta, che fa cambiare direzione alla velocità. Per la seconda legge di Newton,
un’accelerazione è sempre causata da una forza. E’ la forza risultante responsabile di un’accelerazione
centripeta, diretta lungo il raggio verso il centro della circonferenza. Il suo modulo è:
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Energia meccanica
Lavoro di una forza: Il lavoro di una forza F compiuto durante lo spostamento da una posizione iniziale i alla
posizione finale f lungo un percorso Λ è
Il lavoro è uno scalare; · è il simbolo di prodotto scalare F · dr = F cosƟdr, dove Ɵ è l’angolo fra F e dr. dr è lo
spostamento infinitesimo. E’ un integrale di linea, ottenuto sommando tutti gli spostamenti infinitesimi da i
a f lungo il percorso Λ. Dipende dal percorso che unisce i punti i e f.
Se su un corpo agiscono più forze, il lavoro totale compiuto sul corpo è la somma dei lavori compiuti da
ciascuna forza. L’unità di misura è il joule (J) con j = Nm = kg*m/s2.
Dimostrazione: Ricaviamo la formula del lavoro della forza variabile F(x) diretta lungo l’asse x nel caso in cui
lo spostamento sia pure lungo x. Consideriamo un piano cartesiano con ascissa F e ordinata x e disegniamo
l’andamento della forza al variare della posizione. Suddividiamo [i,f] in tanti intervallini infinitesimi dx, in cui
la forza può essere considerata costante. In ciascun intervallo il lavoro è (cosƟ=1): dL = F(x)dx. Il lavoro
compiuto da F(x) si ottiene sommando tutti i lavori infinitesimi dL
Lavoro di una forza costante: La formula del lavoro si semplifica quando la forza F è costante:
Proprietà:
• L = 0 se non viene applicata alcuna forza
• L è massimo se F e s sono paralleli tra loro e concordi (cosƟ=1)
• L è minimo se F e s sono paralleli tra loro e discordi (cosƟ=-1)
• L è nullo se F e s sono perpendicolari tra loro (cosƟ=0)
• L > 0 per 0 < Ɵ < 90°
• L < 0 per 90°<Ɵ<180°
Potenza: E’ il lavoro per unità di tempo: P = dL/dt. Può essere espressa tramite la velocità:
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La potenza media per compiere un lavoro nell’intervallo di tempo Δt è: P = L/Δt. L’unità di misura della
potenza è il watt(W) definita come W = J/s
Energia cinetica: K = ½*m*v2. E’ una grandezza scalare, e si misura in joule.
Teorema dell’energia cinetica: Il lavoro svolto da TUTTE le forze agenti su un corpo è uguale alla variazione
della sua energia cinetica
Dimostrazione: Supponiamo che su un corpo agisca una sola forza e che sia parallela allo spostamento,
entrambi diretti lungo la direzione x
Forze conservative: Una forza si dice conservativa se il lavoro che svolge per spostare un corpo non dipende
dal percorso effettuato dal corpo ma solo dalla sua posizione iniziale e finale. In altre parole, il lavoro di una
forza conservativa calcolato lungo un qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e quello finale ha sempre
lo stesso valore. Esempi di forze conservative sono la forza peso e la forza elastica, mentre esempio di forza
non conservativa è la forza d’attrito.
Se un corpo percorre un percorso chiuso, il lavoro svolto dalla forza conservativa è nullo, infatti
Forze non conservative: Un esempio di forza non conservativa è la forza di attrito. Il lavoro della forza di
attrito dipende dal percorso seguito per andare dalla posizione iniziale a quella finale. La forza di attrito è
sempre parallela allo spostamento, con verso opposto, e ha modulo costante.
Energia potenziale: Per le forze conservative si può definire l’energia potenziale U tale che ΔU = Uf – Ui = -Lfc.
La variazione di energia potenziale di una forza conservativa fra uno stato finale f e uno stato iniziale i è
uguale al lavoro svolto dalla forza conservativa cambiato di segno. Si può fissare arbitrariamente il valore
dell’energia potenziale U(x0) in una posizione di riferimento x0 e calcolare gli altri valori di U(x) rispetto al
riferimento scelto. Si noti che il lavoro di una forza conservativa su un percorso chiuso risulta banalmente
nullo
Energia potenziale della forza peso: La forza peso è una forza conservativa. Il lavoro della forza peso è L = P
* s = mgh. Inoltre L = -ΔU = -(U(0) – U(h)). Assumendo U(0) = 0, l’energia potenziale della forza peso è quindi:
U(y) = mgy.
Energia potenziale elastica: La forza elastica è conservativa. Il lavoro della forza elastica per portare un
oggetto attaccato a una molla da x=d a x=0, con x=0 posizione a riposo della molla, è
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Poiché deve essere L = - ΔU=-U(0)+U(d)
=> -U(0)+U(d)=1/2*k*d2.
Scegliendo il riferimento U(0)=0, si ottiene l’energia potenziale della forza elastica
U(x)=1/2k*x2
Energia meccanica: L’energia meccanica è somma dell’energia cinetica e delle energie potenziali associate
alle eventuali forze conservative agenti
Conservazione dell’energia meccanica: Se durante il moto di un punto materiale agiscono solo forze
conservative, l’energia meccanica resta costante, quindi si conserva.
• Se agiscono solo forze conservative => ΔE = 0
• Se agiscono anche forze non conservative => ΔE ≠ 0
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Sistemi di punti materiali
Insieme di punti materiali interagenti
• Forze interne: forze di interazione fra punti materiali del sistema (coppie azione/reazione)
• Forze esterne: forze di interazione dei punti materiali con l’esterno
Centro di massa: Fissato un sistema di riferimento, il centro di massa di un sistema di punti materiali è il
punto geometrico che ha posizione
La sommatoria coinvolge tutte le particelle i che compongono il sistema individuate da ri. Le sue coordinate:
Il centro di massa potrebbe non coincidere con alcun punto materiale del sistema. La sua posizione dipende
solo da come la massa del corpo è distribuita. Se un sistema è omogeneo, si trova nel punto di simmetria.
Altrimenti, si trova nel punto in cui c’è maggior concentrazione di massa.
La velocità del CM è
dove vi = dri / dt sono le velocità dei punti materiali del sistema. L’accelerazione è
dove ai = dvi / dt sono le accelerazioni dei punti materiali del sistema. Inoltre la quantità di moto totale è
mentre l’energia cinetica totale è
Moto del centro di massa: Lo studio del moto del sistema può essere semplificato scomponendo il moto in
quello del centro di massa e in quello attorno al centro di massa.
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•
Se la somma delle forze esterne agenti sul sistema è nulla, il centro di massa si muove di moto
rettilineo uniforme
• Se la risultante delle forze esterne è diversa da zero, può essere descritto come il moto di una
particella che occupi la posizione del centro di massa, abbia massa uguale alla massa totale del
sistema e su cui agisca la risultante delle forze esterne.
Sia Fi la risultante di tutte le forze agenti sulla particella i. Per la seconda legge della dinamica
Sommando su i (cioè su tutte le particelle) si ha
dove M è la massa totale del sistema. La somma di tutte le forze comprende forze interne e esterne, ma la
somma delle forze interne è nulla perché compaiono sempre a coppia
Il moto del centro di massa è quindi causato solo dalle forze esterne
Il moto del centro di massa fornisce informazioni sul moto traslatorio di un sistema di particelle. La quantità
di moto totale del sistema
cioè è uguale al prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa. L’equazione del moto del
centro di massa può essere scritta come:
Conservazione della quantità di moto: Dall’equazione del moto del centro di massa si evince che se la
risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema si conserva.
Scomponendo nelle tre direzioni, la conservazione della quantità di moto implica che se è uguale a 0, ciascuna
componente della quantità di moto resta costante. Può essere applicata parzialmente.
Momento angolare di un punto materiale: Il momento angolare o momento della quantità di moto di un
punto materiale di massa m rispetto a un polo O è:
con v la velocità del punto e r il suo vettore posizione rispetto a O.
Il momento angolare:
• ha modulo L = m*r*v*sinƟ (Ɵ è l’angolo fra r e v)
• ha direzione perpendicolare a r e v
• verso dato dalla regola della mano destra
• si misura in kg m2/s
Il momento angolare totale è la somma dei momenti angolari delle singole particelle:
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Momento della forza: Il momento della forza F rispetto al polo O è un vettore dato dal prodotto vettoriale
del vettore che va da O al punto di applicazione della forza per la forza:
•
dipende dalla scelta del polo
• ha modulo
• ha direzione perpendicolare al piano contenente r e F e verso dato dalla regola della mano destra
• è nullo se r || F, se r = 0 o se F = 0
• ha modulo massimo per r perpendicolare a F
• si misura in N m
Il modulo può essere scritto in termini della componente di F lungo la direzione perpendicolare a r:
oppure in termini della componente di r lungo la direzione perpendicolare a F, anche detta braccio:
Relazione fra momento angolare e momento della forza: Si consideri un punto materiale e sia L il momento
angolare rispetto a un polo O fisso. Si ha:
La variazione del momento angolare è causata dal momento delle forze agenti.
Momento angolare di un sistema di punti materiali: Si consideri un sistema di punti materiali e sia L il
momento angolare totale rispetto a un polo O fisso, cioè
Fi = Fi,ext+Fi,int è la risultante delle forze agenti su i.
Il momento totale delle forze interne rispetto a O è nullo:
Si può mostrare considerando una coppia di punti interagenti
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Essendo
il momento delle forze esterne agenti sul sistema, si ha
Teorema del momento angolare
La variazione del momento angolare totale di un sistema rispetto a un polo fisso O è determinata solo dal
momento delle forze esterne rispetto al polo O:
Conservazione del momento angolare: Se in un sistema di punti materiali il momento delle forze esterne
rispetto a un polo fisso è nullo, il momento angolare totale rispetto al polo resta costante. Si verifica Ƭext = 0
se:
• non agiscono forze esterne
• il momento delle forze esterne rispetto a un certo polo fisso O è nullo
Corpi rigidi: Particolare sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non
possono variare. Può effettuare due tipi di moto: moto di traslazione e il moto di rotazione.
• Traslazione: tutti i punti descrivono traiettorie uguali, percorse con la stessa velocità v = vcM; si studia
dalle equazioni del moto del centro di massa
• Rotazione: tutti i punti descrivono un moto circolare, con centro della traiettoria su uno stesso asse
(asse di rotazione); si studia col teorema del momento angolare
Il moto rigido più generale è una rototraslazione, somma di una rotazione e una traslazione.
Corpo rigido: Può essere costituito da un insieme discreto di punti o i punti possono essere distribuiti con
continuità. Le forze interne sono tali che:
• Σ Fint = 0 hanno risultante nulla
• Ƭint = 0, il momento di tutte le forze interne è nullo
•
Lint = 0, le forze interne non fanno lavoro, perché le posizioni relative dei punti del sistema non
cambiano; questo implica che la variazione di energia cinetica di un corpo rigido è uguale al lavoro
delle sole forze esterne => ΔK = Lext
Corpo continuo: Un corpo continuo è un sistema di punti materiali in cui i punti sono distribuiti con
continuità. Le definizioni viste per sistemi di punti materiali possono essere estese ai corpi continui
sostituendo le sommatorie con gli integrali, dividendo il corpo continuo in volumetti infinitesimi dV di massa
dm.
Il centro di massa di un corpo rigido di massa M è individuato da:
Se un corpo ha simmetria sferica, cioè la densità (massa/volume) dipende solo dalla distanza dal centro, il
CM coincide con il centro geometrico della sfera.
Se ha simmetria cilindrica, cioè la densità dipende solo dalla distanza da un asse, il CM si trova sull’asse di
simmetria.
Moto: Il moto di un corpo rigido può essere descritto come la composizione di un moto puramente rotatorio
e di uno traslatorio. Un corpo rigido esegue un moto puramente rotatorio se tutti gli elementi del corpo si
muovono lungo una traiettoria circolare. I centri delle circonferenze devono cadere su una retta detta asse
di rotazione.
Moto di traslazione: Tutti i punti descrivono traiettorie uguali, percorse con la stessa velocità, uguale alla
velocità del centro di massa. L’equazione del moto del centro di massa è
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Teorema di Steiner: Il momento di inerzia di un corpo relativo a un asse qualsiasi è uguale alla somma del
momento d’inerzia relativo all’asse parallelo al primo passante per il centro di massa e del prodotto della
massa totale del corpo per il quadrato della distanza tra i due assi
Poiché Mh2>0, il momento di inerzia relativo a un asse passante per il centro di massa è il minimo fra i
momenti d’inerzia relativi a assi paralleli
Momento angolare di un corpo rigido: Si consideri un corpo rigido in rotazione rispetto all’asse z con
velocità angolare ω. L’asse di rotazione è fisso, quindi ω e α hanno direzione fissa, parallela all’asse di
rotazione. Si trova che il momento angolare totale di un corpo rigido non è sempre parallelo alla velocità
angolare, e che la sua componente lungo l’asse z di rotazione è Lz = Iz ω, dove Iz è il momento d’inerzia
del corpo rigido rispetto all’asse z. Il momento angolare di un corpo rigido risulta parallelo alla
velocità angolare quando l’asse di rotazione è un asse di simmetria del corpo.
Seconda legge di Newton per i moti rotatori: La componente del moto angolare di un corpo rigido lungo
l’asse z di rotazione è: Lz = Iz ω. Se L è parallelo a ω, si ha
L’equazione del moto di rotazione è Ƭext = Iz α. Permette di conoscere l’accelerazione angolare a partire
dal momento delle forze esterne, noto il momento d’inerzia. Anche Ƭext e α sono paralleli a ω.
Energia cinetica di rotazione: Si consideri un corpo rigido in rotazione rispetto all’asse z con velocità angolare
ω. Un punto P ha energia cinetica Kp = ½mpRp2 ω2. L’energia cinetica del corpo rigido in rotazione è
K= Σ ½ mpRp2 ω2 = ½(ΣmpRp2)ω2=½Iz ω2
Lavoro nelle rotazioni: Il lavoro compiuto dal momento torcente Ƭ su un corpo rigido che ruota intorno a un
asse fisso passante per il polo O è
Se Ƭ è costante, il lavoro compiuto per una rotazione di un angolo Ɵ è L = Ƭ Ɵ. La potenza istantanea è
Momento della forza peso: In un corpo rigido l’insieme di tutte le forze di gravità che agiscono su ciascun
elemento può essere sostituito da una sola forza che è uguale al prodotto della massa del corpo rigido per
l’accelerazione di gravità, applicata in un punto detto baricentro.
Ptot = Σ Pi = Mg
Equilibrio: Affinchè un corpo rigido, sia in posizione di equilibrio statico le seguenti condizioni devono essere
contemporaneamente soddisfatte:
• La risultante delle forze esterne deve essere nulla
• Il momento delle forze esterne totale deve essere nullo
La prima condizione garantisce l’equilibrio statico del centro di massa, la seconda che non ci sia moto
rotatorio. Se la risultante delle forze esterne è nulla, la seconda condizione è indipendente dal polo rispetto
al quale vengono calcolati i momenti. Le due condizioni possono essere espresse anche attraverso le loro
proiezioni lungo gli assi cartesiani.
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Termodinamica
Temperatura: Due corpi a contatto termico sono in equilibrio termico se non vi è passaggio di calore da uno
all’altro
Due corpi in equilibrio termico hanno la stessa temperatura. La temperatura T è una proprietà dei sistemi
termodinamici in equilibrio.
La temperatura di un corpo è legata all’energia cinetica media posseduta dalle sue molecole nel moto di
agitazione termica.
Misura della temperatura: Per misurare la temperatura di un oggetto, si pone l’oggetto a contatto termico
con un altro oggetto, detto termometro, fino al raggiungimento dell’equilibrio termico.
La temperatura è una grandezza fondamentale. Nel S.I la temperatura si misura in kelvin (K).
La scala Kelvin è tale che la più bassa temperatura raggiungibile corrisponda alla temperatura di 0K. Pertanto,
tutti i valori della temperatura espressi in scala Kelvin sono positivi. E’ detta anche scala assoluta.
Scala Kelvin: Per costruire la scala Kelvin, bisogna definire il valore di 1 kelvin. Il riferimento è la temperatura
del punto triplo dell’acqua, ove coesistono in equilibrio termico le fasi solida, liquida e gassosa. La
temperatura del punto triplo dell’acqua è fissata a Ttr = 273.16 K. 1 kelvin equivale a 1/273.16 della
temperatura del punto triplo dell’acqua.
Scala Celsius: I due riferimenti per la definizione della scala Celsius sono il punto di congelamento dell’acqua
(0° C) e il punto di ebollizione dell’acqua (100° C) a pressione atmosferica. La relazione fra una temperatura
espressa in Celsius e una in kelvin è Tc = T – 273.15. La temperatura del punto triplo dell’acqua in Celsius è Ttr
= 0.01° C.
Misura della temperatura: Può essere effettuata sfruttando una proprietà termometrica di una sostanza,
cioè una proprietà che dipenda dalla temperatura. Se assumiamo una dipendenza lineare della temperatura
dalla grandezza termometrica X, si ha T(X) = aX. Per trovare il valore di a, si può misurare Xtr in corrispondenza
della temperatura del punto triplo dell’acqua T = 273.16 K, da cui T(X)=273.16K*(X/Xtr. Non tutte le grandezze
termometriche dipendono linearmente dalla temperatura.
Termometro a gas a volume costante: E’ costituito da un bulbo contenente gas, il cui volume è mantenuto
costante, collegato a un manometro che ne misura la pressione. Il bulbo viene messo prima a contatto
termico con un recipiente contenente acqua al punto triplo, e si registra la pressione misurata dal manometro
(ptr); poi il bulbo viene messo a contatto con la sostanza di cui vogliamo conoscere la temperatura, e,
all’equilibrio termico, si registra la pressione misurata dal manometro (p). La temperatura della sostanza sarà
T(p) = 273.16K*(p/ptr). Questo procedimento si può ripetere variando la quantità di gas nel bulbo. La scala di
temperatura del gas perfetto è definita come
La temperatura così definita è assoluta, non dipende dal tipo di sostanza con cui viene misurata.
Dilatazione termica: Riguarda la variazione di una dimensione lineare di un solido al variare della
temperatura. Per variazioni di temperatura non troppo grandi, la variazione di lunghezza ΔL è proporzionale
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a ΔT e alla lunghezza iniziale L: ΔL = αLΔT. Α è il coefficiente di dilatazione lineare, caratteristico della sostanza.
α positivo indica che il materiale si espande al crescere della temperatura. Anche per i volumi si trova che la
dilatazione termica può essere espressa come: ΔV = βVΔT con β coefficiente di dilatazione termica. Per i solidi
si ha β ~ 3α. I valori di β per i gas e liquidi sono maggiori rispetto ai valori di β nei solidi. Nei liquidi e nei solidi
β non varia molto con la temperatura.
Calore: Energia che fluisce tra un sistema e il suo ambiente a causa della loro differenza di temperatura. Se
la temperatura del sistema è inferiore a quella dell’ambiente, il calore passa dall’ambiente al sistema e
viceversa. Il calore assorbito è positivo, quello ceduto è negativo. Si misura in joule (J). Un’altra unità di misura
usata è la caloria, cioè la quantità di calore che serve a 1g di acqua per accrescere la temperatura da 14.5° a
15.5°. La relazione fra joule e caloria è 1 cal = 4.186 J
Equilibrio termico: Quando due o più corpi sono a contatto termico, il corpo più caldo cede calore al corpo
più freddo fino a quando viene raggiunto l’equilibrio termico, ove tutti i corpi a contatto hanno la stessa
temperatura, detta temperatura di equilibrio. In un sistema isolato, la somma dei calori scambiati da tutti i
corpi deve essere nulla.
Stato termodinamico: Una configurazione di un sistema termodinamico, caratterizzata da definiti valori di
temperatura, pressione e volume, è detta stato termodinamico. Una trasformazione termodinamica fa
evolvere il sistema da uno stato iniziale a uno stato finale.
Primo principio della termodinamica: Per convenzione assumiamo che il lavoro fatto dal sistema sia positivo,
mentre quello subito sia negativo
L’energia interna U è quindi una funzione di stato, cioè dipende solo dallo stato termodinamico in cui il
sistema si trova.
Macchine termiche: Dispositivi che scambiano calore con l’ambiente per produrre lavoro. Poiché deve
produrre lavoro in modo continuativo, deve percorrere un ciclo di trasformazioni, quindi tornare allo stato
iniziale e ripercorrere le stesse trasformazioni. In un ciclo una macchina termica assorbe calore da una
sorgente calda, cede calore a una sorgente fredda e fa un lavoro L > 0. In un ciclo, la variazione di energia
interna è nulla perché il sistema torna nello stato iniziale. Il lavoro prodotto dalla macchina in un ciclo è quindi
L = QA - |QC|.
Rendimento: Il rendimento ƞ di una macchina termica è il rapporto fra lavoro effettuato e calore
assorbito in ogni ciclo
Si cerca di costruire macchine termiche col migliore rendimento possibile, massimizzando la quantità di
lavoro prodotta.
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Macchina frigorifera: Macchina termica che funziona con trasformazioni inverse. L’obiettivo di una macchina
frigorifera è quello di prelevare calore da una sorgente fredda e cederlo a una sorgente calda. Per far questo,
ha bisogno che venga fatto un lavoro dall’esterno.
Secondo principio della termodinamica
Il primo afferma che non può esistere una macchina termica ideale, cioè che abbia ƞ = 1.
Il secondo afferma che non può esistere una macchina frigorifera ideale, cioè che possa funzionare
senza un lavoro esterno.
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Elettrostatica
Carica elettrica: La materia è composta da un enorme numero di cariche elettriche positive e
negative. Nella maggior parte degli oggetti il numero di cariche positive è pari al numero di cariche
negative. In un corpo statico, le due cariche non si bilanciano e c’è un eccesso di una rispetto
all’altra. I corpi carichi interagiscono fra loro. La carica elettrica è quantizzata, si conserva ed è
misurata in coulomb (C).
Conduttori: Materiali in cui le cariche elettriche sono libere di muoversi al loro interno. Negli isolanti
elettrici invece le cariche non possono fluire da un punto all’altro. Esempi di materiali conduttori
sono i metalli, il corpo umano. Esempi di materiale isolante sono il legno, la plastica, il vetro.
Legge di Coulomb
• ϵ0 = 8.85 x 10-12 C2 / (Nm)2 è la costante dielettrica del vuoto
• il modulo diminuisce all’aumentare della distanza r
• è diretta lungo la congiungente le cariche
• è attrattiva se le cariche hanno segno opposto, repulsiva se hanno lo stesso segno
Se in una regione ci sono più cariche puntiformi, ognuna interagisce con tutte le altre. Su ciascuna
carica la forza risultante è data dalla somma delle forze vettoriali applicate su di essa (principio di
sovrapposizione)
Campo elettrico: Una carica deforma lo spazio intorno a sé generando un campo elettrico: un’altra
carica posta nelle vicinanze della prima risente della presenza del campo elettrico e interagisce con
esso. In ogni punto dello spazio il campo elettrico associato a una distribuzione di cariche è definito
come rapporto fra la forza esercitata su una carica positiva di test q0 posta in quel punto e la carica
stessa
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Il campo elettrico è quindi un vettore, la cui direzione e verso coincidono con quelli di F. Unità di
misura è newton/coulomb (N/C)
Linee di campo: Rappresentano nello spazio le caratteristiche di un campo.
• La densità di linee di campo in una superficie è legata all’intensità del campo
• La direzione e verso delle linee di campo sono legati alla direzione e verso del campo
Non possono mai intersecarsi, perché in ogni punto il campo elettrico è definito univocamente.
Campo generato da una carica puntiforme: Dalla definizione di campo, il campo elettrico generato
da una carica puntiforme Q è in modulo
Moto di una carica in un campo elettrico: Si consideri una carica q all’interno di una zona dove è
presente un campo elettrico E. Sulla carica agisce la forza F = qE. Per il secondo principio della
dinamica, la carica subisce un’accelerazione data da
Flusso del campo elettrico: Attraverso una superifice Σ è
dove dS rappresenta una superifice infinitesima di Σ. Ha modulo dS e direzione normale (perpendicolare) alla
superficie, verso uscente dalla superficie. E’ uno scalare e misura il numero di linee di campo che attraversano
la superficie Σ. Può essere positivo (uscente) o negativo (entrante). Si misura in Nm2/C
Caso semplice: campo uniforme e perpendicolare alla superficie
Legge di Gauss per il campo elettrico:
Tutte le cariche presenti nello spazio determinano il campo elettrico, ma solo le cariche interne
contribuiscono al flusso del campo elettrico. Utilizzata per determinare il campo elettrico generato da una
distribuzione di carica.
Legge di Gauss per il campo elettrico di una carica puntiforme: Applichiamo la legge di Gauss al calcolo del
flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme attraverso una superficie sferica di raggio R che
ha come centro la carica stessa. Per questioni di simmetria:
• E || dS su tutta la superficie
• E costante sulla superficie
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Conduttore carico in equilibrio: Possiede le seguenti proprietà:
• Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo. Se non fosse nullo, ci sarebbe un movimento
delle cariche, e il conduttore non sarebbe più in equilibrio.
• Le cariche in eccesso si trovano sulla superficie esterna del conduttore. Se si prende una superficie
qualsiasi interna, poiché E=0, si ha
e, per la legge di Gauss,
quindi qint = 0.
Il campo elettrico sulla superficie del conduttore è perpendicolare alla superficie e ha modulo σ/ϵ0, dove σ
è la distribuzione di carica superficiale. Se il conduttore è in equilibrio le cariche non devono
muoversi neanche sulla superficie, quindi il campo elettrico non può avere componente tangente
alla superficie.
Conduttore carico in equilibrio: Per determinare il modulo del campo elettrico, calcoliamo il flusso
del campo elettrico attraverso un piccolo cilindro in prossimità della superficie del conduttore,
avente asse parallelo alla normale alla superficie, una base interna al conduttore e una esterna. Esso
ha tre contributi: il flusso attraverso la base interna, la base esterna e la superficie laterale
Il flusso attraverso Aint è nullo poiché il campo è nullo, il flusso attraverso Alat è nullo perché il campo
è perpendicolare alla normale alla superficie laterale. Poiché Aext || E, e, essendo Aext piccolo, si può
considerare E costante in Aext:
Essendo σ la densità superficiale di carica (carica/area). Confrontando si ottiene E = σ/ϵ0.
Legge di Gauss per il campo elettrico di una sfera carica: Si consideri un conduttore carico di forma
sferica di raggio R. Sia Q la carica presente sul conduttore. Poiché la carica si trova sulla superficie,
per il teorema di Gauss il campo elettrico all’interno della sfera (r < R) è nullo. Per r > R, poiché il
problema ha simmetria sferica, le linee di campo devono avere direzione radiale, e il campo è
costante lungo ogni superficie sferica.
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Per il teorema di Gauss
quindi
All’esterno della sfera il campo elettrico è uguale a quello che si avrebbe se una carica puntiforme
di carica Q fosse posta al centro della sfera.
Legge di Gauss per il campo elettrico di una lastra carica: Si consideri una lastra infinita, carica con
densità superficiale di carica σ. Le linee di campo devono essere perpendicolari alla lastra, uscenti
dalla lastra se la carica è positiva, entranti se negativa, e devono essere disposte uniformemente
nello spazio. Il campo elettrico quindi non varia con la distanza della lastra. Per valutare il modulo
del campo elettrico, si utilizza la legge di Gauss. Conviene scegliere come superficie un cilindretto
infinitesimo con asse perpendicolare alla lastra.
(densità superficiale di carica). Il flusso attraverso il cilindro comprende il flusso attraverso le basi e
la superficie laterale
Si ottiene il modulo del campo elettrico: E = σ/2ϵ0.
Energia potenziale elettrostatica:
Poiché la forza elettrostatica è conservativa, è possibile definire un’energia potenziale associata alla
forza elettrostatica, tale che la variazione di energia potenziale elettrostatica dovuta allo
spostamento di una carica in un campo elettrico è uguale al lavoro fatto dalla forza elettrostatica
cambiato di segno:
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Cariche puntiformi: Il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica per spostare q2 da una distanza ri a
rf lungo la direzione r è:
Si può verificare che si giunge allo stesso risultato anche percorrendo percorsi diversi che vanno da
ri a rf, pertanto la forza elettrostatica è conservativa. La variazione di energia elettrostatica è:
Scegliendo come riferimento U = 0 per r -> ∞, l’energia potenziale della forza elettrostatica fra due
cariche puntiformi risulta
Una carica puntiforme a distanza r da un’altra carica puntiforme possiede un’energia potenziale
elettrostatica, pari al lavoro necessario alla forza elettrostatica per portare la carica dalla posizione
r a r -> ∞.
• Se q1q2 > 0 (stesso segno):
o forza repulsiva
o U(r) > 0
o se q1 e q2 vengono fatte avvicinare, U cresce
o q1 e q2 tendono ad allontanarsi, facendo diminuire U.
•
Se q1q2 < 0 (segno opposto):
o forza attrattiva
o U(r) < 0
o se q1 e q2 vengono fatte allontanare, U cresce
o q1 e q2 tendono ad avvicinarsi, facendo diminuire U
Le cariche tendono a muoversi verso punti in cui l’energia potenziale elettrostatica diminuisce.
Potenziale elettrostatico: E’ l’energia potenziale per unità di carica di prova
E’ una grandezza scalare. Si misura in volt (V), pari a joule/coulomb. Il potenziale dovuto a una carica
è positivo se la carica è positiva, negativo se la carica è negativa.
Differenza di potenziale:
La definizione di potenziale V(r) è quindi relativa a una particolare scelta del riferimento. Sia E il
campo elettrico in una regione di spazio. Esercita una forza q0E su una carica di prova q0, che compie
un lavoro per spostare la carica di prova da a a b pari a
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La differenza di potenziale è
ed è pari quindi al lavoro che il campo elettrico deve fare per spostare una carica di prova q0 da a a
b, cambiato di segno.
Altre unità di misura: Dalla relazione dimensionale fra campo elettrico e potenziale, si ricava
un’altra unità di misura per il campo elettrico, cioè volt/metro. Dal potenziale si ricava un’altra unità
di misura dell’energia potenziale elettrostatica, l’elettronvolt (eV), cioè il prodotto della carica
elettrica dell’elettrone per 1 volt.
Potenziale dovuto a una carica puntiforme: Dall’energia potenziale U(r) dovuta a una carica
puntiforme q, si ricava il potenziale
Allo stesso risultato si giunge a partire dalla formula della ddp
sostituendo a E il campo generato da una carica puntiforme q, e imponendo, come riferimento, che
il potenziale sia nullo per r -> ∞. Il potenziale V(r) è il lavoro che il campo elettrico deve fare per
spostare una carica di prova q0 dall’infinito a r, cambiato di segno. Il potenziale dovuto a un sistema
di cariche puntiformi è la somma dei potenziali dovuti a ciascuna carica, considerata come se fosse
l’unica carica presente
Differenza di potenziale: Proprietà
• Il campo elettrostatico è conservativo
dato che V(ri)-V(rf = ri) = 0
• Il lavoro del campo elettrico per spostamenti perpendicolari alle linee di campo (E perpend.
a s) è nullo, pertanto il potenziale elettrico non cambia lungo linee perpendicolari alle linee
di campo.
• Se Es > 0, allora ΔV < 0, cioè il potenziale diminuisce per spostamenti concordi alle linee di
campo.
• Se Es < 0, allora ΔV > 0, cioè il potenziale aumenta per spostamenti discordi alle linee di
campo
Cariche positive tendono a muoversi lungo il verso delle linee di campo, quelle negative nel verso
opposto. Cariche positive tendono ad andare verso zone in cui il potenziale è minore, cariche
negative tendono ad andare verso zone in cui il potenziale è maggiore.
Superfici equipotenziali: E’ l’insieme dei punti che hanno lo stesso potenziale. Quando una carica di
prova si sposta su una superficie equipotenziale, il campo elettrico non compie lavoro. Poiché il
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campo elettrico è conservativo, se il punto iniziale e quello finale si trovano sulla stessa superficie
equipotenziale il campo elettrico non compie lavoro. Sono sempre perpendicolari alle linee di
campo, quindi a E e F. In un conduttore isolato, tutti i punti interni e sulla superficie hanno lo stesso
potenziale. Se così non fosse, le cariche presenti sul conduttore si muoverebbero e il conduttore
non sarebbe in equilibrio. Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo, quindi per due punti
interni al conduttore risulta ΔV = 0; il campo elettrico è ortogonale alla superficie, quindi la superficie
del conduttore è equipotenziale.
Condensatori
Induzione elettrica: Se un conduttore, carico o scarico, viene posto nelle vicinanze di un corpo
carico, si verifica un movimento di cariche all’interno del conduttore tale che alcune cariche si
accumulano in una zona della sua superficie. In totale la carica sul conduttore è quella iniziale.
Il movimento delle cariche è causato dal campo elettrico generato dal corpo carico. A seconda del
verso delle linee di campo, le cariche positive si accumulano da una parte, e quelle negative dalla
parte opposta, generando a loro volta un campo elettrico indotto che contrasta il movimento di
cariche. All’equilibrio il campo indotto è uguale e opposto al campo esterno, in modo che il campo
totale all’interno del conduttore risulti nullo.
Induzione completa: L’induzione elettrica è detta completa se tutte le linee di forza che partono dal
corpo carico terminano sul conduttore. In caso di induzione completa, la carica indotta è uguale alla
carica esterna.
Condensatore: Dispositivo costituito da due conduttori, detti armature, di forma arbitraria posti a
una certa distanza, fra i quali avviene induzione completa. Caricare un condensatore significa creare
un eccesso di carica su una armatura, mentre l’altra si carica per induzione. Poiché l’induzione è
completa, la carica sulla seconda armatura sarà uguale a quella sulla prima armatura, e di segno
opposto.
Capacità: C’è una proporzionalità diretta tra il modulo della carica q presente su una armatura e la
differenza di potenziale V fra le armature. La costante di proporzionalità è detta capacità del
condensatore:
La capacità dipende quindi solo dalla forma e geometria del condensatore, e non dalla carica q. Si
misura in farad (F), pari a coulomb/volt.
Condensatori con armature piane parallele: Si consideri un condensatore in cui le due armature
sono due piani infiniti, paralleli fra loro. L’ipotesi di piani infiniti serve a garantire che il campo
elettrico generato da ciascun piano sia uniforme e gli affetti di bordo siano trascurabili. Le linee di
campo del campo elettrico di un piano carico sono perpendicolari al piano, uscenti se la carica è
positiva, entranti se negativa. Il modulo è ovunque σ/(2ε0). Sovrapponendo l’effetto dei due piani si
ottiene il campo elettrico del condensatore a facce piane e parallele:
• all’esterno è nullo
• all’interno è uniforme, di modulo
•
è perpendicolare alle armature
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• il verso è dall’armatura positiva a quella negativa
La ddp si calcola su un qualunque cammino che porti da un’armatura all’altra.
• dipende da fattori geometrici (d,A)
• cresce con l’area A delle armature
• diminuisce all’aumentare della distanza tra le armature
Condensatori in parallelo: Se due condensatori sono collegati in parallelo vuol dire che sui due
condensatori viene applicata la stessa ddp, mentre la carica totale fornita si divide sui condensatori.
Si vuole trovare la capacità equivalente, cioè la capacità di un singolo condensatore che, inserito al
posto dei due condensatori in parallelo, non produca alcun cambiamento nel circuito. Il
condensatore equivalente sarà ancora sottoposto alla stessa ddp V e avrà carica q = q1+q2 su
ciascuna armatura, somma delle cariche dei condensatori iniziali:
La capacità equivalente di due condensatori collegati in parallelo è la somma delle capacità dei due
condensatori.
La capacità equivalente di un insieme di condensatori collegati in parallelo è la somma delle singole
capacità.
Condensatori in serie: Se due condensatori sono collegati in serie vuol dire che sui due condensatori
è presente la stessa carica. Si vuole trovare la capacità equivalente di questo sistema, cioè la capacità
di un singolo condensatore che, inserito al posto dei due condensatori in serie, non produca alcun
cambiamento nel circuito. Il condensatore equivalente avrà ancora la stessa carica q e sarà
sottoposto alla ddp V = V1 + V2, somma delle ddp sui condensatori iniziali:
Il reciproco della capacità equivalente di due condensatori collegati in serie è la somma dei reciproci
delle capacità dei due condensatori.
La capacità equivalente di un insieme di condensatori connessi in serie è pari al reciproco della
somma dei reciproci della singola capacità. La capacità equivalente è sempre minore della più
piccola singola capacità dell’insieme.
Energia immagazzinata in un condensatore: Una importante funzione dei condensatori è quella di
immagazzinare energia elettrostatica. Sia q’ la carica presente a un certo istante di tempo t su un
condensatore; la ddp sul condensatore al tempo t è V’ = q’/C. Se si vuole trasferire una ulteriore
carica dq’ sull’armatura positiva, la variazione di energia potenziale è:
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L’energia interna dovuta al trasferimento di una carica q è:
________________________________________________________________________________
Correnti
Corrente elettrica: Gli elettroni liberi all’interno di un conduttore metallico isolato si muovono di
moto casuale, quindi il flusso medio è nullo. Se invece il conduttore viene collegato a una batteria,
che mantiene una ddp V ai terminali del conduttore, allora nel conduttore si stabilisce un campo
elettrico che mette in moto le cariche negative (elettroni) nella direzione opposta al campo (verso
il polo positivo).
Esercita una forza sugli elettroni del conduttore, ma questa forza non produce una accelerazione
netta poiché gli elettroni collidono con gli atomi o gli ioni che costituiscono il conduttore. Gli
elettroni acquisiscono una velocità media costante detta velocità di deriva vd, avente direzione del
campo elettrico, verso opposto. La velocità di deriva nei normali conduttori è piuttosto bassa,
dell’ordine dei mm/s. Al contrario, il moto di agitazione termica degli elettroni di conduzione nei
metalli avviene con velocità molto più alte, intorno ai 106 m/s.
Se una carica netta dq attraversa una superficie in un intervallo di tempo dt, si dice che vi è una
corrente elettrica i data da
E’ una grandezza scalare. L’unità di misura è l’ampere (A). La carica netta che attraversa la superficie
in un intervallo di tempo finito si ricava integrando la corrente:
Se la corrente è costante nel tempo, si ha q = i*t. In condizioni stazionarie, la corrente elettrica è la
stessa in tutte le sezioni di un conduttore. Per convenzione, il verso della corrente è quello delle
cariche positive.
Densità di corrente: Punto per punto nel conduttore si può definire una densità di corrente . E’
una grandezza vettoriale. La sua direzione e verso sono quelli della forza elettrica a cui sarebbe
soggetto un portatore di carica positiva posto in quel punto. Se la corrente è uniforme in una sezione
A del conduttore, il modulo della densità di corrente è j = i/A. Sia n il numero di portatori di carica
(positiva) per unità di volume e AL il volume di un tratto di cavo di lunghezza L. Il numero di portatori
in quel tratto è nAL, e la carica è q = nALe. La carica impiega un tempo t = L / vd a percorrere il tratto.
Se j è costante su tutta la sezione ed è perpendicolare ad essa, il modulo della densità di corrente j
è
In forma vettoriale:
j dipende dalle caratteristiche fisiche del mezzo e dal campo.
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Resistenza: Definita come il rapporto
dove V è la ddp applicata e i la corrente misurata. L’unità di misura è ohm (Ω), pari a volt/ampere.
Misura la facilità con cui un conduttore può essere percorso da corrente: buoni conduttori hanno
bassi valori di resistenza.
Legge di Ohm: Per alcuni materiali, il rapporto V/i è costante al variare di V, per cui se si applicano
diversi valori di ddp e si misura la corrente, i punti (i, V) si dispongono nel piano lungo una retta. Si
dice che questi materiali obbediscono alla legge di Ohm.
Resistore: Per i conduttori che obbediscono alla legge di Ohm, la resistenza dipende quindi solo
dalla geometria e dal materiale di cui è fatto il conduttore. Un conduttore ohmico la cui funzione in
un circuito è quella di fornire una data resistenza è detto resistore. In un circuito, un resistore viene
indicato con il simbolo
.
Resistività: A livello locale, la legge di Ohm può essere scritta come:
p si chiama resistività del conduttore, e dipende solo dal materiale di cui è fatto il conduttore; si
misura in Ωm. I metalli hanno bassi valori di resistività, il vetro o la plastica alti. La conducibilità σ è
l’inverso della resistività:
Effetto Joule: Si consideri un resistore a cui è applicata una ddp V. L’energia potenziale di una carica
dq che attraversa il conduttore diminuisce di una quantità dU = dqV. Se i è la corrente che scorre
nel conduttore, allora dq=idt, e la quantità di energia persa si può scrivere come dU = iVdt. La
potenza dissipata (energia per unità di tempo) è
Come già visto in meccanica, la potenza si misura in watt = joule/secondo. Per un resistore, la
potenza si può anche scrivere, per la legge di Ohm
L’energia potenziale persa dalla carica non comporta un aumento dell’energia cinetrica, per via degli
urti con gli atomi del conduttore, ma produce il riscaldamento del conduttore. Se l’ambiente si trova
a una temperatura inferiore, l’energia viene trasferita all’ambiente sotto forma di calore. Questo
fenomeno prende il nome di effetto Joule. La potenza dissipata per effetto Joule è
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L’energia dissipata dalle cariche in moto in un resistore viene fornita dalla batteria che alimenta il
circuito e genera la ddp V.
Generatori di forza elettromotrice: Un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale tra
due punti in un circuito elettrico è detto sorgente di forza elettromotrice ε. In un circuito, è indiato
dal simbolo
(la linea più lunga indica il morsetto +). Il generatore di f.e.m mantiene un morsetto
ad un alto potenziale (+) e l’altro a un basso potenziale (-). In un circuito, un generatore di f.e.m fa
circolare una corrente. Se per convenzione si assumete che la corrente sia costituita da portatori di
carica positiva, la corrente circolerà dal polo positivo verso quello negativo. Internamente, il
generatore sposta le cariche positive da un punto a basso potenziale ad un punto ad alto potenziale.
Deve compiere una quantità di lavoro dL sui portatori di carica (positiva) per costringerli a
raggiungere il punto ad alto potenziale. ε è definita come il lavoro per unità di carica:
L’unità di misura è joule/coulomb = volt.
Resistori in parallelo: Sono posti alla stessa ddp. La resistenza equivalente di questa combinazione
è il valore della resistenza di un unico resistore tale che il comportamento del circuito non vari. I due
resistori sono percorsi dalle correnti i1 = V/R1 e i2 = V/R2. Il resistore equivalente è sottoposto alla
stessa ddp V e in esso deve circolare la corrente i = i1 + i2. La sua resistenza è
Il reciproco della resistenza equivalente di due resistori collegati in parallelo è la somma dei reciproci
delle resistenze dei due resistori
La resistenza equivalente di un insieme di resistori connessi in parallelo è pari al reciproco della
somma dei reciproci delle singole resistenze. La resistenza equivalente è sempre minore della più
piccola singola resistenza dell’insieme.
Resistori in serie: Due resistori collegati in serie sono percorsi dalla stessa corrente. La resistenza
equivalente di questa combinazione è il valore della resistenza di un unico resistore tale che il
comportamento del circuito non vari. Per ciascun resistore, V1 = iR1 e V2 = iR2. Il resistore equivalente
è percorso dalla stessa corrente i ed è posto alla ddp V = V1 + V2:
La resistenza equivalente di due resistori collegati in serie è la somma delle resistenze dei singoli
resistori.
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La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è la somma delle singole
resistenze. La resistenze equivalente di una combinazione in serie è sempre più grande della più
grande resistenza della serie.
Circuiti: Si consideri un circuito semplice, costituito da un resistore e un generatore. Nel tempo dt il
generatore compie il lavoro: dL = εdt = εidt, e l’energia dissipata dal resistore è in modulo: dU =
i2Rdt. Per la conservazione dell’energia, le due quantità devono essere uguali: εidt = i2Rdt da cui i =
ε/R.
Per circuiti più complicati, le regole da seguire per determinare le ddp sono:
• la variazione di potenziale su un resistore, attraversato nel verso della corrente, è –iR, nel
verso opposto è iR.
• la variazione di potenziale su un generatore di f.e.m., attraversato nel verso della f.e.m (dal
morsetto negativo a quello positivo), è ε, nel verso opposto –ε.
Il verso della corrente è per convenzione quello delle cariche positive. Per trovare la ddp tra due
punti di un circuito, si parte da un punto e ci si sposta lungo il circuito fino all’altro punto, sommando
le variazioni di potenziale incontrate. Si deve ottenere lo stesso valore su tutti i cammini che
collegano i due punti considerati.
Circuiti a molte maglie: Nei circuiti composti da più maglie, un nodo è un punto in cui tre o più cavi
si riuniscono, mentre un ramo è un cammino che parte da un nodo e finisce su un altro nodo. Ogni
ramo ha la propria corrente. Per determinarle, prima si scelgono arbitrariamente i versi delle
correnti, poi si analizza il circuito.
Prima legge di Kirchoff:
Nota anche come legge dei nodi. E’ una forma del principio di conservazione della carica.
Amperometro: Strumento che serve a misurare l’intensità delle correnti elettriche. Si inserisce in
un circuito in serie, cioè interrompendo il cavo in cui scorre la corrente da misurare e inserendo
l’amperometro. Deve avere una resistenza molto piccola rispetto alle altre, in modo da non alterare
la corrente da misurare.
Voltmetro: Strumento per misurare una ddp. Per trovare la ddp tra due punti di un circuito, si
connettono i morsetti del voltmentro a quei punti. Deve avere una resistenza molto grande rispetto
a quelle del circuito, in modo da non alterare la corrente in quella parte di circuito.
Carica di un condensatore: Il condensatore è inizialmente scarico. Nel momento in cui il circuito
viene chiuso e inizia a circolare una corrente, il condensatore comincia a caricarsi. Si deve sempre
avere (legge delle maglie): ɛ-VR-VC=0. Man mano che il condensatore si carica VC aumenta, di
conseguenza VR diminuisce e la corrente diminuisce. Per valutare la corrente che circola istante
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per istante, bisogna applicare il principio di conservazione dell’energia. Nel tempo dt una carica
dq=idt si sposta in ogni parte del circuito:
• il generatore compie un lavoro pari a ɛdq
• il resistore dissipa l’energia i2Rdt
• il condensatore immagazzina un’energia pari a dU = VCdq=q/C dq
Il bilancio dell’energia impone:
Integrando, e imponendo q(t=0) = 0, si ottiene
Si nota che
• q(t) crescente, da q(t=0) = 0 a q(t -> ∞) = ɛC
• i(t) decrescente, da i(t=0) = ɛ/R a i(t-> ∞)->0
• VR(t) decrescente, da VR(t=0) = ɛ a VR(t-> ∞)->0
• VC(t) crescente, da VC(t=0) = 0 a VC(t-> ∞) = ɛ
• Per ogni t, VR(t) + VC(t) = ɛ
Scarica di un condensatore: Per scaricare un condensatore, esso viene collegato direttamente a un
resistore. L’equazione del circuito è:
La cui soluzione è: q(t) = q0e-t/ƬC con q0 = ɛC la carica iniziale del condensatore. In un tempo ƬC =
RC la carica si riduce del 37%. La corrente è:
La corrente scorre nel verso opposto rispetto al caso della carica del condensatore. L’intensità di
corrente diminuisce nel tempo, da ɛ/R a 0.
________________________________________________________________________________
Campo magnetico: Un magnete deforma lo spazio intorno creando un campo magnetico B. Nel S.I.
l’unità di misura del campo magnetico è il tesla (T). Le linee di campo magnetico passano attraverso
il magnete formando percorsi chiusi, e sono più dense vicino agli estremi del magnete, dove quindi
il campo magnetico è più intenso. Queste estremità sono chiamate poli del magnete: per
convenzione, le linee escono dal polo nord e entrano nel polo sud. Poli magnetici di segno opposto
si attraggono, e poli dello stesso segno si respingono. Singole cariche magnetiche non esistono, e
qualunque magnete presenta sempre i poli nord e sud.
Campo magnetico terrestre: La terra ha un campo magnetico. Una bussola mostra che il polo
magnetico terrestre nella regione artica è il polo sud magnetico, ed il polo in Antartide è il polo nord
magnetico.
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Forza di Lorentz: Una carica elettrica in moto in una zona in cui è presente un campo magnetico
subisce una forza, detta forza di Lorentz, pari a
dove q è il valore della carica, v la sua velocità, B il campo magnetico.
•
Modulo: F=qvBsinΘ
•
Ha direzione perpendicolare a v e a B
•
Il verso è stabilito dalla regola della mano destra
Il verso della forza cambia se la carica ha segno opposto. Inoltre, la forza di Lorentz
• Nulla se la carica è ferma
• Nulla se non c’è campo magnetico
• Nulla se la velocità è parallella al campo magnetico
Poiché la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità, essa fa variare solo la direzione
della velocità e non il modulo. Se non agiscono altre forze, la carica effettuerà un moto circolare
uniforme. La forza di Lorentz non compie lavoro sulla carica in movimento.
Moto di una carica in un campo elettrico e magnetico: Se oltre al campo magnetico è presente
anche un campo elettrico, la carica sarà soggetta alla forza:
Selettore di velocità: Caso particolare: siano i campi tali che
. La forza
elettrica e la forza di Lorentz siano parallele. Se la forza elettrica e la forza di Lorentz hanno verso
opposto, si ha
Per v = E/B, sulla carica non agisce alcuna forza netta, pertanto il suo cammino non viene cambiato.
I campi E e B così disposti agiscono da selettore di velocità: solo particelle con velocità parti a E/B
passano indisturbate dai due campi attraverso la regione, mentre particelle con altre velocità
vengono deflesse. Questo valore di v è indipendente dalla carica e dalla massa delle particelle.
Spettrometro di massa: Un’applicazione del selettore di velocità è lo spettrometro di massa, un
apparecchio per la separazione, a seconda della massa, di ioni. Un fascio di ioni contenente particelle
con diverse masse viene fatto passare attraverso un selettore di velocità, che fa passare solo ioni
con velocità v=E/B. Questi ioni entrano poi in una zona in cui è presente un campo magnetico
ortogonale alla velocità. La forza di Lorentz agisce come forza centripeta, quindi le traiettorie
diventano archi di circonferenza, i cui raggi dipendono dalla quantità di moto delle particelle:
Poiché v è uguale per tutte le particelle, il raggio R della traiettoria dipende solo dalla massa m.
Forza magnetica su un filo percorso da corrente: La forza di Lorentz agisce anche sulle cariche in
moto di un cavo percorso da corrente. Se un filo percorso da corrente viene posto all’interno di un
campo magnetico, esso viene deflesso per via della forza di Lorentz. L’effetto si inverte se la corrente
viene invertita o se il verso del campo magnetico viene invertito. Le singole cariche in moto nel filo
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si muovo con velocità costante (velocità di deriva). A causa del campo magnetico, la forza agente su
ciascuna carica è
Per un filo di lunghezza L e sezione A, in cui ci sono N = nAL cariche (n è la densità di cariche nel filo),
la forza complessiva è:
La corrente elettrica che scorre in un filo è i = nvdAq. Definendo L il vettore che modulo pari alla
lunghezza del filo, direzione e verso quelli della corrente, si può scrivere
Campo magnetico generato da una corrente: Nel 1820 Oersted scoprì che correnti elettriche
generano campi magnetici. Osservò che se un’ago magnetico viene posto vicino a un filo percorso
da corrente, esso si dispone sempre perpendicolarmente al piano individuato dal filo e dal punto in
cui si trova. La spiegazione è che la corrente genera un campo magnetico, che fa muovere l’ago e lo
allinea al campo.
Legge di Biot Savart: Il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinito percorso da corrente
è dato da
dove:
• r è la distanza dal filo: il modulo di B diminuisce allontanandosi dal filo
• ut (quindi B) ha direzione tangente alla circonferenza di raggio r che ha al centro il filo
• il verso è dato dalla regola della mano destra: il pollice della mano destra indica la direzione
della corrente, la chiusura delle altre dita indica il verso del campo magnetico.
Campo magnetico generato da una corrente: Direzione e verso del campo sono dati dalla regola
della mano destra: il pollice della mano destra punta nel verso della corrente, le linee di campo
circondano la corrente nel verso indicato dalla chiusura delle altre dita.
Legge di Ampere
L’integrale è esteso a una linea chiusa immaginaria. Tutte le correnti presenti contribuiscono al
calcolo del campo magnetico. Solo le correnti concatenate alla linea chiusa contribuiscono
all’integrale; le correnti concatenate alla linea chiusa sono quelle trasportate da fili che attraversano
la superficie delimitata dalla linea. Ogni corrente concatenata ha segno positivo o negativo.
Una linea chiusa percorsa da corrente viene anche chiamata SPIRA.
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Segno delle correnti: La linea chiusa lungo la quale viene calcolato l’integrale deve essere una linea
orientata, quindi deve essere percorsa in un verso assegnato. Per determinare il segno delle correnti
si usa la regola della mano destra. Chiudendo le quattro dita della mano destra nella direzione e
verso di percorrenza della linea chiusa, le correnti nella direzione del pollice vengono considerate
positive, mentre le correnti in direzione opposta vengono considerate negative.
Legge di Ampère per un filo
Solenoide
Lungo filo avvolto a forma di una fitta elica cilindrica e percorso da una corrente i. Un solenoide
reale si avvicina al comportamento ideale se la sua lunghezza è molto maggiore del suo diametro e
se si considerano solo punti nella regione centrale del solenoide. Il campo è dato dalla somma
vettoriale dei campi generati da tutte le spire che lo compongono. Se si misura il campo generato
da un solenoide, al crescere del numero delle spire, si nota che all’esterno del solenoide il campo
diminuisce e all’interno tende a essere parallelo all’asse del solenoide. Per un solenoide ideale:
• il campo all’esterno è nullo
• per motivi di simmetria, B all’interno deve essere parallelo all’asse del solenoide.
Riassumendo, il campo magnetico generato da un solenoide
• è nullo all’esterno del solenoide
• all’interno è uniforme e ha modulo B = µ0ni e ha direzione parallela all’asse del solenoide e
verso dato dalla regola della mano destra applicata alle spire
Esperimenti di Faraday: Si consideri una spira collegata a un amperometro. All’inizio non scorre
corrente nella spira. Faraday notò che:
• avvicinando un magnete alla spira l’ago dell’amperometro si sposta
• tenendo fermo il magnete, nessuna corrente viene rivelata
• allontanando il magnete, l’ago dell’amperometro si muove dalla parte opposta
• tanto più velocemente si muove il magnete, tanto maggiore è la corrente segnalata
dall’amperometro
• la stessa cosa accade se si muove la spira e il magnete è fermo
La corrente generata in questo modo è detta corrente indotta. Il risultato dell’esperimento è che,
finchè la corrente sta cambiando, c’è una f.e.m indotta nell’altra spira.
Legge di Gauss per il campo magnetico
Un magnete presenta un polo nord e un polo sud. Tuttavia, non è possibile separare e isolare il polo
nord dal polo sud. Se si taglia un magnete, non si ottengono un polo nord e un polo sud isolati, ma
due magneti ciascuno col proprio polo nord e polo sud. Si ha sempre
Si osserva che la carica magnetica netta all’interno di una superficie è sempre nulla.
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Induttanza
Una corrente che attraversa una spira (circuito chiuso) genera un campo magnetico B. Alcune linee
di campo di B attraversano la superficie descritta dalla spira stessa, per cui è possibile calcolare il
flusso del campo magnetico B attraverso la spira
In questo caso, il flusso è detto autoindotto. Il flusso del campo magnetico è proporzionale al
modulo del campo magnetico. Il campo è proporzionale alla corrente, pertanto il flusso è
proporzionale alla corrente:
L è chiamato induttanza del circuito, e dipende solo dalle caratteristiche del circuito. L’unità di
misura si chiama henry (H). Se la corrente nel circuito non è costante nel tempo, il flusso autoindotto
varia nel tempo e nel circuito compare una f.e.m indotta da
Una corrente variabile nel tempo che passa attraverso un circuito genera una f.e.m indotta
proporzionale alla velocità con cui varia la corrente. L’origine della f.e.m indotta è spiegata dalla
legge di Faraday: una corrente variabile nel tempo genera un campo magnetico variabile nel tempo.
Induttore
Quando l’induttanza di un circuito si può pensare concentrata in un tratto particolare del circuito,
quel particolare elemento viene indicato come induttore. Il segno meno deriva dalla legge di Lenz:
se la corrente i aumenta, la ƐL indotta deve fare in modo che la corrente indotta sia opposta a i, e
viceversa.
Onde elettromagnetiche
Perturbazione che si propaga con una velocità definita. Si propagano nel vuoto. Se una carica viene
accelerata, essa produce un’onda elettromagnetica. Allo stesso modo, una corrente variabile nel
tempo produce un’onda elettromagnetica. La sorgente di un’onda è in generale un sistema di
cariche accelerate, che producono un campo elettrico e un campo magnetico correlati tra loro. Le
variazioni del campo elettrico e magnetico sono connesse una all’altra: un campo elettrico variabile
genera un campo magnetico variabile, che a sua volta genera un campo elettrico variabile, e via di
seguito. In questo modo il campo elettrico e magnetico dell’onda si sostengono a vicenda attraverso
lo spazio vuoto. Il campo elettrico e magnetico sono sempre perpendicolari fra loro e alla direzione
di propagazione dell’onda. L’onda si propaga nel tempo e nello spazio. Si chiama lunghezza d’onda
la quantità
e rappresenta la distanza dopo la quale, ad ogni fissato istante t, l’onda ha lo stesso valore. Si chiama
periodo la quantità
e rappresenta l’intervallo di tempo, fissata la posizione x, dopo cui l’onda ha lo stesso valore. Si noti
che:
• un’onda elettromagnetica è trasversale
• la frequenza di oscillazione v=1/T
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•
la velocità di propagazione è
In generale le caratteristiche principali sono:
• campo elettrico e magnetico sono perpendicolari fra loro e alla direzione di propagazione
• i loro moduli sono legati da E = cB
• la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto è pari a c = 3 x 108 m/s,
la velocità della luce, anch’essa un’onda elettromagnetica.
Spettro
Lo spettro delle onde elettromagnetiche comprende tutte le frequenze possibil per esse
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