Tesi - Comportamento strutturale e qualita di campo delle bobine dei dipoli per LHC

POLITECNICO DI TORINO
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Nucleare
Paolo Ferracin
COMPORTAMENTO STRUTTURALE E
13/07/1998
CERN-THESIS-2002-018
TESI DI LAUREA
QUALITÀ DI CAMPO DELLE BOBINE DEI
DIPOLI PER LHC: STUDIO E CONFRONTO CON
I RISULTATI SPERIMENTALI
Relatori:
Prof. Giovanni Del Tin
Dott. Davide Tommasini
Luglio 1998
INDICE
Introduzione
pag. 1
1 I magneti superconduttori di LHC
1.1
1.2
1.3
1.4
Il progetto LHC
Il dipolo principale di LHC
3
7
1.2.1
1.2.2
Descrizione generale
Il cavo superconduttore
7
9
1.2.3
1.2.4
La bobina
La struttura meccanica: il collare, il giogo ed il cilindro
Magneti dipoli prototipi
Le misure di pressione sulle bobine
2.2
3.2
18
20
2.1.2
2.1.3
Il modello del collare
Il modello del giogo e del cilindro
30
32
Il magnete dopo il collaraggio
Il magnete assemblato
Il magnete a 1.8 K
34
34
43
49
Risultati
2.2.1
2.2.2
2.2.3
Il modello agli elementi finiti
3.1.1
Modello del magnete
Risultati
3.2.1
Le forze elettromagnetiche
3.2.2
Il magnete a 8.3 T
4 Calcoli e misure del campo magnetico
4.1
4.2
14
16
Il modello agli elementi finiti
2.1.1
Il modello della bobina
3 Calcolo dell’azione delle forze elettromagnetiche
3.1
12
13
18
2 Calcoli strutturali
2.1
2
Lo sviluppo dei multipoli
ROXIE
54
54
54
57
57
61
67
67
72
2
4.3
4.2.1
Calcolo dei multipoli con bobina deformata
Tecniche di misura dei multipoli
5 Applicazione sul magnete MBSMS9.V3
5.1
Il magnete MBSMS9.V3
5.1.1
Calcoli strutturali
5.1.2
Calcoli magnetici e confronto con i dati sperimentali
6 Calcoli strutturali sulla testa del magnete
6.1
6.2
Il modello agli elementi finiti
Risultati
72
75
79
79
80
86
91
93
94
99
7 Conclusioni
100
Bibliografia
3
Introduzione
Il lavoro di questa tesi consiste nell'analisi e verifica dello stato di tensione e
deformazione della bobina dei dipoli superconduttori per LHC (Large Hadron
Collider). Lo studio è stato motivato dalla necessità di ottimizzare i parametri
costruttivi della struttura di contenimento delle bobine e di analizzarne l’influenza
sulla qualità di campo magnetico.
Nel primo capitolo vengono descritti l’acceleratore di particelle LHC, il
dipolo principale ed i dipoli prototipi: questi ultimi sono magneti caratterizzati
dall’avere sezione trasversale simile a quella dei dipoli principali e lunghezza ridotta
(circa 1 m invece di 15 m).
Il capitolo 2 tratta il modello ad elementi finiti implementato in ANSYS per
lo studio delle deformazioni dei diversi componenti dei dipoli prototipi durante le
fasi di assemblaggio e di esercizio del magnete. Una particolarità di questo modello è
rappresentata dalla descrizione della bobina e dei suoi parametri elastici. I risultati
ottenuti mediante questo modello sono confrontati, ove possibile, con misure
sperimentali.
L'azione delle forze elettromagnetiche sullo stato delle bobine è studiata in
dettaglio nel terzo capitolo.
Per il calcolo delle armoniche del multipolo che si generano nel magnete è
stata definita un’interfaccia tra il modulo strutturale agli elementi finiti e ROXIE, un
programma utilizzato per i calcoli magnetici: gli spostamenti dei conduttori forniti da
ANSYS sono stati utilizzati per calcolare la qualità di campo magnetico.
L'interfaccia, il calcolo dei multipoli prodotti dalla bobina deformata e le misure
sperimentali di campo magnetico sono descritti nel capitolo 4.
Nel capitolo 5 si è analizzato il comportamento del magnete corto
MBSMS9.V3, di cui sono note le misure dello stato strutturale durante le varie fasi di
costruzione e durante il funzionamento nonché la qualità di campo: ciò ha
consentitoun confronto tra i calcoli ottenuti dai modelli ed i risultati sperimentali.
Infine, nel capitolo 6, è stato definito un modello per lo studio della prima
parte delle teste del magnete. In particolare il confronto tra le tensioni e la
posizionedei conduttori nella sezione centrale e nella testa permette di ottimizzare la
zona di transizione longitudinale del magnete e di ridurre le tensioni di taglio nella
bobina.
4
Capitolo 1
I magneti superconduttori di LHC
L'impiego di magneti superconduttori nella costruzione dei moderni acceleratori di
particelle ad alta energia per lo studio della struttura della materia è attualmente
irrinunciabile. Già due grandi acceleratori ricorrono a magneti superconduttori: il
Tevatron al Fermilab di Chicago (USA) e l’HERA al Desy di Amburgo (D). In questi
acceleratori i dipoli presentano cavi al niobio-titanio refrigerati con elio liquido a 4.2
K e producono campi magnetici compresi tra 4 e 5 T. L’esigenza di studiare in
maniera più approfondita la struttura della materia e di raggiungere quindi energie
molto più elevate ha portato allo studio e progettazione presso il CERN
(Organizzazione Europea per la Ricerca nucleare) di un nuovo acceleratore circolare,
il Large Hadron Collider (LHC), con l’intento di far collidere protoni ad alta energia
-12
(dell’ordine di diversi TeV) e di ricreare le condizioni presenti nell’Universo 10
s
dopo il “Big Bang” [1].
Gli acceleratori circolari si caratterizzano principalmente per il fatto che le
particelle si muovono all’interno di un anello. In generale per deflettere lungo una
traiettoria circolare con raggio di curvatura R una particella di carica q, energia E e
velocità prossima a quella della luce c, occorre un campo magnetico perpendicolare
alla direzione del moto della particella di intensità :
B=E/qRc.
La costruzione di un acceleratore circolare di protoni di energia di 5÷10 TeV
utilizzando magneti convenzionali in grado di produrre un campo magnetico di 1-1.5
T richiederebbe di deflettere le particelle secondo un raggio di curvatura di circa 10
km rendendo proibitivi i costi della costruzione dell'anello acceleratore. L'uso di
magneti superconduttori funzionanti a campi magnetici dell’ordine di 9 T permette di
ridurre notevolmente il raggio di curvatura rendendo quindi molto più conveniente il
ricorso a questo tipo di macchine.
Come in tutti gli acceleratori circolari, in LHC le particelle viaggiano in un
anello nel quale si mantengono condizioni di ultra alto vuoto (10-9 mbar). All'interno
di questo anello viene prodotto un campo magnetico mediante vari tipi di magneti:
5
dipoli, quadrupoli, sestupoli e magneti correttori. I dipoli producono un campo
magnetico verticale perpendicolare alla direzione del moto delle particelle, il più
possibile omogeneo nella camera da vuoto. Il campo dipolare è necessario per
imprimere alle particelle cariche la traiettoria circolare di riferimento. I quadrupoli
producono un campo magnetico nullo al centro della camera da vuoto e che varia
linearmente secondo la distanza dal centro. L'effetto dei quadrupoli, che può essere
associato all’effetto di lenti convergenti e divergenti su un fascio luminoso, è quello
di collimare il fascio. I sestupoli producono un campo magnetico nullo al centro della
camera da vuoto e che varia in maniera quadratica in funzione della distanza dal
centro. I sestupoli sono usati, tra l'altro, per controllare gli effetti dovuti alla
cromaticità, quindi i fenomeni legati alle differenze di energia tra le particelle del
fascio [2].
Questi magneti, oltre a generare campi di questo tipo, producono anche un
insieme di armoniche di campo magnetico di ordine più elevato a causa delle
imperfezioni costruttive. Una parte di queste armoniche è pericolosa per la stabilità
del fascio e quindi deve essere compensata con appositi magneti di correzione, in
particolare sestupoli e decapoli. La presente tesi si occupa in particolare dello studio
della relazione tra le deformazioni strutturali dei magneti dipoli principali per LHC,
dalla fase di fabbricazione alla messa in opera, ed il contenuto armonico del campo
magnetico generato.
1.1 Il progetto LHC
LHC è un acceleratore caratterizzato da una grande versatilità [3]: è infatti in grado
di far collidere, oltre a protoni a 7 TeV per fascio, anche nuclei pesanti (Pb-Pb) con
energie fino a 1150 TeV nel centro di massa e, nell’ipotesi di rimettere in funzione il
LEP (Large Electron-Positron collider) in parallelo con LHC, elettroni-protoni a 1.5
TeV. Per raggiungere tali valori il progetto prevede l’utilizzo del tunnel di 27 km
impiegato precedentemente dal LEP, e di tutta una serie di acceleratori ad alta
prestazione già esistenti presso il CERN.
Il sistema di iniezione per il fascio di protoni è costituito da una serie di 4
macchine (Fig. 1.1). Un primo fascio di protoni a 50 MeV viene prodotto nel Linac2
ed inviato al PS Booster ove viene accelerato fino a 1.4 GeV; successivamente, nel
11
PS i protoni vengono raggruppati in pacchetti di 10
6
particelle distanziati di 25 ns ed
aventi un’energia di 25 GeV. Tre treni di 81 pacchetti vengono così trasferiti con tre
cicli dal PS al SPS occupando circa 1/3 della sua circonferenza complessiva.
Figura 1.1: Il sistema di iniezione di LHC.
Questo fascio viene quindi accelerato fino a 450 GeV e inviato, attraverso le due
linee di collegamento tra SPS ed il tunnel del LEP, a LHC; sono necessari 12 cicli
SPS della durata di 16.8 s per creare i due fasci di protoni ruotanti in senso opposto
in LHC e costituiti ciascuno da 2835 pacchetti. A questo punto in circa 20 minuti il
fascio viene accelerato fino a raggiungere un’energia nominale (7 TeV) ed una
34
luminosità pari a 10
-2 -1
cm s , essendo la luminosità data da :
L=
Nk b fγ
F
4πε n β *
7
dove N è il numero di protoni per pacchetto, kb il numero di pacchetti, f la frequenza
*
di rivoluzione, γ il fattore relativistico, εn l’emittanza trasversale normalizzata, β il
valore della funzione di betatrone nei punti di interazione e F il fattore di riduzione
dovuto all’angolo di intersezione dei due fasci (200µrad) che per LHC assume il
valore di 0.9.
Figura 1.2: Pianta schematica di LHC.
Raggiunto tale livello di luminosità, parametro essenziale perché
proporzionale al numero di eventi che si verificano quando i due fasci vengono a
collidere, il tempo di decadimento caratteristico della corrente del fascio legato alle
collisioni ed alle perdite di particelle è di 22 h mentre quello della luminosità è di
circa 10 h. Ciò significa che dopo circa una decina di ore il fascio di particelle in
LHC non è più praticamente utilizzabile per gli esperimenti ed occorre iniettare un
nuovo fascio.
La struttura magnetica di LHC è caratterizzata da 8 archi separati da 8
inserzioni (IR) diritte. I due fasci di protoni ruotanti in senso opposto sono separati
8
orizzontalmente da 194 mm in quasi tutta la circonferenza della macchina e passano
dall’anello interno a quello esterno e viceversa nei punti 1, 2, 5 e 8 (Fig. 1.2) dove è
prevista la collisione con un angolo pari a 200µrad. Prima e dopo la collisione i due
fasci sono ricomposti o separati da speciali dipoli di ricombinazione/separazione.
Ciascuno degli 8 archi, lungo complessivamente 2456.160 m, è composto da
23 celle le quali a loro volta sono costituite da due identiche semi-celle (Fig. 1.3). La
semi-cella consiste in una stringa di tre dipoli superconduttori (MB) di 14.2 m il cui
compito è quello di curvare la traiettoria delle particelle e da un quadrupolo,
anch’esso superconduttore, di 3.1 m destinato a collimare il fascio. Sestupoli e
decapoli correttori sono posizionati rispettivamente a destra ed a sinistra del dipolo,
mentre il quadrupolo vede alla sua destra un dispositivo di rilevazione della
posizione del fascio (BPM, beam position monitor) ed un ottupolo, ed alla sua
sinistra un sestupolo ed un dipolo correttore.
Questa struttura si ripete per tutto l’arco tranne che nella parte centrale ove il
sestupolo è rimosso per far posto alla centrale criogenica.
Figura 1.3: La semi-cella.
Figura 1.4: Il sistema di soppressione di dispersione.
Le inserzioni sono costituite da un insieme di magneti aventi il ruolo di
ridurre la dispersione del fascio (dispersor suppressor), una sezione diritta ed un altro
dispersor suppressor.
I due dispersor suppressor (Fig. 1.4) sono formati da quattro quadrupoli di
3.25 m separati da quattro stringhe di due dipoli analoghi a quelli della semicella ed
9
hanno la funzione di correggere ed adattare il fascio al particolare esperimento
presente nell’inserzione.
Le sezioni diritte dell’anello sono studiate per ospitare diversi tipi di
operazioni. Nei punti 1 e 5 (IR1 e IR5) sono previsti i due esperimenti ATLAS e
CMS in cui vengono fatti collidere i due fasci di protoni ad alta luminosità. Le
inserzioni 1 e 8 sono utilizzate per l’iniezione dei pacchetti di particelle provenienti
da SPS e addizionalmente per l’esperimento ALICE per ioni pesanti (IR1) e per
l’esperimento LHC-B. In IR3 e IR7 il fascio viene collimato (cleaning) ed in IR4
accelerato da quattro cavità superconduttrici RF per anello. In quest’ultimo punto la
presenza delle cavità ha costretto a portare la distanza tra i due fasci da 194 mm a
420 mm. Infine l’ultima inserzione, la IR6, è utilizzata per il cosiddetto beam
dumping, cioè per la rimozione del fascio dall’acceleratore che viene effettuata
quando la luminosità si è sensibilmente ridotta ed è quindi necessario procedere con
un nuovo riempimento dei due anelli. In questo settore le particelle sono deviate in
un tunnel tangente alla circonferenza di LHC e terminante in un blocco di grafite e
metalli pesanti, il dump block, dove il fascio si esaurisce.
1.2 Il dipolo principale di LHC
1.2.1 Descrizione generale
Le energie che caratterizzano LHC rendono necessario l’utilizzo di dipoli che, per
curvare la traiettoria delle particelle ed imporre un’orbita circolare, siano in grado di
produrre un campo magnetico verticale di 8.33 T. Tale valore di campo richiede in
pratica l’utilizzo di cavi superconduttori, tali cioè da opporre al passaggio di corrente
un resistenza nulla. Nel caso di LHC il conduttore è raffreddato a 1.9 K, temperatura
inferiore al punto λ dell'elio (2.17 K). In tali condizioni l’elio liquido raggiunge il
cosiddetto stato superfluido [4], caratterizzato da condizioni di bassa viscosità ed
elevata conduzione termica. Queste proprietà permettono una drastica riduzione della
portata di elio che scorre nei magneti. Inoltre l'abbassamento della temperatura
consente, rimanendo nella fase superconduttrice, di aumentare i valori della corrente
e del campo magnetico.
D'altro canto, passando da 4.2 K (temperatura nominale dei magneti utilizzati
a Desy ed al Fermilab) a 1.8 K, l’entalpia di tutte le parti metalliche ed in particolare
10
dei cavi si riduce di quasi un ordine di grandezza con un conseguente più rapido
aumento di temperatura per un dato carico termico. Quindi, nonostante il valore
massimo del campo magnetico raggiungibile dal magnete aumenti, la struttura
diventa più sensibile ad ogni instabilità. Ciò impone che sia rivolta particolare
attenzione all’immobilizzazione della bobina onde evitare che sotto l’effetto delle
forze di Lorentz, proporzionali al quadrato dell’intensità del campo magnetico e
quindi particolarmente elevate, il cavo si muova generando calore.
In LHC è stato adottato per il dipolo il progetto “due in uno”, nel quale i due
canali dei fasci e le corrispondenti bobine sono contenute in un’unica struttura ed in
un singolo criostato (Fig. 1.5). Il magnete è costituito quindi da due aperture ciascuna
delle quali è composta da due poli generanti un campo magnetico verticale di uguale
intensità e direzioni opposte.
Figura 1.5: Sezione trasversale del dipolo principale di LHC.
Questo insieme (bobine collarate) è successivamente inserito in un nucleo
ferromagnetico che ha una duplice funzione: quella di richiudere le linee di flusso del
campo magnetico e quella di fornire un supporto che limita la deformazione delle
bobine collarate. Esternamente al nucleo viene saldato il cilindro di acciaio
austenitico ed il tutto viene assemblato con un raggio di curvatura di 2700 m.
Tutte le parti comprese tra il beam tube ed il cilindro (cold mass) sono
immerse in un bagno di elio superfluido (1.9 K) a pressione atmosferica e refrigerato
per mezzo di un tubo scambiatore di calore nel quale viene fatto circolare elio bifase.
11
La cold mass è posta all’interno di un criostato i cui principali componenti sono i due
schermi a 5 e 70 K ed il cilindro del vacuum vessel.
Una descrizione più dettagliata della struttura e fabbricazione delle singole
bobine e dell'insieme delle bobine collarate è fondamentale per il lavoro svolto
nell'ambito di questa tesi e verrà quindi affrontata nei paragrafi successivi.
1.2.2 Il cavo superconduttore
La superconduttività fu scoperta nel 1911 dal fisico H. Kamerlingh Onnes che,
durante il suo studio sulla conduttività dei metalli a basse temperature, scoprì che la
resistenza del mercurio scendeva ad un valore nullo (non distinguibile da zero
attraverso gli strumenti di misura) alla temperatura di ebollizione dell’elio liquido.
Onnes chiamò tale fenomeno, caratteristico di una grande varietà di materiali,
superconduttività e definì come temperatura critica Tc la temperatura a cui avviene la
transizione [5].
Un’intima relazione fu subito osservata tra la superconduttività ed il campo
magnetico. Un qualsiasi elemento è ad esempio in grado di espellere dal suo interno
un debole campo magnetico quando viene raffreddato al di sotto della sua
temperatura critica (effetto Meissner), cosa che non può essere spiegata attraverso le
leggi classiche dell’elettromagnetismo (equazioni di Maxwell). Un campo magnetico
sufficientemente elevato è d’altro canto capace di far transire il materiale dallo stato
superconduttivo a quello normale. Alcune differenze si possono però osservare tra i
diversi superconduttori quando vengono sottoposti ad un determinato campo e ciò fa
sì che si individuino due diversi gruppi di materiali superconduttivi. Metalli come il
piombo, il mercurio, lo stagno, l’alluminio ed altri sono chiamati superconduttori di
“tipo I”: essi espellono completamente dal loro interno il campo magnetico e
rimangono nello stato superconduttivo finché il campo applicato rimane al di sotto di
un valore critico (Bc) che normalmente è minore di 0.1 T. Invece leghe come
piombo-indio, niobio-titanio e niobio-stagno appartengono al “tipo II” e sono
caratterizzati da due campi critici, Bc1 e Bc2. Al di sotto di Bc1 sono nella cosiddetta
fase di Meissner con completa espulsione del campo; con Bc1 < B < Bc2 entrano in
una fase nella quale il campo può penetrare nel materiale sotto forma di tubi di flusso
(flux tube). Queste leghe rimangono poi nello stato superconduttivo fino a Bc2
(intorno ai 10 T) e per questo risultano più adatte ad essere utilizzate per le bobine
12
dei magneti. Bisogna però tenere conto che, quando una corrente passa attraverso un
conduttore di tipo II esposto ad un campo maggiore di Bc1, la corrente esercita una
forza sulle linee di flusso magnetiche che cominciano in questo modo a muoversi
attraverso il materiale generando calore. Questo fenomeno, chiamato flux flow
resistance, comporta che il superconduttore si comporti come un resistore ohmico
pur non esercitando alcuna resistenza al passaggio di corrente. Per ovviare a tale
problema le linee di flusso vengono catturate e vincolate attraverso i pinning centres,
difetti od impurità volutamente inseriti nella struttura cristallina del superconduttore.
In questo caso si parla di hard superconductor e tali proprietà rendono questi
materiali i più adatti ai magneti per acceleratori.
Figura 1.6: Superficie critica della lega di NbTn.
Per questo tipo di superconduttore devono essere considerati non solo la
temperatura critica Tc ed il campo magnetico critico Bc, ma anche la densità di
corrente critica Jc. È quindi possibile definire, in un sistema di coordinate (T, B, J), la
superficie critica (Fig. 1.6) al di sopra della quale il materiale si comporta come un
conduttore normale. Nel caso dei dipoli per LHC, considerando le condizioni di
funzionamento (8.33 T, 1.9 K, 11796 A), il superconduttore mantiene un margine di
campo, inteso come il rapporto tra il campo magnetico operativo e quello supposto di
quench (transizione allo stato normale) pari a circa 85 % ed un ∆T tra la temperatura
di funzionamento e quella critica di ~1.5 K. Il cavo utilizzato è del tipo Rutherford
(Fig. 1.7) [6] costituito da cosiddetti strand (28 per lo strato interno della bobina, 36
per lo strato esterno) di circa 1mm di diametro compressi in un cavo a sezione
trapezoidale di spessore pari a 15 mm. Ogni strand è costituito da filamenti in NbTi
di 6 µm di diametro immersi in una matrice di rame. Sarebbe infatti impossibile
13
utilizzare cavi composti esclusivamente da materiale superconduttore: essi
risulterebbero infatti estremamente vulnerabili durante l’eccitazione del magnete a
causa di un fenomeno di instabilità magnetica chiamato flux jump [7] cui è associato
un riscaldamento del conduttore, spesso oltre la temperatura critica. Solo filamenti
estremamente sottili risultano stabili di fronte a tale comportamento.
Figura 1.7: Il cavo superconduttore.
La matrice di rame è fondamentale poiché garantisce al filamento un supporto
meccanico, un bypass elettrico ad alta conduttività ed un pozzo di calore. Infatti se il
superconduttore, in seguito ad una perturbazione, subisce localmente una transizione
allo stato normale, la corrente elettrica può passare nella matrice di rame,
caratterizzata in questo caso da un conduttività maggiore rispetto a quella del NbTi,
e, se la perturbazione non è troppo grande, il filamento può ritornare nel suo stato
superconduttivo (stabilità criogenica) [8]. Qualora ciò non avvenga (si parla in
questo caso di quench del magnete), è necessario interrompere l’erogazione di
corrente onde evitare che per surriscaldamento il cavo, divenuto conduttore normale,
si danneggi irreparabilmente. La temperatura massima Tmax raggiunta dal conduttore
dopo il quench dipende dal tempo di decadimento della corrente. Nel caso dei dipoli
per LHC, per limitare il valore di Tmax a 300 K sono necessarie costanti di tempo
inferiori al secondo [9]. Ciò significa che la corrente nel magnete deve essere
interrotta in qualche centinaio di ms quando si verifica un quench. Poiché però il
magnete è caratterizzato da un’induttanza L, la riduzione della corrente determina il
formarsi all’interno della bobina di una tensione pari a
14
V =L
dI
.
dt
Per evitare che si generino scariche in grado di danneggiare la bobina, il cavo viene
elettricamente isolato con tre strati di nastro di poli-imide caratterizzato da buone
proprietà elettriche e meccaniche (Fig. 1.8) [7].
Figura 1.8: Isolamento del cavo superconduttore.
I primi due strati sono avvolti in modo tale da sovrapporsi per metà della larghezza
del cavo, garantendo così il necessario isolamento elettrico. Il terzo strato, più
esterno, è costituito da un nastro adesivo verso l’esterno del conduttore, avvolto a
spirale con una spaziatura di 2 mm per permettere all’elio di penetrare attraverso
l’isolamento fino agli strand del cavo. L’adesivo incolla tra di loro i cavi così da
formare la bobina.
1.2.3 La bobina
La bobina è forse il componente più critico del magnete. La sua forma è
studiata in maniera tale da produrre un campo magnetico verticale omogeneo. Nel
caso del dipolo per LHC essa è divisa in due strati (Fig. 1.9). Lo strato interno è
costituito da tre blocchi di conduttori separati da due spaziatori in rame. I tre blocchi
15
hanno rispettivamente 5, 6, 4 conduttori. Lo strato esterno è invece formato da due
blocchi di 11 e 15 conduttori, separati da uno spaziatore.
Figura 1.9: La bobina.
1.2.4 La struttura meccanica: il collare, il giogo ed il cilindro
La struttura meccanica del dipolo (Fig. 1.10) è concepita in maniera tale da opporsi
alle forze elettromagnetiche che si generano all’interno del magnete durante
l’esercizio e da limitare il più possibile la deformazione della bobina [10]. Infatti
ogni movimento del cavo risulta deleterio sia in termini di quench del
superconduttore sia in termini di peggioramento della qualità di campo.
Il primo supporto per la bobina è costituito dal collare, composto da lamierini
di alluminio dello spessore di 3 mm [11]. I lamierini sono assemblati in modo da
lasciare tra di loro, per mezzo di particolari spaziatori, uno spazio di circa 100 µm e
formare così pacchi di circa 100 mm di lunghezza tenuti insieme da quattro tiranti.
Per chiudere i collari attorno alla bobina si utilizzano tre spine di acciaio
austenitico posizionate sul piano mediano durante il processo di collaraggio. La
compressione del collare sulla bobina contribuisce a limitare movimenti dei
conduttori durante l’energizzazione del magnete.
Un inserto ferromagnetico posto sulla sommità del collare è stato studiato per
garantire la corretta distribuzione di campo magnetico. Il giogo di ferro a basso
tenore di carbonio ha una duplice funzione: costituisce un supporto per la bobina
16
collarata e, poiché di materiale ferromagnetico, contribuisce ad aumentare il campo
magnetico nel beam tube.
Figura 1.10: La struttura meccanica.
Esso è composto da due semi gioghi ciascuno costituito da lamierini
semicircolari; i lamierini sono assemblati con un fattore di riempimento del 98%, in
modo da avere all’interno del magnete un sufficiente quantitativo di elio e una più
uniforme contrazione di tutto il giogo durante il raffreddamento. Attorno a questa
struttura viene saldato in tensione il cilindro di acciaio austenitico. Durante il
raffreddamento, poiché la bobina collarata e il cilindro hanno un coefficiente di
contrazione termica maggiore rispetto al giogo, tra le due metà del giogo si viene a
formare una forza di compressione di 3400 N per mm di lunghezza che si oppone,
insieme al collare, alle forze di Lorentz dirette verso l’esterno (che a 8.4 T
raggiungono complessivamente i 3400 N per mm di lunghezza).
1.3
Magneti dipoli prototipi
A partire dal 1989 è stato sviluppato un programma di costruzione e test di dipoli
superconduttori lunghi e, parallelamente a questi, è stata lanciata una nuova serie di
magneti prototipi lunghi 1 m, chiamata serie MBSMS [12].
Tali magneti (Fig. 1.11) presentano alcune differenze rispetto al dipolo per
LHC, ma il progetto, basato su una struttura smontabile che consente di effettuare un
17
gran numero di prove diverse in tempi relativamente ridotti, permette di ottenere
informazioni sulla distribuzione di stress durante le varie fasi di assemblaggio e
durante l’eccitazione nonché sulla qualità di campo, informazioni utilizzate per
ottimizzare la progettazione dei dipoli lunghi.
Figura 1.11: Il dipolo prototipo.
Il dipolo MBSMS è innanzitutto caratterizzato dall’essere a singola apertura
cioè con una sola camera da vuoto; ciò fa sì che la sezione sia a simmetria centrale. Il
collare è costituito da lamierini privi questa volta dell’inserto di ferro. Essi sono
circondati dal giogo che presenta una forma diversa per consentire la presenza delle
barre di Zamac, le quali consentono la regolazione del gap durante le varie fasi
operative.
Attorno al nucleo è posto il cilindro che esercita un pressione sulla struttura
ottenuta imbullonando, non saldando, le due metà.
Il lavoro di questa tesi è concentrato sull’analisi meccanica e magnetica di
questi magneti.
18
1.4
Le misure di pressione sulle bobine
Per la misura dello stato meccanico della bobina durante l’assemblaggio del magnete
e durante l’eccitazione a 1.8 K sono stati utilizzati dei trasduttori di forza capacitivi.
In generale un trasduttore elettrostatico è costituita da due elettrodi piani
separati da un dielettrico. La capacità C è data da
C=εS/δ
dove S è l’area dei due elettrodi, ε la permittività elettrica del dielettrico e δ il suo
spessore. Se il modulo di elasticità del materiale dielettrico è molto minore di quello
degli elettrodi, quando una pressione esterna è applicata sul capacitore la capacità
cambia a causa di una variazione di δ secondo la formula:
C=εS/(δ(1-σ/E))
dove σ è la tensione applicata ed E il modulo di elasticità del dielettrico. La linearità
del trasduttore dipende principalmente dalle proprietà meccaniche del materiale
dielettrico; per accrescerne il limite di snervamento e limitare le deformazioni di
Poisson il trasduttore deve essere concepito in maniera tale che il dielettrico sia
sottoposto ad una pressione di tipo idrostatico. Ciò si ottiene incollando il dielettrico
agli elettrodi, impedendo così che il dielettrico scorra lateralmente per effetto della
pressione. I due elettrodi assumono così anche il ruolo di supporto meccanico per il
materiale dielettrico.
Il trasduttore capacitivo (Fig. 1.12) [13] è costituito da diversi fogli di acciaio
separati da nastri di poli-imide ed incollati insieme. La precisione del dispositivo di
misura dipende direttamente dal modulo di elasticità e dalla permittività elettrica del
dielettrico: nastri di poli-imide risultano adatti alle condizioni operative dei magneti
superconduttori (cicli ad alta pressione in un ampio campo di temperature).
Poiché i trasduttori sono posti all’interno del magnete è necessario che per gli
elettrodi non venga utilizzato materiale ferromagnetico. Tale materiale deve poi
rimanere in regime elastico alla massima pressione cui viene sottoposto il trasduttore.
Viene pertanto utilizzato un acciaio non magnetico.
19
La colla deve impedire che il nastro di poli-imide si muova tra i due elettrodi
e deve rimanere elastica alla temperatura dell’elio liquido. È stata pertanto scelta una
resina speciale che può operare da 1.8 K a 448 K.
Poli-imide (25 µm)
Elettrodo di acciaio (50 µm)
Colla
Strato protettivo esterno di
poli-imide
(50 µm)
100 mm
0.5 mm
16 mm
Connessioni
Figura 1.12: Il trasduttore di forza capacitivo.
Dopo essere stati calibrati in una pressa idraulica fino ad una pressione di 100
MPa, i trasduttori vengono posizionati ai quattro poli della bobina (Fig. 1.13).
Integrando la pressione locale, viene così misurata la forza complessiva agente sugli
strati interni ed esterni della bobina: è quindi possibile in questo modo analizzare la
precompressione della bobina dopo il collaraggio, a magnete assemblato ed a 77 K.
Trasduttori capacitivi
Figura 1.13: Posizionamento dei trasduttori capacitivi.
20
Capitolo 2
Calcoli strutturali
Per il calcolo delle deformazioni della sezione trasversale del dipolo ed in particolare
della bobina è stato implementato un modello agli elementi finiti nel codice di
calcolo ANSYS [14]. Tale modello permette di determinare gli spostamenti dei
singoli conduttori causati dalla precompressione iniziale e dalle forze
elettromagnetiche e calcolare le varie componenti del campo magnetico al centro del
magnete tenendo conto della nuova geometria. I risultati sono stati confrontati con i
dati sperimentali misurati in laboratorio.
2.1 Il modello agli elementi finiti
ANSYS è un programma di risoluzione agli elementi finiti che permette di effettuare
diversi tipi di analisi: strutturali, meccaniche, elettriche, elettromagnetiche, termiche
[14]. Una tipica analisi in ANSYS può essere suddivisa in tre passi:
•
costruzione del modello
•
applicazione dei carichi e calcolo della soluzione
•
analisi dei risultati.
Nella prima fase viene definito il modello: la geometria viene suddivisa in aree
diverse ed a ciascuna di esse è assegnato il materiale corrispondete di cui sono
definite le varie proprietà (modulo di elasticità, coefficiente di Poisson, coefficiente
di contrazione termica). Vengono inoltre scelti l’elemento più adatto al particolare
tipo di analisi e le condizioni al contorno del problema. Il secondo passo consiste
nella definizione dei carichi che agiscono sul modello (forze, pressioni, carichi
termici), del tipo di soluzione (statica, modale, dinamica) e dei relativi parametri di
convergenza. Infine, nell’ultima fase, si analizzano i risultati ad esempio attraverso la
visualizzazione della geometria deformata o delle tensioni nei nodi.
Il modulo strutturale risolve le equazioni costitutive elastiche nella forma
{σ}=[D]({ε}−{εth})
21
dove
{σ} = tensore degli sforzi =  σx σy σz σxy σyz σxz 
[D] = matrice di elasticità definita dai moduli di elasticità E e
dai coefficienti di Poisson ν
{ε} = tensore delle deformazioni =  εx εy εz εxy εyz εxz 
{εth} = tensore delle deformazioni termiche
Il vettore delle deformazioni termiche è dato da
{εth} = ∆T  αx αy αz 0 0 0 
dove
αx = coefficiente di espansione termica lungo la direzione x
∆T = T-TREF
T = temperatura nel punto in questione
TREF = temperatura di riferimento in assenza di tensioni
Esplicitando le deformazioni si ottiene pertanto
εx = αx ∆T + σx/Ex − νxyσy/Ey−νxzσz/Ez
εy = αy ∆T + σy/Ey − νxyσx/Ey−νyzσz/Ez
εz = αz ∆T + σz/Ez − νxzσx/Ez−νyzσy/Ez
Il modello utilizzato per il calcolo delle tensioni e delle deformazioni nel
dipolo è definito in geometria 2D (Fig. 2.1). Ogni area è stata discretizzata
utilizzando un elemento bidimensionale a quattro nodi (PLANE42) [14] cui è
associato uno spessore unitario.
Per studiare le superfici in contatto si è ricorso a particolari elementi, detti di
contatto (CONTAT52) [14]: tali elementi permettono, mediante la definizione di un
interferenza minore, uguale o maggiore di zero, di studiare superfici rispettivamente
separate da un certo gioco, in contatto o con una certa interferenza. Poiché inoltre la
sezione centrale del dipolo è caratterizzata da simmetria assiale, è stato analizzato
22
solo un quarto della geometria imponendo opportune condizioni di simmetria al
contorno.
Il modello consente lo studio del comportamento del magnete a temperatura
ambiente, a 1.9 K e sotto l’azione delle forze di elettromagnetiche.
Figura 2.1: Modello complessivo.
2.1.1 Il modello della bobina
La bobina è stata modellizzata in modo da tener conto in maniera distinta dei due
principali componenti di cui è costituita: gli spaziatori (o riempitivi) di rame ed i
blocchi di superconduttori. Nel caso dei primi le aree corrispondenti sono state
discretizzate attribuendo agli elementi le proprietà del rame. I blocchi di conduttori
sono stati modellizzati come una struttura omogenea avente proprietà rappresentative
dell’insieme cavo - isolamento (nastro poli-imidico). Ciascun blocco è stato a sua
volta suddiviso in più parti in modo da poter attribuire proprietà diverse nelle
differenti zone della bobina. Ciò risulta estremamente importante durante
l’eccitazione del magnete: in questa fase infatti le tensioni azimutali cui sono
23
sottoposti i cavi dipendono dalla posizione angolare e, dal momento che il modulo di
Young del blocco assume valori profondamente diversi a seconda delle pressioni,
allo stesso modo risultano differenti le proprietà del conduttore.
Figura 2.2: Il modello della bobina.
Particolarmente importante si è rivelata essere la definizione delle proprietà
meccaniche (modulo di elasticità) e delle dimensioni della bobina.
Modulo di elasticità della bobina
La misura del modulo di elasticità della bobina viene eseguita mediante una pressa
(Fig. 2.3) in cui sono posti i due strati di conduttori e spaziatori di rame. La pressa è
costituita da due blocchi di acciaio, uno inferiore ed uno superiore, sufficientemente
rigidi da poter considerare la loro deformazione trascurabile rispetto a quella delle
bobine in misura. Le bobine, compresse mediante l'azione di un pistone agente sul
blocco superiore, sono posizionate tra un polo di riferimento che riproduce il
contorno polare della bobina nominale, il blocco inferiore della pressa che riproduce
24
il contorno esterno della bobina, e speciali barre di acciaio sulle quali sono installati
dei sensori di pressione. Lo spostamento del blocco superiore rispetto a quello
inferiore, assunto uguale alla variazione di dimensione della bobina, è misurato da
sensori di spostamento. Durante il ciclo di misura vengono acquisite
contemporaneamente le pressioni agenti sulla bobina e le differenze di dimensione,
che consentono così di ottenere la curva tensione-allungamento.
sensori di spostamento
sensori di pressione
bobine
polo di riferimento
Figura 2.3: La pressa di misurazione.
Le figure 2.4 e 2.5 rappresentano le curve tensione-allungamento azimutale
rispettivamente dello strato interno e dello strato esterno della bobina. In ordinata
sono riportate le tensioni ed in ascissa i corrispondenti allungamenti espressi sotto
forma di differenza tra la dimensione azimutale di una bobina presa come riferimento
e quelle della bobina misurata. Le due curve sono non lineari e caratterizzate da
isteresi; la bobina infatti è caratterizzata, all’aumentare della compressione, da un
modulo di elasticità, e quindi da rigidità, crescente. Ciò è dovuto al fatto che essa è
composta da più componenti, quali ad esempio gli strand e l’isolamento, che
tendono, a tensioni elevate, a formare una struttura più rigida (il nastro di poli-imide
penetra tra gli strand). Quando le tensioni si riducono, la bobina si comporta in
25
maniera diversa rispetto alla fase di compressione e ciò determina l’isteresi
rappresentata nelle figure 2.4 e 2.5.
Strato interno
140
Pressione [Mpa]
120
100
80
60
40
20
0
-1.000
-0.900
-0.800
-0.700
-0.600
-0.500
-0.400
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
Differenza rispetto a geometria di riferimento [mm]
Figura 2.4: Curva tensione-allungamento dello strato interno.
Strato esterno
160
140
Pressione [MPa]
120
100
80
60
40
20
0
-1.000
-0.900
-0.800
-0.700
-0.600
-0.500
-0.400
-0.300
-0.200
-0.100
Differenza rispetto a geometria di riferimento [mm]
Figura 2.5: Curva tensione-allungamento dello strato esterno.
26
0.000
I valori di modulo di elasticità azimutale (dati dalla tangente alla curva
tensione-allungamento) sono stati misurati in laboratorio e sono riportati in tabella
2.1.
Tabella 2.1: Modulo di elasticità azimutale della bobina.
Tensione azimutale
[MPa]
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Bobina interna
E tangente
[MPa]
5700
7600
9200
10500
11700
12700
13700
14600
15500
16300
17100
Bobina esterna
E tangente
[MPa]
5300
7100
8500
9700
10800
11800
12700
13500
14300
15000
15800
Tabella 2.2: Dimensioni azimutali della bobina calcolati a raggio medio.
Bobina interna
[mm]
Bobina
43.49
Spaziatori
11.43
Blocchi
32.06
Bobina esterna
[mm]
47.93
3.31
44.63
Poiché però il modello distingue all’interno della bobina gli spaziatori di
rame dai blocchi di conduttori, è necessario risalire dai valori del modulo di elasticità
azimutale della bobina (Tab. 2.1) a quelli relativi esclusivamente ai cavi isolati. In
generale sappiamo che il coefficiente di Young complessivo di un componente
composto da due materiali aventi modulo di elasticità E1 e E2 e spessore
rispettivamente l1e l2 è dato da
Etot =
E1 E2ltot
E2l1 + E1l2
Considerando Etot come il modulo complessivo della bobina, E2 quello del rame
(120000 MPa) ed l1, l2 e ltot rispettivamente le dimensioni azimutali dei blocchi, degli
27
spaziatori di rame e della bobina completa calcolate a raggio medio (Tab. 2.2), si
ottiene un coefficiente di Young a 50 MPa di compressione di 7560 MPa per i
blocchi dello strato interno e di 8980 MPa per quelli dello strato esterno. I valori del
modulo di elasticità dei blocchi alle diverse pressioni sono riportati nella tabella 2.3.
Tabella 2.3: Modulo di elasticità azimutali dei conduttori.
Tensione azimutale
[MPa]
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Blocchi interni
E tangente
[MPa]
4150
5511
6648
7566
8409
9109
9805
10429
11051
11602
12151
Blocchi esterni
E tangente
[MPa]
4919
6583
7875
8981
9993
10912
11738
12472
13205
13845
14577
Come si è già avuto modo di sottolineare, le figure 2.4 e 2.5 mettono in luce
la grande variazione di rigidità caratteristica dei due strati della bobina alle varie
pressioni. I valori di modulo di elasticità di tabella 2.3 sono calcolati considerando la
tangente alla curva di tensione-allungamento e sono quindi validi ciascuno per un
preciso valore di tensione azimutale. Il modello di ANSYS è un modello per il quale
sono state assunte costanti le proprietà dei materiali durante tutta la fase di
somministrazione del carico. Questo corrisponde alla realtà per quei materiali quali il
rame, il ferro, l’acciaio che hanno nel campo di utilizzazione il coefficiente di Young
praticamente costante, mentre diverso è il caso dei blocchi di conduttori.
Dovendo scegliere un valore rappresentativo per il modulo di elasticità da
tenere da 0 MPa fino a 50 MPa, si è ritenuto opportuno utilizzare un valore di
coefficiente di Young dato non dalla tangente, bensì dalla secante. Il fine dell’analisi
meccanica è infatti quello di determinare gli spostamenti effettivi della bobina e la
sua posizione finale per valutare così l’effetto della deformazione sulla qualità di
campo magnetico. Si è così scelto un modulo (Tab. 2.4) che, ad un dato livello di
28
pressione, consente di ottenere con il modello agli elementi finiti le stesse
deformazioni misurate in laboratorio (Fig. 2.4 e Fig. 2.5).
Tabella 2.4: Modulo di elasticità azimutali dei conduttori utilizzati nel modello.
Tensione azimutale
[MPa]
2
5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Blocchi interni
E secante
[MPa]
1200
2000
2500
3000
3800
4300
4700
5000
5250
5600
5850
6100
Blocchi esterni
E secante
[MPa]
900
1300
1600
2300
2850
3350
3800
4200
4550
4900
5250
5550
Dimensione della bobina
Un altro aspetto che si è rivelato estremamente importante riguarda la definizione
delle dimensioni della bobina. La bobina cosiddetta nominale (Fig. 2.6) è la bobina
ottimizzata per ottenere la qualità di campo necessaria al corretto funzionamento di
LHC. Questa geometria deve quindi essere raggiunta quando il dipolo è operativo.
Ciò significa che la bobina viene costruita in maniera tale da raggiungere la
geometria nominale, e quindi le dimensioni nominali, a 50 MPa di prestress. La
misurazione della geometria viene effettuata attraverso la stessa pressa utilizzata per
la misura della curva tensione-allungamento (Fig. 2.3): i due strati vengono
sottoposti ad un stress azimutale di 50 MPa e viene così misurata la differenza di
dimensione complessiva dei blocchi all’interno della pressa. Poiché il modello studia
il comportamento del magnete a partire da una geometria non sottoposta a tensioni, è
necessario definire una bobina di partenza a 0 MPa. Per fare ciò si è modificato il
modello in modo da ricostruire la bobina a partire dalle misure sperimentali.
29
La pressa può essere paragonata ad un collare infinitamente rigido che non si
deforma sotto l’azione della bobina precompressa. La bobina pertanto in queste
condizioni si muove esclusivamente lungo la direzione azimutale. Tale tipo di
comportamento è stato modellizzato imponendo su tutti i nodi esterni dei due strati
un vincolo radiale: così facendo i blocchi e gli spaziatori di rame sono costretti sotto
carico a non deformarsi radialmente e quindi a comportarsi in maniera analoga alla
bobina nella pressa. È stata così definita la geometria teorica a 0 MPa che, sottoposta
ad una tensione azimutale di 50 MPa in una pressa, cioè con vincolo radiale, diventa
la geometria nominale con una precisione di ± 10 µm. Tale geometria, che risulta
ovviamente più grande rispetto a quella nominale, è poi stata utilizzata come bobina
di partenza per le analisi meccaniche del magnete standard.
Figura 2.6: La bobina nominale.
In generale quindi le misurazioni sulla pressa permettono di determinare non
solo il valore degli spessori degli shim polari necessari ad ottenere dopo il
collaraggio il prestress voluto, ma permettono anche di valutare le eventuali
differenze della dimensione azimutale tra la geometria nominale e quella di ciascuna
delle bobine. È così possibile introdurre nel modello agli elementi finiti, per ogni
specifico magnete, una geometria della bobina relativamente vicina a quella reale.
30
Le proprietà a 1.8 K
Per analizzare il comportamento del magnete a 1.8 K è necessario definire le
proprietà dei vari componenti a temperature prossime allo 0 assoluto. Nel caso dei
blocchi di conduttori la cosa risulta particolarmente importante poiché una corretta
definizione del coefficiente di contrazione termica e di Young permette di prevedere
in maniera precisa gli spostamenti dei cavi durante il raffreddamento. Per quanto
riguarda il modulo di elasticità E, è importante sottolineare che in tutti i materiali che
costituiscono il magnete esso cresce al diminuire della temperatura in seguito ad un
irrigidimento del materiale. Nel caso dei conduttori della bobina, sono state effettuate
prove in laboratorio in cui è stata valutata la curva di tensione-deformazione alla
temperatura dell’azoto liquido (77 K). A questo livello di temperatura le
caratteristiche del materiale non sono molto differenti rispetto a quelle a 1.8 K. È
possibile così effettuare una prima valutazione e poi, per estrapolazione, risalire allo
stato a temperatura nominale. Tali misurazioni hanno messo in luce che il rapporto
tra il coefficiente di Young a caldo (293 K) e quello a freddo (1.8 K) è diverso a
seconda della pressione cui è sottoposta la bobina; nel modello è stato scelto un
valore medio pari a 1.3. Il coefficiente di Poisson è stato invece assunto pari a 0.3,
valore che è stato utilizzato anche per gli altri componenti.
Discorso analogo si può fare per il coefficiente di contrazione termica. Il
modello utilizza il rapporto tra il valore integrale della contrazione e l’intervallo di
temperatura:
∫
293
1.8
α (T ) dT
293 − 1.8
I valori di contrazione termica integrale dei blocchi di conduttori (Tab. 2.5) sono stati
definiti a partire dalla variazione di prestress misurata nella bobina a causa del
raffreddamento, variazione legata sia alla diversa contrazione tra la bobina ed il
collare, sia all’aumento del modulo di elasticità.
Per quanto rigurda gli spaziatori di rame si è fatto riferimento alle proprietà
ritrovabili in letteratura (Tab. 2.6).
31
Tabella 2.5: Coefficienti di contrazione termica dei conduttori.
Coefficiente di contrazione termica [m/K]
α radiale
α azimutale
Conduttori interni
1.52E-05
2.85E-05
Conduttori esterni
1.52E-05
2.88E-05
Tabella 2.6: Proprietà degli spaziatori di rame.
Temperatura [K]
293
1.8
E [MPa]
120000
150000
α [m/K]
1.13E-05
Modellizzazione superfici di interfaccia
Per studiare l’interfaccia tra la bobina e il collare e tra lo strato interno e quello
esterno sono stati utilizzati degli elementi di contatto che consentono di analizzare
superfici distanziate, in contatto e con interferenza. Il modello è stato concepito in
maniera tale che questi elementi trasferiscano la forza solo in direzione normale alle
due superfici supponendo nullo l’attrito e siano caratterizzati da una rigidità propria
che tenga conto dei moduli di elasticità dei materiali adiacenti e degli eventuali
spessori presenti tra essi.
Per ottenere una determinata precompressione sui blocchi e stata imposta
un’interferenza tra conduttori e collare nella parte superiore dei due strati (il
cosiddetto polo) in maniera tale da avere all’interno della bobina la tensione
azimutale desiderata. In tutte le altre zone è stato imposto tra collare e bobina, così
come tra strato interno ed esterno, gioco nullo, cioè contatto, associando agli
elementi di contatto un modulo di elasticità calcolato tenendo conto dei vari strati di
poli-imide che riempiono gli spazi vuoti.
I primi conduttori sono separati dal piano mediano da uno strato di 125 µm di
isolamento (poli-imide): ciò è stato modellizzato legando i nodi del cavo ai nodi posti
sull’asse orizzontale attraverso elementi di contatto che consentono quindi al cavo di
spostarsi anche in direzione verticale sotto l’azione della precompressione. Sono poi
state imposte opportune condizioni di simmetria ai nodi sul piano mediano.
32
Figura 2.7: Particolare dei poli della bobina.
2.1.2 Il modello del collare
Il collare è costituito da una successione di lamierini della spessore di 3 mm tenuti
insieme dalle spine di collaraggio. Il modo in cui la bobina interagisce con il collare
è rappresentato in figura 2.8.
Collare corto
A
B
∆y
∆x
∆x
Collare lungo
Spina
-∆y
Figura 2.8: Comportamento del collare in prossimità del piano mediano.
33
Le forze radiali esercitate dai blocchi si ripartiscono tra i lamierini che però, essendo
geometricamente diversi (alternativamente collare lungo e collare corto), reagiscono
e si deformano in maniera differente. In prossimità del piano mediano ad esempio la
precompressione della bobina tende ad aprire il collare tenuto dalla spina. La parte
del primo lamierino vicino alla spina è spinta verso il basso mentre l’analoga parte
del secondo strato (collare lungo) è spinta verso l’alto. Al di sopra della linea di
contatto tra il collare lungo e quello corto, il primo strato si sposta verticalmente e
così anche il secondo strato.
Per simulare questo particolare comportamento il modello prevede la
presenza di un collare suddiviso in due strati sovrapposti (Fig. 2.9). Mentre a tutte le
altre componenti del modello è stato associato un spessore di 1 mm, i due strati sono
stati discretizzati con elementi di 0.5 mm di spessore. Il primo strato è costituito da
due parti distinte ed indipendenti (Fig. 2.10), il secondo da una struttura unica.
Fondamentali sono le condizioni al contorno sul piano mediano: i nodi dei due strati
devono infatti avere stesso spostamento orizzontale (∆x in Fig. 2.8) e spostamento
opposto lungo la direzione verticale (∆y in Fig. 2.8). In questo modo è possibile
imporre ai collari gli spostamenti reali schematizzati in figura 2.8. Le proprietà del
collare di alluminio e delle spine di acciaio sono riportate nelle tabelle 2.7 e 2.8.
Figura 2.9: Modello del collare.
34
Figura 2.10: Particolare del modello del collare.
Tabella 2.7: Proprietà del collare di alluminio.
Temperatura [K]
293
1.8
E [MPa]
70000
81000
α [m/K]
1.44E-05
Tabella 2.8: Proprietà delle spine di acciaio.
Temperatura [K]
293
1.8
E [MPa]
195000
209000
α [m/K]
1.02E-05
2.1.3 Il modello del giogo e del cilindro
Il modello del giogo e del cilindro è rappresentato in figura 2.11. Particolare
attenzione è stata rivolta all’interfaccia tra collare e gioco. Gli elementi di contatto
tra le due superfici sono stati suddivisi in tre gruppi ai quali sono stati attribuiti gap
35
differenti. In questo modo sono stati simulati gli shim presenti in prossimità del
piano mediano e quelli posti a circa 45°.
Figura 2.11: Modello del giogo e del cilindro di chiusura.
Nei magneti a singola apertura il movimento del giogo è bloccato dalle barre
in Zamac le quali a caldo impediscono la chiusura del gap del giogo e a freddo si
contraggono molto più dell’alluminio permettendo alle due metà del nucleo di venire
in contatto. Ciò è stato modellizzato inserendo nella parte alta del nucleo un’area
caratterizzata da proprietà analoghe a quelle del ferro eccetto che per il modulo di
elasticità a freddo, imposto praticamente uguale a zero. Agli elementi di contatto che
uniscono i nodi di quest’area con i nodi posti sull’asse verticale è stato attribuito un
gioco minore rispetto a quelli che caratterizzano i gap del nucleo. In questo modo il
nucleo, lasciando aperto il gap, si appoggia a caldo sull’area che simula le barre di
Zamac e che a freddo scompare.
Per modellizzare l’azione del cilindro su tutta la struttura meccanica è stata
imposta un’interferenza tra il giogo ed il cilindro.
36
Le proprietà del cilindro, delle barre in Zamac e del giogo sono riportate nelle
tabelle 2.9, 2.10 e 2.11.
Tabella 2.9: Proprietà del cilindro.
Temperatura [K]
293
1.8
E [MPa]
195000
209000
α [m/K]
1.02E-05
Tabella 2.10: Proprietà delle barre in Zamac.
Temperatura [K]
293
1.8
E [MPa]
195000
100
α [m/K]
1.02E-05
Tabella 2.11: Proprietà del giogo.
Temperatura [K]
293
1.8
2.2
E [MPa]
210000
225000
α [m/K]
6.80E-06
Risultati
Lo studio del comportamento del magnete è stato condotto prendendo in
considerazione le tre fasi principali dell’assemblaggio: la struttura viene analizzata
dopo il collaraggio, dopo l’assemblaggio completo a 293 K e dopo il raffreddamento
a 1.8 K. In ciascuno di questi tre casi si sono studiati i risultati ottenuti dai calcoli per
la bobina, il collare ed il giogo e si è effettuato un confronto con i valori misurati in
laboratorio.
2.2.1 Il magnete dopo il collaraggio
Il progetto del magnete prevede che il valore nominale di precompressione sia per
entrambi gli strati pari a 50 MPa in maniera tale che la bobina sia sempre compressa
dal collare sino al campo magnetico massimo raggiungibile dal magnete; il modello
si pone pertanto in questa condizione di prestress. Analizziamo ora in dettaglio lo
37
stato di deformazione e di tensione dopo il collaraggio dei tre principali componenti
del magnete: la bobina, il collare ed il giogo.
Il magnete dopo il collaraggio: tensioni e deformazioni della bobina
Le tensioni azimutali nella bobina (Fig. 2.12) variano nelle diverse parti dei blocchi.
In particolare risulta evidente come, al crescere del raggio, presso il piano mediano le
tensioni aumentino (da 20 a 80 MPa nello strato interno) mentre in prossimità dei
poli si riducano (da 100 a 10 MPa nello strato interno).
Questo particolare comportamento è stato verificato qualitativamente da una
prova sperimentale effettuata in laboratorio utilizzando un rivelatore di pressione: la
carta Fuji. Questa carta è costituita da un foglio rivestito su un lato da microcapsule
contenenti una sostanza colorante. Quando viene applicata una pressione, le
microcapsule si rompono rilasciando il colore che viene assorbito dal foglio. A
seconda della pressione cui il foglio è sottoposto viene liberato un diverso
quantitativo di sostanza colorante. È così possibile ottenere una rappresentazione
della distribuzione delle tensioni: le zone sottoposte a pressioni maggiori
presenteranno infatti una colorazione più intensa. Un foglio di carta Fuji è stato
inserito ai poli della bobina compressa a 50 MPa nella pressa utilizzata per la
definizione della curva tensione deformazione (Fig. 2.3).
Il risultato è riportato in figura 2.13: i due strati di carta, quello superiore e
quello inferiore, sono riferiti rispettivamente alla bobina interna e a quella esterna.
Osservando la figura dall’alto verso il basso, cioè a raggio crescente, il colore diventa
sempre più tenue, confermando la diminuzione di tensione calcolata nel modello. Un
altro foglio è poi stato posto sul piano mediano per verificare anche in quella zona la
distribuzione di stress. Dalla figura 2.14 emerge che, a differenza dei valori ottenuti
con il modello agli elementi finiti, non si riscontrano aumenti significativi di
pressione al crescere del raggio: nello strato interno lo stress risulta praticamente
costante.
È importante sottolineare però che le condizioni in cui la bobina è
precompressa sono diverse a seconda che si consideri il collare o la pressa. Nel
secondo caso infatti la bobina è inserita in una struttura infinitamente rigida che
quindi, a differenza del collare, non si deforma. Si è pertanto modificato il modello in
modo tale da riprodurre l’esperimento effettuato con la carta Fuji: è stato attribuito al
38
collare un modulo di elasticità infinito che rende quindi indeformabile la struttura ed
è stato così rilanciato il calcolo a parità di prestress (50 MPa).
I risultati ottenuti sono riportati in figura 2.15. Confrontando le figure 2.12 e
2.15 si può notare come la presenza di un collare infinitamente rigido riduca sul
piano mediano il gradiente di stress (da 30 a 60 MPa); il modello modificato si
avvicina quindi alla prova sperimentale.
La particolare distribuzione di stress nella bobina precompressa in un collare
deformabile (vedi fig.2.12) può essere giustificata per via analitica ricorrendo allo
studio di un caso semplificativo che presenta alcune analogie con la struttura studiata
nel modello. Per effetto del prestress, il collare tende infatti ad ovalizzarsi e quindi a
deformarsi più nella direzione verticale che in quella orizzontale. È pertanto possibile
riferirsi al caso di un anello di sezione rettangolare di larghezza b, avente raggio
interno ri e raggio esterno ri+h compresso da due forze P agenti secondo il diametro
orizzontale [15]. Risolvendo il problema iperstatico si ottiene che sulla sezione
orizzontale si ha una tensione (per convenzione positiva nel caso di trazione) sul
raggio interno σi=3.55P/bh e sul raggio esterno σe=-2.23P/bh. Si nota pertanto che la
σ di compressione aumenta al crescere del raggio analogamente a quanto avviene
alla bobina. Sulla sezione verticale si ottiene invece σi=-2.75P/bh e σe=0.91P/bh cioè
una σ di compressione decrescente simile a quella calcolata nel modello e
rappresentata con la carta Fuji.
In realtà il collare non presenta, come l’anello compresso dalle due forze, un
restringimento sul piano orizzontale: ciò è dovuto al fatto che la precompressione
della bobina contribuisce a creare una forza caratterizzata da due componenti, una
verticale ed una orizzontale, che deforma sul piano mediano il collare, anche se in
misura minore rispetto alla direzione verticale.
Un ultima verifica è stata effettuata confrontando i calcoli con i risultati delle
misure sul magnete MBSMS16. Sono stati utilizzati trasduttori capacitivi tripli posti
sui poli dello strato interno e dello strato esterno in modo da misurare il gradiente di
pressione. In figura 2.16 sono riportati i valori delle tensioni azimutali durante il
collaraggio. La bobina collarata viene compressa in una pressa per consentire
l’inserimento della spina di collaraggio: in questa fase si raggiunge la massima
pressione sulle bobine. Una volta rilasciata la pressa, le bobine reagiscono sul collare
deformandolo e, nel caso di questo magnete, il prestress scende a 50 MPa per lo
strato interno e 40 MPa per lo strato esterno.
39
La pressione varia sul polo interno da 65 MPa (interno interno) a 40 MPa
(interno esterno), mentre sul polo esterno passa da 48 MPa (esterno interno) a 35
MPa (esterno esterno). Viene quindi confermato il fatto che lo strato interno presenta
un gradiente di tensioni maggiore.
Per quanto riguarda i valori assoluti bisogna tenere in considerazione che i tre
trasduttori capacitivi forniscono il valore medio della pressione che agisce
rispettivamente sulla parte interna, centrale ed esterna del polo. Estrapolando si
ottiene quindi una gradiente maggiore: 70-35 MPa per lo strato interno.
Ritornando al caso standard, in figura 2.17 sono rappresentati gli spostamenti
radiali della bobina: mentre sul piano mediano i valori sono prossimi allo 0, ad angoli
più grandi gli spostamenti crescono fino a circa 200 µm, indicando in questo modo
che la bobina tende ad aprirsi ed a seguire l’ovalizzazione del collare di cui si è già
parlato.
Sul valore degli spostamenti della bobina non esistono misure sperimentali
ma è possibile comunque effettuare un confronto con i valori ottenuti dalle
misurazioni delle deformazioni del collare.
Figura 2.12: Il magnete dopo il collaraggio: tensioni azimutali della bobina [MPa].
40
Figura 2.13: Visualizzazione della distribuzione di stress ai poli mediante carta Fuji.
Figura 2.14: Visualizzazione della distribuzione di stress sul piano mediano con carta Fuji.
Figura 2.15: Tensioni azimutali della bobina in collari infinitamente rigidi [MPa].
41
100.0
90.0
esterno esterno
esterno medio
esterno interno
interno interno
interno medio
interno esterno
80.0
70.0
Pressione [Mpa]
60.0
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Step di misura durante il collaraggio
Figura 2.16: Misure di pressione con sensori capacitivi tripli ai poli del magnete MBSMS16.
Figura 2.17: Il magnete dopo il collaraggio: spostamenti radiali della bobina [mm].
42
Magnete dopo il collaraggio: tensioni e deformazioni del collare
Si considerino ora gli spostamenti nella direzione verticale dei due collari sul
piano mediano: il primo collare, costituito da due parti distinte, presenta (Fig. 2.18)
un ∆y negativo pari a –80 µm sul piano mediano mentre la parte superiore alla linea
di separazione tra il collare corto ed il collare lungo viene spinta verso l’alto. La
figura 2.18 evidenzia anche come la superficie del collare compresa tra le due linee B
sia caratterizzata da una deformazione verticale minore rispetto alla zona posta a
ridosso del piano mediano. Nel modello infatti la spina è vincolata sull’asse
orizzontale per ragioni di simmetria e contribuisce così a ridurre lo spostamento dei
nodi del collare ad essa adiacenti. Per quanto riguarda il collare corto (secondo
strato) tutti i nodi presentano uno spostamento verticale positivo che sul piano
mediano è di 80 µm (Fig. 2.19). Tale valore, uguale ma di segno opposto rispetto a
quello del collare corto, è riconducibile alle condizioni al contorno sul piano mediano
che impongono spostamenti uguali in modulo ma di direzione opposta per i nodi dei
due collari. La deformazione verticale risulta dominante rispetto a quella orizzontale
(Fig. 2.20): si passa infatti da +30 µm sul piano mediano a 250 µm sull’asse
verticale. Questi valori sono stati confrontati con le misure relativa al magnete
MBSMS10 (Tab. 2.12): la maggiore deformazione verticale può essere giustificata
tenendo conto che il prestress del magnete è leggermente maggiore (50 MPa strato
interno, 60 MPa strato esterno) rispetto a quello assunto dal modello.
Dal modello si può inoltre notare che, sempre sul piano mediano, gli
spostamenti dei nodi posti sulla superficie interna del collare presentano uno
spostamento maggiore (59 µm) rispetto a quelli posti a raggio esterno (30 µm).
Anche in questo caso si può ricorrere ad un modello semplificativo. Per analizzare la
distribuzione di stress nella bobina si è ricorsi al caso dell’anello sottoposto a due
forze esterne. Questo caso non prende in considerazione la presenza di una
componente radiale che fa sì che il collare si deformi anche sul piano orizzontale. Se
si considera il caso di un cilindro con parete di spessore costante soggetto all’azione
di una pressione interna [16] la tensione radiale che si viene a formare è simmetrica
rispetto all’asse del cilindro ed è pari a
σr =
a 2 pi
b2 − a2
43
 b2
1 − 2
 r



dove σr è la tensione radiale, pi la pressione interna, a il raggio interno e b quello
esterno. Questa formula mostra che σr è sempre una compressione (segno negativo) e
decresce dal raggio interno a quello esterno. La deformazione del cilindro risulta
invece data da
u=
1 − µ a 2 pi
1 + µ a 2b 2 pi
+
r
E b2 − a 2
E b2 − a2 r
(
)
dove u è lo spostamento radiale, E il modulo di Young e µ il coefficiente di Poisson.
Sostituendo ad a e b i valori del raggio interno e di quello esterno del collare si
ottiene una deformazione maggiore nella superficie interna.
Tabella 2.12: Spostamenti radiali del collare [mm].
Prestress [MPa]: interno_esterno
Spostamento orizzontale
Spostamento verticale
MBSMS10
50_60
0.01
0.27
MODELLO
50_50
0.03
0.25
Figura 2.18: Il magnete dopo il collaraggio: spostamento del collare corto (primo strato) sul
piano mediano [mm].
44
Figura 2.19: Il magnete dopo il collaraggio: spostamento del collare lungo (secondo strato)
sul piano mediano [mm].
Figura 2.20: Il magnete dopo il collaraggio: spostamenti radiali del collare corto [mm].
45
2.2.2 Il magnete assemblato
Terminata l’operazione di collaraggio, il giogo viene chiuso intorno alla bobina
collarata saldando il cilindro con una tensione azimutale di circa 140 MPa. Vengono
considerate ora le tensioni e le deformazioni dei componenti del magnete assemblato
a temperatura ambiente.
Il magnete assemblato: tensioni e deformazioni del giogo e del cilindro
Per modellizzare l’effetto del cilindro sul giogo si è imposta un’interferenza in grado
di generare una tensione azimutale in tutta la sezione del cilindro di 140 MPa (Fig.
2.21).
Nel magnete assemblato tale tensione determina un avvicinamento tra le due
parti del giogo che si bloccano sulle barre di Zamac lasciando un gap complessivo tra
le due metà di circa 400 µm.
Nel modello, per riprodurre questo particolare comportamento, è stato
attribuito un gioco diverso agli elementi di contatto che uniscono i nodi del giogo a
quelli posti sull’asse di simmetria verticale (Fig. 2.22). Sulla superficie A si è
imposto un gap che varia da 220 µm (sul raggio interno) fino a 250 µm.
Questi valori sono stati scelti tenendo conto che il giogo presenta prima della
saldatura del cilindro un gap complessivo tra le due metà che varia da 440 µm (sul
raggio interno) a 500 µm. La zona B invece, che simula le barre di Zamac, è
caratterizzata da un gap di 50 µm.
Gli spostamenti orizzontali del giogo calcolati dal modello (Fig. 2.23)
mostrano che sulla parte alta i nodi si spostano di 50 µm, come imposto attraverso gli
elementi di contatto. Nella parte bassa lo spostamento è invece di circa 80 µm; nel
modello il gap rimane aperto quindi per circa 140 µm sul raggio, cosa che si riscontra
tipicamente anche nel magnete assemblato. Una misura eseguita sul magnete
MBSMS10 ha infatti fornito il valore di 0.3 mm sul diametro, molto vicina quindi al
valore di 0.28 mm calcolato.
Le tensioni orizzontali (Fig. 2.24) presentano una concentrazione di stress
nella parte alta del giogo, mentre l’assenza di pressioni nella parte bassa evidenzia
come il gap tra le due metà non si chiuda ed il giogo venga in contatto
esclusivamente con le barre di Zamac.
46
Figura 2.21: Il magnete assemblato: tensione azimutale nel cilindro [MPa].
Figura 2.22: Superfici del giogo caratterizzate da gap differenti.
47
Figura 2.23: Il magnete assemblato: spostamenti orizzontali del giogo [mm].
Figura 2.24: Il magnete assemblato: tensioni orizzontali nel giogo [MPa].
48
Il magnete assemblato: tensioni e deformazioni del collare
Fissate le condizioni al contorno che limitano il movimento del giogo, è possibile
studiare l'interazione tra il nucleo, il collare e le bobine.
Gli elementi di contatto tra giogo e collare sono stati suddivisi in tre gruppi
(Fig. 2.25): nella zona A è stato assegnato un gap di 100 µm, nella zona B di 250 µm
e nella zona C di 500 µm.
Tali valori sono stati scelti tenendo conto che il gioco nominale di 500 µm tra
il nucleo ed il collare è ridotto in pratica, in A ed in B, mediante spessori inseriti tra
le due superfici. Le tensioni radiali tra il giogo ed il collare (Fig. 2.26) sono
conseguentemente più elevate nella zona A.
La forza complessiva che ne risulta ha come principale effetto quello di
modificare la deformazione del collare e lo stato di tensione della bobina. A
differenza del caso dopo il collaraggio (Fig. 2.20), il collare presenta sul piano
mediano un spostamento radiale che è per tutti i nodi inferiore a 200 µm (Fig. 2.27),
quindi minore del valore calcolato nella situazione in assenza di nucleo.
La forza risultante esercitata dal giogo sul collare riduce infatti lo
spostamento orizzontale sul piano mediano ed incrementa la deformazione verticale:
i nodi posti sull’asse y presentano infatti spostamenti verticali maggiori rispetto al
caso in assenza di nucleo di ferro.
Il magnete assemblato: tensioni e deformazioni della bobina
Per quanto riguardo la bobina, la distribuzione delle tensioni azimutali (Fig. 2.28)
rimane sostanzialmente analoga a quella ottenuta dopo il collaraggio. Il prestress
medio aumenta di circa 3 MPa su entrambi gli strati.
In tutti i magneti della serie MBSMS si è misurato in pratica un aumento del
prestress, dalla situazione dopo il collaraggio al magnete assemblato, compreso tra 2
e 10 MPa.
La forza radiale esercitata dal giogo sul collare modifica invece gli
spostamenti radiali della bobina: confrontando la figura 2.29, relativa al magnete
assemblato, con la figura 2.17, caratteristica della bobina semplicemente collarata, si
notano nel primo caso deformazioni radiali minori nei blocchi posti sul piano
mediano.
49
Figura 2.25: Superfici del collare caratterizzate da gap differenti.
Figura 2.26: Il magnete assemblato: tensioni radiali tra il collare ed giogo [MPa].
50
Figura 2.27: Il magnete assemblato: spostamenti radiali del collare [mm].
Figura 2.28: Il magnete assemblato: tensioni azimutali della bobina [MPa].
51
Figura 2.29: Il magnete assemblato: spostamenti radiali della bobina [mm].
2.2.3 Il magnete a 1.8 K
Il magnete raffreddato a 1.8 K presenta alcune differenze, rispetto alla situazione a
temperatura ambiente, per quanto riguarda la distribuzione di tensioni e le
deformazioni: queste differenze sono riconducibili al fatto che la bobina, il collare ed
il giogo sono caratterizzati da coefficienti di contrazione differenti. Il modello
analizza come questo influisca sullo stato di sollecitazione dei componenti.
Il magnete a 1.8K: tensioni e deformazioni del giogo, del collare e della bobina
La contrazione differenziale tra bobina collarata e nucleo determina la chiusura del
gap tra le due metà del giogo. Gli spostamenti orizzontali dei nodi che si affacciano
sul gioco (Fig. 2.31), calcolati dal modello, variano da -220 µm a -250 µm. Poiché il
gap inizialmente era di 220 µm a raggio interno e 250 µm a raggio esterno, gli
spostamenti annullano completamente il gioco. La pressione di contatto tra i due
52
semi gioghi (Fig. 2.32) passa da 60 MPa a 20 MPa nella parte interna del nucleo.
Nella parte alta invece le barre di Zamac scompaiono per contrazione termica e la
tensione orizzontale si riduce a 0 MPa. La chiusura del gap è stata verificata
sperimentalmente sui magneti MBSMS utilizzando estensimetri posizionati tra le due
metà del giogo: la loro deformazione indica che le superfici hanno raggiunto il
contatto, cosa che tipicamente avviene tra i 170 ed i 230 K (Fig. 2.30).
A 1.8 K il collare ed il giogo rimangono in contatto nella stessa zona del caso
a temperatura ambiente ma con pressione di circa 5 MPa (Fig. 2.33). Gli spostamenti
dei nodi del collare (Fig. 2.34) sono determinati dall’effetto combinato della
contrazione termica e della precompressione della bobina. In quasi tutte le zone del
collare si nota uno spostamento radiale che risulta maggiore sul piano mediano (-350
µm) rispetto all’asse verticale (-140 µm).
La precompressione media della bobina (Fig. 2.35) è minore rispetto alla
situazione a temperatura ambiente: 49.7 MPa nello strato interno e 47.8 MPa nello
strato esterno, diminuzione che riproduce i dati sperimentali sui magneti MBSMS.
Per quanto riguarda gli spostamenti (Fig. 2.36), anche in questo caso la bobina segue
la deformazione del collare: lo spostamento negativo è maggiore sul piano mediano
(-200 µm).
100
Deformazione [mm/m]
0
-100
-200
GC 4
GC 2
-300
-400
GC 1
-500
-600
GC 3
-700
-800
0
50
100
150
200
250
300
Temperatura [K]
Figura 2.30: Misure sul gap del giogo del magnete MBSMS12v1.
53
350
Figura 2.31: Il magnete a 1.8 K: spostamento orizzontale del giogo [mm].
Figura 2.32: Il magnete a 1.8 K: tensioni orizzontali del giogo [MPa].
54
Figura 2.33: Il magnete a 1.8 K: tensioni radiali tra collare e giogo [MPa].
Figura 2.34: Il magnete a 1.8 K: spostamenti radiali del collare [mm].
55
Figura 2.35: Il magnete a 1.8 K: tensioni azimutali nella bobina [MPa].
Figura 2.36: Il magnete a 1.8 K: spostamenti radiali della bobina [mm].
56
Capitolo 3
Calcolo dell’azione delle forze elettromagnetiche
Dopo aver analizzato le tensioni e le deformazioni della sezione centrale del dipolo
dopo il collaraggio, dopo l’assemblaggio e a 1.8 K, viene ora preso in considerazione
l’effetto delle forze elettromagnetiche sui blocchi di conduttori.
Un conduttore rettilineo di lunghezza dl percorso da una corrente i ed
immerso in un campo magnetico di intensità H0=B0/µ0 (essendo µ0 la permeabilità
magnetica nel vuoto) è soggetto ad una forza pari a
dF = idlΛB0
L’interazione corrente-campo magnetico nei dipoli per LHC produce forze
estremamente elevate in grado di deformare la bobina e che quindi possono
determinare peggioramenti nella qualità di campo. Ciò rende indispensabile uno
studio attento del comportamento del magnete in funzione dell’eccitazione a diversi
valori di corrente.
3.1 Il modello agli elementi finiti
Per il calcolo delle forze elettromagnetiche agenti sui conduttori è stato implementato
in ANSYS un nuovo modello. Il modello individua per ogni nodo della mesh dei
blocchi la forza corrispondente che viene poi trasferita al modello meccanico per
un’analisi completa delle tensioni.
3.1.1 Il modello del magnete
Il modello è, dal punto di vista geometrico, analogo a quello utilizzato per i calcoli
meccanici (Fig. 3.1). Ogni area è stata discretizzata utilizzando particolari elementi
57
(PLANE13) [14], adatti all’analisi elettromagnetica bidimensionale, che utilizzano la
formulazione del potenziale magnetico.
Figura 3.1: Il modello magnetico.
Il modello infatti permette di effettuare un’analisi magnetica statica mediante la
quale viene calcolato il campo magnetico, prodotto da una corrente costante,
attraverso le equazioni di Maxwell:
∇ × {H } = {J }
∇ × {E} −
∂B
∂t
∇ ⋅ {B} = 0
La soluzione del problema è ottenuta attraverso le funzioni potenziale. In particolare
l’elemento sopra citato giunge alla soluzione introducendo il potenziale vettore A,
che permette di esprimere il campo magnetico B come
58
{B} = ∇ × {A}.
Utilizzando lo stesso elemento vengono discretizzate tutte le aree, attribuendo
le proprietà corrispondenti. In quest’analisi l’unica proprietà che viene considerata è
la permeabilità magnetica del mezzo considerato µ=µ0µr, essendo µ0=1 la
permeabilità nel vuoto e µr la permeabilità magnetica del mezzo relativa al vuoto. Il
modello assume µr=1 per la zona centrale del magnete (tubo da vuoto) che, a
differenza del modello meccanico, è discretizzata; è proprio nel beam tube che viene
imposto infatti il campo magnetico nominale per calcolare così le forze
elettromagnetiche agenti sui conduttori. La stessa permeabilità viene assunta per i
blocchi e per il collare (µr per rame ed alluminio non è molto diversa da 1).
6000
5000
Perm eab ilita'
4000
3000
2000
1000
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
B [T]
Figura 3.2: Permeabilità relativa del ferro.
Diverso è invece il caso del giogo in ferro. La permeabilità relativa del ferro
assume valori molto diversi a seconda del campo magnetico (Fig. 3.2). Dopo aver
raggiunto un valore massimo di circa 5000 intorno ad 1 T, la permeabilità decresce
fino a tendere asintoticamente a 1 oltre i 2 T; si parla in questo caso di saturazione
del ferro. Per il calcolo delle forze elettromagnetiche si è imposto che attorno al
collare vi sia un materiale caratterizzato da una µr infinita. Questo ha un’importante
conseguenza sulle linee di campo: infatti nel passare da un mezzo 1 ad un mezzo 2 la
59
componente del vettore campo magnetico H nel piano tangente alla superficie di
separazione si conserva [17], ossia
H1t=H2t
da cui si ottiene
B1t/µ1=B2t/µ2
Ciò implica che supporre infinita la permeabilità dell’area intorno al collare (µ2)
equivale ad imporre che le linee di flusso dell’induzione magnetica uscenti dal
collare siano perpendicolari alla superficie di separazione tra collare e giogo. Una
riduzione della permeabilità del giogo infatti, per le formule sopra illustrate,
determina un incremento della componente tangenziale delle linee di flusso uscenti
dal collare e quindi un peggioramento della qualità del campo nel centro del
magnete. Per questa ragione il giogo di ferro si trova ad una certa distanza dalla zona
con campo più elevato in modo da ridurre l’estensione delle zone in cui viene
raggiunta saturazione. L’approssimazione di considerare il ferro non saturabile
sarebbe quindi inaccettabile se il modello fosse usato per il calcolo delle armoniche
dell’induzione magnetica nella camera da vuoto mentre, risulta non inficiare il
risultato per il calcolo delle sole forze.
Come condizioni al contorno, oltre alle linee di campo normali uscenti dal
collare e sull’asse orizzontale, si sono imposte, per ragioni di simmetria, linee di
campo parallele sull’asse verticale.
Il modello procede attribuendo ad ogni blocco una certa densità di corrente
calcolata moltiplicando la corrente nominale che attraversa ogni cavo per il numero
di cavi appartenenti al blocco e dividendo per l’area del blocco stesso.
3.2
I risultati
3.2.1 Le forze elettromagnetiche
Si considerino ora i risultati ottenuti con il modello magnetico. In figura 3.3 sono
rappresentati i valori del potenziale vettore. Poiché la geometria è piana e la sola
60
componente del potenziale vettore è Az, le linee equipotenziali hanno la stessa
direzione delle linee di flusso. Come imposto nelle condizioni al contorno esse
fuoriescono secondo la direzione perpendicolare alla superficie di separazione tra il
giogo ed il collare. Sul piano mediano, sempre per simmetria, le linee sono verticali:
l’induzione magnetica pertanto ha solo componente verticale e può essere espressa
come
B=−j
∂Az
∂y
dove j è il versore dell’asse verticale. Calcolando la differenza tra il potenziale
vettore di due punti posti sul piano mediano e dividendo per la loro distanza è
possibile ottenere il valore dell’induzione magnetica che risulta pari a – 8.3 T. In
tutta la parte centrale è presente un’induzione magnetica omogenea e verticale di
circa – 8.3 T (Fig. 3.4 e 3.5). Il campo si riduce poi a raggi maggiori fino ad invertirsi
ed ad assumere un valore positivo in prossimità del primo blocco dello strato esterno
della bobina.
Figura 3.3: Il potenziale vettore Az [T·mm].
61
Figura 3.4: Componente verticale dell’induzione magnetica [T].
Figura 3.5: Modulo dell’induzione magnetica [T].
62
Le forze elettromagnetiche agenti sui conduttori possono essere scomposte in
due componenti, una radiale ed una azimutale (Tab. 3.1) [18]. Presso il piano
mediano dominano le forze radiali: i conduttori dello strato interno sono spinti verso
l’esterno mentre quelli dello strato esterno sono sottoposti a forze radiali sia positive
che negative. Complessivamente sul piano mediano la bobina è deformata
orizzontalmente verso l’esterno.
Vicino ai poli invece dominano le forze azimutali che tendono a comprimere
la bobina ed ad allontanarla dal collare. Proprio per evitare questo movimento, che
genererebbe calore per attrito, la bobina viene precompressa in modo che i blocchi,
anche a campo nominale, rimangano sempre in contatto con il collare.
Figura 3.6: Componenti delle forze elettromagnetiche agenti sui blocchi.
L'effetto globale delle forze elettromagnetiche sui collari può essere
visualizzato qualitativamente scomponendo le risultanti delle forze agenti su
ciascuno dei blocchi di conduttori nelle due componenti orizzontale e verticale (Fig.
3.6).
La risultante delle forze orizzontali è quindi diretta verso l'esterno (cioè le
bobine tendono ad allargare i collari), mentre quella delle forze verticali è diretta
verso il basso (e quindi i collari tendono a scaricarsi).
Tabella 3.1: Forze elettromagnetiche sui blocchi di conduttori
63
Forze elettromagnetiche [N/mm]
Fradiale
Fazimutale
Blocco
1
37.3
-200.5
2
31.7
-834
3
368.6
-95.7
4
375.2
-352
5
108.4
-379
3.2.2 Il magnete a 8.3 T
Le forze elettromagnetiche calcolate mediante il modello magnetico ad ogni nodo
della discretizzazione della bobina sono state trasferite al modello completo del
magnete per un calcolo accoppiato magnetico-meccanico che consente di analizzare
lo stato di sollecitazione del magnete. Anche in questo caso sono state studiate
separatamente le tensioni e le deformazioni dei vari componenti.
Il magnete a 8.3 T: tensioni e deformazioni della bobina
La presenza delle forze elettromagnetiche determina una distribuzione di tensioni
diversa rispetto al caso del magnete assemblato a 1.8 K (Fig. 2.35). Le tensioni
medie (Fig. 3.7) non sono uguali al variare dell’angolo: mentre sul piano mediano si
raggiungono infatti in media circa 80 MPa, sui poli il prestress è solo di 35 MPa. Si è
pertanto reso necessario attribuire diversi moduli di elasticità alle differenti aree in
cui sono stati suddivisi i blocchi.
Questi dati, differenti rispetto a quelli calcolati nel magnete assemblato a 1.8
K dove la precompressione rimaneva di 50 MPa in media su tutta la bobina,
dimostrano che le forze di Lorentz determinano un allontanamento dal collare, e
quindi una riduzione del prestress, dei conduttori in corrispondenza dei poli. La
precompressione iniziale di 50 MPa garantisce comunque che, anche a campo
nominale, la bobina sia sottoposta ad una pressione azimutale sufficiente a limitare i
movimenti dei conduttori.
Nei calcoli relativi al magnete a 1.8 K era emerso che la bobina presentava
uno spostamento negativo, dovuto alla contrazione termica, maggiore sul piano
mediano (Fig. 2.36): anche a freddo i blocchi seguivano la deformazione del collare.
64
In presenza delle forze elettromagnetiche (Fig. 3.8) la bobina tende ad aprirsi sino a
che i collari sono bloccati dal nucleo verso il piano mediano: questo si verifica in
particolare nei blocchi prossimi all’asse orizzontale che subiscono l’azione delle
forze radiali maggiori. Confrontando infatti la figura 2.36 (magnete a 1.8 K e 0 T)
con la figura 3.8 (magnete a 1.8 K e campo nominale) si nota come i blocchi inferiori
siano nel secondo caso spinti verso l’esterno.
Per visualizzare meglio questo effetto in figura 3.9 sono state sovrapposte le
posizioni dei blocchi (linea tratteggiata) senza e con campo magnetico rispetto alla
bobina nominale (linea continua). In assenza di campo magnetico risulta evidente sia
l’effetto della contrazione termica, che determina uno spostamento verso il centro di
tutti i blocchi, sia quello relativo alla deformazione del collare prodotta dalla bobina.
In presenza del campo magnetico invece i blocchi 1 e 3 sono spinti verso l’esterno
mentre quelli superiori si avvicinano al piano mediano.
Come vedremo in seguito (Cap. 5) questo tipo di deformazione ha un effetto
importante sulla qualità di campo.
Figura 3.7: Tensioni azimutali nella bobina [MPa].
65
Figura 3.8: Spostamenti orizzontali della bobina [mm].
Figura 3.9: Deformazione della bobina.
Il magnete a 8.3 T: tensioni e deformazioni del collare e del giogo
A 1.8 K in assenza di campo magnetico il collare presenta un deformazione
maggiore sull’asse verticale (Fig 2.34). Come già rilevato per la bobina, le forze
66
elettromagnetiche radiali deformano il collare determinandone uno spostamento
risultante rispetto alla geometria di partenza (prima del collaraggio) relativamente
uniforme in tutte le direzioni radiali e dell'ordine di 0.25-0.30mm. L'espansione del
collare in presenza delle forze elettromagnetiche (Fig. 3.10) si traduce in una
pressione di contatto con il giogo (Fig. 3.11) più elevata rispetto alla situazione in
assenza delle forze elettromagnetiche.
Il gap tra le due metà del giogo risulta chiuso: gli spostamenti dei nodi posti
sul gioco sono infatti uguali a quelli calcolati a freddo (Fig. 3.12).
L’unico effetto delle forze elettromagnetiche è quello di ridurre la pressione
presente tra le due metà (Fig. 3.13). La forza di contatto presente tra i due semigioghi
si trasferisce infatti progressivamente tra i collari ed i lamierini del giogo (la
reazione, essendo data dal cilindro, non cambia sino a che il gap non si apre). Per
questa ragione è importante che a freddo il gap sia ben chiuso e che la maggior parte
della forza impressa dal cilindro sia scaricata tra i due semigioghi in modo da avere
un sufficiente margine perché il gap rimanga chiuso durante l'eccitazione del
magnete.
Figura 3.10: Spostamenti radiali del collare a B=9T, T=1.8K [mm].
67
Figura 3.11: Tensioni radiali tra collare e giogo [MPa].
Figura 3.12: Spostamento orizzontale del giogo [mm].
68
Figura 3.13: Tensioni orizzontali del giogo [MPa].
69
Capitolo 4
Calcoli e misure del campo magnetico
La struttura meccanica del magnete ha come principale funzione quella di limitare il
più possibile la deformazione della bobina. Lo spostamento dei conduttori può infatti
generare armoniche deleterie per la qualità di campo. In questo capitolo sarà
analizzata l’influenza della deformazione della bobina sulla qualità di campo.
4.1
Lo sviluppo dei multipoli
Un campo bidimensionale nel vuoto può essere espresso sotto forma di uno sviluppo
in serie [7, 18]. Supponiamo di considerare l’asse del magnete come l’asse z di un
sistema di coordinate cilindriche (r, θ, z). Nella sezione diritta del magnete tutti i
conduttori sono paralleli all’asse z e sono considerati come infinitamente lunghi.
Supponiamo di avere una corrente nella direzione z positiva che scorre esattamente
sull’asse z. Le linee del campo magnetico sono cerchi concentrici attorno all’asse; il
campo è quindi esclusivamente azimutale e può essere espresso come
Bϑ =
µ0 I
2πr
Il vettore potenziale generato dalla corrente ha solo la componente z
Az (r , ϑ ) = −
µ0 I  r 
ln 
2π  a 
Il termine a rappresenta una lunghezza arbitraria introdotta per rendere
adimensionale l’argomento del logaritmo e tale da scomparire con la derivata
Bϑ = −
∂Az µ 0 I
=
∂r 2πr
70
Se più generalmente si assume che la corrente è ancora parallela all’asse z ma
posizionata in un determinato punto (r=a, θ=φ) nel piano r,θ il vettore potenziale ha
quasi la stessa forma del caso precedente
Az (r , ϑ ) = −
µ0I  R 
ln  .
2π  a 
La sola differenza è che il termine r è stato sostituito con
R = a 2 + r 2 − 2ar cos(θ − ϕ )
dove R è la distanza tra la corrente ed il generico punto P = (r,θ) al quale si vuole
valutare AZ. Consideriamo il caso r < a. Risulta utile scrivere il logaritmo come
 1  r

R 1  r 
ln  = ln 1 −   exp(i(ϑ − φ )) + ln 1 −   exp(− i(ϑ − φ )) .
 a  2  a

 2  a
Utilizzando poi lo sviluppo di Taylor del logaritmo
1
1
1
ln (1 − ξ ) = −ξ − ξ 2 − ξ 3 − ... − ξ n − ...
2
3
n
si giunge ad esprimere le componenti azimutali e radiali del vettore potenziale e del
campo come
µ I
Az (r , ϑ ) = 0
2π
Bϑ (r , ϑ ) = −
B r (r , ϑ ) =
n
1r 
  cos[n(ϑ − φ )]
∑
n =1 n  a 
∞
µ0I ∞  r 
∑ 
2πa n =1  a 
µ0I ∞  r 
∑ 
2πa n =1  a 
71
n −1
n −1
cos[n(ϑ − φ )]
sin[n(ϑ − φ )]
B z (r ,ϑ ) = 0
Una corrente I lungo l’asse z è quindi in grado di generare multipoli di qualsiasi
ordine. Per generare un campo magnetico utile per le macchine acceleratrici si può
considerare ora una distribuzione di corrente del tipo
I (φ ) = I 0 cos(mφ ) .
Sostituendo nell’espressione del potenziale vettore ed integrando tra 0 e 2π si ottiene
Az (r , ϑ ) =
µ0 I
2π
1r 
 
∑
n =1 n  a 
∞
n
∫
2π
0
cos(mφ ) cos[n(ϑ − φ )]dφ .
L’integrale è nullo per n=m, per cui rimane nella sommatoria un solo termine:
Az (r , ϑ ) =
m
µ0I0 1  r 
  cos(mϑ )
2 ma
r
 
a
m −1
µ I r
Br (r , ϑ ) = − 0 0  
2a  a 
m −1
µ I
Bϑ (r , ϑ ) = − 0 0
2a
cos(mϑ )
sin (mϑ )
Per m = 1, 2, 3 si ottengono campi rispettivamente dipolari, quadrupolari e
sestupolari. In particolare quindi un campo magnetico dipolare può essere generato
da una distribuzione di corrente del tipo
I (φ ) = I 0 cos(φ ) .
Questi campi sono denominati multipoli normali. Se si ruota la distribuzione di
corrente di un angolo π/2m si ottiene dei multipoli cosiddetti skew. Un dipolo skew
ha ad esempio un campo orizzontale. Questi ultimi magneti sono posizionati vicino
ai quadrupoli focalizzanti per correggere l’orbita delle particelle sul piano verticale.
72
Una distribuzione di corrente a coseno è difficile da realizzare utilizzando cavi
superconduttori con una sezione costante, ma può essere comunque approssimata.
Tale approssimazione può essere valutata tenendo conto dello sviluppo multipolare
generale del campo magnetico ottenuto utilizzando la formule presentate sopra:
r
Bϑ (r ,ϑ ) = Bref ∑ 
n =1  r0
∞
r
Br (r , ϑ ) = Bref ∑ 
n =1  r0
∞






n −1
n −1
[bn cos(nϑ ) + a n sin (nϑ )]
[− a n cos(nϑ ) + bn sin(nϑ )] .
Esprimendo il campo magnetico come grandezza complessa si ottiene
 x + iy 

B y + iB x = Bref ∑ (bn + ia n )
n =1
 r0 
∞
n −1
dove r0 rappresenta il raggio di riferimento, che per LHC è pari a 17 mm, Bref è il
campo di riferimento (per un dipolo Bref=B1) e bn ed an sono i coefficienti multipolari
normali e skew. Il coefficiente relativo al campo di riferimento viene normalizzato,
per cui per un dipolo b1=1 e per un quadrupolo b2=1. Gli altri coefficienti devono
invece essere estremamente piccoli, tipicamente |an|, |bn|<1⋅10-4. L’unità di misura dei
coefficienti multipolari, e quindi dei multipoli, è l’unità di multipolo (1⋅10-4).
y
+I
-I
φ
x
0x
-I
+I
Figura 4.1: Linee di corrente con simmetria dipolare.
73
Si può vedere ora come dalla formula dello sviluppo multipolare sia possibile
risalire alla distribuzione dei conduttori utilizzata per il dipolo di LHC. Si consideri
una simmetria tale per cui ad ogni corrente +I posta ad un angolo φ esistono altre tre
correnti: +I a -φ, -I a π-φ e -I a π+φ (Fig. 4.1). Il vettore potenziale risulta
n
2µ 0 I 0
Az (r ,ϑ ) =
∑
π
1 r 
  cos(nφ ) cos(nϑ ) .
n =1, 3, 5 ,.. n  a 
Si arriva pertanto alla conclusione che una simmetria dipolare genera esclusivamente
multipoli normali e solo di ordine dispari.
Consideriamo ora una distribuzione di corrente analoga a quella del primo
strato della bobina del dipolo LHC esclusi gli spaziatori di rame. Supponiamo inoltre
costante la densità di corrente J. Il potenziale vettore è
Az (r ,ϑ ) =
2µ 0 J
π
n
φl
1 a2  r 
ada ∫ cos(nφ )dφ cos(nϑ )


∑
∫
a
0
n =1, 3, 5,.. n 1  a 
dove a1 ed a2 sono il raggio interno ed esterno dello strato e φl l’angolo limite.
Risolvendo l’integrale si ottiene la seguente formula del multipolo di ordine n:
2µ 0 J
1r
∆a  
Bn (r , ϑ ) =
π
na
n −1
sin (nφ l )
con ∆a = a2 – a1. Scegliendo un angolo φl=60° il sestupolo (n=3) scompare. In questo
caso invece il coefficiente del decapolo (b5), dato da
4
B5 1  r  sin 300°
=  
B1 5  a  sin 60°
è circa 10-2, almeno due ordini di grandezza superiore al valore limite accettabile per
LHC. Per approssimare meglio la distribuzione a coseno si ricorre pertanto a due
strati, in modo da ridurre sia il sestupolo che il decapolo. Un’ulteriore riduzione dei
multipoli di ordine superiore viene raggiunta mediante spaziatori di rame inseriti
74
nella bobina che consentono una diversa distribuzione di corrente per entrambi gli
strati.
Un ruolo importante è giocato dal giogo in ferro: la presenza di una struttura
ad alta permeabilità magnetica intorno alla bobina infatti contribuisce ad aumentare il
campo verticale nel centro del magnete. Gli effetti sulla qualità di campo legati alla
saturazione del ferro sono compensati agendo sulla distribuzione di fori nel giogo ed
attraverso l’inserto.
4.2
ROXIE
ROXIE (Routine for the Optimization of magnet X-section, Inverse field calculation
and coil End design) è un programma sviluppato presso il CERN per la progettazione
e l’ottimizzazione della bobina e del giogo per i magneti superconduttori di LHC
[19]. Il programma è costituito da procedure per la definizione geometrica della
sezione trasversale della bobina: la posizione dei blocchi è calcolata a partire da dati
iniziali quali il numero di conduttori per blocco, il tipo di conduttore, il raggio
interno della bobina e la posizione e l’angolo di inclinazione dei blocchi.
Ad ogni conduttore viene poi attribuita una densità di corrente: la forma
trapezoidale del cavo, e quindi la minore presenza di vuoti tra gli strand nella parte a
spessore inferiore, viene tenuta in conto differenziando la densità di corrente
all’interno del conduttore. Una volta terminata la definizione della geometria della
bobina, ad ogni componente (strand, cavo, blocco, strato) può essere associata una
trasformazione geometrica come una traslazione o rotazione; per evitare
sovrapposizioni dei materiali sono poste opportune condizioni al contorno. Il
programma, attraverso un calcolo analitico, è in grado di determinare le componenti
multipolari del campo magnetico al raggio desiderato.
4.2.1 Calcolo dei multipoli con bobina deformata
Si è dimostrato analiticamente come la distribuzione di corrente, ottenuta attraverso
due strati di conduttori di una determinata ampiezza e contenenti spaziatori di rame
opportunamente posizionati, rappresenti una buona approssimazione della
distribuzione ideale a cos φ. Ciò non esclude però che i blocchi di conduttori possano
75
trovarsi, durante le varie fasi operative del magnete, in posizione diversa rispetto a
quella nominale. I calcoli di ANSYS, così come le misure sperimentali, indicano
infatti che i valori di prestress cambiano a seconda dello stato del magnete: dopo il
collaraggio, a magnete assemblato, a 1.8 K e con campo magnetico. Bisogna poi
tenere conto che la dimensione iniziale della bobina è soggetta alle tolleranze di
fabbricazione che arrivano fino a qualche centesimo di millimetro. Per una bobina
per dipolo a singolo strato è possibile calcolare analiticamente l’influenza di una
variazione dell’angolo limite sulla qualità di campo. Si è già dimostrato come per
questa geometria un angolo di 60° annulli il sestupolo. Si supponga di considerare un
errore angolare δφl. Risulta
B3 1  r  sin (180° + 3δφ l )
.
=  
B1 3  a  sin (60° + δφ l )
2
b3 =
Per avere |b3|≤1⋅10-4 è necessario che δφl≤0.25 mrad; quindi, considerando un raggio
medio a = 40 mm, è necessario che la lunghezza del semiarco della bobina sia
precisa al centesimo di millimetro.
Come il sestupolo appare estremamente sensibile a variazioni dell’angolo del
polo della bobina, così altri tipi di deformazioni della bobina risultano influenzare
altre armoniche. È quindi importante cercare di accoppiare i calcoli meccanici
effettuati attraverso il modello agli elementi finiti ai calcoli magnetici di ROXIE:
l’intento è quello di calcolare la posizione effettiva della bobina durante le fasi di
assemblaggio, a 1.8 K e con campo magnetico con ANSYS, trasferire la nuova
geometria a ROXIE, calcolare le armoniche del campo magnetico e confrontarle con
i valori misurati in laboratorio.
Per fare questo è possibile sfruttare un’opzione presente in ROXIE e
rappresentata in figura 4.2. Il programma infatti considera separatamente ciascun
conduttore all’interno dei blocchi della bobina. Tra i dati di ingresso è possibile
specificare non solo la geometria nominale della bobina e quindi la posizione
nominale dei conduttori, ma anche gli spostamenti di ciascuno di essi. Come
esempio, in figura 4.2, è stato imposto al conduttore numero 27 posizionato sul piano
mediano uno spostamento di 2 mm verso il centro del magnete.
Il modello agli elementi finiti utilizzato per i calcoli meccanici presenta però
alcune differenze rispetto a quest’impostazione. Innanzitutto la discretizzazione della
bobina non è omogenea e non è sufficientemente fitta da presentare un nodo
76
rappresentativo per ogni cavo. Inoltre la bobina di partenza utilizzata da ANSYS non
è quella nominale di ROXIE, bensì una più grande nella direzione che raggiunge le
dimensioni nominali ad una precompressione di 50 MPa.
Figura 4.2: Esempio di bobina deformata in ROXIE.
Figura 4.3: Punti di riferimento per il trasferimento dati tra ANSYS e ROXIE.
77
Si è cosi proceduto in questo modo: partendo dalla bobina indeformata di
ANSYS si è individuata in ogni blocco la posizione dei punti corrispondenti a
ciascun conduttore (Fig. 4.3): essi sono posti nel punto medio del lato a raggio
interno e di quello a raggio esterno del conduttore. Poi si sono calcolati gli
spostamenti di tutti i nodi della bobina nelle varie condizioni operative del magnete. I
nodi però non corrispondono perfettamente ai punti sopra citati: si è pertanto reso
necessario effettuare un’interpolazione lineare tra gli spostamenti dei due nodi fra i
quali è posto il punto medio del conduttore. In questo modo sono state calcolate,
sommando gli spostamenti alle coordinate iniziali, le posizioni finali di ciascun
conduttore.
ROXIE richiede lo spostamento del conduttore partendo dalla bobina
nominale, diversa dalla bobina a 0 MPa di ANSYS di cui sono state calcolate le
deformazioni. Le traslazioni fornite come input a ROXIE per la determinazione delle
armoniche sono state ottenute calcolando la differenza tra la posizione finale dei
conduttori, determinata dal modello agli elementi finiti, e quelle caratteristiche della
bobina nominale di ROXIE.
Il calcolo della qualità di campo è stato eseguito prendendo in considerazione
un particolare magnete, il MBSMS9.V3 (Cap 5), di cui si conoscono le tensioni dopo
il collaraggio, a 1.8 K e durante l’eccitazione e di cui sono disponibili la misure
magnetiche. Prima di confrontare i valori misurati con quelli calcolati nei modelli è
opportuno illustrare le tecniche utilizzate per le misure magnetiche.
4.3
Tecniche di misura dei multipoli
La misura delle armoniche del campo magnetico viene effettuata con una bobina
radiale che ruota intorno all’asse centrale del magnete (Fig. 4.4) [20].
Consideriamo una bobina di Nc spire, lunghezza lc avente raggio interno r1 e
raggio esterno r2. Se θ è l’angolo del piano della bobina rispetto all’asse orizzontale
il flusso è dato da
r2
Φ(ϑ ) = N c l c ∫ Bϑ (r , ϑ )dr
r1
e quindi, sviluppando in serie il campo magnetico
78
1  r
Φ(ϑ ) = F ∑  2
n =1 n  r0

∞
n
n
  r1  
 −   [bn cos(nϑ ) + a n sin (nϑ )]
  r0  
dove F=Nclcr0Bref.
r1
r2
ω
Asse del magnete
Nc spire
lc
Figura 4.4: Bobina radiale di misura.
Se la bobina ruota con una velocità angolare ω ai suoi capi si sviluppa una tensione
indotta U=-dφ/dt. La tensione è proporzionale alla velocità angolare che però è
difficile da controllare con la dovuta precisione.
Per questa ragione è preferibile integrare il segnale di tensione nell’intervallo
di tempo
∆t =
T
N
dove T=2π/ω e N è il numero di suddivisioni per una rotazione completa. Il flusso
magnetico φ(θk) viene pertanto misurato agli angoli
ϑk = k
2π
,
N
k=0,…..N-1.
I coefficienti dei multipoli sono poi calcolati attraverso una trasformazione di Fourier
79
bn =
2
NFK n
2π 

∑ Φ(ϑ ) cos k ⋅ n ⋅ N 
an =
2
NFK n
2π 

∑ Φ(ϑ )sin k ⋅ n ⋅ N 
N −1
k
k =0
N −1
k
k =0
La quantità Kn esprime la sensitività della bobina ad un multipolo di ordine n
1  r   r 
K n =  2  −  1 
n  r0   r0 

n
n

 .

Una singola bobina è però insufficiente a determinare multipoli di ordine elevato in
presenza di un campo principale di grande intensità. Come esempio consideriamo un
dipolo con Bref = 5 T che contenga un b14 = 1⋅10-4. Con una bobina di raggio r1 = 0, r2
= 0.8r0 ed una velocità angolare ω = 2π⋅0.25 s-1 si ottiene U1 = 50 V e U14 = 250 µV.
Sarebbe pertanto necessario utilizzare uno strumento con un intervallo di misura di
105. Si può ovviare a questo problema ed aumentare la sensitività utilizzando due
bobine. Supponiamo di avere una bobina esterna A ed una interna B, la seconda delle
quali simmetrica rispetto all’asse, con lo stesso numero di spire:
N A (r2 − r1 ) = N B (r4 − (− r3 )) = N B (r4 + r3 )
dove r1 ed r2 sono i raggi della bobina esterna mentre r3 ed r4 quelli della bobina
centrale. Nel segnale “compensato” Ucomp = UA – UB il contributo del dipolo
scompare. Infatti in questo tipo di configurazione le equazioni dei coefficienti dei
multipoli sono ancora valide, ma la sensitività diventa
n
n
n
n
1   r2   r1   r4   r3   
K n =    −   −   −    .
n   r0   r0   r0   r0   


In questo modo K1 = 0 e il dipolo non viene più considerato.
Il sistema di misura utilizzato presso il CERN è riportato in figura 4.5. La
bobina radiale copre tutta la lunghezza (1080 mm) del magnete corto. Il segnale
80
viene inviato agli integratori che ricevono dall’encoder l’informazione sulla
posizione angolare della bobina.
Figura 4.5: Il sistema di misura.
81
Capitolo 5
Applicazione sul magnete MBSMS9.V3
Il calcoli della qualità di campo sono stati verificati prendendo come riferimento i
valori misurati del magnete corto MBSMS9.V3.
Nel modello agli elementi finiti per lo studio delle tensioni e delle
deformazioni sono state scelte proprietà (coefficienti di contrazione termica) ed
interferenze tra le strutture tali da ottenere gli stessi valori di precompressione
misurati nella bobina. Gli spostamenti ottenuto sono poi stati utilizzati per il calcolo
della qualità di campo mediante ROXIE. I valori delle armoniche dei multipoli così
ottenuti sono stati verificati con i dati sperimentali ed hanno permesso una
valutazione del modo in cui diversi tipi di deformazione della bobina influiscano
sulla qualità di campo del magnete.
5.1
Il magnete MBSMS9.V3
Il MBSMS9.V3 è un magnete corto costruito con la particolare caratteristica di avere
tra il collare ed il giogo un gap di 2 mm. In questo modo il collare è libero di
espandersi in ogni direzione sotto l’azione delle forze elettromagnetiche e non viene
quindi mai in contatto con il nucleo di ferro.
Questa scelta è stata fatta proprio per verificare le reazioni del collare durante
l’eccitazione del magnete.
La bobina di questo magnete è più grande rispetto alla bobina nominale:
compressa a 50 MPa nella pressa di misura essa infatti presenta uno strato interno ed
uno strato esterno più grandi rispettivamente di 0.46 mm e 0.33 mm rispetto alla
geometria di riferimento. Questo è dovuto in parte alle dimensioni del cavo, il cui
spessore medio per esempio per i blocchi interni è 1.896 mm invece dei 1.880 mm
nominali, ed in parte ad un maggiore spessore dell’isolamento degli spaziatori di
rame.
Il prestress a caldo dopo il collaraggio è 39 MPa per lo strato interno e 54
MPa per quello esterno. A 1.8 K la precompressione scende invece rispettivamente a
35 e 40 MPa.
82
5.1.1 Calcoli strutturali
Il modello agli elementi finiti è analogo a quello utilizzato per gli altri magneti salvo
per il fatto che non prende in considerazione la presenza del giogo e del cilindro
poiché questi non interagiscono mai con il collare.
La bobina di partenza è più grande di quella standard: mediante il modello
che simula l’azione della pressa di misurazione è stata quindi definita una geometria
che a 50 MPa risulta più grande della bobina nominale secondo i valori riportati
sopra. In questo caso è infatti importante utilizzare nel modello una geometria il più
possibile simile a quella reale: il sestupolo è ad esempio influenzato dalla dimensione
azimutale della bobina.
Riportiamo ora le distribuzioni di tensioni e deformazioni ottenute dai calcoli.
Tensioni e deformazioni della bobina e del collare a temperatura ambiente
Il valore medio delle tensioni azimutali ottenuto dai calcoli (Fig. 5.1) è analogo a
quello misurato: 39 MPa nello strato interno e 54 MPa su quello esterno.
Per quanto riguarda gli spostamenti della bobina e del collare (Fig. 5.2 e 5.3),
i valori delle deformazioni non presentano particolarità rispetto a quelli già calcolati
e commentati.
Tensioni e deformazioni della bobina e del collare a 1.8 K
La bobina a 1.8 K è sottoposta ad una precompressione minore rispetto alla
situazione a temperatura ambiente (35 MPa sullo strato interno e 40 MPa su quello
esterno).
Per ottenere questa riduzione di prestress si è reso necessario aumentare il
coefficiente di contrazione termico dei conduttori portandolo a 8.7⋅10-3 per i blocchi
interni e 9.2⋅10-3 per i quelli esterni.
La maggiore contrazione della bobina rispetto ad altri magneti dello stesso
tipo è invece da attribuirsi al diverso spessore dell’isolamento di poli-imide che, oltre
a rendere la bobina più grande, contribuisce a modificarne il comportamento a
freddo.
83
Tensioni e deformazioni della bobina e del collare a 9 T
Analizziamo ora il comportamento della bobina collarata a 9 T. Questo valore di
campo magnetico è stato considerato poiché le misure sperimentali dei multipoli
sono state effettute tra 0 e 9 T. La bobina presenta la classica distribuzione delle
tensioni azimutali durante l’eccitazione. In questo caso il ridotto prestress raggiunto
ai poli (10 MPa sullo strato interno) è dovuto alla precompressione a freddo, minore
rispetto agli altri magneti, ed all’elevato campo magnetico (> 8.3 T).
Significativo è invece il caso delle deformazioni: se confrontiamo i risultati
ottenuti allo stesso campo magnetico sul magnete assemblato in maniera nominale
(Cap. 3), si può notare come sia la bobina che il collare presentino spostamenti
radiali maggiori e di segno positivo sul piano mediano. Sull’asse orizzontale
dominano infatti le forze radiali che spingono verso l’esterno la bobina ed il collare.
L’assenza del nucleo fa sì che il collare sia libero di deformarsi lungo il piano
mediano determinando così un maggiore spostamento radiale della bobina. Questo,
come vedremo, ha delle importanti conseguenze sulla qualità di campo magnetico.
Figura 5.1: Tensioni azimutali della bobina collarata a 293 K [MPa].
84
Figura 5.2: Spostamenti radiali della bobina collarata a 293 K [mm].
Figura 5.3: Spostamenti radiali del collare a 293 K [mm].
85
Figura 5.4: Tensioni azimutali della bobina a 1.8 K [MPa].
Figura 5.5: Spostamenti radiali della bobina a 1.8 K [mm].
86
Figura 5.6: Spostamenti radiali del collare a 1.8 K [mm].
Figura 5.7: Tensioni azimutali della bobina a 9 T [MPa].
87
Figura 5.8: Spostamenti radiali della bobina a 9 T [mm].
Figura 5.9: Spostamenti radiali del collare a 9 T [mm].
88
5.1.2 Calcoli magnetici e confronto con i dati sperimentali
Le deformazioni della bobina, trasferite sotto forma di spostamenti dei
conduttori, sono state calcolate da 2 T fino a 9 T.
Per ciascun valore di campo magnetico le relative forze elettromagnetiche
sono state applicate al modello agli elementi finiti. Particolare attenzione è stata
posta alla differenziazione del modulo di elasticità dei conduttori nella bobina: ad
ogni area è stato associato il coefficiente di Young relativo alla tensione azimutale
effettivamente presente in quella zona.
Poiché il modello è simmetrico rispetto all’asse del magnete, i multipoli
normali di ordine pari e i multipoli skew calcolati dal modello sono nulli. Il
confronto sarà pertanto effettuato prendendo in considerazione esclusivamente i
multipoli normali di ordine dispari (b3, b5, b7). L’effetto della saturazione del ferro
sulle armoniche è stato calcolato separatamente (Tab. 5.1 e 5.3) e poi sommato ai
risultati del calcolo con ferro nominale per ottenere il valore complessivo del
multipolo.
Figura 5.10: Differenza tra la bobina nominale (linea continua) e la bobina del
MBSMS9.V3 a 1.8 K e 0 T.
89
Consideriamo inizialmente il sestupolo: in figura 5.11 e tabella 5.2 sono
riportati i risultati dei calcoli e delle misurazioni. La saturazione del nucleo inizia ad
avere effetto sulla qualità di campo a partire da circa 6 T e da un contributo positivo
al sestupolo. La curva del b3 calcolato senza effetto della saturazione parte da un
valore negativo di circa – 4 unità: il sestupolo è infatti sensibile all’angolo dei poli
della bobina. Nel magnete MBSMS9.V3 il prestress è inferiore rispetto ai 50 MPa
nominali e la bobina è più grande rispetto alla dimensione nominale. Confrontando in
figura 5.10 la bobina nominale (linea continua) con la bobina del magnete a freddo in
assenza di campo magnetico (linea tratteggiata) risulta evidente come tutti i blocchi
siano posizionati ad un angolo maggiore rispetto alla geometria nominale generando
quindi un sestupolo negativo ed in valore assoluto elevato.
La curva della variazione del sestupolo durante l’eccitazione del magnete,
calcolata senza l’effetto della saturazione, presenta una diminuzione da 0 a 9 T
dovuta esclusivamente alle deformazioni della bobina per effetto delle forze
elettromagnetiche. Sommando a questi valori l’effetto della saturazione si ottiene una
curva vicina a quella ottenuta sperimentalmente.
Analizziamo ora quale tipo di deformazione della bobina può dare luogo a
questo andamento del sestupolo. I risultati descritti sopra possono essere discussi
visualizzando graficamente le deformazioni subite dalle bobine durante le varie fasi
di funzionamento.
Nella figura 5.12 sono state riportate le posizioni nominali dei blocchi (linea
continua) e quelle relative alla bobina deformata nelle condizioni di esercizio del
magnete (linea tratteggiata). Per studiare esclusivamente l’effetto della deformazione
del collare e delle forze di Lorentz è stata considerata una bobina standard (che
compressa a 50 MPa in una pressa raggiunge le dimensioni nominali) sottoposta nel
collare ad una precompressione di 50 MPa; non sono stati cioè considerati né il basso
prestress né le dimensioni della bobina del MBSMS9.V3.
Dopo il collaraggio la bobina presenta uno spostamento radiale maggiore nei
blocchi vicino ai poli rispetto ai blocchi vicino al piano mediano. Questo tipo di
deformazione si riscontra anche a 1.8 K: in questo caso però tutti i blocchi sono
caratterizzati da uno spostamento radiale verso il centro del magnete per effetto della
contrazione termica. I calcoli con ROXIE hanno dimostrato che il passaggio da caldo
a freddo non varia il b3: nel caso del MBSMS9.V3 si passa infatti da -3.9 unità a 293
K a -4.1 unità a 1.8 K.
Diverso è invece il caso del magnete a 9 T : per effetto delle forze
elettromagnetiche (radiali verso l’esterno sul piano mediano e azimutali sui poli) i
90
blocchi 1 e 3 sono spinti verso l’esterno mentre i blocchi 2 e 5 sono compressi verso
l’asse orizzontale. La bobina (sia lo strato interno che quello esterno) risulta quindi
inclinata verso il centro del magnete.
Nei due casi, in assenza ed in presenza di campo magnetico, le posizioni dei
blocchi cambiano: l’assenza del giogo infatti fa sì che il collare sia libero di
deformarsi orizzontalmente per effetto delle forze elettromagnetiche ed è proprio
questo tipo di deformazione che genera la curva del sestupolo decrescente (Fig.
5.11).
Anche per quanto riguarda il decapolo i valori calcolati riproducono con
buona approssimazione le misurazioni (Fig. 5.13 e tab. 5.4). Il decapolo decresce
leggermente all'aumentare del campo magnetico, e questo effetto è soprattutto
geometrico.
Tabella 5.1: Effetto della saturazione del ferro sul b3 [unità].
B [T]
2
4
5
6
7
8
9
b3
Effetto della saturazione
0
0
0
0.1
0.4
0.83
1.12
Tabella 5.2: Confronto tra i valori di b3 calcolati e le misure sperimentali [unità].
B
2
4
5
6
7
8
9
b3
Calcolato senza saturazione Calcolato con saturazione
-4.17
-4.42
-4.54
-4.74
-5.02
-5.29
-5.55
-4.17
-4.42
-4.54
-4.64
-4.62
-4.46
-4.43
91
Misurato
-4.13
-4.14
-4.17
-4.25
-4.35
-4.41
2
1
b3 [unita']
0
-1
Calcolato senza saturazione
Effetto della saturazione
-2
Calcolato con saturazione
Misurato
-3
-4
-5
-6
2
3
4
5
6
7
8
Campo magnetico [T]
Figura 5.11: Confronto tra i valori di b3 calcolati e le misure sperimentali.
Figura 5.12: Deformazione della bobina durante l’eccitazione del magnete.
92
9
Tabella 5.3: Effetto della saturazione del ferro sul b5 [unità].
b5
Effetto della saturazione
0
0
0
0
-0.002
-0.003
-0.002
B [T]
2
4
5
6
7
8
9
Tabella 5.4: Confronto tra i valori di b5 calcolati e le misure sperimentali [unità].
b5
Calcolato senza saturazione Calcolato con saturazione
B
2
4
5
6
7
8
9
0.423
0.416
0.411
0.41
0.403
0.399
0.397
Misurato
0.423
0.416
0.411
0.41
0.401
0.396
0.395
0.478
0.477
0.475
0.473
0.469
0.46
0.8
Calcolato senza saturazione
0.7
Effetto della saturazione
Calcolato con saturazione
0.6
Misurato
b5 [unita']
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
B [T]
Figura 5.13: Confronto tra i valori di b5 calcolati e le misure sperimentali.
93
9
Capitolo 6
Calcoli strutturali sulla testa del magnete
Figura 6.1: Testa della bobina: conduttori dello strato esterno.
Una delle zone più critiche del magnete è costituita dalle teste. I conduttori, che nella
parte centrale sono disposti longitudinalmente lungo la direzione parallela all’asse
centrale del magnete, nelle teste vengono separati da particolari spaziatori in fibra di
vetro.
La forma degli spaziatori è studiata in maniera tale da minimizzare le
armoniche del campo magnetico e da disporre i conduttori in una configurazione a
perimetro costante: in questa configurazione i due lati di ciascun conduttore seguono
curve di uguale lunghezza (Fig. 6.1).
Nella prima parte della testa la bobina ha la stessa geometria della zona
centrale (Fig. 6.2). Tra i poli della bobina sono posizionati gli spaziatori in fibra di
vetro ed il tutto è chiuso dal collare che è caratterizzato da una struttura internamente
circolare, priva cioè del dente.
Anche gli spaziatori interni alla bobina sono in fibra di vetro.
94
Figura 6.2: Sezione della bobina nella prima parte della testa.
Figura 6.3: Gli spaziatori in fibra di vetro (vista dall’alto).
95
Gli spaziatori (Fig. 6.3) sono progettati in maniera tale da riempire lo spazio
compreso tra i poli della bobina nominale, cioè la bobina con le dimensioni azimutali
calcolate a 50 MPa. La bobina reale viene incollata sui poli agli spaziatori e
“shimmata” questa volta sul piano mediano. Gli spessori sono dimensionati in modo
da esercitare, sull’insieme bobina-spaziatori inserito nella pressa di misura chiusa sul
volume nominale della bobina, una precompressione di 100 MPa. Il prestress risulta
quindi determinato dagli spaziatori e dagli spessori inseriti sul piano mediano.
Per studiare la distribuzione di tensioni nella bobina in questa sezione è stato
utilizzato un modello agli elementi finiti. L’intento è quello di verificare innanzitutto
se gli spessori utilizzati per raggiungere nella pressa una precompressione della
bobina di 100 MPa sono tali da determinare nella bobina inserita nel collare un
prestress di 50 MPa. È infatti importante che la tensione cui la bobina è sottoposta
nella testa sia il più possibile simile a quella che si misura nella sezione centrale in
modo da ridurre le discontinuità nella distribuzione degli stress della bobina nelle
diverse parti del magnete.
Inoltre è opportuno analizzare la posizione dei blocchi nelle teste: se infatti
l’inserimento degli spessori sul piano mediano porta ad una diversa disposizione dei
blocchi rispetto alla parte centrale si possono generare tra le due sezioni sforzi di
taglio dannosi per la bobina.
6.1
Il modello agli elementi finiti
Il modello è riportato in figura 6.4. Gli spaziatori sono costituiti da due parti: una
compresa tra i poli dello strato interno, l’altra tra i poli dello strato esterno. Tra i due
spaziatori, così come tra lo spaziatore esterno ed il collare, è stato imposto gap nullo
mediante gli elementi di contatto. Nella realtà gli spaziatori sono incollati sui poli
alla bobina. Nel modello invece, per tenere conto della dimensione degli spaziatori, è
stato fissata un’interferenza pari alla differenza tra le dimensioni azimutali della
bobina nominale e quelle della bobina a 0 MPa. Oltre a ciò è stata imposta
un’interferenza sul piano mediano il cui valore è stato individuato simulando con un
modello l’azione della pressa. Vincolando radialmente la bobina e lo spaziatore
esterno (la pressa si comporta come un collare infinitamente rigido) si sono calcolati
gli spessori sul piano mediano che producono, insieme all’interferenza ai poli, un
prestress di 100 MPa su entrambi gli strati quando la bobina è confinata nel suo
96
volume nominale. Gli stessi shim sono stati utilizzati nel modello con il collare
deformabile.
In tabella 6.1 sono riportate le proprietà della fibra di vetro.
Figura 6.4: Modello della testa.
Tabella 6.1: Proprietà della fibra di vetro.
Temperatura [K]
293
1.8
6.2
E [MPa]
20000
25000
α [m/K]
1.11E-05
Risultati
I risultati ottenuti riguardano il caso dopo il collaraggio a caldo e quello a freddo
senza giogo. Sono stati analizzati in modo particolare le tensioni e le deformazioni
della bobina e del collare e sono stati effettuati confronti con i dati sperimentali e con
i calcoli relativi alla zona centrale.
97
Figura 6.5: Tensioni azimutali della bobina a 293 K [MPa].
Figura 6.6: Spostamenti radiali del collare a 293 K [mm].
98
Figura 6.7: Tensioni azimutali della bobina a 18 K [MPa].
Figura 6.8: Spostamenti radiali del collare a 293 K [mm].
99
La bobina nella prima parte della testa risulta avere un prestress simile alla
zona centrale: a 293 K si sono ottenuti infatti 46.5 MPa per lo strato interno e 52
MPa per lo strato esterno (Fig. 6.5). A 1.8K la precompressione rimane di circa 50
MPa su entrambe le bobine (Fig. 6.7). Dai calcoli emerge pertanto che gli spessori
utilizzati consentono di mantenere una precompressione omogenea della bobina nelle
differenti parti del magnete.
Il collare risulta leggermente meno ovalizzato rispetto alla sezione centrale
(Fig. 6.6): la deformazione verticale a caldo si riduce infatti a 0.2 mm mentre quella
orizzontale sale a 0.06 mm. Il valore della deformazione verticale è molto simile a
quello misurato che è in media di 0.23 mm.
Figura 6.9: Posizione dei blocchi nella sezione centrale e nella testa dopo il collaraggio.
Come prevedibile la sovrapposizione tra la bobina nella sezione dritta
(shimmata presso il polo dei collari) e la bobina nella sezione della testa (shimmata
sul piano mediano) mostra uno sfasamento tra i blocchi di conduttori (Fig. 6.9). Lo
sfasamento, anche presso il polo, corrisponde allo spessore dello shim posto sul
piano mediano. Infatti, come detto prima, il prestress nella zona della testa rimane
simile a quello della parte dritta della bobina e la sostituzione degli spaziatori di rame
con spaziatori di fibra di vetro non cambia sostanzialmente il modulo elastico
complessivo della bobina. Questa differenza geometrica tra sezione dritta e teste può
100
essere compensata in pratica costruendo bobine più grandi della dimensione
nominale in modo tale da ridurre gli shim polari nella sezione dritta e gli shim sul
piano mediano nelle teste. Questo tipo di approccio, insieme con una ridefinizione
delle dimensioni nominali e della sezione trasversale della bobina, è attualmente in
corso.
101
Capitolo 7
Conclusioni
Lo studio condotto in questa tesi ha permesso di mettere a punto un modello per
l’analisi dettagliata dello stato di tensione e deformazione delle bobine dei dipoli
superconduttori per LHC.
Il modello, anche mediante una continua ottimizzazione basata su misure
sperimentali meccaniche e magnetiche, oltre a confermare la validità della
metodologia che si intende utilizzare per lo “shimming” delle teste, ha consentito di
dare interpretazioni qualitative e quantitative sul rapporto tra stato della bobina e
qualità di campo [21, 22].
Il modulo ha fornito risultati coerenti con le misure sia per quel che concerne
le tensioni azimutali della bobina sia per quanto riguarda le deformazioni verticali ed
orizzontali del collare. In particolare in ogni fase dell’assemblaggio e dell’esercizio
del magnete è stato possibile analizzare le interazioni tra i diversi componenti.
L’applicazione sul magnete MBSMS9.V3 ha dato significative indicazioni
sulle relazioni tra qualità di campo e posizione dei blocchi rispetto alla geometria
nominale. Tre sono gli aspetti risultati determinanti in quest’analisi:
•
la definizione di una bobina di partenza il più possibile simile alla bobina del
magnete misurato, che ha permesso di ottenere risultati molto vicini in valore
assoluto alle misure magnetiche;
•
la differenziazione del modulo elastico attribuito nel modello alle diverse parti
della bobina, che ha portato ad una riduzione dell’errore nel calcolo dei multipoli
del campo magnetico;
•
il calcolo dello spostamento di ciascun conduttore dei blocchi, che ha consentito
una stima più precisa della qualità di campo.
Ulteriori miglioramenti del modello, in particolare per meglio descrivere il
gradiente radiale della distribuzione di stress della bobina, si potranno ottenere
implementando la curva del modulo di Young relativa ai due strati della bobina e
definendo diversamente le superfici di interfaccia. Potrebbe ad esempio risultare utile
modellizzare gli spessori tra i componenti non più attraverso un’interferenza tra le
superfici ma mediante la definizione di differenti condizioni al contorno sui collari
102
presso le spine di collaraggio ed eventualmente anche attraverso la costruzione di un
modello comprendente il primo ed il quarto quadrante.
103
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