View - Pamela

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
“TOR VERGATA”
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI
TESI DI LAUREA IN FISICA
Messa in orbita dell’apparato PAMELA e
prime misure di raggi cosmici
Relatori:
Laureando:
Prof. Piergiorgio Picozza
Dott. Marco Casolino
Nicola De Simone
Anno Accademico 2006/2007
Indice
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
Raggi cosmici
1.1 Spettro e composizione dei raggi cosmici . .
1.1.1 Le abbondanze relative . . . . . . . .
1.1.2 Lo spettro . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Anisotropie del flusso . . . . . . . . .
1.1.4 Origine e propagazione . . . . . . . .
1.1.5 Elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Materia oscura e componente di antimateria
1.3 Fenomeni di modulazione solare . . . . . . .
1.4 Elettroni gioviani . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Raggi cosmici solari . . . . . . . . . . . . . . .
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La missione Pamela
2.1 Obiettivi scientifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 L’orbita di PAMELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Orbita kepleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Pertubazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Modello SGP4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Confronto tra l’orbita kepleriana e il modello SGP4
2.3 Campo e cutoff geomagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Sviluppo in multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Rappresentazione delle componenti . . . . . . . . .
2.3.3 Campo dipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Modello IGRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Invarianti adiabatici e il moto delle particelle intrappolate
2.5 Cutoff geomagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Formula di Störmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Cutoff verticale con il parametro L di McIlwain . .
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L’apparato PAMELA
3.1 Spettrometro magnetico . . . . . . . . .
3.2 Scintillatori e sistema del tempo di volo
3.2.1 Trigger . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Misura della carica . . . . . . . .
3.2.3 Misura del tempo . . . . . . . . .
3.2.4 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Calorimetro . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4
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3.7
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3.3.1 Struttura . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Sviluppo degli sciami . . . . . .
Sistema dell’anti-coincidenza . . . . . .
Rivelatore di neutroni . . . . . . . . . .
3.5.1 Principi di rilevazione . . . . . .
3.5.2 Contributo alla discriminazione
elettromagnetici nel calorimetro
Il fattore geometrico . . . . . . . . . . .
Test con muoni a terra . . . . . . . . . .
Capacità osservative . . . . . . . . . . .
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sciami adronici
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Performance in volo
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Primi dati sui raggi cosmici
5.1 Misure a bassa energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Flussi stimati con i conteggi di piano . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Andamento temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Flussi in funzione della L di McIlwain . . . . . . . . . . .
5.2 Neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Correzioni al contatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Il flusso lungo l’orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Contaminazione di neutroni di background nella finestra
di trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Raggi cosmici galattici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Selezioni sugli eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Flusso di protoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Flusso di elii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Flussi a vari cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Flusso di protoni in SAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Eventi solari di dicembre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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154
157
Conclusioni
179
A Calcolo del fattore geometrico
181
B Metodi per il calcolo del flusso differenziale
187
C Perdita d’energia e Bethe-Bloch
195
D Rappresentazione logaritmica
201
Bibliografia
209
Introduzione
PAMELA (Payload for Antimatter Matter Exploration and Light-nuclei Astrophysics) è un esperimento, su satellite, progettato per lo studio delle particelle
cariche nella radiazione cosmica con particolare attenzione alla componente
di antiparticelle (antiprotoni e positroni). L’apparato è installato a bordo del
satellite russo RESURS DK-1 ed è stato lanciato da Baikonur, Kazakhistan, il 15
giugno 2006; la durata minima prevista della missione è di 3 anni.
L’obiettivo principale di PAMELA è indagare la materia oscura e l’asimmetria barionica nell’universo; lo strumento permette anche di studiare la propagazione dei raggi cosmici nella galassia e nel sistema solare, di osservare eventi
solari e la modulazione solare e di studiare l’interazione dei raggi cosmici con
la magnetosfera.
È composto da una serie di rivelatori: uno spettrometro magnetico, un
calorimetro elettromagnetico silicio-tungsteno, un sistema di tempo di volo, un
sistema di anticoicidenza e un rivelatore di neutroni. L’uso combinato di questi
strumenti permette di discriminare le antiparticelle da un notevole segnale di
fondo di particelle.
Il presente lavoro di tesi è stato svolto a partire dal luglio 2006, subito dopo
il lancio del satellite RESURS DK-1. La prima fase di studio ha riguardato
il calcolo dell’orbita tramite l’utilizzo dei Two Line Elements del NORAD e
del modello SGP4; in questo modo è possibile conoscere, per ogni evento
acquisito, i vettori posizione e velocità del satellite. Sono state studiate le
caratteristiche dell’orbita ed è stata valutata l’entità delle correzioni rispetto
all’orbita kepleriana. È stata stimata la velocità di precessione del perigeo,
una perturbazione gravitazionale che è la principale causa della variazioni di
altezza del satellite sul lungo periodo e grazie alla quale è possibile esplorare
la magnetosfera a tutte le altitudini comprese tra l’altezza di apogeo e perigeo.
È stato studiato il campo magnetico terrestre, calcolandone le componenti
tramite il modello IGRF; si è analizzato il moto delle particelle cariche in esso
intrappolate e, per meglio descriverlo, sono state calcolate alcune coordinate
magnetiche invarianti. Molta attenzione è stata dedicata al cutoff geomagnetico, cioè all’effetto di schermo sui raggi cosmici galattici dovuto alla presenza del
campo geomagnetico, dipendente dalla posizione e dalla direzione di incidenza
della particella galattica. Si è proceduto calcolando il cutoff in approssimazione
Störmer verticale ed utilizzandolo per dedurre lo spettro primario conoscendo
la posizione associata ad ogni evento acquisito; si dà una stima dell’errore così
commesso.
La seconda parte del lavoro ha riguardato l’analisi dei dati per effettuare
delle stime di vari flussi di particelle. Sono state valutate le condizioni in
cui i conteggi di neutroni sono privi di effetti di overflow ed è stato stimato
5
6
il tasso di conteggio di neutroni in funzione della posizione del satellite; è
stata quindi valutata la probabilità che, in coincidenza con un evento, venga
rilevato un certo numero di neutroni ambientali, informazione importante per
poter utilizzare il rilevatore di neutroni per la discriminazione tra interazioni
adroniche ed elettromagnetiche nel calorimetro di PAMELA.
Attraverso i conteggi dei piani di scintillatori, sono stati calcolati flussi integrali di particelle con varie soglie di energia a partire da 2 MeV per gli elettroni
e 20 MeV per i protoni; energie inferiori a quelle misurabili tramite lo spettrometro magnetico. Si è proceduto correggendo l’overflow subíto, in alcuni punti
dell’orbita, dai contatori più sensibili alle basse energie ed è stato calcolato un
flusso assoluto conoscendo le efficienze di conteggio ed il fattore geometrico degli scintillatori. Nel tempo, è stata osservata una notevole variabilità nelle fasce
di Van Allen esterne di elettroni intrappolati, attraversate da PAMELA da alte
latitudini, fenomeno strettamente legato alle pertubazioni della magnetosfera
terrestre
Sono stati stimati spettri differenziali di protoni e di elii. A tale scopo sono
state definite delle selezioni preliminari sugli eventi, in base alle misure di
di rilascio di energia, di deflessione della traccia nel campo magnetico dello
spettrometro e di velocità tramite il sistema del tempo di volo; inoltre, sono
stati sviluppati strumenti che consentono la correzione dello spettro primario
per gli effetti del cutoff geomagnetico. Sono stati calcolati gli spettri differenziali
in differenti intervalli di cutoff e si è illustrato come sarà possibile usarli per
effettuare, per la prima volta in orbita, precise misure di cutoff a tutte le energie
in un ampia zona della magnetosfera terrestre. È stato poi calcolato lo spettro
di protoni all’interno della fascia interna di Van Allen.
Infine, sono stati analizzati i dati acquisiti durante gli eventi solari di dicembre 2006. È stato stimato lo spettro differenziale di protoni ed elii per le
particelle energetiche solari (SEP) del 13 e del 14 dicembre. L’analisi è stata
approfondita valutando le variazioni temporali dello spettro differenziale di
protoni durante la SEP del 13 dicembre e stimando gli andamenti spettrali
tramite fit con una legge di potenza. È inoltre presentata l’osservazione e l’andamento temporale di un fenomeno di Forbush decrease osservabile nel flusso
di protoni e, parzialmente, di elii a partire dal 14 dicembre, legato all’arrivo di
un’emissione di massa coronale del 13 dicembre.
Capitolo 1
Raggi cosmici
I raggi cosmici sono costituiti da particelle cariche, di energia molto variabile,
che viaggiano nel mezzo interstellare (ISM). La loro prima osservazione indiretta la si deve ad Hess che, nel 1912, tramite voli su palloni aerostatici e
usando elettroscopi a foglie, rilevò un incremento delle particelle ionizzate al
crescere dell’altitudine; solo dopo qualche tempo si spiegarono queste osservazioni come la rilevazione di prodotti secondari dell’interazione con l’atmosfera
di particelle cariche in arrivo sulla Terra. Per anni i raggi cosmici sono stati
l’unico mezzo di studio delle particelle elementari prima dell’invenzione degli
acceleratori di particelle. Oggi continuano ad essere l’unico mezzo per indagare le più alte energie (oltre i 1000 TeV), non raggiungibili con acceleratori, sono
importanti nello studio della fisica dei neutrini, e nella ricerca della soluzione di importanti problemi cosmologici, quali la ricerca della materia oscura e
dell’antimateria nell’universo.
I raggi cosmici possono essere distinti, in base alla loro origine, in: extragalattici, galattici, solari ed anomali. I primi tre tipi saranno discussi nel seguito.
1.1
Spettro e composizione dei raggi cosmici
I raggi cosmici di energia inferiore a circa 100 TeV sono costituiti per l’86% da
protoni, per l’11% da elii e per la restante parte da nuclei più pesanti (1%) e da
elettroni (2%).
1.1.1
Le abbondanze relative
In figura 1.1 si mostrano le abbondanze relative nei raggi cosmici di varie specie
nucleari.
Le abbondanze nei raggi cosmici seguono, in generale, l’andamento paridispari (in Z) tipico della curva dei nuclei stabili e dovuto all’energia di accoppiamento tra nucleoni. Le abbondanze simili a quelle del sistema solare
indicano la loro origine stellare. Nuclei come litio, berillio e boro, meno abbondanti nelle stelle, sono presenti nei raggi cosmici in quantità maggiori di circa
un fattore sei a causa della spallazione di nuclei di carbonio e ossigeno nell’interazione con l’idrogeno dell’ISM. Un meccanismo simile avviene a partire dal
ferro per specie di numero atomico di poco inferiore. A causa dell’interazione
7
8
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.1: Abbondanze nucleari relative nei raggi cosmici, posto 100 il valore
per il carbonio [26].
dei primari con l’atmosfera è possibile fare questo tipo di misure con precisione
solo al di sopra dell’atmosfera stessa, sebbene gli esperimenti a terra rimangano
gli unici a poter dare indicazioni sulle più alte energie.
Quindi, oltre all’idrogeno, i nuclei prodotti nella nucleosintesi stellare, come
elii, carbonio, ossigeno e altri nuclei fino al ferro, compongono i raggi cosmici
primari, mentre litio berillio e boro sono in gran parte secondari.
1.1.2
Lo spettro
Lo spettro dei raggi cosmici è mostrato in figura 1.2 a partire da 100 MeV.
È uno spettro all particle, cioè ottenuto sommando gli spettri calcolati per le
singole specie atomiche. Il flusso diminuisce in maniera tanto rapida da rendere
impossibile effettuare nello spazio misure sopra l’energia di qualche TeV, viste
le dimensioni limitate dei rivelatori. Per questo motivo devono essere costruiti
rivelatori a terra che operano per tempi lunghi, coprono ampie superfici e usano
l’atmosfera come un calorimetro, rivelando gli sciami di particelle secondarie
sulla sperficie terrestre, misurando o la luce Cherenkov prodotta o la luce di
fluorescenza emessa dall’azoto eccitato ([51], pag, 163).
Lo spettro ad energie inferiori a 10 GeV risente dell’influenza del campo
magnetico solare, la cui intensità varia secondo il ciclo solare di 11 anni, e questo
può portare a variazioni dell’ordine di un fattore 10 nel flusso. Ad energie
superiori e fino ad oltre 100 TeV il flusso non presenta particolari variazioni e
si mostra ben descritto da una legge di potenza:
dN
∝ E−γ
dE
dove γ = 2.7 viene detto indice spettrale.
All’aumentare dell’energia si notano il cosiddetto ginocchio tra 1015 eV/n e
16
10 eV/n e la caviglia a circa 1019 eV/n: due punti in cui si rileva un brusca
variazione dell’indice spettrale.
1.1. SPETTRO E COMPOSIZIONE DEI RAGGI COSMICI
9
Figura 1.2: Flusso differenziale dei raggi cosmici primari [51].
Moltiplicando il flusso differenziale per E2 si ottiene un numero con le dimensioni GeV/(sm2 sr), cioè una potenza per unità di superficie ed angolo solido,
che rappresenta il contributo all’energia della radiazione cosmica. Questo tipo
di grafico è mostrato in figura 1.3 per protoni primari. Si nota che il maggiore
contributo è dato dai raggi cosmici di energia cinetica di circa 6 GeV e che il
90% dell’energia lo si deve a particelle di energie inferiore a 50 GeV.
1.1.3
Anisotropie del flusso
Per ampi intervalli di energia il flusso di raggi cosmici si mostra isotropo,
come atteso per il fatto che le particelle cariche vengono fortemente deflesse
prima dal campo magnetico galattico, poi da quello solare e infine da quello
geomagnetico. Solo per raggi cosmici di altissima energia, cioè oltre 1015 eV e
quindi poco deflessi dal campo magnetico galattico, si possono tentare misure
di anisotropia. I tentativi attuali, con array di rilevatori a terra, mostrano dati
non concordi. Alcuni esperimenti portano dati a supporto dell’ipotesi di origine
extra-galattica dei raggi cosmici di alta energia ([62]) mentre AGASA riporta
un significativo aumento del flusso dal centro della galassia.
1.1.4
Origine e propagazione
L’accelerazione e lo spettro di potenza
La prima ipotesi sull’accelerazione dei raggi cosmici fu avanzata da Enrico Fermi nel 1949, il quale pensò che essi fossero generati ed accelerati nella galassia
10
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.3: Flusso differenziale di protoni primari misurato da vari rivelatori. La
curva nera è il flusso interstellare dedotto sottraendo l’effetto della modulazione
solare [25].
per collisioni delle particelle cariche con campi magnetici in movimento. Attraverso questo meccanismo riuscì a spiegare la legge di potenza tipica della
distribuzione spettrale dei raggi cosmici.
Una particella che entra in un plasma che trasporta un campo magnetico
subisce una accelerazione se la collisione è di tipo head-on. Se il campo fosse
fermo la particella invertirebbe semplicemente il suo moto, in maniera simile
a quanto accade alle particelle intrappolate nel campo magnetico terrestre nel
moto oscillatorio tra i poli nord e sud magnetici. Il fatto che il campo si muova
in direzione opposta al moto della particella permette l’accelerazione. Si ha
invece un fenomeno di decelerazione se il campo si muove in direzione e verso
concorde alla velocità della particella. Fermi dimostrò che la probabilità di
collisione head-on è maggiore di quella head-tail, quindi le particelle vengono
mediamente accelerate.
Al di là dell’origine dei raggi cosmici, si può mostrare come un meccanismo
di ripetute accelerazioni può essere alla base di una legge di potenza ed è quindi
legato all’indice spettrale rilevato.
Supponiamo che una particella guadagni α volte la propria energia iniziale
nel meccanismo di riflessione all’interno di un campo magnetico associato ad
un plasma in movimento. Dopo n riflessioni avrà energia:
En = E0 (1 + α)n
con E0 l’energia iniziale.
Sia P la probabilità che questa particella rimanga per successive accelerazioni e (1 − P) quella di allontanarsi nello spazio interplanetaria. Se N0 è il numero
di particelle inziali, dopo n riflessioni ne rimarranno:
N = N0 Pn
Si ottiene quindi:
dN(En )
= const E−γ
dE
1.1. SPETTRO E COMPOSIZIONE DEI RAGGI COSMICI
11
dove γ = 1 − ln P/ln(1 + α) ed N(E) è il numero di particelle che vengono
accelerate all’energia En , quindi in n cicli di accelerazione, prima di sfuggire e
viaggiare nell’ISM ([51], pag. 157).
I raggi cosmici galattici
L’origine dei raggi cosmici è un problema ancora aperto e diversi modelli sono
stati proposti per diversi intervalli di energia. Le analisi fatte e la validazione dei modelli fino ad energie di 1015 eV, dove i dati sperimentali sono più
precisi ed abbondanti, possono essere la base per fare ipotesi sull’origine e la
propagazione dei raggi cosmici ad energie più elevate.
Si pone il problema di determinare la quantità di raggi cosmici prodotti
alla sorgente. È necessario un modello che descriva l’intero meccanismo di
trasporto: posizione delle sorgenti, densità, composizione e ionizzazione dell’ISM, forma ed intensità del campo magnetico interplanetario. Il processo di
spallazione dei raggi cosmici primari e la possibilità di misurare il rapporto tra
questi ed i prodotti, fornisce un punto di partenza.
I modelli più comuni sono i cosiddetti leaky box models. Essi assumono che
i raggi cosmici siano confinati all’interno del disco galattico, dove la densità
di materia è maggiore, ma che riescano ad allontanarsi con una probabilità
dipendente dall’ energia. Si assume inoltre che la densità dei raggi cosmici sia
costante; al contrario, i modelli diffusivi descrivono distribuzioni spaziali non
omogenee sia nel disco che nell’alone galattico.
Un’equazione semplificata per descrivere la propagazione è la seguente:
X
Ni (E)
1 = Qi (E) − β c nH σi +
Ni (E) + β c nH
σk−→i Nk (E)
τesc
γ τi
(1.1)
k≥i
dove Ni (E) è la densità raggi cosmici della specie i nel disco galattico e τesc il
tempo medio prima che sfuggano dalla galassia, quindi:
Ṅi,esc = Ni (E)/τesc
è il numero medio di questi raggi cosmici, per unità di volume e tempo, che
permane nel disco galattico; Qi è il numero di raggi cosmici accelerati alla
sorgente, per unità di volume e di tempo. Il termine tra parentesi include la
perdita causata dal processo di spallazione:
Ṅspallazione (E) = β c nH σi Ni (E)
di sezione d’urto totale σi , sul mezzo interstellare formato da protoni di densità
numerica nH , ed il termine di decadimento:
Ṅdecadimento (E) =
1
τi Ni (E)
γ
con γ il fattore di Lorentz. Il terzo termine:
X
Qi,spallazione = β c nH
σk−→i Nk (E)
k≥i
è il contributo al flusso della specie i dato dalla spallazione di altre specie
atomiche k.
12
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Le misure delle abbondanze nucleari, mostrate in figura 1.1, sono il punto
di partenza. Si consideri un nucleo secondario S, prodotto di spallazione di
un nucleo primario P. Un’ulteriore semplificazione alla (1.1) consiste nel porre
pari a zero la produzione del nucleo alla sorgente, QS = 0, in modo che il
nucleo possa essere solo il risultato di un processo di spallazione, e considerare
trascurabili i termini di decadimento ed assorbimento. Rimarrà il solo termine
di produzione tramite spallazione:
NS (E)
= β c nH σP−→S NP (E)
τesc
da cui si ricava il cammino medio prima della fuga:
NS (E)
= ρ β c τesc ≈ 5 g/cm2
σP−→S NP (E)
m
essendo m la massa del protone, il principale costituente del mezzo interstellare
interagente con i raggi cosmici, avendo misurato il rapporto NS (E)/NP (E) e
conoscendo la sezione d’urto di spallazione. Stimando la densità del mezzo
interstellare ρ pari a quella dell’idrogeno nel disco galattico, si ottiene [26]:
τesc 3 × 106 anni
Misure di questo tipo possono essere fatte per tutto il gruppo di prodotti di
spallazione del carbonio e dell’ossigento (boro, berillio e litio) e per quelli del
ferro.
Altre tecniche più raffinate consistono nella rilevazione di isotopi prodotti
da spallazione, come il 10 Be, che ha un tempo di decadimento noto di circa
1.6 × 106 anni, comparabile al tempo medio di confinamento dei raggi cosmici
nella galassia. Il rapporto tra quest’isotopo e il più stabile isotopo 9 Be permette
di stimare un tempo di vita dei raggi cosmici in [27, 19]:
τesc 2 × 107 anni
Inoltre, misure ad energie elevate corrispondono ad un maggiore effetto relativistico di dilatazione del tempo di decadimento, permettendo di allargare
questo tipo di indagine a più ampie distanze.
Le abbondanze nucleari dei raggi cosmici primari sono all’incirca costanti in
funzione dell’energia fino ad oltre 100 TeV. Non lo sono, invece, i rapporti tra
secondari e primari; essi seguono un andamento circa pari a E−0.5 che indica,
al crescere dell’energia, una diminuizione del tempo medio di permanenza
dei raggi cosmici [27]. In altri termini, i raggi cosmici di più bassa energia si
diffondono più lentamente e hanno maggiori possibilità di produrre secondari.
La relazione tra il flusso primario osservato φ(E) e il flusso della sorgente Q(E)
può essere espressa quindi da una relazione del tipo [26]:
φ(E) = Q(E) × τesc (E)
(1.2)
dove τesc (E) va inteso come l’inverso della probabilità di diffusione all’esterno
della particella di energia E. Il calcolo dei tempi di diffusione τesc effettuato con
le tecniche prima accennate dà una relazione:
τesc = E−δ
1.1. SPETTRO E COMPOSIZIONE DEI RAGGI COSMICI
13
con δ ≈ 0.6. Se lo spettro misurato ha indice spettrale 2.7, si deduce uno spettro
alla sorgente di indice 2.1 [26].
In realtà, questo modello è troppo semplificato ed è in contrasto con l’entità
dell’isotropia del flusso osservata ad alte energie, da cui si desume che τesc
non è piccolo. I modelli di accelerazione e propagazione sono molti ma si
basano sempre, comunque, sulla predizione della dipendenza dall’energia del
rapporto boro/carbonio e sul rapporto 10 Be/9 Be [53].
In figura 1.3 si è mostrato la distribuzione della potenza del flusso in funzione dell’energia. Si può stimare quali siano le sorgenti compatibili con la
potenza richiesta dal flusso osservato. La potenza P della sorgente di flusso
Q(E) può essere espressa come:
Z
Z 1
dN 1
1
EQ(E) dE =
E
×
dE
P=
µ
µ
dN osservato τesc
avendo fatto uso della (1.2). Fissando τesc sulla stima di 2 × 107 anni nel range
di energia del GeV ed usando lo spettro misurato, si ottiene P ≈ 10−33 J / s cm3 .
Se il flusso è isotropo su tutto il disco gallattico, allora la potenza necessaria per
alimentarlo è:
J
× 1067 cm3 ≈ 1041 J/anno
P = 10−33
s cm3
dove 1067 cm3 è il volume del disco galattico di raggio 15 kpc e spessore 0.2 kpc
[26]. L’insieme delle supernove presenti nella galassia fornisce una potenza
di circa 5 × 1042 J/anno e sarebbe sufficiente un’efficienza del meccanismo di
accelerazione di qualche punto percentuale a fornire l’energia necessaria ([51]
pag. 155).
Il ginocchio
In passato si è identificato il ginocchio, che si trova a circa 1016 eV nello spettro
all particles, come la fine dei raggi cosmici galattici e l’inizio degli extra-galattici.
Oggi si tende piuttosto a pensare ad un’origine galattica anche dei raggi cosmici
nella regione compresa tra il ginocchio e la caviglia; le teorie possibili rimangono
molte e diverse possono essere le sorgenti candidate alla loro accelerazione.
Molti autori ritengono che le indicazioni maggiori possano giungere da misure
della composizione intorno al ginocchio e tra il ginoccio e la caviglia.
Un delle possibili ipotesi è che esista una rigidità massima a cui le sorgenti,
come le supernove, possano accelerare i raggi cosmici. In generale, un parametro fondamentale per lo studio della propagazione di un raggio cosmico è il
suo raggio di Larmor rL nel campo magnetico galattico B (unità SI):
rL =
p
R
=
ZeB B
quindi pari al rapporto tra la rigidità della particella e il campo magnetico a
cui è sottoposta. Il meccanismo di accelerazione non è noto abbastanza bene
da permettere di predire una rigidità massima ma, se si dovesse imputare
la presenza del ginocchio a questo meccanismo, si dovrebbe ipotizzare una
rigidità massima di circa 100 TV/c. Di conseguenza, l’energia massima a cui
sarebbe accelerato un nucleo di carica Z e è [26]:
Emax ≈ pmax c = Z e Rmax c = Z × 100TeV.
14
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.4: Spettri energetici di H, He, C a sinistra e Si e Fe a destra calcolati da
KASCADE usando una delle possibili parametrizzazioni dello sciame. La zona
ombreggiata è una stima dell’errore relativo al metodo di unfolding utilizzato
[15].
La dipendenza di Emax dalla carica della particella accelerata è indice del fatto
che il campo magnetico interagisce in modo identico con particelle di rigidità
identica. Una conferma di questa ipotesi sarebbe la presenza di ginocchi in
punti diversi spettri in energia cinetica (e non in rigidità) di diverse specie
nucleari: a più bassa energia per il protone, poi per l’elio e così via fino al ferro.
Il primo modello di questo tipo fu proposto da Peters nel 1961.
I dati raccolti da KASCADE mostrano negli spettri una struttura con vari
ginocchi sempre più alti in energia all’aumentare del numero atomico; aumentano anche le abbondanze relative dei nuclei pesanti rispetto ai più leggeri. In
figura 1.4 si mostrano alcuni dei diversi spettri calcolati da Kascade usando
vari tipi di parametrizzazione dello sciame nell’atmosfera a partire dai quali gli
spettri sono ricalcolati con varie tecniche di unfolding.
Altri esperimenti, come RUNJOB, rilevano protoni oltre 100 TeV/nucleone,
smentendo la loro assenza dopo il ginocchio [65].
Per avere maggiore comprensione della materia è necessario acquisire altri
dati sia da misure dirette che indirette e ridurre gli errori sistematici dovuti a
modelli utilizzati per riprodurre le interazioni adroniche nell’atmosfera [15].
La caviglia ed il cutoff GZK
La teoria di Greisen-Zatsepin-Kuzmin predice un universo opaco ai raggi cosmici di energia superiore a circa 5 × 1019 eV a causa della presenza della radiazione cosmica di fondo che presenta uno spettro di corpo nero alla temperatura
di 2, 7 kelvin, con picco di intensità nelle microonde, con energia media di
7 × 10−4 eV. Un protone di energia superiore a circa 5 × 1019 eV ed un fotone di
questo fondo hanno un’energia del centro di massa sufficiente a produrre un
pione:
γ + p −→ ∆+ −→ π + nucleone
Il processo continuerebbe finché i nucleoni prodotti non avessero energia inferiore alla soglia della reazione.
Vari esperimenti hanno osservato, dagli inizi degli anni ’90, decine di eventi di energia superiore a 1020 eV, come si vede in figura 1.2. In figura 1.6 si
1.1. SPETTRO E COMPOSIZIONE DEI RAGGI COSMICI
15
Figura 1.5: Flusso differenziale dei raggi cosmici ad alte energie, moltiplicato
per E2.7 .
Figura 1.6: Flusso differenziale all particle ad alte energie, misurato da vari
rivelatori [27].
mostrano una serie di misure in queste due zone da parte dei rivelatori AGASA, HiRes e Auger. Le misure sono ancora poche, affette da errori statitistici
rilevanti ed in disaccordo: AGASA mostra l’assenza di cutoff GZK mentre
HiRes sembrerebbe confermarlo [27]. Inoltre, considerando il cammino libero
medio associato a questa reazione, non si dovrebbero osservare raggi cosmici
di energia superiore alla soglia GZK se la loro sorgente fosse più distante di
circa 50 Mpc. Un’assenza del cutoff GZK implicherebbe un’origine locale (entro
i 50 Mpc) di questi raggi cosmici, ma non sono note finora sorgenti di energia
sufficiente a produrli. Rimane una delle questioni irrisolte della fisica dei raggi
cosmici.
1.1.5
Elettroni
Lo spettro di elettroni incidenti al di sopra dell’atmosfera è mostrato in figura
1.7, moltiplicato per E3 . Si nota che al di sopra di circa 10 GeV l’indice spettrale
vale circa 3, quindi più ripido del valore di 2.7 tipico dello spettro dei protoni e
dei nuclei. Questa maggiore ripidità è dovuta alla perdita di energia per effetto
16
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.7: Spettro differenziale di elettroni, moltiplicato per E3 , misurato da
CAPRICE94 e confrontato con quello di altri esperimenti. La linea continua è
lo spettro interstellare calcolato [16].
Compton inverso e radiazione di sincrotrone nell’ISM. Lo studio dello spettro
può quindi mettere in relazione i meccanismi di produzione e di propagazione
con la composizione dell’ISM.
Nel caso di misure nell’atmosfera si deve sottrarre allo spettro misurato
la componente dovuta alle particelle secondarie prodotte dall’interazione dei
nuclei primari con l’atmosfera stessa. Gli elettroni/positroni possono essere
prodotti principalmente a seguito del decadimento debole di muoni o di mesoni
neutri, seguito da una cascata elettromagnetica. Per PAMELA il problema è
trascurabile in quanto opera al di sopra dell’atmosfera.
1.2
Materia oscura e componente di antimateria
La rivelazione dell’antimateria nell’universo è importante per la risoluzione di
alcune delle maggiori questioni che coinvolgono la cosmologia e la fisica delle
interazioni fondamentali.
I raggi cosmici sono stati il primo mezzo per osservare antimateria: nel
1932 Anderson osservò il positrone, rilevando una particella che si comporta
esattamente come un elettrone ma che curva in modo opposto in un campo
magnetico. Andava così a confermare la teoria di Dirac sull’esistenza di queste
particelle e iniziava una lunga storia di scoperte di antiparticelle.
È un’evidenza l’attuale asimmetria barionica dovuta al predominio di materia sull’antimateria. Nel 1967 Sakharov propose un meccanismo per spiegare
la creazione di tale asimmetria a partire da una condizione iniziale di equilibrio
nei primi istanti successivi al Big Bang. Enunciò tre condizioni necessarie alla
creazione di questo eccesso:
• La rottura della conservazione del numero barionico.
• La violazione della simmetria C e CP. È attraverso la violazione di CP che è
possibile pensare ad una differenza tra i tassi di decadimeno di un bosone
primordiale in quark e leptoni e quelli di un antibosone primordiale in
antiquark e antileptoni.
1.2. MATERIA OSCURA E COMPONENTE DI ANTIMATERIA
17
• La rottura dell’equilibrio termodinamico dell’universo primordiale. Se
l’universo fosse in equilibrio termodinamico, i processi di creazione di
coppie particella-antiparticella da bosoni di gauge e di annichilazione di
queste coppie in bosoni sarebbero in equilibrio, annullando un eccesso di
quark rispetto ad antiquark.
Nel decadimento del K0 è stato osservata la non conservazione contemporanea della simmetria per parità e per coniugazione di carica. La teoria
del Big Bang prevede che sia avvenuta la rottura di equilibrio termodinamico
iniziale dell’universo durante il suo raffreddamento. Non è stata, invece, ancora osservata la non conservazione del numero barionico, sebbene sia prevista
dalle Teorie di Grande Unificazione (GUT). L’osservazione della radiazione γ
non ha trovato evidenze di una regione di spazio dove avvengono processi
di annichilazione tra ammassi di materia ed antimateria, ad esempio fotoni di
annichilazione di e− con e+ o p con p̄, ed ha escluso la presenza di antimateria
almeno in un intorno di 20 Mpc.
L’ipotesi alternativa a quella di un universo asimmetrico è un universo simmetrico globalmente, ma localmente asimmetrico; si deve cioè ipotizzare che
esistano domini di antimateria, quindi antigalassie e antistelle che emettono radiazione e raggi cosmici. La formazione di un tale universo sarebbe possibile se
le condizioni di Sakharov si verificassero in varie regioni distinte dell’universo,
con eccesso di materia o di antimateria, non causalmente connesse al momento
della rottura della simmetria CP.
Questi domini di antimateria non potrebbero essere rilevati da semplici
osservazioni ottiche, dato che il fotone è la sua antiparticella. Si devono dunque
osservare antiprotoni ed antinuclei. Gli antiprotoni sono naturalmente prodotti
come particelle secondarie nelle interazioni note dei raggi cosmici con il mezzo
intergalattico, ad esempio p p −→ p p̄ p p; analogamente, i positroni sono un
comune prodotto delle reazioni dei raggi cosmici con l’ISM. Per questo motivo
la rilevazione di antiprotoni e positroni non è la prova della presenza di domini
di antimateria nell’universo. È ben nota, però, la forma spettrale di questo flusso
di positroni ed antiprotoni secondari ed eventuali distorsioni sono interpretabili
come la segnatura di una sorgente galattica di antimateria. L’antielio non è mai
stato osservato ed il limite raggiunto nel rapporto antielio su elio è di circa 10−6 .
Altri meccanismi ipotizzati di produzione di antimateria sono quelli derivanti
da sorgenti esotiche come l’evaporazione di buchi neri primordiali [40].
La ricerca di antimateria è anche uno dei possibili mezzi per lo studio
della materia oscura. Esistono varie prove della sua esistenza, a partire dalle
curve della velocità di rotazione di galassie spirali in funzione della distanza, e
dall’effetto di gravitational lensing subito da lontane sorgenti di luce, giustificabili
solo ipotizzando una massa dell’universo molto superiore a quella osservata.
La quantità di materia oscura è inoltre legata alla densità critica dell’universo,
cioè alla sua forma attuale e alla sua futura evoluzione.
Le misure astrofisiche più precise finora disponibili sono quelle fatte dal
satellite WMAP che ha osservato, con grande precisione angolare, lo spettro di
potenza della radiazione cosmica di fondo nelle microonde (CMB); la decomposizione in armoniche sferiche mostra che la maggiore intesità e gran parte
della potenza si trova su una precisa armonica e ciò è consistente con modelli
cosmologici che ipotizzano un universo piatto (Ω ≈ 1, cioè la densità dell’universo è circa pari a quella critica 10−29 g/cm3 ). WMAP ha anche permesso
18
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.8: Produzione secondaria di e+ e p̄ da interazioni del neutralino.
una stima della composizione dell’universo: circa il 70% sarebbe costituito da
un’energia oscura che esercita una pressione gravitazionale negativa e rende
coerenti l’attuale espansione dell’universo e la quantità di materia misurata;
la materia barionica costituirebbe non più del 5% e sarebbe costituita da nane
bianche, nane brune, pianeti ed altri oggetti poco luminosi ma che danno effetti
gravitazionali. Rimane ignota la composizione della restante parte (25%) della
massa dell’universo non barionica [4].
La frazione di neutrini, per lungo tempo candidati ad essere i principali costituenti di una materia oscura, non può esser maggiore del 5% in quanto non
hanno massa sufficiente. Dunque, l’ipotesi è che la materia oscura sia fredda,
cioè composta da particelle non relativistiche, come le, tutt’ora ignote, particelle massive debolmente interagenti (WIMP), elettricamente neutre e prive di
carica di colore ma con massa prevista da qualche GeV a qualche TeV, quindi
fortemente influenzate da campi gravitazionali. Un buon candidato per queste
particelle, create durante il Big Bang, è il neutralino, la più leggera particella
prevista dalle teorie supersimmetriche e che si prevede sia stabile. L’annichilazione del neutralino (figura 1.8) nell’alone galattico produrrebbe particelle e
antiparticelle, inclusi antiprotoni (o antineutroni che decadrebbero in antiprotoni), positroni e gamma [3]. Altro possibile candidato WIMP è la particella
Kaluza-Klein più leggera [32, 9]. PAMELA cercherà di misurare la segnatura
di questi processi nello spettro delle antiparticelle rilevate [52, 18].
1.3
Fenomeni di modulazione solare
L’intensità del vento solare e del campo magnetico ad esso associato sono anticorrelate a quelle dei raggi cosmici di energia relativamente bassa. Tutte le
fluttuazioni sono influenzate da varie periodicità dell’attività solare. In 11 anni
si ha un’oscillazione completa dalla massima attività magnetica alla minima e
quindi di nuovo massima; è comunque un valore medio in quanto si verificano
oscillazioni nella durata dei vari cicli. Un modo per misurare l’attività magnetica è contare il numero di macchie solari, che ne sono la manifestazione sulla
fotosfera. È accertato che l’aumento del numero di macchie solari è correlato
all’aumento dell’intensità del vento solare, dell’irraggiamento e della probabilità di flare ed emissioni di massa coronale, mentre si nota una diminuzione
del flusso di raggi cosmici di più bassa energia. Come visibile in figura 1.9,
l’ultimo picco di attività è stato raggiunto negli anni 2000-2001 e, nel 2007, si
è al minimo del ciclo. Per i nuclei l’effetto è una variazione di un fattore dieci
1.3. FENOMENI DI MODULAZIONE SOLARE
19
Figura 1.9: Numero di macchie solari in funzione del tempo. E‘ mostrata anche
una previsione dell’andamento (NOAA/Space Environment Center; released
April 25, 2007).
Figura 1.10: Flusso di protoni e di elii misurati dal BESS dal 1997 al 2000, cioè
dal minimo al massimo solare [58].
ad energie di circa 100 MeV e che si annulla a circa 10 GeV. L’andamento per i
protoni e per gli elii, misurato da BESS, è mostrato in figura 1.10.
La modulazione di 27 giorni può essere osservata a seguito della rotazione
solare. Essa è dovuta al campo magnetico legato al vento solare che è, approssimativamente, periodico su una rotazione solare. Dato che il vento solare è un
plasma altamente conduttivo, si ha un fenomeno spiegato in magnetoidrodinamica: il campo rimane legato al plasma in modo tale che una distorsione del
flusso del plasma viene seguita dalla analoga distorsione della linea di campo
ad esso legata. Questo fenomeno, sommato alla rotazione solare, fa sì che in
prossimità del Sole le linee di campo siano approssimativamente radiali ma si
pieghino a formare una spirale allontanandosi dal sole, come mostrato in figura
1.11. Si deve poi considerare che il vento solare viene emesso, lungo l’equatore solare, con velocità variabili da 300 km/s a 800 km/s; le linee di campo, che
formano i bracci della spirale di Parker, hanno una deflessione inversamente
proporzionale alla velocità, quindi si formano delle zone, corotanti col sole, di
compressione o rarefazione tra correnti di differente velocità, dette CIR (Corotating Interacting Regions). Queste partecipano alla modulazione dei raggi
cosmici di bassa energia.
Il ciclo di 11 anni è, in realtà, parte di un ciclo di 22 anni detto ciclo di Hale:
20
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.11: Proiezione sul piano equatoriale solare delle linee di campo
magnetico connesse al vento solare [50].
ad ogni massimo dell’attivita solare c’è un’inversione della polarità del dipolo
magnetico solare. Si crea una ulteriore modulazione, il cui effetto è dipendente
dalla carica della particella. Per simmetria della forza di Lorentz, per inversione
contemporanea del segno del campo magnetico e del segno della carica elettrica,
ci si aspetterebbe una simmetria, ad esempio, nell’azione del dipolo polarizzato
sud-nord su una carica positiva, con quella del dipolo polarizzato nord-sud
sulla stessa particella ma di carica negativa. La mancanza di simmetria è causata
della presenza del campo magnetico trasportato dal vento solare e legato alla
spirale di Parker che non è simmetrico rispetto all’equatore magnetico solare
[41].
1.4
Elettroni gioviani
La magnetosfera di Giove è una importante fonte di elettroni nel sistema solare. Questi dominano il flusso di elettroni per energie inferiori a circa 70 MeV
ed, essendo generati all’interno dell’eliosfera, risentono in minor misura degli
effetti di modulazione del ciclo solare di 11 anni rispetto ai protoni. Le energie
sono abbastanza basse da risentire del passaggio di una CIR, il cui effetto è di
ostacolarne il flusso. È un fenomeno notato inizialmente dalla sonde Pioneer
10 e 11 nel flusso di elettroni tra 3 MeV e 6 MeV, a 10 AU da Giove, e più volte
confermato da rilevazioni successive. Il flusso di elettroni gioviani è inoltre
modulato su un periodo di 13 mesi, pari all’anno sinodico Giove-Terra, dovuto
al fatto che con questa periodicità si verifica che la Terra e Giove si trovano
sulla stessa linea di campo magnetico creata dalla spirale di Parker e il flusso
di elettroni aumenta. In figura 1.12 si mostra il flusso di elettroni di energia
1.2 Mev e il flusso di energia media 6 Mev osservato dal 1973 al 1979. Si nota la
modulazione di 27 giorni e quella più ampia di 13 mesi. Un’ipotesi ancora da
verificare, a causa dell’assenza di misure ad alta energia, è l’ipotizzata riaccelerazione di elettroni gioviani fino a 2 GeV nella zona compresa tra il Termination
Shock del vento solare, creato nell’interazione con il campo magnetico galattico,
e la fine dell’eliosfera, alla distanza di 80 − 100 AU.
1.5. RAGGI COSMICI SOLARI
21
Figura 1.12: Flussi di elettroni misurati dal satellite IMP8, ad 1 AU, dal 1973
al 1970. In alto il flusso per elettroni di energia media 1.2 Mev, in basso per
energia media di 6 MeV. La zona evidenziata mostra la modulazione di 27
giorni, dovuta alla rotazione solare e alla presenza di CIR, e quella di 13 mesi,
dovuta alla connessione magnetica Terra-Giove.
1.5
Raggi cosmici solari
Rispetto allo spettro dei raggi cosmici galattici, che si estende fino ad almeno
1010 GeV, le particelle emesse dal Sole sono poco energetiche e il loro spettro
non supera i 10 GeV.
Le emissioni di particelle da parte del Sole possono essere attribuite ad un
complesso di fenomeni di cui si osservano gli effetti sulla fotosfera e sulla corona solare, nell’emissione di particelle e nello spettro elettromagnetico. Si parla
di flares, o brillamenti solari, riferendosi ad intense emissioni di radiazione dalla
cromosfera solare con lunghezza d’onda compresa tra le onde radio e i raggi
gamma e di durata variabile dai minuti alle ore. Con emissione di massa coronale
(CME) si intende una variazione osservabile e localizzata della struttura della
corona che accade in un tempo variabile da pochi minuti a qualche ora ed è
associata a getti di plasma altamente ionizzato, costituito principalmente da
protoni ed elettroni, che viaggiano a velocità variabili da da qualche km/s in
prossimità del Sole a 3000km/s. Possono giungere sulla Terra entro qualche ora
o giorno, e questo dipende da come le linee del campo magnetico interplanetario connettono la Terra col Sole; il loro arrivo provoca pertubazioni magnetiche
di entità variabile. Alcuni fenomeni solari di maggiore potenza possono produrre particelle energetiche solari (SEP), cioè particelle con uno spettro energetico
compreso tra qualche keV fino a vari GeV. Sono prodotte e poi accelerate a
velocità quasi relativistiche, giungendo sulla Terra entro minuti od ore.
La potenza dell’emissione nello spettro degli X, tra 1 ed 8 Å, viene usato
come criterio di classificazione delle flare, così come mostrato in tabella 1.1.
Le particelle emesse sono per la maggior parte protoni ma anche elettroni,
elii e piccole quantità di nuclei più pesanti. In generale, si pensa che le SEP
possano essere prodotte da flare (che danno luogo a SEP impulsive) o da onde
d’urto associate a CME (che producono, di solito, eventi graduali). Le SEP da
CME sono le più probabili. In media solo l’1% delle CME produce SEP; CME e
flare possono essere fenomeni entrambi presenti all’interno di un evento e più
22
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Classe Potenza (W/m2 )
B
I < 10−6
−6
C
10 ≤ I < 10−5
M
10−5 ≤ I < 10−4
X
I ≥ 10−4
Tabella 1.1: Classificazione NOAA della potenza delle flare.
meccanismi di accelerazione delle particelle di più alta energia possono essere
presenti.
Mentre le SEP prodotte durante CME riflettono in composizione ed abbondanze relative la corona solare, le SEP da flare presentano un rapporto 3 He/4 He
più elevato ed una maggiore abbondanza di ioni più pesanti altamente ionizzati. In ogni caso, rispetto ai raggi cosmici galattici, si nota l’assenza dei nuclei
come litio, boro e carbonio che non sono presenti nel materiale stellare ma sono
prodotti per spallazione nel mezzo interplanetario.
Il meccanismo di accelerazione delle SEP è ancora una questione irrisolta.
Un meccanismo proposto è l’accelerazione da shock, che si pensa possa essere
associato alle SEP da CME; si distingue in accelerazione da shock di deriva o
da shock diffusiva. La prima è l’accelerazione della particella lungo il campo
elettrico perpendicolare ai campi magnetici in movimento insieme al plasma
coronale, ma non si ritiene che questo meccanismo possa dare un contributo
sufficiente. Lo shock diffusivo è un meccanismo di accelerazione di Fermi al
primo ordine, quindi dovuta ad un campo magnetico in movimento in cui la
particella entra, inverte il moto e riesce con energia aumentata di una certa
frazione rispetto a quella iniziale. Un possibile meccanismo legato alle flare
è l’accelerazione da forti campi elettrici generati da riconnessioni magnetiche
delle linee di campo, connesse al plasma coronale, di opposta polarità che si
avvicinano a causa della dinamica connessa a forti pertubazioni magnetiche.
L’analisi della distribuzione geografica delle SEP mostra che gli eventi impulsivi si originano per lo più nella parte ovest del Sole. Il fenomeno può essere
spiegato considerando la geometria delle linee di campo della spirale di Parker,
che connettono meglio quella parte del Sole con la Terra. Invece, la distruzione
uniforme delle CME che generano eventi graduali viene spiegata grazie alla
presenza di enormi onde d’urto che si propagano e permettono alle particelle
di agganciarsi a linee di campo anche molto distanti da quelle connesse al sito
d’origine.
Lo spettro delle SEP cambia nel tempo durante una flare. Le particelle
cariche più energetiche arrivano, in ogni caso, prima di quelle meno energetiche
e il loro contributo è anche il primo a decrescere. Lo spettro in rigidità R può
presentare un andamento esponenziale:
j(R, t) = I0 e−R/G(t)
dove I0 è il parametro che caratterizza l’intensità della flare e la pendenza dello
spettro G(t) aumenta all’aumentare del tempo t, a causa della diminuizione del
flusso di particelle di più alta energia. Tipici valori di G(t) sono compresi tra
40 MV/c e 400 MV/c e quelli di I0 tra 2 e 1000 protoni per cm2 sr ([29], pag. 930).
23
1.5. RAGGI COSMICI SOLARI
Figura 1.13: Spettro in rigidità di protoni rilevanto in vari istanti della flare del
29 settembre 1989 [?].
Figura 1.14: Spettri energetici di varie flare confrontante con il flusso galattico
[36].
Altra forma spettrale osservabile è quella di potenza:
j(R, t) = I0 R−γ
che può a sua volta presentare una dipendenza temporale. Le diverse forme
spettrali sono associate, in modo non univoco, da vari modelli teorici ai diversi
possibili meccanismi di accelerazione delle SEP
In figura 1.13 si mostra uno spettro di protoni rilevato in diversi istante della
flare graduale del 29 settembre 1989. Si nota, nel tempo, l’aumento di ripidità
e della massima intensità. In figura 1.14 si mostra il profilo dello spettro di
protoni durante varie flare, confrontato con lo spettro dei protoni galattici. Si
nota la grande variabilità nella forma spettrale.
La produzione di elettroni è attesa dal momento che si osservano di raggi X e
24
CAPITOLO 1. RAGGI COSMICI
Figura 1.15: Esempi di spettri di elettroni in rigidità misurati da ISEE 3 [42].
gamma che possono essere il risultato dell’interazione di elettroni con il plasma
coronale. La loro diretta rilevazione è comunque difficile, dato che presentano
uno spettro in energia tipicamente molto duro ed il flusso è basso già a pochi
MeV. In figura 1.15 si mostra lo spettro di elettroni per alcune delle SEP più
intense osservate da ISEE 3 [42]; il primo, a sinistra, si riferisce ad un evento
del 3 aprile 1979 e mostra un indice spettrale all’incirca costante sia ad alta che
bassa rigidità, mentre il secondo si riferisce ad un evento dell’8 febbraio 1982
e mostra un relativo appiattimento ad alta rigidità. Questi spettri si spingono
fino a quasi 100 MeV e, ad oggi, non sono note misure sopra tale soglia.
I neutroni sono emessi a seguito di reazioni nucleari nel sito di una flare. Nel
1982 Chupp rilevò in orbita, per la prima volta, neutroni di 400 MeV a seguito
di una flare impulsiva. Oggi le misure a più alta energia vengono effettuate
tramite i molti monitor di neutroni a terra. Lo spettro dei neutroni sembra
estendersi fino a 2 − 4 GeV con un cutoff a 4 GeV [17, 29, 56].
Capitolo 2
La missione Pamela
L’esperimento nasce nell’ambito della collaborazione internazionale Wizard,
all’interno della quale sono state realizzate varie ricerche nell’ambito dello
studio dei raggi cosmici e della loro componente di antimateria. Si ricordano i
voli su pallone: MASS89, MASS91, TS93, CAPRICE94 e CAPRICE98. A questo
si affianca la collaborazione italo-russa RIM con la quale sono stati realizzati
gli esperimenti SilEye I, II e SilEyeIII/Alteino, LAZIO ed ALTEA sulle stazioni
spaziali MIR e ISS, e NINA su satellite RESURS.
È installato a bordo del satellite russo RESURS DK-1 ed è stato lanciato da
Baikonur, Kazakhistan, il 15 giugno 2006; è stato acceso l’11 luglio 2006, dopo
la fase iniziale di commissionamento con cui è stato posizionato su di un orbita
ellittica quasi polare (circa 70◦ ), ad altitudini comprese tra 350 km e 610 km. Da
allora è in continua acquisizione dati.
2.1
Obiettivi scientifici
PAMELA, oltre ad essere il maggiore esperimento su satellite del gruppo Wizard, è il più avanzato strumento attualmente in orbita per lo studio della
componente di antimateria tramite rilevazione di antiprotoni e positroni, che
costituiscono il suo obiettivo primario, insieme alla ricerca di antinuclei. Sarà
comunque in grado di effettuare altre importanti misure in diversi campi della
fisica.
In sintesi gli obiettivi scientifici sono:
• la ricerca della presenza di materia oscura nell’annichilazione delle particelle (non adroniche e probabilmente non incluse nel modello standard)
misurando lo spettro energetico di antiprotoni e positroni;
• la ricerca di anti-nuclei e, in particolare, anti-elio;
• l’estensione dell’intervallo e della precisione di misura degli spettri di
particelle e di nuclei leggeri rispetto alle misure attuali, al fine di verificare
i modelli di propagazione dei raggi cosmici;
• l’osservazione di eventi solari ad alte energie con precizione mai raggiunta
finora;
25
26
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
• l’osservazione della modulazione solare sui raggi cosmici durante l’attuale minimo solare;
• la rilevazione di elettroni gioviani e della loro modulazione;
• lo studio della fisica della magnetosfera;
• la ricostruzione dello spettro di elettroni fino ad almeno 2 TeV per investigare la possibile presenza di sorgenti locali di antimateria;
La rilevazione di antimateria è finalizzata alla ricerca di prove dell’annichilazione di particelle che costituiscono la materia oscura, rilevando la segnatura
del processo nello spettro di antiprotoni o di positroni. In figura 2.1 e in figura
2.2 si mostra lo stato attuale delle misure spettrali per antiprotoni e positroni,
tutte ottenute su pallone e da un volo di due settimane di AMS sulla Stazione
Spaziale Internazionale. La statistica di PAMELA sarà molto più alta, potendo
rilevare circa 2 × 104 antiprotoni e circa 105 positroni per ogni anno di missione,
e l’intervallo di energia coperto sarà più elevato di quello finora raggiunto, che
si ferma a circa 30 GeV per i positroni e circa 50 GeV per gli antiprotoni.
In figura 2.1, i quadrati indicano lo spettro atteso in caso di una produzione
puramente secondaria di antiprotoni, calcolata sulla base delle misure fatte da
CAPRICE94, usando un modello diffusivo di propagazione (vedi 1.1.4) [18].
Le due curve continue rappresentano, in modelli leaky box (vedi 1.1.4), i limiti
superiore ed inferiore di produzione secondaria variando il cammino libero
medio dei raggi cosmici [59]. I cerchi indicano il caso di un ulteriore contributo
primario dovuto all’annichilazione del neutralino (la cui massa è assunta pari
a 964 GeV/c2 ), la particella supersimmetrica indicata dai più come costituente
la materia oscura [66]; esso sarebbe dunque rilevabile a partire da circa 10 GeV
tenendo conto dei vari modelli di produzione secondaria. A bassa energia
l’attività solare può variare in maniera sensibile lo spettro osservato con una
modulazione dipendente dalla carica (vedi paragrafo 1.3). Inoltre, in caso di
produzione primaria di antiprotoni, il rapporto p̄/p dovrebbe presentare una
crescita a partire da circa 10 GeV in quanto la loro propagazione, da sorgenti
di antimateria, sarebbe facilitata a più alte energie. Esistono molti altri scenari
di produzione di antiprotoni, come, ad esempio, l’evaporazione di buchi neri
primordiali, con accelerazione dell’antiprotone di una coppia p p̄, che darebbe
un contributo costante al rapporto p̄/p.
I dati raccolti fino ad oggi sono limitati in energia ed affetti da errori tali che
tutti questi modelli sono ugualmente plausibili; le differenze vanno ricercate ad
energie superiori e abbassando le incertezze sperimentali. Questo sarà possibile
grazie alla precisione delle misure di PAMELA e alla sua lunga durata.
In figura 2.2, la linea tratteggiata rappresenta un modello di produzione
puramente secondaria di positroni, calcolata tramite un modello leaky box,
mentre la curva continua si riferisce ad un calcolo tramite un modello diffusivo
[43]. La curva punteggiata indica la produzione primaria risultante dall’annichilazione di un neutralino di massa 336 GeV/c2 [18]; i cerchi rossi indicano le
misure di PAMELA previste nel caso esista questa componente.
Non è possibile, invece, usare questa misura spettrale per la ricerca di
domini di antimateria, dato che gli elettroni eventualmente prodotti subiscono
forti perdite e fluttuazioni di energia a causa di Compton inverso su fotoni,
emissione di radiazione di frenamento (bremmstrahlung) nell’interazione con
2.1. OBIETTIVI SCIENTIFICI
27
Figura 2.1: Spettro differenziale di antiprotoni finora misurato da vari esperimenti, insieme con le predizioni teoriche per produzione puramente secondaria
(linea tratteggiata [18] e continua [59]) o per produzione puramente primaria
supponendo un neutralino di massa 864 GeV/c2 (linea punteggiata [66]).
i nuclei del mezzo interstellare e di radiazione di sincrotrone per le deviazioni
subite nel campo magnetico galattico. I dati attualmente disponibili indicano
che i positroni sarebbero di produzione puramente secondaria e non riaccelerati
(linea continua e quadri rossi nel grafico) ma è necessaria un’estensione delle
misure a più alte energie e una diminuzione degli errori, finora numerosi sia
a causa della statistica limitata sia perché le misure sono prese nell’atmosfera,
quindi con un fondo di positroni secondari. PAMELA persegue questo scopo
estendendo le misure da 50 GeV a 270 GeV e rilevando circa 105 positroni per
ogni anno di missione.
Un obiettivo di PAMELA è la ricerca di antinuclei. A questo scopo si effettuerà la misura del rapporto tra antielio ed elio con una precisione di circa
10−8 , con un miglioramento di un fattore 50 rispetto alle misure precedenti,
come mostrato in figura 2.3. Ci si attende una bassa produzione secondaria di
antielio dall’interazione di raggi cosmici con mezzo intergalattico, corrispondente a 10−14 nel rapporto H̄e/He, ma questo non è sufficiente per legare la
rilevazione di antielio ad una produzione in domini di antimateria a causa
della possibile presenza di H̄e a seguito di una sua nucleosintesi primordiale.
Per il C il rapporto C̄/C previsto, a seguito a produzione secondaria di C̄, è di
circa 10−58 . Per questi motivi, la rivelazione di antinuclei con Z ≥ 3 sarebbe
spiegabile solo attraverso nucleosintesi di oggetti costituiti esclusivamente di
antimateria e costituirebbe, quindi, un indizio molto importante della presenza
di domini di antimateria, mentre l’osservazione di antielio sarebbe pur sempre
un’indicazione della possibile presenza di domini di antimateria e di un universo simmetrico [18]. I limiti attuali nel rapporto H̄e/He sono determinati dalla
28
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.2: Frazione di positroni in funzione dell’energia misurata da vari
esperimenti, insieme con le predizioni teoriche per produzione puramente secondaria (linea continua [43] e tratteggiata). La linea punteggiata è il possibile
contributo dato dall’annichilazione del neutralino di massa 336 GeV/c2 [18].
bassa statistica disponibile e dal fatto che solo antielii di alta energia sarebbero
in grado di giungere fino alla Terra; il miglioramento dovuto a PAMELA è
mostrato in figura 2.3.
I meccanismi di propagazione e produzione dei raggi cosmici possono essere studiati tramite la misura dei rapporti tra alcuni elementi che li compongono.
Come già illustrato nelle sezioni precedenti, è importante misurare il rapporto tra specie primarie e specie secondarie prodotte per la frammentazione dei
primari nel mezzo interstellare (IM), dato che esso è direttamente legato alla
quantità di materia nell’IM e al tempo di permanenza dei primari nel disco
galattico. Queste misure servono a produrre vincoli per i modelli teorici esistenti riguardo la produzione e la propagazione di raggi cosmici. PAMELA sta
misurando i rapporti B/C, Be/C, Li/C e 3 He/4 He in un intervallo di energia più
ampio delle attuali misure disponibili, come mostrato in figura 2.4.
Durante l’arco di vita dell’esperimento (tre anni), considerando l’attuale
condizione di risalita dal minimo di attività solare, si può prevedere che siano
circa dieci gli eventi solari osservabili da PAMELA, cioè con energia superiore a
quella necessaria a generare un trigger: 80 MeV. La massima rigidità rilevabile
da PAMELA non è stata mai raggiunta da alcuno strumento in orbita. Gli spettri
attuali ad alta energia sono ottenuti tramite monitor di neutroni a terra. In figura
2.5 si mostrano i tipici intervalli di misure di alcuni strumenti e l’intervallo
coperto da PAMELA (zona ombreggiata).
Per la prima volta, PAMELA sarà in grado di osservare i positroni emessi
durante una flare, principalmente dal decadimento dei π+ prodotti dalle reazioni nucleari nel sito della flare stessa. I positroni non sono mai stati osservati
2.1. OBIETTIVI SCIENTIFICI
29
Figura 2.3: Limite nel rapporto H̄e/He attualmente raggiunto da vari esperimenti e limite raggiungibile da PAMELA in tre anni di durata
sperimentale.
Figura 2.4: Attuali misure dei rapporti isotopici tra varie specie nucleari. È
indicato l’intervallo in cui PAMELA sta effettuando le misure.
30
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.5: Spettro integrale del flusso di protoni nel momento di massima intensità, misurato per la flare del 24 ottobre 1989. Misure fatte da Meteor (croci),
GOES (cerchi aperti), IMP (cerchi ombreggiati), palloni (triangoli), monitor di
neutroni (quadrati) [2]. È ombreggiato l’intervallo di energia in cui PAMELA
può effettuare misure.
se non, indirettamente, dalla rilevazione della linea dei 511 keV nello spettro
gamma, derivante dalla loro annichilazione. La rilevazione contemporanea
di elettroni e positroni permetterà di studiare la loro produzione e gli effetti
dipendenti dalla carica nella loro propagazione.
Si può rilevare la componente di protoni delle SEP da 80 Mev a 1 Tev. Il
limite attuale delle misure dirette è di circa 1 GeV e gli attuali strumenti in
orbita raggiungono circa 100 MeV. Usando poi le capacità di PAMELA di
discriminazione di nuclei leggeri, è possibile ricostruire lo spettro e i rapporti
delle varie specie nucleari, importanti nella comprensione dei meccanismi di
accelerazione selettivi.
Il rilevatore di neutroni di PAMELA permette di stimare i neutroni solari,
dopo aver eliminato il fondo dovuto alle interazoni con il satellite.
Infine, è possibile studiare la fisica della magnetosfera grazie alla completa
copertura di una vasta regione di spazio attorno alla Terra, misurare il cutoff geomagnetico e le fasce di radiazione. Si possono studiare le variazioni
temporali a seguito delle pertubazioni prodotte dall’attività solare.
2.2
L’orbita di PAMELA
L’orbita di PAMELA è di tipo LEO (Low Earth Orbit), in quanto presenta
un apogeo ad altitudine di circa 610km ed un perigeo a circa 350km, ed è
semi-polare, in quanto l’inclinazione è di circa 70◦ sul piano equatoriale.
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
31
Figura 2.6: Il satellite RESURS in volo [48].
Il satellite RESURS DK-1 ospita PAMELA in un contenitore pressurizzato
posto lateralmente al satellite, come già mostrato in figura 3.3. Come illustrato
in figura 2.6, il RESURS è progettato per effettuare foto satellitari, prevendendo
per questo un movimento oscillatorio (tramite un giroscopio magnetico) perpendicolare alla direzione del moto, ed una trasmissione a terra dei dati (detta
downlink) per ogni passaggio entro un certo angolo di vista con il centro di
ricezione dati di Mosca (NTsOMZ).
Il calcolo dell’orbita viene effettuato tramite il modello di propagazione orbitale SGP4, utilizzando i parametri orbitali descritti nei Two Line Elements
(TLE); il modello SGP4 ed i TLE verrano illustrati nel paragrafo 2.2.3. L’orbita,
risultato di questa propagazione, si presenta in proiezione sul planisfero geografico in figura 2.7, mentre in figura 2.8 è mostrata la stessa orbita nel sistema
di riferimento geografico cartesiano, insieme alla sfera terrestre. Sono riportati
poco più che due periodi orbitali. Inoltre, si possono notare l’inclinazione del
piano orbitale di circa 70◦ e lo sfasamento tra un passaggio e il successivo di circa 23.5◦ , in quanto il piano equatoriale rimane sempre costante nel riferimento
inerziale delle stelle fisse ma la terra, nei 930 5500 corrispondenti al periodo di
quest’orbita, ruota di 360◦ /23h560 400 × 930 5500 = 23.54◦ , considerando la durata
del giorno siderale. Si possono, inoltre, notare i punti in cui si eseguono le
calibrazioni e non si acquisiscono dati in corrispondenza del nodo ascedente.
Di seguito, si riprendono dapprima elementi di dinamica orbitale kepleriana e si esegue qualche calcolo sulla base delle leggi kepleriane del moto; si
illustrano poi le principali perturbazioni orbitali e se ne fa una stima; infine,
si mostra l’utilizzo del propagatore orbitale SGP4, e dei parametri orbitali presenti nei TLE, quindi si confrontano i risultati della propagazione con i calcoli
precedenti al fine di mostrare l’entità delle correzioni.
32
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.7: Proiezione dell’orbita di PAMELA sulla latitude e la longitudine
geografiche.
Figura 2.8: Orbita di PAMELA nel sistema di riferimento geografico cartesiano.
A sinistra la proiezione sul piano zx, cioè quello su cui giace il meridiano di
Greenwich, e a destra la proiezione sul piano zy, ortogonale al precedente.
Quest’orbita è, casualmente, quasi interamente contenuta nel piano zx. L’unità
di misura è il raggio terrestre, posto pari a 6371.2km.
Gli elementi orbitali È utile mostrare e definire alcuni parametri orbitali di
cui si farà uso. Si fa riferimento alla figura 2.9.
• L’inclinazione dell’orbita è l’angolo formato tra il piano dell’orbita e il
piano equatoriale terrestre;
• Il punto d’Ariete è la direzione del vettore congiungente la Terra e il Sole
all’equinozio di primavera.
• Il nodo ascendente, è il punto d’intersezione tra l’orbita e il piano equatoriale, quando il satellite si muove da sud verso nord.
• L’ascensione retta del nodo ascendente corrispondente all’angolo, misurato
in senso antiorario da 0◦ a 360◦ , tra il punto d’Ariete e il nodo ascendente.
• L’eccentricità dell’orbita, compresa tra 0 e 1 nel caso di un’orbita ellittica.
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
33
Figura 2.9: Schema di alcuni parametri orbitali presenti nel TLE. (Copyright
Creative Commons 2.5 by Arpad Horvath)
• L’argomento del perigeo è l’angolo tra il nodo ascendente e il perigeo, lungo
l’orbita.
• L’anomalia media è la frazione di orbita compiuta rispetto all’ultimo passaggio per il perigeo.
• Il moto medio è la velocità angolare media del satellite. Si può esprimere
in unità di rivoluzioni per giorno. È legato all’anomalia media dalla
relazione:
M − M0 = n(t − t0 )
(2.1)
dove n è il moto medio, M è l’anomalia media e t è il tempo, M0 è il valore
di M al tempo t0 . Si descrive, in questo modo, il moto medio del satellite
inteso come moto circolare uniforme con un periodo identico a quello
dell’orbita.
• L’anomalia vera è l’angolo tra il vettore posizione e il vettore eccentricità
(che punta il perigeo). Si noti che coincide con l’anomalia media solo
per orbite circolari, dove il vettore eccentricità coincide con il raggio dell’orbita. Il calcolo dell’anomalia vera a partire dalla conoscenza del moto
medio e dell’eccentricità richiede la risoluzione numerica di un’equazione
trascendente (si può far riferimento a [35], pag. 140).
Dato che il momento angolare, quindi il piano orbitale, è un invariante del
moto nel sistema di riferimento inerziale delle stelle fisse, è più comodo descrivere la posizione del satellite in coordinate celesti piuttosto che in coordinate
geografiche. Questo il motivo dell’utilizzo del punto d’Ariete, definito come
zero dell’ascensione retta (angolo azimutale). Tutti gli altri elementi orbitali
permettono di descrivere la posizione del satellite, in maniera del tutto equivalente ma più conveniente: si definisce il piano orbitale (nodo ascendente e
inclinazione), si descrive la forma della traiettoria su questo piano (eccentricità, argomento del perigeo e moto medio) e si ricava la posizione del satellite
dall’integrazione della equazione del moto.
34
2.2.1
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Orbita kepleriana
Il moto orbitale è dettato dalla legge di gravitazione universale di Newton:
~ = −G Mm ~r = −µ m r̂
F
r3
r2
dove F è la forza gravitazionale, G è la costante di gravitazione universale,
M la massa della terra, µ = GM = 398600 km3 s−2 è la costante gravitazionale
della Terra ed m ed ~r sono la massa e la posizione del satellite nel sistema di
riferimento che ha per origine il centro della Terra.
Combinando questa equazione con la seconda legge di Newton si ottiene
l’equazione kepleriana del moto:
µ
~r¨ + ~r = 0
~r3
(2.2)
Una sua soluzione è l’equazione polare di una sezione conica:
r=
a(1 − e2 )
1 + e cos ν
(2.3)
dove ν è l’anomalia vera ed e è l’eccentricità, grazie alla quale si determina il
tipo di sezione conica. Per l’ellisse si ha 0 < e < 1. Per PAMELA si legge da un
TLE e 0.016.
L’integrazione della (2.2) permette di calcolare l’energia totale meccanica
per unità di massa E :
v2 µ
−
(2.4)
E =
2
r
dove v = ~r˙. Sia all’apogeo che al perigeo il moto è localmente circolare uniforme
con centro corrispondente al centro dell’ellisse e raggio pari al semiasse maggiore; si può eguagliare la forza gravitazionale con la forza centrifuga ottenendo:
µ
(2.5)
2a
dove a è il semiasse maggiore dell’orbita. Dato che il sistema è, in approssimazione di orbita kepleriana, conservativo si ha ovunque:
EA = EP = −
E =
µ
v2 µ
− =−
2
r
2a
(2.6)
Dalla modulo del vettore posizione, determinato dal TLE, è possibile determinare il valore del seimiasse maggiore a. In figura 2.10 si mostra |~r| in
funzione del tempo. Si vede che il perigeo si trova a circa rP = 6730.6km e
l’apogeo a rA = 6960.8km; di conseguenza il semiasse maggiore dell’orbita è
a = (rA + rP )/2 = 6845.7km.
Dalla (2.6) è possibile scrivere la velocità in funzione della posizione:
r
2 1
v= µ −
(2.7)
r a
Conoscendo il semiasse maggiore è anche possibile calcolare dalla (2.6)
l’energia meccanica totale per unità di massa, pari a E = −29MJ/kg.
35
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
Figura 2.10: Modulo del vettore posizione in funzione del tempo.
Terza legge di Keplero Si può generalizzare la terza legge di Keplero per
ricavare il valore del semiasse maggiore dal periodo orbitale, o viceversa.
Si applica il teorema del viriale considerando un potenziale gravitazionale:
2 < T >= − < V > ⇒ < E >= − < T >
che, vista la 2.6, si riscrive come:
r
< v >=
µ
a
Dalla (2.7) si ricava che un’orbita circolare con raggio pari ad a ha velocità
p
costante vc = µ/a. Si è così mostrato che l’orbita circolare di raggio a ha
velocità, costante, pari alla velocità media dell’orbita ellittica con semiasse
maggiore a.
Perciò, è possibile scrivere:
r
µ
2πa
< v >= vc =
=
(2.8)
T
a
che è equivalente alla terza legge di Keplero (T2 = cost × a3 ).
Considerando a = 6845.7 km, il periodo vale:
T = 2π
a3/2
= 930 5600
µ1/2
Seconda legge di Keplero Si considera la seconda legge di Keplero:
dA
L
=
= cost
dt
2m
dove L è il momento angolare e m la massa del satellite. La si integra su tutta
l’orbita:
dA πab
=
dt
T
36
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
dove πab è l’area dell’ellisse e T il periodo. D’altro canto, all’apogeo e al perigeo
vale:
dA rvt
=
dt
2
dove vt è la componente trasversale della velocità. Si possono calcolare quindi
le velocità all’apogeo e al perigeo utilizzando il valore del semiasse maggiore
letto dal TLE:
√
2πab
2πab
2πa 1 − e2
vt,A =
=
=
7.56km/s
TrA
Ta(1 + e)
T(1 + e)
√
2πab
2πab
2πa 1 − e2
vt,P =
=
=
7.81km/s
TrP
Ta(1 − e)
T(1 − e)
2.2.2
Pertubazioni
Attrito viscoso con l’atmosfera
È, in generale, la principale perturbazione ([35], pag. 144). Agisce in senso
contrario al moto e causa una diminuizione dell’energia meccanica disponibile.
Il moto di un corpo delle dimensioni di un satellite nell’aria rarefatta dell’alta
ionosfera è soggetto ad un attrito viscoso dipendente in modo quadratico dalla
velocità:
1 Cd A 2
v
(2.9)
ad = − ρ
2 m
dove v è il modulo della velocità del satellite, ρ è la densità dell’aria, A la superficie del satellite perpendicolare alla direzione del moto, e Cd è il coefficiente,
adimensionale, di trascinamento.
In aereodinamica si usa spesso il coefficiente balistico m/(CD A), espresso in
kg/m2 , al posto del coefficente adimensionale di trascinamento Cd , per legare
in un unico termine tutte le caratteristiche dell’oggetto che influenzano l’attrito
viscoso con l’atmosfera.
Dalla conoscenza del coeffficente balistico è possibile calcolare il tempo necessario al decadimento dell’orbita a causa del solo attrito atmosferico. Per
un’orbita quasi circolare, quale è quella del RESURS, la variazione, per rivoluzione, della distanza del satellite dal centro di massa è approssimativamente
([35], pag. 145):
∆arev = −2π(CD A/m)ρa2
(2.10)
dove a è il raggio medio dell’orbita e ρ è la densità atmosferica. Il tempo di vita
del satellite, cioè il tempo necessario alla forza d’attrito per portarlo al suolo, è
stimabile come pari a:
H
L−
(2.11)
∆arev
dove H è l’altezza di scala dell’atmosfera1 corrispondente al raggio a. Come ci
si può aspettare, la densità dell’atmosfera è inversamente proporziale al tempo
di vita del satellite.
1 Si definisce altezza di scala dell’atmosfera la variazione di altezza per la quale la pressione
atmosferica diminiusce ad 1/e del suo valore iniziale.
37
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
Effetti gravitazionali
L’appiattimento dinamico del globo terrestre rende il campo gravitazionale
dipendente dalla posizione e non solo dalla distanza dal centro di massa. In
prima approssimazione, si può pensare che la terra sia una sfera omogenea a
cui va aggiunta una fascia equatoriale egualmente densa; il satellite risente di
un’attrazione gravitazionale, dovuta a questa fascia, di verso opposto tra gli
emisferi australe e boreale. C’è quindi un momento torcente il cui effetto medio
nel tempo dipende dall’inclinazione dell’orbita. Un satellite in orbita bassa,
quale è il RESURS, risente in maniera sensibile di questa asimmetria.
Comunemente il potenziale gravitazionale viene espanso in termini di polinomi di Legendre fino al quarto ordine e la pertubazione è integrata lungo
l’intera orbita elittica per calcolare gli effetti.
I coefficienti dei termini aggiuntivi al potenziale sferico vengono comunumente chiamati coefficienti zonali J2 , J3 , J4 ; sono inclusi in SGP4. Qui ci si limita
a discutere delle conseguenze del termine correttivo corrispondente al solo
coefficiente zonale J2 , che domina sui successivi.
Un primo aspetto importante di questa correzione è che essa non causa
precessione dell’inclinazione e modificazione della forma dell’orbita; cioè, per
riferirsi ai parametri orbitali, il semiasse maggiore e l’eccentricità rimangono
costanti. Precedono invece il moto medio (la sua derivata prima è un parametro
del TLE), la linea dei nodi e il perigeo.
Precessione del perigeo Particolare importanza ha la precessione del perigeo
perché è grazie ad essa che PAMELA varia la sua altezza nel tempo, lungo
tutta l’orbita; di conseguenza si avranno dati acquisiti in un’ampia zona della magnetosfera terrestre permettendo di osservare la variabilità di particelle
primarie, secondarie e intrappolate.
Il perigeo si muoverà, nel tempo, sul piano dell’orbita. Indicando con
ω l’argomento del perigeo, con J2 il coefficiente zonale nell’espansione del
potenziale, con e l’eccentricità, con a il semiasse maggiore e con I l’inclinazione,
la derivata prima di ω ha la forma:
RE 2
1
3
(1 − 5cos2 I)
ω̇ = − nJ2
2
2
4
(1 − e ) a
con n il moto medio:
r
n=
(2.12)
GM 2π
=
T
a3
dove T il periodo dell’orbita, indicato dal TLE.
La dipendenza da (1 − 5cos2 I) implica l’esistenza di due inclinazioni critiche,
corrispondenti a I = 63.4◦ e I = 116.6◦ , per le quali tale termine è nullo e quindi
il perigeo non precede. Tali orbite sono dette Molniya e sono state usate da
satelliti russi per fissare un’apogeo sopra la Russia e fare così in modo che i
satelliti passassero in quella zona gran parte del tempo ([35] pag. 143).
2.2.3
Modello SGP4
Per determinare la posizione del satellite si utilizza la descrizione fornita dai
Two Line Elements (TLE) del North American Aerospace Defense Command
38
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
(NORAD), progettati per l’uso con il propagatore orbitale SGP4, anch’esso
creato dal NORAD.
Inizialmente, infatti, era il NORAD, ente militare comune agli Stati Uniti
e al Canada, ad occuparsi del tracciamento, dell’identificazione e della catalogazione degli oggetti in orbita. L’obiettivo originario del monitoraggio era la
pronta individuazione di un eventuale lancio di missili balistici sovietici contro
il Nord America.
La successiva evoluzione dell’organizzazione delle strutture preposte a questo compito, all’interno del Dipartimento della Difesa (DoD), segue percorsi
complessi. Attualmente il compito di produrre i TLE è deputato al Joint Space
Operation Center (JSPOC), struttura dello United States Strategic Command
(USSTRACOM), che opera all’interno del Cheyenne Mountain Operation Center (CMOC), centro di controllo nato nel NORAD ed ora condiviso da varie
istituzioni militari. Dato che la riorganizzazione è relativamente recente e che
sia il formato TLE che il modello SGP4 sono stati sviluppati dal NORAD, nella
gran parte della documentazione a riguardo si fa ancora riferimento al solo ente
originario ([13], pag. 29).
I compiti del JSPOC sono:
• rivelare la presenza di nuovi oggetti orbitanti;
• tracciare la loro posizione attuale e fare una previsione della trraiettoria;
• gestire una banca dati di tutti gli oggetti;
• informare la NASA ed altri enti governativi americani sulle possibili collisioni di oggetti con la Stazione Spaziale Internazionale, con lo Space
Shuttle o con satelliti;
• prevedere quando e dove un’oggetto rientrerà in atmosfera e determinare
quale sia il paese a cui appartiene l’oggetto;
• evitare che un oggetto rientrante, che appare come un missile per un
radar, provochi un falso allarme negli Stati Uniti o in Canada;
• nel caso ci sia la possibilità che l’oggetto non si disintegri del tutto durante
il rientro in atmosfera, prevedere la superficie di impatto ed allarmare le
autorità di pubblica sicurezza;
• controllare che l’orbita dello Space Shuttle sia al sicuro da collisioni entro
un certo margine di sicurezza.
Il monitoraggio è effettuato tramite lo Space Surveillance Network (SSN)
della difesa americana: una rete mondiale di 29 sensori, tra radar, telescopi
ottici ed un satellite, la cui distribuzione spaziale è mostrata in figura 2.11.
Secondo i dati aggiornati ad aprile 2007, lo JSPOC segue circa 15 mila oggetti
orbitanti, di dimensioni superiori a 10 cm, così classificati: il 10% sono satelliti
funzionanti, il 15% sono corpi di razzi, il 75% sono frammenti e satelliti inattivi
[24].
I TLE riportano gli elementi orbitali necessari all’utilizzo del modello Simplified General Perturbations (SGP4), che descrive l’orbita kepleriana con molte
correzioni. Il vettore posizione e il vettore velocità del satellite possono essere
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
39
Figura 2.11: Rete di sensori dello Space Surveillance Network (in [24]
determinati, in ogni istante, dall’integrazione dell’equazione del moto a partire
dal tempo del TLE [23].
Le correzioni implementate in SGP4 sono:
• Attrito atmosferico: si basa su un modello di atmosfera statica, non rotante
la cui densità è una legge di potenza dell’altezza. L’effetto è il frenamento
del satellite soprattutto al perigeo.
• Correzioni al campo: il potenziale gravitazionale viene sviluppato in una
serie di armoniche sferiche fino al quarto ordine, in cui si tiene conto
anche della non sfericità della terra.
• Risonanza spin-orbita: dovuta ad eventuali periodicità tra il periodo del
satellite e la rotazione terrestre. Può avere effetti sensibili su satelliti
geostazionari.
Altri effetti, più trascurabili, sono le pertubazioni gravitazionali della luna
e del sole al primo ordine e non sono implementati in SGP4. L’indicazione
ufficiale del NORAD è di utilizzare SGP4 per periodi orbitali non superiori
ai 225 minuti, corrispondenti a circa 6000 km di altitudine. PAMELA, con
un’altezza variabile tra 350km e oltre 610km è abbondantemente entro tali
limiti.2
Un TLE riferito al nostro satellite, il RESURS DK-1, valido per l’orbita nelle
figure 2.7 e 2.8 è il seguente:
Le informazioni qui riportate sono ([37], [35] cap. 6):
• Il nome comune del satellite, RESURS DK-1.
• L’identificativo nel database dei TLE, 29228. “U” sta per non classificato, nel
senso che non vi è segreto militare sul satellite.
• L’identificativo internazionale, 06021A.
2 Per le cosiddette deep-space orbits si utilizza invece il modello SDP4. Esiste anche il modello
SGP8, che dovrebbe fornire un errore minore, ma si sceglie di non usarlo in quanto i TLE sono
generati dal NORAD in base al modello SGP4.
40
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.12: TLE valido per l’orbita del RESURS DK-1 raffigurata in figura 2.7.
• Il tempo a cui si riferiscono le indicazioni del TLE, 07129.16663467, cioè
giorno decimale 129.16663467, corrispondente al 4 aprile alle ore 3h290 2400 ,
dell’anno 2007;
• L’inclinazione dell’orbita, 69.9358◦ rispetto al piano equatoriale;
• L’ascensione retta del nodo ascendente, 270.5846◦ ;
• L’eccentricità dell’orbita, 0.0166032. Considerando un’ellisse, il rapporto
tra il raggio dell’apogeo rA e quello del perigeo rP è pari a rA /rP = 1.0337
per l’orbita di questo TLE;
• L’argomento del perigeo, 325.6862◦ ;
• L’anomalia media, 33.3703◦ ;
• Il moto medio, 15.333 rivoluzioni al giorno;
• Le derivate prima e seconda del moto medio. La formula (2.1), che lega
l’anomalia media al tempo, può essere riscritta come serie di potenze in
t. Questo TLE indica un’accelerazione angolare media di 0.00001262◦ /s2 ,
frutto di un effetto gravitazionale a cui va associata, per conservare il
momento angolare, una variazione del raggio dell’orbita;
• Il termine di trascinamento aereodinamico, 0.28831 × 10−4 (raggi terrestri)−1 , è
così definito:
CD ρ0 A
B? =
2m
dove CD è il coefficiente di trascinamento, ρ0 = 2.461 × 10−5 kg km−1 m−2
è la densità atmosferica a 120 km d’altitudine, A è l’area della sezione del
satellite ortogonale alla direzione del moto, m è la massa del satellite.
Stima dell’effetto di trascinamento
Si consideri la definizione di B? appena data e la (2.9). Si vede che B? è
un’espressione legata al coefficiente balistico m/(CD A) e quantifica l’entità dell’attrito viscoso con l’atmosfera. La (2.9) si riscrive in modo molto semplice:
41
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
ad = B? v2
(2.13)
Si può stimare il coefficiente balistico del RESURS:
R0 ρ0
(6378.135 km) (2.461 × 10−5 kg km−1 m−2 )
m
=
=
2722 kg/m2
CD A
2B?
2(.28831 × 10− 4)
Questo valore risulta molto elevato (cfr. [35] pag. 207) il che implica un basso
attrito.
Dalla (2.10) si può stimare la variazione del semiasse maggiore per rivoluzione causata dall’attrito:
∆arev = −4πB? a2 = −2π(CD A/m)ρa2 −19 cm per rivoluzione
dove a = 6850 km è il raggio medio dell’orbita e ρ = 1.80 × 10−12 kg/m3 è la
densità atmosferica al perigeo per un’orbita di 500 km ([35], tabelle Earth Satellite
Parameters).
Il tempo di vita del satellite è dato dalla (2.11):
L−
H
22 × 103 rivoluzioni = 60 anni
∆arev
dove H = 64.5 km è l’altezza di scala dell’atmosfera a 500 km d’altezza. La
stima è da considerarsi alquanto approssimativa perché una variazione di un
fattore 10 nella densità atmosferica, cosa ad esempio possibile con l’aumento
dell’attività solare, potrebbe portare il risultato a ridursi a 6 anni. La stima
ufficiale del tempo di vita di PAMELA è di minimo 3 anni: da questi calcoli
risulta essere un limite molto prudente ma che non è da escludere una durata
ben superiore.
Stima della precessione del perigeo
La precessione è dettata dalla (2.12). Considerando il dato riportato nel TLE
di figura 2.12 riguardo al moto medio, si ricava n = 242.41 giorni−1 . Usando
poi un coefficiente J2 = −0.00108263 ([35], pag. 143) e i dati del TLE riguardo
l’eccentricità e l’inclinazione, si ricava:
ω̇ −1.33◦ al giorno
Questo risultato può essere verificato dalle orbite descritte dai TLE. L’angolo Ω formato tra il vettore posizione del satellite ~r e la linea dei nodi, cioè
l’intersezione dell’orbita sul piano equatoriale, può essere espresso come:
z
sin(I)
Ω = arctan p
x2 + y2
(2.14)
dove I = 70◦ è l’inclinazione del piano orbitale su quello equatoriale.
In figura 2.13 si mostra l’angolo Ω in funzione della distanza dal centro
della Terra, in km. Nel grafico a sinistra è mostrata un’orbita del 12 ottobre
2006 e presenta un perigeo a 6958 km con Ω 51◦ ; in quello a destra si mostra
un’orbita del 30 ottobre 2006 che ha un perigeo a 6956 km con Ω 72◦ .
42
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.13: Angolo formato tra il vettore posizione e la linea dei nodi in
funzione del modulo del vettore posizione.
Quindi, la precessione misurata attraverso i TLE è:
ω̇ −1.16◦ al giorno
che si discosta del 15% dal calcolo precedente.
Un intervallo di 18 giorni non è un periodo sufficiente per fare una buona
stima; meglio prendere in considerazione le variazioni nel corso di mesi. La
(2.14) non è molto agevole da usare per lunghi periodi a causa della difficile
definizione degli angoli tra vettori cartesiani che compiono ampie rotazioni.
Un metodo equivalente è quello mostrato in figura 2.14, dove si mostra l’andamento dell’altitudine geodetica, data dal propagatore orbitale, in funzione
del tempo. Fissato un punto sulle ascisse, l’escursione verticale dell’altezza è
quella che si ha lungo l’orbita nel passaggio dall’apogeo al perigeo; la variazione nel tempo, in modo all’incirca sinusoidale, dell’altezza del perigeo da circa
350 km a circa 370 km e, in modo analogo, dell’altezza dell’apogeo, è dovuta
alla forma non sferica della terra e alla precessione del perigeo nel tempo che
varia la latitudine del punto di minimo o massima altezza lungo l’orbita. La
variazione dell’altezza del perigeo (o dell’apogeo) è quella attesa tenendo conto
della eccentricità e dell’ellisse che può approsimare la Terra ([35], pag. 897):
p
(a2 − c2 )
e=
= 0.081819301
a
dove a = 6378.14 km è il raggio equatoriale, corrispondente al semiasse maggiore e c è il raggio al polo, corrispondente al semiasse minore. Si ricava
c = 6356.75 km. Data un’orbita circolare, la differenza tra l’altezza al polo e
quella all’equatore del satellite è c − a = 21.38 km. L’orbita di PAMELA non è
circolare ma ellittica e questa differenza di 21.38 km si trova in figura 2.14 tra
l’istante in cui l’orbita ha il perigeo all’equatore e quello in cui esso si trova alle
massime latitudini (trascurando gli effetti dovuti all’attrito con l’atmosfera).
Il 25 agosto 2006 il perigeo si trova all’incirca all’equatore con un’altezza
geodetica dell’orbita di circa 350 km e vi ritorna circa il 3 gennaio 2007. A metà
2.2. L’ORBITA DI PAMELA
43
Figura 2.14: Altezza geodetica di PAMELA in funzione del tempo, da luglio
2006 a gennaio 2007.
tra queste due date il perigeo si muove verso uno dei poli, raggiungendo ±70◦
di latitudine, e giunge ad un’altitudine di circa 370 km. Questo corrisponde ad
affermare che il perigeo ruota di 180◦ sul piano dell’orbita, nell’arco di circa 131
giorni, cioè al ritmo di circa 1.37◦ al giorno, in valore assoluto.
Ne risulta che, dato un punto qualsiasi in latitudine e longitudine, compreso tra +70◦ e −70◦ di latitudine, PAMELA lo attraverserà a varie altitudini,
comprese tra 350 km e 610 km, nell’arco di quasi 5 mesi.
In figura 2.15, si mostra, in modo qualitativo, come avviene la precessione.
Nella figura a) si mostra la Terra, il suo asse di rotazione e il piano dell’orbita
di PAMELA; quest’osservatore può misurare l’inclinazione dell’orbita rispetto
all’equatore o all’asse di rotazione terrestre. Il punto di vista migliore è, invece,
quello di un osservatore, solidale con le stelle fisse, che guarda perpendicolarmente al piano orbitale di PAMELA. In figura b) si fotografa l’orbita attuale
e la posizione, rispetto all’osservatore, del perigeo e dell’apogeo. Dopo un
mese, in figura c), si noterà una rotazione del perigeo sul piano orbitale di
1.1 − 1.2 ◦ /giorno × 30giorni. Dopo un semiperiodo di precessione del perigeo,
in figura d), l’apogeo avrà assunto la posizione iniziale del periego e viceversa.
La figura e) mostra il completamento del periodo di precessione.
L’errore nella propagazione
Il criterio utilizzato dal NORAD per decidere la pubblicazione di un nuovo
TLE è che la posizione attraverso questo calcolata corregga di almeno 5km
quella ottenuta dall’ultimo TLE disponibile; e questo, quindi, questo è l’errore
che deve essere associato ad indicazioni non del tutto esatte da parte del TLE.
Inoltre, c’è da considerare l’errore sul tempo al quale si propaga il TLE; per il
RESURS viene usata una temporizzazione precisa al secondo, che comporta un
errore in posizione pari a |~
v| × 1s 7.6km, considerando una velocità media di
7.6km/s. Una stima approssimativa dell’errore compiuto nella propagazione
orbitale è quindi di circa 13km nella direzione del moto.
44
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.15: Illustrazione qualitativa della precessione del perigeo di PAMELA.
2.2.4
Confronto tra l’orbita kepleriana e il modello SGP4
Velocità
In figura 2.2.4 si verifica la (2.7) per il valore del semiasse maggiore dato dal
TLE, a = 6845.7 km. Con vclassic si intende la velocità ricavata imponendo la
conservazione dell’eneriga meccanica e conoscendo il valore del semiasse maggiore dell’orbita, mentre vSGP4 è il valore della velocità fornito dal propagatore
orbitale.
Figura 2.16: Confronto tra il modulo velocità calcolato a partire dalla posizione
attraverso la (2.7) e quanto fornito dal propagatore orbitale SGP4.
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
45
L’errore relativo commesso dal calcolo kepleriano è ovunque inferiore allo
0.1%.
Terza legge di Keplero Si vuole verificare la 2.8, attraverso la quale si era
calcolato un periodo di 930 5600 .
Si usa l’indicazione del moto medio di un TLE, 15.33 rivoluzioni/giorno, che
corrisponde al periodo:
T = 600 × 24h/(15.33 rivoluzioni/24h) = 930 550
Quindi non si nota una differenza significativa.
Seconda legge di Keplero Si è mostrato in il confronto tra le velocità calcolate
da SGP4 e quella calcolata dalla conservazione dell’energia meccanica. Qui si
verifica qual’è l’errore commesso nell’utilizzo delle 2.2.1, ricavate dalla seconda
legge di Keplero.
Nella figura 2.17 si mostra il modulo della velocità in funzione del modulo
della posizione, dati da SGP4. Si nota che questo calcolo kepleriano sottostima
la velocità di circa 0.05km/s sia all’apogeo che al perigeo rispetto ad SGP4. L’andamento è comunque quello che ci si attende dalla seconda legge di Keplero,
per cui la velocita minima si trova all’apogeo e quella massima al perigeo.
Figura 2.17: Modulo della velocità del satellite in funzione del modulo del
raggio vettore.
2.3
Campo e cutoff geomagnetico
Le particelle primarie cariche di energia inferiore ai 15 GeV circa mostrano
effetti direzionali, in prossimità della Terra, a causa della presenza del campo
geomagnetico. A questo si aggiunge una modulazione temporale dovuta al
vento solare e al campo magnetico ad esso associato, che segue il ciclo solare di
11 anni.
Nella prima parte di questo capitolo si descriverà teoricamente il campo geomagnetico e il suo calcolo nell’approsimazione di dipolo, di dipolo eccentrico
e attraverso il modello IGRF.
46
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Quindi si descriverà il cutoff geomagnetico, vari metodi e problemi legati al
suo calcolo e si mosteranno le implicazione sull’analisi dei dati di PAMELA.
Si introduce di seguito il campo magnetico nella sua piena espressione come
espansione di armoniche sferiche relative a multipoli e, dopo una parentesi
sulla convenzioni usate nel rappresentarlo, se ne discutono e se ne mostrano le
più importanti proprietà, che corrispondono alle principali componenti dello
sviluppo: approssimazione di dipolo e di dipolo eccentrico. Infine, si riprende
il pieno sviluppo in multipoli e si mostrano le componenti del campo ad altezza
costante e per l’orbita ellittica di PAMELA.
2.3.1
Sviluppo in multipoli
Dato che le variazioni del campo elettrico e le correnti elettriche tra la Terra
e l’atmosfera sono trascurabili rispetto a quelle interne all’atmosfera stessa, si
possono scrivere le equazioni di Maxwell nel caso stazionario:
∇∧B=0
∇·B=0
(2.15)
(2.16)
da cui l’equazione di Laplace:
∇ · B = ∇ · (−∇ψ) = −∇2 ψ = 0
(2.17)
dove ψ è un potenziale scalare.
In coordinate sferiche, si trova la soluzione della 2.17 nella forma:
ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
(2.18)
dove r, θ, φ sono, rispettivamente, raggio, colatitudine e longitudine della
superficie sferica geocentrica attraverso cui non scorrono correnti ([67], pag.
27).
In coordinate sferiche, si può esprimere la soluzione nella 2.17 nella forma:
ψ = RE
∞ n
X
RE n+1 X m
m
(gn cos m φ + hm
n sin m φ)Pn (cosθ)
r
m=0
(2.19)
n=1
dove Pm
n sono i polinomi associati di Legendre di grado n ed ordine m, in coorm
dinate sferiche ([1])3 . gm
n e hn sono coefficienti gaussiani e vengono determinati
da misure del campo magnetico. I termini per n = 0 sono nulli in quanto non ci
sono monopoli magnetici. IGRF sceglie di usare polinomi associati di Legendre
quasi-normali secondo Schmidt.
La presenza del termine 1/rn+1 fa sì che, per r grande, le armoniche di grado
superiore siano trascurabili rispetto alla armoniche di grado inferiore.
2.3.2
Rappresentazione delle componenti
Esistono varie convenzioni in uso per la descrizione delle componenti del vettore campo magnetico. Si fa riferimento alla figura 2.18 che rappresenta un sistema di riferimento locale, in cui l’origine è data dal vettore posizione relativo
al punto geografico di cui si cercano le componenenti.
3 Qui si segue la notazione usata in geomagnetismo in cui la lettera che indica il grado del
polinomio è n e non l, come si trova spesso in altri campi della fisica
47
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
La prima rappresentazione del vettore campo B è quella cartesiana geografica: si indicano le componenti (Bx , B y , Bz ) lungo gli assi cartesiani geografici.
Si possono, equivalentemente, indicare con Bsouth la componente di B lungo
la direzione che punta il centro della Terra, con Beast la componente di B lungo
l’est geografico locale e con Bnorth , la componente restante a formare il sistema
destrorso di coordinate.
Esiste poi il sistema di coordinate HDZ, dove H rappresenta la componente
del vettore B sul piano definito dall’est e dal nord geografici locali, D è la
declinazione, cioè l’angolo tra H e l’asse nord, e I è l’inclinazione, l’angolo tra B
ed H.
In questo lavoro si sceglie di utilizzare la notazione cartesiana per eseguire
calcoli vettoriali e la notazione Bnorth , Beast , Bsouth per raffigurare le componenti
in modo facilmente interpretabile.
Figura 2.18: Componenti del campo magnetico per un generico punto
dell’emisfero boreale. Sono mostrati i sistemi di coordinate HDZ e XYZ.
Dalla notazione cartesiana (Bx , B y , Bz ) è possibile passare alla notazione
Bnorth , Beast , Bsouth . Se r = (x, y, z) è la posizione in coordinate cartesiane geocentriche, si possono definire i versori che puntano verso il nadir, îsouth , verso est,
îeast e verso nord, înorth :
1
|r|
1
= (−y, x, 0)
|r|
îsouth = −(x, y, z)
îeast
înorth = îeast ∧ îsouth = (−x z, −y z, x2 + y2 )
(2.20)
1
|r|2
Bnorth , Beast , Bsouth possono esser calcolate dal prodotto scalare del vettore B =
(Bx , B y , Bz ) con ciascuno di questi versori.
48
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
2.3.3
Campo dipolare
La (2.19) per n = 1 e m = 0 corrisponde al termine dominante dell’espansione,
quello di dipolo:
RE 2
ψ = RE
g01 cosθ
(2.21)
r
Esso rappresenta la componente principale del campo magnetico e, sebbene
non ne fornisca una descrizione accurata, permette di dedurne le principali
proprietà per via analitica.
Per il campo B e il potenziale associato ψ, vale:
i
h ∂ψ
∂ψ
∂θ
+ iθ
+ iφ
B = −∇ψ = − ir
∂r
r ∂θ
r sin(θ) ∂φ
(2.22)
Le componenti sono:
RE 3
RE 3
∂ψ
=2
g01 cos(θ) = 2 B0
cos(θ)
r
r
∂r
RE 3
RE 3
1 ∂ψ
Bθ = −
=2
g01 sin(θ) = B0
sin(θ)
r ∂θ
r
r
Br = −
(2.23)
(2.24)
dove B0 = g01 = 29556.8 nT è il valor medio del campo all’equatore del dipolo e
sulla superficie terrestre (r = RE e θ = 90◦ ) e la componente Bφ è nulla, data la
simmetricità del dipolo per rotazioni intorno all’asse ([67], pag. 30).
Dato un dipolo magnetico M, espresso in A m2 , il potenziale dipolare vale:
ψ=
µ0 cosθ
M 2
4π
r
(2.25)
ne deriva il campo:
µ0 2cosθ
Br = −
M 3
4π
r
che, confrontato con la (2.23), esplicita M come:
M=−
4π
4π
B0 R3E = − g01 R3E
µ
µ
(2.26)
(2.27)
Il modulo del campo dipolare nel punto (r, θ) vale:
B=
q
B2r + B2θ = B0
RE 3 √
r
1 + 3cos2 θ
(2.28)
Ad esempio, per il 2005, il coefficiente g01 , secondo IGRF, vale −29556.8. Se
ne ricava che B0 = −0.295568 gauss e che l’intensità del campo, secondo la (2.28),
sulla superficie terrrestre al polo è circa B = B0 = 0.6gauss, mentre all’equatore
vale la metà, B = 0.3gauss. La componente radiale è nulla all’equatore e massima al polo e viceversa per la componente lungo θ (tangente alla linea di campo
e diretta verso nord), come si vede dalle (2.23). Dalla (2.27) si ricava il momento
di dipolo, M = 7.6471022 A m2 .
In figura 2.19 viene mostrato il valore del modulo campo, calcolato tramite
la (2.28) per il valore di B0 appena dato, ad una distanza dal centro del dipolo
di 1.075 raggi terrestri, pari all’altezza media di PAMELA.
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
49
Figura 2.19: Campo geomagnetico, in gauss, calcolato in approsimazione di
dipolo centrato per l’anno 2005, ad una distanza di 1.075 raggi terrestri dal
centro del dipolo.
La conoscenza delle componenti del campo permette di tracciare le linee di
forza per ogni punto. Un modo conveniente per descriverle è considerare che
il rapporto tra la componente ir e iθ è:
2cos(θ)
Br
dr
=
=
Bθ
rdθ
sin(θ)
(2.29)
integrando tra il punto (R0 , 90◦ ), intersezione tra la linea di campo e il piano
equatoriale del dipolo, e il generico punto (r, θ), si ottiene:
r = R0 sin2 (θ)
(2.30)
Questa equazione, inserita nella 2.28, dà:
B(θ) = B0
RE 3
R0
√
√
1 + 3cos2 θ
1 + 3cos2 θ
= Beq
6
sin θ
sin6 θ
(2.31)
dove Beq è l’intensità del campo sul piano equatoriale a distanza R0 dal centro
del dipolo. Si può osservare che l’intensità del campo cresce con la latitudine e
che ad ogni valore di BBeq sono associati due angoli, θ e π − θ, che indicano i due
punti coniugati, cioè i punti distinti che si trovano sulla stessa linea di campo ed
hanno lo stesso valore assoluto del campo.
Dipolo inclinato
In letteratura si parla di solito di “coordinate magnetiche” intendendo le coordinate magnetiche del dipolo inclinato geocentrico.
Si consideri nuovamente l’espansione in armoniche (2.19). L’armonica n =
1, m = 0 è sferica in quanto h01 = 0; descrive quindi un dipolo geocentrico non
inclinato rispetto all’asse terrestre.
L’armonica di grado n = 1 e ordine m = 1 è quella non sferica che dà
il maggiore contributo allo sviluppo. I relativi coefficienti in (2.19) possono
essere utilizzati per determinare la latitudine e la longitudine del polo nord
magnetico ([31], pag. 715). Detti λ e φ la longitudine e la latitudine geografiche
50
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
del polo nord magnetico, si ha:
λ = arctan
φ = 90.0 − arcsin
h11
g11
g11 cos λ + h11 sin λ
(2.32)
g01
Per l’anno 2005, partendo dai coefficienti IGRF ([1]), g01 = −29556.8, g11 =
−1671.8, h11 = 5080.0, si calcola:
λ = −71.78◦
φ = 79.58◦
(2.33)
Il valor medio del campo all’equatore può essere espresso da:
q
B0 = (g01 )2 + (g11 )2 + (h11 )2
che è pari a circa 0.3004 guass. La correzione è di 0.005 gauss rispetto al valore calcolato attraverso il dipolo non inclinato. Questa è però una media sull’equatore
mentre è interessante valutare le asimmetrie create dalle correzioni.
Tutte le formule sviluppate nel paragrafo precedente, a partire dalla (2.21),
nel caso del dipolo non inclinato, rimangono valide nel sistema di riferimento
cartesiano che ha per asse z l’asse de dipolo inclinato.
Un punto generico in coordinate geografiche cartesiane (x, y z) può essere
rappresentato in coordinate magnetiche (x0 , y0 , z0 ) mediante una rotazione, che
può essere parametrizzata tramite angoli di Eulero. Si esegue la rotazione nel
modo suggerito da [31]. Il vettore posizione rimane fisso e gli assi ruotano.
1. Il piano equatoriale terrestre viene ruotato di un angolo λ rispetto all’asse
Z di rotazione terrestre. I nuovi assi saranno (X0 , Y0 , Z0 ≡ Z). Il nuovo
asse X0 è l’intersezione tra il meridiano geografico contenente l’asse di
dipolo e il piano equatoriale terrestre.


 cosλ sinλ 0 
 −sinλ cosλ 0 
RZ = 



0
0
1
2. Il sistema viene ruotato di un angolo φ attorno all’asse Y0 . I nuovi assi
saranno (X00 , Y00 ≡ Y0 , Z00 ). Il nuovo asse Z00 coincide con l’asse di dipolo.


 cosθ 0 sinθ 

0
1
0 
RY0 = 


−sinθ 0 cosθ
Non è necessaria una rotazione attorno a X00 . La rotazione complessiva è la
seguente:


cosθ sinλ sinθ 
 cosθ cosλ

−sinλ
cosλ
0 
R = RY0 RZ = 
(2.34)


−sinθ cosλ −sinθ sinλ cosθ
In figura 2.20 si mostrano linee di uguale latitudine geografica (nere) e
di uguale latitudine magnetica (rosse), nel sistema di riferimento cartesiano
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
51
Figura 2.20: Linee di latitudine geografica (nere) e magnetica (rossa) costante
ad alte latitudini.
Figura 2.21: Linee di latitudine magnetica costante in funzione di latitudine e
longitudine geografiche. Passo 10◦ .
geografico ed in prossimità del polo nord. Si nota la posizione del polo nord
magnetico e la rotazione effettuata.
Analogo grafico è mostrato in figura 2.21 ma in funzione delle coordinate
cartesiane sferiche e per l’intero planisfero.
Per il dipolo inclinato, le linee di campo di punti alla stessa latitudine geografiche dipendo dalla longitudine geografica, come mostrato nel tracciamento
effettuato in figura 2.22 per una latitudine di 45◦ N; a seconda della longitudine
le linee di campo possono estendersi fino a circa 3 o 1.5 raggi terrestri.
In figura 2.23 viene mostrato il valore del modulo del campo, calcolato
tramite la (2.28), con i coefficienti IGRF per l’anno 2005, utilizzando la latitudine
magnetica del dipolo con inclinazione ora calcolata, ad una distanza dal centro
del dipolo di 1.075 raggi terrestri.
52
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.22: Tracciamento dell linee di campo a partire da punti equispaziati di
10◦ in longitudine e con latitudine costante di 45◦ N.
Figura 2.23: Campo geomagnetico, in gauss, calcolato in approsimazione di
dipolo centrato inclinato per l’anno 2005, ad una distanza di 1.075 raggi terrestri
dal centro del dipolo.
Dipolo eccentrico
Il dipolo magnetico terrestre non è centrato sul centro della Terra ma è leggermente traslato. Nella (2.19) questa traslazione è data dalla somma dei contributi
dei termini non sferici. In letteratura si ritiene sufficiente considerare fino all’armonica di ordine n = 2, cioè il termine di quadrupolo, per rappresentare la
traslazione del centro del dipolo.
Si calcola la posizione best-fit del dipolo eccentrico secondo il metodo riportato da [5]. Le coordinate geografiche cartesiane sono date da:
X0 = a(L1 − g11 T)/3m2
Y0 = a(L2 − h11 T)/3m2
Z0 = a(L0 −
g01 T)/3m2
(2.35)
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
53
dove i termini L0 , L1 , L2 , T ed m dipendono dai coefficienti di gauss:
m = (g01 )2 + (g11 )2 + (h11 )2
√
L0 = 2 g02 g01 + 3 (g12 g11 + h12 h11 )
√
L1 = −g02 g11 + 3(g12 g01 + g22 g11 + h22 h11 )
√
L2 = −g02 h11 + 3(h12 g01 + h22 g11 − g22 h11 )
T=
(L0 g01 + L1 g01 + L2 h11 )
4 m2
Si noti che, ponendo g11 = h11 = g02 = g12 = g22 = 0, le coordinate del dipolo
eccentrico divengono X0 = Y0 = Z0 = 0, cioè coincidenti con quelle del dipolo
centrato.
Per l’anno 2005, partendo dai coefficienti IGRF ([1]), g01 = −29556.8, g11 =
−1671.8, g02 = −2340.5, g12 = 3047.0, g22 = 1656.9, h11 = 5080.0, h12 = −2594.9,
h22 = −516.7, si calcola:
X0 = −0.00677967 raggi terrestri −43.2 km
Y0 = 0.0608326 raggi terrestri 387.6 km
Z0 = 0.0324327 raggi terrestri 206.6 km
(2.36)
Il modulo di questo spostamento è circa 441.3 km. La sua direzione in coordinate
geografiche sferiche è:
Z0
= 36◦ N
latitudine = arctan q
2
2
X0 + Y0
(2.37)
Y0
longitudine = 180◦ + arctan
= 96◦ W
X0
Le coordinate magnetiche del dipolo eccentrico sono ottenute dalla rotazione, come descritta in (2.34), cioè del tutto identica al dipolo centrato, seguita
o preceduta da una traslazione dell’origine dal centro della Terra al centro
calcolato del dipolo:
x0 = x − X0
y0 = y − Y0
z0 = z − Z0
Non ci sono sensibili variazioni sui grafici di isolongitudine tra coordinate
di dipolo centrato e coordinate di dipolo eccentrico. L’asimmetria maggiore è
nella distanza dal centro del dipolo tra punti di altitudine geografica costante
per longitudini diverse. La conseguenza, nel calcolo del campo in (2.28), è
che, per tali punti, il fattore ( RrE )3 non è più costante. Il risultato del calcolo
del campo per punti a distanza costante dal centro della Terra di 1.075 raggi
terrestri, è mostrato in figura 2.24.
Si evidenziano due principali differenze rispetto al campo calcolato con
il dipolo inclinato centrato. La prima è la formazione di una depressione
54
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.24: Modulo del campo magnetico in approssimazione di dipolo eccentrico per punti distanti 1.075 raggi terrestri dal centro della Terra. Si usano
i coefficienti IGRF per l’anno 2005.
del campo in zona all’incirca diametralmente opposta allo spostamento del
centro di dipolo dal centro della Terra4 ; si tratta dell’anomalia del Sud Atlantico
(SAA) e il minimo del campo in questa zona costituisce un punto di estremo
nell’oscillazione nord-sud lungo una linea di campo (mirroring magnetico) per
le particelle intrappolate nella fascia interna di radiazione. La seconda è una
differenza di circa 0.05 gauss del valore del modulo del campo al polo sud
magnetico rispetto al polo nord magnetico.
Per maggiore chiarezza, in figura 2.25 si mostra un disegno delle linee di
isointensità del flusso di particelle intrapollate nella fascia interana id radiazione attorno alla Terra. È evidenziata la superficie sferica di altezza pari a 500 km,
quindi all’incirca l’orbita di PAMELA sulla scala del disegno. Si può notare che
la SAA è solo un estremo, a bassa latitudine, di tale fascia di radiazione.
2.3.4
Modello IGRF
Attraverso varie misure periodiche e tramite modelli di rappresentazione del
m
campo magnetico, è possibile dare una stima dei coefficienti gaussiani gm
n e hn
dell’espansione il multipoli del potenziale (2.19).
Il set di coefficienti utilizzato per l’analisi dati di PAMELA è l’International
Geomagnetic Reference Field (IGRF), dell’International Association of Geomagnetism
and Aeronomy (IAGA) Division V, Working Group 8. Questo modello fornisce
coefficienti per l’espansione in armoniche sferiche (2.19) fino all’ordine n = 10.
Altro modello diffuso è il World Magnetic Model, lo standard NATO, che
fornisce coefficienti fino alle armoniche di ordine n = 12. Le differenze tra
i valori del campo calcolato con i due modelli sono inferiori a 0.003 gauss ad
un’altitudine di 370 km; sono trascurabili anche ai fini del tracciamento della
traiettoria delle particelle cariche nel campo geomagnetico [33].
Il campo osservato sulla superficie terrestre è principalmente quello dovuto
dalle correnti elettriche nel nucleo fluido della Terra; altri contributi sono quelli delle rocce che presentano proprietà ferromagnetiche ed hanno un valore
quadratico medio di crica 0.002 − 0.005gauss [1].
4 La
depressione sarebbe diametralmente opposta se le linee di campo fossero sferiche.
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
55
Figura 2.25:
Linee di isointensità del flusso di particelle intrappolate
nella
fascia
interna
di radiazione
(NASA GSFC,
http://image.gsfc.nasa.gov/poetry/tour/tr11.gif).
Figura 2.26: Confronto tra linee di campo magnetico dipolare ed IGRF.
Tracciamento a partire da latitudine 45◦ N.
I coefficienti gaussiani vengono stimati, ogni 5 anni, attraverso il fit delle
armoniche dello sviluppo in serie su varie misure ambientali del campo. Per gli
anni compresi tra due set di dati, i coefficienti vengono calcolati dall’interpolazione lineare dei coefficienti dati. Gli ultimi coefficienti attualmente disponibili
sono quelli relativi al 2005 e sono anche fornite le derivate prime temporali
di ciascuno di essi, in modo da poter eseguire un’estrapolazione lineare di
qualsiasi coefficiente per gli anni successivi.
In figura 2.26 si mostra il contronto tra le linee di campo di dipolo ed IGRF
ottenute dal tracciamento a partire dagli stessi punti sull superficie terrestre di
latitudine 45◦ N. La figura è la proiezione di una sezione di spazio cartesiano
geografico, quindi alcune linee di campo si interrompono in quanto uscenti da
questa sezione.
In figura 2.27 si mostra il valore del modulo del campo ad una distanza di
1.075 raggi terrestri dal centro della Terra, pari all’altezza media di PAMELA.
Rispetto al campo calcolato in approssimazione di dipolo eccentrico, mostra-
56
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.27: Modulo del campo ad un’altezza costante di 1.075 raggi terrestri,
calcolato tramite il modello IGRF per l’anno 2005.
Figura 2.28: Modulo del campo lungo l’orbita di PAMELA durante il mese di
agosto 2006, calcolato con il modello IGRF.
to in figura 2.24, si nota che le principali caratteristiche del campo si conservano
ma ci sono dettagli aggiuntivi. Oltre al polo nord magnetico, esiste un’altra regione, situata all’incirca sopra la Siberia dove si ha un analogo incremento del
campo. Inoltre, il modulo del campo al polo sud è ora superiore a quello al
polo nord.
Quella appena illustrata è la situazione ad altezza costante. PAMELA compie invece un’orbita ellittica ad altezza variabile tra 350 km e 610 km 2.2; a questo
effetto va poi aggiunta la precessione del perigeo con periodo di 8 − 10 mesi
2.2.3. I valori del campo magnetico sono calcolati tramite IGRF per ogni punto
dell’orbita ottenuta tramite la propagazione orbitale (vedi capitolo 2.2). In figura 2.28 si mostra il modulo del campo, lungo l’orbita di PAMELA, misurato
ad agosto 2006, quindi in un intervallo di tempo per cui la precessione del
perigeo è trascurabile. In quel mese il perigeo si trovava all’incirca al polo nord
e l’apogeo al polo sud; questo riduce la differenza tra i valori del campo tra i
due poli vista ad altezza costante.
2.3. CAMPO E CUTOFF GEOMAGNETICO
57
Figura 2.29: Rappresentazione schematica della magnetosfera, delle correnti di
plasma e dell’effetto dell’interazione con il vento solare ([55], pag. 1824).
Sorgenti esterne
Nella (2.19) si sono trascurati i contributi esterni al potenziale, che seguono un
andamento proporzionale a ( RrE )n nell’espanzione in serie. I contributi esterni sono trascurabili fino a circa quattro raggi terrestri e diventano dominanti
solo in prossimità della magnetopausa (circa 10 RE verso il sole) o nella coda
geomagnetica ([67], pag. 33). A tali distanze i contributi interni al potenziale
sono molto più deboli a causa della loro dipendenza da ( RrE )n+1 in (2.19), quindi
da ( RrE )n+2 nel valore del campo. Ad esempio, il contributo del termine dipolare (n = 1) è tale da dare un campo di 0.3 gauss sulla superficie della terra e
all’equatore di dipolo mentre a 10 raggi terrestri esso genera 0.0003 gauss che
è dell’ordine di grandezza delle sorgenti esterne al campo. Inoltre, i termini
successivi al dipolo sono di solito del tutto trascurabili a queste distanze.
La struttura della magnetosfera terrestre è quella illustrata in figura 2.29. La
sua forma è determinata dall’impatto supersonico (bow shock) del vento solare
con la magnetosfera terrestre. L’effetto è ben studiato in fluidodinamica: il vento solare, viaggiando a velocità superiori a quella di propagazione delle onde
nel mezzo, subisce una forte transizione di fase nell’interazione con l’atmosfera; questo permette al plasma solare di rallentare, scaldarsi e fluire attorno
al paraboloide formato dalla magnetosfera terrestre a seguito dell’interazione.
Connessioni tra le linee di campo del vento solare e della magnetosfera possono
avvengono in vari punti, tra cui le cuspidi polari; è una delle condizioni alla
base dei meccanismi che portano all’accelerazione delle particelle del vento
solare nella magnetosfera e alle aurore.
Diverse correnti di plasma si formano in questa interazione attraverso vari processi; alcune di queste si muovono parallelamente alle linee di campo
magnetico, dissipando energia. Le correnti della magnetopausa, cioè il limite
estremo della magnetosfera, sono ancora confinate all’intero di questa e si può
58
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
scrivere, per il potenziale magnetico che le genera, un’equazione di Laplace
come in (2.17). Per altri tipi di corrente questo non è più possibile per la presenza di correnti esterne, per cui il campo non è più irrotazionale, ∇ ∧ B , 0
([67], pag 33). Esistono vari modelli (Tsyganenko, Olson e Pfitzer etc. . . [7])
che descrivono il contributo esterno al campo modellizzando la magnetosfera
a partire da parametri che descrivono la situazione del vento solare e l’attività
magnetica.
Molti di questi meccanismi sono variabili su piccole scale temporali. Esiste
un effetto diurno: la pressione del vento solare agisce sulla parte della magnetosfera rivolta verso il sole, per cui il bow shock si forma mediamente a 2 − 3
raggi terrestri, mentre la parte rivolta in direzione opposta si può estendere
fino a molte decine di raggi terrestri. In un sistema di riferimento solidale con
la Terra, questo è un effetto longitudinale. La presenza di CIR è un’ulteriore
asimmetria che ha influenze sulla propagazione di particelle di bassa energia,
come già discusso nella sezione 1.3.
Ancora, forti discontinuità sono causate dalle tempeste magnetiche dovute
ad un aumento dell’attività solare; possono crearesi, di conseguenza, nuove
connessioni tra le line di campo del vento solare e quelle della magnetosfera con conseguente trasferimento di energia. Il fenomeno può avvenire solo
quando il campo magnetico interplanetario (IMF), trasportato dal vento solare
in prossimità della Terra, presenta una significativa componente diretta da nord
verso sud (Bz ), al contrario del campo terrestre polarizzato da sud verso nord.
Esistono varie parametrizzazioni di questi effetti; ad esempio, la pressione
del vento solare viene indicata con il cosiddetto indice Kp, l’intensità delle
correnti circolari (ring current) con l’indice Dst. I modelli che descrivono le linee
di campo della magnetosfera necessitano di una serie di questi parametri come
input per descrivere la magnetosfera.
PAMELA orbita tra 1.05 e 1.1 raggi terrestri, quindi questi contributi possono
essere trascurati nel calcolo del campo. Nel caso di tracciamento delle linee di
campo o della traiettoria seguita da una particella carica, il loro contributo
andrà valutato.
2.4
Invarianti adiabatici e il moto delle particelle
intrappolate
Il moto delle particelle cariche nel campo geomagnetico può essere diviso in
tre componenti principali (in ordine di periodo crescente):
• girazione attorno alla linea di campo;
• oscillazione nord-sud tra mirror points;
• drift est-ovest;
La figura 2.30 li mostra schematicamente.
Il percorso complessivamente descritto da un particella in periodo del moto
est-ovest è detto drift shell. Solo in un campo dipolare questa coincide con l’insieme delle line di campo con lo stesso valore assoluto del campo all’equatore
magnetico; per il campo geomagnetico la triettoria è moltò più complessa.
2.4. INVARIANTI ADIABATICI E IL MOTO DELLE PARTICELLE INTRAPPOLATE59
Figura 2.30: Traiettoria di elettroni e protoni intrappolati soggetti ai moti di
gradiente, mirroring e girazione ([67], pag. 23).
Ci sono due possibili approcci formali alla descrizione del moto della particelle cariche. Il primo è descrivere l’equazione del moto del centro guida
attraverso la forza di Lorentz, usando un campo inomogeneo espanso in serie
al primo ordine. Per centro guida del moto si intende la posizione media della
particella durante il moto di girazione attorno alla linea di campo.
Il secondo è usare il formalismo hamilitionano e dedurre le proprieta del
moto dagli invarianti adiabatici, cioè costanti del moto nell’approssimazione in
cui alcune proprietà del sistema non subiscano variazione nei tempi tipici del
moto.
Gli invarianti adiabatici sono integrali dell’azione su di un periodo del moto.
Fintanto che la periodicità è rispettata e non variano le condizione del sistema
in tempi comparabili con il periodo del moto, tali integrali sono costanti.
Il primo invariante adiabatico e il moto di girazione
L’azione, per un campo elettromagnetico, viene descritta da:
I
J1 =
[p + qA] · dl cost
dove p è l’impulso della particella ed A è il potenziale vettore. L’integrazione
è fatta sul percorso circolare di girazione della particella intorno alla linea di
campo ([67], pag. 39).
L’integrale può essere scomposto:
I
J1 = p⊥ 2πρ + q
A · dS
dove il raggio ρ della traiettoria circolare è pari al raggio di Larmor, mentre,
per il teorema di Stokes, l’integrale di A lungo l’orbita circolare descritta da dl
60
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
è pari al flusso attraverso la superficie da essa racchiusa:
H
p
J1 = p⊥ 2π Bq⊥ + q ∇ ∧ A · dS =
H
p2
= 2π Bq⊥ + q B · dS =
p2
= 2π Bq⊥ − qB πρ2 =
p2
p2
= 2π Bq⊥ − qB πρ2 = π Bq⊥
Il segno meno viene dal fatto che il vettore superficie è opposto al campo, se q
è definita positiva.
L’espressione del primo invariante adiabatico indica quindi che:
p2⊥
= ρ2 q2 B cost
B
(2.38)
cioè il raggio della traiettoria dell’orbita circolare della particella intorno alla
linea di campo deve diminuire se il campo aumenta; viceversa se il campo
diminuisce. Il limite di questa approssimazione adiabatica è che il campo deve
diminuire o aumentare molto lentamente rispetto alla periodo dell’orbita della
particella.
Affermare la conservazione di J1 è del tutto equivalente ad affermare la
conservazione del momento magnetico µ, cioè il prodotto della corrente creata
dalla particella attraverso il moto di rotazione e dell’area:
µ=
p2⊥
= cost
2 mB
(2.39)
Un’ulteriore proprietà che si può dedurre è il nesso tra il moto lungo la linea
di campo ed il pitch angle. Si definisce pitch angle α l’angolo tra la componente
dell’impulso parallela alla linea di campo e quella perpendicolare ad essa:
α = arctan
p⊥
pk
Sia p il modulo del campo. Dalla (2.38) si ha:
p2⊥
p2 sin2 α
=
= cost
B
B
(2.40)
Questa equazione, insieme alla conservazone di p e alla variazione di B lungo
la linea di campo, implica che α deve aumentare all’aumentare del campo. La
particella, muovendosi dall’equatore verso il polo nord o il polo sud, lungo la
linea di campo, vede aumentare il pitch angle. Quando questo diventa 90◦ ,
l’impulso è normale al campo (p = p⊥ ): siamo al mirror point lungo la linea di
campo. L’effetto è mostrato in figura 2.30.
Data una linea di campo, un particella con momento più elevato avrà il
suo mirror point a più bassa altitudine rispetto ad una particella con momento minore, in quanto si deve avere α = 90◦ . Dalla (2.40) si vede anche che
una conseguenza della conservazione del primo invariante, e della conservazione dell’energia, è che il valore del campo al mirror point Bm è anch’esso
un’invariante.
2.4. INVARIANTI ADIABATICI E IL MOTO DELLE PARTICELLE INTRAPPOLATE61
L’unico caso in cui una particella non varia il suo pitch angle è quello in cui
questo vale αeq = 90◦ all’equatore. In assenza di campi elettrici, la particella è
confinata a muoversi su una linea equatoriale di punti a B costante, in quanto
una variazione di B implicherebbe un aumento del momento della particella
(vedi (2.39), che invece si conserva.
Noto, all’equatore magnetico, il pitch angle αeq della particella ed il valore
Beq , dalla (2.40) si ottiene:
s
B(s)
B(s)
sin αeq =
(2.41)
sin α(s) =
Beq
Bm
dove s è la posizione lungo la linea di campo. Il valore del campo al mirror
point Bm , quindi la posizione a cui si spinge la particella prima di essere riflessa,
non dipende nè dall’impulso della particella nè dalla sua carica ma solo da Beq
ed αeq . Inoltre, misurati il pitch angle ed il valore del campo magnetico di una
particella in un qualsiasi punto, li si conosce ovunque sulla linea di campo.
Considerando che esiste un’altezza minima raggiungibile dalla particella ai
mirror point al di sotto della quale è persa per interazione con l’atmosfera e che
a questa altezza minima è associato un valore massimo del campo al mirror
point Bm , ne consegue che esiste un valore massimo di pitch angle permesso
all’equatore; è così definito un cono di perdita ed un pith angle αLC associato.
Le particelle con αeq < αLC sono destinate ad essere assorbite dall’atmosfera
entro qualche tempo.
Il secondo invariante adiabatico e il moto di oscilllazione nord-sud
Si considera nuovamente l’azione ma calcolata per il percorso nord-sud del
moto di riflessione lungo la linea di campo. Se il periodo di questo moto è
molto più breve rispetto al tempo in cui avvengono significative variazioni del
campo a causa la deriva longitudinale, l’integrale azione calcolato sul periodo
è costante:
I
J2 = [p + qA] · ds cost
Analogamente a quanto già visto, l’integrale del secondo termine è pari al
flusso del campo connesso alla superficie ed è nullo visto che non ci sono linee
di campo connesse alla superficie racchiusa dal moto nord-sud-nord. Rimane
il termine parallelo alla linea di campo:
I
I
I
J2 =
p · ds =
pk ds =
p cos α ds cost
dove α è il pitch angle. Considerando la (2.41):
I
J2 =
√
I
ds p cos α =
ds p
r
I
1−
sin2
α=
ds p
1−
B(s)
Bm
Ma p si conserva, si può quindi definire una quantità invariante dipendente
esclusivamente dai parametri del campo:
Z s0m r
B(s)
J2
I=
=
1−
2p
Bm
sm
62
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
dove sm ed s0m sono le posizioni dei due mirror point a nord e a sud sulla linea
di campo.
I definisce il percorso della particella tra i due mirror point; durante il
moto di deriva longitudinale, essa sceglie linee di campo tali da conservare il
secondo invariante. Fissati i mirror point esiste una sola linea di campo per un
valore costante di I, dato che all’aumentare della distanza dalla Terra I cresce
montonicamente. Dopo un angolo giro in longitudine, la particella si trova
sulla stessa linea di campo di partenza e questo vale indipendentemente dalle
possibili distorsioni del campo come, ad esempio, quelle dovute alla pressione
del vento solare sulla parte della magnetosfera rivolta verso il Sole.
Il terzo invariante adiabatico e il drift est-ovest
La conservazione del terzo invariante equivale alla conservazione del flusso connesso alla superficie racchiusa dalla circonferenza che descrive il moto
longitudinale della particella.
I
J3 = [p + qA] · ds cost
La componente est-ovest dell’impulso della particella è piccola rispetto alla
componente nord-sud, quindi è trascurabile il suo contributo all’integrale. Il
secondo termine è, per il teormea di Stokes, q volte il flusso del campo connesso
alla circonfernza di drift longitudinale:
I
J3 = q B · dS = q Φ
Il valore di Φ è costante anche durante le oscillazioni nord-sud della particella fintanto che tutta la Terra, sorgente delle linee di campo, è inclusa nella
circonferenza di drift. La conservazione di Φ permette di descrivere la variazione delle fasce di radiazione durante i lenti cambiamenti secolari del campo
geomagnetico.
Coordinate invarianti
Descrivere il moto della particella in coordinate geografiche vuol dire darne il
valore della posizione punto per punto; gli invarianti offrono una descrizione
molto più agevole. I valori degli integrali azione non sono grandezze facilmente interpretabili fisicamente; le coordinate invarianti sono preferibilmente
grandezze a questi legate ma che offrono una più immediata interpretazione
fisica. Dal primo invariante si ha che il valore del campo al mirror point, Bm ,
è una costante del moto ed è una possibile coordinata invariante. Il valore
del secondo invariante adiabatico, I = J2 /2 p, descrive univocamente, per ogni
valore del campo B, la posizione di due punti coniugati (con lo stesso valore
scalare del campo sulla stessa linea di campo) ovunque durante il drift longitudinale. La coppia di valori (Bm , I) descrive una drift shell e sono, quindi, valide
coordinate invarianti.
All’azione I si preferisce, di solito, il più intuivo parametro invariante Lm
di McIlwain definito, per un campo dipolare, come il raggio equatoriale R0 , in
unità di raggi terrestri RE , di una drift shell; corrisponde alla distanza dal centro
2.4. INVARIANTI ADIABATICI E IL MOTO DELLE PARTICELLE INTRAPPOLATE63
di dipolo inclinato eccentrico del punto con il valore minimo di B sulla linea di
campo. Per il campo dipolare, durante il moto di drift, la particella rimane su
linee di campo che hanno lo stesso raggio equatoriale R0 . Per un campo non
puramente dipolare, come quello terrestre, porsi a Lm raggi terrestri all’equatore
di dipolo non vuol dire essere sulla stessa drift shell a qualunque longitudine;
in altri termini, linee di campo appartenti alla stessa drift shell possono avere
diversi valori di R0 . Lm può essere comunque trovata per ogni linea di campo
della drift shell (Bm , I) misurando la distanza R0 ed calcolando L = R0 /RE . Alla
drift shell si possono, approssimativamente, associare valori di L cost per ogni
linea di campo anche se, tecnicamente, L definisce una magnetic shell (shell di
linee di campo con lo stesso R0 ) e non una drift shell; la conoscenza della coppia
di valori (Bm , L) invece identifica univocamente una drift shell [61, 67]. Un caso
particolare è quello di una particella con pitch angle equatoriale αeq = 90◦ , cioè
intrappolata sua una traiettoria equatoriale, per cui L è invariante adiabatico
del moto, anche per un campo non dipolare; in tutti gli altri casi, particelle che
si trovano sulla stessa linea di campo con pitch angle diversi appartengono a
drift shell shell diverse; questo dà luogo al fenomeno di L-shell splitting. Vanno
aggiunti effetti come quelli dovuti alla pressione del vento solare sulla zona
della magnetosfera diretta verso il Sole: sulla stessa drift shell L sarà minore in
questa zona rispetto a quella notturna.
La L di McIlwain è, per definizione, pari ad R0 /RE all’equatore di dipolo. La
linea di campo associata ad L può essere descritta, dalla (2.31), detta λ = 90◦ − θ
la latitudine magnetica, con λ = 0◦ l’equatore di dipolo, come;
r = L cos2 (λ)
(2.42)
dove r è la distanza, in raggi terrestri RE , del punto (L, λ).
In un campo dipolare, note le coordinate magnetiche (B, I) per un punto, si
può analiticamente calcolare la distanza R0 , intersezione tra la linea di campo
e l’equatore magnetico dipolare. Gli algoritmi di calcolo di L usano la stessa
relazione analitica per calcolare, in un campo non dipolare, la distanza L RE .
In figura 2.31 si mostra luoghi di punti con lo stesso L compresi tra −70◦ S
e +70◦ N in latitudine, per una distanza di 1.075 raggi terrestri dal centro della
Terra, pari all’altezza media di PAMELA.
Le fasce di radiazione
Il meccanismo di riflessione magnetica descritto nei paragrafi precedenti crea
diverse drift shell, quindi supeferifici toroidali di centro il dipolo magnetico
terrestre, su cui sono confinate particelle cariche. L’intrappolamento può durare
anni per i protoni che hanno un mirror point a qualche migliaio di chilometri
di altitudine.
Si distinguono due zone di intrappolamento: una zona interna per L . 2.5
costituita principalmente da protoni ed ed elettroni ed una esterna per L & 2.5
costituita da soli elettroni. Tra le due fasce esiste una zona, per 2.0 . L . 2.5,
detta slot region in cui non ci sono particelle intrapollate; la sua presenza è
dovuta alla propagazione di onde radio VLF e ad un conseguente fenomeno di
risonza sulla frequenza di ciclotrone delle particelle nel campo geomagnetico
con l’effetto di spazzare via del tutto le particelle dalla regione di slot e di
influire sui fenomeni di perdita dipendenti dal pitch angle.
64
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.31: Andamento di L in funzione di latitudine e longitudine geografiche
per un’altezza di 1.075 raggi terrestri, circa pari a quella di PAMELA.
La parte a più basse altitudini della fascia interna è la depressione del
campo magnetico detta anomalia del Sud Atlantico (SAA), creata a causa della
eccentricità del dipolo magnetico terrestre, come già illustrato nel paragrafo
2.3.3. Le particelle intrappolate nella fascia interna si muovono lungo la linea
di campo e, se hanno un mirror point con Bm . 0.22 G, vengono riflesse in SAA
alle altitudini a cui orbita PAMELA.
Formazione e degradazione Dato che il campo magnetico non compie lavoro,
non è possibile che una particella carica, in arrivo dall’esterno e non in altro
modo interagente, possa rimanere intrappolata in un sistema di linee di campo
chiuse.
Il principale meccanismo noto di iniezione di particelle nelle fasce è il decadimento di neutroni derivanti dall’interazione di raggi cosmici primari nell’atmosfera. I neutroni, non risentendo del campo magnetico, possono decadere β
liberamente in qualsiasi punto nell’atmosfera producendo un elettrone ed un
protone che vanno a popolare le rispettive fasce.
Distorsioni del campo magnetico terrestre a causa di perturbazioni esterne,
come l’arrivo di una emissione di massa coronale dal Sole, possono creare
riconnessioni tra il campo magnetico interplanetario e la campo magnetico
terrestre ed iniettare particelle cariche all’interno.
Il principale meccanismo di perdita di particelle nelle fasce è, invece, l’interazione con l’atmosfera; di solito avviene nei punti di mirroring, dato che
sono i punti della traiettoria a più bassa latitudine. Le probabilità di perdita
aumentano all’aumentare del raggio di Larmor e all’abbassamento del punto di
mirror point, come già discusso nel paragrafo 2.4. Altra minore fonte di perdita
sono le collisioni reciproche tra le particelle che formano la fascia di radiazione.
I protoni Sono presenti nella fascia intera di radiazione; presentano uno spettro di energia molto ampio, compreso tra qualche keV ad almeno 1 GV, ma
dipendente dalla posizione in cui lo si misura. La massima intensità del flusso
si trova all’incirca ad energie di qualche decina di MeV.
2.5. CUTOFF GEOMAGNETICO
65
Figura 2.32: Flusso di protoni nella fascia interna di radiazione secondo il
modello AP-8 [61]. A sinistra una sezione della fascia dove gli assi sono in
unità di raggi terrestri; a destra la fascia vista sul planisfero geografico a 500 km
di altitdudine.
In figura 2.32 si mostra, a sinistra, il flusso di protoni di energia superiore a
10 MeV, secondo il modello NASA AP-8 MAX, in funzione del parametro L di
McIlwain; il cerchio rappresenta la superficie terrestre. A destra lo stesso flusso
ad un altezza di circa 500 km in funzione di latitudine e longitudine. S nota come
il massimo del flusso si ha, all’incirca, sul piano equatoria ad L = 3.1. La rapida
diminuizione del flusso per L . 1.5 è dovuta alla presenza dell’atmosfera che
rapidamente degrada la popolazione della fascia.
Gli elettroni In figura 2.33 si mostra, a sinistra, il flusso di elettroni di energia
superiore ad 1 MeV, secondo il modello NASA AP-8 MAX, in funzione della
coordinata invariante L; il cerchio rappresenta la superficie terrestre. A destra lo
stesso flusso ad un altezza di circa 500 km in funzione di latitudine e longitudine.
Si nota che gli elettroni si trovano sia nella fascia interna che in quella esterna,
con una diminuizione del flusso nella regione di slot, compresa tra le due
fasce. Questi profili di flusso dipendo, comunque, dall’energia selezionata: gli
elettroni piu energetici si trovano maggiormente nella fascia interna mentre
i meno energetici popolano la fascia esterna. Gli elettroni più esterni sono
maggiormente soggetti a perturbazioni magnetiche e, dato che raggiungono
punti di mirror a bassa altitudine, è più facile, per un satellite in orbita bassa
come PAMELA, osservare variazioni di flusso nella fascia esterna.
2.5
2.5.1
Cutoff geomagnetico
Formula di Störmer
Prima di introdurre la formula di Störmer si danno alcune definizioni. Si definisce orizzonte magnetico locale di un punto il piano tangente alla linea di campo
geomagnetico passante nel punto stesso. Lo zenith magnetico è la normale all’orizzonte magnetico locale in quel punto. L’azimuth magnetico è la direzione
che giace sull’orizzone magnetico ed è, convenzionalmente, orientato verso
l’est magnetico. Di seguito, si parlarà di angoli magnetici zenitale ed azimu-
66
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.33: Flusso di elettroni nelle fasce di radiazione secondo il modello
AE-8 [61]. A sinistra una sezione della fasce dove gli assi sono in unità di raggi
terrestri; a destra la fasce viste sul planisfero geografico a 500 km di altitdudine.
tale facendo riferimento all’angolo formato tra la direzione di incidenza della
particella e, rispettivamente, lo zenith e l’azimuth magnetici.
Si definisce rigidità il prodotto tra il raggio di Larmor e il campo magnetico:
R = rL B
che in unità SI diviene:
p
[GV/c]
ze
Alcuni autori, usando le unità cgs, la definiscono come il rapporto tra l’energia
cinetica di una particella relativistica p c e la carica della particella e la misurano
in GV, dando luogo a qualche ambiguità.
La formula per il cutoff di Störmer è da lui derivata, nel 1930, per un
campo dipolare. Esprime la rigidità minima necessaria ad una particella carica
per raggiungere un punto a distanza r dal centro del dipolo e alla latitudine
magnetica λ se essa proviene da una direzione asintotica definita dall’angolo
magnetico zenitale ζ e dall’angolo magnetico azimutale :
R=
RS =
µ0 4π
r2
M cos4 λ
[1 + (1 − cos3 λ cos sin ζ)1/2 ]2
(2.43)
dove M è il momento di dipolo, λ la latitudine magnetica, r la distanza dal
centro del dipolo in raggi terrestri, l’angolo azimutale misurato in senso
orario a partire dall’est magnetico locale (per particelle positive) e ζ è l’angolo
zenitale rispetto allo zenith magnetico locale ([21], pag. 228)5 .
Allo scopo di trovare una relazione di scala, si può calcolare la 2.43 alla
distanza di un raggio terrestre dal centro del dipolo (r = RE 6357 × 103 m),
all’equatore di dipolo (λ = 0◦ ), per una particella in arrivo lungo lo zenith
magnetico locale (ζ = 0◦ ), in questo caso coincidente con lo zenith celeste.
Si riconsideri, inoltre, il momento di dipolo M = 7.647 × 1022 A0 , m2 , calcolato
nel paragrafo 2.3.3 a partire dal coefficiente IGRF g01 per l’anno 2005, il raggio
terrestre equatoriale RE 6356 km e µ0 /4π = 10−7 N/A2 . Dalla (2.43), si calcola:
RS (r = RE , λ = 0◦ , ζ = 0◦ ) 4.7 × 10−8
5 Rispetto
al testo citato si è introdotto il fattore
µ0
4π
N
GV
= 14.1
A
c
per motivi dimensionali.
(2.44)
67
2.5. CUTOFF GEOMAGNETICO
Molti studi sul cutoff geomagnetico sono stati fatti negli anni 0 60 e 0 70, quando il momento di dipolo valeva circa 8 × 1022 A m2 . Ne risulta un cutoff verticale
all’equatore di circa 14.9 GV/c; e questo è il valore spesso indicato non solo nella letteratura di quel periodo ma anche nei lavori successivi. Nell’analisi dati
attuale si sta usando il valore 14.9 e non 14.1; ne risulta una differenza massima
nel cutoff calcolato di circa 800MV/c all’equatore di dipolo. Si mostrerà come
questa scelta (14.9) porti a differenze tra il cutoff stimato e quello effettivo del
tutto trascurabili ad alte latitudini e, comunque, ad una sottostima di qualche
centinaio di MV/c a basse latitudini.
Data la (2.44), è possibile riscrivere la (2.43) in forma più semplice se si
esprime la distanza dal centro del dipolo r in raggi terrestri e il cutoff in GV/c:
RS =
r2
59.6 cos4 λ
[1 + (1 − cos3 λ cos sin ζ)1/2 ]2
h GV i
c
(2.45)
nel caso di una particella, in arrivo dallo zenith magnetico locale, si parla di
cutoff verticale e la (2.45) diviene:
h GV i
14.9 cos4 λ
(2.46)
c
r2
Si consideri, ad esempio, i punti del piano equatoriale magnetico a distanza
r dal centro del dipolo. La componente radiale del campo è nulla (vedi (2.26))
e, considerando le (2.27) e (2.28), il campo vale:
B0 µ0 M
B = Bθ = 3 =
(2.47)
4π r3
r
dove r è espresso in raggi terrestri, B0 è il valore del campo all’equatore di
dipolo per r = RE , ed M è il momento magnetico di dipolo. Il vettore campo è
diretto, ovunque, verso nord.
In uno di questi punti, sia data una particella di carica positiva ed impulso
p, con una traiettoria interamente contenuta sul piano equatoriale. Si vuole
trovare il valore minimo dell’impulso per cui la particella possa rimanere a
distanza r dall’origine del dipolo senza essere allontanata. Data la simmetricità
del dipolo rispetto all’asse, questa situazione è un moto circolare uniforme
con l’impulso della particella totalmente diretto verso l’ovest magnetico; di
conseguenza, la forza centrifuga eguaglia la forza di Lorentz:
pv
zeBv =
r
Facendo uso delle (2.47), si ricava:
µ0 M
p
=
ze
4π r
◦
che equivale alla (2.43) per λ = 0 (equatore di dipolo) e = 0◦ (particella
da est). Questo è il caso più semplice con cui si può mostrare la plausibilità
della formula di Störmer con l’individuazione di un’orbita asintoticamente
legata e di un effetto direzionale (protoni da est). Il cutoff Störmer si costruisce
cercando, data una direzione di rilevazione della particella, le rigidità minime
(asintotiche) per cui esistono orbite legate.
Si consideri una griglia di punti ad altezza costante. In figura 2.34 il cutoff
Störmer verticale è calcolato tramite la 2.46 per campo generato da un dipolo
inclinato centrato. In figura 2.35 si usa invece un dipolo eccentrico.
RS =
68
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.34: Cutoff verticale ad altezza costante di 1.075 raggi terrestri calcolato
in approssimazione di dipolo inclinato e centrato.
Figura 2.35: Cutoff verticale ad altezza costante di 1.075 raggi terrestri calcolato
in approssimazione di dipolo inclinato eccentrico.
2.5.2
Cutoff verticale con il parametro L di McIlwain
Consideriamo ora il parametro di McIlwain L, discusso nel paragrafo 2.4. Nel
caso di un campo dipolare, esso corrisponde al raggio equatoriale di una
drift shell; si può quindi riscrivere la (2.30) ponendo R0 = L e sostituiendo
la latitudine magnetico λ alla colatitudine θ:
r = L cos2 λ
(2.48)
Con una sostituzione, si riscrive l’equazione del cutoff verticale (2.46):
R=
14.9
L2
h GV i
c
(2.49)
Questa equazione è del tutto equivalente alla (2.46) nel caso di campo dipolare,
perché solo in questo caso di particolare simmetria è valida la (2.48).
In figura 2.36 si mostra il cutoff calcolato, per una griglia di punti ad altezza
costante, tramite la (2.49), cioè facendo uso del parametro di McIlwain. In
figura 2.37 si mostra lo stesso calcolo del cutoff, cioè tramite la (2.49), lungo
l’orbita di PAMELA. Non sono apprezzabili variazioni rispetto alla figura 2.36
a causa della variazione di altezza lungo l’orbita.
69
2.5. CUTOFF GEOMAGNETICO
Figura 2.36: Cutoff verticale ad altezza costante di 1.075 raggi terrestri calcolato
attraverso la (2.49).
Figura 2.37: Cutoff verticale lungo l’orbita di PAMELA, calcolato attraverso la
(2.49). Mediato su circa 80 giorni.
La possibilità di usare la (2.49) per la stima del cutoff verticale per il campo
geomagnetico è stata investigata da Smart e Shea in [57]; essi hanno calcolato il
cutoff tramite tracciamento della particelle nel campo geomagnetico ed eseguito
un fit dell’equazione R = K Lγ sui valori trovati di upper cutoff (RU ), lower
cutoff (RL ) e central cutoff (RC ). Il risultato è che γ = −2 rimane ovunque una
buona approssimazione, mentre K può variare. Smart e Shea hanno stimato:
RL = 14.9/L2
(2.50)
RC = 16.2/L
(2.51)
2
RU = 16.8/L
2
(2.52)
Tempo speso da PAMELA a vari cutoff
Oltre alla topologia del cutoff incontrato da PAMELA sul planisfero terrestre si
può investigare per quanto tempo il satellite si trova ad ogni cutoff. Più tempo
si passerà a bassi valori di cutoff, più raggi cosmici galattici di bassa energia
potranno essere rilevati.
Si costruisce un istogramma del tempo speso ad ogni cutoff. Si dividono
le ascisse in intervalli larghi 100 MV, compresi tra 0GV/c e 25GV/c, cioè in un
intervallo di rigidità maggiore della variazione del cutoff lungo l’orbita. Si con-
70
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Figura 2.38: Frazione di tempo speso da PAMELA agli intervalli di cutoff in
ascisse, di larghezza 100 MV.
sidera un periodo di dati di 8mesi, pari all’incirca ad un periodo di precessione
del perigeo, in modo da rendere i risultati indipendenti dalle variazioni di altezza dovute a questa precessione (vedi 2.2.3). Per ogni evento di PAMELA, nel
periodo considerato, si calcola la posizione del satellite tramite la propagazione
orbitale e il relativo cutoff verticale tramite la (2.52), quindi una stima dell’upper
cutoff; si aggiunge al bin corrispondente al cutoff il valore del tempo trascorso
dall’evento precedente. L’istogramma così costruito è mostrato in figura 2.38,
normalizzato in modo che il suo integrale sia pari ad 1. Esso va interpretato
come frazione del tempo totale speso da PAMELA al cutoff in ascisse. Risulta
che PAMELA spende cirica il 4.5% del tempo a cutoff compresi tra 0 e 100 MV,
il 2.5% a cutoff compresi tra 100 MV e 200 MV e così via.
Da questo istogramma si può ricavare il più chiaro grafico della frazione
di tempo spesa sotto un determinato cutoff, cioè la frazione di tempo in cui
PAMELA è in grado di ricevere raggi cosmici galattici di rigidità maggiore o
uguale ad un determinato cutoff.
Detto tR<R0 il tempo speso da PAMELA a cutoff inferiori ad R0 , questo può
essere così calcolato dall’istogramma mostrato:
X
tR<R0 =
tR
(2.53)
R<R0
Per R −→ ∞, questa sommatoria è pari al tempo totale; in realtà, è già pari al
tempo totale quando R supera circa i 15 GV/c.
In figura 2.39 si mostra l’istogramma di tR<R0 in funzione di R, normalizzato in modo che l’integrale totale sia pari ad uno. Nel limite del continuo,
rappresenta l’integrale dell’istogramma in 2.38 e per R grandi questo integrale
è piatto e pari al tempo totale. Si vede che PAMELA spende una discreta parte
del tempo a bassi cutoff; ad esempio, per circa il 22% del tempo totale PAMELA
può rilevare raggi cosmici di rigidità inferiore ad 1 GV/c.
2.5. CUTOFF GEOMAGNETICO
71
Figura 2.39: In ordinate la frazione di tempo speso da PAMELA al cutoff minori
od uguali a quello in ascisse.
72
CAPITOLO 2. LA MISSIONE PAMELA
Capitolo 3
L’apparato PAMELA
L’apparato PAMELA è schematicamente mostrato in figura 3.1, con l’indicazione dei diversi rilevatori e del verso della direzione del magnetico, mentre una
sua foto è visibile in figura 3.2
PAMELA si trova all’intero di un contenitore pressurizato alloggiato lateralmente rispetto al satellite RESURS DK-1, come mostrato in figura 3.3; durante
il lancio il contenitore si trovava in posizione di sicurezza, nella parte inferiore
del satellite e ruotato di 180◦ rispetto alla posizione attuale. Il satellite ha un
Figura 3.1: Sezione di PAMELA. È indicato il sistema di riferimento convenzionale usato e il diverso comportamento di un protone e di un antiprotone nel
campo magnetico del tracker.
73
74
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Figura 3.2: Una foto dell’apparato. Dal basso: il parallelepipedo bianco è il
neutron detector, mentre quello nero è il calorimetro; tra questo ed il neutron
detector è visibile lo scintillatore S4. Il magnete occupa il corpo centrale di
PAMELA e si trova dietro l’elettronica visibile. L’anticoincidenza e i piani del
TOF non sono ben visibili in quest’immagini ma si può far riferimento alla
figura 3.1 per individuare la loro collocazione.
peso di circa 6.7 tonnellate ed il suo compito principale è effettuare osservazioni
geografiche della superficie.
3.1
Spettrometro magnetico
Costituisce la parte centrale di PAMELA ed è costituito da un magnete permanente che ha la funzione di deflettere le particelle cariche e da sei piani di silicio
che misurano la traccia. Inoltre, i piani di silicio sono anche usati per misurare
l’energia rilasciata e quindi la carica della particella, fino ad almeno Z = 6.
Il magnete è composto da cinque moduli a formare una torre alta 44.5 cm
con una cavità larga 13.1 × 16.1 cm2 . Ciascuno di questi moduli è a sua volta
composto da dodici elementi di una lega Nd − Fe − B, ciascuno con una precisa orientazione dei domini magnetici e con una magnetizzazione residua di
1.3 T. Il campo magnetico risultate all’interno della cavità è quasi uniforme,
con un’intensità media di 0.43 T, ed orientato lungo l’asse y del sistema di riferimento convenzionale di PAMELA. L’intensità del campo e le dimensioni del
3.1. SPETTROMETRO MAGNETICO
75
Figura 3.3: Il satellite Resurs DK-1 con l’apparato alloggiato nel contenitore
pressurizzato laterale in posizione di presa dati.
magnete sono tali da determinare un fattore magnetico per il trigger principale
dell’esperimento di 21.5 cm2 sr.
Un’esatta ricostruzione della traccia, come anche un’esatta misura del fattore geometrico, richiede una precisa mappatura del campo magnetico punto per
punto. Per questo è stato misurato con molta precisione attraverso una sonda
Hall in tuta la cavità. In figura 3.4 si mostra, a sinistra, il valore dell’intensità del
campo, in Tesla, in funzione delle coordinate x e y, e, a destra, il suo andamento
in funzione di z per x = y = 0.
Il principio di funzionamento di uno spettromentro si basa si basa sulla
considerazione che la forza di Lorentz agente sulla particella di velocità ~
ve
~ del tracker è:
carica q = z e nel campo magnetico B
~ = z e (~
~
F
v ∧ B)
dove la carica è espressa in Coulomb, la velocità in metri al secondo, B in Tesla
~ in N s/(C m). L’effetto sul moto è una traiettoria ad elica; se ~
ed F
p è il momento
della particella e λ l’angolo formato tra questo e il campo magnetico, l’impulso
~ vale p cos λ e la traiettoria su questo piano può essere descritta
sul piano ~
v∧B
76
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Figura 3.4: A sinistra, l’intensità del campo in funzione delle coordinate x e
y per z = 0 (metà altezza del tracker). A destra, l’andamento in funzione
dell’altezza z per x = y = 0 (centro della sezione trasversale) [18].
come un moto circolare uniforme:
p cos λ = z e B R
dove R è il raggio di curvatura. Esprimendo p in GeV/c, la precedente può
essere riscritta come:
p cos λ 0.3 z v B R
Idealmente, la misura dell’angolo tra la traiettoria ed il campo λ e di R è
sufficiente a determinare il rapporto p/z. Nella realtà, le correzioni e l’algoritmo
usato per il fit è un problema molto più complesso che richiede di operare su un
numero limitato di punti che campionano la traccia, un campo magnetico non
uniforme, vario rumore dovuto alla presenza di più particelle rispetto a quella
che ha generato il trigger, una risoluzione spaziale finita e molte altre correzioni.
Le rigidità massime misurabili (MDR) sono quelle definite relativamente alle
varie perticelle in tabella 3.3.
I sei piani di silicio sono spessi 300µm e ciascuno è composto da un doppio
strato: un lato con strip di silicio che costituiscono la giunzione p+ , orientate
secondo l’asse x di PAMELA e, in basso, le strip che costituiscono la giunzione
n+ , orientate secondo l’asse y di PAMELA. In questo modo il passaggio di una
particella carica è associato alla coppia di coordinate (x, y). Queste strip sono
raccolte in tre ladder, ciascuno dei quali delle dimensioni di 5.33 × 7.00 cm2 e
con una distinta elettronica di front end, che insieme vanno a formare un piano
[18].
La massima rigidità misurabile (MDR) è direttamente legata alla massima
curvatura misurabile della traccia e alla risoluzione dello strumento. Un parametro importante è il braccio di leva, o lever arm, cioè la distanza massima tra
i piani su cui è rilevato il passaggio della particella: ad una maggiore distanza
corrisponde una minore incertezza sulla deflessione. Avendo sei doppi piani
di silicio il massimo braccio di leva è la distanza tra il primo ed il sesto piano e
a cui corrisponde un MDR 1 TeV. Nel testo si parlarà di lever arm 1, 2, . . . , 6
riferendosi alla distanza tra 1, 2, . . . , 6 sei piani del tracker.
3.2. SCINTILLATORI E SISTEMA DEL TEMPO DI VOLO
77
Figura 3.5: Veduta schematica dei tre piani del TOF. Per ogni piano è visibile
la vista superiore (S11, S21, S31) con la divisione in paddle e i PMT alle loro
estremità. [54]
3.2
Scintillatori e sistema del tempo di volo
Il sistema del tempo di volo (TOF) è costituito da tre doppi piani di scintillatori
plastici, denominati S1, S2 ed S3, visibili in figura 3.1. S3 si trova immediatamente sotto il tracker, S2 sopra di esso, a 77.3 cm di distanza, ed S1 è 20cm più in
alto di S2. S1, S2 ed S3 sono divisi in due piani, di spessore variabile dai 5mm ai
7mm, a loro volta composti da più segmenti (di qui in avanti chiamati paddle),
tra loro affiancati e retti alle estremità da due tubi fotomoltiplicatori (PMT), per
un totale di 24 paddle e 48 PMT. I due strati di ogni piano sono disposti in
modo che le paddle dell’uno siano trasversali a quelle dell’altro così da poter
dare una stima del punto di passaggio della particella. La visione schematica è
visibile in figura 3.5.
D’ora in avanti si indicherà con S11 lo strato superiore di S1, corrispondente
alle paddle disposte nella direzione y, e con S12 lo strato inferiore di S2, corrispondente alle paddle disposte nella direzione y. Analogamente per S21, S22,
S31 ed S32.
Il materiale scintillatore è il BC-404, caratterizzato da un tempo di salita del
segnale molto breve, 0.7ns, al passaggio della particella carica.
Gli utilizzi del TOF sono i seguenti:
• Fornire un fast trigger per l’intero apparato, tramite la coincidenza del
passaggio della particella su piani diversi.
• Misurare il tempo di volo della particella e quindi la sua velocità. È
78
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
importante per discriminare tra particelle in arrivo dall’alto e quelle che
arrivano dal basso (particelle di albedo), e per discriminare particelle e
nuclei che a parità di carica e rigidità hanno masse e quindi tempi di volo
diversi.
• Misurare l’energia rilasciata ( dE/ dx) dalla particella nel materiale plastico per ionizzazione e fornire un’indicazione della carica fino al carbonio.
• Aiutare il tracker nella determinazione della traccia corretta.
3.2.1
Trigger
Il sistema di trigger è regolato dalla apposita scheda di trigger. Essa legge i
48 PMT del TOF e riceve l’eventuale autotrigger del calorimetro. Controlla,
quindi, tramite una serie di maschere binarie applicate a condizioni vero o
falso (es. 1 o 0 per quel PMT), il verificarsi di una delle condizioni per cui deve
partire l’acquisizione. Tali maschere sono modificabili dalla CPU di PAMELA.
Verificata la condizione per il trigger, la trigger board invia il comando di
acquisizione a tutti i rivelatori e controlla poi se questi sono occupati (stato
busy) o se sono pronti ad acquisire un nuovo evento. Quindi, dopo il segnale
di trigger, si apre una finestra di acquisizione che ha una durata fissa di 200µs.
Il tempo, successivo a questi 200µs, durante il quale uno o più rivelatori sono
in stato busy o si stanno trasferendo i dati acquisiti in memoria è il cosiddetto
tempo morto, cioè si è nella condizione in cui tutti le altre coincidenze di trigger
registrate dalla trigger board vengono ignorate. Sia il tempo morto che la
frequenza degli eventi di trigger (inclusi quelli occorsi durante il tempo morto)
vengono registrati dalla trigger board evento per evento.
Alcune condizioni di trigger sono ad esempio:
• (S11 + S12) * (S21 + S22) *(S31 + S32), cioè il verificarsi di un hit su almeno
una delle due viste di ciascuno piano del TOF.
• (S21 + S22) * (S31 + S32), per limitarsi ai due piani più bassi del TOF. Questa configurazione esclude le particelle che hanno una energia sufficiente
a raggiungere S1 ma non S2.
Esistono in totale 31 diverse combinazioni possibili di trigger e durante una
singola orbita si può variare la configurazione per alzare o abbassare la rate di
acquisizione a seconda delle esigenze. Ad esempio, si cambia di solito configurazione nell’anomalia del Sud Atlantico per evitare di avere principalmente
trigger dai protoni intrappolati di bassissima energia lì presenti.
3.2.2
Misura della carica
La corrente in uscita dal PMT viene raccolta da un preamplificatore che la
integra rapidamente (10ns) e fornisce un’output all’incirca proporzionale alla
carica depositata. L’uscita del preamplificatore è utilizzata per caricare un
condensatore che viene poi scaricato a corrente costante. Il tempo di scarica è
proporzionale alla corrente di carica e quindi alla carica depositata.
La carica misurata dipende dalla distanza del punto d’impatto della particella sulla paddle dal PMT, poiché vi è una certa probabilità che i fotoni prodotti
3.2. SCINTILLATORI E SISTEMA DEL TEMPO DI VOLO
79
non arrivino al PMT. Il tracker fornisce in maniera molto precisa il punto di
passaggio della particella ed è quindi possibile correggere per una curva di
calibrazione del segnale rivelato in funzione della distanza.
Tramite questa misura di carica è possibile discriminare nuclei fino a Z = 8.
3.2.3
Misura del tempo
Il clock di PAMELA è limitato, dai limiti in potenza dell’apparato, a 100MHz.
Una misura di un tempo con tale frequenza di clock porterebbe un errore
intrinseco di (100MHz)−1 = 10ns; troppo per una misura del tempo di volo. Il
sistema adottato da PAMELA per ovviare a questo problema è raffigurato in
figura 3.6. Al passaggio di una particella in una qualsiasi paddle, il segnale
Figura 3.6: Schema della conversione Time to Amplitude to Time. [8]
luminoso si propaga, raggiunge un PMT e viene amplificato e convertito in
corrente. Nel caso in cui questo segnale superi la soglia di discriminazione che
separa il segnale vero dal fondo di rumore, inizia la carica di un condensatore
(tempo ts ) con una corrente di carica nota i e costante. La carica continua fino
all’arrivo del segnale di trigger (o fino al superamento di un tempo massimo di
attesa), al tempo tt ; la differenza di potenziale raggiunta dal condensatore sarà
direttamente proporzionale al tempo di carica. Inizia poi la scarica con una
corrente circa 200 volte più bassa di quella di carica. Di conseguenza il tempo
di scarica sarà 200 volte maggiore del tempo di carica e l’errore di 10ns si riduce
a 10ns/200 = 50ps.
La misura di tempo si complica considerando ciò che viene così misurato
non è quello del passaggio della particella tra due piani del TOF ma quello tra
l’arrivo del fronte d’onda al PMT e il segnale di trigger. Questo porta a dover
considerare i segnali di tempo generati dai quattro PMT che stanno ciascuno
ad un’estremità della paddle attraversata e a dover calibrare lo strumento sulla
base di questa informazione. Ulteriore correzione è quella di time walk, dovuta al
fatto che il tempo di salita del segnale al PMT sopra la soglia del discriminatore
dipende, non linearmente, dall’altezza del picco del segnale stesso.
Da test su fascio si è determinata la risoluzione in 250 ps per i protoni e 70 ps
80
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
per i nuclei. La risoluzione per i nuclei è maggiore che per i protoni in quanto
il numero di fotoelettroni prodotti è maggiore, dato che dipende dall’energia
rilasciata che va come Z2 a parità di velocità, ed il time walk è minore, in quanto
è più rapida la salita del segnale in corrente in uscita dal PMT.
3.2.4
S4
Al di sotto del calorimetro è posto il rivelatore S4 (figura 3.7): uno scintillatore
composto da un unico strato di scintillatore plastico di dimensioni trasversali
(48 × 48)cm2 e spesso 1cm, letto da 6 tubi fotomoltiplicatori (PMT). Il suo scopo
fondamentale è indicare il mancato contenimento di uno sciame nel calorimetro.
Figura 3.7: Lo scintillatore S4. Sono visibili i 6 PMT.
3.3
Calorimetro
Il calorimetro è di tipo a campionamento, con alternanza di strati di tungsteno
e di piani di rivelazione in silicio.
È progettato per:
• Misurare l’energia totale depositata dalla particella.
• Ricostruire la distribuzionale spaziale, sia longitudinale che trasversale,
degli sciami adronici ed elettromagnetici prodotti.
• Misurare la distribuzione dell’energia negli sciami.
Lo scopo di queste misure è, innanzitutto, discriminare tra sciami elettromagnetici ed adronici e, in particolare, distinguere antiprotoni da un fondo
di elettroni e positroni da un fondo di protoni con un’efficienza del 95% e un
fattore di reiezione pari a 10−4 (vedi tabella 3.3). Altra possibilità offerta dal
calorimetro è misurare le abbondanze nucleari tramite la rivelazione dell’energia rilasciata dalla particella dE/ dx, proporzionale al quadrato del numero
atomico.
3.3. CALORIMETRO
81
Figura 3.8: Il calorimetro di PAMELA con alcuni moduli parzialmente inseriti. Sono ben visibili i piani di silicio nella parte superiore di ogni modulo e
l’elettronica di acquisizione.
Momeno (GeV/c) Efficienza p̄
Contaminazione e− Efficienzae+
Contaminazione p
1
0.9192 ± 0.0009 (2.5 ± 0.2)
0.899 ± 0.001
(1.9 ± 0.4) × 10−4
+1.8
−5
5
0.9588 ± 0.0005 (4+5
)
×
10
0.9533
±
0.0009
(1.4
) × 10−5
−2
−0.9
−5
+2
20
0.9767 ± 0.0004 < 6.2 × 10
0.970 ± 0.001
(3−1 ) × 10−5
−4
100
0.963 ± 0.001
< 1.4 × 10
0.944 ± 0.002
< 3.3 × 10−5
−4
200
0.954 ± 0.002
< 1.5 × 10
0.955 ± 0.002
< 1.2 × 10−4
Tabella 3.1: Efficienze e contaminazioni nella selezione di antiprotoni e positroni
simulati ([6], pag. 415).
Lo strumento è dotato, inoltre, di un auto-trigger, cioè della possibilità di
acquisire un evento autonomamente rispetto al trigger principale di PAMELA.
Esso è disegnato in modo da attivarsi nel caso venga rivelato un rilascio di
energia superiore ad una certa soglia, che corrisponde a quella conseguente
all’interazione di un elettrone di energia superiore a circa 300 GeV; il limite
superiore è dato dalla saturazione dello strumento ed è circa 1 TeV per gli
elettroni. Il fattore geometrico del calorimetro in autotrigger è 600 cm2 sr ([6],
pag. 415).
3.3.1
Struttura
Il calorimetro è composto da 22 strati di tungsteno, ciascuno spesso 0.26 cm e
racchiuso, in alto e in basso, tra due piani di silicio. Nel sistema di riferimento
di PAMELA il piano di silicio superiore ha le strip orientate nella direzione y
e il piano inferiore nella direzione x. La struttura, dall’alto verso il basso, è
quindi del tipo: Si-y/W/Si-x.
Ciascuno di questi piani di silicio è composto da una matrice di 3 × 3 rivelatori, ognuno di area 8 × 8 cm2 e a sua volta composto di 32 strisce di silicio
larghe 2.4 mm e spesse 380µm, per un totale di 96 strisce per piano.
82
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
3.3.2
Sviluppo degli sciami
Il silicio
Il silicio è il materiale sensibile e permette di misurare con elevata precisione
lo sviluppo di uno sciame o il passaggio di una particella non interagente.
Permette di avere una risoluzione elevata, una geometria compatta e tempi di
risposta molto brevi.
L’elettronica è tale da permettere di misurare un rilascio di energia di
1400 mip, dove una mip (minimum ionizing particle) è l’unità di misura della
perdita di energia per ionizzazione dE/ dx ed è pari al minimo della curva
in funzione dell’impulso; se definita per un protone, per il silicio è pari a
1.664 MeV cm2 /g ([22], pag. 249) e corrisponde ad un rilascio di circa 150 keV
nel piano spesso 380 µm. La saturazione a circa 1100 mip ([6], pag. 421) permette di arrivare a misurare il rilascio di energia da parte di nuclei pesanti fino a
Z = 33.
Il tungsteno
Il tungsteno è il materiale che fa da assorbitore e permette lo sviluppo dello
sciame elettromagnetico. L’energia in esso rilasciata non viene rilevata.
Il motivo per cui lo si sceglie è il suo elevato numero atomico. L’obiettivo
è massimizzare la probabilità che, durante il suo percorso, un leptone produca
uno sciame elettromagnetico e minimizzare quella che un adrone produca uno
sciame adronico. Si potrà quindi utilizzare il calorimetro per individuare (ad
esempio nella ricerca di e± ) o rigettare (ad esempio nella ricerca di p̄) eventi
associati a cascate elettromagnetiche.
La probabilità di produrre uno sciame elettromagnetico è esprimibile attraverso la lunghezza di radiazione X0 , pari alla quantità media (in g/cm2 o in cm)
di materiale attraversato da un elettrone o positrone al momento della prima interazione ed è proporzionale ad A/Z2 ([68], pag. 2), dove A è il numero di massa
atomica e Z il numero atomico. La probabilità di produrre uno sciame adronico
è esprimibile con la lunghezza d’interazione λint , pari alla quantità media di
materiale attraversato da un adrone prima di interagire adronicamente, ed è
proporzionale a A1/3 ([68], pag. 5). Sia X0 che λint hanno un andamento asintotico in funzione dell’energia e vengono definiti per energie superiori ad 1 GeV,
alle quali sono approssimativamente costanti. La quantità da massimizzare è
dunque λint /X0 che vale all’incirca Z1.3 , considerando che A Z per materiali
con alto numero atomico. Ne consegue la necessità di scegliere, per quanto
possibile, materiali ad alto Z per aumentare la capacità di discriminazione.
Per il tungsteno la lunghezza di radiazione vale:
X0 = 0.35 cm
per cui ogni piano di tungsteno, spesso 0.26 cm, corrisponde a 0.74 X0 e l’intero
calorimetro a 16.3 X0 ([22], pag. 314).
Un materiale ad alto Z permette, inoltre, di avere una bassa energia critica,
definita come l’energia sotto la quale la perdita per ionizzazione domina su
quella per radiazione, bloccando lo sviluppo dello sciame elettromagnetico.
83
3.3. CALORIMETRO
Una sua parametrizzazione è la seguente:
610 MeV
8.1MeV
Z + 1.24
Ec =
con Z = 74 per il tungsteno ([68], pag. 1). Questo implica che il calorimetro di
PAMELA sia in grado di sviluppare sciami fino alle energie più basse a cui le
particelle possono raggiungere il calorimetro, corrispondenti a circa 100 MeV.
D’altro canto, la capacità di contenimento degli sciami elettromagnetici sarà
inferiore rispetto ad un materiale con Z minore.
La risoluzione
La profondità del singolo piano di tungsteno, in termini di lunghezza di radiazione, è anche il parametro adatto a valutare la risoluzione in z (dimensione
longitudinale) nella ricostruzione dello sciame, dato che solo i piani di silicio
sono sensibili e che lo sciame si sviluppa sostanzialmente solo nel tungsteno.
La risoluzione spaziale sul piano xy (piano trasversale) è data dalle dimensioni
di una strip, 2.4 mm. Queste caratteristiche permettono di definire il calorimetro di PAMELA come ad elevata granularità, cioè in grado di ricostruire con
elevata risoluzione la topologia del rilascio energetico di uno sciame.
La risposta del calorimetro per elettroni di energia iniziale inferiore a 200 GeV
si mostra quasi lineare, con deviazioni imputabili al parziale contenimento dello sciame. La risoluzione in energia per gli elettroni mostra un andamento
dipendente dalla radice dell’energia e raggiunge un valore costante di circa il
5% sopra i 20 GeV ([6], pag. 414).
Lo sviluppo trasversale dello sciame
Lo sviluppo dello sciame trasversalmente alla traiettoria della particella è determinato dal raggio di Molière, ρM , che quantifica l’apertura oltre la quale le
perdite per radiazione vengono superate da quelle per ionizzazione. Il suo
valore dipende dal rapporto tra lunghezza di radiazione ed energia critica:
ρM =
X0
21.2MeV 0.91cm
Ec
Questo valore è leggermente inesatto perché il calorimetro non è omogeneo,
cioè composto di solo tungsteno, ma alterna strati di tungsteno spessi 0.26 cm
a strati di silicio spessi 380µm. Si deve quindi tener conto della possibilità di
ulteriore sviluppo dello sciame nel piano di silicio:
ρM = 0.91cm
0.26 cm + 380 µm
1.05 cm
0.26 cm
che corrisponde a circa 4.4 strisce di silicio.
L’apertura trasversale dello sciame aumenta col progredire della distanza
percorsa longitudinalmente a causa delle ripetute diffusioni coulumbiane subite da elettroni e positroni ma, comunque, il 90% dell’energia rilasciata rimane
contenuta entro il cilindro di raggio 1 ρM intorno al centro dello sciame, per il
95% entro 2 ρM e per il 99% entro 3.5 ρM ([22], pag. 249). Oltre l’energia critica
queste definizioni perdono significato perché i meccanismi fisici in gioco sono
diversi e lo sciame si allarga ulteriormente.
84
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Lo sviluppo longitudinale dello sciame
È possibile stimare l’energia massima che può avere un elettrone o un positrone
incidente perché lo sciame risulti interamente contenuto nel calorimetro ([39],
pag. 60). In prima approssimazione, dato che la produzione dello sciame
si basa su processi che creano, mediamente ad ogni lunghezza di radiazione,
due particelle per ogni particella presente (produzione di coppie γ → e− e+
e bremsstrahlung e± → e± + γ), si ha che, dopo t lunghezze di radiazione,
il numero di particelle prodotte è pari a N = 2t , ciascuna di energia pari ad
E = E0 /N = E0 /2t . Considerando un arresto dello sciame al raggiungimento
dell’energia critica si ha:
E(tmax ) = Ec =
E0
⇒ E0 = 2tmax Ec = 216.3 Ec = 653 GeV.
2t
Sebbene la legge di scala tmax ∝ ln(E0 /Ec ) risulti corretta, la cascata reale ha
una coda che si estende varie lunghezze di interazione oltre quelle necessarie
al raggiungimento dell’energia critica e il non completo contenimento inizia
già per elettroni di energia iniziale superiore a 100 GeV ([6], pag. 420). Una
migliore descrizione del profilo longitudinale è quella fornita da una distribuzione gamma, il cui massimo risulta essere, nel caso di una cascata iniziata da
un elettrone:
tpeak = ln(E0 /Ec ) − 0.5
dove tpeak è espresso in unità di lunghezze di radiazione ([39], pag. 61). In
figura 3.9 si mostra l’andamento di tpeak /0.74, pari al piano del calorimetro
corrispondente alla profondità tpeak , in funzione dell’energia della particella
incidente. L’andamento è in buon accordo con quanto visto nelle simulazioni
Figura 3.9: Il piano di massimo rilascio in funzione dell’energia di un elettrone
incidente.
mostrate in figura 3.10, dove si grafica il profilo longitudinale per elettroni
incidenti di varie energie.
Il calorimetro può quindi ben visualizzare, sebbene non contenere, sciami
prodotti da elettroni incidenti con energia che supera il TeV.
Lunghezza d’interazione
La lunghezza di interazione per il tungsteno è di λint = 9.6cm; il calorimetro,
con i suoi 22 piani di tungsteno spessi 0.26 cm, ha una profondità pari a 0.6 λint .
3.4. SISTEMA DELL’ANTI-COINCIDENZA
85
Figura 3.10: Sviluppo longitudinale dello sciame per varie energie di elettroni
incidenti ([6], pag. 417).
Di conseguenza, ci si aspetta che, mediamente, un adrone non interagisca o,
al più, lo faccia ad una certa profondità per cui ci sarà una topologia nel rilascio dell’energia ben diversa tra la parte precedente e successiva al punto
di interazione. Una certa attenzione merita il π0 , dato che decade elettromagneticamente, in 0.08 f s, in 2 γ, per cui potrebbe iniziare una cascata di tipo
elettromagnetico indistinguibile se prodotto nello scintillatore S3 o nel primo
piano del calorimetro.
3.4
Sistema dell’anti-coincidenza
Il trigger di PAMELA si basa sulla rilevazione del passaggio di una particella
per una combinazione, selezionabile, di scintillatori del TOF. Si verifica che
molti dei trigger così generati non sono dovuti al passaggio di un raggio cosmico primario nell’accettanza di PAMELA ma a particelle secondarie, prodotte
dall’interazione di una particella provenienti da direzioni diverse da quelle
accettate. Il sistema dell’anti-coincidenza (AC) serve, quindi, ad individuare e
rigettare le particelle che interagiscono con l’apparato generando falsi trigger.
La figura 3.11 mostra, in sintesi, un buon trigger, un falso trigger senza attività
in AC e un buon trigger con attività in AC.
L’AC è composta da vari scintillatori plastici, distinti in due sottosistemi. Il
primo è composto dai quattro scintillatori detti CAS, che circondano i quattro
lati del magnete, e da CAT, che ricopre il bordo superiore del magnete. Il
secondo sottosistema è quello formato dai quattro scintillatori detti CARD, che
circonda lo spazio compreso tra S1 ed S2, il primo ed il secondo scintillatore del
TOF. I fotoelettroni prodotti dal passaggio di una particella carica sono rilevati
da vari tubi fotomoltiplicatori; in totale ce ne sono 24, divisi su due schede di
acquisizione, una per ogni sottosistema.
L’informazione fornita da ogni scintillatore dell’AC è il numero di conteggi
86
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Figura 3.11: Rappresentazione schematica di tre possibili situazioni generate
da un protone interagente con PAMELA. A sinistra: il protone genera un
vero trigger e non produce alcun segnale nell’AC. Al centro, il protone entra
dal lato, prodce un falso trigger ed un segnale nell’AC. A destra, un protone
genera un trigger corretto ma anche segnale in AC a causa del backscattering
dal calorimetro.
di particelle durante il trigger che rilasciano energia superiore ad una soglia
minima.
3.5
Rivelatore di neutroni
Nella parte più bassa di PAMELA e immediatamente sotto S4, si trova il
rivelatore di neutroni (ND), mostrato in figura 3.12.
Il suo scopo principale è aiutare il calorimetro nella discriminazione tra
interazioni adroniche ed elettromagnetiche. Dato che viene anche registrato il
numero di neutroni misurati tra un evento e il successivo, può essere impiegato
per eseguire misure del fondo di neutroni.
IL ND consiste in 36 contatori proporzionali fatti con dei tubi riempiti di 3 He
e circondati da polietilene. Nella parte superiore la profondità del polietilene è
di 2g/cm2 , nella parte superiore di 6g/cm2 ([63]). Su tutte le facce del ND, tranne
che su quella rivolta verso il calorimetro, è posto un sottile strato di cadmio
dello spesso di 0.5mm ([63]). I contatori sono divisi equamente su due piani e
orientati lungo la vista y del sistema di coordinate di PAMELA. Le dimensioni
del rivelatore sono (60 × 55 × 15)cm3 e ha una massa di 30kg ([28]).
3.5.1
Principi di rilevazione
Il meccanismo fisico alla base della rilevazione è la cattura del neutrone da
parte dell’3 He e la sua successiva disintegrazione:
n +3 He = p +3 H + 756keV.
(3.1)
Il protone ed il trizio provocano quindi la ionizzazione dell’3 He e si produce
una valanga di elettroni verso l’anodo presente ad una delle due estremità del
3.5. RIVELATORE DI NEUTRONI
87
Figura 3.12: Il rivelatore di neutroni. È stata tolta la copertura superiore di
polietilene ed è visibile il primo piano di tubi contenenti 3 He e l’elettronica di
acquisizione.
tubo. La sezione d’urto di questa reazione, come in generale tutte le reazioni
di cattura di neutroni, segue l’andamento σ ∝ 1/v, dove v è la velocità del
neutrone. In pratica, è significativa (oltre 5000 barns [63]) solo per neutroni
termici, quindi energie dell’ordine di E = kT 1/40eV. Per questo motivo si
rende necessario un moderatore che rallenti i neutroni veloci o di alta energia
fino ad energie termiche. Attorno al ND esiste quindi uno spessore di 9.5cm
di polietilene che riesce a fornire un’efficienza di rilevazione di circa il 10% per
neutroni di energia iniziale inferiore al MeV. La pellicola di cadmio attorno al
ND, tranne che sulla faccia rivolta verso il calorimetro, ha lo scopo di bloccare
i neutroni termici e far passare solo quelli veloci o di alta energia; questo evita
che si sovrapponga al conteggio di neutroni di alta energia, rallentati ad energie
termiche, quello di neutroni di energia termica già prima di entrare nel ND.
I neutroni sono prodotti, principalmente, dalla spallazione dei nuclei di
tungsteno nel calorimetro nel caso di adroni incidenti (per lo più p e π); una
minoranza posso essere prodotti da risonanza gigante o fotofissione nucleare
conseguenti all’interazione di leptoni.
3.5.2
Contributo alla discriminazione di sciami adronici ed
elettromagnetici nel calorimetro
Sia uno sciame adronico che uno sciame elettromagnetico possono produrre
neutroni ma il loro numero è, in generale, maggiore per sciami adronici. In
figura 3.13 si mostra il risultato di una simulazione sul numero di neutroni
prodotti da elettroni (in alto) o protoni (in basso), entrambi di energia pari a
500GeV, in funzione della profondità di tungsteno attraversato [28, 39].
Si nota che è fondamentale la correlazione tra il numero di neutroni rilevato
e il punto di interazione nel calorimetro per distinguere i due tipi di sciame.
Nei cosiddetti eventi electron like, l’adrone interagisce nei primi piani del
calorimetro creando uno sciame; in questo caso, la distribuzione longitudinale
della cascata non aiuta nella discriminazione ma si puo osservare la distribuzio-
88
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Figura 3.13: In alto, il numero di neutroni prodotti da elettroni di 500GeV
nel calorimetro in funzione della profondità attraversata. In basso, il grafico
analogo per protoni della stessa energia. Sono mostrati i diversi contributi
dovuti ai possibili processi di produzione. [28]
ne trasversale, considerando che le cascate elettromagnetiche sono contenute
entro due raggi di Molière. Il ND dà un ulteriore contributo nella discriminazione grazie ad una rapporto quasi pari a 100 tra il numero di neutroni prodotti
da un evento electron like rispetto a quelli prodotti da un elettrone, come si vede
dal risultato di una simulazione mostrato in figura 3.14.
3.6
Il fattore geometrico
Il flusso differenziale in energia j(E) è definito come il numero di particelle
dN(E) per unità di area dA, di angolo solido dΩ, intervallo di energia del
rilevatore dE, ed unità di tempo dt:
j(E) =
dN(E)
dA dΩ dE dt
[cm−2 sr−1 s−1 GeV −1 ]
Il fattore geometrico è un numero, in unità di superficie ed angolo solido, per il quale è necessario dividere un tasso di conteggi Ṅ per ottenere il
flusso integrale, in particelle/cm2 sr−1 s−1 , o, equivalentemente, per il quale è
necessario dividere un tasso differenziale di conteggi Ṅ(E) per ottenere il flusso
differenziale, in particelle/cm2 sr−1 s−1 GeV −1 .
89
3.6. IL FATTORE GEOMETRICO
Figura 3.14: Numero di neutroni prodotti da un elettrone e da un protone electron like, cioè interagente nei primi piani del calorimetro, in funzione
dell’energia della particella incidente.
In generale, il numero di conteggi N(E) può dipendere, in maniera complessa, dal tipo di particella, dalla direzione e dal punto di incidenza, dall’efficienza
di rivelazione e dal tempo,oltre che dall’energia. Semplificando, si può porre
pari ad 1 l’efficienza, considerare il flusso indipendente dalla direzione, dal
punto d’incidenza e dal tempo; si ottiene la semplice espressione del fattore
geometrico:
Z
G=
Ω
Z
d~σ · r̂
dΩ
(3.2)
S
dove d~σ · r̂ è l’elemento di area effettivo visto dall’angolo dΩ.
Per il trigger di Pamela si deve, invece, considerare la presenza di un campo
magnetico che devia le particelle, in funzione della loro rigidità, punto e direzione di incidenza, permettendo o meno che esse raggiungano lo scintillatore
S3, condizione necessaria per il trigger dell’evento.
Per una trattazione più formale e dettagliata si rimanda all’appendice A. Qui
ci si limita a mostrare i valori dei fattori geometrici di vari rivelatori, nonché
del trigger principale di Pamela.
Nella tabella A.1 si riportano alcuni fattori geometrici calcolati per vari
rivelatori. Si assume che il flusso sugli scintillatori provenga principalmente
dall’alto e che il flusso del fondo di neutroni provenga solo dai lati e dal fondo
del rivelatore di neutroni.
In figura 3.15 si mostra il fattore geometrico relativo al trigger principale
di PAMELA, in funzione della rigidità, per particelle di carica positiva ed in
figura 3.16 per particelle di carica negativa. Si può notare come sia all’incirca
costante, pari a (21.61 ± 0.04)cm2 sr, ad alte rigidità perché la deflessione è bassa
e, conseguentemente, quasi tutte le particelle incidenti su traiettorie rientranti
nel magnete arrivano su S3.
90
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Dimensioni
G(cm2 sr)
S1
(40.8 × 33)cm2
4229.84
(5.1 × 33)cm2
528.70
S111A (paddle relativa)
S2
(18 × 15)cm2
848.23
”
”
S3
S1 AND S2
–
276.55
Rivelatore di neutroni
(60 × 55 × 15) cm3 31573 cm2 sr
Tabella 3.2: Fattori geometrici di vari rivelatori. Per S1, S2, S3, S111A ed S1
AND S2 il fattore geometrico si riferisce al solo flusso proveniente dall’alto.
Figura 3.15: Fattore geometrico in cm2 sr in funzione della rigidità in GV/c per
particelle di carica positiva provenienti dall’alto.
3.7. TEST CON MUONI A TERRA
91
Figura 3.16: Fattore geometrico in cm2 sr in funzione della rigidità in GV/c per
particelle di carica negativa provenienti dall’alto.
3.7
Test con muoni a terra
PAMELA ha subito, prima del lancio, una lunga fase di test con la rilevazione
di muoni a terra. Questi sono prodotti in quantità dal decadimento di mesoni
carichi ad elevata altitudine ma riescono a raggiungere il livello del mare prima
di decadere. Positroni ed elettroni, sebbene molto abbondanti nello sviluppo
degli sciami elettromagnetici nell’atmosfera perdono presto la loro energia, per
ionizzazione nell’interazione con l’atmosfera, appena la loro energia scende
sotto quella critica, a circa 81 MeV.
PAMELA è stato, quindi, testato con i muoni nei laboratori dell’Università
di Roma Tor Vergata, per un totale di 480 ore di acquisizione dati. È stato così
possibile calibrare i sottorilevatori e controllare il funzionamento complessivo
dello strumento.
In figura 3.17 si mostra un evento tra quelli registrati. La probabilità che sia
un muone è elevata dato che non interagisce con il calorimetro. Lo spettrometro
magnetico ne misura la deflessione: l’inverso del modulo è la rigidità, pari a
1.5 GeV per quest’evento, e il segno della deflessione è legato alla carica, in
questo caso positiva. Si tratta dunque di un µ+ .
Molte misure di rigidità e carica dei muoni permetto di misurare l’andamento, a terra, del rapporto µ+ /µ− in funzione del momento. I dati di PAMELA,
mostra in figura 3.18, sono consistenti con altri risultati sperimentali con il fit
del 2002 dei dati sperimentali di Hebbeker e Timmermans [?].
92
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Figura 3.17: La rilevazione di un muone da parte di PAMELA.
Particella
Intervallo energetico
Antiprotoni
80 MeV − 190 GeV
Positroni
50 MeV − 270 GeV
Elettroni
50 MeV − 400 GeV
Protoni
80 MeV − 700 GeV
Elettroni+positroni
up to 2 TeV
Nuclei leggeri (fino a Z = 6)
100 MeV/n - 700 GeV/n
Antinuclei
sensibilità di 10−7 in H̄e/He
Tabella 3.3: Capacità osservative di PAMELA.
3.8
Capacità osservative
Le alte latitudini raggiunte corrispondono a bassi valori del cutoff geomagnetico
e permettono, quindi, di rilevare raggi cosmici primari di rigidità inferiore ad
1 MV/c, al di sotto delle capacità osservative dell’apparato. La precessione del
perigeo di circa 1.3◦ al giorno permette di esplorare la magnetosfera a tutte le
altitudini (350−610 km) in ogni punto compreso tra −70◦ S e +70◦ N in latitudine.
PAMELA è in grado di estendere il limite superiore di energia dello spettro
di particelle e antiparticelle misurato al di sopra dell’atmosfera. I dati attuali si
basano, essenzialmente, solo su voli con pallone.
La tabella 3.3 mostra gli obiettivi di progetto di PAMELA riguardo gli
intervalli di energia in cui sarà possibile rilevare particelle.
3.8. CAPACITÀ OSSERVATIVE
93
Figura 3.18: La rilevazione di un muone da parte di PAMELA durante i test a
terra.
La figura 3.19 illustra la collocazione dell’intervallo di energie osservabile
da PAMELA rispetto alle energie delle varie popolazioni di particelle presenti
nell’eliosfera. L’apparato, dato l’obiettivo principale, si spinge verso le più alte
energie rilevabili (nello spazio) dello spettro di raggi cosmici galattici, ma è
in grado di osservare, parzialmente, molti altri fenomeni: la parte di più alta
energia delle particelle energetiche solari o il limite superiore dello spettro dei
raggi cosmici anomali. Non visibili in figura, perché l’intensità del flusso è
molto minore, gli elettroni emessi dalla magnetosfera di Giove coprono energie
che vanno dal keV fino a 2 TeV, a seconda del meccanismo di accelerazione
subito (della loro rivelazione grazie a vari effetti di modulazione si è parlato nel
paragrafo 1.4). Le particelle intrappolate nella magnetosfera terrestre coprono
un intervallo di energia che va da meno un keV fino a qualche decina di MeV.
Nel capitolo 5.1 si mostreranno alcune misure di flussi integrali effettuate tramite gli scintillatori posti nella parte superiore dell’apparato, che si dimostrano
sensibili ad energie inferiori a quelle appena indicate.
94
CAPITOLO 3. L’APPARATO PAMELA
Figura 3.19: Intervallo di energia su cui PAMELA può effettuare misure.
Capitolo 4
Performance in volo
La performance in volo
PAMELA è stato lanciato il 15 giugno 2006 ed acceso per la prima volta il 21
giugno per controllare l’assenza di problemi in seguito al lancio. Dopo la fase
di commissionamento del satellite, l’apparato è stato acceso l’11 luglio 2006 e,
da allora, ha acquisito dati per la quasi totalità del tempo.
A maggio 2007 il tempo totale di acquisizione è di 270 giorni per un totale
di 570 milioni di eventi e 4.6 TByte di dati raw. Più volte al giorno il satellite
trasmette i dati raccolti da PAMELA al Research Center for Earth Operative
Monitoring (NTs OMZ) di Mosca, per un totale di circa 14 GByte di dati al
giorno, che qui subiscono un primo processamento per il controllo (quicklook)
dello stato dei vari rivelatori. Vengono poi trasferiti alle varie istituzioni che
fanno parte della collaborazione per subire ulteriori fasi di processamento ed
infine essere analizzati.
La figura 4.1 presenta, per alcune orbite, la rate di acquisizione di PAMELA
sul planisfero geografico. Usando vari mesi di dati si può ottenere un grafico
come in figura 4.2. La rate di acquisizione dipende dalla configurazione di trigger, gestibile da terra, che viene cambiata a seconda delle condizioni ambientali
(equatore, poli o passaggio nell’anomalia del Sud Atlantico). Si può notare
come ai poli la rate di acquisizione sia maggiore dato che il cutoff geomagnetico è minore e, di conseguenza, è maggiore il flusso di raggi cosmici galattici.
Nel passaggio all’interno dell’anomalia del Sud Atlantico, all’incirca sopra il
Brasile, la rate aumenta sensibilmente per la presenza di protoni intrappolati
nella fascia interna di radiazione di energia superiore a quella necessaria al
trigger dell’apparato (80 MeV). Il tempo vivo dell’apparato, cioè il tempo non
impiegato nelle operazioni di lettura ed acquisizione degli eventi, è pari a circa
il 70% del tempo totale [46].
Per meglio illustrare il funzionamento di PAMELA, da figura 4.3 a 4.8 si
mostrano alcuni tipici eventi. Si rimanda alle didascalie per i dettagli sui
meccanismi di rilevazione e discriminazione.
Grafici simili a quelli di figura 4.2, con tassi di conteggio di vari rilevatori
e su intervalli temporali molto maggiori, sono mostrati da figura 4.9 a figura
4.12.
La misura della carica in PAMELA può essere fatta con vari strumenti. Il
95
96
CAPITOLO 4. PERFORMANCE IN VOLO
Figura 4.1: Tasso di acquisizione degli eventi in funzione di latitudine e longitudine geografiche per qualche orbita del 18 giugno 2007. Muovendosi lungo
l’orbita, PAMELA acquisisce dati in diverse condizioni ambientali. Qui si nota
l’effetto latitudinale dovuto all’abbassamente del flusso di raggi cosmici all’equatore, a causa del cutoff geomagnetico; l’aumento del flusso nell’anomalia
del Sud Atlantico e, con un colore verde accesso, le fasce di elettroni circa a
20◦ W 60◦ N e a −160◦ E − 50◦ S.
Figura 4.2: Rate di acquisizione di PAMELA in fuzione di latitudine e
longitudine geografica. Il grafico si riferisce a diversi mesi di dati.
97
Figura 4.3: Un protone di rigidità 14.4 GV/c misurata dalla deflessione della
traccia all’interno dello spettrometro. Il passaggio della particella è rilevato
dai tre scintillatori che compongono il sistema del tempo di volo, posti in alto
all’apparato (S1) e immediatamente prima (S2) e dopo (S3) lo spettrometro
magnetico. Nel calorimetro non c’è interazione adronica e l’unica energia
rilasciata è quella per ionizzazione delle strip di silicio. Non si rilevano neutroni.
sistema del tempo di volo può misurarla tramite la rilevazione dell’energia
depositata nel passaggio attraverso gli scintillatori S1, S2 ed S3. In figura 4.13 si
mostra, per una selezione di eventi, l’energia depositata nel secondo piano dello
scintillatore S1, in MIP, in funzione della velocità della particella rilevata con la
misura del tempo di volo. In modo analogo, i sei doppi piani di silicio del tracker
rilevano l’energia depositata per ionizzazione dal passaggio della particella. La
si mostra, in funzione della rigidità, in figura 4.14. La risoluzione del tracker
nella rilevazione della carica è limitata dall’estensione laterale del deposito
di carica sul piano di silicio, approssimativamente proporzionale all’energia
rilasciata, quindi a Z2 per particelle relativistiche; essendo ottimizzato alla
rilevazione di nuclei di carica Z = 1, satura a circa 16 mip di energia depositata.
Infine, ulteriore misura di carica può essere ottenuta dal calorimetro, prestando attenzione a considerare la sola parte del percorso nel calorimetro stesso
precedente l’eventuale punto di interazione adronica del nucleo. In figura 4.15
si mostra il valore di energia depositata, calcolato considerando la media dei
tre valori più bassi di energia depositata nel singolo piano prima del punto
di interazione, in funzione della rigidità. Dall’alto si distinguono: ossigeno,
azoto, carbonio, boro, berillio, litio.
Il sistema del tempo di volo (ToF) fornisce una misura della velocità della
particella che attraversa due o più dei tre piani S1, S2 ed S3. La possibilità di
98
CAPITOLO 4. PERFORMANCE IN VOLO
Figura 4.4: Protone di rigidità 36 GV/c interagente nel calorimetro. Si nota
il punto di interazione nella parte alta del calorimetro. Nell’interazione si
producono i neutroni rilevati dal neutron detector.
Figura 4.5: Elettrone di rigidità 500 GV/c interagente nel calorimetro. Si nota come la cascata elettromagnetica sia geometricamente diversa da quella adronica
ed il maggiore rilascio di energia è contenuto intorno alla traccia. Nell’interazione si produce qualche neutrone, probabilmente da risonanza gigante o
fotofissione dei nuclei di tungsteno.
99
Figura 4.6: Un elettrone ed un positrone di bassa energia, quindi molto deflessi
dal campo magnetico del tracker. Il campo magnetico è uscente dal foglio,
quindi l’elettrone dall’alto curva verso destra ed il positrone verso sinistra.
Data l’energia, entrambe le particelle vengono del tutto assorbite nei primi
piani di tungsteno del calorimetro.
Figura 4.7: Antiprotone di rigidità 15 GV/c. Si distingue da un protone non
interagente dalla opposta deflessione nel tracker.
100
CAPITOLO 4. PERFORMANCE IN VOLO
Figura 4.8: Un evento acquisito attraverso l’autotrigger del calorimetro. Il
neutron detector conta 26 neutroni.
avere più misure indipendenti da vari tubi fotomoltiplicatori e della posizione
di passaggio della particella tramite il fit ottenuto dal tracker, permette di
stimare la risoluzione dello strumento. Le analisi preliminari mostrano una
risoluzione data dalla misura dei tempi di passaggio tra un piano di S1 ed
un piano di S3 di circa 357 ps per i protoni; la possibilità di avere 12 misure
di velocità, utilizzando i 6 piani del ToF disponibili, riduce l’errore [49]. La
risoluzione aumenta con nuclei con Z > 1, data la maggiore intensità e il minor
tempo di salita del segnale oltre la soglia del discriminatore.
Le particelle non incidenti entro l’accettanza dell’apparato sono identificate
tramite il sistema di anticoincidenza. Tale apparato mostra di conservare in
volo le prestazioni nominali, come risulta, ad esempio, dall’osservazione della
rate di conteggi in funzione del tempo, mostrata in figura 4.16, che presenta
l’andamento atteso.
Le capacità di discriminazione tra adroni e leptoni del calorimetro sono
state valutate tramite test su fasci al CERN e tramite simulazioni Monte Carlo.
I dati di volo si mostrano in buon accordo sia con i test su fascio che con le
simulazioni. I risultati ottenuti indicano che è possibile raggiungere un fattore
di reiezione per la selezione di protoni di almeno 105 a rigidità di 10 GV/c,
mantenendo, al contempo, un’efficienza del 90% nella selezione di elettroni
[44].
101
Figura 4.9: Considerando gli andamenti in funzione di latitudine e longitudine
su tempi lunghi, quindi su varie orbite, si creano mappe che coprono l’intero
planisfero. Se ne espongono alcune. Qui si mostra il tasso di conteggi di un
segmento del piano superiore dello scintillatore S1, posto al di sopra dell’apparato. È sensibile alle particelle di più bassa energia ed è colpito, oltre che
dai protoni dell’anomalia del Sud Atlantico (sopra il Brasile), dagli elettroni
intrappolati nella fascia esterna, visibili sia verso il polo sud che verso il polo
nord.
102
CAPITOLO 4. PERFORMANCE IN VOLO
Figura 4.10: Tasso delle coincidenze tra S11 ed S12. La soglia di energia minimaè più elevata rispetto alla figura 4.9: 3.5 MeV per gli elettroni e 36 MeV per
i protoni. Dal confronto con la figura precedente si nota la parziale perdita di
sensibilità per gli elettroni delle fasce esterne e l’assenza di variazioni significative nella fascia interna di protoni, indice del fatto che il massimo del picco
di protoni non è inferiore a 36 MeV.
Figura 4.11: Tasso delle coincidenze tra tutti i piani del sistema del tempo di
volo. La soglia di energia è ancora più elevata rispetto alle figure precedenti::
50 MeV per gli elettroni ed 80 MeV per i protoni. La fascia esterna di elettroni e
la parte più esterna della fascia interna di protoni non sono più visibili.
103
Figura 4.12: Tasso di conteggi del rilevatore di neutroni. Si nota l’effetto latitudinale, dovuto alla variazione del flusso dei raggi cosmici a causa del cutoff
geomagnetico, e l’incremento nell’anomalia del Sud Atlantico, sopra il Brasile,
dovuto alla presenza dei protoni intrappolati nella fascia interna di radiazione.
Figura 4.13: Discriminazione della carica ottenuta con uno degli scintillatori del
piano S12. La perdita di energia, in MIP, è mostrata in funzione della velocità
rilevata con il tempo di volo. Le curve rappresentano il comportamento teorico
della perdita di energia di ogni particella in funzione della velocità [45].
104
CAPITOLO 4. PERFORMANCE IN VOLO
Figura 4.14: Perdita di energia per ionizzazione nel tracker in funzione della
rigidità [45].
Figura 4.15: Perdita per ionizzazione nel calorimetro in funzione della rigidità
misurata dallo spettrometro [45].
105
Figura 4.16: Rate dei conteggi dello scintillatore CAS1 del sistema di
anticoincidenza in funzione del tempo. [47].
106
CAPITOLO 4. PERFORMANCE IN VOLO
Capitolo 5
Primi dati sui raggi cosmici
Le misure di PAMELA dipendono fortemente dall’ambiente in cui opera, la
magnetosfera terrestre, all’interno della quale si muove con un’orbita bassa e
semi-polare. Le osservazioni dei raggi cosmici galattici dipendono dal cutoff
geomagnetico; una significativa delle particelle rilevate, sia tramite le acquisizioni con trigger che tramite i conteggi degli scintillatori, si devono alle diverse
popolazioni di particelle intrappolate nella magnetosfera; l’interazione delle
particelle primarie con l’atmosfera produce particelle di albedo che possono
colpire l’apparato sia dal basso (splash albedo) che dall’alto (reentrant albedo), se
deviati dal campo geomagnetico. Una descrizione qualitativa di questi aspetti
può essere fornita tramite l’utilizzo di alcune tra le molte misure fatte dai vari
strumenti che compongono PAMELA.
In figura 5.1 si mostra, per un insieme di 107 eventi, la rigidità misurata dallo
spettrometro in funzione del cutoff stimato come 14.9/L2 GV/c. La rigidità è
positiva per particelle positive (quadrante superiore) e negativa per particelle
negative (quadrante inferiore). Data la definizione di cutoff in un punto quale
rigidità minima necessaria ad una particella carica per raggiungere quel punto, ci si attende che i raggi cosmici galattici si trovino sopra la diagonale del
quadrante superiore del grafico e sotto quella del quadrante inferiore. Il basso
numero di eventi nel quadrante inferiore è dovuto al fatto che la più abbondante componente di carica negativa dei raggi cosmici primari è costituita da
solo il 2% circa di elettroni. La componente di eventi sub-cutoff, che si trova
costantemente a tutti i cutoff e a bassi valori di rigidità, è costituita, in gran
parte, da protoni intrappolati nella fascia interna di radiazione, incontrata in
corrispondenza della anomalia del Sud Atlantico (SAA). Si evidenzia il punto
di massima intensità del flusso misurato in SAA.
In figura 5.2 si mostra, per 4×105 eventi, la velocità β misurata dal sistema del
tempo di volo (TOF) in funzione della latitudine geografica ottenuta attraverso
il propagatore orbitale SGP4, mentre sulla scala di colore si mostra la rigidità.
Per β positivo è ben evidente l’effetto del cutoff geomagnetico che impedisce
alle particelle di bassa energia di accedere alle zone equatoriali dell’orbita di
PAMELA. La notevole zona centrale, con latitudini all’incirca comprese tra
−60◦ W e −10◦ W e rigidità basse, è la SAA. Gli elettroni, già relativistici a
basse rigidità, sono in larga parte concentra nelle zone |β ≈ 1 e sono assenti
dall’anomalia dalla SAA, dominata da protoni alle energie qui considerate.
Anche per β < 0 si può distinguere una maggiore concentrazioni di eventi in
107
108
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.1: Rigidità misurata in funzione del cutoff stimato.
Figura 5.2: Velocità (β) misurata dal sistema del tempo di volo in funzione della
latitudine geografica. Sulla scala di colore, la rigidità
SAA mentre è poco evidente il cutoff geomagnetico dato che i raggi cosmici
galattici hanno, quasi sempre, β > 0.
5.1
Misure a bassa energia
Le energie minime osservabili da Pamela sono, secondo le specifiche di progetto, 50 MeV per elettroni e positroni e 80 MeV per i protoni; sono calcolate
sulla base della rigidità minima rilevabile dallo spettrometro magnetico, data
la sua geometria ed il suo campo magnetico. In questo capitolo si analizza
la possibilità di estensione verso il basso dell’intervallo di energia osservabile,
facendo uso dei conteggi degli scintillatori posti al di sopra dello spettrometro.
Avendo a disposizione due piani per ognuno dei tre scintillatori S1, S2, S3, si
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
109
possono utilizzare i conteggi per stimare il flusso integrale di particelle a partire
dall’energia necessaria a riaggiungere ciascuno dei piani.
Pamela, nella sua orbita bassa, incontra sia la fascia esterna di radiazione
composta da elettroni che quella interna composta principalmente da protoni,
descritte nel paragrafo 2.4. Sono composte da particelle di energie in gran parte
infieriori a 100 MeV per la fascia interna e a pochi MeV per la fascia esterna.
L’estensione delle capacità osservative verso il basso permette di aumentare in
maniera significative la frazione di particelle intrappolate osservabile.
5.1.1
Flussi stimati con i conteggi di piano
La scheda di trigger acquisisce i conteggi di tutti i fotomoltiplicatori (PMT) del
sistema del tempo di volo (TOF) in modo asincrono rispetto all’acquisizione
degli eventi. Il passaggio della particella nel materiale scintillatore è trasformato
dal PMT in un segnale in corrente che viene poi convertito in una forma d’onda
di durata fissa di 120 ns; questa giunge ad un FPGA che incrementa il contatore
di singolo piano (quello a cui appartiene il PMT) e controlla la coincidenza di
più segnali dai vari PMT per incremenetare i relativi contatori.
Le coincidenze dei conteggi su più piani vengono utilizzate per controllare il
verificarsi di una delle condizioni di trigger richieste e far partire l’acquisizione,
nel caso in cui rivelatori non siano in stato busy. Alcuni di questi dati vengono
letti e memorizzati contestualmente all’acquisizione di un evento.
Nel dettaglio, le informazioni registrate sono:
• i conteggi di ciascuno dei 48 PMT del ToF, su base 1s.
• per ciascuno dei tre piani del TOF, il numero delle coincidenze tra conteggi
sulle due viste del piano, su una base di 60ms;
• il numero di coincidenze, su base di 4s, tra conteggi sui piani che soddisfano le seguenti configurazioni di trigger:
1. (S11 + S12) ∗ (S21 + S22) ∗ (S31 + S32)
2. (S11 ∗ S12) ∗ (S21 ∗ S22) ∗ (S31 ∗ S32)
3. (S21 + S22) ∗ (S31 + S32)
4. (S21 ∗ S22) ∗ (S31 ∗ S32)
5. S12 ∗ (S21 ∗ S22)
6. (S11 + S12) ∗ (S31 + S32)
7. (S11 ∗ S12) ∗ (S31 ∗ S32)
dove la notazione S12, ad esempio, sta ad indicare la vista 2 dello scintillatore S1 (vedi bfigura 3.5). Di qui in avanti si indicherà con S1 l’insieme
dei due piani S11 e S12, con S2 l’insieme dei piani S21 e S22 e con S3
l’insieme dei piani S31 e S32;
• il numero di conteggi di S4 su base 4s;
In questa sezione ci si concentrerà sui flussi stimati a partire dai conteggi
delle coincidenze tra S11 e S12, tra S21 ed S22 e tra S31 ed S32 e su un singolo
fotomoltiplicatore a caso del piano S11, S111A, che si trova all’estremita sinistra,
110
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.3: Rate di conteggi in 60ms per l’AND tra i piani S11 e S12. A sinistra
il dato misurato che mostra l’overflow a 4095 durante un passaggio nella SAA;
a destra lo stesso plot corretto per l’overflow.
verso y negative, della prima paddle del piano, verso x negative (vedi figura
3.5). S1 è lo scintillatore che vede le particelle di più bassa energia dato che si
trova nella parte superiore dell’apparato ed essendo questo separato dall’ambiente esterno dal solo spessore di alluminio di 2mm che racchiude Pamela. S2
si trova 20cm più in basso di S1 e la soglia d’energia necessaria per raggiungere
questo scintillatore è più elevata. S3 si trova sotto il tracker, al di sopra del
calorimetro, ed è soggetto ad un flusso minore di particelle. Il singolo fotomoltiplicatore S111A ha la stessa soglia di minima energia del piano S11, più bassa
rispetto a quella del piano sottostante S12, che è equivalente a quella dell’AND
dei piani S11*S12.
Correzione dell’overflow
La massima dinamica di alcuni contatori è limitata a 12 bit con overflow quando
si conta più di 4095. Ciò nonostante, spesso il range dinamico disponibile è
abbastanza ampio da poter facilmente individuare una derivata positiva o
negativa nell’andamento temporale di un contatore e da poter escludere un
doppio overflow tra un conteggio e il successivo. Questa è la situazione, ad
esempio, della rate di conteggi dei piani S1, S2, S3.
La figura 5.3, a sinistra, mostra i conteggi simultanei in S11 e S12 in intervalli
di 60ms, per un passaggio nell’anomalia del Sud Atlantico (SAA) seguito da
quello in una fascia di elettroni; si nota l’evidente saturazione a 4096 conteggi.
A destra si applica una correzione all’overflow e si vede che i conteggi effettivi
sono più alti di oltre un fattore dieci. La correzione è fatta sull’ipotesi che, dato
un range dinamico ∆, un conteggio inferiore a 14 ∆ è in overflow se il precedente
è superiore a 34 ∆; analogamente un conteggio superiore a 34 ∆ è in “underflow”
se il precedente è inferiore a 14 ∆. Per underflow si intende la situazione in cui
si verfica, per un evento all’istante t, l’arrivo di n × 4096 + c, con c < 1024, che
viene letto come m per via di n overflow, e, all’istante t+1, l’arrivo di un numero
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
111
inferiore di particelle (n − 1) × 4096 + d, con d > 3072, che viene letto come d a
causa di n − 1 overflow. La situazione appare molto più semplice se la si vede
come un “overflow verso il basso”.
Questo algoritmo porta a compiere errori superiori a ∆ e, nella maggior parte
dei casi, in direzione contraria all’andamento del contatore, nel caso in cui ci
siano oscillazioni nei conteggi superiori a ∆/2. Durante quest’analisi si è notato
il verificarsi di tale problema per i conteggi di S111A nella SAA; esso, infatti,
è l’elemento sensibile alle più basse energie, i suoi conteggi sono superiori a
quelli di S12, S32 o S32, ma, soprattutto, il flusso di particelle di bassa energia
può salire o scendere troppo velocemente. Si è quindi deciso di “accendere” la
correzione solo all’interno della SAA, definita come la zona dell’orbita in cui
il valore del modulo del campo magnetico terrestere è inferiore a 0.212 gauss.
La conseguenza è che, nei flussi mostrati di seguito, può non essere del tutto
corretto il gradiente del flusso al bordo della SAA, cioè il modo in cui si mostra
la salita e la discesa del flusso di S111A in entrata ed in uscita del satellite dalla
SAA. Si noterà nel seguito, in figura 5.7, che la differenza tra il flusso su S111A
(pari all’incirca a quello su S11) e S11*S12 (pari all’incirca a quello su S12) è
piccola ovunque, come ci si aspetta visto che S11 è immediatamente sopra S12,
e rimane piccola anche al bordo della SAA; questo fa supporre che l’errore
commesso sia piccolo.
Flussi corretti per l’overflow
Con la correzione appena illustrata, si mostrano in figura 5.4 le rate, in Hz, dei
conteggi contemporanei nelle due viste x e y di ognuno dei tre piani del TOF,
cioè S11*S12, S21*S12, S31*S32, e del PMT S111A. I conteggi al secondo sono
Figura 5.4: Rate dei conteggi dei tre scintillatori del ToF.
calcolati mediando su di un intervallo 20s i dati della trigger board, che sono
relativi al numero di conteggi in un intervallo di 60ms.
Le orbite relative a questo grafico sono quelle in figura 5.5, dove è mostrata,
sulla scala di colore, la rate dei conteggi di S1. Questa è tagliata sia in alto che
in basso per visualizzare la variazione del flusso nelle fasce di elettroni; infatti,
tale variazione è di circa un fattore 8 per S111A rispetto al flusso esterno alla
fasce e non sarebbe ben visibile visualizzando la variazione di flusso nella SAA,
che arriva ad un fattore 200.
112
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.5: Rate di acquisizione, in Hz, in funzione di latitudine e longitudine
geografica.
Emin e−
Emin p
S11
2 MeV
20 MeV
S12 3.5MeV 36 MeV
S22 9.5 MeV 63 MeV
S32 50 MeV 80 MeV
Tabella 5.1: Energia minima necessaria protoni o elettroni per raggiungere vari
piani del TOF.
In tabella 5.1 si elencano soglie minime di energia perché un protone possa
raggiungere ciascun piano del TOF. I risultati sono ottenuti da simulazioni
Monte Carlo di protoni incidenti dall’alto sull’apparato, considerando anche
l’involucro esterno di alluminio, spesso 2 mm, all’interno del quale è alloggiata
Pamela. Spostandosi dall’alto verso il basso si alza, quindi, la soglia di energia
di ogni elementeo del TOF. S111A ha la stessa soglia di S11, facendo parte di
quel piano; l’AND di S11 ed S12 ha la stessa soglia di S12 e così per S21*S22 ed
S31*S32.
I due notevoli picchi nel flusso sono due passaggi nella SAA, dove si trovano
in gran parte protoni di bassa energia della fascia interna di Van Allen, che
presentano un flusso massimo pari a circa 8protoni/(cm2 s MeV) all’energia di
circa 30MeV ([67], pag. 78). Per le misure del flusso di protoni in SAA si rimanda
al capitolo 5.5. Le energie sono abbastanza basse da permettere di differenziare
notevolemente i flussi sui tre scintillatori. Le fasce di elettroni indicate in figura
5.5 hanno invece un flusso meno intenso, con energie di qualche centinaio di
keV, e raggiungono S1, in parte S2, ma non S3.
Al di fuori della SAA si può notare come la rate di S1 sia mediamente più
alta di un fattore 4-5 rispetto alla rate di S2 e S3, che invece appaiono molto
simili sia al polo che all’equatore, mentre S111A è spostato verso il basso. È
infatti necessario tener conto delle dimensioni degli scintillatori e normalizzare
per il fattore geometrico: S2 ed S3 hanno le stesse dimensioni ((18 × 15) cm2 ),
S1 è più grande ((40.8 × 33) cm2 ) ed S111A è sensibile al passaggio di particelle
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
113
sulla singola paddle di S11, quindi ad un’area (5.1 × 33) cm2 .
Normalizzazione per i fattori geometrici
Si fa l’ipotesi che il flusso delle particelle in arrivo dal basso sia trascurabile
rispetto a quello delle particelle in arrivo dall’alto. Tale ipotesi sarà verificabile,
a posteriori, controllando che il flusso di particelle normalizzato a cm2 sr s sia
coerente tra i vari piani. Il fattore geometrico di un piano che guarda verso
l’alto vale G = πA ([64], pag. 6).
Si richiamano alcuni dei fattori geometrici già elencati in tabella A.1. Per S1
si avrà:
GS1 = 40.8cm × 33cm × π = 4229.84cm2 sr
Per S2 ed S3:
GS2 = GS3 = 18cm × 15cm × π = 848.23cm2 sr
Infine, per la paddle relativa ad S111A:
GS1 = 5.1cm × 33cm × π = 528.7cm2 sr
I conteggi al secondo vanno quindi divisi per questi fattori geometrici per
ottenere un flusso di particelle per unità di tempo, superficie ed angolo solido.
Il risultato rappresenta un flusso di particelle integrato su tutte le energie a
partire da quella di soglia dello scintillatore ed è mostrato in figura 5.6.
Figura 5.6: Flusso sugli scintillatori S1, S2 ed S3 in conteggi/(cm2 sr s).
Correzione per le efficienze dei piani
Una correzione ulteriore è necessaria per tenere conto delle efficienze di conteggio dei singoli piani. Si ricorda che il passaggio è rilevato da tubi fotomoltiplicatori (PMT) al lato di ogni singola striscia di scintillatore (paddle) che fa
parte di un piano del TOF; per il segnale di tempo (TDC), viene rivelato, in
corrente all’uscita del PMT, l’inizio del fronte d’onda che corrisponde al passaggio di una particella carica nello scintillatore. Può accadere, ad esempio,
che l’energia rilasciata dalla particella carica, nell’attraversare lo scintillatore,
sia troppo bassa e che la particella si trovi lontano da entrambi i PMT, per cui
114
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
il numero di fotoni in arrivo al PMT non è sufficiente a generare abbastanza
corrente da far superare la soglia del discriminatore. Per stimare questa o altri
tipi di inefficienze si fa ricorso al tracciamento della traiettoria fatto dal tracker
e si verificano quali paddle del TOF non hanno dato segnale TDC. Il campione
di eventi va selezionato in modo da limitare errori relativi alla ricostruzione
della traccia e ponendosi entro una regione di confidenza che eviti errori sulla
determinazione di quale sia la paddle colpita. Per avere l’inefficienza relativa
di una singola paddle si conta, quindi, qual è la frazione di eventi per cui questa paddle non ha dato almeno segnale TDC. Qui si usano alcuni risultati, non
definitivi, di questo tipo di analisi.
Per S11A, l’efficienza utilizzata è:
E(S111A) = 0.931354
.
Definendo efficienza media del piano la media delle efficienze delle paddle che
lo compongono, si hanno i risultati:
E(S11) = 0.972050 E(S12) = 0.993600
E(S21) = 0.999292 E(S22) = 0.999373
E(S31) = 0.999131 E(S21) = 0.998519
avendo indicato, ad esempio, con E(S11) l’efficienza relativa del piano S11.
I conteggi sui piani sono relativi alle coincidenze di conteggi tra il primo e il
secondo sotto-piano, quindi l’efficienza è il prodotto delle efficienze dei singoli
sotto-piani. Ad esempio, E(S1) = E(S11) × E(S12). Si ottiene:
E(S1) = 0.965830
E(S2) = 0.998665
E(S3) = 0.997651
Le correzioni sono molto fini e non apprezzabili. La loro applicazione è comunque mostrata in figura 5.7 dove, per maggiore chiarezza di lettura, si omettono
gli errori e si uniscono con una spezzata i valori del flusso calcolato.
Figura 5.7: Flusso sugli scintillatori S1, S2 ed S3 in conteggi/(cm2 sr s), corretto
per l’efficienza dei piani.
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
115
Figura 5.8: Flusso di particelle su S1 intorno all’anomalia del Sud Atlantico,
mediato tra 350 e 610 km.
Analisi degli andamenti
Per interpretare l’andamento dei flussi mostrati in figura 5.7 si deve distinguere
il comportamento all’interno delle fasce di radiazione da quello all’esterno.
Si consideri dapprima la sola SAA; i due passaggi al suo interno sono ben
evidenti nei due maggiori picchi. Come atteso, S1 conta il maggior numero
di particelle in quanto è il solo scintillatore raggiunto da quelle di più bassa
energia; seguono S2 ed S3. Riguardo il passaggio in SAA successivo alle ore
6 : 00, i massimi di flusso misurato si trovano a circa 200 particelle/(cm2 s sr) per
S1, 100 particelle/(cm2 s sr) per S2 e 13 particelle/(cm2 s sr) per S3.
Si consideri il passaggio nelle fasce di elettroni. La loro posizione è ben
evidente in figura 5.5 e corrisponde, in figura 5.7, alla fine della fase di salita
del flusso passando dall’equatore al polo e all’inizio della fase di discesa del
flusso andando dal polo all’equatore. In alcuni passaggi per queste latitudini,
la fascia di elettroni ha un flusso più intenso e lì si vedono picchi nel flusso
rilevato da S111A, che arrivano ad un fattore 6 − 8 rispetto al valore fuori dalle
fasce, e picchi nel flusso rilevanto dalla coincidenza S11*S12 che sale di circa
un fattore 2; le fasce sono comunque estese a tutte le longitudini e picchi di
minore intensità si possono notare ovunque. S2 segue S1 in queste oscillazioni
in maniera molto meno marcata, mentre S3 non vede alcuna variazione.
In figura 5.8 si mostra il grafico contornato del flusso su S1, mediato tra tutte
le altitudini e relativo al periodo luglio 2006 - agosto 2007. La forma dell’anomalia appare all’incirca ovale per un flusso superiore a 100 particelle/(cm2 sr s) e
diventa poi oblunga ma di forma ben definita per flussi più bassi. Al di sotto del
valore di flusso pari a 1 particelle/(cm2 sr s) la forma si allarga per la sovrapposizione dell’effetto di aumento del flusso di particelle dovuto all’abbassamento
del cutoff geomagnetico verso il polo sud. Più in basso è visibile qualche punto
a più alto flusso nella fascia di elettroni esterna.
116
5.1.2
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Andamento temporale
Si vuole utilizzare il flusso misurato da S1, in quanto più sensibile alle basse
energie, per visualizzarne le variazioni nell’arco di qualche mese. Lo scopo è
misurare l’influenza che ha l’attività solare sulle particelle di bassa energia; un
effetto possibile è una variazione del flusso dei raggi cosmici primari, quindi
osservabile in zone a basso cutoff, e un altro sono le perturbazioni del campo
magnetico terrestre e quindi delle fasce di radiazione.
Si pone un problema in questo tipo di analisi: il flusso nelle fasce di radiazione dipende dalla posizione. Grazie al breve periodo di rivoluzione di 90 min
ed alla rotazione terrestre (vedi paragrafo 2.2), in pochi giorni di dati si ha
una buona copertura dell’intero planisfero terrestre in latitudine e longitudine;
invece, considerando la precessione del perigeo (vedi paragrafo 2.2.3), l’altitudine varia, per un punto fissato in latitudine e longitudine, molto lentamente e
solo nell’arco di 4-5 mesi si ha una escursione di (610 − 350) km = 260 km, il che
vuol dire che solo nell’arco di 8-10 mesi si può essere certi che per quel punto
si avranno dati per altitudini comprese tra 350 km e 610 km.
I flussi sono mostrati nelle figure 5.1.2 e 5.1.2. Si utilizzano dati compresi
tra luglio 2006 e gennaio 2007 e si sceglie di calcolare i flussi medi su di un
mese di tempo. Oltre al flusso in funzione di latitudine e longitudine, mediato
in altezza, che evidenzia bene le fasce di radiazione interne ed esterne ma che
non dà informazioni sull’altezza, si mostra il flusso in funzione di altitudine
e latitudine, limitandosi a longitudini inferiori a 30◦ ovest per mediare solo
nella zona dove il flusso nelle fasce di radiazione è maggiore. Allo scopo
di metterle in risalto si taglia la scala di colore sia in alto che in basso tra
10−2 particelle/(cm2 sr s) e 1 particella/(cm2 sr s).
I flussi relativi ai mesi da luglio 2006 a novembre 2006 appaiono molto
simili, a parte piccole variazioni che si possono imputare ad altezze differenti. In
particolare, luglio 2006 e novembre 2006 mostrano un profilo in altitudine verso
latitudine molto simile, per cui è possibile fare una comparazione quantitativa
e notare l’assenza di variazioni significative.
A dicembre 2006 l’attività solare è molto intensa e si verificano, soprattutto,
due flare solari di classe X1 il 5 e il 13 dicembre. Si nota un aumento, fino
ad un fattore 10, del flusso medio rispetto alla norma, sia ai poli che nella
fascia di elettroni in prossimità del polo sud. Si rimanda al capitolo 5.6 per le
misure dei flussi durante le flare. Qui si può osservare come a gennaio 2007 il
profilo in altitudine verso latitudine è molto simile ad agosto 2006: in entrambi
i casi il perigeo si trova all’incirca all’equatore, cioè ha compiuto una rotazione
di 180◦ sul piano dell’orbita, come anche evidenziato dalla discussione fatta
sul grafico 2.14 nella sezione dedicata alla precessione. È dunque possibile
comparare il flusso di elettroni nei due casi: durante il mese di gennaio 2007
nella fascia di radiazione al polo sud raggiunge il valore di 1 particella/(cm2 sr s)
contro mediamente 3 − 4 × 10−2 particelle/(cm2 srs) di agosto 2006.
Una lettura dei flussi degli elettroni o dei protoni rivelati da GOES a gennaio,
visibili in figura 5.12, non mostra eventi solari di particolare rilevanza (classe M
o X) durante questo mese; del resto si osserverebbe in figura 5.1.2 un aumento
del flusso ai poli, così come mostrato per il mese di dicembre. I satelliti GOES
rivelano anche il flusso di elettroni di energia superiore a 2 MeV ([70], pag. 1);
1 La flare si definisce di classe X se il flusso nello spettro dei raggi X compreso tra 1Å e 8Å
presenta un picco superiore a 10−4 W/m2 .
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
117
essendo i satelliti GOES geostazionari si parla degli elettroni nella fascia esterna
di radiazione e a circa 5.6 raggi terrestri. Per tale misura il flusso da loro rilevato
nel mese di gennaio, in figura 5.12, appare in media superiore a quello di agosto
2006, in figura 5.10, ma tale differenza è inferiore a quella misurata da Pamela
ad 1.1 raggi terrestri nella stessa fascia esterna. È necessario uno studio attento
per capire se ci sia una relazione tra l’incremento del flusso, le emissioni di
massa coronale occorse durante le flare e le pertubazioni magnetiche associate.
5.1.3
Flussi in funzione della L di McIlwain
PAMELA incontra, durante la sua orbita, entrambe le fasce di radiazione: la
parte di più bassa altitudine della fascia interna, in corrispondenza della SAA,
all’incirca alle coordinate −80◦ W − −5◦ W e −60◦ S − −10◦ S, e la fascia esterna
di elettroni in due zone distinte in prossimità del polo nord e del polo sud.
Entrambe le zone sono ben visibili in figura 4.9, che mostra l’andamento del
tasso di conteggi dello scintillatore S111A, il più sensibile alle basse energie.
Descrizione equivalente a quella geografica può essere fatta in termini di
coordinate magnetiche invarianti. Si è già discusso del parametro L di McIlwain
nel paragrafo 2.4. Si ricorda che esso rappresenta, solo nel caso di campo
dipolare, la distanza tra il centro della Terra ed una drift shell, la superficie su
cui si muove una particella intrappolata, nell’intersezione tra questa e l’equatore
magnetico. Nel caso di campo non dipolare si possono ancora etichettare le
linee di campo di una drift shell con L, che rimarrà all’incirca costante al variare
delle linee di campo della drift shell.
Volendo osservare la popolazione di particelle intrappolate è conveniente
descrivere i flussi in funzione della L di McIlwain piuttosto che rispetto alle
coordinate geografiche. L’attraversamento di una zona dell’orbita ad L corrispondenti a quelli di una fascia permette di accedere alla popolazione di
particelle intrappolate in quella fascia compatibilmente con l’altitudine, dato
che gran parte delle particelle intrappolate presentano un mirror point ad altitudini superiori a quelle a cui orbita PAMELA. I valori di L lungo l’orbita di
PAMELA sono all’incirca quelli mostrati in figura 2.31; l’andamento qualitativo
del flusso di particelle intrappolate nella fascia interna ed esterna può essere
osservato, rispettivamente, nelle figure 2.32(a) e 2.33(a) che rapppresentano il
flusso secondo i modelli AP-8 MAX ed AE-8 MAX.
Per i dati compresi tra l’1 luglio ed il 30 novembre 2006 si calcola il flusso
sullo scintillatore S111A, su base 1 s, diviso per il fattore geometrico per normalizzare per unità di area ed angolo solido, e lo si mostra in funzione di L in figura
5.13. Si limita il grafico ad L < 9 e flusso inferiore a 7.6 particelle/(cm2 s sr). Non
si corregge per l’overflow, per cui ad esso sono potenzialmente dovuti i punti
sotto la linea rossa a 3.8 . L . 6 e L . 2. Come riassunto in tabella 5.1, si sta
considerando un flusso integrale di protoni a partire da 20 MeV e di elettroni a
partire dal 2 MeV.
In maniera del tutto analoga, si calcola il flusso per S1, cioè le coincidenze tra
uno qualsiasi degli scintillatori del piano S11 ed uno qualsiasi degli scintillatori
S12 (vedi paragrafo 3.2. Si media su 6 s. Sempre dalla tabella 5.1 si legge che
la soglia di energia necessaria ad una particella per essere rilevata da S12 è
3.5 MeV per gli elettroni e 36 MeV per i protoni. Poi per S2, con energia di
soglia 9.5 MeV per gli elettroni e 63 MeV per i protoni, ancora mediato su 6 s.
118
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
119
Figura 5.9: Flussi di particelle sullo scintillatore S1, in particelle/(cm2 srs), nel
corso dei mesi. A sinistra il flusso è mostrato in funzione di latitudine e longitudine, mediato su tutte le altezze. A destra si mostra il flusso in funzione
di altitudine e latitudine, mediato in longitudine; per evitare che questa media
appiattisca la visualizzazione delle fasce di elettroni ci si limita ad una longitudine minore di 30◦ ovest. La scala di colore, che rapppresenta il flusso, è tagliata,
sia in alto che in basso, allo scopo di far risaltare le fasce di elettroni.
120
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.10: Dati GOES relativi ad agosto 2006 [69]. I flussi mostrati sono i
seguenti:
XL
1 − 8Å X-rays (Watts/m2 )
XS
0.5 − 3Å X-rays, o 0.54Å prima di GOES-8 (Watts/m2 )
E1 > 2MeV (Elettroni/cm2 secsr)
I1 > 1MeV (Protoni/cm2 secsr)
I2 > 5MeV (Protoni/cm2 secsr)
I3 > 10MeV (Protoni/cm2 secsr)
I4 > 30MeV (Protoni/cm2 secsr)
I5 > 50MeV (Protoni/cm2 secsr)
I6 > 60MeV (Protoni/cm2 secsr)
I7 > 100MeV (Protoni/cm2 secsr)
A5
150 − 250MeV (particelleα/cm2 secsrMeV)
A6
300 − 500MeV (particelleα/cm2 secsrMeV)
HP
Perpendicolare al piano orbitale (nanotesla)
HE
Verso east (nanotesla)
HN
Normale ad HP e HE
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
121
Figura 5.11: Dati GOES relativi a dicembre 2006 [69]. Si veda la figura 5.10 per
la legenda dei flussi.
122
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.12: Dati GOES relativi a gennaio 2007 [70]. Si veda la figura 5.10 per
la legenda dei flussi.
5.1. MISURE A BASSA ENERGIA
123
Figura 5.13: Flusso sullo scintillatore S111A in funzione del parametro L di
McIlwain.
Per comprendere questo grafico si riconsideri il flusso su S111A in funzione
del tempo di figura 5.7. Per la maggior parte del tempo, PAMELA rileva solo
raggi cosmici galattici ed il massimo del flusso è quello a cutoff più basso, cioè ai
poli, e vale circa 0.7 particelle/(cm2 sr s). In figura 5.13, questo corrisponde alla
banda di punti sottostante la linea tratteggiata in rosso, con minimo all’equatore2 , cioe L 1, e massimo ai poli. Questo flusso integrale non varia in maniera
apprezzabile per L & 3 perchè, come si osserva dallo spettro differenziale di
protoni in figura 5.40, il flusso dei galattici diminuisce per cutoff all’incirca
corrispondenti ad 14.9/32 ≈ 1.7 GV/c. Quando PAMELA attraversa la SAA o
le fasce di elettroni il flusso aumenta considerevolmente; nel grafico la fascia
interna è visibile per L . 2 (quadrato blu) e la fascia esterna per L & 3 (quadrato
verde). Il flusso misurato è la somma del flusso delle particelle galattiche e di
quello dovuto alle particelle intrappolate.
Un grafico del flusso in funzione di L permette notare popolazioni di particelle non intrappolate. Con i quadrati marroni si indicano, sul grafico, punti
dell’orbita dove il flusso su S111A è sensibilmente maggiore di quello dovuto
ai raggi cosmici galattici ma che non appaiano intrappolati nella prima o nella
seconda fascia. La loro assenza nel grafico 5.14 indica che si tratta di elettroni o
positroni di energia inferiore a 3.5 MeV o protoni di energia inferiore a 36 MeV.
Un’ipotesi, del tutto da verificare, è che si tratti di reentrant albedo prodotti in
zone circoscritte dell’orbita di PAMELA; a questo scopo sarà utile un confronto
con i dati di altri esperimenti che hanno ben studiato le produzione di particelle
di albedo.
Non considerando quest’ultima popolazione di particelle, che sembrerebbero non intrappolate, per 2 . L . 3 il grafico mostra solo particelle galattiche.
2 Per definizione, L non può essere inferiore ad 1 in un campo dipolare; per il campo
geomagnetico accade che L < 1 per alcuni punti dell’orbita di PAMELA nella zona equatoriale.
124
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.14: Flusso sullo scintillatore S1 in funzione del parametro L di
McIlwain.
Questo non è un effetto dovuto all’altitudine ma si sta effettivamente osservando la slot region tra le due fasce di radiazione, dove le particelle sono
relativamente poco presenti ([67], pag. 75).
Nel grafico in figura 5.14, con energia di soglia 3.5 MeV per gli elettroni e
36 MeV per i protoni, si nota che il flusso dato da elettroni della fascia esterna
è molto minore. Il maggiore contributo al flusso è quindi dato da elettroni di
energia inferiore a 3.5 MeV, come atteso. La fascia interna si presenta meno
estesa in L rispetto al flusso su S111A.
Il grafico in figura 5.15 è uno spettro integrale a partire da energia 9.5 MeV
per gli elettroni e 63 MeV per i protoni. Si nota l’assenza di elettroni rilevati
nella fascia esterna ed un assottigliamento ulteriore dell’estensione in L della
fascia interna. Gli elettroni rilevati nella fascia esterna il cui flusso è visibile
in figura 5.14 hanno quindi energia compresa tra 3.5 MeV e 9.5 MeV. La fascia
interna si presenta meno estesa in L rispetto al flusso su S1 o S111A.
Si può notare, in tutti e tre i grafici, che all’aumentare dell’energia minima,
diminuisce L massimo a cui si rileva un flusso di particelle nella fascia interna
ma non il minimo L, che rimane L ≈ 1.1. La maggiore presenza di particelle di
energia più alta nella parte a più bassa altitudine delle fasce di radiazione è un
comportamento tipico delle fasce di Van Allen [67].
5.2
Neutroni
Si vuole studiare la rate di neutroni misurata dal neutron detector e la contaminazione del fondo di neutroni durante una finestra di trigger. Quest’ultimo
aspetto è importante, ad esempio, per valutare correttamente la correlazione
5.2. NEUTRONI
125
Figura 5.15: Flusso sullo scintillatore S2 in funzione del parametro L di
McIlwain.
tra numero di neutroni contati nella finestra di trigger e il passaggio di leptoni
o adroni nel calorimetro.
Per i dettagli costruttivi e il funzionamento del neutron detector (ND), si
rimanda al capitolo 3.5. Qui si ricorda che le misure fatte dal ND sono tre:
il numero di neutroni contati dal primo piano tra la chiusura di una finestra
di trigger e l’apertura della finestra di trigger successiva; la stessa misura per
il secondo piano; infine, il numero di neutroni contati sia dal primo che dal
secondo piano durante la finestra di trigger, che è di 200µs.
In figura 5.2 si mostrano gli andamenti nel tempo del contatore di background del primo e del secondo piano per l’orbita graficata in figura 5.2. Sono
indicati l’inizio dell’orbita graficata (a) e i due passaggi in SAA (b, c). Si può
notare che il conteggio dei neutroni di background fatto dal primo piano è
all’incirca identico a quello del secondo piano; questo è atteso in quanto i due
contatori misurano neutroni del fondo a qualche cm di distanza l’uno dall’altro.
Inoltre si riconosce il tipico andamento periodico tra equatore e poli dovuto al
fatto che, per larghissima parte, i neutroni rilevati sono dovuti all’interazione col satellite o con Pamela delle particelle cariche, che risentono del cutoff
geomagnetico, e gli incrementi in SAA dovuti all’aumento del flusso di protoni.
In figura 5.17 si mostra, per la stessa orbita, l’andamento del flusso del
contatore di neutroni nel trigger; esso è pari al totale dei conteggi di neutroni
durante i trigger occorsi nel bin, in questo caso di ampiezza 2 minuti, diviso
la durata complessiva dei trigger nel bin (ciascun trigger ha la durata fissa di
200µs). Si possono fare due osservazioni: la prima è che la rate è ovunque
più elevata rispetto a quella dei conteggi di background; questo è dovuto alla
presenza di due componenti in questo flusso: i neutroni di fondo e i quelli
più numerosi dovuti ad interazioni adroniche della particella carica che ha
originato il trigger dell’evento.
126
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.16: In alto, in funzione del tempo, il flusso di neutroni di background
(media dei conteggi tra il primo ed il secondo piano del ND) per l’orbita graficata in basso. Il plot nero si riferisce ai conteggi del secondo piano del ND, il
rosso a quelli del primo piano. L’orbita inizia nel punto a e passa nella SAA nei
punt b e c.
La seconda osservazione è l’andamento diverso da quello osservato per il
contatore di background. A prima vista esso appare controintuitivo perché la
rate stimata con i neutroni di trigger è in controfase (SAA a parte) a quella
stimata con il contatore di background. Si deve però considerare che il flusso
stimato dai neutroni di trigger è dato, in media sul bin, da:
Pν∆t
Φ=
n(Ē)
i=1 n(Ei )
Pν∆t
τ
i=1 τ
dove la somma è fatta sulle energie delle particelle in arrivo nell’intervallo temporale del bin ∆t, ν è la rate di acquisizione, τ è la larghezza fissa del trigger di
200µs, n(E) è il numero medio di neutroni che ci si aspetta sia prodotto da una
particella con energia E che causa il trigger e sarà ovviamente maggiore per
particelle di più alta energia. Considerando gli effetti di cutoff geomagnetico,
5.2. NEUTRONI
127
Figura 5.17: Il flusso di neutroni rilevati durante il trigger, in funzione del
tempo, per l’orbia mostrata in figura 5.2
n(Ē) all’equatore è più alto di n(Ē) al polo, dove sono presenti molte più particelle di bassa energia a dare trigger. Questo spiega il motivo per cui la rate di
neutroni di trigger è più alta all’equatore rispetto ai poli.
Si prende ora in considerazione il numero medio di neutroni misurati in una
finestra temporale di un minuto, mostrato in figura 5.18. Dato un tasso medio
Figura 5.18: Distribuzione dei conteggi di neutroni di background in un minuto.
Si sommano i conteggi sui due piani del ND.
di neutroni di background λ, misurato in Hz, e una finestra di trigger di durata
t = 60s, la probabilità P(n) di avere n neutroni durante il trigger è descritta da
una poissoniana:
(λt)n e−λt
(5.1)
P(n) =
n!
La figura 5.18 è quindi la sovrapposizione di più poissoniane con diversi valori
di λ. Un’analisi del flusso di neutroni deve separare queste varie componenti. Si possono distinguere i due picchi maggiori: la zona equatoriale a circa
128
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
7000neutron/min, la zona ai poli che picca a 31000neutroni/min e quella al polo
nord con circa 23000neutroni/min. Si mostra, in figura 5.19, il risultato della sovrapposizione al plot precedente di varie selezioni sull’orbita; in verde
l’equatore, in blu i poli (L > 20) ed in rosso la SAA. Dato che somma delle
selezioni non copre l’intera orbita, la somma delle distribuzioni non è pari la
distribuzione (plot nero); sono tutte comunque normalizzate all’integrale della
distribuzione totale posto pari ad 1. È da notare che la distribuzione mostrata
Figura 5.19: Distribuzione dei conteggi di neutroni di background in un minuto. Si sommano i conteggi sui due piani del ND. Tutte le distribuzioni sono
normalizzate all’integrale della distribuzione totale posto pari ad 1.
per la SAA è molto allargata e che il suo contributo appare minore di quanto
ci si aspetti per la zona a più alto flusso di protoni, sebbene di bassa energia.
Il motivo di questo comportamento si può dedurre dall figura 5.20(a) dove si
mostra il numero di neutroni per evento in SAA: il contatore satura a 15, quindi
la rate misurata non è quella reale. Il problema non è limitato alla SAA; in figura 5.20(b) si mostra che lo stesso comportamento, in maniera meno marcata,
è presente anche al di fuori della SAA e lontano dai poli. I 3 bit del contatore
sono quindi mediamente insufficienti a contenere il range di neutroni misurati.
Un metodo per tentare di ovviare a questo problema è discusso nella prossima
sezione.
5.2.1
Correzioni al contatore
Il contatore di neutroni di background è limitato dal contare, per evento, un
massimo di 23 − 1 = 15 neutroni, dati i 3 bit del contatore, e dal fatto che
questo si resetta a zero all’arrivo del sedicesimo neutrone (e, ovviamente, del
trentaduesimo, del quarantottesimo e così via). Il numero medio di neutroni
per evento è dato da n = λ/ν, dove λ è la rate fisica di neutroni, in neutroni al
secondo, e ν è la rate di acquisizione di Pamela, in Hz; la misura avrà senso fin
quando n rimarrà inferiore a 15, in tutti gli altri casi essa sarà sottostimata in
modo poco prevedibile. Il calcolo è complicato dal fatto che sia λ che ν variano
a secondo della zona dell’orbita (poli, equatore o SAA), potenzialmente del
tempo (flare, esposizione solare) e della configurazione di Pamela.
5.2. NEUTRONI
129
Figura 5.20: A sinistra, il numero di neutroni contati dal primo piano del ND
per evento in SAA. Al centro, l’anologo al di fuori dell’anomalia e lontano dai
poli (L<3), mentre a destra si sono selezionati eventi con L>20 (poli).
I neutroni di background vengono letti evento per evento e sono quelli
misurati tra l’apertura della finestra di trigger dell’evento e la chiusura della
finestra di trigger precedente, quindi in un intervallo temporale misurabile
conoscendo i tempi degli eventi. La figura 5.21 mostra il numero di neutroni
di background misurati, in media, per evento, in funzione della distanza tra i
due trigger (in ms). I tre plot si riferiscono a tre zone con una rate di neutroni
ν presumibilmente diversa: in alto la zona equatoriale tra −5◦ e 5◦ di latitudine
e fuori dalla SAA, al centro la SAA, e a destra il plot per L > 20. Nel caso si
contassero non più di 15 neutroni per evento, il loro conteggio seguirebbe una
statistica poissoniana con media n̄ = λ ∆OBT e con lo stesso valore di varianza;
l’andamento sarebbe quindi lineare, fissata λ, in ∆OBT. Come atteso, la linerità
si osserva bene all’equatore, almeno fino a ∆OBT = 80ms (rate di acquisizione
ν > 13Hz); si ha ancora ad alte latitudini fino ad almeno 20ms di distanza dei
trigger (ν > 50Hz); invece il contatore di neutroni si mostra sempre saturo in
SAA e il numero medio di neutroni di background è circa 7.5, cioè quello che
ci si aspetta da oscillazioni poissoniane di un numero molto grande che viene
registrato con overflow a 15. Il fit delle curve nel range ∆OBT in cui sono lineari
porta a stimare una rate di (64.4 ± 0.4)neutroni/s nella zona equatoriale, al di
fuori della SAA, e di (400 ± 5)neutroni/s ad alte latitudini.
Si mostra, in figura 5.22, la rate di neutroni in funzioneunzione del tempo
per vari passagi per i poli e per l’equatore e per due passaggi in SAA. Il plot
rosso è la stima della rate senza applicare alcuna correzione, mentre per il plot
nero si considerano solo gli eventi che non distano più di 20ms gli uni dagli
altri. Da quanto visto in figura 5.21, ci si aspetta che il plot rosso sottostimi la
rate reale a causa dell’aumento degli eventi con contatore in saturazione per
rate di acquisizioni troppo basse (∆OBT alto); questa differenza sarà ancora
più marcata ai poli, quando la rate di neutroni è elevata e ∆OBT < 20ms è una
condizione al limite della saturazione del contatore. Restringendo ulteriormente questa condizione a ∆OBT < 10ms (plot blu) non si ottiene alcun sensibile
migliorameno della rate di neutroni misurabile ma la statistica si abbassa notevolmente. Questo è il motivo per cui ∆OBT < 20ms è la condizione qui scelta
per assicurare una buona linerità del conteggio di neutroni, sempre fuori SAA.
130
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.21: Numero medio di neutroni di background per evento, in funzione
della distanza temporale tra due trigger.
A conferma dell’ipotesi, si mostra nuovamente, in figura 5.23, la distribuzione di neutroni per evento per varie zone, come fatto in figura 5.20, ma
introducento la correzione su ∆OBT < 20ms. La correzione si mostra molto
buona all’equatore, buona ai poli e non efficace in SAA.
5.2.2
Il flusso lungo l’orbita
Si vuole ora mostrare il flusso di neutroni misurato lungo l’orbita. Per evitare la
saturazione bisogna considerare, per ogni zona, cioè per ogni rate di neutroni,
solo gli eventi acquisiti con una rate tale da non saturare il contatore. La figura
5.21 mostra che 20ms può essere un taglio conservativo applicabile ovunque,
tranne che in SAA. In realtà, la figura 5.21 non garantisce che non ci siano
alcune zone dell’orbita che mostrano non linearità nel contatore di neutroni
di background anche fuori dalla SAA e sotto 20ms. Ciò detto, si è proceduto
contando i neutroni di background, come media tra il primo e il secondo piano
del ND, e il tempo di acquisizione, come differenza tra gli OBT di due eventi
consecutivi, con risoluzione di grado di longitudine × grado di latitudine × km di
altezza. La rate di neutroni calcolata come rapporto tra i conteggi e il tempo,
secondo varie proiezioni in latitudine, longitudine e altezza. Tutti i plot che
5.2. NEUTRONI
131
Figura 5.22: Rate di neutroni di background in funzione del tempo. Si sommano i conteggi sul primo e sul secondo piano del ND. Il plot nero è ottenuto
richiedendo una distanza tra gli eventi non superiore a 20ms, condizione che
permette di non saturare il contatore di neutroni fin quando la rate non è troppo elevata. Il plot blu si riferisce alla stessa restrizione a 10ms e non mostra
miglioramenti significativi ma solo una riduzione di statistica. Il plot rosso non
ha alcuna correzione.
seguono hanno una rate massima mostrata tagliata a 550Hz e gli eventi presi
in considerazione sono quelli in trigger rate almeno pari a 1/20ms = 50Hz. In
ogni caso non è possibile una lettura della rate in SAA e in tutte le zone colorate
in rosso perché questo indica saturazione.
Nella figura 5.24, in alto, si mostra la rate calcolata dalle proiezioni latitudine
verso longitudine, a tutte le altitudini, dei contatori di neutroni di background
e del tempo di acquisizione: è la rate media di neutroni tra i circa 350km e 600km
di altitudine di Pamela. Analogamente, al centro, si mostra la rate, calcolata
dalle proiezioni, per visualizzare, in altezza verso longitudine, la rate media
di neutroni tra −70◦ e +70◦ di latitudine. In basso si mostra la rate media, a
tutte le latitudini, per la proiezione altezza verso longitudine. Già da queste tre
figure è possibile distinguere chiaramente la diversa rate tra poli ed equatore e
la forma dell’anomalia del Sud Atlantico (SAA).
Un modo più accurato di visualizzare la rate di neutroni è “affettare” l’orbita
di Pamela. In figura (5.2.2) si mostrano le proiezioni latitudine verso longitudine ogni 40km di altitudine; in figura (5.2.2) si mostrano proiezioni in altezza
verso longitudine ogni 30◦ di latitudine; infine, in figura 5.2.2 si mostrano le
proiezioni altitudine verso latitudine ogni 60◦ di longitudine.
Da questi plot di deduce una rate di neutroni di background variabili da
un minimo di circa 50Hz, in alcune zone intorno all’equatore, a mediamente
132
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.23: Qui si mostrano gli stessi grafici della figura 5.20 dopo aver
selezionato eventi col criterio ∆OBT < 20ms.
400Hz ai poli. I dati qui utilizzati fanno riferimento al periodo di acquisizione
che va dal luglio 2006 al gennaio 2007; sono stati esclusi i dati compresi tra il 6
dicembre e il 17 dicembre poiché allora si sono verificate flare solari ed il flusso
di neutroni misurati è in quel modo più elevato. .
5.2.3
Contaminazione di neutroni di background nella finestra
di trigger
Dato un tasso medio di neutroni di background λ, misurato in Hz, e una finestra
di trigger di durata t = 200µs, la probabilità P(n) di avere n neutroni durante il
trigger è descritta da una poissoniana:
P(n) =
(λt)n e−λt
n!
(5.2)
È possibile ora usare la (5.2) per calcolare la probabilità di avere n neutroni
di background all’interno di una finestra di trigger di 200µs.
Ad esempio, nella figura 5.28 si può vedere che, chiedendo che nell’evento
ci siano almeno due neutroni come indicatore di una interazione adronica nel
calorimetro, si commette un errore dovuto al fondo di neutroni in un evento su
10000 all’equatore e 1 evento su 300 ai poli, dove il fondo è più elevato.
5.3
5.3.1
Raggi cosmici galattici
Selezioni sugli eventi
Si presentano di seguito le selezioni utilizzate in questo lavoro per discriminare tra varie particelle. Non rappresentano le selezioni ufficiali utilizzate dalla
collaborazione Wizard ma sono piuttosto da considerarsi come preliminari e
perfettibili; non vengono stimate le efficienze e le contaminazioni relative a
ciascuna selezione. Di conseguenza, tutti gli spettri differenziali che verrano
mostrati non riporteranno valori del tutto corretti del flusso misurato. Nell’ipotesi che tali selezioni abbiano efficienze e contaminazioni indipendenti
dall’energia, è possibile misurare gli indici spettrali dei flussi differenziali.
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
133
Figura 5.24: Rate media di conteggio dei neutroni di background. In alto,
latitudine verso longitudine mediato su tutte le altezze. Al centro, altitudine
verso latitudine mediato su tutte le longitudini. In basso, altitudine verso
longitudine mediato su tutte le latitudini. Il rate massimo visualizzato è tagliato
a 550Hz e gli eventi considerati sono quelli acquisiti ad una rate di trigger
almeno pari a 50Hz. La rate visualizzata in anomalia non è quella effettiva per
via dell’overflow del contatore. Sono esclusi i dati raccolti dal 6 al 17 dicembre
per evitare gli effetti dovuti alle flare solari. In questa figura e nelle successive,
alcuni passaggi con rate più basse sono dovuti al fatto che questi plot sono
ottenuti mediando dati da varie orbite, alcune delle quali possono avere il ND
non in acqusizione.
134
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.25: Rate media di conteggio dei neutroni di background. I vari plot
sono ottenuti a diverse fasce di latitudine. Vedi fig. 5.24 per i dettagli.
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
135
Figura 5.26: Rate media di conteggio dei neutroni di background. I vari plot si
riferiscono a diverse fasce di longitudine. Vedi fig. 5.24 per ulteriori dettagli.
136
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.27: Rate media di conteggio dei neutroni di background. I vari plot
sono fatti a diverse fasce di longitudine. Vedi fig. 5.24 per ulteriori dettagli.
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
137
Figura 5.28: Densità di probabilità poissoniana di avere un certo numero di
neutroni di background all’interno della finestra di trigger. La stima è fatta per
varie rate di neutroni di background, considerando una finestra di trigger di
200 microsecondi e che il numero di neutroni contati sia la somma dei neutroni
rilevati sui due piani del ND. Il plot rosso si riferisce ad una rate stimata al polo
e il nero ad una rate tipica nella zona equatoriale fuori della SAA.
Il lavoro attualmente in corso sulla selezione degli eventi prevede un’analisi
delle efficienze e contaminazioni tramite simulazioni Monte Carlo; solo dopo
questa fase sarà possibile meglio determinare le misure qui mostrate.
Perdita di energia
La perdita di energia delle particelle cariche nella materia, a causa della ionizzazione o eccitazione degli atomi del materiale, può essere descritto dalla
formula di Bethe-Bloch. A questa si posso aggiungere i miglioramenti dovuti a
Fano, Bloch stesso e molte altre correzioni più fini. Le curve teoriche di rilascio
di energia di seguito usate sono descritte in dettagio in appendice C.
PAMELA è in grado di rilevare l’energia rilasciata negli scintillatori che
compongono il sistema del tempo di volo, nei piani di silicio del tracker e in
quelli del calorimetro.
La velocità β viene misurata attraverso il sistema del tempo di volo. In figura 5.29 si mostra la perdita di energia media su un piano del tracker (composto
da 6 piani di silicio dello spessore di 300µm), in funzione della velocità, per
varie particelle in arrivo dall’alto. Si sovrappongono le curve teoriche relative
alla perdita di energia di protoni ed elii. Sulla scala di colore si indica, qualitativamente, il numero di eventi che cadono in quel punto del grafico. La gran
parte dei protoni si trova nella zona colorata in rosso ed è quella con il migliore
accordo con la Bethe-Bloch teorica. Nel sovrapporre le curve si compie un certo
errore perché l’andamento della linea che congiunge i punti del grafico con il
maggior numero di eventi (considerando solo protoni o solo elii etc. . . ) è quella
138
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.29: Perdita di energia media nei piani di silicio del tracker in funzione
della velocità misurata dal TOF. Particelle dall’alto. Si sovrappongono le curve
Bethe-Bloch relative a protoni ed elii.
di rilascio più probabile e non quella di rilascio medio che qui si rappresenta
con la Bethe Bloch. L’accordo tra i dati e le curve teoriche è discreto sia alle basse
che alle alte energie. La parte con la discrepenza maggiore riguarda protoni di
bassa energia: ad esempio, a β = 0.5 l’energia cinetica del protone vale circa
111MeV. A basse energie la descrizione della dE/dx è più complessa.
La rigidità viene misurata come l’inverso della deflessione della traccia
nello spettrometro magnetico. Nella figura 5.3.1 si mostra la perdita di energia
media su un piano del tracker, in funzione della rigidità, per varie particelle
in arrivo dall’alto. Si sovrappongono le curve teoriche, con correzione densità,
per protoni ed elii, ottenute attraverso la (C.6) e la (C.4), ciascuna moltiplicata
per un fattore che permette di sovrapporle al meglio sulla curva di rilascio
misurata. Anche qui la scala di colore rappresenta il numero di particelle e,
per ciascuna famiglia di particelle, la linea congiungente i punti con maggior
numero di eventi, corrisponde al picco della curva di rilascio più probabile
e non al rilascio medio. Si può notare che, se l’energià rilasciata dai protoni
vale circa 1MIP per energie relativistiche, la curva dell’elio non ha energia di
ionizzazione pari a z2 MIP = 4 MIP ma superiore.
Ai fini pratici, l’utilità delle curve teoriche di rilascio è di avere una funzione
attraverso cui risulti agevole la creazione di selezioni sugli eventi, definite come
tagli sugli eventi che rientrano o meno in un’area circoscritta dei grafici qui
mostrati. Tutti i tagli che saranno presentati sono definiti a partire da curve
ottenute scalando la Bethe-Bloch per un fattore. A questo scopo, gli errori
commessi per la non corretta parametrizzazione della curva di rilascio sono del
tutto trascurabili.
In figura 5.31 si mostra la selezione usata sulla dE/dx in fuzione della velocità
β per separare i protoni dalle particelle con carica superiore a z > 1. La curva è
definita come la Bethe Bloch calcolata per l’elio e scalata di un fattore 0.5.
In figura 5.3.1 si mostrano le selezioni sulla dE/dx in funzione della rigidità.
Si classificano come muoni e pioni gli eventi che si trovano sotto la curva nera
(definita come la Bethe Bloch calcolata per i protoni e scalata di un fattore 0.24).
Tra questa e la curva rossa (definita come la Bethe Bloch calcolata per gli elii
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
139
Figura 5.30: Rilascio di energia medio in un piano del tracker in funzione della
rigidità misurata dal tracker stesso. Particelle dall’alto. Sovrapposte le curve
teoriche di rilascio per protoni ed elii.
Figura 5.31: Selezione utilizzata per separare protoni, definiti come gli eventi
che si posizionano sotto la linea nera, da particelle con carica superiore a z=2.
140
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.32: Selezione utilizzata per discriminare pioni e muoni, definiti come
gli eventi che si posizionano sotto la linea nera, da protoni, definiti come gli
eventi che si posizionano tra la linea rossa e quella nera, e da elii, sopra la linea
rossa.
e scalata di un fattore 0.6) si trovano i protoni e il deuterio. Le particelle con
carica z > 1 si trovano sopra la curva rossa.
β e rigidità
È possibile discriminare particelle di diverso tipo attraverso la relazione tra la
rigidità R, cioè l’impulso relativistico per unità di carica, e la velocità relativistica
β. La relazione tra le due grandezze è ricavata in (C.6):
h
m 2 i−1/2
β= 1+
zR
(5.3)
dove m è la massa della particella, misura in GeV se la rigidità è espressa in GV,
z è la carica della particella in unità di carica atomiche.
PAMELA misura β attraverso il sistema del tempo di volo e la rigidità come
inverso della deflessione misurata dallo spettrometro magnetico. In figura 5.33
si mostra la distribuzione di un numero elevato di eventi sul piano β−R; in figura
5.34 si sovrappongono le curve (5.3) calcolate per i valori di massa e carica di
varie particelle. Nel primo quadrante del piano, deflessione positiva e velocità
positiva, si trovano le particelle cariche positivamente che arrivano dall’alto;
nel secondo quadrante, deflessione positiva e velocità negativa, le particelle
cariche negativamente in arrivo dal basso; nel terzo quadrante, deflessione
negativa e velocità negativa, le particelle cariche positivamente in arrivo dal
basso; infine, nel quarto quadrante, deflessione negativa e velocità positiva, le
particelle cariche negativamente in arrivo dall’alto.
Sulla base di queste informazioni, si può discriminare, come mostrato in
figura 5.35, la zona dei protoni e degli elii rispetto a quella di pioni, muoni ed
elettroni di bassa energia. Per rigidità superiori a circa GV/c tutte le particelle
di massa inferiore all’elio sono relativistiche e non separabili con la risoluzione
in β offerta dal TOF; le maggiori contaminazioni si hanno comunque a bassa
energia.
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
141
Figura 5.33: Velocità misurata dal TOF in funzione della rigidità misurata dal
tracker.
Figura 5.34: Curve teoriche β(R) per varie particelle.
142
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.35: Selezione su pioni, muoni ed elettoni e positroni di bassa energia,
identificati come le particelle, di rigidità compresa tra −0.5 GV/c e 0.5 GV/c, che
si trovano al di sopra della curva nera, se β > 0, ed al di sotto della curva nera,
se β < 0..
Nel prossimo paragrafo si mostrano alcuni spettri differenziali in energia
per raggi cosmici primari e per particelle secondarie o intrappolate, ottenibili
dalle misure fatte con Pamela. Per la descrizione completa del calcolo del flusso
e per la propagazione degli errori si rimanda all’appendice B. Nel seguito si
illusteranno con attenzione solo la stima del flusso primario dal calcolo del
cutoff geomagnetico ed il fit dello spettro differenziale con una legge di potenza.
5.3.2
Flusso di protoni
Selezioni Si seleziona un insieme di eventi classificati quali protoni galattici.
I criteri usati per i flussi seguenti sono:
• Particelle provenienti dall’alto. Si richiede che la velocità β calcolata dal
TOF sia positiva.
• Particelle di carica positiva. Corrispondono a particelle con deflessione
negativa nel tracker (nel sistema di riferimento convenzionale di Pamela).
• Rigidità misurata dal tracker superiore al cutoff geomagnetico calcolato
secondo la (2.49).
• Protone nel grafico del rilascio di energia nei piani di silicio tracker in funzione della rigidità misurata dal tracker, così come risulta dalla selezione
illustrata in figura 5.3.1.
• Protone nel grafico del rilascio di energia nei piani di silicio tracker in
funzione della velocità misurata dal TOF, così come risulta dalla selezione
illustrata in figura 5.31.
• Particella non classificata come pione nel grafico della velocità misurata
dal TOF in funzione della rigidità misurata dal tracker, così come risulta
dalla selezione illustrata in figura 5.35.
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
143
• Presenza di una sola traccia individuata dall’algoritmo di fit del tracker e
con χ2 < 10.
• Braccio di leva, dato dalla massima distanza, in numero di piani, tra i punti
di passaggio rilevati dal sistema di tracciamento del tracker, maggiore o
uguale a cinque.
• Eventi compresi tra luglio e novembre 2006; si esclude il mese di dicembre
a causa della più intensa l’attività solare.
Il risultato delle selezioni è un insieme di circa 13 milioni di eventi su 243
milioni di eventi totali acquisiti di presa dati nel periodo considerato (circa 77
giorni tra luglio ed novembre 2006).
Si calcola il flusso differenziale j su un insieme di intervalli discreti di rigidità
R, nel modo seguente:
j(R) =
N(R)
G(R) ∆E (R) ∆t (R) (R)
(5.4)
dove:
• N(R) è il numero di conteggi nell’intervallo di rigidità associato alla rigidità R. Ad esempio, R = 2 GV/c potrebbe cadere nell’intervallo 1.9GV/c ≤
R ≤ 2.2GV/c corrispondente ad un divisione dell’asse delle ascisse dell’istogramma scelto per rappresentare il flusso, N(2GV/c) corrisponde al
numero totale di eventi con rigidità misurata compresa in quell’intervallo
e il flusso associato j(2 GV/c) sarà il flusso medio in quell’intervallo.
• G(R) è il fattore geometrico calcolato per quel valore di rigidità.
• ∆E (R) è la larghezza dell’intervallo (0.3GV/c nell’esempio precedente) e
qui si sceglie di normalizzare per il suo valore in unità di energia cinetica.
• ∆t (R) è il tempo in cui Pamela è stata accessibile alle particelle di rigidità
R. È calcolato a partire dalla stima del cutoff geomagnetico ed è pari al
tempo totale moltiplicato un fattore correttivo inferiore ad 1 per rigidità
inferiori al massimo cutoff.
• (R) è l’efficienza totale nella misura del flusso. Qui si pone pari ad 1.
Eventualmente si può esprime il flusso in energia cinetica anziché in rigidità. Tutto il procedimento di calcolo, insieme alla propagazione degli errori, è
illustrato in dettaglio in appendice B.
Porre = 1 vuol dire non poter dare un valore assoluto del flusso. Il flusso
qui dato andrà ulteriormente corretto per un fattore, in generale dipendente
dall’energia, per ottenere un flusso assoluto. Per questo motivo tutti gli spettri
qui mostrati saranno espressi in unità arbitrarie.
In figura 5.36 si mostrano i conteggi di particelle, che superano le selezioni
illustrate, in funzione della rigidità, cioè l’inverso della deflessione misurata
dallo spettrometro magnetico. È ben evidente la presenza di un ginocchio
a circa 15 GV/c, dovuto al cutoff geomagnetico (vedi paragrafo 2.5), e della
modulazione solare che abbassa sensibilmente il flusso per rigidità inferiori a
circa 10 GV/c.
144
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.36: Conteggi di protoni primari in funzione della rigidità.
Figura 5.37: Conteggi di protoni primari in funzione della rigidità normalizzati
al tempo totale di osservazione (tempo vivo).
In prima approssimazione, i conteggi sono direttamente proporzionali al
tempo di osservazione T; tale tempo, detto tempo vivo, è il tempo totale meno
il tempo morto dell’apparato, il quale è misurato dalla scheda di trigger. Si
procede normalizzando per il tempo vivo. Il risultato è mostrato in figura 5.37.
L’unità di misura sulle ordinate è il numero di particelle al secondo.
Correzioni per il cutoff Si può notare che, circa a 15 GV/c di rigidità, c’è un
netto cambio di pendenza. È dovuto al cutoff geomagnetico che fa sentire i
suoi effetti per particelle di energia inferiore a questo valore. La conseguenza
della sua presenza è che non tutti i punti dell’orbita di Pamela sono ugualmente
accessibili a particelle di energia inferiore a circa 15GV/c ma, data una particella
con una determinta rigidità, essa potrà essere rilevata da Pamela solo nella parte
di orbita caratterizzata da un cutoff geomagnetico inferiore o uguale alla rigidità
della particella. Il tempo di osservazione effettivo non è più lo stesso prima
calcolato ma diventa funzione della rigidità delle particelle osservate.
Ci si chiede, data una rigidità R, quale sia il tempo passato da Pamela in zone
della magnetosfera terrestre accessibili a particelle primarie di rigidità maggiore
o uguale ad R. Si ricorda che il cutoff è definito come la rigidità minima
145
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
Figura 5.38: In ordinate il tempo speso da Pamela al cutoff in ascisse,
discretizzato in maniera identica alla rigidità dell’istogramma 5.36.
necessaria affinché una particella arrivi in un certo punto della magnetosfera.
Parlando del cutoff, in figura 2.38, si è mostrato un grafico del tempo speso
da Pamela in intervalli di cutoff compresi tra 0 e 25 GV/c. A partire da questo
grafico, in figura 2.39 si rappresentava la frazione di tempo spesa da Pamela
sotto un certo cutoff. Qui si procede in modo quasi identico ma le divisioni delle
ascisse sono diverse e di tipo logaritmico, per cui il risultato è apparentemente
diverso.
Si costruisce un istogramma con assi delle ascisse identico, nei bin, a quello
del grafico da normalizzare (figura 5.36); nel caso specifico, sarà un’asse con bin
logartmici da circa 100 MV/c ad 300 GV/c. Per ogni evento compreso tra l’inizio
e la fine dell’osservazione, quindi senza far riferimento ad alcuna selezione3 ,
si legge il tempo vivo e lo si aggiunge al contenuto del bin corrispondente
al valore del cutoff calcolato, tramite la (2.49), per la posizione del satellite in
quell’istante. L’istogramma così costruito è mostrato in figura 5.38. Questo
istogramma risulta poco leggibile in quanto il valore di tempo speso dipende
dalla larghezza del bin, che non è fissa. Molto più importante ne è l’integrale,
calcolato con la 2.53.
Esso è mostrato in figura 5.39, normalizzato in modo che l’integrale totale
sia pari ad 1 per renderlo più leggibile. In ordinate si legge quanta parte del
tempo totale (qui posto pari ad 1) Pamela passa a cutoff inferiori a quello letto
in ascisse.
Avendo conservato le stesse divisioni sulle ascisse, è possibile dividere l’istogramma dei conteggi in figura 5.36 per l’istogramma in figura 5.39, espresso
in secondi. Questa operazione va interpretata come normalizzazione dei conteggi in ogni intervallo di rigidità per il tempo in cui Pamela è stata accessibile
a particelle di tale rigidità.
L’errore δ2 associato al bin è calcolato come prima:
δ2 =
δ1
t
3 In realtà, l’unica selezione che qui ha senso è quella di tipo temporale. Ad esempio, si possono
escludere gli eventi acquisiti durante il passaggio nell’anomalia del Sud Atlantico, o selezionare
solo quelli acquisiti ai poli. Coerentemente, gli eventi selezionati per stimare il flusso differenziale
dovranno soddisfare questa selezione temporale oltre a tutte le altre selezioni già poste in atto.
146
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.39: In ordinate il tempo speso da Pamela al cutoff minori od uguali a
quello in ascisse.
Figura 5.40: Conteggi di protoni primari, in funzione della rigidità, normalizzati
al tempo totale di osservazione (tempo vivo) corretto per il cutoff.
dove t è il tempo per cui è diviso il bin, letto dall’istogramma in figura 5.39.
In figura 5.40 si mostra il risultato della normalizzazione del grafico 5.36 per
il tempo di osservazione corretto per il cutoff. Si nota come viene ripristinata
la continuità dell’andamento rispetto al grafico in figura 5.37.
Si procede, quindi, normalizzando per unità di area e superficie tramite il
fattore geometrico, dipendente dalla rigidità. Si normalizza per la larghezza
in energia considerata e si riesprime il flusso in energia cinetica supponendo
che tutte le particelle misurate siano protoni. Il grafico ottenuto è mostrato in
figura 5.41, insieme al fit con una legge di potenza:
j(E) = AE−γ
(5.5)
che è valida sopra qualche GeV, dove non c’è modulazione solare. A e γ sono
parametri caratteristiche del tipo di flusso misurato. Dal fit, si ricava:
γ = 2.667 ± 0.004
A = 0.99 ± 0.02
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
147
Figura 5.41: Conteggi di protoni primari in funzione dell’energia cinetica, per
unità di tempo, superficie, angolo solido e per intervallo di energia di 1GeV.
Si mostra anche il con una legge di potenza del flusso di protoni, tra 20 GeV e
300 GeV. Il numero visualizzato è l’indice spettrale risultante.
Figura 5.42: Indice spettrale in fuzione dell’intervallo di energie scelto per il fit.
Scala di colore tagliata inferiormente e superiormente.
Nel compiere quest’operazione è stata fatta un’approssimazione: che il flusso
relativo al bin sia associabile al valore di rigidità corrispondente al centro del
bin. Data la legge di potenza, questa è una sovrastima della media integrale
del flusso sul bin. La correzione è discussa in appendice B ed, in questo caso, è
inferiore all’errore comesso.
Indice spettrale misurato ed atteso Si è gia mostrato un fit dello spettro in
figura 5.41, fatto tra 20 GeV e 300 GeV di energia cinetica. Quest’indice è, in
realtà, dipendente, entro certi limiti, dall’intervallo di energie scelto. In figura
5.42 si mostra l’indice spettrale γ in funzione dell’estremo inferiore di fit E1
e dell’estremo superiore E2 (con E2 − E1 ≥ 20 GeV). A basse energie la legge
di potenza (B.3) non è valida e questo è il motivo del basso indice spettrale
nella zona E1 . 20GeV. Nell’intervallo 20GeV . E1 . 60 GeV il risultato del
fit presenta una variabilità ridotta all’aumentare dell’intervallo di energie e
appare circa 2.7; si nota una lieve discesa a circa 2.65 a partire da E2 > 150 GeV.
148
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.43: Spettro differenziale di protoni primari.
All’aumentare di E1 la qualità del fit peggiora e l’indice spettrale presenta
sensibili variazioni. L’insieme di questi aspetti indica che i dati a più alta
energia non seguono precisamente una legge di potenza di indice ben definito
e sono quindi affetti da errore.
Un modo chiaro per notare variazioni del flusso rispetto alla legge di potenza
di indice γ è mostrarlo moltiplicato per la potenza di γ. Infatti, se una potenza di
indice −γ diventa, in coordinate logaritmiche, una retta di coefficiente angolare
−γ, la potenza di indice 0 diventa una retta piatta. Le energie in cui tale retta non
si mostra piatta sono quelle in cui c’è uno scostamento dalla legge di potenza
di indice dato. In figura 5.43 si mostra il flusso moltplicato per E2.7 . Si nota che
la legge di potenza è rispettata da energie superiori a circa 20 GeV, mentre sono
presenti oscillazioni già prima di 100 GeV; segue una leggera risalita media
della curva che indica una diminuizione dell’indice spettrale. Tutte queste
caratteristiche sono riscontrabili nel grafico precedente in figura 5.42.
Bisogna considerare che gli unici errori riportati nei grafici sono quelli statistici mentre gli errori sistematici non sono presi in considerazione. Soprattutto,
non si considera l’effetto dell’errore commesso nella selezione degli eventi ed è
difficile prevedere come questi possano agire nel calcolo del flusso.
Sebbene gli eventuali errori commessi nella selezione degli eventi si riflettano in errati valori del flusso calcolato, gli indici spettrali sono errati solo
se l’errore nella selezione dipende dall’energia delle particelle accettate o non
accettate. Una eventuale contaminazione di pioni non dovrebbe portare a variazioni rilevanti dell’indice spettrale misurato in quanto quello del flusso di
pioni è circa pari a quello del flusso di protoni ([29], pag. 9).
Errori sul cutoff A margine di questa sezione dedicata ai metodi usati per
ottenere i flussi differenziali, si fanno delle considerazioni sull’errore commesso
sul flusso a seguito della correzione per il cutoff.
Nel calcolo del flusso dei raggi cosmici galattici si considera la stima del
cutoff in due momenti distinti: la selezione delle particelle di rigidità superiore
al cutoff per ogni posizione lungo l’orbita e la normalizzazione del flusso per
il tempo totale in cui PAMELA è stata accessibile a particelle di una certa
rigidità. Il tempo speso per valori di cutoff inferiori ad una certa soglia è
mostrato in figura 5.39 dove si legge che una frazione significative del tempo
5.3. RAGGI COSMICI GALATTICI
149
Figura 5.44: Conteggi al secondo: in blu, le misure lungo tutta l’orbita normalizzate al tempo totale; in rosso, le misure lungo tutta l’orbita normalizzate al
tempo a cutoff inferiori od uguali alla rigidità in ascisse; in nero, le misure in
zone a basso cutoff (stimato < 1 GV/c) normalizzate al tempo totale passato in
queste zone.
viene spesa a bassi cutoff; ad esempio, PAMELA passa circa il 15% del tempo
a cutoff inferiori a 500 MV/c, circa pari a 120 MeV per i protoni. PAMELA
arriva anche ad essere accessibile a particelle di rigidità dell’ordine del kV/c, di
molto inferiore alla soglia minima di energia rilevabile di 50 MeV per elettroni
e positroni. L’orbita quasi-polare permette, quindi, di raccogliere statistica su
flussi primari di qualsiasi energia rilevabile.
Il flusso primario dedotto, a partire dal flusso misurato, può essere direttamente confrontanto con il flusso misurato ai poli, quindi sotto un certo cutoff
R0 , che sarà certamente primario sopra R0 + δ R0 , dove δ R0 è l’errore associato.
Qui si sceglie R0 = 500 GV/c e si visualizaa, in figura 5.44 il flusso misurato
su tutta l’orbita, sia corretto che non corretto per il cutoff, ed il flusso ai poli
(stesso intervallo temporale) non corretto per il cutoff che rappresenta il flusso
primario di riferimento.
La correzione opera correttamente; si nota una sovrastima del flusso per
rigidità inferiori a qualche GV/c di circa il 5%. Si deduce che Pamela passa più
tempo, rispetto a quanto calcolato, in corrispondenza delle zone dell’orbita di
cutoff inferiore od uguale alla rigidità letta in ascisse; in altri, termini, le zone a
basso cutoff sono più estese.
5.3.3
Flusso di elii
Si procede, analogamente a come fatto per i protoni, per calcolare il flusso di elii.
I criteri di selezione degli eventi sono gli stessi tranne che per le zone considerate
nei piani dE/ dx verso rigidità (figura 5.3.1) e dE/ dx verso β (figura 5.31).
L’energia cinetica è data in GeV per nucleone. Il risultato per dati compresi tra
luglio e novembre 2006 è mostrato in figura 5.46, insieme al fit della leggge di
150
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.45: Riferendosi alla figura 5.45, in blu il rapporto tra il flusso misurato
ovunque, non corretto per il cutoff, ed il flusso al polo, non corretto per il cutoff;
in rosso il rapporto tra il flusso misurato ovunque, corretto per il cutoff, ed il
flusso al polo, sempre non corretto per il cutoff.
potenza tra 20 GeV/n e 300 GeV/n. In figura 5.47 lo si mostra insieme allo spettro
differenziale di protoni. Non è possibile farne il rapporto perché le efficienze
di rilevazione di protoni ed elii sono, con molta probabilità, differenti.
L’indice spettrale risultante dai dati di vari esperimenti, prima del ginocchio
a 103 GeV, riportato da Grieder ([29], pag. 745), è γ = 2.63±0.02, quindi in ottimo
accordo con quello qui trovato.
5.4
Flussi a vari cutoff
Il flusso differenziale rilevato dipende dal cutoff geomagnetico in cui è misurato.
Si selezionano protoni con i tagli esposti al paragrafo 5.3.2 con le seguenti
differenze: si accettano particelle sia sopra che sotto il cutoff stimato; si accetta
un lever arm 4 (vedi paragrafo 3.1); si rigettano gli eventi acquisiti nell’anomalia
del Sud Atlantico, definita come la regione con valore del campo magnetico
B < 0.22 G. Si divide l’intervallo di rigidtà compreso tra 0 − 15 GV/c in 15
sottointervalli di larghezza 1 GV/c e, per ognuno di questi, si calcola, come
illustrato nelle sezioni precedenti, il flusso differenziale di protoni per il periodo
di tempo compreso tra luglio e novembre 2006.
Si mostra in figura 5.48 il flusso per l’intervallo di cutoff stiamato da 3 a
4 GV/c, corrispondente a 2.23 < L < 1.93. Si distingue nettamente il flusso
primario ad alte energie da quello di particelle subcutoff a più bassa energia.
Per particelle subcutoff si intende l’insieme delle particelle con rigidità inferiore
al cutoff: particelle intrappolate nelle fasce di radiazione, particelle secondarie
(prodotte nell’interazione di un raggio cosmico galattico con l’apparato o il
satellite), reentrant albedo (particelle di albedo che vengono deflesse dal campo
geomagnetico ed entrano in PAMELA dall’alto ed entro l’accettanza). Il flusso
5.4. FLUSSI A VARI CUTOFF
151
Figura 5.46: Conteggi di elii per unità di superficie, angolo solido, tempo
(corretto per il cutoff), larghezza del bin, in funzione dell’energia cinetica per
nucleone. Si mostra anche l’indice spettrale risultante dal fit tra 20 GeV/n e
300 GeV/n.
Figura 5.47: Spettro di elii e protoni primari.
152
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.48: Flusso differenziale di protoni, in funzione della rigidità, per
l’insieme di eventi acquisiti in una zona dell’orbita a cui corrisponde un cutoff
stimato compreso tra circa 3 e 4 GV/c.
Figura 5.49: Flussi differenziali di protoni per vari intervalli di rigidità.
primario inizia a mostrare un’inflessione a circa 4 GV/c, il limite superiore della
selezione sul cutoff 3 − 4 GV/c; solo a 3 GV/c tutti gli eventi selezionati hanno
rigidità inferiore al minimo cutoff selezionato, 3 GV/c. Lo spettro a rigidità
inferiori è la sovrapposizione tra lo spettro dei subcutoff e lo spettro dei primari
nella zona di penombra, cioè l’intervallo di rigidità in cui, a causa del campo
non dipolare, si rilevano ancora alcuni primari di rigidità inferiore al cutoff.
I flussi calcolati per tutti gli intervalli di rigidità sono mostrati in figura 5.49.
5.4. FLUSSI A VARI CUTOFF
153
Figura 5.50: Spettro di protoni, in arrivo dall’alto. Sono mostrati il flusso
calcolato tramite simulazione GEANT4 per protoni in arrivo sopra Palestine,
Texas, il flusso misurato da AMS alle latitudini (CGM) corrispondenti e il flusso
di primari misurato da BESS [20].
Considerazioni su misure del cutoff tramite Pamela
Il cutoff usato in questo lavoro, 14.9/L2 GV/c, è migliorabile utilizzando modelli
più avanzati. Vanno in questa direzione il calcolo e l’utilizzo delle coordinate geomagnetiche corrette (CGM) o delle coordinate geomagnetiche corrette
adattate all’altitudine (AACGM).
Tutti i modelli fin qui sviluppati per la stima del cutoff si basano sul
confronto con le simulazioni della propagazione delle particelle cariche nella
magnetosfera e con i dati sperimentali prodotti da pochi esperimenti.
Le simulazioni consistono nella ricerca della direzione asintotica di provenienza della particella attraverso l’integrazione dell’equazione del moto di una
particella di carica opposta e nel verso opposto a quelli della particella rilevata:
la traiettoria rientrante nell’atmosfera terrestre è proibita perché, cambiando
verso, non esistono particelle che si originino dalla Terra4 ; è invece permessa la
traiettoria che supera un numero di raggi terrestri sufficiente a poter ritenere
che l’origine sia galattica.
Esempi di simulazioni sono quelle sviluppate da GLAST per la generazione
dello spettro di raggi cosmici da utilizzare nei metodi Monte Carlo [20] e quelle
sviluppate da Smart e Shea [60], entrambi riferendosi al solo cutoff verticale, per
semplificare il calcolo, ed ai modeli di Tsyganenko per la modellizzazione delle
sorgenti esterne del campo geomagnetico. Il lavoro fatto da GLAST illustra il
solo strumento di simulazione e calcolo del cutoff mentre Smart e Shea partono
dal calcolo numerico fatto su griglie 5◦ di latitudine per 5◦ di longitudine ad
altezza costante e procedono interpolando i dati tramite la formula di Störmer
verticale con l’uso delle coordinate magnetiche corrette. I dati di Smart e Shea
coincidono con quelli di SAMPEX entro un grado di latitudine; i risultati delle
simulazioni sviluppate per GLAST sono invece mostrati in figura 5.50 e si
mostrano in buon accordo con i dati di AMS.
Pamela è il primo esperimento a portare in orbita uno spettrometro per un
tempo così lungo e su un intervallo di latitudini molto elevato (da −70◦ e 70◦ ).
Questo consentirà di avere un’ampia statistica nel tempo e poter misurare il
4 Esistono in realtà i cosiddetti splash albedo, particelle secondarie prodotte nelle interazioni dei
primari con l’atmosfera ma la loro energia è, in genere, molto più bassa di quella considerata.
154
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
cutoff in maniera precisa. Semplificando, misurato un flusso in un intervallo
di latitudine magnetica (es. CGM), si può definire upper cutoff la rigidità in
cui il flusso si discosta dal flusso misurato ad alte latitudini, e lower cutoff
la rigidità in cui misura il minimo del flusso di particelle subcutoff. Questo
metodo consente di avere una stima del cutoff più precisa di quanto ottenibile
tramite approssimati modelli analitici o software di simulazione.
I flussi mostrati in figura 5.49 sono già una misura di cutoff. Il rapporto tra
ciascuno dei flussi e lo spettro dei primari è, infatti, indipendente dall’efficienza;
lo si mostra in figura 5.51. Il flusso nell’intervallo di cutoff 0 − 1 GV/c è primario
per rigidità superiori ad 1 GV/c; lo si assume come riferimento per cui dividere
tutti gli altri flussi. Per ogni curva, l’upper cutoff misurato è il punto in cui il
rapporto si discosta da 1. Il limite di questa misura è che, in realtà, rappresenta
l’upper cutoff degli eventi a più alto cutoff per la selezione considerata. Per una
misura si dovrà procedere ad una riduzione della zona di orbita selezionata,
considerando l’aumento dell’errore statistico dovuto al minor numero di eventi
misurato. Andranno inoltre valutate le variazioni temporali del cutoff misurato,
le quali includo sia le variazioni in altitudine per longitudine e latitudine fissata,
a casua della precessione del perigeo, sia le variazioni dovute a pertubazioni
magnetiche.
Si vuole verificare quanto una parametrizzazione del cutoff Rc del tipo:
Rc =
K
Lγ
(5.6)
si adatti alle misure mostrate. Un corretto approccio al problema implica la
necessità di definire con esattezza un criterio per individuare il cutoff: ad
esempio, che il rapporto tra il flusso ad un intervallo di L definito ed il flusso
primario (grafici di figura 5.51) sia monotono crescente prima di Rc e che Rc
sia la rigidità per la quale il rapporto è inferiore di 2σ rispetto ad 1, definita σ
come la deviazione standard del grafico intorno ad 1 in un certo intervallo. Qui,
invece, in maniera molto approssimativa, si dà una stima dei valori di cutoff
dalla lettura dei grafici di figura 5.51, li si mostra in funzione di L in figura5
5.52 insieme ad un fit attraverso la (5.6). Il risultato è:
K = 18.1 ± 0.6
γ = 2.1 ± 0.1
5.5
Flusso di protoni in SAA
Un descrizione delle fasce di radiazione è stata fornita nel paragrafo 2.4; qui
si ricorda che la SAA è costituita sia da protoni che da elettroni ma, alle energie rilevabili dallo spettrometro di PAMELA, che partono da 50 MeV, la sola
componente rilevante è quella di protoni.
Si confronta, dunque, lo spettro differenziale di protoni nell’anomalia del
Sud Atlantico (SAA) con quello all’esterno, con lo scopo di osservare, per
rigidità inferiori al cutoff geomagnetico, la differenza tra un flusso puramente
5 Ogni valore di cutoff è da attribuire all’estremo inferiore degli intervalli in L elencati in figura
5.49.
5.5. FLUSSO DI PROTONI IN SAA
155
Figura 5.51: Rapporto tra i flussi differenziali di protoni per vari intervalli di
cutoff ed il flusso primario. Si faccia riferimento al grafico in figura 5.49 per
associare ciascun grafico ad un intervallo in L.
156
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.52: Fit di misure di cutoff a diversi L. In nero le misure di cutoff, in
rosso il fit secondo la legge 5.6, in blu la curva di upper cutoff 16.8/L2 stimata
da Smart e Shea in [57].
secondario ed un flusso con una componente aggiuntiva di protoni intrappolati.
La figura 5.53 illustra le selezioni effettuate. Si calcola il flusso all’interno
dell’anomalia in una zona di campo magnetico B < 0.20 G dove si attende un
flusso molto elevato; al contrario, la zona esterna è definita come quella per
cui B > 0.26 G, dove è ragionevole pensare che non rimangano intrappolati.
Inoltre, si limita la zona esterna ad un cutoff comparabile con quello all’interno
della SAA, in modo da poter ben confrontare tutto il flusso non primario. In
approssimazione di dipolo la L di McIlwain definisce il cutoff Störmer verticale,
come illustrato nel paragrafo 2.5.2; si seleziona, quindi, 1.15 < L < 1.50 che,
insieme alla restrizione sul modulo del campo, definisce le zone rosse in figura
5.53.
Si considerano i dati acquisiti dall’1 luglio al 30 novembre 2006. L’orbita
è tale da far sí che PAMELA trascorra circa 114 ore nella zona rossa in figura
5.53 e circa 16 ore nella zona blu. Si calcola il flusso differenziale attraverso il
procedimento illustrato in appendice B e le selezioni per protoni illustrate nel
paragrafo 5.3.2, ma non facendo tagli sul χ2 del fit ed accettando lever arm 4.
In figura 5.54(a) si mostrano gli spettri così ottenuti per protoni nella zona
blu (in SAA) e rossa (fuori SAA) di figura5.53. In figura 5.54(b) si mostra il
rapporto tra il flusso di protoni in SAA e quello fuori SAA.
Si può notare come il cutoff, il punto in cui il flusso primario interrompe il
suo andamento tipo legge di potenza, sia approssimativamente lo stesso per
i due spettri ed è pari a circa 12.4 GV/c in prossimità di L ≈ 1.15. Scendendo
in energia, in prossimità di 10 GV/c, si nota un ampio picco la cui larghezza
è dovuta alla sovrapposizione dell’effetto di diversi cutoff nella zona selezionata, marginalmente alla zona di penombra di cutoff, e alla sovrapposizione
dello spettro secondario su quello primario. Lo spettro secondario all’interno
dell’SAA è sensibilmente più alto fino ad oltre un fattore 103 a circa 80 MeV.
Il flusso di protoni intrappolati dipende, comunque, dalla selezione fatta
sul campo magnetico. Abbassando il valore massimo del campo il flusso di
protoni intrappolati misurato aumenterebbe. Si ripete, ad esempio, il confronto
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
157
Figura 5.53: Selezioni usate per il confronto tra lo spettro in SAA e fuori SAA.
Il grafico è fatto ad altezza costante di 1.075 raggi terrestri. La selezione blu
richiede il modulo del campo magnetico inferiore a 0.20 G. La selezione rossa
richiede il modulo del campo magnetico superiore a 0.26 G e parametro L di
McIlwain compreso tra 1.15 e 1.5 nell’emisfero boreale. Si rimanda al testo per
una descrizione dettagliata.
precedente tra lo spettro di protoni dentro e fuori la SAA calcolando il flusso nei
punti in SAA con valore del campo inferiore a 0.19 G; di conseguenza si modifica
anche la selezione su L per porsi a valori di cutoff confrontabili sia dentro che
fuori la SAA. La selezione è mostrata in figura 5.55. Gli spettri ottenuti e il loro
rapporto nelle figure 5.56(a) e 5.56(b). Il confronto tra lo spettro in SAA per
B < 0.19 G e quello per B < 0.20 G è mostrato in figura 5.57; Il flusso aumenta
all’incirca di un fattore 4.
Si può notare come la zona compresa tra l’upper cutoff ed il minimo dello
spettro subcutoff sia molto più ampia nella selezione B < 0.20 G rispetto a
quella B < 0.19 G. Andrà valutato se questa differenza ha una dipendenza
dall’altitudine. Si può ipotizzare che particelle galattiche con rigidità inferiori
all’upper cutoff seguano traiettorie fortemente deviate in prossimità della SAA
ed il loro arrivo risulta maggiormente favorito in SAA piuttosto che all’esterno
di essa.
5.6
Eventi solari di dicembre 2006
PAMELA ha avuto modo di osservare vari eventi solari occorsi durante il mese
di dicembre 2006. La loro frequenza e intensità è inaspettata per una condizione
di minima attività solare (vedi figura 1.9).
L’apparato è in grado di misurare lo spettro differenziale di protoni a partire
da 80 MeV, di elettroni e positroni a partire da 50 MeV e di contare i neutroni
ambientali di energia non termica.
I dati GOES
L’individuazione, la classificazione e la rilevazione di molti aspetti degli eventi
solari viene effettuata dallo Space Weather Center (SEC), struttura del National
158
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.54: In alto, spettro differenziale di protoni in SAA e fuori SAA con le
selezioni mostrate in figura 5.53. In basso, il rapporto tra i due flussi.
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
159
Figura 5.55: Selezioni usate per il confronto tra lo spettro in SAA e fuori SAA
con criteri diversi rispetto a 5.53. Il grafico è fatto ad altezza costante di 1.075
raggi terrestri. La selezione all’interno dell’SAA richiede il modulo del campo
magnetico inferiore a 0.19 G e parametro L di McIlwain compreso tra 1.17 e
1.3 nell’emisfero boreale. La selezione verde richiede il modulo del campo
magnetico superiore a 0.26 G e parametro L di McIlwain compreso tra 1.17 e 1.3
nell’emisfero boreale.
Classe Potenza (W/m2 )
B
I < 10−6
−6
C
10 ≤ I < 10−5
M
10−5 ≤ I < 10−4
X
I ≥ 10−4
Tabella 5.2: Classificazione NOAA della potenza dell flare.
Weather Service, che è una delle sei istituzioni che formano la National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) americana. Il loro principale
strumento di osservazione è costituito dai Geostationary Operational Environmental Satellite (GOES). Al di fuori del SEC, la maggior fonte di osservazioni
dirette del Sole è la sonda SOHO e, in minor parte, la sonda ACE.
I dati qui utilizzati e commentati sono quelli forniti dai rapporti GOES e dai
Preliminary Report and Forecast of Solar Geophysical Data del SEC [10, 11, 12].
Le informazioni riguardano, tra l’altro, la regione di origine degli eventi
solari, lo spettro X, i flussi integrali di protoni a partire da varie soglia minime
di energia comprese tra 1 MeV e 100 MeV, lo spettro differenziale nell’elio fino
a 500 MeV, il flusso integrale di elettroni a partire da 2 MeV, le componenti del
campo magnetico nella posizione dei satelliti GOES e il conteggio di neutroni
da parte del neutron monitor del Bartol Research Institute [69].
I dati raccolti da GOES, durante il periodo degli eventi di dicembre, e la
relativa legenda, sono mostrati in figura 5.58.
Si ricorda qui il criterio di classificazione delle flare, adottato dal NOAA,
come indice legato alla potenza della radiazione rilevata nello spettro X tra 1
ed 8 Å, riassunto in tabella 5.2. All’interno di ciascuno di queste classi esiste
poi una scala lineare con indice compreso tra 0 e 10, per cui, ad esempio, una
160
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.56: In alto, spettro differenziale di protoni in SAA e fuori SAA con le
selezioni mostrate in figura 5.55. In basso, il rapporto tra i due flussi.
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
161
Figura 5.57: Confronto tra lo spettro di protoni in SAA selezionato come in
figura 5.53, con B < 0.20 G, e quello selezionato come in figura 5.55, con B <
0.19 G.
flare di classe X1 è 4 volte più intensa di una flare di classe M5.
Gli eventi del dicembre 2006 sono originati da un’unica sorgente: la regione attiva NOAA 930, identificabile nell’ottico da una macchia solare apparsa
sull’east limb solare il 5 dicembre 2006. Essa ha prodotto una flare X9 in quel
giorno, una flare X6 il 6 dicembre, seguite dalle flare X3.4 il 13 dicembre e X1.5
il 14 dicembre, oltre a varie altre di classe C. Esse sono associate ai maggiori
picchi visibili nello spettro XL nella parte superiore di figura 5.58.
Flusso di protoni durante l’evento del 13 dicembre
Alle 02:40 UTC la Regione 930 produce una flare di classe X3.4 (figura 5.58,
grafico XL), insieme ad una CME con velocità apparante (non corretta per
effetti di proiezione) di 1500 km/s. GOES rileva SEP costituite da protoni oltre
100 MeV a partire dalle 03:00 UTC. Contemporaneamente ai protoni, GOES
rileva un aumento nel flusso di elii (figura 5.58, grafici A5-6). I neutron monitor
rilevano un Ground Level Enhancement nel flusso di neutroni di oltre il 10 %
rispetto al flusso medio6 (figura 5.58, grafico inferiore). Il campo magnetico
rimane poco perturbato per gran parte dell’evento (figura 5.58, grafico HP).
L’arrivo di particelle di alta energia 200 dopo la rilevazione del picco nello
spettro X, indica una buona connessione magnetica tra la Terra e la linea di
campo interplanetaria su cui emesse le particelle di alta energia.
PAMELA è pienamente operativa fino circa alle ore 5:00 UTC, quando un
riempimento della memoria di massa impedisce l’acquisizione degli eventi
fino al primo downlink dei dati, circa alle 8:20 UTC. Alle 09:50 UTC circa, il
satellite viene spento, e con esso PAMELA, per effettuare il reset di un contatore
temporale. I dati disponibili coprono, dunque, un intervallo di circa 2h a partire
da momento in cui GOES rileva particelle di alta energia e un intervallo di circa
1h300 a partire da 3h200 dall’inizio dell’evento.
6 Flusso
mediato su un’ora rispetto al flusso medio mensile.
162
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.58: Dati ambientali rilevati dai satelliti GOES nel periodo interessato
dalle flare di dicembre 2006 [69]. I flussi mostrati sono i seguenti:
XL
1 − 8Å X-rays (Watts/m2 )
XS
0.5 − 3Å X-rays, o 0.54Å prima di GOES-8 (Watts/m2 )
E1 > 2MeV (Elettroni/cm2 secsr)
I1 > 1MeV (Protoni/cm2 secsr)
I2 > 5MeV (Protoni/cm2 secsr)
I3 > 10MeV (Protoni/cm2 secsr)
I4 > 30MeV (Protoni/cm2 secsr)
I5 > 50MeV (Protoni/cm2 secsr)
I6 > 60MeV (Protoni/cm2 secsr)
I7 > 100MeV (Protoni/cm2 secsr)
A5
150 − 250MeV (particelleα/cm2 secsrMeV)
A6
300 − 500MeV (particelleα/cm2 secsrMeV)
HP
Perpendicolare al piano orbitale (nanotesla)
HE
Verso east (nanotesla)
HN
Normale ad HP e HE
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
163
Figura 5.59: Spettro differenziale di protoni durante la SEP del 13 dicembre
confrontanto con un intervallo di dati del 1 gennaio 2007.
In figura 5.59 si mostra, in nero, il flusso differenziale di protoni dalle rilevato
nelle prime due ore dell’evento: dalle 3:00 alle 5:00. Le selezioni applicate agli
eventi sono le stesse illustrate nella sezione 5.3.2, tranne per il fatto che non si
applicano tagli sul χ2 nel fit della traccia e il braccio di leva minimo richiesto
è maggiore od uguale a 4. Sullo stesso grafico si mostra il flusso di protoni,
avendo usato le stesse selezioni, in un periodo di Sole quieto; quello scelto va
dalle 00:00 alle 5:50 del primo gennaio.
Dato che lo spettro considerato riguarda particelle di rigidità di molto inferiore ai 15 GV/c, pari all’incirca al massimo cutoff geomagnetico a cui si trova
Pamela, la quantità di protoni rilevata ad una certa rigidità dipende dal tempo
in cui Pamela è accessibile alle particelle di tale rigidità. Il flusso è corretto per
questo effetto di cutoff, come già illustrato nella sezione 5.3.2.
Il flusso al Sole quieto mostra la tipica figura dovuta alla modulazione
solare, il cui effetto diventa rilevante al di sotto dei 10 GeV. Il flusso durante la
SEP è pari a quello dei galattici per energie superiori a circa 4 GeV; per energie
inferiori lo spettro è la sovrapposizione tra lo spettro di protoni solari e il flusso
di protoni galattici.
Va notato che la correzione per il cutoff qui applicata si basa su una stima
teorica del cutoff, che potrebbe non essere lo stesso a basse energie durante un
periodo di Sole quieto e durante una SEP. Non si può applicare lo stesso metodo
illustrato nella sezione 5.3.2 per valutare l’errore commesso nel correggere per
il cutoff, perché non è possibile confrontare, nello stesso intervallo temporale,
il flusso misurato ad alte latitudini con quello misurato ovunque, dato che non
si rilevano i soli protoni galattici. Si riprenderà tra breve questo aspetto.
Sebbene lo spettro mostrato non indichi un flusso assoluto ma solo unità
164
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.60: Rapporto tra il flusso di protoni misurato durante la SEP del 15
dicembre e il flusso di protoni misurato al Sole quieto del primo gennaio.
arbitrarie, in quanto non è corretto per l’efficienza, il rapporto tra il flusso
rilevato durante la SEP e il flusso rilevato al Sole quieto è una misura corretta,
nei limiti della considerazione precedente sulla correzione per il cutoff. Viene
mostrato in figura 5.60. Il flusso ad 80 MeV è oltre 1000 volte più alto durante la
SEP, 100 volte a circa 600 MeV, 10 volte a poco più di 1 GeV e diviene 1 a partire
da 4 GeV.
Il fattore 1000 a basse energie è un tipico ordine di grandezza per l’aumento
del flusso rispetto al Sole quieto. Non è possibile fare un semplice confronto
tra questo rapporto e il rapporto tra il flusso letto dai dati GOES in figura 5.58
perché quello qui mostrato è il flusso medio tra le 3:00 e le 5:00, un’intervallo
di tempo in cui ci sono notevoli variazioni del flusso.
Evoluzione temporale Si considera ora l’evoluzione temporale della SEP, calcolando il flusso in diversi intervalli temporali. Per la scelta degli intervalli è
importante considerare che solo in parte dell’orbita, quindi in parte del tempo,
è possibile fare osservazioni di particelle di bassa energia, a causa del cutoff
geomagnetico. In figura 5.61 si mostra, in basso, il grafico del cutoff stimato a
cui si trova PAMELA in funzione del tempo UTC e, in alto, un ingrandimento
del flusso integrale di protoni fornito da GOES, riferito allo stesso tempo. Si
deve considerare che il tempo di osservazione della flare è solo quello in cui il
cutoff è approssimativametne inferiore a circa 5 GV/c. Si selezionano i seguenti
intervalli:
• Intervallo a: dalle 00:00 alle 2:10.
protoni da parte di GOES.
È precedente all’osservazione dei
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
165
Figura 5.61: In basso, cutoff stimato a cui si trova Pamela in funzione del
tempo UTC. In alto, un ingrandimento del flusso di protoni della flare del 13
dicembre, già mostrato in figura 5.58, in funzione del tempo UTC; qui in verde
è il flusso integrale di protoni a partire da 100 MeV, in blu a partire da 50 MeV,
in rosso a partire da 10 MeV. Il tempo viene diviso in vari intervalli temporali
in corrispondenza dei quali si vuole calcolare il flusso differenziale di protoni e
di elii.
• Intervallo b: dalle 3:00 alle 3:45. Copre la parte iniziale ed di maggiore
incremento del flusso di particelle a tutte le energie rilevate da GOES.
• Intervallo c: dalle 3:45 alle 4:30. Il flusso continua a crescere a tutte le
energie rilevate da GOES ma meno velocemente che nell’intervallo b.
• Intervallo d: dalle 4:30 alle 5:00. È l’intervallo in cui si rileva approssimativamente il massimo del flusso integrale a partire da 100 MeV. Invece
continua a crescere il flusso per soglie di energia minore.
• Intervallo e: dalle 8:00 alle 10:00. Il flusso è in diminuizione anche per
energie inferiori a 10 MeV.
In figura 5.62, si mostrano gli spettri differenziali calcolati per ciascun intervallo di tempo e per il Sole quieto dell’1 gennaio. Il flusso nel periodo a
non mostra sostanziali differenze rispetto al Sole quieto, quindi il flusso dei
protoni galattici il 13 dicembre è simile a quell dell’1 gennaio. Nel periodo b,
l’inizio della flare, aumenta il flusso a tutte le energie inferiori a circa 4 GeV.
Nel tempo, osservando il flusso nei periodi c, d e poi e, la componente ad alte
energie diminuisce sensibilmente, mentre si mantiene elevato il flusso alle più
basse energie. Il periodo a presenta il massimo del flusso per energie superiori
166
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.62: Spettri differenziali di protoni, in funzione dell’energia cinetica,
relativi agli intervalli di tempo selezionati in figura 5.61.
Figura 5.63: Rapporti tra il flusso di protoni nei vari periodi indicati in figura
5.62 e il flusso al sole quieto dell’1 gennaio.
a circa 500 MeV, mentre il periodo c presenta il massimo del flusso alle energie
di 100 − 200 MeV. In figura 5.63 si mostrano i rapporti tra questi flussi e il flusso
dell’1 gennaio.
Questo tipo di andamento temporale è già stato illustrato nella sezione 1.5
ed è atteso in quanto le particelle di più alta energia arrivano sulla Terra prima di
quelle di più bassa energia; sono anche le prime a decrescere in intensità mentre
il flusso delle particelle di energia inferiore presenta un profilo temporale più
esteso. Il flusso medio ad 1 GeV calcolato dalle 3:00 alle 3:45 è più elevato di
circa un fattore 10 rispetto al flusso medio calcolato tra le 8:00 e le 10:00. Ad
80 MeV il flusso presenta variazione limite ad un fattore 2 nei i flussi medi
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
167
Figura 5.64: Spettri differenziali di protoni, in funzione della rigidità, relativi
agli intervalli di tempo selezionati in figura 5.61.
Tempo
Legge di potenza - intervallo (GeV)
D0 (GeV)
γ
b 3:00 - 3:45
0.9 - 3.0
2.9 ± 0.3
3.8 ± 0.2
c 3:45 - 4:30
0.6 - 3.0
1.5 ± 0.1
3.6 ± 0.1
d 4:30 - 5:00
0.5 - 2.5
1.00 ± 0.07 3.7 ± 0.1
e 8:00 - 10:00
0.2 - 1.0
0.20 ± 0.03 3.5 ± 0.1
Tabella 5.3: Stima dell’intervallo per cui è valida una legge di potenza per
gli spettri in energia cinetica di protoni, in diversi intervalli tempolari, relativi
all’evento del 13 dicembre.
calcolati tra le 3:45 e le 10:00. In maniera molto più approssimativa, queste
considerazioni possono essere fatte anche dall’osservazione dei flussi integrali
presentati da GOES fino ad energie di soglia di 100 MeV.
Gli stessi spettri di figura 5.62 vengono mostrati in funzione della rigidità
in figura 5.64.
Fit con legge di potenza In figura 5.65 si mostrano i fit con una legge di
potenza:
J(E) = D0 E−γ
degli spettri in energia cinetica di figura 5.62. I risultati dei fit sono riportati in
tabella 5.3.
Un meccanismo di accelerazione che produce un flusso che segue una legge
di potenza dipende dalla rigidità, in quanto questa è direttamente proporzionale al raggi di Larmour da cui dipende tempo di permanenza della particelle
nel meccanismo di accelerazione. Si consideri un flusso J di protoni in funzione
della rigidità R:
J(R) = D0 R−γ
(5.7)
può essere espresso in energia cinetica considerando che, per il protone, la
168
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.65: Fit con una legge di potenza degli spettri di figura 5.62. Risultati
in tabella 5.3.
Tempo
Legge di potenza - intervallo (GV/c) D0 (Arbitrary units)
γ
b 3:00 - 3:45
1.3 - 3.7
41 ± 6
5.1 ± 0.2
c 3:45 - 4:30
1 - 2.8
23 ± 3
5.2 ± 0.2
d 4:30 - 5:00
1 - 2.4
22 ± 3
5.8 ± 0.3
e 8:00 - 10:00
0.6 - 1.4
4.1 ± 0.3
5.9 ± 0.3
Tabella 5.4: Stima dell’intervallo di rigidità per cui è valida una legge di potenza
per gli spettri in rigidità di protoni, in diversi intervalli temporali, relativi
all’evento del 13 dicembre.
rigidità è pari all’impulso, quindi:
R2 = T2 + 2 m T
da cui:
J(T) = D0 (T2 + 2 m T)−γ/2
.
Per T >> m si ha J(T) ≈ T−γ dato che R ≈ T; è la situazione tipica di un
fit su uno spettro di raggi cosmici galattici. Invece, per T comparabile con
m = 938 GeV l’andamento di potenza non è valido. Un fit in energia cinetica
porta, quindi, a compiere errori dove gli intervalli di energia cinetica considerati
sono comparabili con la massa a riposo del protone, cioè alle energie qui prese
in esame.
Si procede con un fit in rigidità. In tabella 5.4 si riportano i fit degli spettri
in rigidità in figura 5.64 con la legge di potenza (5.7), mostrati in figura 5.66.
Il fit è relativo all’intervallo di rigidità indicato. Si può notare come l’intervallo di rigidità in cui è possibile individuare una legge di potenza decresce
col passare del tempo; la causa è la diminuizione del flusso ad alte energie
e la sovrapposizione allo spettro galattico che diventa una componente relativamente maggiore del flusso misurato nel periodo e rispetto al perido a e
contribuisce alla creazione dei flessi che si possono notare in scala logaritmica
ad alta energia, prima della sovrapposizione al flusso galattico. Per lo stesso
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
169
Figura 5.66: Fit con legge di potenza degli spettri in figura 5.64. Risultati in
tabella 5.4.
Figura 5.67: Stima del flusso, in funzione della rigidità, dovuto ai soli protoni solari calcolata come la differenza tra il flusso durante la SEP e il flusso
immediatamente precedente.
motivo si può pensare che l’indice spettrale misurato sia più hard a causa della
sovrapposizione del flusso galattico.
Si stima quindi il flusso dei protoni solari. La differenza tra il flusso misurato
durant la SEP e il flusso misurato immediatmente prima (fetta a dei grafici
precedenti) rappresenta una stima del flusso puramente solare. Si esegue questa
operazione per ogni fetta temporale e si mostra il risultato in figura 5.67.
Il fit con una legge di potenza è mostrato in figura 5.66 ed i risultati sono
elencati in tabella 5.5. Si nota che gli indici spettrali rimangono tra loro consistenti per tutta la durata dell’evento; si può supporre che l’indice spettrale
γ ≈ 6 sia caratteristico dell’evento. Inoltre, l’intervallo di rigidità in cui si indi-
170
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Tempo
Legge di potenza - intervallo (GV/c) D0 (Arbitrary units)
γ
b 3:00 - 3:45
1.3 - 4.4
60 ± 10
5.8 ± 0.2
c 3:45 - 4:30
1.1 - 4.2
30 ± 4
5.9 ± 0.2
d 4:30 - 5:00
1 - 4.4
24 ± 3
6.1 ± 0.2
e 8:00 - 10:00
0.6 - 3.2
3.9 ± 0.3
6.0 ± 0.1
Tabella 5.5: Stima dell’intervallo di rigidità per cui è valida una legge di potenza
per gli spettri in figura 5.67.
Figura 5.68: Fit con legge di potenza degli spettri in figura 5.67. Risultati in
tabella 5.5.
vidua una legge di potenza può essere spiegato facendo l’ipotesi che questo sia
direttamente legato ai tempi di arrivo delle particelle di diversa energia cinetica. Nell’intervallo temporale b, cioè all’inizio della flare, sarebbe rilevato un
flusso caratteristico di particelle nell’intervallo di rigidità 1.3 − 4.4 GV/c. Negli
intervalli c ed d diminuisce il flusso a più alta energia e il fit è più difficoltoso
per un’abbassamento di statistica; si nota però che l’estremo inferiore dell’intervallo di rigidità in cui il flusso presenta una legge di potenza si abbassa da
1.3 a circa 1 GV/c. Nel periodo e il flusso ad alta energia, sopra 3.2 GV/c, è ormai
quasi assente e si nota ulteriore abbassamento della rigidità minima a cui si
trova uno spettro di potenza, da 1 a 0.6 GV/c.
Queste considerazioni portano ad ipotizzare che esista un meccanismo di
produzione con legge di potenza definita da indice spettrale γ ≈ 6, dalle più
alte rigidità fino ad almeno 0.6 GV/c, e che questo viene rilevato in funzione dei
tempi di arrivo e di diminuizione del flusso particelle a diversa energia.
Flusso di elii durante l’evento del 13 dicembre
In figura 5.69 si mostra lo spettro differenziale di elii, in funzione dell’energia
cinetica per nucleone, rilevato dalle 3:00 alle 6:00 del 13 dicembre e confrontanto
con quello del Sole quieto il primo gennaio. Si nota che il flusso di elii solari
inizia ad energie comprese tra 1 e 2 GeV.
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
171
Figura 5.69: Spettro differenziale di elii durante la flare del 13 dicembre
confrontato con un intervallo di dati del 1 gennaio 2007.
Il rapporto tra il flusso di elii durante la flare e quello al Sole quieto è
mostrato in figura 5.70. Per 100 MeV/n il flusso durante la flare è più elevato di
un fattore circa 150 rispetto al flusso al Sole quieto.
Dopo aver stimato le efficienze, sarà possibile fare un confronto tra gli spettri
misurati ed i flussi differenziali GOES per l’elio (per i protoni GOES fornisce lo
spettro integrale), studiando nel tempo l’andamento del flusso. Se si verifica
la consistenza delle misure di flusso fatte con PAMELA con quelle di GOES ne
consegue che la correzione qui usata per il cutoff, quindi il cutoff geomagnetico
stimato, rimane valida durante la flare; infatti si è calcolato il rapporto tra un
flusso corretto per il cutoff durante la flare e il flusso corretto per il cutoff durante
un periodo di Sole quieto, quindi lontano da possibili perturbazion magnetiche.
In generale, il confronto del flusso di particelle rilevate da PAMELA con i
flussi di GOES, non soggetti a cutoff geomagnetico, rappresenta un modo per
verificare se ci siano pertubazioni del cutoff geomagnetico durante un evento
solare.
Flusso di protoni durante l’evento del 14 dicembre
Alle 21:15 UTC, dalla regione attiva 930 viene emessa una flare di classe X1
(figura 5.58, grafico XL), insieme ad una CME con velocità apparente (non
corretta per effetti di proiezione) di 1500 km/s. GOES rileva SEP costituite da
protoni oltre 100 MeV a partire dalle 22:55 UTC, quindi 1h400 dopo la rilevazione
nello spetto X; questo indica che la regione attiva, muovendosi verso ovest, si è
spostata su linee di campo meno favorevoli rispetto alla flare del 13 dicembre.
Alle 13:56 la sonda ACE rileva l’arrivo della CME emessa in associazione alla
172
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.70: Rapporto tra il flusso di elii misurato durante la flare del 13
dicembre e il flusso di elii misurato al Sole quieto.
flare del 13 dicembre, accompagnata da una pertubazione magnetica che dura
fino a circa le 18:00 del 15 dicembre. La pertubazione è visibile in figura 5.58 nel
grafico HP, che rapppresenta la componente del campo interplanetario (IMF)
perpendicolare al piano orbitale dei satetelliti GOES, che è il piano equatoriale
terrestre. Si rappresenta la componente perpendicolare HP in quanto le pertubazioni magnetiche diventano rilevanti quando l’IMF presenta una polarità
opposta a quella del campo magnetico terrestre; questo accade quando diventa
negativa la componente dell’IMF perpendicolare all’equatore magnetico. Alle
00:00 circa del 15 dicembre, HP diventa circa 0, rispetto all’equatore geografico,
e ci saranno vari punti in cui è negativo rispetto all’equatore magnetico. In
queste condizioni è possibile la riconnessione delle linee di campo dell’IMF con
il campo magnetico terrestre e l’iniezione di particelle nella magnetosfera.
Lo spettro differenziale di protoni misurato da PAMELA tra le 21:00 del
14 dicembre e le 2:00 del 15:00 è mostrato in figura 5.71, insieme al flusso del
Sole quieto dell’1 gennaio. In figura 5.72, grafico nero, si mostra il rapporto
tra il flusso durante la flare e quello dell’1 gennaio; per confronto si mostra
anche il rapporto riferito alla flare precedente. La flare del 14 dicembre è meno
intensa di quella del 13 dicembre, come si vede anche dai flussi di particelle
rilevati da GOES. Una caratteristica significativa di questo flusso di protoni
del 14 dicembre è che esso è minore del flusso dei protoni galattici del Sole
quieto tra circa 600 MeV e circa 10 GeV. Si può ipotizzare di star osservando
un effetto di Forbush decrease dei raggi cosmici galattici. L’arrivo della CME è
accompagnato da una tempesta geomagnetica e le condizioni sono tali da creare
un disturbo nell’arrivo dei galattici [38]. GOES non è in grado di misurare il
flusso dei galattici perché conta, principalmenete, particelle solari di bassa
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
173
Figura 5.71: Spettro differenziale di protoni durante la flare del 14 dicembre
confrontanto con un intervallo di dati del 1 gennaio 2007.
energia. Il Forbush decrease è tipicamente misurato dai neutron monitor a
Terra; in figura 5.58 è ben visibile un decremento del 10% del flusso nel flusso del
McMurdo Neutron Monitor. Con PAMELA si misura un decremento massimo
del flusso di protoni, ben leggibile in figura 5.72, di circa il 30% rispetto al flusso
al Sole quieto.
Andamento temporale del Forbush decrease Per illustrare l’andamento del
Forbush decrease si scelgono cinque intervalli temporali:
• 14 dicembre dalle 16:00 alle 18:00. Rappresenta l’inizio del Forbush decrease visto dal neutron monitor di McMurdo in figura 5.58. Sono ancora
presenti particelle della SEP del 13 dicembre.
• 14 dicembre dalle 19:15 alle 21:30. Incremento del Forbush decrease visto
dal neutron monitor di McMurdo. Lieve diminuizione delle particelle
della SEP del 13 dicembre.
• 14 dicembre dalle 22:55 alle 01:00. Ulteriore incremento del Forbush
decrease visto dal neutron monitor di McMurdo. Arrivo della SEP emessa
durante la flare delle 21:15.
• 15 dicembre dalle 12:00 alle 24:00. Secondo il neutron monitor di McMurod, effetto Forbush minore rispetto al 14 dicembre. Flusso basso di
protoni a partire da 100 MeV secondo GOES.
• 1 gennaio 2007 dalle 0:00 alle 5:50. Rappresenta il flusso al Sole quieto.
174
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.72: Rapporto tra il flusso di protoni misurato durante le flare e il
flusso di protoni misurato al Sole quieto. In rosso il rapporto per la flare del 13
dicembre ed nero il rapporto per la flare del 15 dicembre.
In figura 5.73(a) si mostrano gli spettri differenziali di protoni relativi agli
intervalli temporali sopra esposti. Si mostra un ingrandimento, per meglio
chiarire le differenze tra i vari spettri. Infine, nelle figure 5.74 si mostrano i
rapporti tra ciascuno di questi spettri e lo spettro al Sole quieto (in blu). Le
convenzioni di colore sono quelle indicate in figura 5.73(a).
I grafici mostrano che tutti gli intervalli temporali considerati tra il 14 e il
16 dicembre presentano un flusso di protoni inferiore a quello quieto (SEP a
parte). La lettura alle alte energie è più difficoltosa a causa della bassa statistica.
Nel primo intervallo, grafico nero, inizia l’effetto Forbush a causa dell’arrivo
della CME del 13 dicembre; si rileva un abbassamento del flusso del 20 − 30 %,
rispetto al Sole quieto, a partire da 700 MeV fino ad almeno 20 GeV.
Nel secondo intervallo, grafico rosso, la diminuizione delle particelle di
bassa energia della SEP del 13 permette di osservare il Forbush anche ad energie
inferiori, fino a 400 MeV circa. La sua intensità aumenta rispetto all’intervallo
precedente dato che si osserva un abbassamento del flusso di circa il 40 %
rispetto al Sole quieto, se si considerano energie fino a 3 − 4 GeV. Non si
ossservano variazioni significative ad energie maggiori.
Il terzo intervallo, grafico celeste, è relativo all’arrivo della SEP. Per questo
motivo, alle basse energie e fino ad 1 GeV, il flusso è superiore fino ad un fattore
102 rispetto al flusso al Sole quieto. L’abbassamento del flusso è ancora del 40 %
fino a circa 3 GeV e va gradualmente scemando ad energie maggiori, sebbene
si possa ancora osservare anche a 30 GeV.
Il quarto intervallo, grafico verde, si riferisce ad un periodo relativamente
distante dalla SEP del 13 dicembre e si rilevano particelle di energie inferiori a
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
175
Figura 5.73: In alto, spettri differenziali di protoni relativi agli intervalli indicati
e descritti nel testo. In basso, un ingrandimento.
176
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Figura 5.74: Rapporti tra gli spettri differenziali di protoni nei vari intervalli
temporali di figura 5.73(a) (si mantengono le convenzioni di colore) e il flusso
al Sole quieto (colore blu nella stesa figura).
5.6. EVENTI SOLARI DI DICEMBRE 2006
177
Figura 5.75: Spettro differenziale di elii durante la flare del 15 dicembre
confrontato con un intervallo di dati del 1 gennaio 2007.
300 MeV riconducibili alla SEP del 14 dicembre. L’intervallo di energie in cui si
nota Forbush decrease è diminuito: circa il 30 % di abbassamento del flusso al
400 MeV ed effetto sempre minore ad energie maggiori e fino a 5 GeV, quando
il rapporto torna ad essere pari ad 1.
Flusso elii durante l’evento del 14 dicembre
Il flusso di elii tra le 21:00 del 14 dicembre e le 2:00 del 15 dicembre è mostrato
in figura 5.75, insieme al flusso al Sole quieto dell’1 gennaio. Non si notano
incrementi e le oscillazioni a bassa energia sono dovute alla bassa statistica. Da
figura 5.58 si vede che anche GOES non misura incrementi nel flusso di elio, se
non uno di lieve entità ad energie inferiori a quelle rilevabili da PAMELA. Ad
energie comprese tra 600 MeV/n e quasi 2 GeV/n si vede un leggero decremento
rispetto al flusso al sole quieto che può essere interpretato come l’effetto del
Forbush decrease sul flusso degli elii galattici.
178
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Conclusioni
Questo lavoro di tesi ha analizzato alcuni aspetti dell’ambiente fisico in cui
PAMELA acquisisce dati e ha illustrato le prime misure riguardanti le particelle
intrappolate, i raggi cosmici galattici e gli eventi solari di dicembre 2006.
La prima parte di lavoro, riguardante il calcolo dell’orbita tramite l’utilizzo
del modello SGP4, lo studio delle sue caratteristiche, delle perturbazioni rispetto al modello kepleriano e delle conseguenti variazioni nel tempo, può ritenersi
conclusa. A margine, si potrebbe migliorare la stima dell’indeterminazione
sulla posizione, attualmente di circa 10 km, utilizzando le misure indipendenti
di posizione fornite dal satellite RESURS, tramite GPS, ad ogni passaggio per
il nodo ascendente.
A partire dalla posizione sono stati determinati i valori di campo magnetico
lungo l’orbita tramite il modello IGRF, le coordinate magnetiche invarianti ed
il cutoff Störmer verticale. La stima del cutoff geomagnetico è stata utilizzata
per la selezione dei raggi cosmici galattici, per dedurre lo spettro differenziale
primario stimando che tale procedura comporta un errore relativo di circa il
5 %. Sono state mostrate le variazioni dello spettro misurato a diversi cutoff e si
è discusso della possibilità di utilizzarle per misure di cutoff a diverse latitudini,
altezze ed in funzione del tempo. Tali misure non hanno precedenti in quanto
PAMELA è il primo strumento dotato di uno spettrometro magnetico in orbita
semi-polare ed in grado di acquisire elevata statistica, con notevole precisione,
nell’intervallo di rigidità 0 − 20 GV/c, dove si rilevano gli effetti di cutoff. Si
potranno anche effettuare confronti con gli attuali modelli di calcolo del cutoff
stesso.
Ulteriore studio può essere dedicato alla misura delle asimmetrie azimutali
del cutoff, dipendenti dalla carica, e dei loro effetti sulla stima dello spettro
primario. A tale scopo è necessario concludere il lavoro, già in corso, sulla
determinazione dell’orientazione di PAMELA e sulla direzione di incidenza
delle particelle rispetto al piano magnetico locale. Ai limiti inferiori delle
energie rilevabili da PAMELA, la conoscenza del cutoff può essere d’aiuto nella
determinazione dello stato di ionizzazione di raggi cosmici anomali, dato che
a stati diversi di carica corrispondono diverse rigidità e conseguente diversa
accessibilità nei vari punti della magnetosfera terrestre.
Sono state definite ed utilizzate selezioni preliminari sugli eventi per individuare protoni ed elii e rigettare pioni a partire dalle sole misure di rigidità,
velocità e rilascio di energia sui piani di silicio del tracker. Su queste particelle, come su elettroni, positroni, antiprotoni e nuclei, sono possibili molte
altre selezioni utilizzando le misure fornite dai vari strumenti di PAMELA.
Tutte le selezioni dovranno essere valutate tramite simulazioni Monte Carlo e
si dovranno stimare efficienze e contaminazioni.
179
180
CAPITOLO 5. PRIMI DATI SUI RAGGI COSMICI
Si è evidenziata la necessità di adeguate correzioni sui conteggi di neutroni, effettuati dal neutron detector; inoltre, è stata studiata la loro dinamica in
funzione della posizione del satellite. È stata stimata la probabilità di contare
neutroni di fondo all’interno della finestra di trigger ma, dato che la maggiore
parte del fondo di neutroni è dovuto alle interazioni con il satellite, sarà necessario un ulteriore attento studio degli andamenti e delle fluttuazioni statistiche
prima di poter utilizzare il neutron detector per individuare variazioni ambientali di neutroni. Gli sforzi maggiori saranno rivolti alla ricerca di neutroni
emessi durante eventi solari; dato che il loro arrivo è indipendente dalla connessione magnetica Terra-Sole, il numero di eventi solari analizzabili è maggiore
delle SEP rilevate.
Il lavoro sugli eventi solari ha incluso lo studio dello spettro di protoni ed
elii delle SEP del 13 e 14 dicembre, dell’andamento temporale dello spettro di
protoni durante l’evento del 13 dicembre e durante il Forbush decrease rilevato
a partire dal 14 dicembre. La precisione raggiunta dalle misure alle alte energie
non ha precedenti dato che quelle attualmente disponibili ad di sopra del GeV
sono ottenute tramite neutron monitor a terra. Si è mostrato, per la SEP del 13
dicembre, come una legge di potenza in rigidità descriva con buona precisione l’andamento del flusso di protoni alle alte energie ed il suo andamento in
funzione del tempo; andrà verificato con attenzione se altri tipi di legge (esponenziale, funzione di Bessel etc. . . ), previsti da vari modelli di accelerazione,
possano meglio descrivere i dati nei vari intervalli di energia. Data l’elevata statistica raccolta durante tali eventi, è possibile affinare lo studio dell’andamento
temporale aumentando il numero di intervalli; inoltre, potendo rilevare uno
spettro differenziale fino alle più alte energie raggiunte dalle particelle solari è
possibile studiare con precisione i loro tempi di emissione e propagazione nel
campo magnetico interplanetario.
La definizione di selezioni sui positroni permetterà, per la prima volta,
di misurarne direttamente lo spettro durante la flare; finora le misure sono
indirette e dovute all’osservazione della radiazione gamma di annichilazione;
in modo analogo potrà essere misurato lo spettro di elettroni. Definiti dei criteri
di discriminazione isotopica, potrà essere misurato il rapporto 3 He/4 He durante
le varie SEP rilevate, correlato al meccanismo di produzione.
Si è discusso della possibilità di estendere l’intervallo di osservazione di
PAMELA verso le basse energie, fino a rilevare elettroni a partire da circa
2 MeV e protoni a partire da circa 20 MeV, attraverso l’utilizzo degli primi
strati scintillatori del sistema del tempo di volo: sono stati mostrati gli spettri
integrali così calcolati e le loro variazioni all’interno delle fasce di radiazione,
nonché le ampie oscillazioni in funzione del tempo dei conteggi nella fascia
esterna di elettroni. La possibilità di abbassare l’energia minima rilevabile
allarga il campo di esplorazione della fisica della magnetosfera e la possibilità
di rilevare particelle solari di energia più bassa rispetto agli 80 MeV del trigger
dell’apparato.
Appendice A
Calcolo del fattore geometrico
Si pone il problema di determinare il flusso di particelle incidenti su di un
rivelatore partendo da una misura dei conteggi al secondo.
Dato un flusso I, espresso in particelle/(cm2 sr s), di particelle incidenti su un
qualsiasi rilevatore di PAMELA, solo parte di esso viene rilevato a causa delle
inefficenze e della dimensione finita del rivelatore. Il tasso di conteggi C, in
particelle/s, è esprimibile come:
C = ΓI
(A.1)
dove Γ è detto potere di raccolta, in cm2 sr ([64], pag. 5). Sia Γ che I sono,
in generale, funzione di molte variabili: posizione, direzione della particella,
tempo, tipo di particella ed energia.
Per semplificare, si supponga che il flusso di particelle sul rilevatore sia
isotropo, I = I0 , e constante nel tempo. Si supponga anche di riferirsi ad un
solo tipo particella in un intervallo di energia in cui l’efficienza di rilevazione è
costante. Il potere di raccolta è quindi esprimibile come:
Γ = G
dove G è il fattore geometrico, cioè l’efficienza geometrica dovuta alle sole dimensioni e alle posizioni relative delle parti che compongono il rilevatore, mentre
è un numero minore o uguale ad 1 che include tutte le restanti efficienze di
rilevazione della particella data di momento dato.
Si vuole discutere la sola efficienza geometrica, si pone dunque = 1 sempre.
La (A.1) diviene:
C = G I0
(A.2)
In questo modo, data una rate misurata di particelle C, in particelle/s, è possibile
ricavare il flusso I0 , in particelle/(cm2 sr s). G ha quindi le dimensioni di un’area
per un angolo solido.
Rivelatori piani
Una geometria semplice è un rivelatore assimilabile ad un piano, di spessore
trascurabile, che riceve particelle solo su un emisfero, come illustrato in figura
181
182
APPENDICE A. CALCOLO DEL FATTORE GEOMETRICO
Figura A.1: Un rivelatore piano che vede un solo emisfero ([64], pag 6).
G(cm2 sr)
Dimensioni
S1
(40.8 × 33)cm2
4229.84
S111A (paddle relativa)
(5.1 × 33)cm2
528.70
S2
(18 × 15)cm2
848.23
S3
”
”
S1 AND S2
–
276.55
Rivelatore di neutroni
(60 × 55 × 15) cm3 31573 cm2 sr
Tabella A.1: Fattori geometrici di vari rivelatori. Per S1, S2, S3, S111A ed S1
AND S2 il fattore geometrico si riferisce al solo flusso proveniente dall’alto.
A.1. Detto dω = dφ dcos θ l’elemento di angolo solido (con θ e φ angoli
zenitale ed azimutale), il fattore geometrico si può esprimere come:
Z
G=
Ω
Z
d~σ · r̂
dω
(A.3)
S
dove r̂ è il versore relativo alla direzione (θ, φ), d~σ · r̂ è l’elemento di area effettiva
sottesa all’angolo solido ω, S è l’area del rivelatore ed Ω è l’angolo solido su cui
si integra ω ([64], pag. 6). Quindi:
Z
G=
2π
Z
0
1
Z
dcos θ
dφ
0
dσ cos θ = . . . = π A
(A.4)
S
dove A è l’area del rivelatore.
Il calcolo si complica volendo considerare le coincidenze tra due piani posti
ad una certa distanza. In PAMELA è il caso delle coincidenze tra i conteggi dei
vari piani del TOF. Si può far riferimento a [64], pag. 8, per i dettagli.
Nella tabella A.1 si riportano alcuni fattori geometrici calcolati per vari
rivelatori. Si assume che il flusso sugli scintillatori provenga principalmente
dall’alto e che il flusso del fondo di neutroni provenga solo dai lati e dal fondo
del rivelatore di neutroni.
183
Anisotropia del flusso
Si consideri ora un flusso non isotropo ma dipendente dalla direzione di provenienza delle particelle, esprimibile, nel sistema di riferimento sferico solidale
con il rilevatore, attraverso gli angoli θ φ. I numero di conteggi dipende dalla
posizione relativa del rivelatore rispetto al flusso. La (3.2) diviene:
Z
Z
G=
dω
d~σ˙·r̂ F(ω)
(A.5)
Ω
S
dove F(ω) è una funzione che esprime la modulazione direzionale del flusso
nel sistema di riferimento solidale al piano ([64], pag. 6).
Per un piano come quello in figura A.1, per un flusso ideale monodirezionale, questa dipendenza potrebbe essere espressa con un coseno dell’angolo tra
il vettore superficie la direzione del flusso. In generale, si conosce la modulazione direzionale del flusso come F = F(R̂), dove R̂ è la direzione in un certo
sistema di riferimento, tipicamente quello geocentrico. Per integrare la (A.5) è
necessario esprimere F(ω) = F(ω(R̂)) tramite una trasformazione di coordinate
che dipende dal tempo e dalla posizione.
Una situazione di questo tipo è quella delle particelle cariche che interagiscono con il campo geomagnetico subendo una deviazione dipendente dalla
loro carica e direzione. L’asimmetria est-ovest, della quale si è parlato nel
paragrafo ??, è uno dei principali effetti. Questa asimmetria è assente se la particella arriva in direzione parallela o vicina allo zenith locale ed è inversamente
proporzionale all’energia. Considerando che PAMELA è quasi sempre rivolta
verso lo zenith, l’effetto dell’asimmetria sul flusso totale è piccolo e limitato in
energia ma comunque stimabile dalla (2.43). La (A.3) può anche essere utilizzata per stimare l’asimmetria confrontando il flusso rilevato nei momenti in cui
il Resurs è inclinato di ±30◦ perpendicolarmente al vettore velocità.
Campo magnetico
Una particella che entra nello spettro magnetico subisce una deviazione da
parte del campo dipendente dalla sua rigidità e dalla direzione di incidenza;
viene rivelata solo se arriva a colpire S3, lo scintillatore del TOF posto sotto il
magnete.
La (3.2) porta in sé un’assunzione qui non più valida: la traccia segue una
linea retta. È vero invece che essa segue una deviazione che dipende dal punto
di entra nel magnete (x, y), dalla direzione di incidenza (θ, φ) e dalla rigidità
ρ. La definizione di fattore geometrico va modificata:
Z
Z
G=
dω
d~σ · r̂ f (x, y, θ, φ, ρ)
(A.6)
Ω
S
dove f è la funzione che vale 1 o 0 se la traccia arriva o meno allo scintillatore
S3 ([54], pag. 115).
La situazione è quella illustrata in figura A.2 per uno specifico punto di
impatto, per una particella di carica positiva. Definito l’angolo di accettanza
come quello tra la verticale in (x y) e la direzione di provenienza della particella,
si mostra come per rigidità diverse ci siano angoli di accettanza diversi. A
184
APPENDICE A. CALCOLO DEL FATTORE GEOMETRICO
Figura A.2: Schema di costruzione della funzione f (x, y, θ φ ρ) in (A.6) ([54],
pag. 140).
sinistra due particelle di alta rigidità, a destra due particelle di più bassa rigidità;
in entrambi i casi si mostra l’angolo minimo di accettanza e la situazione per
un angolo inferiore.
Conoscendo il valore campo su di una griglia fitta di punti all’interno del
magnete1 , è possibile calcolare numericamente il valore di f (x, y, θ, φ, ρ) integrando su tutto lo spazio dei parametri. Per tale procedura si può far riferimento
a [54], capitolo 4.
Si deve inoltre considerare una leggera asimmetria del campo, per cui, per
particelle di bassa energia, il fattore geometrico presenta una dipendenza dalla
carica.
Il fattore geometrico così calcolato è mostrato, in funzione della rigidità, in
figura A.3 per particelle di carica positiva e in figura A.4 per particelle di carica
negativa. Si può notare come sia all’incirca costante, pari a (21.61 ± 0.04)cm2 sr,
ad alte rigidità perché la deflessione è bassa e, conseguentemente, quasi tutte
le particelle incidenti su traiettorie rientranti nel magnete arrivano su S3.
1 Il
campo è stato misurato su di una griglia di 70000 punti con un passo di 5 mm, [54], pag. 27
185
Figura A.3: Fattore geometrico in cm2 sr in funzione della rigidità in GV/c per
particelle di carica positiva provenienti dall’alto.
Figura A.4: Fattore geometrico in cm2 sr in funzione della rigidità in GV/c per
particelle di carica negativa provenienti dall’alto.
186
APPENDICE A. CALCOLO DEL FATTORE GEOMETRICO
Appendice B
Metodi per il calcolo del
flusso differenziale
Si descrive il procedimento utilizzato in questo lavoro di tesi per il calcolo
del flusso differenziale a partire dalle misure di deflessione fatte attraverso lo
spettrometro magnetico.
La maggiore parte dei metodi applicati per costruire un grafico del flusso
differenziale sono comuni a tutti i tipi di flusso e verranno, quindi, di seguito
discussi in dettaglio solo nel caso del flusso differenziale di protoni primari.
Selezioni Le selezioni per i protoni galattici solo le stesse descritte nel paragrafo 5.3.2. Le si riportano di seguito:
• Particelle provenienti dall’alto. Si richiede che la velocità β calcolata dal
TOF sia positiva.
• Particelle di carica positiva. Corrispondono a particelle con deflessione
negativa nel tracker (nel sistema di riferimento convenzionale di Pamela).
• Rigidità misurata dal tracker superiore al cutoff geomagnetico calcolato
secondo la (2.49).
• Protone nel grafico del rilascio di energia nei piani di silicio tracker in funzione della rigidità misurata dal tracker, così come risulta dalla selezione
illustrata in figura 5.3.1.
• Protone nel grafico del rilascio di energia nei piani di silicio tracker in
funzione della velocità misurata dal TOF, così come risulta dalla selezione
illustrata in figura 5.31.
• Particella non classificata come pione nel grafico della velocità misurata
dal TOF in funzione della rigidità misurata dal tracker, così come risultata
dalla selezione illustrata in figura 5.35.
• Presenza di una sola traccia individuata dall’algoritmo di fit del tracker e
con χ2 < 10.
187
188APPENDICE B. METODI PER IL CALCOLO DEL FLUSSO DIFFERENZIALE
• Braccio di leva, dato dalla massima distanza, in numero di piani, tra i punti
di passaggio rilevati dal sistema di tracciamento del tracker, maggiore o
uguale a cinque.
• Eventi compresi tra luglio e novembre 2006; si esclude il mese di dicembre
a causa della più intensa l’attività solare.
Il risultato delle selezioni è un insieme di circa 13 milioni di eventi su 243
milioni di eventi totali acquisiti di presa dati nel periodo considerato (circa 77
giorni tra luglio ed novembre 2006).
Si calcola il flusso differenziale j su un insieme di intervalli discreti di rigidità
R, nel modo seguente:
j(R) =
N(R)
G(R) ∆E (R) ∆t (R) (R)
(B.1)
dove:
• N(R) è il numero di conteggi nell’intervallo di rigidità associato alla rigidità R. Ad esempio, R = 2 GV/c potrebbe cadere nell’intervallo 1.9GV/c ≤
R ≤ 2.2GV/c corrispondente ad un divisione dell’asse delle ascisse dell’istogramma scelto per rappresentare il flusso, N(2GV/c) corrisponde al
numero totale di eventi con rigidità misurata compresa in quell’intervallo
e il flusso associato j(2 GV/c) sarà il flusso medio in quell’intervallo.
• G(R) è il fattore geometrico calcolato per quel valore di rigidità.
• ∆E (R) è la larghezza dell’intervallo (0.3GV/c nell’esempio precedente) e
qui si sceglie di normalizzare per il suo valore in unità di energia cinetica.
• ∆t (R) è il tempo in cui Pamela è stata accessibile alle particelle di rigidità
R. È calcolato a partire dalla stima del cutoff geomagnetico ed è parti al
tempo totale moltiplicato un fattore correttivo inferiore ad 1 per rigidità
inferiori al massimo cutoff.
• (R) è l’efficienza totale nella misura del flusso. Qui si pone pari ad 1.
Eventualmente il flusso lo si esprime in energia cinetica anziche in rigidità.
Tutto questo verrà ora illustrato in dettaglio, insieme alla propagazione degli
errori.
Porre = 1 vuol dire non poter dare un valore assoluto del flusso. Il flusso
qui dato andrà ulteriormente corretto per un fattore, in generale dipendente
dall’energia, per ottenere un flusso assoluto. Per questo motivo tutti gli spettri
qui mostrati saranno espressi in unità arbitrarie.
Istogramma dei conteggi Si crea un istogramma per contare quante particelle
si rilevano per ogni intervallo di rigidità (unità GV/c). Si costruisce l’asse della
ascisse con divisioni logaritmiche, così come illustrato in D, con lo scopo di
diminuire l’errore poissoniano relativo sui conteggi ad alta energia ed avere
divisioni che appaiano di uguale larghezza in scala logaritmica. Il risultato del
riempimento di tale istogramma con gli eventi selezionati è mostrato in figura
B.1.
L’errore associato δ1 ad ogni bin è poissoniano:
√
δ1 = N
189
Figura B.1: Conteggi di protoni primari in funzione della rigidità.
Figura B.2: Conteggi di protoni primari in funzione della rigidità normalizzati
al tempo totale di osservazione (tempo vivo).
Normalizzazione per il tempo vivo In prima approssimazione, i conteggi
sono direttamente proporzionali al tempo di osservazione T; tale tempo, detto
tempo vivo, è il tempo totale meno il tempo morto dell’apparato, il quale è
misurato dalla scheda di trigger. Si procede normalizzando per il tempo vivo.
Il risultato è mostrato in figura B.2. L’unità di misura sulle ordinate è il numero
di particelle al secondo.
L’errore δ2 associato al bin è calcolato come:
δ2 =
δ1
T
Il flusso misurato risente, per rigidità inferiori a circa 15 GV/c, del cutoff
geomagnetico. Si procede alla deduzione del flusso differenziale primario,
cioè come sarebbe misurato nel caso di assenza della magnetosfera terrestre,
attraverso il calcolo del cutoff. La tecnica usata è illustrata nel paragrafo 5.3.2.
Il risultato è mostrato in figura B.3.
Normalizzazione per il fattore geometrico Il numero di particelle misurate
va normalizzato per il fattore geometrico del rivelatore (vedi paragrafo 3.6).
190APPENDICE B. METODI PER IL CALCOLO DEL FLUSSO DIFFERENZIALE
Figura B.3: Conteggi di protoni primari, in funzione della rigidità, normalizzati
al tempo totale di osservazione (tempo vivo) corretto per il cutoff.
Figura B.4: Istogramma del fattore geometrico in fuzione della rigidità, per
particelle positive, con lo stesso numero di divisioni di figura B.2.
Per i protoni si utilizza quello mostrato in figura A.3 che è dato per valori
di rigidità. Si procede costruendo un istogramma del fattore geometrico con
assi e divisioni identiche a quelle del grafico da normalizzare (figura B.3).
Per far questo, si considera il valore, in GV/c, del centro di ogni bin delle
ascisse, si interpolano linearmente i valori noti del fattore geometrico per questo
valore e si associa il fattore geometrico così calcolato al contenuto del bin. Si
considera che l’errore associato ad ogni punto è pari alla media degli errori
degli estremi di interpolazione; questa assunzione non è del tutto corretta ma
si deve considerare che l’errore sul fattore geometrico è trascurabile rispetto ad
altri errori presenti nel risultato finale. Questo istogramma è visibile in figura
B.4. Con questo è possibile dividere il numero di particelle al secondo, mostrato
in B.2, per il fattore geometrico. Il risultato è mostrato in figura B.5. L’unità di
misura sulle ordinate è numero particelle al secondo, per unità di superficie e
angolo solido.
191
Figura B.5: Conteggi di protoni primari in funzione della rigidità, normalizzati
al tempo totale di osservazione (tempo vivo), corretto per il cutoff e per il fattore
geometrico.
L’errore δ3 associato al bin è calcolato come:
s
δ2 2 δ g 2 N2
δ3 =
+
N2
Ng Ng
dove δ2 ed N2 sono l’errore e il valore associati al bin dell’istogramma di partenza, mentre δ g ed N g sono associati al bin dell’istogramma del fattore geometrico;
δ g è di fatto piccolo.
Normalizzazione per la larghezza del bin Il flusso così mostrato è il numero,
normalizzato, di particelle, di rigidità compresa tra l’estremo inferiore e l’estremo superiore di ogni bin; si deve quindi normalizzare questo numero per la
larghezza del bin. Si sceglie di normalizzare il flusso per la larghezza di un
GeV. Per un protone, l’energia cinetica T può essere determinata dalla rigidità
R:
√
T = R2 + 0.93832 − 0.9383
[GeV], c = 1
(B.2)
Detti xl ed xh gli estremi inferiore e superiore di ogni bin, in unità di rigidità
GV/c, li si converte in energia cineteca e si moltiplica il bin per il fattore f :
f =
1
(xh − xl ) GeV
Il risultato di questa normalizzazione è mostrato in figura B.6.
L’errore δ4 associato al bin è calcolato come:
δ4 =
δ3
xh − xl
dove δ3 è l’errore nell’istogramma di partenza.
Conversione in energia cinetica Si è ottenuto un flusso differenziale in funzione della rigidità. Lo si vuole esprimere, invece, in energia cinetica. Dato
192APPENDICE B. METODI PER IL CALCOLO DEL FLUSSO DIFFERENZIALE
Figura B.6: Conteggi di protoni primari in funzione della rigidità, normalizzati
al tempo totale di osservazione (corretto per il cutoff), per il fattore geometrico
e per la larghezza del bin in GeV.
che il flusso in rigidità è una funzione discreta, non è possibile eseguire questa
conversione senza cambiare le divisioni in ascisse. Si pone il problema di come
associare ad ogni bin del grafico in figura B.6 una valore di energia cinetica ed
un errore associato. In prima approssimazione, si può operare costruendo un
grafico a partire dall’istogramma in rigidità, associandoo ad ogni bin in rigidità
un punto del grafico nel modo seguente:
1. si seleziona ciascun bin e si leggono gli estremi xh e xl e il valore del centro
del bin xc = (xl + xh )/2, in rigidità;
2. si utizza la (B.2) per convertire questi valori in energia cinetica, e si
indicano con El , Eh , Ec ;
3. si assegna ad Ec il valore del flusso letto nel bin e si aggiung eal grafico il punto (Ec , flusso ad Ec ) con errore sulle ordinate pari all’errore
nell’istogramma di partenza ed errore sulle ascisse pari ad (Eh + El )/2.
Con le coppie di punti energia cinetica-flusso così ottenuti si realizza il grafico
mostrato in figura B.7.
Nel compiere quest’operazione si è fatta un’approssimazione: che il flusso
relativo al bin sia associabile al valore di rigidità corrispondente al centro del
bin. In realtà, il flusso ha un’andamento che segue, sopra qualche GeV, una
legge di potenza:
j(E) = AE−γ
(B.3)
dove A e γ sono parametri caratteristiche del tipo di flusso misurato.
Ne consegue che l’energia cinetica per cui il valore del flusso è pari al flusso
medio nel bin è correttamente calcolato come media integrale della funzione
nell’intervallo di energia del bin. Questa media sarà spostata a sinistra (verso
energie piu basse) rispetto al centro del bin. Detto Emean il valore di energia
cercato, El ed Eh l valori, in energia cinetica, degli estremi inferiore e superiore
del bin, si ha:
Z Eh
A γ −(γ+1)
1
−(γ+1)
Emean = El +
dE A E−γ = El +
El
− Eh
(B.4)
Eh − El El
Eh − El
193
Figura B.7: Conteggi di protoni primari in funzione dell’energia cinetica, per
unità di tempo, superficie, angolo solido e per intervallo di energia di 1GeV.
Figura B.8: Fit con una legge di potenza del flusso di protoni, tra 20 GeV e
300 GeV. Il numero visualizzato è l’indice spettrale risultante.
Per stimare A e γ si esegue un fit1 del flusso in figura B.7. Il fit è mostrato in
figura B.8 con estremi di fit 20 GeV e 300 GeV. Si ricava:
γ = 2.667 ± 0.04
A = 0.99 ± 0.02
Si procede nel modo seguente:
1. si seleziona ciascun bin, rientrante nell’intervallo di energie per cui sono
validi i parametri A e γ, e si leggono gli estremi xh e xl , in rigidità;
2. si utilizza la (B.2) per convertire questi valori in energia cinetica e li si
indica con El , Eh ;
1 L’algoritmo
di fit utilizzato è MIGRAD, implementato nel software MINUIT, sviluppato al
CERN e fornito con ROOT. Si tratta di una serie di tecniche di minimizzazione del gradiente nello
spazio dei parametri della funzione, con lo scopo di trovare quei parametri per i quali la funzione
si trova in un minimo globale o, in altri termini, per i quali è minimo il χ2 relativo alla legge di
potenza (B.3) ([34], [39] pag. 111).
194APPENDICE B. METODI PER IL CALCOLO DEL FLUSSO DIFFERENZIALE
Figura B.9: Flusso differenziale di protoni ottenuto tramite la (B.4) a partire
dall’istogramma in rigidità. Si mostra in sovrapposizione un fit con una legge
di potenza del flusso di protoni, tra 20 GeV e 300 GeV. Il numero visualizzato
è l’indice spettrale risultante.
3. attraverso questi e i valori A e γ ricavati dal fit precedente si calcola Emean ,
utilizzando la (B.4);
4. si assegna ad Emean il valore del flusso letto nel bin, con errore sulle
ordinate pari all’errore nell’istogramma di partenza. L’errore sulle ascisse
è asimmetrico: a destra pari ad Eh − Emean e a sinistra ad Eh − Emean .
Questa operazione porta intrinsecamente a compiere degli errori per il fatto che
si usano parametri ricavati da un flusso per correggere quel flusso stesso.
Il risultato della correzione è mostrato in figura B.9, insieme ad un fit nello
stesso intervallo di energia precedente. Non si apprezzano variazioni del flusso
e il risultato del fit non cambia significativamente. Il motivo è nel fatto che il
termine in parentesi nella (B.4) è piccolo: considerando che l’intervallo in cui
si può correggere è generalmente superiore a 10 GeV, il termine in parentesi è
una differenza tra termini di ordine inferiore a circa 10−3.7 , mentre il fattore a
moltiplicare è dell’ordine di qualche unità. La correzione è troppo piccola per
essere apprezzata.
Appendice C
Perdita d’energia e
Bethe-Bloch
La perdita di energia delle particelle cariche nella materia, a causa della ionizzazione o eccitazione degli atomi del materiale, può essere descritto dalla
formula di Bethe-Bloch. A questa si posso aggiungere i miglioramenti dovuti
a Fano, Bloch stesso e molte altre correzioni più fini.
La formula di Bethe-Bloch è valida fin tanto che la carica della particella è
costante, condizione che inizia a non esser vera quando, a basse velocità, essa è
in grado di catturare elettroni del mezzo. Per gli ioni leggeri, comunque, questo
problema non si pone che per energie inferiori a circa 1MeV/amu e, pertanto,
può essere qui trascurato ([71], pag. 3).
Il potere di frenamento, espresso come energia persa in un’unità di lung
eVg
ghezza, normalizzata a cm3 , quindi come cm2 , può essere molto sintenticamente
scritta come ([71], pag. 7):
S=κ
i
Z z2 h
2
L
(β)
+
zL
(β)
+
z
L
(β)
+
·
·
·
0
1
2
A β2
(C.1)
dove L0 contiene i termini della formulazione di Fano, L1 è la correzione di
2
Barkas, L2 la correzione di Bloch. κ = 4πr2e me c2 Na , con re = 4πe0 me c2 2.8 f m il
raggio classico dell’elettrone, Na il numero di Avogadro. Z ed A sono il numero
atomico e il peso atomico (in g mol−1 ) del materiale assorbente, mentre z è la
carica della particella incidente. Vale dunque κ = 0.3071 se espresso in unità di
MeV
.
(g/cm2 )
La correzione di Barkas tiene conto della dipendenza dell’interazione elettromagnetica con gli elettroni del mezzo dalla carica della particella. L’effetto è
del tutto trascurabile ad energie che non siano molto basse, quindi non verrà
qui discusso. La correzione di Bloch tiene conto di effetti quantistici ma è di
piccola entità. L’entità relativa delle correzioni può essere letta sui grafici in
figura C.1 per l’alluminio (Z=13) e per l’oro (Z=79) nel caso di un protone incidente. L’errore commesso ignorando le correzioni di Barkas e di Bloch è, al
massimo, del 2% nel caso di un protone di 100 MeV incidente in un materiale
ad alto Z, come l’oro; l’errore diminuisce rapidamente per energie più elevate
o per materiali con Z minore, mentre aumenterà al crescere della carica z della
particella incidente (vedi (C.1)).
195
196
APPENDICE C. PERDITA D’ENERGIA E BETHE-BLOCH
Figura C.1: Contributo relativo dei vari termini della Bethe-Bloch alla perdita
di energia di un protone (totale = 100). In alto il grafico per l’alluminio (Z=13),
assimilabile al comportamento sul silicio (Z=14); in basso il grafico per l’oro
(Z=79), simile al comportamento sul tungsteno (Z=74) ([71], pag. 37-38).
Lo stopping number primario, L0
La sua espressione è ([71], pag. 9):
L0 =
2
1 2me c2 β2 γ2 Tmax
C
δ
ln(
) − β2 − 2 −
2
2
I2
Z
(C.2)
dove CZ è la correzione per l’effetto shell, I è il potenziale medio di ionizzazione degli
atomi del materiale, 2δ è la correzione per l’effetto densità e Tmax è la massima
perdita di energia per una singola collisione nel mezzo con un elettrone libero.
Se la massa della particella m è molto minore della massa dell’elettrone me ,
la Tmax si può esprimere in una forma semplice:
Tmax = 2me c2 β2 γ2
(C.3)
in questo modo si compie un errore che è sempre inferiore allo 0.1% rispetto
all’utilizzo della forma completa della Tmax .
L’espressione della Bethe-Bloch diventa:
S=κ
Z z2 1
C
δ
[ ln((2me c2 β2 γ2 )2 ) − β2 − lnI − 2 − ]
A β2 2
2
Z
(C.4)
L’effetto shell contribuisce fino al 6% circa alla stopping power nel range
0 − 100MeV e tiene conto del fatto che, a basse velocità della particella, non
è del tutto corretto supporre che la velocità degli elettroni del materiale sia
trascurabile. Questo è ancor più vero per le shell interne degli atomi.
Effetto densità
L’effetto densità è dovuto alla polarizzazione del materiale, per cui la carica
media sentita dalla particella può risultare schermata. L’effetto è maggiore in
materiali più densi in quanto dipende dalla concentrazione di elettroni. Diviene
197
Figura C.2: È mostrata l’entità della correzione densità per un protone nel
silicio.
una correzione rilevante ad alte energie, cioè nella zona della risalita relativistica
che descrive la crescente possibilità della particella di interagire con elettroni
più lontani1 .
L’effetto può essere parametrizzato, a varie energie, secondo la formula di
Sternheimer ([39], pag. 26):


0



4.6052X
+ C0 + a(X1 < X)m
δ=


 4.6052X + C0
X < X0
X0 < X < X1
X > X1
dove X = log(βγ) ed X0 , X1 , C0 (qui definito negativo), a e m sono parametri
dipendenti dal materiale (vedi [39] pag. 26 o [30]).
Ne consegue che, per energie elevate:
δ ∝ ln(βγ)
(C.5)
L’inserimento nella C.2 mostra che la risalita relativistica non segue, in realtà,
l’andamento ln(β2 γ2 ) ma quello ln(βγ).
In figura C.2 si mostra la curva di perdita di energia di un protone nel silicio
in funzione di βγ = p/mc, con e senza correzione densità.
Bethe-Bloch in funzione di β
È il modo più immediato di rappresentare la Bethe-Bloch e se ne mostra, in
figura C.3 l’andamento nel silicio per particelle con carica z = 1 e z = 2.
1 Data una velocità della particella, la distanza massima di una interazione con elettroni del
mezzo, che porta ad una perdita di energia, è limitata dalla necessità di un processo non adiabatico.
Perché questo sia vero il periodo orbitale degli elettroni τ = 1ν deve essere maggiore del tempo
b
tipico di interazione t = γv
, con b parametro d’urto e v la velocità della particella.
198
APPENDICE C. PERDITA D’ENERGIA E BETHE-BLOCH
Figura C.3: Bethe-Bloch per varie particelle, nel silicio, in funzione della loro
velocità.
Bethe-Bloch in funzione della rigidità
Si consideri l’impulso relativistico:
p = mβγ
dove γ è il fattore di Lorentz per la particella di massa m e velocità v, con c = 1.
Considerando che la rigidità vale R = p/z, dove z è la carica, si ha:
p = z R = mβγ =⇒ βγ =
zR
m
da cui si ricava la velocità β in funzione della rigidità:
h
m 2 i−1/2
β= 1+
zR
(C.6)
Quest’espressione, sostituita nella (C.4), permette di disegnare la perdita di
energia in funzione della rigidità. Il risultato è mostrato in figura C.4.
199
Figura C.4: Bethe-Bloch per varie particelle, nel silicio, in funzione della loro
rigidità.
200
APPENDICE C. PERDITA D’ENERGIA E BETHE-BLOCH
Appendice D
Rappresentazione logaritmica
I grafici del flusso differenziale sono convenientemente graficati su una scala
doppio logaritimica. Le trasformazioni di coordinate dalla scala lineare alla
logaritmica (indici primati) sono:
x0 = log(x)
y0 = log(y)
(D.1)
In questo modo si possono visualizzare ampi range d’energia, che vanno, nel
caso di Pamela, dall’ordine delle decine di MeV al TeV, e del flusso che varia da
decine di particelle per cm2 sr s GeV nell’anomalia del sud Atlantico ad almeno
10−8 particelle/(cm2 sr s GeV) alle più alte energie. Inoltre, una legge di potenza
nel flusso di indice spettrale γ, ad es. y = Kx−γ , viene visualizzata, nel sistema
di coordinate logaritmico come una semplice retta y0 = log(K) − γx0 , per cui un
fit della legge di potenza su scala lineare diviene equivalente ad un fit lineare
su scala logaritmica (qualunque sia la base del logaritmo). In realtà, nel fit
lineare su scala logaritmica si commetterebbero degli errori maggiori rispetto
al fit della legge di potenza su scala lineare e non è quindi la scelta ideale.
Per chiarire meglio il tema affrontato, si considera il flusso differenziale di
tutte le particelle di carica positiva, provenienti dall’alto, misurato da Pamela
in un tempo, volutamente limitato, di circa venti ore di presa dati; non si fanno
selezioni perché lo scopo è solo discutere della rappresentazione del flusso e
dell’errore statistico associato. Lo si mostra in figura D.1. Si nota nel grafico
un problema di natura statistica: il flusso da alte energie è molto più basso che
a basse energie e, di conseguenza, l’errore relativo aumenta se si contano le
particelle in intervalli costanti di energia. Da qui la necessità di adottare una
grandezza dei bin non costante, che aumenti all’aumentare dell’energia.
Il bin logaritmico è una delle possibili scelte in questa direzione. L’idea
basilare è di rendere logaritmica la larghezza dei bin: dato un bin sulle ascisse
con una larghezza ∆, un bin che si trova una decade più in alto avrà una
larghezza 10∆. Sebbene lo scopo sia quello di avere una più ampia larghezza
dei bin là dove aumenta l’errore statistico, si ottiene anche un effetto grafico: i
bin appaiono di uguale larghezza se graficati su una scala logaritmica.
Si può partire da quest’ultimo punto. Si richiede che, presa una coppia
qualsiasi di bin, la loro larghezza sia la stessa in scala logaritmica (indici
201
202
APPENDICE D. RAPPRESENTAZIONE LOGARITMICA
Figura D.1: Flusso, in 1/(cm2 sr sGV), su scala doppio-logaritmica di tutte
le particelle di carica positiva, provenienti dall’alto, relative a venti ore di
acquisizione. La larghezza del bin è mantenuta costante.
primati):
∆01 = ∆00
= x00,h − x00,l
(D.2)
(D.3)
log(x1,h ) − log(x1,l ) = log(x0,h ) − log(x0,l )
x0,h
x1,h
=
x1,l
x0,l
(D.4)
x01,h − x01,l
(D.5)
dove 1, 2 etichettano il bin e i pedici h, l indicano, rispettivamente, gli estremi
superiore ed inferiore del bin.
Un modo semplice per soddisfare questa richiesta è il seguente. Sia xmin il
minimo su scala lineare dell’asse delle ascisse, corrispondente a x0min = log(xmin ),
e sia ∆0 la larghezza del bin su scala logaritmica. Il primo bin avrà come estremi,
in scala logaritmica, x0min e x0min + ∆0 e così via, il bin i−esimo sarà compreso nei
limiti inferiore e superiore:
x0l = x0min + i∆0
x0h = x0min + (i + 1)∆0
(D.6)
(D.7)
Questo si traduce nel dover costruire il bin i−esimo, su scala lineare, come
compreso tra i limiti:
0
xl = xmin 10i∆
(D.8)
(i+1)∆0
(D.9)
xh = xmin 10
Si può verificare analiticamente che questo soddisfa sempre le (D.5). Ciò
equivale ad avere, su scala lineare, un bin variabile di grandezza:
∆ = xh − xl = xmin 10i∆ (10∆ − 1)
0
0
(D.10)
con ∆0 costante. Operativamente si può procedere fissando xmin , xmax e il numero
di bin n e quindi usare ∆0 = (xmax − xmin )/n e la (D.8) per costruire l’asse delle
ascisse.
203
Si consideri un flusso F(T) = KT−γ , espresso in particelle/(cm2 sr s GeV); lo
si misura con un fattore geometrico G(T), in un tempo ∆t ed integrando in un
intervallo di energia ∆, pari alla larghezza scelta del bin. Il numero di particelle
contate è:
N(T) = F(T) × ∆ × ∆t × G(T)
A questo conteggio è associato l’errore poissoniano relativo:
δN(T)
1
1
= p
= p
Tγ/2
N(T)
F(T) ∆ ∆t G(T)
K ∆ ∆t G(T)
(D.11)
con G(T) il fattore geometrico del rilevatore all’energia T, espresso in cm2 sr. Per
alte rigidità, si può considerare che il fattore geometrico1 e il tempo di misura2
siano costanti al variare dell’energia; l’errore sul flusso va quindi come Tγ/2 :
δN(T)
∝ Tγ/2
N(T)
(D.12)
e quindi cresce come una potenza di T.
Considerando, invece, i bin logaritmici, la grandezza del bin da considerare
sarà quella espressa da (D.10) che, sostituita nella (D.11), descrive un errore
relativo sui conteggi:
δN(T)
Tγ/2
= p
N(T)
K t G(T) 10i∆0 (10∆0 − 1)
(D.13)
che è una funzione discreta in i e di lettura non immediata. Per avere una stima
dell’errore si può consideare i∆0 T − xmin se i è abbastanza grande e ∆0 piccolo
rispetto a T. Per cui la dipendenza dell’errore relativo dall’energia sarà circa:
δN(T)
Tγ/2
∝ T/2
N(T)
10
(D.14)
per cui l’errore relativo, sul bin, va a 0 per T −→ ∞. Nello stesso limite si
ha che l’errore sull’energia va ad infinito perché il contenuto informativo della
misura è costante ma si sta solo diminuendo la risoluzione sull’asse delle ascisse
(energia) per aumentarla sulle ordinate (flusso).
In figura D.2 si mostra il risultato del binnaggio logaritmico per gli stessi
dati presentati in figura D.1.
1 Si veda la figura 3.15.
2 Si
veda la figura 2.39.
Il fattore geometrico vale circa 21.6 cm2 sr per rigidità superiori ad 1 GV/c
204
APPENDICE D. RAPPRESENTAZIONE LOGARITMICA
Figura D.2: Lo stesso flusso mostrato in figura D.1 ma la larghezza del bin è
ora logaritmica.
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