interferometria

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MISURA DI SPOSTAMENTI CON TECNICHE INTERFEROMETRICHE
Le tecniche di misura di spostamenti con risoluzione submicrometrica sono basate
sull’interferometro di Michelson e sulla disponibilità di una sorgente quasi
monocromatica coerente (laser).
L’interferometro di Michelson, rappresentato schematicamente in Fig.1, è costituito
da un divisore di fascio (BS) e da uno specchio fisso (M1) e un altro (M2) vincolato
all’oggetto di cui si vuole misurare lo spostamento.
Fig. 1
Il fascio proveniente da una sorgente luminosa è in parte riflesso ed in parte
trasmesso dal divisore di fascio (BS). Il fascio riflesso raggiunge lo specchio fisso
M1, è riflesso da questo e raggiungendo nuovamente il divisore di fascio (BS), in
parte è rinviato sulla sorgente ed in parte è trasmesso raggiungendo l’osservatore (O).
Il fascio trasmesso raggiunge lo specchio mobile M2, è riflesso da questo e
raggiungendo nuovamente il divisore di fascio (BS), in parte è trasmesso
raggiungendo la sorgente ed in parte è riflesso raggiungendo l’osservatore (O).
Se la sorgente luminosa è monocromatica e la sua lunghezza di coerenza è maggiore
della differenza dei due percorsi ottici L1 e L2, i due fasci che raggiungono
l’osservatore (O) interferiscono tra loro; se perfettamente allineati e sovrapposti
l’osservatore vedrà nel tempo un’alternanza dell’intensità luminosa al variare dello
spostamento dello specchio M2.
Infatti, ipotizzando che il campo elettrico E dell'onda di lunghezza λ venga
egualmente ripartito fra i due bracci, ossia E1=E2=E/2, il ritardo di fase di E2 rispetto
a E1 è:
2π
∆ϕ = 2(L 2 − L1 )
λ
Nell'ipotesi che lo specchio M1 rimanga fermo mentre lo specchio M2 si sposti dalla
posizione L2i alla L2f:
2π
2π
∆ϕ = 2((L 2f − L1 ) - (L 2i − L1 )) = 2(L 2f − L 2i )
λ
λ
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Il campo elettrico sul fotorivelatore è dato, a parte il fattore temporale ejωt con
ω=2πc/λ, dalla somma vettoriale dei due campi il cui valore massimo è E1/2 e E2/2 a
causa dell'ulteriore ripartizione sul divisore di fascio, ossia:
E(∆φ) = E1/2+ (E2/2) cos∆φ = (E/4) (1+ cos∆φ)
Con la sostituzione della precedente:
E(L2f – L2i) = (E/4) (1+cos(4π(L2f – L2i)/λ)
L'andamento del campo elettrico, normalizzato rispetto al valore massimo, in
funzione dello spostamento dello specchio M2, normalizzato rispetto a λ, è riportato
in Fig. 2, nell'ipotesi in cui L2i sia pari a L1 o differisca di un multiplo di λ/2;
altrimenti la curva è traslata, ossia il massimo non è più coincidente con lo zero
dell'asse orizzontale. Si osservi l'andamento cosinusoidale di periodo pari a λ/2.
Fig.2
Dal conteggio del numero dei massimi del campo elettrico è immediato determinare
la variazione di distanza con una risoluzione di mezza lunghezza d'onda. Se si vuole
avere una risoluzione superiore si deve determinare il valore del campo elettrico e
rapportarlo al valore massimo in modo tale da stabilire la posizione.
Nell'ipotesi in cui la risposta dell'osservatore, ossia di un fotorivelatore, sia lineare
con l'intensità luminosa, ossia proporzionale al quadrato del campo elettrico, il
segnale di uscita ha l'andamento rappresentato in Fig. 3; questo deve essere tenuto
presente nella valutazione delle frazioni di λ/2.
Fig. 3
Il sistema descritto presenta parecchi inconvenienti ed in particolare:
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a) la porzione dei fasci che ritornano nella sorgente possono provocare
perturbazioni che si manifestano come variazioni in frequenza e intensità;
b) se i due specchi non sono perfettamente allineati non si ottiene l'interferenza
fra i due fasci in prossimità dell'osservatore;
c) sull’osservatore, nella migliore delle ipotesi ed in presenza di interferenza
costruttiva, arriva il 50% dell’intensità luminosa generata;
d) dalla sola osservazione della variazione dell’intensità luminosa è impossibile
determinare il verso dello spostamento;
e) le misure sono affette dall’errore dovuto alla possibile variazione della
lunghezza d’onda della sorgente luminosa;
f) la determinazione di frazioni di λ/2 è affetta dall’errore dovuto alle possibili
variazioni dell’intensità luminosa della sorgente nonché della luce ambiente;
g) le misure sono affette dall’errore dovuto a possibili variazioni dell’indice di
rifrazione del mezzo in cui è immerso il sistema (normalmente aria).
La sostituzione degli specchi M1 e M2 con due retroriflettori (tre specchi posti ad
angolo retto o l’equivalente prisma riflettore a spigolo cubico “Corner Cubic
Retroreflector”), la cui caratteristica è di rinviare indietro un fascio luminoso
indipendentemente dall’angolo di incidenza, e l’utilizzo di un divisore di
polarizzazioni (costituito, ad esempio, da una coppia di prismi birifrangenti
opportunamente disposti) al posto del divisore di fascio, come rappresentato in Fig.4,
superano una parte di questi inconvenienti.
Fig. 4
Con riferimento alla figura, il fascio emesso da una sorgente laser con polarizzazione
circolare, incidendo sul divisore di polarizzazioni, è ripartito nelle due polarizzazioni:
la parte del fascio il cui campo elettrico è ortogonale al piano del foglio è diretto
verso il retroriflettore M1, l’altro, il cui campo elettrico si trova sul piano del foglio, è
diretto verso il retroriflettore M2. I fasci di differente polarizzazione riflessi dai
retroriflettori, incidendo nuovamente sul divisore di polarizzazioni, si sovrappongono
con un ritardo di fase dipendente dalla posizione del retroriflettore M2; in questo caso
il divisore di polarizzazioni si comporta da sommatore di polarizzazioni.
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I retroriflettori eliminano la criticità dell'allineamento mentre il divisore di
polarizzazioni fa sì che all’osservatore giunga, almeno teoricamente ed in presenza di
interferenza costruttiva, il 100% della radiazione emessa dalla sorgente luminosa e
pertanto su questa non torna indietro nulla; questo nell’ipotesi che sia stato depositato
uno strato di adattamento sulle facce del divisore di polarizzazioni e sulla superficie
del fotorivelatore.
Rimangono ancora i seguenti inconvenienti:
- dalla sola osservazione della variazione dell’intensità luminosa è impossibile
determinare il verso dello spostamento;
- le misure sono affette dall’errore dovuto alla possibile variazione della
lunghezza d’onda della sorgente luminosa;
- la determinazione di frazioni di λ/2 è affetta dall’errore dovuto alle possibili
variazioni dell’intensità luminosa della sorgente nonché della luce ambiente.
Questi inconvenienti vengono superati con due differenti tecniche conosciute con il
nome di "interferometria omodina" e "interferometria eterodina", sempre basate
sull'interferometro di Michelson.
Interferometria omodina
La tecnica, che utilizza ancora i retroriflettori e il divisore di polarizzazione come in
Fig.4, è basata sull'analisi, mediante alcuni fotorivelatori opportunamente disposti,
delle frange di interferenza che si generano quando i due fasci formano un certo
angolo fra loro. Questo può essere ottenuto ponendo dopo il combinatore di
polarizzazioni un prisma costruito con un materiale anisotropo. Infatti le due
polarizzazioni, vedendo due differenti indici di rifrazione, sono deviate con angoli
diversi.
Noto che per piccoli angoli la deviazione angolare di un prisma è pari a (n – 1) α,
dove α è l'angolo del vertice del prisma, l'angolo fra i due fasci è:
δ = δ┴ - δ║ = (n┴ -1) α - (n║ - 1) α = (n┴ - n║) α
E' possibile determinare in modo abbastanza semplice il passo "d" delle frange di
interferenza ipotizzando che un fascio, ad esempio il fascio "1", giunga sul piano su
cui si formano le frange di interferenza con un angolo δ rispetto alla normale mentre
l'altro fascio "2" incida lungo la direzione della normale, ossia con un angolo nullo.
In questa situazione, come è possibile vedere dalla Fig.5, i fronti equifase del fascio
"1" giungono sul piano delle frange con un ritardo dipendente dall'angolo δ e dalla
distanza x, ossia:
∆β = (x sinδ) (2π/λ)
mentre i fronti equifase del fascio "2", il cui angolo di incidenza è nullo, giungono sul
piano delle frange con un ritardo indipendente dalla distanza x.
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Fig.5
Il ritardo di fase del fascio 1 si ripete quando la quantità ∆β è pari a 2π o a un suo
multiplo. Con questa considerazione se ne deduce dalla precedente che la distanza
"d" fra frange adiacenti, ossia il passo delle frange, è:
d = λ/sinδ ≈ λ/δ
l'approssimazione è valida perché l'angolo δ è molto piccolo.
Sostituendo poi l'espressione di δ precedentemente scritta:
d ≈ λ / ((n┴ - n║) α)
Quindi, scegliendo opportunamente l'orientazione di un cristallo anisotropo e l'angolo
del prisma, è possibile progettare il passo delle frange che, se necessario, può essere
variato tramite una o più lenti (lente di ingrandimento, espansore di fascio).
La posizione dei massimi delle frange di interferenza varia al variare della quantità
(L2f – L2i) e si ripete, ovviamente, quando (L2f – L2i) = λ/2 o un multiplo intero.
La relazione che lega (L2f – L2i) ad x è facilmente ottenibile considerando che il
ritardo di fase dovuto alla variazione del percorso ottico (L2f – L2i) coincide con la
variazione di fase dovuto allo spostamento ∆x delle frange, ossia ∆φ = ∆β:
2π
2π
∆ϕ = 2(L 2f − L 2i ) = ∆β = x (sinδ)
λ
λ
Dalla quale, ricordando che d = λ/sinδ, si ottiene:
(L2f – L2i) = (λ/2)(x/d)
che sostituito nell'espressione: E(L2f – L2i) = (E/4) (1+cos(4π(L2f – L2i)/λ) dà:
E(x/d) = (E/4) (1+cos(2π x/d)
il cui andamento, normalizzato rispetto al valore massimo, è rappresentato in Fig. 6.
Fig.6
Anziché misurare direttamente lo spostamento delle frange risulta conveniente
misurare l'intensità luminosa delle frange in quattro punti distanziati della quantità
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d/4. La misura deve essere eseguita utilizzando quattro fotorivelatori di area sensibile
piccola rispetto al passo delle frange.
I quattro fotorivelatori, disposti come in Fig.7 dove è rappresentato l'andamento
dell'intensità luminosa delle frange, danno un'informazione che è proporzionale a
(sin(∆φ))2, (cos(∆φ))2, (-sin(∆φ))2, (-cos(∆φ))2.
Fig.7
La conoscenza simultanea delle funzioni seno e coseno consente di determinare, oltre
che lo sfasamento, a cui si può ricondurre lo spostamento, il verso dello spostamento.
Il sistema è insensibile alle variazioni dell'intensità luminosa della sorgente poiché la
misura dello sfasamento è determinata da un rapporto fra due quantità entrambe
dipendenti dall'intensità luminosa (seno e coseno), ossia ∆φ = tan-1(sin(∆φ)/cos(∆φ)).
Il confronto fra il modulo delle quantità proporzionali a sin(∆φ) e -sin(∆φ), nonché
fra il modulo delle quantità proporzionali a cos(∆φ) e -cos(∆φ) consente di
determinare le possibili variazioni della lunghezza d'onda e provvedere, se
necessario, alla correzione.
Tutte queste operazioni, dalla determinazione delle quattro quantità proporzionali a
sin(∆φ), cos(∆φ), -sin(∆φ), -cos(∆φ) all'informazione sulla variazione di distanza,
sono effettuate dall'elettronica a valle dei fotorivelatori. L'elettronica inoltre, con un
confronto differenziale fra le quantità sin(∆φ) e -sin(∆φ) nonché cos(∆φ) e -cos(∆φ),
è in grado di ridurre il rumore presente nelle quantità proporzionali a sin(∆φ) e
cos(∆φ).
Questa tecnica è stata perfezionata dai ricercatori della Renishaw che ne hanno
commercializzato lo strumento.
Interferometria eterodina
Questa tecnica, messa a punto dai ricercatori della Hewlett Packard, utilizza la
variazione del battimento fra due frequenze vicine generate da una stessa sorgente
laser, quindi coerenti fra loro, che attraversano i due diversi rami dell'interferometro.
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Le due frequenze, la cui distanza è dell'ordine del MHz, polarizzate linearmente e
ortogonalmente fra loro, sono generate da un laser ad He-Ne in presenza di un intenso
campo magnetico che interviene separando configurazioni elettroniche differenti del
Neon che possiedono la stessa energia in assenza di campo magnetico (effetto
"Zeeman split"). Lo schema ottico del sistema, simile a quello di Fig. 2, è riportato in
Fig. 8.
Fig. 8
Se il retroriflettore M2 è in movimento, la frequenza f2 varia della quantità ±δf per
effetto Doppler.
All'uscita del fotorivelatore è presente la frequenza differenza (ordine del MHz):
f1-(f2±δf),
pari a f1-f2 se il retroriflettore M2 è fermo.
Quindi dalla variazione della misura della frequenza differenza si determina la
velocità dello spostamento e da questa, abbinata all'informazione sulla durata, si
risale allo spostamento e al relativo verso.
Anche questo sistema di misura è insensibile alle variazioni dell'intensità luminosa
del laser, nonché alle perturbazioni che interessano entrambi i fasci. Ovviamente è di
fondamentale importanza la stabilità del campo magnetico che determina la distanza
fra le due frequenze.
L'analisi comparativa fra l'interferometria omodina e quella eterodina dimostra che le
prestazioni ottenibili sono molto simili.
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