FST LoL 01-08 Prova intermedia 2

Milano 25/1/08
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
(Laurea on Line)
Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Seconda prova Intermedia
Carissimi studenti,
scopo di questa seconda prova intermedia è quello di verificare il vostro grado
di apprendimento sulla seconda parte del corso.
Il testo della prova vi viene reso disponibile nella serata di Venerdì 25 Gennaio 2008. Il
file Word contenente le risposte ai quesiti deve essere consegnato, per essere valido,
sulla piattaforma LOL (consegna esercizi), entro le ore 24 di Lunedì 27 Gennaio 2008.
Il file con le risposte deve avere come nome FST_2_cognome_nome.doc.
Dove cognome e nome vanno sostituiti con gli effettivi cognome e nome di ciascun
studente.
Inoltre ciascuna pagina del documento consegnato deve riportare in alto a sinistra il
cognome, il nome e la matricola del candidato come riportato in questo documento.
Tale regola deve essere rispettata anche da chi intende consegnare un documento
contenente pagine manoscritte acquisite tramite scanner (anche se tale pratica è
deprecata)
Non vi è possibilità, da parte del docente e dei tutor, di controllare se si realizzino
“soluzioni collettive” od avvengano “copiature”. Il poter dare un valore a questa prova
intermedia è lasciato quindi alla Vostra correttezza.
La prova è articolata in 7 domande che coprono gli argomenti trattati. Ad ognuna di
esse dovrete dare una risposta motivandola quanto meglio possibile (nel caso dobbiate
scrivere formule usate l’equation editor di Office). E’ essenziale che siate precisi e
concisi ed ordinati nello svolgimento. E’ anche possibile non rispondere ad una o più
domande.
All’inizio di ciascuna riposta andrà indicato il numero del quesito a cui essa si riferisce.
A ciascuna risposta verrà dato un punteggio che varia fra –2 (risposta errata) a +5
(risposta completamente corretta). Ad un quesito senza risposta verrà attribuito un
punteggio pari a 0.
La prova verrà ritenuta sufficiente quando il punteggio totale accumulato risulterà
superiore o uguale a 18.
Buon lavoro a tutti,
Marco Marcon, Davide Onofrio, Stefano Tubaro
Cognome – Nome – matricola del candidato
pag.2/8
Esercizio 1
Un segnale viene trasmesse lungo una linea di trasmissione a temperatura T
lunga 2 Km, con attenuazione di 7dB/Km e con una terminazione resistiva
d’ingresso a temperatura T0 . Il segnale viene quindi amplificato da un
amplificatore con guadagno pari a 20dB e cifra di rumore di 3dB, ed infine
inviato al ricevitore, il filtro di ricezione del quale ha banda B pari a 5MHz e cifra
di rumore 0dB. Determinare la potenza di rumore presente al ricevitore (in
uscita).
Lo schema del ricevitore può essere visto così:
Esercizio 2
Si vuole progettare un sistema per la trasmissione di informazioni numeriche su
cavo coassiale. Si usa una portante alla frequenza di 720 MHz e la banda di
trasmissione non deve superare il valore B2 = 8 MHz. I dati binari devono
essere inviati alla velocità di r2 = 20 Mbit/s, con probabilità di errore sul bit
inferiore a p2 = 10-6. Le apparecchiature di ricezione sono caratterizzate da una
figura di rumore di F2 = 10 dB.
Si vuole utilizzare un cavo coassiale caratterizzato da una attenuazione in
potenza pari ad a = 64 dB/Km. La lunghezza totale del collegamento è pari a L
= 4.5 Km e la potenza trasmessa non deve superare il valore di Pmax = 10 W.
Qualora la potenza disponibile non sia sufficiente si usi un sistema a più tratte
rigenerative.
A) Scegliere il tipo di modulazione che si ritiene più opportuno e calcolare la
potenza trasmessa e la banda utilizzata in quel caso.
B) Si disegni uno schema a blocchi dettagliato del sistema di ricetrasmissione
di una tratta.
Esercizio 3
Un segnale casuale gaussiano a media nulla e varianza 3 viene campionato
ogni 20 msec e quantizzato negli 8 intervalli delimitati dalle soglie: 0, ±1, ±2, ±3.
A tali intervalli vengono associate le parole di un codice di sorgente a
lunghezza variabile: (0, 10, 110, 1110, 111100, 111101, 111110, 111111),
Cognome – Nome – matricola del candidato
pag.3/8
L’uscita viene quindi introdotta in un codificatore di Hamming (7,4), che genera
il codice effettivamente trasmesso.
A) Calcolare l’efficienza del codificatore di sorgente. Calcolare il valore del
rapporto fra bit-rate medio misurato all’ingresso del sistema ed a valle
del codificatore di sorgente. Rivalutare il rapporto considerando
l’ingresso del sistema e l’uscita del codificatere di canale. Quale è il bitrate medio di uscita del sistema?
Esercizio 4
Sia dato un segnale m(t) in ingresso alla catena in figura: dimostrare che il
segnale in uscita m0(t) è una copia indistorta (a meno di fattori di scala) di
m(t) mentre la potenza del rumore in uscita n0(t) è inferiore nel caso in cui il
filtro G(f) sia presente rispetto al caso in cui il filtro stesso sia assente (si
calcoli tale potenza su una banda di 1 MHz).
Dove:
H(f )=
1
( B + Af )
Af
B
N ( f ) = 5 ⋅ f (rumore proporzionale alla frequenza)
N(f) densitá spettrale di potenza del rumore.
G ( f ) = 1+
Esercizio 5
Si consideri una modulazione d’ampiezza numerica a 4 simboli: il segnale
trasmesso e’ dato da
Ai cos (ω0t )
0≤t ≤T
Ai = 0,1, 2,3 .
Il canale di trasmissione è ideale ed il ricevitore ha temperatura di rumore
Tr . Si descriva un demodulatore coerente e si calcoli la probabilità d’errore.
Si illustri anche lo schema di un demodulatore incoerente e se ne discutano
qualitativamente le prestazioni in confronto con il demodulatore coerente. Si
determini infine la banda di canale occupata in funzione di T.
Esercizio 6
Si consideri un sistema di conversione analogico-digitale (PCM) adatto a
lavorare su un segnale analogico che presenta una occupazione spettrale
sull’intervallo da 1 KHz a 5 KHz. Si utilizza un quantizzatore uniforme la cui
dinamica corrisponde a quella del segnale in ingresso. Sono richiesti
almeno
44
dB
di
rapporto
segnale
rumore
complessivo
(quantizzazione+errore) sopra soglia.
Cognome – Nome – matricola del candidato
pag.4/8
A) Calcolare la minima frequenza di campionamento necessaria
B) Calcolare numero minimo di bit nbit di quantizzazione necessari
C) Calcolare la velocità di trasmissione in bit al secondo richiesta per il
trasmettitore digitale a valle della conversione analogico-digitale
D) Calcolare la probabilità di errore alla soglia Psoglia (e)
E) Supponendo di avere una probabilità di errore pari a P (e) = 8 ⋅ Psoglia (e) ,
calcolare il rapporto segnale rumore risultante, in dB.
Esercizio 7
Si vuol trasmettere un flusso di R bit/s con modulazione di ampiezza in
quadratura. Data la temperatura di rumore del ricevitore, si confrontino due
possibili sistemi, 4QAM (ossia QPSK) e 16 QAM, rispetto alla banda di
canale occupata e alla potenza di picco richiesta in trasmissione ( a pari
tasso d’errore)
Cognome – Nome – matricola del candidato
pag.5/8
Soluzioni
Esercizio 1
La linea ha attenuazione complessiva di 14 dB essendo lunga 2m. La figura di
rumore complessiva e la temperatura equivalente di rumore risultano essere:
FTOT = L + ( F − 1) L = LF
Te = T0 ( FTOT − 1) = T0 ( LF − 1)
La potenza in uscita dal ricevitore risulta pari a:
+∞
Pu =
∫ P ( f ) H( f )
i
2
df
−∞
Considerando che la potenza in ingresso può essere scritta come:
Pi ( f ) =
(T0 + Te )
2
k
la potenza in uscita risulta essere:
Pu = 2 B
g ⎛ T0 + Te ⎞
⎜
⎟k = BgT0 Fk
L⎝ 2 ⎠
Sostituendo i dati del problema si ottiene:
Pu = 4 pW
Esercizio 2
Dato che il progetto è limitato in banda scelgo una costellazione M-QAM.
Per scegliere M cerco il minimo che soddisfa i requisiti di banda:
rb
r
20
BT =
(1 + δ ) se δ = 0 allora log 2 M = b = = 2.5
BT
log 2 M
8
M min = 8 → M = 16 → la codifica sarà 16-QAM; δ = 0.6
Da cui la PB ( e ) =
1
log 2 M
Ossia EB ≥ N 0 ⋅ 28.8
4 EB
1 ⎞ ⎛ 4 EB ⎞ 3 ⎛ 4 EB ⎞
⎛
−6
4 ⎜1 −
⎟ Q ⎜⎜ 5 N ⎟⎟ = 4 Q ⎜⎜ 5 N ⎟⎟ ≤ 10 ⇒ 5 N ≥ 4.8
M ⎠ ⎝
⎝
0 ⎠
0 ⎠
0
⎝
N 0 = kFT0 = 4 ⋅10−20 [W ⋅ s ] ⇒ PR ≥ rb ⋅ EB = 23.04 ⋅1012 [W ]
Cognome – Nome – matricola del candidato
pag.6/8
Essendo α = 64dB / Km ⇒ α 0 = 106.4⋅L
P
10
Dato PT ≤ 10W ⇒ α 0,max = T =
= 4.34 ⋅1011 = 116.4dB
PR 23.04 ⋅10−12
⇒ LMAX = 1.8 Km
Scelgo 3 tratte da 1.5 Km da cui α ST = 96dB
Essendo le tratte rigenerative P ( e ) = 3PST ( e )
E
1
PB ( e ) = ⋅10−6 ⇒ Q ( γ ) 4.4 ⋅10−7 ⇒ γ = 5 ⇒ B = 32
N0
3
Pr = rb ⋅ EB = 25.6 ⋅10−12 W ⇒ PT = α STb ⋅ PR = 102mW
Esercizio 3
La d.d.p. del segnale casuale x è: f x ( x ) =
⎛ − x2 ⎞
1
exp ⎜
⎟ = g ( x)
6π
⎝ 6 ⎠
Le probabilità di ciascun intervallo:
⎛ 3 ⎞
P1 = P8 = P ( x > 3) = Q ⎜
⎟ = 0.0416
⎝ 3⎠
⎛
P2 = P7 = P ( 2 < x < 3) = Q ⎜
⎝
⎛
P3 = P6 = P (1 < x < 2 ) = Q ⎜
⎝
2 ⎞
⎛ 3 ⎞
⎟ −Q⎜
⎟ = 0.1241-0.0416= 0.0825
3⎠
⎝ 3⎠
1 ⎞
⎛ 2 ⎞
⎟ −Q⎜
⎟ = 0.2819-0.1241= 0.1578
3⎠
⎝ 3⎠
⎛ 1 ⎞
P4 = P5 = P ( x < 1) = Q ( 0 ) − Q ⎜
⎟ = 0.5-0.2819=0.2181
⎝ 3⎠
L’entropia della sorgente è quindi:
H ( S ) = −∑ i Pi log 2 ( Pi ) = 2.7746 bit di informazione/simbolo
Le parole più corte del codice a lunghezza variabile vanno assegnate ai simboli
più probabili. La lunghezza media del codice e la sua efficienza sono quindi:
L = ∑ i PL
i i = (1 + 2 ) 0.2181 + (3 + 4)0.1578 + (6 + 6)0.1241 = 3.2481
H (S )
= 0.854
L
A valle del codificatore di sorgente, il valore di “bit di informazione/bit
trasmesso” è semplicemente 1 η , mentre per il codificatore di Hamming sarà
4 7η
η=
Esercizio 4
All’uscita del filtro H(f) il segnale é M(f)H(f). Non consideriamo per il momento il
rumore in quanto siamo interessati solamente al segnale M0(f).
All’uscita del filtro G(f) avremo:
M(f )
M(f)H(f)G(f)=
B
cioé la TdF di m(t) attenuata di un fattore B.
Cognome – Nome – matricola del candidato
pag.7/8
La potenza del rumore senza filtro sarà pari a
∫
+∞
−∞
N ( f )df .
Se invece inseriamo un filtro subito dopo il rumore, le componenti in alta
frequenza di quest’ultimo saranno filtrate e preció nella banda B=1 Mhz, la
potenza del rumore sarà:
∫
+∞
−∞
N ( f ) | C ( F ) |2 df = 5∫
+1000000
−1000000
f |1 +
A 2
A
f | df = 3 ⋅1019
B
B
Esercizio 5
Il ricevitore coerente demodula il segnale moltiplicandolo per una portante
uguale a quella usata in trasmissione e filtra il tutto con un filtro passa basso
adattato al filtro di trasmissione g(t) per ridurre la potenza del rumore.
La probabilità di errore media del sistema a 4 simboli le cui ampiezze distano
d=1 tra loro è pari a:
1
⎛
P (ξ s ) 2 ⎜1 −
⎝ M
d
1
⎞
⎛
) = 2 ⎜1 −
⎟ Q(
⎠ 2σ n
⎝ M
d2
12
3
1
⎞
⎛ 1⎞
Q
(
)
2
1
Q
(
) = Q(
)
=
−
⎟
⎜
⎟
4 N0 B
4kTr B
2
4kTr B
⎠
⎝ 4⎠
La demodulazione non coerente ha prestazioni in genere inferiori alla
demodulazione coerente.
Esercizio 6
A. f c = 2 ⋅ 5 KHz = 10 KHz
B. 6 ⋅ nbit ≥ 44dB + 3dB ⇒ nbit >
47
= 7.83
6
nbit = 8
C.
B R = f c ⋅ n bit = 80
D. p =
*
Kbit
s
1
1
≅ 2⋅nbit + 2 = 3.81 ⋅ 10 −6
2
4 ⋅ M −1 2
(
)
M2
216
⎛S⎞
E. ⎜ ⎟
=
=
2
16
−6
⎝ N ⎠ TOT 1 + 4 ⋅ M − 1 ⋅ Pe 1 + 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 8 ⋅ 3.81 ⋅10
(
)
(
)
⎛S⎞
= 7289.85 = 38.63dB
⎜ ⎟
⎝ N ⎠ TOT
Esercizio 7
Dovendo trasmettere Rs simboli/s, si ha Rs =2W dove W è la banda
richiesta per la trasmissione.
Utilizzando un sistema 16-QAM si ha che ad ogni simbolo verranno
trasmessi 2 bit e quindi R = 2 Rs .
Per trasmettere R bit al secondo dunque, sarà necessaria una banda pari a
W=R/4.
La potenza richiesta in trasmissione per i due sistemi, a parità di probabilità
di errore, sará:
Cognome – Nome – matricola del candidato
P (ξ s ), 4 − QAM =
=
2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 log 2 2 Eb (4QAM )
⎜1 − ⎟ Q ⎜
N0
log 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝
4 −1
2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 6 log 2 4 Eb (16QAM )
⎜1 − ⎟ Q ⎜
log 2 4 ⎝ 4 ⎠ ⎜⎝ 16 − 1
N0
pag.8/8
⎞
⎟=
⎟
⎠
⎞
⎟ = P(ξ s )16 − QAM
⎟
⎠
Si ha quindi:
⎛ 2 Eb (4QAM )
Q⎜
⎜
N0
⎝
⎞ 3 ⎛ 4 Eb (16QAM )
⎟ = Q⎜
⎟ 4 ⎜ 5 N0
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Essendo poi Q(x)= 0.2055Æx=0.8
2 Eb (4QAM )
N0
2 Eb (16QAM )
=0.8
N0
E quindi:
Eb (4QAM ) = 0.64 ⋅ Eb (16QAM )
Per avere la potenza basta dividere per il tempo di bit:
Eb (4QAM )
Tb
=
0.64 ⋅ Eb (16QAM )
Tb
E quindi:
P(4−QAM ) = 0.64 ⋅ P(16−QAM )