Reti di Telecomunicazione

Università di Bergamo
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e
Metodi Matematici
Reti di Telecomunicazione
Prof. Fabio Martignon
1
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Università di Bergamo
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e
Metodi Matematici
2 – Sistemi a Coda
Reti di Telecomunicazione
2
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Sistemi a Coda
ƒ Funzioni e Modelli dei nodi di una rete a
ƒ
ƒ
commutazione di pacchetto
Elementi di teoria delle file di attesa
Grado di servizio in una rete a commutazione di
pacchetto
3
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Reti Dati
Modelli di Ritardo
ƒ Misurare le prestazioni di una Rete Dati significa:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ Misurare il ritardo medio per la consegna di un pacchetto da
origine a destinazione.
ƒ Tale ritardo dipende dalle caratteristiche della rete, dalle
tecniche di instradamento e controllo di flusso.
Ritardo in una rete di comunicazione = somma dei ritardi nei
diversi canali attraversati dal pacchetto.
Componenti di ritardo:
ƒ Ritardo di elaborazione nel nodo
ƒ Ritardo in coda di trasmissione
ƒ Ritardo di trasmissione
ƒ Ritardo di propagazione
Il ritardo in coda di trasmissione è dovuto alla multiplazione
statistica dei pacchetti sul canale di trasmissione.
4
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Teoria delle Code
Funzioni di un Nodo che esegue Packet Switching
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Memorizzazione dei pacchetti entranti
Analisi del campo intestazione (Header)
Analisi correttezza pacchetto
Instradamento
Trasmissione verso il nodo successivo
5
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Reti a Commutazione di Circuito
ƒ Vengono dimensionate e valutate in funzione
ƒ
ƒ
della Probabilità di Blocco offerta
Poiché viene riservato un circuito per ogni
chiamata, ed i circuiti sono in numero finito,
posso avere il rifiuto di una chiamata
Situazione di blocco = tutti i circuiti sono
occupati
6
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Reti a Commutazione di Pacchetto
ƒ Hanno Probabilità di Blocco praticamente
nulla
ƒ
Esempio: servizio postale. E’ sempre possibile
trovare una buca delle lettere, anche mezza piena,
in cui imbucare una nuova lettera!
ƒ Tuttavia sperimento un ritardo: da che ho
ƒ
generato il messaggio a che questo viene
consegnato al destinatario.
Ogni nodo della rete contribuisce al ritardo
totale di attraversamento della rete.
7
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Reti a Commutazione di Pacchetto
Contributi al Ritardo in ogni Nodo
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Attesa nella memoria in ingresso (per accedere all’elaborazione
del pacchetto): qE
Elaborazione del pacchetto (dipende dalla velocità
dell’elaboratore): tE
Attesa nella memoria in uscita (nelle code di trasmissione in
uscita): qt
Trasmissione del pacchetto (funzione della lunghezza del
pacchetto e della velocità del canale): tt
T = qE + tE + qt + tt
Lunghezza pacchetti
Velocità canale uscente
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Numero di elaborazioni necessarie
Velocità elaboratore
8
Sistemi di Flusso
ƒ Un flusso si muove attraverso uno o più canali da un
ƒ
nodo ad un altro
Flusso: può trattarsi di
ƒ Messaggi/pacchetti
ƒ Chiamate telefoniche
ƒ …
ƒ Possono distinguersi in:
ƒ
ƒ
Sistemi di flusso deterministici
Sistemi di flusso casuali
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
9
Sistemi di Flusso Deterministici
ƒ Ci soffermiamo poco su tali sistemi
ƒ In generale: o sono ben dimensionati o collassano
S
Esempio:
riempimento
di barattoli
1/R
Parametri descrittivi del sistema
Comportamento del Sistema
⎧1
Intervallo tra due arrivi
⎪
⎨R
⎪⎩S Durata del Servizio
1
⎧
Se
≥ S OK
⎪⎪
R
⎨
⎪Se 1 < S Collasso
⎪⎩
R
10
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Sistemi di Flusso Casuali
ƒ Il flusso procede in modo aleatorio
ƒ Gli istanti di arrivo sono casuali
ƒ Le durate dei servizi richiesti sono casuali
ƒ Domande che ci si pongono:
ƒ Quanto tempo è necessario in media, ad un utente, per ottenere il
servizio?
ƒ Quante richieste sono in attesa? (Dimensionamento coda di attesa)
ƒ Per quale percentuale del tempo il servizio è impegnato?
ƒ Con riferimento all’esempio precedente, affinché il sistema sia stabile
deve ancora essere vero che 1/R > S. Ma questo deve avvenire in
media, non nei valori istantanei.
11
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Introduzione alla Teoria delle File di Attesa
ƒ Per caratterizzare un sistema di file d’attesa è necessario
specificare:
ƒ Densità di probabilità dei tempi d’interarrivo
ƒ Densità di probabilità dei tempi di servizio
ƒ Numero di serventi (qui in figura sono m)
ƒ Disciplina di attesa (FIFO, tecniche con priorità …)
ƒ Capacità della fila d’attesa
Processo servizio
(insieme dei serventi)
La popolazione che può
generare traffico
Processo
Arrivi (X)
1
m
Notazione di Kendall: X|Y|m|C|N
X ed Y possono essere, ad esempio:
Coda ( C )
M
MARKOVIANO
D
DETERMINISTICO (Arrivi regolari, o durate costanti)
G
GENERALE (né M, né D)
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Servente (una
singola cassiera)
Nota: Se N è infinito: il processo degli
arrivi è indipendente dallo stato del
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sistema. Se N è finito:no
Grandezze da Valutare
ƒ π (t) = {πi(t)} = Probabilità i utenti nel sistema al tempo t
ƒ fτ (t) = ddp del tempo totale τ = w + x trascorso nel sistema
ƒ
ƒ w: rappresenta il tempo speso in coda (ad es.: alla posta)
ƒ x: rappresenta il tempo speso nel servizio (la durata del servizio da
me richiesto all’impiegato allo sportello)
Pr = Probabilità di rifiutare utenti (Nota: se ho coda infinita, Pr=0)
Arrivo n-esimo utente
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Nota: in questo esempio il servente
lavora continuativamente, senza
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“vacanze”
Grandezze da Valutare
arrivi
partenze
tempo
N(t)
Numero utenti nel sistema
Busy period
Busy period
Idle period
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Il servizio resta Idle
tempo
14
Processo Arrivi e Partenze
ƒ Nota: ho supposto, nello schema precedente, che gli
ƒ
ƒ
arrivi avvengano uno alla volta
Nella realtà possono presentarsi arrivi in gruppo
(batch, o cluster)
L’utilizzo del servente (espresso come frazione di
tempo in cui è impegnato a servire utenti) sarà
definito come:
E[Busy Period]
E[Busy Period + Idle Period]
15
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Processo di Poisson
ƒ Cominciamo a considerare tale processo, largamente usato
per modellizzare il processo degli arrivi in:
ƒ traffico telefonico
ƒ sistemi di commutazione
ƒ reti di calcolatori
ƒ rumore per effetto granulare
ƒ generazione fotoni
ƒ statistiche dei fotorivelatori
ƒ generazione lacune nei semiconduttori
ƒ …
16
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Processo di Poisson: definizione
ƒ Siano:
λ = frequenza media arrivo (unico parametro
necessario a definire un processo di Poisson)
ƒ I = (t, t+∆t), un intervallo infinitesimo di tempo
Se si verifica che:
1. P(Nessun arrivo in I) = 1-λ∆t + o(∆t)
2. P(un arrivo in I) = λ∆t + o(∆t)
3. P(più arrivi in I) = o(∆t)
4. Le Probabilità sono indipendenti se gli intervalli I non
sono sovrapposti.
(λt )n e −λt
P[n arrivi in (0,t)] = P(n,t) =
n!
ƒ
ƒ
ƒ
Distribuzione di Poisson
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
17
Distribuzione di Poisson
ƒ Sia N una v.a. con distribuzione di Poisson
ƒ Valor Medio:
(λt ) =
E [N ] = ∑ nP (n, t ) = e λ ∑ n
n!
∞
− t
n =0
∞
n
n =0
n
∞
(
)
∂
λ
t
∂ λt
− λt
= e − λt λ t
=
e
λ
t
e = λt
∑
∂λt n =0 n!
∂λt
ƒ Varianza:
σ N2 = E [N 2 ]− E 2 [N ] =
= E [N ( N − 1)] + E [N ] − E 2 [N ] =
= (λt ) + λt − (λt ) = λt
2
2
18
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Distribuzione di Poisson: Osservazioni
ƒ Per λt grandi la distribuzione è racchiusa
ƒ
attorno al valor medio.
ƒ Ciò implica che la misura di n arrivi in un
intervallo T grande rappresenta una buona
stima di λ = n
T
1
ƒ T grande significa λT >> 1 oppure T >>
λ
Si noti che:
ƒ P(0,T)= e-λT
ƒ Ovvero: la probabilità di avere 0 arrivi in
T tende a zero esponenzialmente con T.
19
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Distribuzione Esponenziale
ƒ Consideriamo un punto di partenza (nel tempo) arbitrario, ad
ƒ
ƒ
esempio 0, in cui avviene un arrivo di Poisson
Sia t1 la v.a. che esprime il tempo che trascorre fino al prossimo
arrivo.
Risulta: P[t1>t] = P(0,t)=e-λt ovvero: P(nessun arrivo in 0,t)
ƒ Quindi la funzione di ripartizione di t1vale
Ft1 (t ) ≡ P(t1 ≤ t ) = 1 − P(t1 > t ) = 1 − e − λt
ƒ E quindi la d.d.p. vale:
f t1 (t ) ≡ λe − λt , t ≥ 0
(e zero altrove)
…che è una distribuzione esponenziale. Analogamente ha
distribuzione esponenziale la v.a. “intervallo di tempo fra due
arrivi Poissoniani successivi”
20
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Distribuzione Esponenziale
ƒ Sia T una v.a. con distribuzione esponenziale
ƒ Valor Medio:
E [T ] = ∫ tp (t )dt = ∫ tλe −λt dt =
∞
∞
0
0
∂ ∞ − λt
∂ 1 1
= −λ
e dt = − λ
=
∫
0
∂λ
∂λ λ λ
ƒ Varianza:
σ N2 = E [T 2 ]− E 2 [T ] =
2
1
⎛1⎞
−
=
⎜ ⎟
2
λ ⎝ λ ⎠ λ2
2
21
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Proprietà di Non Memoria
arrivo
t0+t
t0
ƒ P[intervallo di tempo fino al prossimo arrivo ≤ t0 + t |
intervallo fino al prossimo arrivo > t0] =
pr [t0 < T ≤ t0 + t ]
[
]
pr T ≤ t 0 + t / T > t 0 =
pr [T > t0 ]
p[T ≤ t + t0 ] − p[T ≤ t0 ]
=
p[T > t0 ]
(
)
(
e −λt0 1 − e −λt
1 − e − λ (t + t 0 ) − 1 − e − λ t 0
=
=
−λt0
e −λt0
1− 1− e
(
1 − e −λt
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
)
)
Nota: come v.a. solo
la geometrica ha tale
proprietà nel campo
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discreto.
Richiami su Trasformata di Laplace
ƒ Sia T una v.a. avente distribuzione A(t)
d
p
(
t
)
=
A(t )
ƒ Densità di probabilità:
dt
ƒ Trasformata di Laplace:
T
∞
A (s ) ≡ ∫ pT (t )e − st dt
T
0
[ ]
∞
= ∫ e − st dA(t ) = E e − sT
0
∂ AT (s )
∂s
proprietà : A T (0) = 1
= − ∫ tpT (t )dt = − E [T ]
∞
s =0
∂ n AT (s )
∂s
0
n
s =0
[ ]
= (− 1) E T n
23
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio 1: Distribuzione Esponenziale
Sia T una v.a. Esponenziale
∞
A (s ) = ∫ e λe dt =
T
− st
0
∂AT (s )
E [T ] = −
∂s
− λt
λ
s+λ
λ
s =0 =
(s + λ )2
s =0
=
1
λ
2 T
∂
A (s )
1
2
2
2
δ T = E [T ]− E [T ] =
s =0 − 2
2
∂s
λ
2λ
1
2 1
1
=
− 2 = 2− 2 = 2
3 s =0
λ λ λ λ
(s + λ )
24
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio 2: somma di variabili aleatorie
ƒ Sia X una v.a. definita come l’intervallo di
tempo per collezionare n arrivi in un processo
di Poisson
X
n
X = ∑ Ti
x
1
x
0
i =1
x
2
…
x
n-1
x
n
ƒ Le v.a. Ti sono indipendenti quindi la ddp di X
è data dalla convoluzione delle Ti
⇓
ƒ La trasf. di Laplace della ddp di X = prodotto
delle trasformate della ddp di Ti
⎛ λ ⎞
X t (s ) = ⎜
⎟
s
+
λ
⎝
⎠
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
n
25
Distribuzione Erlangiana di ordine n
ƒ Può essere vista come somma di n v.a. esponenziali
ƒ Antitrasformando l’espressione precedente si ottiene:
(
λx )n −1 −λx
p X (x ) = λ
e
(n − 1)!
per x ≥ 0
ƒ Se n=1, si ha una v.a. esponenziale
ƒ Se n>1, la v.a. ha una varianza minore di una
v.a. esponenziale
ƒ Media, Varianza, Coeff. Variazione:
Rapporto fra dev. Standard e media
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
1
⎧
[
]
E
X
=
⎪
λ
⎪
1
⎪ 2
⎨σ X = 2
nλ
⎪
1
⎪
C
=
⎪ X
n
⎩
26
Distribuzione Erlangiana di ordine n
n
La media è pari ad 1, in questo esempio
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
27
Distribuzione Iperesponenziale di ordine r
ƒ Può essere vista come una somma pesata di r
distribuzioni esponenziali
r
fτ (t ) = ∑ α i λ i e − λ i t
i =1
r
ƒ Con la condizione: ∑ α
i
=1
i =1
ƒ Media e Varianza
r
αi
⎧
⎪ E [τ ] = ∑ λ
i =1
⎪
i
⎨
r
2
⎪σ = 2 α i − E [τ ]2
∑
2
⎪⎩ τ
i =1 λ i
28
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Osservazioni
ƒ Una v.a. Erlangiana di ordine n (e media
1/λ) può essere ottenuta come somma di n
v.a. esponenziali con identico valor medio
(pari a 1/nλ)
1
2
1
nλ
n
1
nλ
1
nλ
Decomposizione in stadi.
Ciascuno stadio ha durata
esponenziale
ƒ Una v.a. Iperesponenziale di ordine r, invece:
αi è la probabilità che il servizio
mi mandi al servente i-esimo
29
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempi
ƒ Traffico uscente da un ripartitore di traffico
deterministico
1
Poisson (λ)
2
1- Erlang 2 (λ/2)
2- Erlang 2 (λ/2)
ƒ Se la ripartizione avvenisse casualmente, con
probabilità 0.5 fra le uscite 1 e 2, avrei due
processi di Poisson di parametro λ/2 (proprietà
cosiddetta di splitting dei processi di Poisson)
30
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempi
ƒ Traffico elaborato da una CPU a 3 stadi (che
processa un utente alla volta)
Erlang 3
ƒ Se ognuna delle operazioni che chiedo (stadio) ha
ƒ
durata esponenziale, la durata totale del servizio
è la somma di 3 v.a. esponenziali: Erlang-3
Nota: se il tempo medio di servizio fosse diverso
ad ogni stadio, avrei una Erlangiana di tipo
generalizzato
31
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Processi Markov: richiami
ƒ La storia passata è completamente riassunta nello stato
presente:
p[x(tn+1) = xn+1 | x(tn) = xn, x(tn-1) = xn-1,......, x(t1) = x1]
= p[x(tn+1)=xn+1 | x(tn) = xn], per t1 <t2 <....<tn < tn+1
ƒ xi = Stato del sistema
ƒ CATENA DI MARKOV A PARAMETRI DISCRETI
p[xn=j] = p[nello stato j al tempo n]
ƒ PROBABILITA’ DI TRANSIZIONE
p [xn = j/xn-1 = i]
p [x1 = i] = Distribuzione Probabilità Iniziali
32
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Processi Markov: richiami
ƒ CATENA DI MARKOV OMOGENEA
Le Prob. di transizione sono indipendenti da n, ovvero
pi,j = p [xn+1= j|xn=i] per ogni n
ƒ PROBABILITA’ STAZIONARIE
π j = lim p[ xn = j ]
n →∞
33
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio di Catena di Markov Omogenea
3 stati possibili
3/4
1
2
1/4
1/2
1/4
3/4
Prob. Transizione tra stati
3
1/2
0
3 / 4 1/ 4
p = 1/ 4 0 3 / 4
0 1/ 2 1/ 2
Calcoliamo le prob.
stazionarie dei 3 stati
Matrice delle prob.
di transizione
3
π j = ∑ π i pij
i =1
Prob. di passare allo stato j
34
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio di Catena di Markov Omogenea
⎧π 1 = 0 ⋅ π 1 + 1 / 4π 2 + 0 ⋅ π 3
⎪
⎨π 2 = 3 / 4π 1 + 0π 2 + 1 / 2π 3
⎪π = 1 / 4π + 3 / 4π + 1 / 2π
1
2
3
⎩ 3
Nota: le prime 3 equazioni non
sono (ovviamente) indipendenti
{π 1 + π 2 + π 3 = 1
⎧π 1 = 2 / 23
⎪
⎨π 2 = 8 / 23
⎪π = 13 / 23
⎩ 3
Indipendenti dallo stato iniziale
1
⎡
−
1
+
⎢
4
⎢3
R=⎢
−1
⎢4
3
⎢1
⎢⎣ 4
4
⎤
0 ⎥
1 ⎥
⎥
2 ⎥
1
− ⎥
2 ⎥⎦
Rank(R) =2
35
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Processi di Nascita e Morte
Diagramma di
transizione di stato
EQUILIBRIO AI NODI: FREQUENZA INGRESSO = FREQUENZA USCITA
n≥1
n=0
λ n-1 p n-1 + µn+1 pn+1
µ1 p1
=
=
λn pn + µn pn
λ0 p0
Normalizzando e risolvendo otteniamo
∞
∑p
n =0
n
=1 ⇒
E quindi: p1 = p0
λ0
µ1
p0 =
etc…
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
1
∞
n −1
1 + ∑∏
n =1 i = 0
λi
µi +1
Equazione Fondamentale
della Teoria delle File di Attesa
(Baby Queueing Theory)
36
Bilancio dei Flussi
ƒ Data una catena di Markov a N
ƒ
ƒ
stati, si possono scrivere N-1
equazioni tramite il bilancio
dei flussi
Teorema: Data una qualsiasi
superficie chiusa nella catena
di Markov, in condizioni
stazionarie il flusso di
probabilità entrante è uguale al
flusso di probabilità uscente.
Questa tecnica serve a scrivere
il sistema di equazioni “by
inspection”
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
37
Transizioni Non Semplici: Esempio
Talora nel modellizzare un sistema si ottiene
una catena con transizioni non semplici
λ/2
λ
λ
0
1
µ
Risolvendo otteniamo
2
µ
⎧ ⎛
λ⎞
+
p
λ
⎜
⎟ = p1µ
⎪ 0
2⎠
⎪ ⎝
⎪ p1 (λ + µ ) = p0 λ + p2 µ
⎨
⎪p µ = p λ + p λ
0
1
⎪ 2
2
⎪
⎩ p0 + p1 + p2 = 1
−1
⎧
⎡ 2λ 3 ⎛ λ ⎞ 2 ⎤
⎪ p = ⎢1 +
+ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
0
⎪
µ 2 ⎝ µ ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎪
3λ
⎪
p0
⎨ p1 =
2µ
⎪
⎪
⎡ 1 λ 3 ⎛ λ ⎞2 ⎤
⎪p = ⎢
+ ⎜ ⎟ ⎥p
⎪ 2 ⎢ 2 µ 2 ⎜⎝ µ ⎟⎠ ⎥ 0
⎣
⎦
⎩
38
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Little’s Result
λ
N
T
ƒ Consideriamo un sistema in condizioni stazionarie:
ƒ λ = frequenza media ingressi [utenti/secondo]
ƒ N = numero medio utenti nel sistema
ƒ T = tempo di permanenza medio di un utente nel sistema
ƒ Little’s Result:
N = λT
E’ un risultato estremamente potente! Fornisce un legame fra queste 3 variabili
39
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Little’s Result
Dimostrazione di Stidham
λ
N
T
ƒ Supponiamo che ogni utente paghi 1 Euro per ogni unità di tempo
ƒ
ƒ
trascorsa nel sistema. Il totale incasso che ci si aspetta nell’unità di
tempo è pari ad N Euro, ove N è il numero medio di utenti nel
sistema.
Il costo medio pagato da ogni utente è T Euro se T è il tempo medio
trascorso nel sistema. Se facciamo pagare all’ingresso (o all’uscita)
nell’unità di tempo si raccoglieranno in media λT Euro.
L’incasso per unità di tempo è quindi uguale sia a N sia a λT.
N = λT
40
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Applicazioni (1)
ƒ In una rete a pacchetto, ci siano n
ƒ
ƒ
ƒ
flussi di traffico in ingresso, per un
totale tasso di arrivo dato da Λ = λ1 + λ2 + ...λn
Inoltre, sia N il numero medio
totale di pacchetti in rete.
Il tempo totale medio speso da un
pacchetto generico all’interno della
rete è T = N Λ
indipendentemente da:
ƒ distribuzione delle lunghezze
dei pacchetti
ƒ distribuzione degli interarrivi
ƒ metodi di instradamento
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
41
Applicazioni (2)
ƒ Controllo di flusso a finestra con dimensione N
ƒ Ipotesi:
ƒ
ƒ
ƒ Ogni sessione ha sempre pacchetti da trasmettere. I
pacchetti vengono riscontrati immediatamente dal
ricevitore.
ƒ Quando il pacchetto i arriva a destinazione il pacchetto
i+N viene trasmesso
Per ogni sessione ho sempre N pacchetti in rete: N=λT
Se T aumenta a causa di congestione nella rete, allora λ deve
decrescere
N = λ⋅T
42
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Applicazioni (3)
ƒ Sistema di code con K serventi e capacità (coda + servente)
N≥K.
ƒ Ipotesi:
ƒ
ƒ Tempo medio di servizio x
ƒ Servizio sempre saturo (numero utenti nel servizio = K)
Qual è il tempo medio speso nel sistema, T?
N-K
λ
1•
K•
N = λT
K=λX
NX
T=
K
Nota: λ è il traffico effettivamente
entrante nel sistema, NON quello offerto!
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
43
Servente Singolo senza Sala di Attesa
λ
Utilizziamo
questo semplice esempio per
introdurre la notazione usata e al contempo
eseguire una prima analisi di un sistema di
code (per quanto semplicissimo)
λ
λ
L’utente
o trova il servente libero
ed entra, oppure se ne va
x
= Durata media servizio
Ns = Numero medio utenti nel servizio
λx
= Ns = Pr [1 utente nel servizio]
= 1- Pr [0 utenti nel servizio]
= 1-π0
= Fattore di utilizzo del servizio
= ρs
ρ s = λ x = Percentuale di tempo in cui il sistema è occupato
= probabilità che il sistema sia occupato
Nota: λ è il traffico effettivamente
entrante nel sistema, NON quello offerto!
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
44
Variabili che descrivono un Sistema di Code
n
t
w
h
l
# utenti presenti nel sistema
tempo trascorso nel sistema
tempo di attesa in coda
# utenti nel servizio
# utenti presenti in coda
Evidentemente: n = l + h
se pn = pr {n utenti nel sistema}
n=
c
∑ ip
c = capacità del sistema di code
(contando anche i posti nel servizio)
i
i=0
l=
h=
c
∑ (i − m ) p
m = # serventi
i
i=m
m −1
c
∑ ip + m∑ p
i
i=0
t=w+ϑ
h = n−l
i
i=m
w= tempo in coda, ϑ = durata servizio
45
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Blocco e Perdita
Stato di blocco se
n = l+m = C
Eventuali richieste vengono rifiutate
Sistema a perdita
•Prob. sistema bloccato Sp = Pr (n = l+m = C)
•Prob. di rifiuto
πp
πp = pr {sistema bloccato / richiesta servizio offerto}
p {r. s. o / s. b} pr {s. b}
= r
pr {r. s. o}
= Sp
p( A / B) =
pr {r. s. o / s. b}
pr {r. s. o}
p ( B / A) p ( A )
p(B)
Th. Bayes
Importante: in generale πp ≠ Sp
46
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Traffico Offerto e Smaltito
λ0
λa
λr
λ0 = frequenza media richieste di servizio offerte
λa = frequenza media richieste di servizio accettate
λr = frequenza media richieste di servizio rifiutate
πp =
λr λ0 − λa
=
λ0
λ0
47
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Traffico Offerto e Smaltito
λ0
λa
C
λs
S
λr
Se la capacità C della coda è finita risulta λ s = λ a ≤ λ 0
Il sistema risulta sempre in equilibrio qualunque sia λ0 grazie al fatto
che del traffico viene rifiutato
Se C è infinita, invece, tutto il traffico viene anzitutto accettato nel
sistema (c’è sempre posto in coda!).
Tuttavia, il sistema è in equilibrio solo se λ 0 ≤
1
x
altrimenti freq. media uscita minore freq. media ingressi
⇓
accumulo infinito di utenti nel sistema
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
48
M|M|1|∞
E’ un sistema di attesa senza perdita
pr [n arrivi in 0, t ] = pn
(
λt )n −λt
(t ) =
e
Distribuzione di Poisson
λ = frequenza media arrivi
n!
pr [servizio duri t, t + dt ] = µ e − µt dt
Distribuzione esponenziale
1
= durata media del servizio
µ
Lo stato del sistema è completamente specificato dal numero di
utenti nel sistema (coda + servizio)
pk = Prob. (stazionaria) di avere k utenti nel sistema
1
0
µ
λ
λ
λ
2
µ
λ
λ
k-1
µ
µ
λ
k
µ
λ
k+1
µ
µ
49
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
M|M|1|∞
Impongo l’equilibrio ai nodi : freq. ingresso = freq. uscita
p0 λ = µ p1
p1 =
→
p1 (λ + µ) = λp0 + µ p2
λ
p
µ 0
2
⎛ λ⎞
→ p2 = ⎜ ⎟ p0
⎝ µ⎠
pk (λ + µ) = λpk-1 + µ pk+1
⎛ λ⎞
pk = ⎜ ⎟ p0 = ρ k p0
⎝ µ⎠
k
ρ =
λ
µ
∞
= Fattore utilizzo del systema
< 1 perché il sistema sia stabile
∞
1
p k = 1 = p0 ∑ ρ = p0
∑
1− ρ
k =0
k =0
k
p0 = 1-ρ
pk = (1-ρ) ρk
Distribuzione Geometrica
50
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Risultati coda M|M|1
NUMERO MEDIO UTENTI NEL SISTEMA
ρ
∞
N = ∑ n pn =
n=0
1− ρ
PERMANENZA MEDIA ATTESA + SERVIZIO
T=
N
λ
=
1/ µ
1
=
1− ρ µ − λ
T
1
µ
1
ρ
PERMANENZA MEDIA IN CODA
W =T −
1
µ
1
= ⋅
ρ
µ 1− ρ
∞
pr [n ≥ N ] = ∑ pn = ρ N
n= N
Tempo minimo che spendo nel sistema.
Se il traffico offerto tende a 0 (poco traffico
o nullo) trovo sempre il servente
(l’impiegato allo sportello) libero, ma meno
di questo tempo non posso perdere.
51
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio: convenienza nel concentrare le risorse
λ
1/µ
λ
2λ
1/2µ
1/µ
ρ
N=
T=
1− ρ
1/ µ
1− ρ
W=
1 ρ
µ 1− ρ
N=
T=
W=
ρ
1− ρ
ρ≡
λ
µ
A parità di risorse e traffico
offerto, questo sistema si
comporta meglio
1/ 2µ
1− ρ
1 ρ
2µ 1 − ρ
Osservazione: nelle reti di telecomunicazione conviene sempre concentrare le
risorse, mettendo 1! Server veloce piuttosto che tanti lenti. Ovvero: anziché avere
tanti canali lenti in parallelo, è meglio averne 1 solo più veloce.
52
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Processo in Uscita
Arrivi Poisson
Uscita ?
Servizi Esponenziali
Calcolo la d.d.p. della variabile “intervallo fra due uscite”
Qui il servente sta lavorando
continuativamente
Qui il servente si è svuotato. Deve prima attendere
che arrivi un nuovo utente e poi servirlo
Osservo ciò
che esce dal
servente
f t (t ) = ρ µe − µt + (1 − ρ )µe − µt * λe − λt
Ft ( s ) = ρ
Da cui:
µ
µ+s
+ (1 − ρ )
µ
λ
µ+s λ+s
ft (t ) = λ e − λt ⇒
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
⋅
=
λ
λ+s
POISSON con valor medio λ
53
Teorema di Burke
ƒ Il risultato precedente è generalizzabile ad un
sistema M|M|m, e va sotto il nome di
Teorema di Burke
ƒ Il processo delle uscite da un sistema M|M|m
è un processo di Poisson
ƒ Torneremo su questo risultato quando
tratteremo le Reti di Code
54
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio: incremento velocità servente e
traffico offerto
λ →Kλ
1
µ
→
1
Kµ
ρ
⎧
N
=
⎪⎪
1− ρ
⎨
⎪T = N
⎪⎩
Kλ
Il traffico offerto aumenta
di un fattore K
La velocità del canale
aumenta di K
Numero medio utenti
in coda: non cambia
Il tempo medio speso
nel sistema si è ridotto
di K
Infatti: Un utente in arrivo al sistema trova, in media, lo stesso numero
di utenti in coda, ma questi vengono serviti K volte più in fretta.
55
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Esempio: confronto fra Multiplazione Statistica e
Multiplazione a divisione di Tempo/Frequenza
ƒ m traffici di Poisson con valor medio λ/m sono
ƒ
ƒ
multiplati su una linea di trasmissione.
Lunghezza pacchetti esponenziale. Tempo di
trasmissione medio 1/µ.
Se gli m traffici sono multiplati statisticamente
1
si ha Poisson con valor medio λ e T =
µ−λ
Se il canale di trasmissione è suddiviso in m
canali uguali (multiplazione tempo/frequenza)
ciascuno M|M|1 con λ = mλ e µ1 = mµ
I
I
T=
m
µ−λ
È ovvio: ci metto m volte di più
a trasmettere il messaggio
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Altra dimostrazione sulla
convenienza di concentrare le
56
risorse
C: numero massimo
utenti nel sistema
(compreso il servente)
M|M|1|C
C
⎧λ n < C
λn = ⎨
⎩0 n ≥ C
µ n = µ n = 1,...., C
1/µ
λa
λ
λr
n −1
Probabilità
stazionarie
p n = p0 ∏
i =0
n
⎛λ⎞
λ
= p0 ⎜⎜ ⎟⎟ n ≤ C
µ
⎝µ⎠
pn = 0 n > C
1−
Nota:
po =
1 − ρ C +1
ρ =
∑
1− ρ
n =0
C
n
λ
µ
⎛λ⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝µ⎠
C +1
pn
(
1 − ρ )ρ n
=
1 − ρ C +1
57
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
M|M|1|C
ρ=
λ
µ
utilizzazione “offerta” (non tutti gli utenti entrano nel sistema)
1− ρC
1 − p0 = ρ
1 − ρ C +1
utilizzazione effettiva (Fattore di utilizzo del servizio)
1 − ρC
λ a = λ (1 − pC ) = λ
1 − ρ C +1
λ r = λ pc = λ
1− ρ C
ρ
C +1
1− ρ
Legame fra p0 e pC = Sp
λ (1-pC) = traffico accettato
µ (1-p0) = traffico smaltito
Per la conservazione del traffico in condizioni stazionarie
λ (1-pC) = µ (1- p0)
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
p0 =
1− ρ
1 − ρ C +1
58
M|M|1|C
Si ha pC = 1 −
1 − ρC
= 1−
1 − ρ C +1
1 − p0
ρ
(1 − ρ )ρ
=
C
1 − ρ C +1
Permette di dimensionare la coda al fine di ottenere una probabilità di blocco richiesta.
Per piccole probabilità di blocco :
ρ<1
pC ≅ (1 - ρ) ρC
e
C >> 1
che è la prob., in un sistema con coda ∞, di essere nello stato C.
Troncare la coda a C non influenza la statistica della coda se ρC+1 << 1
PROPRIETA’:
1.A parità di C, pC: cresce al crescere del traffico offerto A0, tende a 1 per A0 → ∞
2.Il traffico smaltito tende a 1 (se m =1) all’aumentare del traffico offerto e di C
3.Il tempo di attesa aumenta con C
•All’aumentare di C aumenta il tempo di attesa ma cala la probabilità di rifiuto.
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
59
M|M|1|∞|M: POPOLAZIONE FINITA
γ
⎧(M − n )γ per 0 ≤ n ≤ M
λn = ⎨
⎩0 altrove
µ n = µ per 1 ≤ n ≤ M
n
n −1
⎧
⎛γ ⎞
(
M − i )γ
M!
= p0 ⎜⎜ ⎟⎟
⎪ p n = p0 ∏
µ
i =0
⎪
⎝ µ ⎠ (M − n )!
⎪
1
⎨
p
=
n
⎪ 0 M
⎛
⎞
γ
M!
⎪
⎜⎜ ⎟⎟
∑
⎪⎩
n = 0 ⎝ µ ⎠ (M − n )!
Distribuzione di Engset
Frequenza media arrivo utente
se non è già nel sistema
Nota: il processo degli arrivi
DIPENDE dallo stato del
sistema (non è di Poisson)
1/γ
1
2
1/µ
M
E’ una specializzazione della Baby Queueing Theory
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
60
M|M|1|∞|M: POPOLAZIONE FINITA
Intensità media traffico offerto A0 ⇒Traffico accettato ⇒Traffico smaltito
−M
⎛γ ⎞
1
⎜⎜ ⎟⎟
M!
µ
1 − p 0 = ρ = A0 = 1 − ⎝ ⎠ − j
M
⎛γ ⎞ 1
⎜⎜ ⎟⎟
∑
j!
j =0 ⎝ µ ⎠
È la % di tempo di lavoro del sistema
Dato A0 si ricava γ/µ in funzione di M e quindi le pn
1/γ
1
2
1/µ
M
61
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
M|M|1|∞|M: POPOLAZIONE FINITA
Freq. media richieste di servizio Λ = γ ( M − n) = µ (1 − p0 )
n=M−
n
da Little Result T =
Λ
Attenzione!
µ
(1 − p0 )
γ
In tal modo ho evitato il
calcolo di n medio partendo
dalla definizione
1
M
T=
−
µ (1 − p0 ) γ
62
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
M|M|1|∞ Arrivi Scoraggiati
L’utente entra nel sistema con probabilità 1/(n+1)
λ
⎧
=
λ
⎪ n
n +1
⎨
⎪⎩µ n = µ
1
0
µ
µ
µ
λ/4
3
2
n
n −1
⎧
⎛λ⎞ 1
λ (i + 1)
= p 0⎜⎜ ⎟⎟
⎪ p n = p 0∏
µ
⎨
i =0
⎝ µ ⎠ n!
⎪
−λ / µ
p
e
=
⎩ 0
Fattore di utilizzo
λ/3
λ/2
λ
µ
λ
E’ una Poisson di parametro µ
λ
E ha dunque media µ
Tr. Medio accettato= Tr. Medio smaltito
1
ρ = 1 − po = 1 − e − λ / µ = λ ⋅ ⇒ λ = µ(1 − e − λ / µ )
µ
N=
λ
µ
T=
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
λ/µ
λ
= 2
µ (1 − e −λ / µ )
λ
63
M|M|∞
La velocità del servizio aumenta con il numero di clienti
λn = λ
µn = nµ
n≥0
n≥1
0
1
2µ
λ
⎛ λ⎞ 1
pn = p0 ∏
= p0 ⎜ ⎟
⎝ µ ⎠ n!
i =1 (i + 1) µ
n
λ
3
2
µ
n −1
λ
λ
λ
3µ
4µ
λ
Poisson di parametro µ
p0 = e − λ / µ
ρ = 1 − p0 = 1 − e − λ / µ ≠
Essendo Poisson
Little’s Result
λ
µ
⇐
n=
λ
µ
T=
n
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
λ
=
λ/µ 1
=
λ
µ
Tempo di attesa nullo essendoci un
servente per ogni utente nel sistema:
non si fa nessuna coda e si va dritti
64
nel servizio.
M|M|m|0
Modello tipico per reti a commutazione di circuito
Storicamente: per reti telefoniche
1
2
m
⎧λ
⎩0
λ n& = ⎨
µn = n⋅ µ
n<m
n≥m
Fascio di m
giunzioni (canali
telefonici, oppure
circuiti)
λ
Poisson di parametro µ
n = 1,2..., m
n
n −1
⎧
⎛λ⎞ 1
λ
= p0 ⎜⎜ ⎟⎟
⎪ p n = p0 ∏
(
)
i
1
µ
+
⎨
i =0
⎝ µ ⎠ n!
⎪
⎩ p n= 0
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
n≤m
n>m
p0 =
1
⎛ λ⎞ 1
⎜ ⎟
n=0 ⎝ µ ⎠ n!
m
∑
n
65
M|M|m|0
Probabilità Servizi tutti occupati
m
⎛λ⎞ 1
⎜ ⎟
⎛ λ ⎞ ⎜⎝ µ ⎟⎠ m!
pm = B⎜⎜ m, ⎟⎟ =
n
⎝ µ⎠ m ⎛λ⎞ 1
⎜⎜ ⎟⎟
∑
n!
n =0 ⎝ µ ⎠
B di Erlang
Utile nel dimensionamento
di reti telefoniche e a circuito
Probabilità di rifiuto di chiamate telefoniche
Nota importante: la B di Erlang vale per
QUALUNQUE distribuzione del tempo di
servizio, purché il valor medio sia 1/µ
66
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
M|Ek|1|∞
λ
Ek
x=
1
µ
k
2
1
Quando un utente entra nel servizio,
nessun altro può entrare
λ
1
kµ
1
kµ
1
kµ
λ
0
Definiamo uno stato bidimensionale (n,i)
n=numero utenti nel sistema
i=stadio in cui si trova l’utente che è
attualmente nel servizio
λ
1.1
kµ
λ
kµ
2.2
kµ
kµ
1.k
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
λ
λ
λ
3.1
2.1
1.2
kµ
λ
kµ
kµ
kµ
kµ
kµ
λ
kµ
2.k
λ
3.2
3.k
λ
67
M|H2|1|0|∞ Servizio Iperesponenziale
Quando un utente entra nel servizio,
nessun altro può entrare
1
λ
α1
µ1
α2
1
⎧µ p = α λ p
1
0
⎪ 1 1
⎪⎪
⎨µ 2 p2 = α 2 λ p0 ⇒
⎪
⎪ p0 + p1 + p2 = 1
⎪⎩
µ2
α1 λ
1,1
p0 =
p1 =
p2 =
µ1 µ 2
µ 1 µ 2 + λ (α 1 µ 2 + α 2 µ 1 ) ← ∆
α 1λ µ 2
∆
α 2λ µ1
∆
1
µ1
Probabilità di blocco del sistema:
0,0
0
µ2
π
α2 λ
2
1,2
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
p
= Sp = p1 + p2 =
α 1 λ µ 2 + α 2 λ µ1
∆
0.0: nessun utente nel sistema
1.1: c’è un utente nel sistema e si trova nello stadio 1
68
1.2: c’è un utente nel sistema e si trova nello stadio 2
Esercizi
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Ripetizione di nuovi servizi: in un sistema M|M|1, terminato il
servizio, l’utente esce con probabilità p e con probabilità 1-p
ripete il servizio con una nuova durata indipendente dalla
precedente.
Servente con vacanza: in un sistema M|M|1 il servente alterna
periodi di lavoro esponenziali negativi con tasso α a periodi di
riposo esponenziali negativi con tasso β. Il servizio sospeso
riprende quando il servente si riattiva.
Serventi con velocità diversa: in un sistema M|M|2 i serventi
hanno velocità diversa µ1 > µ2. I clienti, quando trovano
entrambi i serventi liberi, scelgono il più veloce.
Scelta della coda più corta: il traffico entrante in due sistemi
M|M|1 distinti ed indipendenti con velocità µ1 > µ2
a)scelta della coda con il minor numero di clienti
b)scelta a caso.
69
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Studio di Sistemi M|G|1
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Consideriamo un sistema caratterizzato dalla presenza di
un solo servente
Gli utenti arrivano secondo un Processo di Poisson di
parametro λ
Il tempo di servizio di un utente, tuttavia, non è
esponenziale, bensì ha una distribuzione del tutto generale
Supponiamo inoltre che gli utenti siano serviti nello stesso
ordine con cui arrivano al sistema
70
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Studio di Sistemi M|G|1
ƒ
Il nostro obiettivo è quello di ricavare e capire la cosiddetta
Pollaczek-Khinchin (P-K) Formula
λ x2
W=
2(1 − ρ )
ƒ Ove W è il tempo medio di attesa di un utente
ƒ x = 1 è il valor medio del tempo di servizio
µ
ƒ x 2 è il momento secondo del tempo di servizio
ƒ ρ = λx
71
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Studio di Sistemi M|G|1
ƒ
Da ciò risulta
λ x2
T = x+
2(1 − ρ )
ƒ
ƒ
λ2 x 2
N =ρ+
2(1 − ρ )
La derivazione che faremo della P-K Formula è basata sul
concetto di tempo medio residuo di servizio
Questo stesso concetto ci tornerà molto utile in seguito in
altre derivazioni
72
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Studio di Sistemi M|G|1
La distribuzione del tempo di servizio è del tutto generale
Dimostrazione di Pollaczek-Khinchin
Wi
xi
Ni
Ri
tempo di attesa in coda dell’utente i
tempo di servizio dell’utente i
utenti in coda all’arrivo dell’utente i
tempo di servizio residuo visto dall’utente i (se il sistema è
vuoto quando arriva i, allora Ri = 0)
Ovvero: quanto deve attendere
Wi = Ri +
l’i-esimo utente perché chi è nel
servizio al momento del suo
arrivo finisca
i −1
∑x
j
j = i − Ni
attesa perché finisca il
servizio in corso
attesa perché vengano serviti
gli Ni utenti che i si trova
davanti (si assume FCFS)
73
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Studio di Sistemi M|G|1
i −1
Wi = Ri +
∑x
Valor medio del
tempo di servizio
j
j = i − Ni
⎡
E [Wi ] = E [ Ri ] + E ⎢
⎣
⎤
E X j N i ⎥ = E [ Ri ] + x E[ N i ]
⎦
∑ [
j
Numero medio utenti che l’iesimo utente si trova davanti
]
Suppongo ci sia indipendenza fra Ni e Xi
W = R + x NQ
da Little N Q
= λW
W = R+ xλW
Nq Numero medio
utenti in coda
Little applicato al sotto-sistema “coda”
ρ = λx
R
W=
1− ρ
Resta ora da determinare R
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Lo definisco io
Nota: se ρ → 0
Attendo solo che termini chi è già nel servizio (la coda è praticamente
sempre vuota)
74
Studio di Sistemi M|G|1
E’ una funzione r(τ)
che mi dice qual è
il tempo residuo
di servizio
all’istante tau
Per calcolare R
considero t tale
che r(t) =0 in (0,t)
t
x1
x1
x2
xi
inizio servizio
durata
servizio
Calcolo il valor medio dalla definizione
τ
M (t )
2
x
∑ i
1 t
1 M (t ) 1 2 1 M (t ) i =1
E[r (t )] = ∫ r(τ )dτ = ∑ xi =
t 0
t i =1 2
2 t M (t )
Assumendo esista il
lim
t →∞
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
2
x
∑ i
M (t )
1
1
(
)
τ
τ
=
lim
⋅ lim
r
d
t → ∞ t ∫0
t
→
∞
t t →∞ M (t )
2
lim
1
R = λ x2
2
Ove M(t) è il numero di
servizi completati in (0,t)
(il numero di triangoli)
t
È la frequenza
media partenze = λ
E’ il momento di secondo
ordine del tempo di servizio
75
P-K Formula
λ x2
W=
2(1 − ρ )
ƒ
ƒ
ƒ
Hp fatte: - esistenza della media a regime di W, R, NQ
- medie temporali = medie di insieme
Commenti alla P-K Formula
W diventa infinito anche per ρ < 1 se x 2 = ∞
ƒ
Ovvero: un utente con servizio lunghissimo crea lunghissime code!
Nota: la P-K formula vale anche se l’ordine di servizio degli utenti non
è FCFS purché la scelta dell’utente non dipenda dal tempo di servizio
richiesto. Altrimenti non vale più.
ƒ
Esempio: si abbiano 2 utenti in coda con servizio richiesto di
durata 10s e 2s rispettivamente
9
9
Se si serve prima l’utente (10s): un utente aspetta 0s e il secondo 10s:
tempo medio 5s
Se si serve prima l’utente (2s): un utente aspetta 0s e il secondo 2s:
tempo medio 1s
76
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
P-K Formula
λ x2
W=
2(1 − ρ )
ƒ
Ipotesi fatte nella derivazione:
- esistenza della media a regime di W, R,
- medie temporali = medie di insieme
Il numero medio di clienti dipende solo dai primi due momenti
del tempo di servizio e cresce linearmente con la varianza
λ x2
T = x+
2(1 − ρ )
ƒ
Esempi:
M|M|1
M|D|1
λ2 x 2
N = ρ+
2(1 − ρ )
λ
2
λ
1
Il momento secondo della
ddp esponenziale si calcola
molto facilmente derivando
due volte la trasf. Laplace
1
ρ
µ2
W=
=
2(1 − ρ ) µ 1 − ρ
1
µ2
W=
=
2(1 − ρ ) µ
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Da Little’s result
ρ
2(1 − ρ )
77
P-K Formula
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Osservazioni:
2
un sistema M|D|1 ha il minimo valore possibile di x dato un
certo µ.
Quindi i valori di W, T, N di un sistema M|D|1 rappresentano un
lower bound ai valori di un qualunque sistema M|G|1 a parità di
λeµ.
Si noti che il valore di W per un sistema M|D|1 è esattamente la
metà che in un sistema M|M|1
Invece i valori di N e T tendono ad essere:
ƒ
Uguali per i due sistemi quando ρ è piccolo: la maggior parte
del ritardo si accumula nel servizio, e dunque non c’è
differenza fra i due sistemi
ƒ
M|D|1 la metà di M|M|1 per ρ vicini ad 1: la maggior parte
del ritardo l’accumulo nella coda, e dunque ritorno al
risultato avuto per W
78
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Analisi del ritardo di un sistema ARQ Go-Back-n
Start of effective service
time of packet 4
Effective service time of
packet 1
1
Error
ƒ
2
…
n
Effective service time of
packet 2
1
Final transmission
of packet 1
2
Error
… n+1
2
3
Final transmission Correct
of packet 2
4
… n+ 3
Error
4
Error
Ipotesi:
ƒ
Unità di tempo= lunghezza della trama (tempo necessario a trasmettere
una trama)
ƒ
Una trama è ritrasmessa se non si riceve ACK entro n-1 trame (timeout)
ƒ
La trama i errata e rifiutata dal ricevitore è ritrasmessa nella trama i+n
ƒ
Una trama è errata con probabilità p indipendentemente dalle altre
ƒ
I pacchetti arrivano al trasmettitore secondo Poisson con frequenza λ
ƒ
I riscontri si suppone non vadano mai persi
Packets Transmitted
79
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Analisi del ritardo di un sistema ARQ Go-Back-n
ƒ
ƒ
Determiniamo la ddp del tempo di servizio (x) di un pacchetto
Il tempo che intercorre fra la prima trasmissione di un pacchetto
dopo l’ultima del precedente, e la sua ultima trasmissione vale
9
(1 + k n) time slot con probabilità pk(1-p)
k: numero ritrasmissioni causate da errori
ƒ
Quindi:
p[ x = 1 + k n] = (1 − p) p k
k = 0,1,....
X=
(1 + k n)(1 − p) p = (1 − p)⎛⎜⎝ p k + n k p k ⎞⎟⎠
k =0
k =0
k =0
∞
∑
∞
k
∑
⎛ 1
np
p ⎞
= (1 − p)⎜
+n
=
+
1
2⎟
−
1
p
1− p
−
1
p
⎝
(
)⎠
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
∞
∑
∂ pk
kp =p
∂p
k
Valor medio del
tempo di servizio
80
Analisi del ritardo di un sistema ARQ Go-Back-n
ƒ
Il momento del secondo ordine del tempo di servizio vale invece:
x =
2
∞
∑ (1 + k n) (1 − p) p
2
k
k =0
(∑ p
= (1 − p)
k
+ 2n
∑k p
k
+ n2
∑k p )
2
k
n 2 ( p + p 2 )⎞
⎛ 1
2n p
= (1 − p)⎜
+
⎟
2 +
3
−
1
p
−
−
1
p
1
p
⎝
(
)
(
) ⎠
2
2
2n p n (p + p )
= 1+
+
1− p
(1 − p) 2
λ x2
Applicando la P-K formula: W =
2 1− λ x
(
)
T = x+w
81
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
M|G|1 con periodi di non-attività del servizio
ƒ Il servente alla fine di un busy period si prende un
ƒ
ƒ
periodo di “riposo” (vacation), non interrompibile.
Esempio: finita la trasmissione dati vengono trasmessi
messaggi per gestione e controllo.
Sia vi v.a. “durata del riposo” statisticamente
indipendenti fra di loro e dal processo degli arrivi.
Tempo di servizio
residuo
v1
x1
x3
x2
x4
v2
v3
82
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Estensione della P-K formula
Tempo medio di attesa
R
W=
1− ρ
R = Tempo medio residuo di servizio o riposo
Derivazione simile a P-K Formula
M (t )
M (t )
L (t )
x
1 M (t ) ∑
1 t
1 1
1 1
R = E[r (t )] = ∫ r(τ )dτ = ∑ xi2 + ∑ vi2 =
t 0
t i =1 2
t i =1 2
2
1 2
1 v2
R = λ x + (1 − ρ )
2
2v
λx
2
2
v
+
w=
2(1 − ρ ) 2v
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
i =1
t
2
i
M (t )
L (t )
+
v
1 L(t ) v ∑
i =1
2
i
2 t v L(t )
Ove M(t) è il numero di servizi completati
in (0,t), L(t) il numero di vacation periods
L(t ) ⋅ v
= 1− ρ
t
Infatti questa non è altro che la
percentuale di tempo in cui il sistema è
83
inutilizzato (e compie dunque vacations)
Applicazione: confronto fra Multiplazione a Divisione di
Frequenza e di Tempo in sistemi temporizzati (slotted)
FDM
ƒ
Ipotesi:
9
9
9
Pacchetti di lunghezza costante
Tempo di trasmissione di un pacchetto pari ad m unità di tempo
Processo degli arrivi Poissoniano
Nell’FDM “puro” ognuno degli m sotto-canali
è rappresentato come una coda M|D|1
con parametri:
λ
1
µ=
m
ρ = m =λ
1
λ
m2
m
λm
=
wFDM = m
2(1 − λ ) 2(1 − λ )
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
P-K formula
84
Applicazione: confronto fra Multiplazione a Divisione di
Frequenza e di Tempo in sistemi temporizzati (slotted)
SFDM (Slotted FDM)
ƒ
ƒ
ƒ
FDM temporizzata: la trasmissione di un pacchetto può iniziare
solo negli istanti m, 2m, 3m,.... (slot lunghi m unità di tempo)
Ogni sottocanale è una coda M|D|1 con periodi di riposo.
Quando non ci sono pacchetti in coda il trasmettitore si ferma per
uno slot, ovvero per m unità di tempo (quindi ogni periodo di
vacanza ha durata deterministicamente pari a m)
v=m
v2 = m2
w SFDM = w FDM +
m
m
=
2 2( 1 − λ )
P-K formula estesa
85
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Applicazione: confronto fra Multiplazione a Divisione di
Frequenza e di Tempo in sistemi temporizzati (slotted)
TDM
ƒ
ƒ
In questo caso il Service Time è pari ad 1 unità di tempo, invece
che m, come per FDM e SFDM.
Ogni stazione può trasmettere solo negli istanti m, 2m, 3m. (come
SFDM)
1
2 … m 1 2 … m
0
m
wTDM = wSFDM
2m
m
=
2(1 − λ )
86
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Applicazione: confronto fra Multiplazione a Divisione di
Frequenza e di Tempo in sistemi temporizzati (slotted)
Valutazione del ritardo di trasmissione
ƒ
ƒ
TDM
FDM, SFDM
tempo di servizio pari ad 1 unità di tempo
tempo di servizio pari ad m unità di tempo
λm
TFDM = m +
2(1 − λ )
m
TSFDM = TFDM +
2
TT DM = 1 +
m
m
= TFDM − ( − 1)
2(1 − λ )
2
per m > 2 , TDM migliore di FDM
Il maggior tempo di attesa in coda è
recuperato dal più veloce tempo di
servizio.
87
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Sistema G|G|1
ƒ Lo studio di tale sistema è molto complicato
ƒ Supponiamo che i tempi di interarrivo e di servizio siano sempre
ƒ
indipendenti
Si dimostra che vale la seguente disuguaglianza
ƒ Ove:
λ (σ a2 + σ b2 )
W≤
2(1 − ρ )
9 σ a varianza dei tempi di interarrivo
9 σ b2 varianza dei tempi di servizio
9 λ inverso del tempo medio di interarrivo
λ
1 è il tempo medio di
ρ
9
fattore di utilizzazione, pari a
dove
µ
µ
servizio
2
88
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione
Sistema G|G|1
ƒ Si può dimostrare che tale bound per il tempo medio di
ƒ
attesa in coda diventa esatto asintoticamente quando ρ → 1
Ovvero: quando il sistema risulta molto carico
89
F. Martignon: Reti di Telecomunicazione