Lezione-restauro

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Ottica
Newtonteoria corpuscolare con cui spiega
leggi di riflessione e rifrazione (con ipotesi
errata). Respinse la teoria ondulatoria anche se
spiegava passaggio luce attraverso lamine
sottili perché vedeva luce propagarsi in linea
retta.
Huygens e Hooke teoria ondulatoria spiega
riflessione e rifrazione, introduce interferenza e
diffrazione
A. Romero
Restauro - Ottica
1
Ottica
Fresnel (1788-1827)esperimenti su interfenza e diffrazione .
Luce è rettilinea dato la bassa λ (lunghezza d’onda) della luce
visibile
Focault misura vluce in acqua < vluce in aria
Velocità luce in ariac legata a costanti di teoria em di
Maxwell
Descrizione completa necessita di relatività e di meccanica
quantistica. Luce è anche particella fotone (γ)
c indipendente da sistema di riferimento, massima velocità di
un segnale. Molte misure da Roemer 1676 a Michelson etc
1
ε0µ0
c=
A. Romero
Restauro - Ottica
2
Ottica
onde di qualsiasi tipo che incidono su ostacolo
piano generano onde che si allontanano
dall’ostacolo Riflessione
Esempio in superficie di separazione tra aria e
vetro, aria e acqua
Parte di energia viene riflessa e parte trasmessa
Legge di Snellius
n 1senθ1 = n 2senθ 2
n1/v1=n2/v2
A. Romero
Restauro - Ottica
3
Riflessione e Rifrazione
Un raggio di luce che si propaga in aria entra in acqua con un dato angolo di
incidenza
θ1 = angolo di incidenza
θ2 = angolo di rifrazione
θ1’= angolo di riflessione
θ1'
θ1
n1
n2
θ2
• l’indice di rifrazione dell'acqua è n2=1.33
• l’indice di rifrazione per l’aria è n1=1
• l’indice di rifrazione n=c/v
•c velocità luce in aria
•v velocità luce nel mezzo
Passando da un mezzo meno rifrangente a uno più rifrangente (cioè con indice
di rifrazione più alto), il raggio si avvicina alla normale.
A. Romero
Restauro - Ottica
4
Rifrazione totale
La riflessione totale della luce proveniente da una sorgente puntiforme S avviene
per tutti gli angoli di incidenza maggiori dell’angolo limite θL. In tal caso non c’è
luce rifratta. Se invece il raggio incide con angolo pari all’angolo critico, il raggio
rifratto segue la superficie di separazione tra i due mezzi.
θL
mezzo
A. Romero
Restauro - Ottica
5
Rifrazione totale
La riflessione totale si può verificare solo passando da un mezzo più
rifrangente ad uno meno rifrangente (cioè con indice di rifrazione più
basso). Qualsiasi mezzo ha indice di rifrazione > di quello dell’aria (= 1), per
cui consideriamo il caso del raggio che tenta di passare dal mezzo all’aria e non
viceversa.
Se l’angolo di incidenza è uguale all’angolo limite, allora l’angolo di rifrazione
è pari a 90°:
n 1senθ L = n 2sen90°
Noto il valore di θL si ricava il valore dell'indice di rifrazione del mezzo.
A. Romero
Restauro - Ottica
6
Rifrazione
Passando da un mezzo meno rifrangente (ad esempio aria) a uno più rifrangente (ad
esempio l’acqua), il raggio si avvicina alla normale, cioè l’angolo del raggio rifratto
è minore. E per questa ragione, ad esempio, che un cucchiaio o una matita immersi
in un bicchiere d’acqua sembrano piegati.
A. Romero
Restauro - Ottica
7
Prismi
a)
b)
a) La luce che entra attraverso una delle facce minori di un prisma di vetro 45°-90°-45°
è riflessa totalmente nel prisma ed emerge attraverso l’altra faccia minore a 90° rispetto
alla direzione del raggio incidente.
b) La luce che entra attraverso la faccia maggiore del prisma viene riflessa totalmente
due volte ed emerge in direzione opposta a quella della luce incidente.
A. Romero
Restauro - Ottica
8
Fibre ottiche
Una guida di luce: la luce all’interno
della guida incide sempre sotto un
angolo maggiore dell’angolo limite e
quindi non esce per rifrazione dalla
guida
A. Romero
Un fascio di fibre di vetro.
La luce proveniente dall’oggetto è
trasportata
dalle fibre e forma
un’immagine dell’oggetto all’altra
estremità.
Restauro - Ottica
9
Conservazione e restauro
Argomenti di fisica: ottica geometrica
Studio della composizione degli strati in un affresco
Immagini ottenute per mezzo del microscopio ottico.
Filmato dell’
dell’endoscopia sul braccio destro della
statua di Germanico
Immagini ottenute per mezzo di fibre ottiche
A. Romero
Restauro - Ottica
10
Tabella indice di rifrazione
A. Romero
Restauro - Ottica
11
Riflessione e Rifrazione
Urto contro superfici piane di dimensioni >> λ:
Riflessione
Rifrazione
A. Romero
Restauro - Ottica
12
Dispersione della luce
L’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda della luce incidente,
quindi anche l’angolo di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda della luce
incidente
n 1sinϑ1 = n 2sinθ 2
Esempio: monocromatore
A. Romero
Restauro - Ottica
13
OTTICA GEOMETRICA
Costruzione di immagini di determinati oggetti effettuata con strumenti ottici in cui la
luce emessa dagli oggetti subisce riflessione e rifrazione
Definizioni importanti per l’ottica geometrica
Oggetto: corpo esteso o puntiforme che emette luce direttamente o diffonde luce emessa
da un altro corpo.
Immagine: figura puntiforme o estesa in cui convergono i raggi luminosi provenienti da
oggetto che vengono seguiti attraverso gli strumenti ottici (lenti o specchi)
Punti coniugati: coppia composta dal punto oggetto e dal relativo punto immagine
Immagine reale: figura nei punti della quale si incontrano fisicamente i raggi luminosi
Immagine virtuale: immagine per i punti della quale passano i prolungamenti dei raggi
ma non i raggi stessi
Specchi: superfici sulle quali avviene la sola riflessione
Diottri: superfici su cui avviene la trasmissione della luce da un mezzo all’altro per
rifrazione ( importanti per lenti)
A. Romero
Restauro - Ottica
14
Specchi piani
Basandosi sulla legge della riflessione si possono ricostruire le immagini da specchi piani
Dopo la riflessione, i raggi divergono P(oggetto)
esattamente come se provenissero da
un punto P’ posto dietro il piano
dello specchio stesso
Il punto P’ è detto immagine del
punto P
Quando i raggi entrano nell’occhio,
non possono essere distinti dai raggi
provenienti da un punto oggetto P’,
senza specchio.
In questo caso si parla di “immagine
virtuale” perché la luce non proviene
realmente dall’immagine ma sembra
solo provenire da essa.
A. Romero
Restauro - Ottica
15
Specchi piani
L’immagine virtuale data da uno specchio piano
ha la caratteristica di essere un’immagine
ribaltata: la destra è scambiata con la sinistra
Questa caratteristica è evidente se si osserva la
figura sotto:
L’immagine di una mano destra in uno
specchio piano è una mano sinistra!
specchio
immagine
oggetto
Oggetto: terna cartesiana destrorsa
Immagine:
Immagine terna cartesiana sinistrorsa
Un osservatore, che si pone con le spalle allo specchio ed osserva l’oggetto, vede
l’asse z puntare verso l’alto, l’asse x verso di sé l’asse y da sinistra a destra. Quando
si gira e guarda l’immagine, l’asse x’ è ancora rivolto verso di lui e l’asse z’ verso
l’alto, ma l’asse y’ va da destra a sinistra
A. Romero
Restauro - Ottica
16
Specchi sferici concavi
θi
θi
Basandosi sulla legge della riflessione può essere
ricavata l’equazione dello specchio sferico concavo
• P: punto oggetto
• Q: immagine di P
• O: centro di curvatura dello specchio
• p: PV (distanza dell’oggetto)
• q: QV (distanza dell’immagine)
• R=OV
Supponendo gli angoli molto piccoli
θ + θ' = 2α
⇒ HV~h
h = PVtgθ ≈ PVθ = pθ
h = QVtgθ' ≈ QVθ' = qθ'
A. Romero
h
p
h
θ' =
q
α=
h
R
Restauro - Ottica
⇒
h h
h
+ =2
p q
R
⇒
h = OVtgα ≈ OVα = Rα
⇒
⇒
⇒
θ=
⇒
⇒
In base alla proprietà secondo cui un angolo esterno di un triangolo è
uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti
θ + θi = α
α + θi = θ'
1 1 2
+ =
p q R
17
Specchi sferici concavi
A partire dall’equazione dello specchio sferico
concavo, è possibile studiare dove si forma
l’immagine al variare della posizione dell’oggetto
Se p = +∞ (cioè i raggi incidenti sono paralleli
all’asse dello specchio)
⇒
dalla:
1 1 2
+ =
p q R
1 1 2
1 2
+
=
⇒
0
+
=
risulta
∞ q R
q R
R
q= =f
2
Se i raggi incidenti sono paralleli all’asse dello specchio, i raggi riflessi si incontrano in un
punto F posto a distanza R/2 dal vertice, a metà strada tra O e V.
Tale punto si chiama fuoco dello specchio concavo.
La distanza f =FV è detta distanza focale
Con la definizione di distanza focale, è possibile riscrivere l’equazione dello specchio sferico:
A. Romero
1 1 1
+ =
p q f
Restauro - Ottica
18
Specchi sferici: convenzioni
R
V
p>0
q>0
p<0
q<0
O
Convenzioni sui segni sulla posizione
dell’oggetto e dell’immagine
p:posizione oggetto
q:posizione immagine
Imm. virtuale
Imm. reale
R<0
R>0
V
O
Convenzioni sui segni del raggio di
curvatura di superfici sferiche
convesso
concavo
Convenzioni sui segni delle distanze
dall’asse focale
A. Romero
V
O
y>0
Asse focale
Restauro - Ottica
y<0
V
y’<0
y’>0
19
Specchi sferici
La costruzione delle immagini
Nella costruzione delle immagini si usano tre raggi
principali che sono i seguenti:
Il raggio parallelo all’asse: si riflette passando per
il fuoco
Asse focale
C
F
Il raggio passante per il fuoco: si riflette
parallelamente all’asse
Il raggio passante per il centro di curvatura: incide
perpendicolarmente allo specchio e quindi si
riflette nella direzione di incidenza
A. Romero
Restauro - Ottica
20
Specchio sferico: Ingradimento trasversale
dato uno specchio sferico concavo, se l’oggetto dista dal vertice V più della distanza
focale f, l’immagine che viene a crearsi è reale (q>0), capovolta e rimpicciolita
Asse focale
C
F
C
F
La dimensione dell’immagine è diversa da quella
dell’oggetto. Il rapporto tra la lunghezza y’del segmento
QQ’ e la lunghezza y del segmento PP’è definito
ingrandimento trasversale. I = y'
y
I triangoli azzurro e giallo sono simili ⇒ I = y' = − q
y
A. Romero
Restauro - Ottica
p
21
Specchio sferico concavo
dato uno specchio sferico concavo, se l’oggetto è posizionato tra il fuoco ed il
vertice l’immagine è virtuale (q<0), dritta e ingrandita
y'
I=
y
Asse focale
C
A. Romero
F
Restauro - Ottica
22
Esercizio
Un oggetto si trova a 12 cm da uno specchio concavo con raggio di curvatura di 6 cm.
Si trovi la distanza focale dello specchio e la distanza dell’immagine.
f=
Distanza focale:
Dalla formula degli specchi sferici
in termini di distanza focale
1 1 1
+ =
12 q 3
A. Romero
1
1
R = (6) = 3
2
2
1 1 1
+ =
p q f
1 1 1
3
= − =
q 3 12 12
Restauro - Ottica
q = 4 cm
23
Specchi sferici convessi
Lo specchio sferico convesso ha il centro
di curvatura a destra del vertice e quindi il
raggio R positivo. Procedendo con le stesse
approssimazioni già viste si ottiene:
1 1 2
+ =
p q R
Quando i raggi incidenti sono paralleli all’asse
dello specchio, p = +∞, i prolungamenti dei
raggi riflessi passano tutti in un punto F posto a
distanza R/2 dal vertice, detto
fuoco dello specchio convesso.
La distanza f =FV è detta distanza focale f =
1 1 1
+ =
p q f
A. Romero
Restauro - Ottica
24
R
2
Specchi sferici convessi
Caratteristica tipica dello specchio sferico convesso è che per qualsiasi valore della
distanza oggetto p, la distanza immagine q è sempre negativa (q<0).
Quindi l’immagine si forma sempre dietro lo specchio,
specchio è sempre un’immagine
virtuale: per essa passano sempre i prolungamenti dei raggi riflessi e non i raggi stessi
A. Romero
Restauro - Ottica
25
Esercizio
Un oggetto alto 2 cm si trova a 10 cm da uno specchio convesso che ha un raggio di
curvatura di 10 cm. Si localizzi l’immagine e se ne trovi l’altezza
f=
Distanza focale:
1
1
R = (− 10) = −5
2
2
Perché è convesso
Per trovare la distanza q dell’immagine si utilizza l’equazione:
1 1
1
+ =−
10 q
5
1
1 1
3
=− −
=−
q
5 10
10
1 1 1
+ =
p q f
q = -3,33 cm
L’immagine è virtuale, dietro lo specchio
Ingrandimento trasversale I =
y'
q
− 3,33
=− =−
= 0,333
y
p
10
⇒
Dimensioni oggetto
A. Romero
y'
= 0,333
y
y' = 0,333 ⋅ y = 0,33 ⋅ 2 = 0,66
Restauro - Ottica
⇒ y' = 0,66
26
Esercizi
Uno specchio sferico concavo ha un raggio di curvatura R=20cm. Ad una distanza di
25 cm si trova un oggetto; trovare la posizione dell’immagine e il valore
dell’ingrandimento trasversale.
Distanza focale:
f=
1
1
R = (+ 20) = 10
2
2
Perché è concavo
Per trovare la distanza q dell’immagine si utilizza l’equazione:
1 1 1
+ =
25 q 10
1 1
1
3
−
=
=
q 10 25 50
Ingrandimento trasversale I =
1 1 1
+ =
p q f
q = +16,67 cm
L’immagine è reale, davanti allo specchio
y'
q
16,67
=− =−
= −0,67
y
p
25
I = −0,67
A. Romero
Restauro - Ottica
27
Esercizio
Uno specchio sferico concavo ha un raggio di curvatura R=20cm. Ad una distanza di 5
cm si trova un oggetto; trovare la posizione dell’immagine e il valore
dell’ingrandimento trasversale.
Distanza focale:
f=
1
1
R = (+ 20) = 10
2
2
Perché è concavo
Per trovare la distanza q dell’immagine si utilizza l’equazione:
1 1 1
+ =
5 q 10
1 1 1
1
− =−
=
q 10 5
10
1 1 1
+ =
p q f
q = -10cm
L’immagine è virtuale, dietro lo specchio
Ingrandimento trasversale
I=
y'
q
− 10
=− =−
= +2
y
p
5
I=2
A. Romero
Restauro - Ottica
28
Esercizio
Uno specchio sferico convesso ha un raggio di curvatura R=20cm. Ad una distanza di 5
cm si trova un oggetto; trovare la posizione dell’immagine e il valore
dell’ingrandimento trasversale.
Distanza focale:
f=
1
1
R = (− 20) = −10
2
2
Perché è convesso
Per trovare la distanza q dell’immagine si utilizza l’equazione:
1 1
1
+ =−
5 q
10
1
1 1
3
=− − =−
q
10 5
10
1 1 1
+ =
p q f
q = -3,33 cm
L’immagine è virtuale, dietro allo specchio
Ingrandimento trasversale I =
y'
q
− 3,33
=− =−
= 0,67
y
p
5
I = 0,67
A. Romero
Restauro - Ottica
29
Diottri
Diottri: Superfici che separano un mezzo con indice di rifrazione n , posto a sinistra
1
della superficie da un mezzo con indice di rifrazione n2, tali che n1>n2
Seguendo un procedimento analogo a quello già visto ed utilizzando le leggi della rifrazione
si può ottenere l’equazione del diottro sferico:
n1 n2 n2 − n1
+ =
s s'
r
A. Romero
n1 n 2 n 2 − n1
+ =
p q
r
Restauro - Ottica
30
Diottri
n1 n2 n2 − n1
+ =
s s'
r
La convenzione per i segni di s, s’ e r è la seguente:
A. Romero
Restauro - Ottica
31
Diottri
Ingrandimento
Si può dimostrare che l’ingrandimento lineare trasversale di
un’immagine formata per rifrazione in corrispondenza di una singola
superficie sferica vale:
G=
y'
n ⋅ s'
=− 1
y
n2 ⋅ s
Se G è negativa, l’immagine risulta capovolta
y
s
y'
tan θ 2 =
s'
tan θ1 =
Infatti:
Snellius
Per angoli
Piccoli
sin θ ≅ tan θ
n1 tan θ1 = n2 tan θ 2
n1 ⋅
y
 y' 
= n2 ⋅  − 
s
 s' 
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
A. Romero
Restauro - Ottica
32
Diottri
Esempio: un pesce si trova in un recipiente sferico di vetro pieno d’acqua, avente indice di
rifrazione 1,33; il raggio del recipiente è 15 cm. Il pesce guarda attraverso il recipiente e
vede un gatto accucciato sul tavolo col naso a 10 cm dal recipiente. Dov’è l’immagine del
naso del gatto, e qual è il suo ingrandimento (l’indice di rifrazione dell’aria vale n = 1)?
n1 n2 n2 − n1
+ =
s s'
r
n1 = 1
s = 10 cm
1 1,33 1,33 − 1
+
=
10
s'
15
1,33
0,1 +
= 0,022
s'
s' =
n2 = 1,33
r = 15 cm
1,33
= −17,1 cm
0,022 − 0,1
Dalla tabellina delle convenzioni il segno meno indica un’immagine virtuale (immagine davanti alla superficie)
G=−
n1 ⋅ s '
1⋅ (− 17,1)
=−
= 1,29
n2 ⋅ s
1,33 ⋅10
A. Romero
Il gatto sembra quindi più grande e più distante; inoltre,
essendo G positivo, l’immagine è dritta (non capovolta)
Restauro - Ottica
33
Diottri
Si può usare la legge dei diottri per calcolare la profondità apparente di
un oggetto sott’acqua se lo si guarda direttamente dal di sopra. In questo
caso la superficie è piana, il raggio di curvatura è infinito e si ottiene
quindi una versione semplificata della legge:
n2
s' = − ⋅ s
n1
n1 n2
+ =0
s s'
n1 ⋅ s'
G=−
=1
n2 ⋅ s
In quanto
n1
n
=− 2
s
s'
n1 ⋅ s '
= −1
s ⋅ n2
Esempio: Si calcoli la profondità apparente di un mosaico che si trova 1 m sotto la
superficie dell’acqua, che ha l’indice di rifrazione di n = 1,33.
n1 = 1
s' = −
n2
1
⋅s = −
⋅1 = 0,75 m
n1
1,33
A. Romero
n2 = 1,33
s=1m
Quindi il mosaico appare meno profondo di quanto in realtà è.
Restauro - Ottica
34
Lenti sottili
Due superfici diottriche aventi lo stesso asse individuano 3 regioni distinte: la luce
proviene da sinistra, nel primo mezzo avente indice di rifrazione n1, attraversa il mezzo
con indice n2, e infine, dopo la trasmissione nel secondo diottro, si propaga nel mezzo con
indice di rifrazione n3 (in figura, R1 e R2 sono i raggi di curvatura delle due superfici)
A. Romero
Restauro - Ottica
35
Lenti sottili
Si consideri una lente molto sottile con indice di rifrazione n2=n, immersa in aria n1=n3=1
O
Applicando le leggi di rifrazione separatamente alle due superfici della lente può essere
ricavata l’equazione che collega la distanza dell’immagine (OP=s) alla distanza oggetto
(OP’=s’), all’indice di rifrazione (n) al raggio di curvatura delle superfici della lente (r1 e r2)
1 1
1 1
+ = (n − 1) ⋅  − 
s s'
 r1 r2 
A. Romero
Restauro - Ottica
36
Lenti sottili
Come per gli specchi, la distanza focale è il punto in cui convergono i raggi che provengono
dall’infinito (distanza dell’oggetto, s, molto elevata). Nel caso della lente sottile si ricava
ponendo nell’equazione precedente, s = ∞. In tal caso i raggi convergono nel fuoco, ovvero
s’= f, che quindi risulta avere il valore:
Caso della lente biconvessa
1 1
1
= (n − 1) ⋅  − 
f
 r1 r2 
s’ = f = distanza focale
Formula dei fabbricanti di lenti:
infatti, fornisce la distanza focale in
funzione delle sue proprietà (raggi
di curvatura ed indice di rifrazione)
Nota la distanza focale (caso più frequente) caratteristica di una lente, la legge delle lenti
sottili diventa:
1 1 1
+ =
s s' f
A. Romero
Formula delle lenti sottili
Restauro - Ottica
37
Lenti sottili
1 1 1
+ =
s s' f
Tale legge è uguale a quella degli specchi eccetto per le convenzioni sui segni.
s’ è positiva se l’immagine è dal lato di trasmissione della lente, cioè dal lato opposto a
quello d’incidenza della luce.
Le lenti biconvesse sono convergenti, mentre lenti biconcave sono divergenti.
Lente biconvessa (convergente). I raggi provenienti
dall’infinito convergono nel fuoco. Nella fotografia si
possono anche vedere i raggi riflessi da ciascuna
superficie della lente.
A. Romero
Lente biconcava (divergente). I raggi provenienti
dall’infinito divergono come se provenissero dal
fuoco. Nella fotografia si possono anche vedere i
raggi riflessi da ciascuna superficie della lente.
Restauro - Ottica
38
Lenti sottili (simmetriche)
La costruzione oggetto-immagine ed il relativo ingrandimento lineare trasversale G sono i
seguenti (considerando un oggetto alto y’):
Il fascio parallelo all’asse ottico (dall’infinito) converge nel fuoco e viceversa (A)
Il fascio che passa nel centro della lente continua senza cambiare direzione (B)
s’
(A)
y
θ
(B)
θ’
F
F’
y’
(A)
s
Ingrandimento
θ = θ'
tanθ =
y
y'
=−
s
s'
G=
G=
y'
y
y'
s'
=−
y
s
G < 0 indica che l’immagine è capovolta
A. Romero
Restauro - Ottica
39
Lenti sottili
Esempio: una candela è posto ad una distanza di 15 cm da una lente biconvessa simmetrica
caratterizzata da una distanza focale di 10 cm. A quale distanza si forma l’immagine? E’ dritta o
capovolta? Qual è l’ingrandimento nel punto immagine?
f = 10 cm
f = 10 cm
s = 15 cm
f = 10 cm
y1
y2
s = 15 cm
1 1 1
+ =
s s' f
1 1 1
+ =
15 s ' 10
s’ = distanza immagine
1 1 1
= − = 0,033
s ' 10 15
s’ = 30 cm
Il segno positivo indica che l’immagine viene prodotta dall’altro lato della lente (immagine reale)
G=−
A. Romero
s'
40
=−
= −1,33
s
30
Il segno meno indica che l’immagine è capovolta
Restauro - Ottica
40
Lenti sottili
Esempio: un oggetto alto 1,2 cm è posto a 6 cm da
una lente biconvessa simmetrica caratterizzata da
una distanza focale di 12 cm. A quale distanza si
forma l’immagine? E’ dritta o capovolta? Qual è
l’ingrandimento nel punto immagine e quindi
l’altezza dell’oggetto nel punto immagine?
s = 6 cm
1 1 1
+ =
s s' f
1 1 1
+ =
6 s ' 12
1 1 1
= − = −0,083
s ' 12 6
f = 12 cm
s’ = -12 cm
Il segno negativo indica che l’immagine viene prodotta dallo stesso lato dell’oggetto (immagine
virtuale, ovvero guardando attraverso la lente dal lato opposto a quello dell’oggetto lo si vede come se
fosse a 12 cm di distanza dalla lente).
G=−
A. Romero
s'
− 12
=−
=2
s
6
Il segno positivo indica che l’immagine è diritta ed alta 2,4 cm.
Restauro - Ottica
41
Lenti sottili
In modo analogo, nel caso di lenti biconcave simmetriche (che sono divergenti) la costruzione
oggetto-immagine può essere fatta nel seguente modo.
Il fascio parallelo all’asse ottico diverge in modo che la prosecuzione (tratteggiata in
figura) dal lato da cui proviene il fascio, vada a convergere nel fuoco F’
Il fascio che passa nel centro della lente continua senza cambiare direzione il loro punto
di incontro è l’immagine.
A. Romero
Restauro - Ottica
42
Strumenti ottici
Occhio
Lente d’ingrandimento
Macchina fotografica
Microscopio
In questo contesto prenderemo in considerazione tali strumenti ottici solo sotto l’aspetto
delle lenti sottili che li caratterizzano.
A. Romero
Restauro - Ottica
43
s’ = 2,5 cm
Occhio
Nell’occhio è presente una lente sottile, il cristallino che
ha il compito di focalizzare l’immagine sulla retina (strato
di cellule nervose che riveste la superficie posteriore del
bulbo oculare) che è posta a circa 2,5 cm di distanza.
Il muscolo ciliare è in grado di modificare la forma del
cristallino (cambiandone i raggi di curvatura) in modo da
modificare la distanza focale (si ricordi la formula dei
fabbricanti di lenti).
In condizioni di riposo, ovvero quando sulla retina viene focalizzata l’immagine che giunge
dall’infinito, il cristallino ha una distanza focale di 2,5 cm.
Se si porta l’oggetto più vicino all’occhio il muscolo ciliare modifica la forma del cristallino in modo
da cambiarne la distanza focale (… praticamente applica la formula dei fabbricanti di lenti senza
neppure saperlo …). Il punto più vicino di cui il cristallino riesce a formare un’immagine nitida sulla
retina è detto punto prossimo. Tale valore varia con l’età, passando da circa 7 cm all’età di 10 anni fino
anche a 2 m oltre i 60 anni (perdita di flessibilità del cristallino). mediamente si considera un valore
di 25 cm (detta distanza della visione distinta).
A. Romero
Restauro - Ottica
44
Occhio
Esempio: qual è la distanza focale del cristallino quando mette a fuoco un’immagine sulla retina di un
oggetto posto a 25 cm? E se l’oggetto si trovasse a 7 cm?
s = 25 cm
1 1 1
+ =
s s' f
s’ = 2,5 cm
1
1
1
+
=
25 2,5 f
f = 2,27 cm
1 1
1
+
=
7 2,5 f
f = 1,84 cm
In ottica si indica con potere diottrico (P) l’inverso della distanza focale di una lente misurata in metri,
per cui nel caso del cristallino per i casi dell’esercizio, si ha (D = Diottrie):
P=
Distanza: ∞
Distanza: 25 cm
Distanza: 7 cm
f = 2,5 cm
f = 2,27 cm
f = 1,84 cm
1
1
=
= 40 D
f 0,025
A. Romero
P=
1
1
=
= 44 D
f 0,0227
Restauro - Ottica
P=
1
1
=
= 54,3 D
f 0,0184
45
Alcune dei difetti visivi più comuni.
A. Romero
Occhio
Restauro - Ottica
46
Occhio
Esempio: Supponiamo che il punto prossimo del vostro occhio sia a 75 cm. Quale dovrebbe essere il
potere diottrico delle lenti correttive per portare il punto prossimo a 25 cm?
La situazione è questa: voi vedete un oggetto ben a fuoco solo se lo allontanate a 75 cm dal vostro occhio.
Per mezzo della lente correttiva volete che il punto in cui mettete bene a fuoco sia a 25 cm in modo da
leggere comodamente senza dover allontanare il libro.
Vi serve una lente per cui l’oggetto messo a 25 cm centimetri dal vostro occhio sia a fuoco. Ovvero una
lente per cui la distanza oggetto dalla lente sia 25 cm e che formi un immagine virtuale a 75 cm di distanza.
Il vostro occhio infatti mette a fuoco un oggetto a 75 cm di distanza, per cui bisogna fare in modo che
la lente sia tale da creare, guardando attraverso di essa, un’immagine virtuale a quella distanza.
Assegniamo allora i valori alle grandezze :
L’oggetto, reale, si trova a 25 cm dalla lente appoggiata sul
vostro occhio
s = 25 cm
L’immagine, virtuale, deve essere a 75 cm dalla lente.
Essendo virtuale e dallo stesso lato, il segno è negativo.
s’ = -75 cm
A. Romero
Restauro - Ottica
47
Occhio
Non resta che fare i conti:
s = 25 cm
s’ = -75 cm
1 1 1
+ =
s s' f
1
1
1
+
=
25 − 75 f
P=
A. Romero
f = 37,5 cm
1
1
=
= 2,67 D
f 0,375
Restauro - Ottica
48
Macchina fotografica
Una macchina fotografica è costituita da una lente
convergente, chiamata obiettivo, un’apertura variabile
detta diaframma e un otturatore che può venire aperto
per un breve intervallo di tempo.
Diversamente dall’occhio umano, che ha una lente di
distanza focale variabile, la distanza focale della lente nella
macchina fotografica è fissa.
Di solito, la distanza focale di una lente normale in una
macchina fotografica formato 35 mm è 50 mm (i 35 mm si
riferiscono alla larghezza della pellicola).
La messa a fuoco si ottiene variando la distanza tra la lente
e la pellicola, ovvero avvicinando o allontanando
l’obiettivo rispetto alla pellicola.
Esempio: La distanza focale dell’obiettivo di una macchina fotografica è 50 mm. Di quanto bisogna
spostare l’obiettivo per passare dalla formazione dell’immagine nitida di un oggetto molto distante a
quella di un oggetto distante 2 m?
s=∞
1 1 1
+ =
∞ s ' 50
A. Romero
s=2m
f = 50 mm
s' = f = 5 cm
1
1 1
+ =
2000 s ' 50
Restauro - Ottica
f = 50 mm
s' = f = 51,3 mm
49
Lente d’ingrandimento
Si è visto che la grandezza apparente di un oggetto può essere aumentata usando una lente
convergente, per poter avvicinare l’oggetto all’occhio, aumentando la grandezza dell’immagine sulla
retina. Una tale lente convergente è detta lente d’ingrandimento o microscopio semplice.
Supponiamo di avere un oggetto alto y nel punto prossimo dell’occhio che indichiamo con xpp.
L’altezza dell’immagine sulla retina sarà proporzionale all’angolo θ, che considerato le dimensioni
angolari in gioco è piccolo, per cui si può scrivere che:
y
= tan θ 0 ≅ θ 0
x pp
A. Romero
Restauro - Ottica
50
Lente d’ingrandimento
Supponiamo ora di frapporre tra l’occhio e l’oggetto una lente con focale f (minore di xpp) in modo
che l’oggetto sia ad una distanza dalla lente pari alla distanza focale della stessa.
I raggi paralleli vengono fatti convergere sulla retina dall’occhio rilassato. Supponendo che la lente sia
vicina all’occhio, l’angolo visuale dell’oggetto vale ora:
θ≅
y
f
Il rapporto, che mi dà l’ingrandimento angolare vale:
θ x pp
G=
=
θ0
f
A. Romero
Restauro - Ottica
51
Lente d’ingrandimento
Esempio: una persona con punto prossimo a 25 cm usa una lente di 40 D come lente d’ingrandimento,
Che ingrandimento angolare ottiene?
f =
1
1
=
= 0,025 m = 2,5 cm
P 40 D
G=
x pp
f
=
25
= 10
2,5
Un oggetto appare 10 volte più grande perché può essere posto alla distanza di 2,5 cm, invece che 25
cm, dall’occhio.
A. Romero
Restauro - Ottica
52
Microscopia Ottica
Per quanto antica, la microscopia ottica trova ampi impieghi in
quasi tutti i laboratori.
Fotoni
Fotoni
Con alcuni accorgimenti è possibile raggiungere una risoluzione
spaziale di circa 250 nm, anche se in tal modo la profondità di
campo risulta essere molto bassa.
Microscopia ottica
A. Romero
Restauro - Ottica
53
Microscopia Ottica
La microscopia ottica è molto utilizzata nel campo del
restauro e dell’analisi delle opere artistiche.
Essa consente la visione ingrandita (fino a un massimo di
circa 1000 volte) degli oggetti o di parte di essi,
mantenendo una rappresentazione d’insieme che
permette di evidenziare in maniera più chiara la
conformazione sia della struttura sia del colore e dei
contrasti.
Mentre in un microscopio semplice (lente d’ingrandimento)
si può arrivare solo fino a 10 ingrandimenti, in uno
composto si arriva fino a 1000 ingrandimenti.
In campo artistico e del restauro vengono solitamente
usati ingrandimenti da 40 X (basso) a 500 X (alto). Nel
caso di bassi ingrandimenti il campione non richiede
particolari preparazioni.
Tra i sistemi di illuminazione del campione più usati è da
citare il metodo Kohle rappresentato in figura.
Lo Russo S. e Schippa B., Le metodologie scientifiche per
lo studio dei beni culturali, Pitagora Editrice Bologna, 2001
A. Romero
Attualmente i microscopi ottici sono dotati di sistemi
fotografici che consentono di raccogliere e catalogare le
immagini; inoltre l’impiego di speciali macchine
UV (ultravioletto) e all’IR
IR
fotografiche sensibili all’UV
(infrarosso),
(infrarosso) di cui parleremo tra poco, rende evidenti
particolari invisibili ai nostri occhi.
Restauro - Ottica
54
Confronto tra le diverse tecniche
di microscopia
Occhio umano
Microscopia Ottica
(TEM)
Microscopia Elettronica (SEM)
Microscopia a Forza Atomica (AFM)
A. Romero
Restauro - Ottica
55
Microscopio composto
Il microscopio composto (solitamente impiegato) è
formato, nella sua forma più semplice, dalla
sequenza di due lenti sottili.
L’ingrandimento totale per un microscopio
composto è dato dal prodotto dell’ingrandimento
trasversale dell’obiettivo e l’ingrandimento angolare
dell’oculare:
Consideriamo la prima lente (obiettivo). In tal caso si era visto che l’ingrandimento lineare trasversale
valeva:
Gob =
y'
s'
=−
y
s
Volendo esprimere tale ingrandimento in funzione della focale dell’obiettivo, fob, (che è quella di solito
riportata sullo strumento) basta ricordare la legge delle lenti sottili:
1 1
1
+ =
s s ' f ob
A. Romero
1 1 1 s '− f ob
=
− =
s f ob s ' f ob ⋅ s'
Restauro - Ottica
s'
s'−f ob
l
G = − = −s '
=−
s
f ob ⋅ s'
f ob
56
Microscopio composto
Per quanto riguarda la seconda lente (oculare), è montata nel microscopio in modo che la sua distanza
focale foc coincida con la posizione in cui si forma l’immagine dall’obiettivo. In questo modo ci si trova nella
stessa situazione che era stata incontrata nel caso della lente d’ingrandimento, per cui l’ingrandimento
angolare vale:
Goc =
A. Romero
x pp
f oc
Restauro - Ottica
57
Microscopio composto
L’ingrandimento totale sarà quindi (il segno meno indica che l’immagine risulterà capovolta):
l x pp
G = Gob ⋅ Goc = −
⋅
f ob f oc
Essendo l fisso e dipendente dalle dimensioni dello strumento e xpp legato all’operatore (circa 25 cm),
l’ingrandimento del microscopio composto viene a dipendere solo dalla focale di obiettivo ed oculare.
Torneremo nelle prossime lezioni sul microscopio, dopo aver studiato altri fenomeni di tipo ondulatorio che
caratterizzano la luce e che influenzano/limitano le prestazioni di questi strumenti.
A. Romero
Restauro - Ottica
58
Esempi
Particolare di un papiro egizio del sec. II d.C.
Si nota la kollesis, zona di congiunzione di due
fogli papiracei per formare il rotolo.
Immagini in sezione di pigmenti e pitture
A. Romero
Restauro - Ottica
59
Esempi
A. Romero
Restauro - Ottica
Secondo cronache del periodo, il ciclo
decorativo dell’antico refettorio del
convento di Roma di Trinità dei Monti fu
dipinto da Padre Andrea Pozzo alla fine
del XVII secolo; tuttavia gli esperti
d’arte sono sempre stati divisi
sull’attribuire l’intero ciclo a Pozzo.
La teoria predominante è quella che
vede Pozzo come responsabile del
progetto iniziale e realizzatore della
sola volta e delle rappresentazioni
architettoniche, mentre le figure sui
muri sarebbero state dipinte da artisti la
cui identità non è certa. I recenti lavori
di restauro hanno dato l’opportunità di
effettuare nuove analisi sui dipinti per
ottenere informazioni aggiuntive sugli
stessi.
60
Esempi
Tra le varie analisi effettuate sono stati anche osservati con il
microscopio ottico dei piccoli campioni prelevati dagli affreschi (l’analisi
chimica dei pigmenti è stata invece effettuata direttamente sugli
affreschi per mezzo di un XRF in aria portatile di cui si parlerà l’anno
prossimo).
Fig. a. Campione da una zona di colore blu. Si osservano:
(1) l’intonaco costituito da calce spenta e pozzolana rossa
(2) un primo strato costituito da calce, gesso e colla
(3) uno strato di materiali leganti, tra i quali è possibile distinguere il
giallo d’ocra (O), un pigmento nero di origine animale (N) e biacca (B)
(4) lo strato pittorico che utilizza una colla animale come legante (L)
Fig. b. Campione da una zona di colore verde. Si osservano:
(1) l’intonaco costituito da calce spenta e pozzolana rossa
(2) un primo stato costituito da calce, gesso e colla
(3) uno strato (grigio e sottile) di materiali leganti costituiti, tra le altre
cose, da un pigmento nero di origine animale e biacca
(4) uno strato pittorico verde che utilizza una colla animale come
legante (costituente principale è la terra verde)
(5) uno strato pittorico di un altro colore (più azzurro) che utilizza una
colla animale come legante (costituente principale è la malachite con
biacca)
Sezioni al microscopio ottico (luce bianca riflessa
a 220 x) di due campioni di affresco in
corrispondenza di un pigmento blu (a) e verde (b)
A. RomeroA. Romero
Oltre a conoscere l’esatta composizione dei pigmenti pittorici, le analisi
effettuate hanno confermato che le tecniche e i materiali usati per
decorare il refettorio sono molto simili a quelli descritti da Pozzo nel suo
trattato, in particolare riguardo la preparazione dei muri, le tecniche di
trasferimento pittorico e il tipo di pigmenti utilizzati. Le similitudini sono
tali da mostrare che Padre Pozzo fu sicuramente responsabile di tutto il
progetto (se non anche l’esecutore materiale).
Onde
La propagazione per onde può essere considerata come il trasporto di energia e quantità
di moto (q = m—v) da un punto all’altro dello spazio.
Nelle onde meccaniche (in una corda o onde sonore in aria) l’energia e la quantità di
moto sono trasportate mediante una perturbazione del mezzo, che si propaga in virtù
delle proprietà elastiche di quest’ultimo.
Nell’acqua le onde vanno sù e giù, ma
non vi è lo spostamento del mezzo
nella direzione di propagazione. Infatti
gli oggetti posti sull’acqua restano
fermi.
A. Romero
Restauro - Ottica
BACKHUYSEN, Ludolf
Navi in pericolo a largo di una costa
rocciosa.
1667
Olio su tela, 64,5 x 49 cm
National Gallery of Art, Washington
62
Onde
Quando si dà una piccola scossa a una corda tesa la forma della corda cambia nel tempo
in modo regolare.
La gobba che è prodotta dalla scossa a un’estremità e viaggia lungo la corda è chiamata
onda impulsata o impulso.
Si può dimostrare che un impulso trasporta energia e quantità di moto appendendo un
peso a una corda tesa e dando una scossa a un’estremità della corda. Quando l’impulso
arriva al peso, questo viene momentaneamente sollevato.
L’energia e la quantità di moto introdotte
dal movimento della mano sull’estremità
della corda vengono trasmesse lungo la
corda e ricevute dal peso.
Tipler, Invito alla fisica, vol. 2, Zanichelli
Tipler, Invito alla fisica, vol. 2, Zanichelli
A. Romero
Restauro - Ottica
63
Onde
Se invece di scuotere solo una volta l’estremità di una corda. La muoviamo su e giù con
moto armonico semplice lungo la corda si propaga un treno di onde sinusoidali. Un’onda
di questo tipo è detta armonica.
v=
λ
T
= λν
Tipler, Invito alla fisica, vol. 2, Zanichelli
Ad esempio la nota di un flauto suonata senza sosta è un insieme di onde sonore
armoniche (per le onde sonore il mezzo che “oscilla” è l’aria).
Alcune grandezze importanti che rappresentano l’onda sono:
λ = lunghezza d’onda
(distanza tra i due massimi ovvero la distanza nello spazio entro il quale l’onda si ripete)
v = velocità di propagazione
A = ampiezza dell’onda (metà dell’altezza picco-picco)
T = periodo dell’onda (tempo impiegato da un’onda a compiere un ciclo)
ν = frequenza dell’onda (numero di cicli al secondo, è misurato in Hertz)
A. Romero
Restauro - Ottica
64
Onde
Esempio:
l’orecchio umano è capace di percepire suoni con frequenze nell’intervallo di circa 20 Hz
e 20000 Hz. Essendo la velocità del suono nell’aria pari a circa 340 m/s si ottiene:
20 Hz
20000 Hz
v
340 m/s
λ= =
= 17 m
ν
20 Hz
v
340 m/s
λ= =
= 1.7cm
ν 20000 Hz
Esempio:
per sapere a che distanza è caduto un fulmine è sufficiente misurare il tempo intercorso
tra il lampo e il tuono. Supponendo una velocità del suono in aria pari sempre a 340 m/s
si ottiene:
m
distanza = v ⋅ t = 340 ⋅ 4 s = 1360m
s
A. Romero
Restauro - Ottica
65
Fenomeni di natura ondulatoria: diffrazione
Quando un’onda incontra un ostacolo (fenditura) delle
dimensioni della sua lunghezza d’onda si verifica il fenomeno
della diffrazione.
Le onde uscenti dallo stretto ostacolo non sono confinate
nello stretto angolo formato dai raggi uscenti dalla sorgente
che possono attraversare l’apertura (come accadrebbe,
invece, con delle particelle).
Tipler, Invito alla fisica, vol. 2, Zanichelli
A. Romero
Restauro - Ottica
66
Le onde e la diffrazione
E’ la propagazione in un mezzo con disomogeneita di dimensioni ≈λ
Diffrazione da piccola fenditura:
d << λ
Dimensione apertura = d
Propagazione non rettilinea:
sembra una sorgente puntiforme
A. Romero
Restauro - Ottica
67
Diffrazione
Differenza qualitativa rispetto alla propagazione di particelle:
PARTICELLE: ANGOLO
LIMITATO
ONDE: ANGOLO AMPIO
Base per l’interpretazione della diffrazione: principio di Huygens
“Ciascun punto di un fronte d’onda può essere considerato come una
sorgente puntiforme di onda secondaria”
A. Romero
Restauro - Ottica
68
Diffrazione
Ogni punto di un fronte d’onda è una sorgente puntiforme.
Nuovo fronte d’onda = inviluppo onde elementari
FRONTE D’ONDA
SFERICO
Interpretazione di Huygens
della diffrazione da piccola
fenditura:
A. Romero
FRONTE D’ONDA
PIANO
Restauro - Ottica
69
Diffrazione
Diffrazione da grande fenditura (d >> λ):
Effetti diffrattivi solo ai bordi
A. Romero
Restauro - Ottica
70
Diffrazione
Diffrazione intorno a un piccolo ostacolo (d << λ):
Si ricostruisce il fronte d’onda piano
Diffrazione intorno a un grande ostacolo (D >> λ):
Cono d’ombra sfumato
A. Romero
Restauro - Ottica
71
Diffrazione della luce da singola fenditura
La larghezza angolare del massimo centrale può naturalmente essere tradotta in
termini di distanza sullo schermo. La distanza y dal centro del massimo centrale al
primo minimo di diffrazione è legata all’angolo θmin e alla distanza L tra la fenditura e
y
lo schermo dalla seguente relazione:
tan θmin =
L
Se l’angolo θ è molto piccolo:
tan θ ≅ senθ
Dunque:
y = L tan θmin ≅ Lsenθmin
⇒
λ
y=L
a
A. Romero
Restauro - Ottica
72
Diffrazione della luce da singola fenditura
Se una fenditura non può essere considerata puntiforme, ovvero se la larghezza della
fenditura non è piccola, confronto alla lunghezza d’onda della luce incidente, l’intensità
su uno schermo lontano non è indipendente dall’angolo ma diminuisce
all’aumentare dell’angolo.
sorgente
θ
fenditura
schermo
L’intensità è massima al centro (sinθ
θ = 0) e diminuisce, dopo una serie di minimi
secondari fino a 0 in corrispondenza di un angolo che dipende dalla larghezza a della
fenditura e dalla lunghezza d’onda λ. L’intensità trasmessa dalla fenditura si annulla
λ m=1,2,3…
nei cosiddetti minimi di diffrazione per angoli θ, tali che:
sen θ = m
a
A. Romero
Restauro - Ottica
73
Diffrazione della luce da singola fenditura
L’intensità trasmessa dalla fenditura si annulla nei
cosiddetti minimi di diffrazione per angoli θ, tali
che:
λ m=1,2,3…
senθmin = m
a
a ⋅ senθ min = mλ
Questo risultato per la posizione angolare dei minimi, si può
comprendere considerando ciascun punto del fronte d’onda che
investe la fenditura come una sorgente luminosa puntiforme.
a senθ
θ è la differenza di cammino tra i raggi emessi dalle due
sorgenti che si trovano alle due estremità della fenditura.
Se a senθ
θmin=mλ
λ le onde provenienti dalle due estremità sono in
accordo di fase. Si immagini di dividere la fenditura in due
regioni. Se si considerano i raggi provenienti dalla prima
sorgente e da quella centrale essi saranno sfasati di 180° e quindi
si elideranno. Per lo stesso motivo si elideranno tutte le onde
provenienti da sorgenti che distano tra loro a/2. Dunque
all’angolo θmin avremmo un minimo di energia luminosa
A. Romero
Restauro - Ottica
74
Diffrazione della luce da singola fenditura
Molto spesso ciò che interessa in una figura di diffrazione è la posizione in cui compare il
primo minimo dell’intensità della luce, perché quasi tutta l’energia luminosa è contenuta nel
massimo centrale. I primi zeri nell’intensità si hanno in corrispondenza di angoli θ tali che:
sin θmin =
λ
a
La distanza angolare tra i primi due minimi è chiamata larghezza angolare del massimo
centrale di diffrazione ed è pari a 2 sin θmin = 2 λ Si può notare che la larghezza del massimo
a
dipende dalla larghezza della fenditura.
Se a>>λ
λ, allora il massimo è molto stretto e l’effetto della diffrazione è quasi trascurabile.
Se a diminuisce e tende a λ, il massimo si allarga
Se a=λ, il primo ed unico minimo si formerebbe a θ=90 e
Se a <λ, l’intensità non si annulla mai, cioè tutto lo spazio al di là della fenditura è illuminato
A. Romero
Restauro - Ottica
75
Esercizio:
diffrazione da una fenditura
Un fascio laser di lunghezza d’onda di 700 nm passa attraverso una fenditura
verticale larga 0,2mm e incide su uno schermo posto alla distanza di 6 m. Si trovi la
larghezza orizzontale del massimo di diffrazione centrale posto sullo schermo, cioè
la distanza tra il primo minimo a sinistra e il primo minimo a destra.
Sol.: Il primo minimo si ha in una posizione sullo schermo pari a y = L
Dove:
• L=6m
• a=0,2 mm
• λ=700nm
λ
a
700 ⋅ 10 −9 m
y = 6m
= 2,1 ⋅ 10 − 2 m
−3
0,2 ⋅ 10 m
La larghezza ∆ del massimo centrale sarà pari al doppio di questa distanza.
∆ = 2y = 2 ⋅ 2,1 ⋅ 10 −2 m = 4,2 ⋅ 10 −2 m
∆ = 4,2cm
La larghezza del massimo è di 4,2 cm
A. Romero
Restauro - Ottica
76
Fenomeni di natura ondulatoria: interferenza
Onde costruttive
Onde distruttive
Tipler, Invito alla fisica, vol. 2, Zanichelli
Halliday, Fisica di, Ed. Ambrosiana
A. Romero
Restauro - Ottica
77
La luce come un’onda.
La natura ondulatoria della luce scoperta grazie
all’interferenza
Prova della natura ondulatoria:
Interferenza da 2 fenditure (esperienza di Young 1801):
Se la luce produce figure di interferenza allora è un’onda!
A. Romero
Restauro - Ottica
78
La prova della natura ondulatoria della luce:
interferenza da due fenditure
Se si illuminano due fenditure con un
fascio di luce proveniente da una
singola sorgente, le due fenditure si
comportano come sorgenti coerenti di
luce S1 e S2 (cioè in accordo di fase o
con una differenza di fase costante)
La luce emessa da S1 e S2 produce sullo schermo,
posto ad una distanza (L>>d), una figura detta
“figura di interferenza”.
Le frange chiare corrispondono ai massimi di intensità di luce, (interferenza
costruttiva), le frange scure ai minimi di intensità di luce (interferenza distruttiva)
A. Romero
Restauro - Ottica
79
La prova della natura ondulatoria della luce:
interferenza da due fenditure
Il tipo di interferenza (costruttiva o distruttiva)
dipende dalla differenza di cammino percorso
dai raggi provenienti dalle due sorgenti e
incidenti nel punto P.
Se L >>d
⇒
Raggi che incidono in P sono quasi paralleli
Differenza di cammino
Raggi quasi paralleli
A. Romero
⇒ Differenza di cammino: ∆ x = d sin θ
Restauro - Ottica
80
La prova della natura ondulatoria della luce:
interferenza da due fenditure
Banda
Interferenza ⇒ Massima ⇒
intensità
chiara
costruttiva
Se i cammini differiscono di un numero intero di lunghezze
d’onda (cioè la differenza di fase è nulla):
∆ x = d sin θmax = mλ ⇒ d sinθmax = mλ
Interferenza
distruttiva
⇒
Minima
intensità
⇒
Banda
scura
Se: ∆ x = d sin θmin = (m + ½)λ ⇒ d sinθmin= (m + ½)λ
A. Romero
Restauro - Ottica
81
La prova della natura ondulatoria della luce:
interferenza da due fenditure
L’andamento dell’intensità con l’angolo θ (nel
disegno a lato), si può tradurre in differenti valori di
intensità per diverse posizioni x sullo schermo.
Nell’ipotesi L>>d, si può scrivere sin θ ≈ tan θ =
x
L
Le posizioni dei massimi sullo schermo si
avranno dunque in posizioni xmax tali che:
senθmax =
xm
L
⇒
x max = Lsenθmax
essendo sinθmax = mλ/d
⇒
x max = m
λL
d
NOTA: dalla formula è evidente che se è nota la distanza
tra le due fenditure d e la distanza dello schermo L,
misurando la posizione del m-esimo massimo xmax, è
possibile ricavare la lunghezza d’onda della luce incidente
λ=m
A. Romero
Restauro - Ottica
x max L
d
82
Esercizio:
interferenza da due fenditure
Due fenditure sottili distanti 1,5 mm sono illuminate da luce con una lunghezza
d’onda di 589 nm. Le frange di interferenza si osservano su uno schermo posto ad
una distanza di 3 metri. Si trovi la distanza tra le frange nello schermo.
Sol.: L’m-esimo massimo di intensità, cioè l’m-esima banda chiara si ha in una
posizione xm sullo schermo:
λL
xmaxk = k
Dove:
• L=3m
• d=1,5 mm
• λ=589nm
x max k
d
589 ⋅ 10 −9 m ⋅ 3m
=k
= k ⋅ 1,18 ⋅ 10 − 3 m
−3
1,5 ⋅ 10 m
La distanza 2 frange sarà pari a questa distanza xmaxk diviso il numero delle frange k
x max k
k
=
λ L k ⋅ 1,18
=
= 1,18mm
d
k
Le frange distano di 1,18 mm
A. Romero
Restauro - Ottica
83
Reticolo di diffrazione
Un reticolo di diffrazione è costituito da un gran numero N di fenditure o righe, egualmente
distanziate. La distanza d tra i punti centrali di due fenditure contigue e' il passo del reticolo.
Se un' onda piana incide sul reticolo si può studiare la
distribuzione della intensità luminosa (figura di
diffrazione) su uno schermo posto ad una grande distanza
dal reticolo. In ciascuna delle fenditure la luce viene
difratta, ed i fasci rifratti a loro volta interferiscono. Per
prevedere l’andamento di questa intensità bisogna tener
conto dei fenomeni già visti di:
interferenza tra N sorgenti
diffrazione della luce emessa da ciascuna sorgente
A. Romero
Restauro - Ottica
84
Reticolo di diffrazione: la figura di diffrazione
I massimi di interferenza sono in corrispondenza degli angoli θ, dati da:
d sin θ max = mλ
A. Romero
Restauro - Ottica
85
La natura della luce: onda o corpuscolo ?
“Per il resto della mia vita voglio riflettere su cosa sia la luce.”, Albert Einstein, 1916
Comportamento ondulatorio:
Sono stati osservati sia fenomeni di interferenza che di diffrazione
Essendo un’onda è stato possibile misurare la lunghezza d’onda associata
ad ogni sua componente.
Le lunghezze d’onda della luce “visibile” vanno da circa 400 a 800 nm.
700 nm
800 nm
Diffrazione di luce
attraverso un foro
550 nm
600 nm
500 nm
450 nm
400 nm
1Å = 0.1 nm
A. Romero
Restauro - Ottica
86
Lo spettro elettromagnetico
Nulla vieta che ci siano delle “luci” con lunghezza
d’onda inferiore ai 300 nm o superiore a 800 nm.
E’ stato dimostrato che al di sotto e al di sopra di tali
valori sono presenti altre “radiazioni elettromagnetiche”
a cui sono stati associati dei nomi.
Noi “vediamo” solo questa parte dello spettro
elettromagnetico perché la nostra stella emette il 50% della
luce in questo intervallo di lunghezze d’onda.
Se fossimo nati sul sistema di Spica, per esempio,
probabilmente avremmo sviluppato la capacità di vedere
l’UV e i raggi x. Sul sistema di Antares avremmo invece visto
nell’infrarosso.
A. Romero
Restauro - Ottica
87
La natura della luce: onda o corpuscolo ?
L’effetto fotoelettrico
L’effetto fotoelettrico fu scoperto da Hertz nel 1887 e indagato a fondo da
Lenard nel 1900.
Quando un metallo viene colpito dalla luce si osserva, in certe condizioni,
l’emissione di elettroni (trasferimento di energia dalla luce agli elettroni).
Luce
Elettroni
Metallo.
Il fenomeno inspiegabile era che l’energia degli elettroni emessi non dipendeva
dall’intensità del fascio luminoso.
Nel 1905, Albert Einstein dimostrò che questo risultato può essere spiegato se
l’energia contenuta nella luce non è distribuita con continuità nello spazio (come
ci si aspetterebbe da un’onda), ma è quantizzata in pacchetti chiamati FOTONI.
(per questo Einstein conseguì il premio Nobel)
A. Romero
Restauro - Ottica
88
La natura della luce: onda o corpuscolo ?
L’effetto fotoelettrico
L’energia dei singoli fotoni risulta essere pari a:
E = hν
Dove:
ν = frequenza dell’onda elettromagnetica
h = costante di Planck = 4.136 10-15 eV s
Un elettrone emesso dalla superficie di un metallo esposto alla luce riceve la
sua energia da un singolo fotone.
Se si aumenta l’intensità della luce (di una data frequenza o lunghezza d’onda),
sulla superficie arrivano più fotoni nell’unità di tempo, ma l’energia assorbita da
ciascun elettrone non cambia.
L’equazione fotoelettrica di Einstein fu una previsione rivoluzionaria. La verifica
sperimentale arrivò solo nel 1914-1916 (esperimento di Millikan).
E’ stato questo lavoro che ha segnato l’inizio della teoria quantistica. In seguito
Niels Bohr applicò il concetto di quantizzazione dell’energia anche agli atomi
riuscendo a spiegarne molte proprietà (1911)
A. Romero
Restauro - Ottica
89
La natura della luce: onda o corpuscolo ?
La luce è un’entità che si comporta come un’
un’onda o come un corpuscolo a
seconda dei casi.
Il comportamento ondulatorio e corpuscolare della luce sono due manifestazioni
di una stessa entità che i nostri sensi non sono in grado di percepire (e
nemmeno immaginare...).
La relazione che lega l’energia posseduta da un fotone con la lunghezza d’onda
associata ad esso si ricava mettendo insieme i due comportamenti:
Dalla teoria ondulatoria:
v = λν
Da cui:
Dalla teoria corpuscolare:
E = hν
c = λν
c
hc 4.136 ⋅10 −15 ⋅ 2.998 ⋅108 1240 ⋅10 −9
=
=
λ= = h=
ν E
E
E
E
c
Poiché si è visto che negli spettri luminosi si usa esprimere la lunghezza d’onda
in nanometri si può in definitiva scrivere:
λ=
A. Romero
1240
E
Restauro - Ottica
Con E in [eV] e λ in [nm]
90
700 nm
800 nm
E=
550 nm
600 nm
500 nm
1240
= 1.55eV
800
A. Romero
450 nm
400 nm
1240
E=
= 3.1eV
400
Restauro - Ottica
91
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