Formulario di Fisica Tecnica
A cura di Tobia Piccoli
1
2
Elenco dei capitoli
Convenzioni
Conversioni unità
Termodinamica 1
Fluidodinamica
Termodinamica 2
Sostanze omogenee
Gas perfetti
Combustione
Cicli termodinamici
Sistemi gassosi a più componenti non reagenti
Generalità sulla trasmissione del calore
Conduzione
Convezione
Irraggiamento
Scambiatori di calore
3
Convenzioni
→ +
f atto dal sistema
→
subito dal sistema
Lavoro
−
→ +
ciclo percorso in senso orario
Lavoro
→
−
ciclo percorso in senso antiorario
→ +
assorbito dal sistema
→
rilasciato dal sistema
Calore
−
4
Conversioni unità
Atm
Pa
mmHg
bar
ata
psi
J
cal
BT U
HP
Atm
1
9.87 · 10−6
1.315 · 10−3
0.9871
0.9680
0.0689
J
1
4.186
1055.05
2.684 · 106
Pa
mmHg
101317
760
1
0.0075
133, 3
1
105
751.8
98039
735.56
6894.76 51.715
cal
0.238
1
252
6.412 · 105
bar
1.013
10−5
0.00133
1
0.981
0.069
BT U
9.478 · 10−4
3.96 · 10−3
1
2544.4
ata
1.033
1.02 · 10−5
1.359 · 10−3
1.019
1
0.0703
HP · h
3.726 · 10−7
1.559 · 10−6
3.93 · 10−4
1
psi
14.513
1.45 · 10−4
0.0193
144.92
14.224
1
5
Termodinamica 1
Lavoro di volume
L=
´f
i
pdV
Entalpia
h = u + pv
I° principio per sistemi chiusi
du = δq − δL
se solo lavoro di volume:
du = δq − pdv
dierenziando e sostituendo l'espressione dell'entalpia:
dh = δq + vdp
Calore specico
c=
δq
dθ
Trasformazioni isocore, isobare, isoterme
isocore: cv =
δu
δθ v
δh
δθ p
u2 − u1 = cv (θ2 − θ1 )
isobare: cp =
h2 − h1 = cp (θ2 − θ1 )
isoterme: il calore specico tende all'innito
6
Fluidodinamica
Fluidi incomprimibili
u (θ) =
h (θ) =
´θ
c dθ
θ0 v
´θ
θ0
+ u0
c dθ + v (p − p0 ) + h0
Equazione di Newton per la viscosità in moto laminare
x
τyx = −µ δw
δy
con µ coeciente di viscosità e
moto
δwx
δy
gradiente velocità in direzione normale al
Numero di Reynolds
Re =
ρωLc
µ
con ρ massa volumica del uido, ω velocità di riferimento, Lc lunghezza caratteristica del problema e µ viscosità del uido
•
Portata massica m• e portata volumica V
•
m=
m
∆τ
=
ρ∆V
∆τ
=
ρS∆s
∆τ
= ρSω
con ∆V volume di uido che ha attraversato la sezione in ∆τ , S sezione della
tubazione e ∆s spazio percorso dal uido in ∆τ
•
V = Sω
Equazione di continuità (conservazione della massa per sistemi aperti)
ρ1 ω1 S1 = ρ2 ω2 S2
Equazione dell'energia meccanica in regime stazionario a due correnti
•
in termini specici (altrimenti si moltiplica per m) e regime stazionario:
∆ec + ∆ep + R1−2 +
w22 −w12
α(
´2
1
v dp + lt = 0
)
variazione dell'energia cinetica, α vale 2 per moto laminare,
mentre per un generico moto α ' 1
∆ep = g (z2 − z1 ) variazione energia potenziale tra quota uscita e quota ingresso
R1−2 perdite di carico (continue e localizzate)
∆ec =
´2
1
2
v dp lavoro di volume, v volume specico e p pressione
lt lavoro tecnico, eettivamente ottenuto o fornito
Equazione di Bernoulli
(w22 −w12 )
2
+ g(z2 − z1 ) + v(p2 − p1 ) = 0
Perdite di carico continue
∆p = f
l 1
d 2
ρw2
con f fattore di attrito, l e d lunghezza e diametro (idraulico per tubazioni
cilindriche) della tubazione
Rugosità relativa tubazione
7
S=
ε
d
ε rugosità media tubazione
Fattore di attrito - formula di Swamee e Jain
f=
1.325
s
ln( 3.7
+5.74Re−0.9 )
valida per 5000 < Re < 108 e 10−6 < s < 10−2
Fattore di attrito - formula di Moody
f = 5.5 · 10−3 1 + 20000s +
106
Re
13 valida per 4000 < Re < 107 e s < 10−2
Perdite di carico localizzate
∆p = k
1
2
ρ ω2
k è una costante tabulata che dipende dal tipo diperdita localizzata (gomiti,
curve etc.)
Numero di Reynolds
espressione specica per tubature circolari
Re =
ωφint
ν
ν è la viscosità cinematica: ν =
µ
ρ
8
Termodinamica 2
I° principio per sistemi aperti
in termini specici e regime stazionario:
∆ec + ∆ep + ∆h = q − lt
dove ∆h è la variazione di entalpia del uido
Rendimento ciclo di Carnot
ηc =
Q1 −|Q2 |
Q1
=1−
T2
T1
con Q1 calore scambiato nell'isoterma superiore e Q2 calore scambiato nell'isoterma inferiore; T1 > T2 e espresse in Kelvin
Entropia
ds =
δQ
T
Bilancio entropico per sistemi chiusi
in termini specici:
s2 − s1 =
Pn
qi
i=1 Ti
+ ∆sirr
Bilancio entropico per sistemi chiusi
Pn
i=1
•
mSi +
δ
δτ
´
V
Pm
ρs dV = j=1
Qj
Tj
+ Sirr
in condizioni di stazionarietà il termine derivativo si annulla
9
Sostanze omogenee
Titolo di vapore
x=
mv
mv +ml
con mv massa del vapore e ml massa della fase liquida
Equazione di Clapeyron
r=
dp
dT T
(vv − vl )
con r calore latente, vv volume del vapore, vl volume liquido
Propietà termodinamiche vapore saturo
hx = hl + xhd = hl + xr
sx = sl + x qTlvs = sl + x Trs
dove qlv è il calore assorbito durante il cambiamento di fase
Proprietà termodinamiche liquido
u1 ' u10
h1 ' h10 + v (p1 − p10 )
s1 = s10
con 1 appartenente alla curva limite inferiore ed 1 NON appartenente alla curva
0
Proprietà vapori surriscaldati
h2 = hv +
s2 = sv +
´2
v
´2
v
cp dT
dT
T
10
Gas Perfetti
Volume molare
V
n
v̄ =
con V volume del recipiente e n numero di moli
Equazione del viriale
pv̄ = A 1 +
B
v̄
+
C
v̄ 2
+
D
v̄ 3
+ ... = A · Z
con A, B, C, ... dipendenti da tipo di gas e temperatura. Z prende il nome di
fattore di comprimibilità (tabellato)
Equazione dei gas perfetti
pv̄ = R0 T
J
; moltiplicando per n:
con R0 costante universale dei gas 8.3143 mol·K
pV = nR0 T
moltiplicando per µµ , essendo m = nµ con µ peso molecolare, si ottiene:
pV = mRT
dove R =
R0
µ
è la costante specica del gas. Dividendo per la massa si ottengono:
pv = RT
p
ρ
= RT
Relazioni tra calori specici dei gas
cp = cv + R
cv =
1
k−1 R
cp =
k
k−1 R
dove k =
% ' 1.66
→ ' 1.40
& ' 1.33
cp
cv
Trasformazioni isocore
v=
RT
p
= cost
s2 − s1 = cv ln
T2
T1
q = cv (T2 − T1 )
´2
p dv = 0
1
´2
lt = − 1 v dp
Trasformazioni isobare
p=
RT
v
= cost
s2 − s1 = cp ln
T2
T1
q = cp (T2 − T1 )
´2
p dv = p (v2 − v1 )
1
gas monoatomici
gas biatomici
gas triatomici
11
lt = −
´2
1
v dp = 0
Trasformazioni isoterme
pv = cost
s2 − s1 = R ln vv21 = R ln pp21
´2
´2
q = lt = 1 p dv = − 1 v dp = RT ln pp21 = RT ln vv12
Trasformazioni adiabatiche o isoentropiche
pv k = cost
T v k−1 = cost
k
pT k−1 = cost
l = cv (T1 − T2 ) ; lavoro di volume
lt = cp (T1 − T2 )
Rendimento isoentropico di espansione e compressione
% di compressione
ηis,c =
Lid
Lr
=
h2 −h1
h20 −h1
&
ηis,e =
Lr
Lid
=
h1 −h20
h1 −h2
η
di espansione
dove0 Lr è il lavoro reale di compressione o espansione, Lid il lavoro ideale, ed i
pedici indicano la condizione reale
Compressione con interrefrigerazione
pi =
√
pe pu
in tal caso pi è la pressione intermedia che massimizza il risparmio di energia, pe
è la pressione di entrata del gas e pu è la pressione di uscita
rp = ppm
; rapporto compressione, con pm e pa pressioni di mandata e di
a
aspirazione
´v ´p
Ltot = ma pa va − pm vm + vam = −ma pam v dp
1
ηv = VVag = 1 − VVng rpk − 1 ; rendimento volumetrico, con Va volume aspirato
(Va = Vn + Vg − Vap. valvola ) , Vn volume nocivo e Vg volume generato
12
Combustione
Generica reazione ossigeno - idrocarburo
Cm Hn + m + n4 O2 ⇒ mCO2 + n2 H2 O
Ossigeno, aria, fumi
m∗O2 ,s = 2.67 [C] + 8 [H] + [S] − [O] ; massa di ossigeno per bruciare 1kg di
combustibile in condizioni stechiometriche (adimensionale perchè è un rapporto
stechiometrico). [O] è presente solo nei combustibili contenenti ossigeno
1
m∗a,s = 0.23
m∗O2 ,s ; massa di aria stechiometrica (adimensionale perchè è un
rapporto stechiometrico)
∗
m∗
a −ma,s
∗
ma,s
; coeciente d'eccesso d'aria, con m∗a massa d'aria eettivamente
impiegata; ε = 30% per combustibili solidi, ε = 20% per combustibili liquidi e
ε = 10% per combustibili gassosi
m∗f = m∗a + 1 − [ceneri] ; massa eettiva dei fumi (adimensionale perchè è un
rapporto stechiometrico)
ε=
Bilancio energetico della combustione
q = hc (tc ) + (1 + ε) m∗a,s ha (ta ) − m∗f hf (tf )
nel caso ta = tf = tc = t0 si osserva che il calore prodotto è indipendente
dall'eccesso d'aria:
q 0 = hc (t0 ) + m∗a,s ha (t0 ) − m∗f,s [hf (t0 )]s
Rapporto poteri calorici superiore e inferiore
Hi = Hs − m∗H2 O r0 ; dove r0 è il calore latente di evaporazione
Temperatura adiabatica di amma
tad = t0 +
ta
H+m∗
a cp,a |t (ta −t0 )
0
ta
m∗
f cp,f |t
0
Rendimento di un generatore di calore
•
ηG =
mH2 O (hu −hi )
•
mc Hi
=1−
Pin +Pd +Pf
•
mc Hi
Pin per incombusti, molto piccole
Pd attraverso il mantello, tabulate in funzione della potenza del generatore
Pf =
m∗
f cp,f (tf −t0 )
Hi
al camino, legate a entalpia dei fumi
13
Cicli termodinamici
Ciclo Rankine
ηt =
(h3 −h4 )−(h2 −h1 )
(h3 −h1 )
=1−
|q41 |
|q23 |
=1−
T4
T3
'
(h3 −h4 )
(h3 −h1 )
con T4 temperatura al condensatore e T23 temperatura media in caldaia
´2
l12 = −
1
v dp = −v (p2 − p1 )
3
v dp = −v̄ (p4 − p3 ) = v̄ (p2 − p1 )
´4
l34 = −
Ciclo Hirn o a vapore surriscaldato
ηt ='
(h3 −h4 )
(h3 −h1 )
; 3 è il punto di massima temperatura
CicloPdi Rankine aPri-surriscaldamento
∆h
Pi,t −4hp
hi,G
ηt =
'
P∆hi,t
hi,G
con 4hi,t salti entalpici negli stadi della turbina, 4hp salto entalpico nella pompa
e 4hi,G salti entalpici nel generatore i calore
Rendimento termico reale cicli a vapore
ηt,r =
ηis,e lid,t −lid,p/ηis,c
q23
ricordando che lid,t = h3 − h4 , lid,p = h2 − h1 e q23 = h2 − h1
Rendimento impianto produzione energia elettrica con ciclo Rankine
ηtot = ηG ηt ηm ηe ; ηG del generatore di calore, ηt del ciclo termico, ηm della
turbina e del giunto, ηe elettrico
Potenza elettrica prodotta dall'impianto
•
P = mHi ηtot
Consumo termico specico
ϕ=
3600
ηtot
kJ
kW h
Consumo specico combustibile
CSC =
3600
ηtot Hi
h
kgcomb
kW h
i
Consumo specico vapore
CSV =
3600
lr,t
h
kgvapo
kW h
i
con lr,t lavoro specico reale della turbina
Ciclo Otto
14
rv =
v4
v3
; rapporto volumetrico di compressione
rt =
T2
T1
; rapporto di temperatura
η =1−
pm =
−
|q41
|
+
q23
=1−
ηcv (T3 −T2 )
v1 −v2
T4 −T1
T3 −T2
=1−
1
rt
=1−
1
rvk−1
; pressione media ciclo Otto
Ciclo Diesel
rc =
v3
v2
η =1−
=
T3
T2
;rapporto volumetrico di combustione
(T4 −T1 )
k(T3 −T2 )
=1−
1
rvk−1
h
rck −1
k(rc −1)
i
Ciclo Sabathé
rp =
p3
p2
=
T3
T2
; rapporto di combustione a volume costante
rc =
v4
v3
=
T4
T3
; rapporto di combustione volumetrico a pressione costante
η =1−
T5 −T1
(T3 −T2 )+k(T4 −T3 )
=1−
rp rck −1
1
rvk−1 (rp −1)+krp (rc −1)
se rc = 1 si ottiene l'espressione del ciclo Otto, se rv = 1 si ottiene l'espressione
del ciclo Diesel
Ciclo Brayton - Joule
15
T4 −T1
T3 −T2
η =1−
−
|q41
|
=1−
+
q23
=1−
1
k−1
rp k
con T4 temperatura all'uscita turbina, T1 temperatura ingresso compressore, T3
temperatura ingresso turbina (uscita camera combustione) e T2 temperatura uscita
compressore
rp,ott =
k
2(k−1)
T3
T1
lavoro
=
√
rp,max ; rapporto di compressione ottimale per massimo
!
ln∗ =
ln
cp T1
T3
T1
=
1−
k−1
− rp k − 1 ; lavoro netto specico, dierenza fra
1
k−1
rp k
fatto da turbina e assorbito da compressore
Ciclo Brayton - Joule reale
si distingue dal'ideale per la presenza di irreversibilità in compressione ed espansione
k−1
k −1
1
− rp
k−1
ηis,c
k
rp
k−1
rp k −1
T3
T1 −1− ηis,c
T
ηis,e T3
1
ηt =
rp,ott,L =
1−
T3
T1 ηis,e ηis,c
k
2(k−1)
massimo lavoro
"
!
ηis,e TT31
∗
ln,r
=
1−
1
k−1
k
; rapporto ottimale pressioni per ciclo reale per
k−1
−
rp
rp k −1
ηis,c
#
; lavoro netto specico reale
Ciclo Brayton - Joule con rigenerazione
k−1
ηt = 1 −
rp,max =
T1
k
T3 rp
•
e=
Q52
•
T3
T1
k
2(k−1)
0
=
Q42
T5 −T2
0
T4 −T20
= rp,ott
; ecacia della rigenerazione per un ciclo reale: rapporto tra
calore eettivamente
trasferito al uido caldo e trasferibile in una rigenerazione
0
totale. T2 temperatura in uscita dal compressore nel caso reale, T5 temperatu0
ra di ingresso nela camera diu combustione (uscita scambiatore lato freddo), T4
temperatura uscita turbina
Coeciente eetto utile frigorifero
; con Q0 calore sottratto alla sorgente fredda e Ln lavoro netto per
funzionamento frigorifero
εf r =
Q0
|Ln |
16
Coeciente eetto utile pompa di calore
Q1
|Ln |
εpc =
; con Q1 calore ceduto nel ciclo alla sorgente calda
Relazione CUP CUF
εpc = εf r + 1
Ciclo inverso a vapore a semplice compressione
εf r =
h2 −h1
h3 −h2
Ciclo frigorifero a vapore a doppia compressione
ε=
h2 −h1
(h3 −h2 )+(h5 −h4 )
dove 3 è il punto di prima compressione (tra i punti 3 e 2 del graco del ciclo
a singola compressione), 5 è il punto di seconda compressione (nel graco del ciclo
a semplice compressione corrisponde al punto 3), 4è il punto di termine di una
isoentalpica che ha come estremi 3 e 5. Il punto 6 prende il posto del punto 4 del
diagramma precedente
Ciclo frigorifero a doppie compressione e laminazione
•
ε=
Qe
|P |
=
h2 −h1
h −h
(h3 −h2 )+ h3 −h8 (h5 −h4 )
4
7
in questo caso tra i punti 6 e 1 vi sono due isocore (da6 al punto 7 e da 8 a 1) e
una isoentalpica (da 7 a 8)
Ciclo frigorifero a gas
rp =
p2
p1
=
p3
p4
; rapporto di compressione
17
ε=
1
k−1
rp k
−1
Ciclo frigorifero ad assorbimento
εf r =
Qe
Qg +|Pp |
'
Qe
Qg
dove Pp è la poteza assorbita dalla pompa, Qe la potenza scambiata dall'evaporatore e Qg la potenza del generatore
18
Sistemi gassosi a più componenti non
reagenti
Frazione Massica
ωi =
mi
mtot
PN
⇒
i=1
ωi = 1
Frazione molare
xi =
ni
ntot
⇒
PN
i=1
xi = 1
Massa molare miscela
PN
ni µi
ntot
µ̄ =
=
i=1
PN
i=1
xi µi
Costante della miscela di gas
Rm =
R0
µ̄
Pressione parziale
ni R0 T
V
pi =
Legge di Dalton
p=
PN
i=1
pi
Volume parziale
Vi =
ni R0 T
p
Legge di Amagat - Leduc
PN
V =
i=1
Vi
Volume specico di miscela
V
m
v=
=
PN
i=1
ωi vi
Grandezze termodinamiche di miscela
U = mu =
PN
i=1
mi ui
PN
H = mh = i=1 mi hi
PN
S = ms = i=1 mi si
in termini specici:
u=
PN
ωi ui
h=
PN
ωi hi
s=
PN
ωi si
i=1
i=1
i=1
Calori specici di miscela
cv =
PN
ωi cvi
cp =
PN
ωi cpi
i=1
i=1
Umidità specica
x=
mv
ma
pv
ϕps
= 0.622 p−p
= 0.622 p−ϕp
v
s
h
kgvap H2 O
kgaria secca
i
19
dove mv è la massa di vapore acqueo, ma la massa di aria secca, pv la pressione
parziale del vapor d'acqua, p la pressione totale della miscela di aria umida, ps la
pressione di saturazione e ϕ l'umidità relativa
Umidità relativa
ϕ=
mv ms pv ps =
T =cost
T =cost
dove ms è la massa di vapore acqueo in condizioni di saturazione e ps la pressione
di saturazione
Entalpia aria umida
H = ma ha + mv hv [J] ; entalpia totale di miscela, ha è l'entalpia totale di aria
secca
dividendo per la massa di aria secca:
h = ha + xhv
h
J
kg
i
ha = cpa t ; ssando nulla l'entalpia a 0°C , cpa è il valore medio del cp dell'aria
secca in condizioni standard
h i
h = 1.006t + (2.501 + 1.875) x
kJ
kg
Equazioni di bilancio delle trasformazioni psicrometriche
poste le grandezze con il pedice 1 in ingresso nel sistema, quelle con pedice 2 in
uscita dal sistema, e quelle con pedice l per indicare ventuale acqua immessa nel
sistema
•
•
•
•
ma2 h2 − ma1 h1 − ml hl = Q ; equazione dell'energia
•
•
ma2 − ma1 = 0 ; conservazione della massa d'aria secca
•
•
•
ma2 x2 − ma1 x1 − ml = 0 ; conservazione della massa d'acqua
•
h2 −h1
x2 −x1
Q
= h1 + m
; retta di lavoro della trasformazione sicrometrica (riportata su
l
diag. Mollier)
Fattore termico
•
Qs
R=
•
Qt
=
cp,au (t2 −t1 )
h2 −h1
1
= 1 − r hx22 −x
−h1
•
%
adiabatica Qt = 0 ⇒ R = ±∞
→
x costante
Ql = 0 ⇒ R = 1
&
t costante
Qs = 0 ⇒ R = 0
•
•
Umidicazione adiabatica
hl =
catore
h2 −h1
x2 −x1
⇒ h2 − h1 = 0 ; con hl entalpia dell'acqua introdotta dall'umidi-
Umidicazione a vapore
hv =
t2 −t1
x2 −x1
h2 −h1
x2 −x1
=
; hv entalpia del vpore introdotto dall'umidicatore
hv −h¯v
cpa
; postoh¯v valore medio dell'entalpia del vapore tra i punti 1 e 2
Riscaldamento e rareddamento senza deumidicazione
•
•
Q12 = ma (h2 − h1 ) ; Q12 calore introdotto o asportato
Rareddamento con deumidicazione
20
; fattore di by-pass, s si trova sul diagramma psicrometrico in
corrispondenza di ϕ = 100% e t = tbatt raf f r
fbp =
h2 −hs
h1 −hs
•
•
ma (h2 − h1 ) ' Q12
Miscelazione adiabatica di 2 portate d'aria
3:
indicando le portate in ingresso con i pedici 1 e 2 e quella in uscita con il pedice
h2 −h3
h3 −h1
=
x2 −x3
x3 −x1
•
=
m a1
•
m a2
21
Generalità sulla trasmissione del calore
Energia di un sistema
•
E sist = mc dT
dτ
valida per solidi e uidi incomprimibili non in cambimento di fase
Conduzione
qx = −kA dT
lastra di spessore innitesimo, qx potenza
dx ; legge di Fourier per
W termica trasmessa in direzione x, k mK
coeciente di conducibilità termica, A
supercie di scambio termico
qx = −k A
L (T1 − T2 ) ; legge di Fourier per lastra di spessore L
Convezione
< 0.99 ; denizione di strato limite termico
q = hA (Ts − T∞ ) ; legge di Newton, h mW
coeciente convettivo
2K
T (y)−Ts
T∞ −Ts
Irraggiamento
q = AσTs4 ; legge di Boltzmann per corpi neri, σ = 5.67 · 10−8 mW
2 K 4 costante di
Stefan - Boltzmann, Ts temperatura della supercie
q = εAσTs4 ; legge di Boltmann per corpi grigi, ε emissività
22
Conduzione
Legge di Fourier
•
; supposti i sistemi isotropi, indeformabili e a conduttività
•
costante e non dipendente dalla direzione.q g calore generato, α diusività termica
∇2 T +
qg
k
=
1 δT
α δτ
Diusività termica
α=
; ρ densità, c calore specico
1
ρc
Analogia elettrotermica
salto termico
potenza termica
area
lunghezza
conducibilità termica
capacità termica
∆T
q
A
L
k
ρcV
∆V
i
A
L
σ
C
dif f erenza di potenziale
intensità di corrente
area
lunghezza
conducibilità elettrica
capacità elettrica
Resistenza termica
Rt =
Rt =
L
kA
1
hA
; per conduzione
; per convezione
Parete piana multistrato
qx =
T∞,1 −T∞,2
Rtot
=
T∞,1 −T∞,2
PN
LN
1
i=1 k A + h A
1
h1 A +
N
con l'ambiente (ossia quelle esterne)
; i pedici 1 e 2 indicano le pareti a contatto
2
Trasmittanza o coeciente termico globale U
utilizzata al posto della resistenza termica, per sistemi composti
UA =
1
Rtot
qx = U A (T∞,1 − T∞,2 )
Parete cilindrica multistrato
indicando il raggio più interno con il pedice 1 e quello esterno con il 4
qr =
1
2πr1 Lh1
T∞,1 −T∞,2
r2
r
r
ln 3
ln 4
r1
r
r
+ 2πk L + 2πk 2L + 2πk 3L + 2πr 1Lh
4
2
A
B
C
ln
dove ka , kb , e kc indicano le conducibilità dei 3 strati della parete
Raggio critico
rcr =
k
h
Conduzione con generazione di calore
supposto un conduttore cilidrico di raggio r0 si ha e T∞ la temperatura del uido
che lambisce il conduttore:
•
•
; temperatura superciale conduttore, q g calore generato e h
coeciente convettivo dell'ambiente circostante
Ts = T∞ +
•
T0 = Ts +
q g r0
2h
q g r02
4k
; temperatura massima sull'asse del conduttore
Numero di Biot
23
; se < 0.1 si può applicare metodo parametri concentrati
con errore < 5%
dove Lc è la lunghezza cartteristica, esprimibile come:
Bi =
Rconduttiva
Rconvettiva
Lc =
Vcorpo
Ascambio termico
=
hLc
k
Metodo delle capacità concentrate
dato un corpo di supercie As , volume V e calore specico c, alla temperatura
iniziale Ti ed immerso in un uido a temperatura T∞ , l'andamento temporale della
temperatura del corpo è:
hAs
T (τ ) = T∞ + (Ti − T∞ ) e− ρV c τ
U As
T (τ ) = T∞ + (Ti − T∞ ) e− ρV c τ ; per sistemi con isolante di capacità termica
trascurabile
e la costante di tempo è:
τi =
1
hAs
(ρV c) = Rt Ct ; con Rt resistenza termica convettiva, Ct capacità
termica globale del solido
−τ
Q = ρV c (Ti − T∞ ) 1 − e τi ; calore scambiato dal sistema
Fo =
ατ
L2c
; numero di Fourier, α diusività termica
si ha anche:
T (τ ) = T∞ + (Ti − T∞ ) e−(Bi·F o)
24
Convezione
Numero di Nusselt
Nu =
hLc
k
; con Lc lunghezza caratteristica della geometria considerata
Numero di Reynolds
Re =
ρuLc
µ
=
uLc
v
; u velocità uido, v viscosità cinematica uido
Numero di Prandtl
Pr =
v
α
=
µc
k
; α diusività termica uido, µ viscosità dinamica del uido
Deusso parallelo a lastra piana
si ricava h dal numero di Nusselt e si calcola il usso termico con la legge di
Newton
Temperatura di lm
riferendosi sempre alla lastra piana:
Tf =
Tp +T∞
2
Deusso su superci curve e cilindriche
si valuterà il numero di Reynols sul diametro
ReD = u∞v D ; u∞ velocità del uido che insiste sulla curva
Formula di Churchill e Bernstein
N u = 0.3 +
0.5
0.62ReD
P r 0.33
h
i0.25
0.66
1+( 0.4
Pr )
h
1+
i0.8
ReD 0.625
28200
;ReD P r > 0.2
Banchi di tubi allineati investiti ortogonalmente
il numero di Reynolds si valuterà in base alla velocità massima; con D diametro
dei tubi e ST distanza, tra i centri dei tubi, ortogonale al usso:
VM AX =
ST
ST −D V∞
0.36
N uD = 0.52Re0.5
D Pr
Pr
P rs
0.25
; formula di Zhukauskas, 100 ≤ ReD ≤ 103
Banchi di tubi sfalsati investiti ortogonalmente
con D diametro dei tubi, ST distanza, tra i centri dei tubi, ortogonale al usso
e SD distanza, tra i centri, di due tubi non allineati:
VM AX =
ST
2(SD −D) V∞
0.36
N uD = 0.71Re0.5
D Pr
Pr
P rs
0.25
; formula di Zhukauskas, 100 ≤ ReD ≤ 103
Temperatura media logaritmica fascio tubi
; Ts temperatura media parete tubi, Ti temperatura
uido ingresso banco, Tu temperatura uscita uido
∆Tml =
(Ts −Ti )−(Ts −Tu )
T −T
ln Tss−Tui
Potenza scambiata da fascio di tubi
q = N πDh∆Tml ; N numero tubi del fascio
25
Flusso termico per moti interni
q = h (Tp − Tm ) ; Tp temperatura di parete, Tm temperatura media di massa o
di mescolamento in tazza
Temperatura media massima
supposto il uido incomprimibile e la sezione circolare:
Tm =
2
um r02
´ r0
0
uT r dr
Temperatura interna lungo tubazione con usso termico costante
+ Tm,i ; P perimetro tubazione, x distanza dall'imbocco, Tm,i
temperatura media sezione ingresso
Tx (x) =
qP
• x
mc
Temperatura interna lungo tubazione con temperatura di parete costante
Tm (x) = Tp − (Tp − Tm,i ) e
− P• h x
mc
; Tp temperatura di parete
; temperatura media logaritmica per il tubo in oggetto, Ti e
Tu temperature di ingresso e di uscita del uido
qconv = As h∆Tml calore scambiato dalla tubazione per convezione
∆Tml =
(∆Tu −∆Ti )
u
ln ∆T
∆T
i
Diametro idraulico
c
Dh = 4A
P ; con Ac area della sezione trasverale del condotto occupata dal uido
e P perimetro, del condotto, bagnato dal uido
Numero di Grashof
Gr =
gβL3c (Tp −T∞ )
v2
che è l'equivalente di Reynolds per la convezione naturale, con g accelerazione
di gravità, β modulo di dilatazione termica (β = T1∞ per i gas perfetti, con la
temperatura in Kelvin)
Numero di Rayleigh
Ra = GrP r =
gβL3c (Tp −T∞ )
vα
I Correlazione di Mc Adams
valida per lastre piane verticali e cilindri di elevato diametro
D
L
1
> 35 √
4
Gr
N u = 0.59Ra 4 ; P r ' 1 e 104 < Ra < 109
1
N u = 0.13Ra 4 ; P r ' 1 e 109 < Ra < 1013
1
Correlazione di Lewadowsky
valida per lastre piane orizzontali con supercie superiore riscaldata e usso
termico ascendente (o viceversa)
1
N u = 0.766Ra 5 ; 104 < Ra < 107
1
N u = 0.173Ra 3 ; 105 < Ra < 108
II Correlazione di Mc Adams
valida per lastre piane orizzontali con supercie superiore riareddata e usso
termico discendente (o viceversa)
1
N u = 0.27Ra 4 ; 3 · 105 < Ra < 1010
26
Correlazione di Churchill e Chu
valida per cilindri orizzontali
N uD
= 0.60 +
1
6
0.387RaD
8
9
27
16
1+( 0.559
Pr )
2
; 10−5 < RaD < 1012
27
Irraggiamento
Relazione frequenza - lunghezza d'onda
; con λ lunghezza d'onda, c velocità della luce nel vuoto e v frequenza
della radiazione
λ=
c
v
Potere emissivo totale di una supercie diusa
E=π
´∞
0
Iλ,e (λ) dλ = πIe ; Ie intensità totale della radiazione emessa
Irradianza totale
G=
´∞
0
Gλ (λ) dλ
Irradanza diusa
G = πIi ; Ii intensità della radiazione che investe la supercie
Radiosità per supercie emettitore e riettore diuso
J = πIe+r
Legge di Planck per corpo nero
Eλ,b (λ, T ) =
1
C
C2
λ5 e λT −1
con C1 = 2πhc0 , C2 = hck0 ,h = 6.625 · 10−34 Js costante di Planck, k =
J
1.38 · 10−23 K
costante di Boltzmann e c0 = 2, 998 · 108 ms velocità della luce nel
vuoto
Legge di Wien
λm T = 2897, 6 [µm K] ; dove λm è la lunghezza d'onda a cui corrisponde il
massimo potere emissivo monocromatico del corpo nero
Legge di Stefan - Boltzmann
Eb = σT 4 ; σ = 5.67 · 10−8
W
m2 K 4
Fattore di vista
c,j
Fij = Etot,i
; Ec,j energia emessa dalla supercie i che intercetta la supercie j
, Etot,i energia totale emessa da i
E
Fattore di vista per piastre parallele con assi simmetria allineati
Fij =
[(Wi +Wj )2 +4]
0.5
due
Wi =
Wj =
wi
L
wi
L
0.5
−[(Wj −Wi )2 +4]
2Wi
; con i piastra di supercie minore tra le
; wi lunghezza piastra, L distanza tra le piastre
; wj lunghezza piastra
Fattore di vista per piastre inclinate di uguale lughezza ed un lato in
comune
Fij = 1 − sin
α
2
; α angolo tra le piastre
Fattore di vista per piastre perpendicolari con un lato in comune
Fij =
2 0.5
w
w
1+ wj − 1+ wj
i
i
2
; wi lunghezza piastra, wj lunghezza piastra
28
Fattore di vista per dischi paralleli con centri sulla stessa normale
"
r
R2
R1
2
#
; con 1 disco di raggio maggiore tra i due
Fij =
1
2
X−
R1 =
r1
h
r2
h
; r1 raggio del disco 1, h distanza tra i dischi
; r2 raggio del disco 2
R2 =
X =1+
X2 − 4
1+R22
R12
Scambio termico tra superci nere
qi =
PN
j=1
una cavità
Ai Fij σ Ti4 − Tj4 ; potenza scambiata da N superci nere formanti
Scambio termico tra superci grigie
qi =
Eb,i −Ji
1−εi
Ai εi
;
1−εi
A i εi
si dice resistenza supeciale alla radiazione
Scambio termico tra superci grigie formanti una cavità
qi =
PN
Eb,i −Ji
1−εi
Ai εi
Ji −Jj
i=1
=
1
Fij Ai
;
1
Fij Ai
Ji −Jj
PN
i=1
1
Fij Ai
si dice resistenza geometrica
; utile quando è nota la temperatura di supercie
Scambio termico in una cavità formata da 2 superci grigie
%
q12 =
σ (T14 −T24 )
1−ε1
A1 ε1
1
1 F12
+A
1−ε2
2 ε2
+A
q12 =
Aσ (T14 −T24 )
1
1
ε + ε −1
1
→
q12 =
; lastre piane parallele
2
A1 σ (T14 −T24 )
r1
1−ε2
1
ε + ε
r
&
q12 =
2
2
A1 σ T14 −T24
2
r1
1−ε2
1
ε1 + ε2
r2
; cilindro 1 interno al cilindro 2
1
(
)
; sf era 1 concentrica alla sf era 2
29
Scambiatori di calore
Bilancio termico
•
•
mc cc (tc,i − tc,u ) = mf cf (tf,i − tf,u ) ; c pedice per lato caldo, f pedice per lato
freddo
Temperatura media logaritmica
∆Tml =
∆T2 −∆T1
∆T
ln ∆T2
; ∆T1 dierenza di temperatura uidi alla sezione di ingresso,
1
∆T2 dierenza di temperatura uidi alla sezione di uscita
Calore scambiato tra i due circuiti
q = U A∆Tml
Ecienza di uno scambiatore di calore
ε=
q
qmax
; q calore scambiato, qmax calore massimo scambiabile
Number Transfer Unit NTU
NTU =
UA
Cmin
; Cmin capacità termica minima dei uidi
Ecienza per alcuni scambiatori
%
1−e−N T U (1+Cr )
1+Cr
1−e−N T U (1−Cr )
1−Cr e−N T U (1−Cr )
NT U
ε →
& ε=1−e
; f lusso equicorrente
; f lusso controcorrente ; Cr =
; ebollizione o condensazione
Cmin
Cmax
