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Fisica Tecnica Ambientale
Parte II: trasporto di calore e di massa
G.V. Fracastoro
Politecnico di Torino, maggio 2003
Dipartimento di Energetica
otto editore
PARTE II
trasporto di calore e di massa
WWW. POLITO. IT
Giovanni Vincenzo Fracastoro
Fisica Tecnica Ambientale
parte II - trasporto di calore e di massa
Prima edizione maggio 2003
È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato, compresa la
fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata.
INDICE
1. Generalità sulla trasmissione del calore e conduzione
69
1.1.
Conduzione e legge di Fourier . . . . . . . . . . . . . .
69
1.2.
Equazione generale della conduzione . . . . . . . . . . .
72
1.3.
Condizioni al contorno e scambio termico misto
. . . .
75
1.4.
Parete piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.5.
Parete cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
1.6.
Transitori termici in sistemi a capacità termica concentrata
85
1.7.
Alcuni problemi particolari . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2. Irraggiamento
95
2.1.
Leggi del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.2.
Caratteristiche radiative delle superfici reali . . . . . . .
98
2.3.
Scambio termico per irraggiamento fra corpi neri . . . .
99
2.4.
Scambio termico per irraggiamento fra superfici grigie .
101
3. Convezione
105
3.1.
Regime di moto e viscosità . . . . . . . . . . . . . . . .
107
3.2.
Concetto di strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
3.3.
Analisi dimensionale per la convezione forzata . . . . . .
110
3.4.
Convezione naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
67
4. Problemi termoigrometrici nelle pareti edilizie
68
117
4.1.
Scambio termico misto in intercapedini . . . . . . . . .
117
4.2.
Diagramma (T,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
4.3.
Trasmissione del calore in pareti opache in presenza di .
radiazione solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
4.4.
Il problema della condensa superficiale . . . . . . . . . .
122
4.5.
Diffusione del vapore e condensa interstiziale . . . . . .
124
4.6.
Trasmissione del calore in pareti vetrate . . . . . . . . .
130
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL
CALORE E CONDUZIONE
La Parte della Fisica Tecnica che studia il trasferimento di calore all’interno di
un corpo o fra corpi diversi è detta Termocinetica o Trasmissione del Calore.
Per meglio comprendere l’ambito di studio della Termocinetica si può dire che
essa inizia là dove finisce la Termodinamica. Quest’ultima, infatti, ci consente
di calcolare lo stato termico che si raggiunge in condizioni di equilibrio, ma
non le leggi con cui si perviene a queste condizioni. Ad esempio, ci consente
di stimare la temperatura finale di due corpi messi a contatto, ma non la
velocità di evoluzione delle loro temperature. Questo è appunto il compito
della Trasmissione del Calore.
Si è già detto che il calore è energia in transito per differenza di temperatura;
sebbene nei problemi reali sia abbastanza raro che si verifichino isolatamente,
si distinguono tre modi fondamentali di trasmissione del calore: conduzione,
irraggiamento e convezione. Inizieremo con la trattazione della conduzione,
ma poiché la distribuzione di temperatura all’interno di un corpo dipende da
quello che avviene sul suo contorno, sarà necessario fornire anche qualche
informazione preliminare sulle altre modalità di scambio termico.
1.1.
CONDUZIONE E LEGGE DI FOURIER
Nella conduzione lo scambio di energia termica avviene per scambio di energia
cinetica molecolare (fluidi e dielettrici) o per diffusione elettronica (metalli) senza
scambio di materia, all’interno di un corpo. Si ricorda che, secondo la teoria cinetica,
la temperatura è proporzionale all’energia cinetica molecolare media e l’energia
69
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
interna di un corpo non è altro che la somma delle energie cinetiche e potenziali delle
molecole che lo costituiscono.
L’esperienza insegna che il flusso di calore all’interno di un corpo non isotermo
avviene sempre dalle regioni a temperatura più alta a quelle a temperatura più bassa
(II Principio della Termodinamica), e che esso è tanto più intenso quanto più è grande
il gradiente di temperatura. Ciò può essere espresso in forma analitica attraverso la
legge di Fourier:
Q̇ = −λ · A
∂T
∂x
1.1
dove:
Q̇ = potenza o flusso termico, W
A = area della superficie di passaggio del flusso termico, m2
λ = conducibilità termica, W/(mK)
T = temperatura, K
x = lunghezza generica, m
Il segno meno è imposto dal Secondo Principio della Termodinamica, poiché il flusso
termico è diretto nel verso delle temperature decrescenti, e quindi ha segno opposto al
gradiente termico. La conducibilità termica λ risulta definita anche dimensionalmente
attraverso la 1.1. Essa varia a seconda del tipo di sostanza, e in genere cresce con la
densità. I valori per alcuni materiali e sostanze di comune impiego in edilizia sono
riportati in tabella 1.1.
La conducibilità termica varia in funzione della temperatura.
Essa cresce con
l’aumentare della temperatura per i gas e per i materiali isolanti: ad esempio, per
l’aria il gradiente è di circa 0.5 % al ◦ C. Per i metalli molto puri essa diminuisce,
invece, al crescere della temperatura.
70
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Tab. 1.1 – Valori di conducibilità termica per alcune sostanze e materiali
di comune impiego nell’edilizia.
Sostanza o materiale
FLUDI
ISOLANTI
Conducibilità termica
[W/(m · K)]
aria
0.024
acqua
0.554
lana minerale, granuli
0.046
poliuretano
0.026
fibra di vetro
0.027
polistirene espanso
0.03-0.17
MATERIALI
laterizi ordinari
0.72
DA
laterizi faccia-vista
1.3
COSTRUZIONE
calcestruzzo normale
1.2-2.0
calcestruzzo alleggerito
0.2-0.8
legno duro (quercia, acero)
0.16
legno tenero (abete, pino)
0.12
vetro
1.4
pietra (calcare, granito, marmo)
intonaco di cemento
intonaco di gesso
METALLI
2.15-2.80
0.72
0.22-0.25
acciaio inox
13-15
acciaio
45-60
ferro
alluminio, lega di alluminio
rame
80
170-237
385
71
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
1.2.
EQUAZIONE GENERALE DELLA CONDUZIONE
Coordinate rettangolari
Applicando il I Principio della Termodinamica a un cubetto elementare attraversato
da flussi termici conduttivi si ottiene, nell’ipotesi di conducibilità termica costante
nelle tre direzioni, l’equazione generale della conduzione (vd. DIMOSTRAZIONE a
pag. 73):
∂2T
∂2T
qi
ρc ∂T
∂2T
+
+
+
=
·
2
2
2
∂x
∂y
∂z
λ
λ ∂t
1.2
o anche
∇2 T +
1 ∂T
qi
= ·
λ
α ∂t
1.2a
dove ∇2 è l’operatore di Laplace e α è la diffusività termica,
α=
λ
ρ·c
La 1.1 è un’equazione differenziale alle derivate parziali integrabile soltanto in alcuni
casi particolari, ai quali si tenta di ricondurre i problemi reali.
Ad esempio,
quando il corpo è costituito da una parete piana di grandi dimensioni rispetto allo
spessore che separa due ambienti a temperatura diversa, il flusso termico può essere
ragionevolmente considerato monodimensionale e ortogonale alla parete. In questo
caso la 1.2 si riduce a:
qi
1 ∂T
∂2T
+
=
∂x2
λ
α ∂t
In assenza di generazione interna si ottiene:
1 ∂T
∂2T
=
∂x2
α ∂t
1.3
Nel caso di flusso stazionario (∂T/∂t = 0) e in assenza di generazione interna si ottiene:
d2 T
=0
dx2
72
1.4
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
DIMOSTRAZIONE
Applicando il Primo Principio della Termodinamica in forma di potenza:
X
Q̇ =
∂U
∂t
ad un solido elementare di materia avente lati dx, dy e dz e conducibilità λ x , λy ,
λz (fig. 1.1) attraversato da un flusso termico conduttivo tridimensionale e sede di un
flusso termico generato internamente, Q̇i si avrà:
Q̇x + Q̇y + Q̇z + Q̇i = Q̇x+dx + Q̇y+dy + Q̇z+dz +
∂U
∂t
Applicando la 1.1 si ottiene:
Q̇x = −λx · dy · dz ·
∂T
∂x
Q̇y = −λy · dx · dz ·
∂T
∂y
Q̇z = −λz · dx · dy ·
∂T
∂z
Il flusso uscente lungo x sarà:
Q̇x+dx = Q̇x +
∂ Q̇
dx
∂x
e analogamente lungo y e z. La differenza fra i flussi termici sullo stesso asse dà:
„
«
∂
∂T
λx
dx · dy · dz
Q̇x+dx − Q̇x =
∂x
∂x
Q̇y+dy − Q̇y =
∂
∂y
Q̇z+dz − Q̇z =
∂
∂z
„
«
∂T
λy
dx · dy · dz
∂y
„
λz
∂T
∂z
«
dx · dy · dz
A sua volta la variazione di energia interna ed il flusso generato internamente possono
essere espressi come:
∂T
∂U
= ρ · c · dx · dy · dz ·
∂t
∂t
Q̇i = qi · dx · dy · dz
dove:
73
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
z
Qz+dz
Qx
Qy
Qy+dy
dz
Qx+dx
dx
dy Q
z
y
x
Fig. 1.1 – Flussi di conduzione attraverso un solido elementare.
ρ = massa volumica (kg/m3 )
c = capacità termica massica (J/kg·K)
qi = flusso generato per unità di volume (W/m 3 )
Si ottiene in questo modo l’equazione generale della conduzione:
„
«
„
«
„
«
∂
∂T
∂T
∂T
∂T
∂
∂
λx
+
λy
+
λz
+ qi = ρc ·
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂t
D.1
Se la conducibilità termica è costante nelle tre direzioni si ottiene:
ρc ∂T
∂2T
∂2T
∂2T
qi
=
·
+
+
+
2
2
∂x
∂y
∂z 2
λ
λ ∂t
D.2
Coordinate cilindriche
Adottando un sistema di coordinate cilindriche (r, θ, z), con un procedimento
simile a quello illustrato nella DIMOSTRAZIONE a pag.73 l’equazione generale della
conduzione diviene:
qi
1 ∂T
∂2T
∂2T
1 ∂T
1 ∂2T
+
= ·
+
+
+
2
2
2
2
r ∂θ
∂z
∂r
r ∂r
λ
α ∂t
1.5
che si riduce, nel caso di flusso monodimensionale radiale, stazionario e senza
generazione interna, a:
74
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
d2 T
1 dT
=0
+ ·
dr2
r dr
1.3.
1.6
CONDIZIONI AL CONTORNO E SCAMBIO TERMICO MISTO
La soluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali come le 1.2- 1.6
permette di descrivere il campo termico all’interno di un corpo. Questo dipende
tuttavia dalle condizioni termiche al contorno e, per i problemi che dipendono dal
tempo, iniziali.
Per esempio, la 1.4 ha come soluzione generale
T = a·x+b
che indica come in una parete piana in regime stazionario il profilo di temperatura sia
lineare. Tuttavia, il valore delle due costanti a e b può essere determinato soltanto
se sono definite due condizioni al contorno (ovvero, sulle due facce della parete). La
condizione iniziale specifica invece i valori di temperatura in ogni punto del sistema
all’istante iniziale.
Esistono tre tipi di condizione al contorno, che verranno di seguito esemplificate per
casi monodimensionali stazionari:
– 1◦ tipo - condizione di temperatura (o di Dirichlet)
– 2◦ tipo - condizione di flusso (o di Neumann)
– 3◦ tipo - condizione di temperatura e flusso (o di convezione)
Una condizione al contorno in cui il termine noto sia nullo viene detta omogenea.
Le condizioni al contorno del 1◦ tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema
in esame è imposto e noto il valore della temperatura. Ad esempio, per un caso
monodimensionale:
T |x=x1 = T1
1.7
75
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Le condizioni al contorno del 2◦ tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema
in esame è noto il valore assunto dal flusso termico. Ad esempio, per un caso
monodimensionale:
Q̇
x=x1
= −λ · A ·
dT = Q̇1
dx x=x1
1.8
Su un piano di simmetria del sistema si avrà una condizione al contorno omogenea
perché sarà nullo il gradiente di temperatura e dunque Q̇1 = 0 .
Le condizioni al contorno del 3◦ tipo sono le più comuni nella pratica. Esse prevedono
che sul contorno del sistema siano fornite equazioni supplementari in cui compaiono
sia la temperatura che il flusso termico:
dT Q̇
= − λ·A·
= h · A · T |x=x1 − Ta
dx x=x1
x=x1
1.9
in cui Ta è la temperatura dell’ambiente (fluido e superfici) con cui viene scambiato
calore per convezione e irraggiamento e h è il coefficiente di scambio termico liminare
o adduttanza superficiale.
Per comprendere meglio il significato di h è necessario analizzare più nel dettaglio
cioè che avviene all’interfaccia fra la superficie del corpo e l’ambiente. Il calore che
proviene dall’interno del corpo per conduzione (Q̇k ) è uguale alla somma di quello
scambiato dalla superficie per convezione con il fluido (Q̇c ) e per irraggiamento con
le superfici circostanti (Q̇r ), come indicato in figura 1.2.
Q̇k = Q̇c + Q̇r
1.10
È necessario dunque fornire alcune indicazioni preliminari sulle due forme con cui
avviene lo scambio termico per irraggiamento e convezione. Una trattazione più
dettagliata verrà fornita nei CAPITOLI 2 e 3.
Irraggiamento
L’irraggiamento è il trasferimento di calore per propagazione di onde elettromagnetiche. Questa avviene alla velocità della luce, sotto forma di quanti di energia che si
propagano con leggi desumibili dalla teoria ondulatoria. Non vi è bisogno di un mezzo
76
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Qr
Qk
Qc
Fig. 1.2 – Equilibrio dei flussi alla parete.
per consentire la propagazione delle onde elettromagnetiche: esse si propagano anche
nel vuoto.
Nello scambio termico fra due corpi neri la potenza termica scambiata vale
Q̇ = A1 F12 σ(T14 − T24 )
1.11
in cui σ è la costante di Stefan-Boltzmann e F12 rappresenta il fattore di vista fra la
superficie 1 (di area A1 ) e la superficie 2. La 1.11 mostra come la potenza termica
emessa da un corpo sia funzione della quarta potenza della sua temperatura assoluta.
Una espressione analoga si può ricavare per la potenza termica scambiata fra due
superfici grigie, cioè due superfici che emettono una frazione della potenza emessa
a parità di altre condizioni dal corpo nero:
Q̇ = A1 Fε σ(T14 − T24 )
1.12
in cui F è un fattore che tiene conto sia del fattore di vista che delle emissività delle
due superfici. Se le temperature T1 e T2 non differiscono troppo, si può linearizzare
l’espressione precedente ponendo
3
hr = 4Fε σTm
1.13
77
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
in cui Tm è la media aritmetica fra le due temperature e hr è detto coefficiente di
scambio termico liminare per irraggiamento. Si ottiene immediatamente
Q̇r = hr A1 (T1 − T2 )
1.14
Convezione
È il meccanismo che regola la trasmissione del calore tra una superficie solida e un
fluido. Si tratta di un meccanismo complesso in cui sono presenti diversi fenomeni
(conduzione, irraggiamento, accumulo termico, trasporto di massa): le particelle
di fluido adiacenti alla parete scambiano calore con quest’ultima per conduzione,
poiché la velocità delle particelle stesse è nulla sulla superficie. Quando poi le
particelle vengono trasportate verso regioni a temperatura diversa, esse si mescolano
e trasferiscono la loro energia e quantità di moto alle particelle di queste regioni.
Si usa distinguere tra convezione naturale e forzata. Nel primo caso la causa del moto
delle particelle fluide sono i gradienti di densità indotti nel fluido dalle differenze di
temperatura, mentre nel secondo caso tale moto è provocato da una azione esterna. In
entrambi i casi si è soliti calcolare il flusso scambiato fra parete e fluido per mezzo
della seguente relazione (Legge di Newton):
Q̇ = hc A (T1 − Tf )
1.15
in cui hc è detto coefficiente di scambio termico liminare per convezione, e Tf la
temperatura del fluido adiacente alla parete. Nel caso di convezione forzata hc dipende
essenzialmente dalla velocità relativa fra fluido e parete, mentre in convezione naturale
esso dipende da molti fattori, fra cui, come si vedrà, la differenza di temperatura stessa.
Scambio termico liminare
Una volta ricavate le equazioni 1.14 e 1.15, nel caso in cui la temperatura del fluido
coincida praticamente con quella delle superfici viste dalla parete considerata (T2 ≈
Tf ) e divenga perciò genericamente la temperatura dell’ambiente Ta , si può tornare
all’equazione 1.9, che diviene:
78
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Q̇k
dT =−λ = (hc + hr ) · (T1 − Ta ) = h · (T1 − Ta )
A
dx x=x1
1.16
dove h, detto coefficiente di scambio termico liminare o adduttanza superficiale, è
dato da:
h = hc + hr
1.17
L’inverso del coefficiente h viene detto resistenza termica liminare.
1.4.
PARETE PIANA
In questo paragrafo si analizza l’andamento della temperatura attraverso una parete
piana di spessore piccolo rispetto alle altre due dimensioni e si calcola il flusso
termico che la attraversa nella direzione dello spessore. Le ipotesi ricorrenti in questa
trattazione sono:
– regime stazionario
– geometria rettangolare
– flusso monodimensionale
– generazione interna nulla (q̇i = 0 )
Parete piana monostrato con condizioni al contorno del 1◦ tipo
Si abbia una parete piana (fig. 1.3) composta da un solo strato omogeneo di spessore
s e conducibilità termica λ; sono inoltre imposte sulle due facce della parete valori
prefissati di temperatura.
Occorre integrare l’equazione differenziale 1.4 con le
seguenti condizioni al contorno:
T (0) = T1
T (s) = T2
Si ottiene l’andamento lineare:
T = T1 −
T1 − T2
·x
s
1.18
79
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
T
T1
T2
0
s
x
Fig. 1.3 – Parete piana monostrato.
Derivando la 1.18 e applicando la legge di Fourier si ottiene immediatamente il flusso
trasmesso:
Q̇ = λA
T1 − T2
s
1.19
Si osservi che la 1.19 poteva essere ottenuta direttamente dalla 1.1, che è in questo caso
una equazione differenziale a variabili separabili, facilmente integrabile poiché Q̇ non
è funzione di x1 . La 1.19 viene spesso scritta come:
Q̇
T1 − T2
=
A
R
1.19 a
Q̇
= C · (T1 − T2 )
A
1.19 b
o anche:
o infine:
Q̇ =
1
T1 − T2
R
1.19 c
Infatti, se il flusso entrante in uno strato fosse diverso da quello uscente, per il Primo Principio
della Termodinamica l’energia interna e dunque la temperatura dello strato varierebbe nel
tempo.
80
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
dove:
R = resistenza termica dello strato = s/λ
C = conduttanza dello strato = λ/s = 1/R
R = resistenza termica specifica dello strato = s/(λA) = R/A
La 1.19.c mostra la perfetta analogia fra le leggi della conduzione (legge di Fourier) e
quelle dell’elettromagnetismo (legge di Ohm):
I=
∆T
∆V
⇔ Q̇ =
R
R
con le seguenti corrispondenze:
corrente elettrica (I)
⇔ flusso termico Q̇
differenza di potenziale (∆V )
⇔ differenza di temperatura (∆T )
resistenza elettrica (R)
⇔ resistenza termica specifica (R’)
Parete piana multistrato con condizioni al contorno del 1◦ tipo
Sono note, come prima, le temperature sulle due facce estreme T1 e Tn+1 . Si scrive
la 1.19 per ognuno degli n strati che costituiscono la parete (fig. 1.4).
Q̇
T1 − T2
= λ1 ·
A
s1
Q̇
T2 − T3
= λ2 ·
A
s2
.....................
Q̇
Tn − Tn+1
= λn ·
A
sn
Il flusso che attraversa i vari strati è sempre lo stesso, per l’ipotesi di stazionarietà. Per
cui, mettendo in evidenza le n differenze di temperatura e sommando, si ottiene:
T1 − Tn+1
T1 − Tn+1
T1 − Tn+1
Q̇
= = = C · (T1 − Tn+1 ) =
n s
n
A
R
j
Rj
λ
j=1 j
j=1
1.20
81
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
T
T1
T2
s1
T3
s2
sn
2
1
n
Tn
Tn+1
1
2
3
n
n+1
Fig. 1.4 – Parete multistrato.
essendo C la conduttanza, ed R la resistenza termica della parete multistrato:
n
R=
n
sj
1
=
=
Rj
C
λ
j=1 j
j=1
Pareti piane che separano ambienti a temperatura prefissata
In questo caso, assai frequente nella realtà, si considerano pareti che separano ambienti
mantenuti a temperature diverse, ad esempio l’ambiente interno di un edificio e
l’ambiente esterno. Sono note le temperature dei due ambienti, ma non le temperature
superficiali né i flussi. Le condizioni al contorno che si impongono sono dunque del
3◦ tipo, ovvero:
Q̇ A
Q̇ A
82
x=0
dT = −λ ·
= hi · (Ti − T (0))
dx x=0
= −λ ·
x=s
dT = he · (T (s) − Te )
dx x=s
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
dove hi e he sono i coefficienti di scambio termico liminare interno ed esterno e Ti e
Te le temperature (note) dei due ambienti interno ed esterno separati dalla parete. Si
ha dunque, essendo il flusso costante in ogni strato e ricordando la 1.20:
Q̇
= hi · (Ti − T1 )
A
Q̇
T1 − Tn+1
=
n
A
sj
j=1
λj
Q̇
= he · (Tn+1 − Te )
A
Sommando, come prima, le differenze di temperatura e semplificando si ottiene:
n
sj
Q̇ 1
1
= Ti − Te
+
+
A
hi j=1 λj
he
da cui:
Q̇
= U · (Ti − Te )
A
1.21
dove U , detta trasmittanza termica o coefficiente di scambio termico globale, è
data da:
1.5.
−1
n
1
s
1
j
+
U = +
hi j=1 λj
he
1.22
PARETE CILINDRICA
Parete monostrato con condizioni al contorno del 1◦ tipo
Si abbia una parete cilindrica composta da un solo strato omogeneo di conducibilità
termica λ (fig. 1.5). Valgono le seguenti ipotesi:
– regime stazionario
– assenza di generazione interna
– flusso monodimensionale (radiale).
83
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
T1
T2
r2
r
r1
Fig. 1.5 – Parete cilindrica monostrato (sezione trasversale).
Anche in questo caso è possibile ricavare direttamente il flusso ponendo nella 1.1,
x = r e A = 2πrL
Q̇
dT
= −λ ·
2πrL
dr
1.23
e integrando con le seguenti condizioni al contorno:
T (r1 ) = T1
T (r2 ) = T2
Si ottiene la potenza per unità di lunghezza:
Q̇
T1 − T2
= 2πλ
L
ln (r2 /r1 )
1.24
Alla stessa espressione si poteva giungere ricavando dalla 1.6 il profilo di temperatura
e successivamente applicando la legge di Fourier.
In modo del tutto analogo a quanto visto per la parete piana multistrato, per una parete
cilindrica formata da n strati concentrici si ottiene:
T1 − Tn+1
Q̇
= 2π · n
L
rj+1
1
λj ln rj
j=1
84
1.25
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Pareti cilindriche che separano fluidi a temperatura prefissata
Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la parete piana multistrato si ottiene il
flusso disperso per unità di lunghezza:
Q̇
= 2π ·
L
1
r i hi
+
n
Ti − Te
j=1
1
λj
ln
rj+1
rj
+
1
r e he
= UL (Ti − Te )
1.26
Volendo esprimere il flusso disperso per unità di superficie, occorre distinguere il caso
in cui ci si riferisce alla superficie interna:
Q̇
=
Ai
1
hi
Ti − Te
n
rj+1
1
+ ri
λj ln rj +
j=1
ri
r e he
= Ui · (Ti − Te )
1.27
= Ue · (Ti − Te )
1.28
da quello in cui ci si riferisce alla superficie esterna:
Q̇
=
Ae
re
r i hi
Ti − Te
n
rj+1
1
+ re
λj ln rj +
j=1
1
he
Dalle 1.26 - 1.28 si ricavano le espressioni delle trasmittanze UL , Ui , Ue .
1.6.
TRANSITORI
TERMICI
IN
SISTEMI
A
CAPACITÀ
TERMICA
CONCENTRATA
Vengono detti sistemi a capacità termica concentrata quei corpi la cui temperatura
può variare nel tempo, mantenendosi però uguale in ogni punto (uniforme). Si
osservi peraltro che se il corpo scambia calore attraverso il suo contorno deve esistere
un gradiente termico al suo interno, come si vede da un semplice bilancio su una
superficie infinitesima del contorno dA :
h dA (T − Ta ) = −λ dA
∂T
∂n
dove
h = coefficiente di scambio termico liminare
85
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
T = temperatura del corpo
Ta = temperatura dell’ambiente
λ = conducibilità termica del corpo
n = normale alla superficie
Tuttavia il gradiente ∂T /∂n diviene molto piccolo se λ è grande rispetto ad h. In
pratica esso può essere trascurato se vale la condizione:
Bi =
h·L
L/λ
Rint
h (V /A)
=
=
=
< 0.1
λ
λ
1/h
Rest
dove
Bi è il numero di Biot e V è il volume del corpo.
Se si introduce un corpo avente Bi < 0.1 e temperatura iniziale T0 in un fluido a
temperatura Ta < T0 e capacità termica infinita (fig. 1.6) nel tempo dt si ha dunque,
supponendo che il sistema sia nel complesso adiabatico:
dQ = −ρcV · dT = −C · dT
1.29
con
dQ = h A (T − Ta ) · dt
dove:
ρ = densità
c = calore specifico
C = capacità termica
h = coefficiente di scambio termico liminare
A = area della superficie di scambio
Le 1.29 - 1.30, risolte imponendo la condizione iniziale:
T (0) = T0
86
1.30
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Ta
T
Q
Fig. 1.6 – Corpo a capacità termica concentrata inserito in un sistema a capacità
termica infinita.
forniscono:
T − Ta = (T0 − Ta ) · e−·h·A·t/C
1.31
L’andamento della differenza di temperatura è dunque esponenziale. La temperatura
raggiunta dal corpo al tempo t = ∞ varrà ovviamente Ta . Il termine
τ=
ρcV
C
=
hA
hA
è detto costante di tempo del sistema e rappresenta il tempo necessario perché la
differenza di temperatura tra corpo e fluido si riduca del fattore 1/e (36.8 %). È
possibile dimostrare che esso coincide inoltre con il tempo in cui la temperatura del
corpo raggiungerebbe quella dell’ambiente se essa decadesse con legge lineare e con
pendenza pari a quella assunta all’istante iniziale. Inoltre, tenendo presente che:
hL2 λ
hL αt
hA
t=
·
t =
= Bi · F o
3
C
ρcL λ
λ L2
dove L è la lunghezza caratteristica del corpo (ad esempio, L = Volume/Area
Laterale), α è la diffusività termica e F o = αt/L2 è il numero di Fourier (o tempo
adimensionato), si può scrivere:
ϑ = e−Bi·F o
1.32
87
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
1
0.9
Temperatura adimensionata
0.8
0.7
Bi = 0.02
0.6
0.5
Bi = 0.04
0.4
Bi = 0.06
0.3
Bi = 0.08
0.2
Bi = 0.10
0.1
0
0
5
10
15
20
Numero di Fourier, Fo
Fig. 1.7 – Transitorio termico in un sistema a capacità concentrata.
in cui
ϑ=
T − T∞
T0 − T∞
è la temperatura adimensionata del corpo. L’equazione 1.32 è illustrata in figura 1.7.
1.7.
ALCUNI PROBLEMI PARTICOLARI
Pareti piane composite
Si consideri la parete di figura 1.8, composta di sezini a e b (con Ua < Ub ) separati
da un piano parallelo alla direzione del flusso. Si supponga che gli ambienti che essa
separa siano mantenuti rispettivamente alla temperatura Ti e Te , con Ti > Te . Il flusso
termico attraverso le aree Aa e Ab vale rispettivamente:
∆T
Ra ∆T
Q̇b = Ub Ab (T i − T e ) =
Rb Q̇a = Ua Aa (Ti − Te ) =
88
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Aa
a
Ab
b
Fig. 1.8 – Parete piana composita.
Il flusso complessivamente uscente vale:
Q̇ = Q̇a + Q̇b = ∆T
1
1
+ Ra
Rb
Pertanto si ha:
Q̇ =
∆T
= Ueq · ∆T
Req
essendo:
Req
=
1
1
+ Ra
Rb
−1
1.33
la resistenza equivalente (Req
< Rb < Ra ) e:
Ueq =
Aa Ua + Ab Ub
Aa + Ab
1.34
la trasmittanza equivalente (Ua < Ueq < Ub ) della parete. In figura 1.9 viene presentato
il caso di sezioni costituite ciascuna da un solo strato omogeneo (con λa < λb ). Si
osserva che l’andamento di temperatura lungo la parete a (linea spessa) diviene diverso
da quello lungo la parete b (linea sottile) e nascono differenze di temperatura anche in
direzione y ortogonale allo spessore della parete.
89
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
Ti
a
T1a
Ta
Tb
T1b
T2b
T2a
Te
b
Fig. 1.9 – Andamento delle temperature in parete composita.
Alette di raffreddamento
Le alette di raffreddamento sono dispositivi che consentono di incrementare il flusso
termico disperso verso l’ambiente circostante attraverso l’aumento della superficie
disperdente. Le alette possono essere piane, anulari o a spina. In questo paragrafo
si analizzerà il comportamento di alette piane a sezione rettangolare (fig. 1.10) con le
seguenti ipotesi:
– regime stazionario
– caratteristiche di scambio termico (conducibilità, coefficiente di scambio
termico liminare) indipendenti dalla temperatura
– assenza di gradienti termici in direzione trasversale all’aletta
L’ultima ipotesi implica che lo spessore dell’aletta sia molto piccolo rispetto alla sua
lunghezza.
Se si considerano inoltre costanti per l’intera lunghezza L il perimetro p e l’area A
della sezione trasversale, e trascurabile il flusso disperso dall’estremità dell’aletta, si
90
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
T
a
T0
A
L
Fig. 1.10 – Aletta piana rettangolare.
ottiene (vedi DIMOSTRAZIONE a pag. 92 anche per il significato degli altri simboli) il
flusso disperso dall’aletta:
Q̇ = λAm (T0 − T∞ ) · tanh (mL)
1.35
dove T0 e T∞ rappresentano rispettivamente la temperatura alla radice dell’aletta e
dell’ambiente circostante.
Si può poi introdurre il concetto di efficienza dell’aletta, intesa come il rapporto fra il
flusso effettivamente disperso e quello massimo disperdibile. Quest’ultimo è il flusso
che verrebbe disperso se tutta l’aletta avesse una temperatura uniforme e pari a T0 :
Q̇max = p · L · h · (T0 − T∞ )
per cui:
ε=
Q̇
tanh(mL)
<1
=
mL
Q̇max
1.36
In figura 1.11 è riportato l’andamento dell’efficienza al variare del prodotto (mL).
Si può inoltre valutare un’altra forma di efficienza , definita come il rapporto fra il
flusso effettivamente disperso e quello che sarebbe disperso se non vi fosse l’aletta:
Q̇0 = h · A · θ0
Tale valore dovrebbe evidentemente essere superiore ad 1. Infatti:
91
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
1
0.9
0.8
0.7
efficienza,
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
mL
Fig. 1.11 – Efficienza di un’aletta.
ε=
p·L
2 (a + δ) L
2aL
2L
λ · m · tanh(mL)
=
ε=
ε≈
ε=
ε
h
A
a·δ
aδ
δ
In genere, è dunque tanto maggiore di quanto più l’aletta è lunga e sottile.
DIMOSTRAZIONE
Con le ipotesi sopra indicate il bilancio termico di un elementino di lunghezza dx
(fig. 1.12) dà:
Q̇x = Q̇x+dx + dQ̇c
D.1
Essendo:
Q̇x = −λA ·
dT
dx
D.2
e
dQ̇c = hp · (T − T∞ ) dx
in cui:
λ = conducibilità termica del materiale costituente l’aletta
A = area della sezione trasversale dell’aletta
92
D.3
1. GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
dQc
Qx+dx
Qx
dx
Fig. 1.12 – Aletta piana rettangolare.
h = coefficiente di scambio termico liminare
p = perimetro della sezione trasversale
T = temperatura dell’aletta (funzione di x)
T∞ = temperatura dell’ambiente
si ottiene:
λA
d2 T
= hp (T − T∞ )
dx2
D.4
Ponendo:
m2 =
hp
λA
D.5
e
θ = T − T∞
D.6
d2 θ
− m2 θ = 0
dx2
D.7
si ottiene:
La D.7 ammette la soluzione generale:
θ = M · e−mx + N · emx
D.8
I valori delle costanti M ed N possono essere ricavati imponendo le oppportune condizioni al contorno. In tal modo si ricava il profilo di temperatura lungo l’aletta. Da questo,
integrando la D.3 su tutta l’aletta o ricavando il flusso disperso alla radice dell’aletta per
93
1.
GENERALITÀ SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE
mezzo della D.2 si ottiene il flusso disperso. Ad esempio, supponendo trascurabile il
flusso disperso dall’estremità dell’aletta, il flusso disperso risulta:
Q̇ = λAmθ0 · tanh (mL)
94
D.9
2.
IRRAGGIAMENTO
L’irraggiamento termico è il fenomeno del trasporto di energia per propagazione di onde elettromagnetiche; nei problemi termici la radiazione
elettromagnetica è caratterizzata da lunghezze d’onda comprese, in genere,
tra 0.1 e 100 µm (radiazione termica).
Quando la radiazione incide su un mezzo materiale essa viene riflessa,
assorbita o trasmessa.
Se si indicano con α, ρ, τ le frazioni di energia assorbita, riflessa e trasmessa
(fig. 2.1), note rispettivamente come fattore o coefficiente di assorbimento, di
riflessione e di trasmissione, si deve avere:
α+ρ+τ =1
2.1
I coefficienti α, ρ, τ sono funzione sia della lunghezza d’onda λ della
radiazione (in tal caso sono detti spettrali o monocromatici), sia del suo
angolo d’incidenza θ (direzionali). Quando essi sono riferiti alla radiazione
proveniente da tutto lo spettro essi sono detti integrali, quando sono riferiti
1
ϑ
τ
ρ
α
Fig. 2.1 – Interazione della radiazione con un mezzo materiale.
95
2.
IRRAGGIAMENTO
alla radiazione proveniente da tutto l’angolo solido visto dalla parete sono
detti emisferici. In ogni caso vale la 2.1.
Per mezzi opachi τ = 0. Se, inoltre, ρ = 0 a tutte le lunghezze d’onda, si
ha α = 1 e il mezzo viene detto corpo nero, o radiatore integrale, o ancora
radiatore di Planck.
2.1.
LEGGI DEL CORPO NERO
La potenza emessa per unità di superficie nell’intervallo di lunghezza d’onda [λ, λ +
dλ] dal corpo nero ad una temperatura T è detta potere emissivo monocromatico o
densità di flusso monocromatica, definita come:
Eλn =
∂ 2 Q̇n
,
∂A · ∂λ
W/(m2 ·µm)
Il potere emissivo monocromatico è dato dall’espressione, nota come legge di Planck,
ricavabile in base a considerazioni di termodinamica statistica applicata al gas di
fotoni:
Eλn =
C1 · λ−5
C
e 2 /λT − 1
2.2
dove le costanti valgono C1 = 3.74 · 108 Wµm4 /m2 e C2 = 1, 44 · 104 µm·K.
Esso risulta funzione di λ e T , come indicato in figura 2.2.
Da tale figura si osserva che il valore massimo del potere emissivo monocromatico
aumenta e si sposta verso sinistra al crescere di T . Differenziando la 2.2 rispetto
alla lunghezza d’onda si vede che il luogo dei punti di massimo è caratterizzato
dall’equazione (nota come legge di Wien o dello spostamento):
λmax · T = C3
2.3
con C3 = 2898 µm · K.
E’ di particolare interesse pratico determinare il potere emissivo integrale E n :
n
∞
E =
0
96
Eλn · dλ,
W/m2
2.
IRRAGGIAMENTO
Potere emissivo monocromatico, W/m2 µm
1.2E+08
1.0E+08
T = 6000 K
T = 5000 K
T = 4000 K
T = 3000 K
8.0E+07
6.0E+07
4.0E+07
2.0E+07
0.0E+00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
Lunghezza d'onda, µm
Fig. 2.2 – Potere emissivo monocromatico del corpo nero.
Il suo valore fu ricavato per via sperimentale da Stefan, e da Boltzmann, che vi
pervenne successivamente sulla base di considerazioni termodinamiche; per questo
motivo l’equazione che la esprime è nota come Legge di Stefan-Boltzmann1:
En = σ · T 4
2.4
con σ (costante di Stefan-Boltzmann), pari a 5.67 · 10−8 W/(m2 K4 ).
In alcuni problemi può essere utile disporre di un metodo rapido per conoscere
la frazione di radiazione emessa dal corpo nero che si trova contenuta in una
determinata porzione dello spettro. Ciò è possibile introducendo il concetto di fattore
di radiazione fλ :
λ
fλ =
0
Eλn · dλ
σ · T4
2.5
Si dimostra che il valore di fλ è in realtà funzione soltanto del prodotto λT , come
illustrato in fig. 2.3. Da tale diagramma si vede che oltre il 99 % della radiazione è
1
Da un punto di vista cronologico la legge di Stefan-Boltzmann precede la legge di Planck.
97
2.
IRRAGGIAMENTO
1.00
0.90
0.80
0.70
fλ
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
1000
10000
100000
Prodotto λT ( µm K)
Fig. 2.3 – Fattore di radiazione.
emessa nell’intervallo 1000 µm·K < λT < 30000 µm·K e oltre il 90 % nell’intervallo
2000 µm·K < λT < 20000 µm·K. A titolo di esempio, per un corpo nero a 3000 K il
90 % della radiazione è emessa fra 0.67 µm e 6,7 µm, mentre per un corpo nero a 300
K il 90 % della radiazione è emessa fra 6,7 µm e 67 µm.
Se si vuole calcolare la frazione di radiazione visibile (0.4µm < λ < 0.8µm) emessa
dal Sole, che può essere assimilato ad un corpo nero a circa 6000 K, è sufficiente
svolgere il seguente calcolo:
fvis = f0.8·6000 − f0.4·6000 ≈ 0.61 − 0.14 = 0.47
Il 14 % sarà pertanto radiazione ultravioletta (λ < 0.4µm) e il 39 % infrarossa
(λ > 0.8µm).
2.2.
CARATTERISTICHE RADIATIVE DELLE SUPERFICI REALI
In un corpo opaco reale il fattore di riflessione è sempre diverso da zero, quindi il
fattore di assorbimento è minore di uno. Anche il potere emissivo monocromatico, in
un corpo reale, è una frazione, variabile con la lunghezza d’onda, del potere emissivo
98
2.
IRRAGGIAMENTO
monocromatico del corpo nero Eλn , alla stessa temperatura T. Questa frazione è detta
fattore di emissione monocromatico emisferico:
ελ =
Eλ (T )
Eλn (T )
dove Eλ (T ) è il potere emissivo monocromatico del corpo.
La legge di Kirchhoff stabilisce che, quando un corpo è in equilibrio termico, si deve
avere:
ελ = αλ
2.6
Il fattore di emissione emisferico integrale è dato da:
ε=
E(T )
E(T )
=
E n (T )
σ · T4
in cui:
∞
E(T ) =
ελ · Eλn · dλ
0
Si definiscono grigie le superfici in cui il fattore di emissione non dipende dalla
lunghezza d’onda. In questo caso si ha:
ε=α
2.3.
SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA CORPI NERI
Irraggiamento fra due superfici nere
Per ricavare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra due superfici nere è
necessario definire il fattore di vista (o di forma, o ancora di configurazione). Il fattore
di vista dalla superficie 1 alla superficie 2 (F12 ) rappresenta la frazione di radiazione
uscente dalla superficie 1 che raggiunge la superficie 2. Ovvero:
F12 =
Q̇12
Q̇1
2.7
99
2.
IRRAGGIAMENTO
E dunque:
Q̇12 = E1 n A1 F12
è il flusso che da A1 raggiunge A2
Q̇21 = E2 n A2 F21
è il flusso che da A2 raggiunge A1
Il flusso netto scambiato vale:
Q̇ = E1n A1 F12 − E2n A2 F21
2.8
Un caso particolare della 2.8 è quello in cui T1 = T2 . In questo caso E1n = E2n , ma
deve anche essere Q̇ = 0 . Perciò:
A1 F12 = A2 F21
2.9
La 2.9 è una relazione puramente geometrica e pertanto deve valere sempre, indipendentemente dai valori assunti dalle temperature. Essa è nota come teorema o relazione
di reciprocità. Lo scambio netto vale pertanto:
Q̇ = A1 F12 (E1n − E2n ) = σA1 F12 T14 − T24
in cui il fattore di vista è dato da:
F12
1
=
·
A1
A1 A2
cosβ1 · cosβ2 · dA1 dA2
π · r2
2.10
2.11
ed è riportato nella figura 2.4, a titolo d’esempio, per due superfici rettangolari
affacciate.
Irraggiamento fra n superfici nere
Nel caso in cui si debba valutare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra n
superfici nere il flusso netto uscente dalla superficie i-esima varrà:
Q̇i = Ein Ai −
n
Aj Fji Ejn
j=1
che, utilizzando il teorema di reciprocità (Aj Fji = Ai Fij ) si riscrive come:
n
Q̇i = Ai · (Ein −
Fij Ejn )
j=1
100
2.12
2.
IRRAGGIAMENTO
1000
10
5
2
1
1
0.5
0.1
0.1
Rapporto Y/L
F 12
Y
X
L
0.01
0.1
1
Rapporto X/L
10
Fig. 2.4 – Fattore di vista fra due rettangoli uguali (XxY), allineati e paralleli a
distanza L.
Inoltre, se le n superfici nere costituiscono una cavità chiusa, vale la seguente
proprietà:
n
Fij = 1
j=1
per cui la 2.12 può essere riscritta così:
n
Q̇i = Ai ·
Fij · (Ein − Ejn )
2.13
j=1
Essendo note le temperature di tutte le n superfici, le n equazioni come la 2.13
permettono di calcolare immediatamente il flusso netto uscente dalle n superfici.
2.4.
SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA SUPERFICI GRIGIE
Lo scambio termico fra superfici grigie presenta qualche ulteriore complessità rispetto
a quello fra superfici nere. Infatti, poichè non tutto il flusso incidente su una superficie
viene assorbito, una parte di quello riflesso tornerà sulla superficie da cui proviene il
flusso incidente, verrà solo in parte assorbito, e così via.
101
2.
IRRAGGIAMENTO
Si dimostra che il flusso termico scambiato fra due superfici grigie vale:
4
σ · T14 − T24
4
Q̇ = 1−ε1
1−ε2 = Fε σA1 · T1 − T2
1
ε1 ·A1 + A1 ·F12 + ε2 ·A2
2.14
avendo posto:
Fε =
1 − ε1
1
A1 1 − ε2
+
+
ε1
F12
A2 ε2
−1
2.15
È facile dimostrare che per i corpi neri F = F12 e la 2.14 si riduce alla 2.10.
Valori di F per alcune geometrie particolari
Per due superfici piane, parallele e infinite si avrà A1 = A2 e F12 = F21 = 1, e
la 2.15 diverrà:
Fε =
1
1
+
−1
ε1
ε2
−1
2.16
Per una superficie di area A1 contenuta in una cavità di area A2 >> A1 , essendo
F12 = 1, la 2.15 diviene semplicemente:
Fε = ε1
2.17
Linearizzazione del flusso di irraggiamento
Come già visto nel CAPITOLO 1.3, nella soluzione analitica di problemi di irraggiamento è spesso conveniente esprimere i flussi termici scambiati come funzione lineare
della differenza di temperatura:
Q̇ = hr · A1 · (T1 − T2 )
Questa relazione può essere agevolmente desunta dalla 2.14, attraverso le proprietà dei
prodotti notevoli:
Q̇ = Fε σA1 T14 − T24 = Fε σA1 T12 + T22 (T1 − T2 ) (T1 + T2 )
e ponendo:
3
hr = Fε σ T12 + T22 (T1 + T2 ) ≈ 4Fε σTm
con Tm = (T1 + T2 )/2.
102
2.18
2.
IRRAGGIAMENTO
È possibile dimostrare che l’approssimazione insita nella 2.18
2
T12 + T22 ≈ 2Tm
è tanto più accettabile quanto più prossime fra loro sono le temperature T1 e T2 .
103
3.
CONVEZIONE
La convezione è lo scambio di calore fra una superficie ed un fluido, a
temperatura diversa, che la lambisce. I fenomeni di scambio termico sono
concentrati in un sottile strato adiacente alla parete (strato limite termico) e
consistono nell’interazione fra conduzione (e in minor misura irraggiamento)
e trasporto di energia associata al fluido in moto (in direzione anche diversa da
quella principale del moto).
A seconda che il moto relativo fra parete e fluido sia determinato da forze
esterne o sia provocato da variazioni di densità del fluido (dovute a loro volta
a differenze di temperatura) in presenza di un campo di forze di massa, la
convezione si dice rispettivamente forzata o naturale.
Nel caso della convezione forzata, se le proprietà del fluido possono essere
considerate costanti (il che implica che esse siano indipendenti dalla temperatura e che, nel caso di un gas, siano trascurabili le variazioni di pressione),
il problema fluidodinamico e quello termico non si influenzano a vicenda e
possono essere dunque affrontati separatamente.
Al contrario, nella convezione naturale questa separazione della trattazione
non è mai possibile perché il moto del fluido è proprio determinato dai
gradienti di temperatura all’interno della massa fluida.
In entrambi i casi, di convezione forzata o naturale, è consuetudine esprimere il
flusso termico convettivo attraverso l’espressione nota come legge di Newton:
Q̇ = hc A (Ts − Tf )
3.1
dove:
A = area di scambio, m2
hc = coefficiente di scambio termico liminare convettivo o adduttanza
superficiale, W/(m2 K)
105
3.
CONVEZIONE
Ts = temperatura della superficie lambita dal fluido, ◦ C
Tf = temperatura del fluido ◦ C
La 3.1 è solo apparentemente una relazione lineare, perché il coefficiente di
scambio termico liminare hc dipende, per la natura stessa del fenomeno fisico,
da un grande numero di variabili, tra cui compare, insieme alle proprietà
termofisiche del fluido (calore specifico, densità, viscosità, conducibilità
termica, etc.), e ad altre grandezze fisiche e geometriche che caratterizzano il
problema (velocità relativa, forma della superficie, etc.), anche la temperatura.
L’obbiettivo degli studi sulla convezione è appunto quello di determinare hc .
È possibile affrontare il problema dal punto di vista sperimentale o teorico.
Nel primo caso è opportuno far precedere la fase sperimentale da una analisi
dimensionale delle grandezze da cui dipende il problema (teorema di Buckingham o teorema Π), che consenta di ridurre il numero di variabili. Questo
procedimento, che richiede l’identificazione a priori di tutte le variabili,
consente di giungere a relazioni (nel caso più semplice monomie) fra un
ristretto numero di parametri adimensionali. Gli esponenti e i coefficienti di
queste relazioni vengono poi determinati per via sperimentale.
Nel caso in cui il problema venga affrontato dal punto di vista puramente
teorico, il fluido viene in genere considerato come un mezzo continuo al quale
è possibile applicare le equazioni di conservazione della massa (continuità),
della quantità di moto (equazioni di Navier-Stokes) e dell’energia. La soluzione esatta di queste equazioni presenta difficoltà matematiche insormontabili.
Attraverso l’introduzione del concetto di strato limite (PARAGRAFO 3.2) è
possibile semplificare notevolmente sia le equazioni di Navier-Stokes che
dell’energia, giungendo a soluzioni esatte per configurazioni particolarmente
semplici e per strato limite laminare.
Lo strato limite può anche essere esaminato su scala macroscopica applicando
le stesse equazioni di conservazione a una porzione finita di fluido (metodi
integrali) e ottenendo in tal modo soluzioni approssimate, ma spesso ancora
accettabili nei problemi di ingegneria. In questo caso il problema può essere
risolto anche per strato limite turbolento.
In quest’ultimo caso un procedimento matematico spesso adottato per risolvere questo tipo di problemi consiste nello stabilire delle analogie fra trasporto
di calore e di quantità di moto (analogia di Reynolds).
Nel seguito sono riportati alcuni richiami, necessariamente sintetici, di moto
dei fluidi.
106
3. CONVEZIONE
3.1.
REGIME DI MOTO E VISCOSITÀ
Si deve a Reynolds (1883) la prima osservazione dell’esistenza di due tipi fondamentali di moto dei fluidi, il moto laminare e quello turbolento. Il ben noto
esperimento da lui realizzato gli consentì di visualizzare (attraverso l’iniezione di
un liquido colorante) il flusso d’acqua in un condotto, al variare della velocità. Per
piccole velocità la traccia di colorante rimane continua e ben definita; l’assenza di
miscelamento di particelle di fluido evidenzia un campo di moto puramente assiale, e
il moto viene detto laminare.
All’aumentare della velocità la traccia del colorante tende a sfilacciarsi fino a
diffondersi su tutta la sezione del condotto; il rimescolamento delle particelle di
fluido evidenzia la presenza di fluttuazioni di velocità sia in direzione parallela che
perpendicolare alla direzione del moto, e il moto viene detto turbolento.
Per flusso turbolento, anche se il regime di moto è stazionario le proprietà del fluido in
un punto (velocità, pressione, temperatura, etc.) variano dunque nel tempo. Si tratta,
tuttavia, di variazioni a valor medio temporale nullo. Perciò è sufficiente sostituire ai
valori istantanei delle proprietà i loro valori medi, esprimendo le componenti fluttuanti
attraverso il loro valore quadratico medio.
Quando gli strati di fluido scorrono uno sopra l’altro sono sottoposti a sforzi
tangenziali che sono bilanciati dagli effetti dissipativi interni al fluido, provocati dalla
sua viscosità. Come conseguenza di ciò si osserva sperimentalmente la presenza di
un gradiente di velocità in direzione trasversale al moto. In un fluido newtoniano gli
sforzi tangenziali sono proporzionali in modo lineare al gradiente di velocità, e la
costante di proporzionalità è detta viscosità dinamica µ:
τ =µ·
du
dy
3.2
dove u è la velocità nella direzione principale del moto e y è la direzione
perpendicolare alla superficie su cui scorre il fluido.
107
3.
CONVEZIONE
Ripetendo l’esperimento di Reynolds con fluidi aventi proprietà fisiche (viscosità,
densità) e velocità diverse e in condotti aventi diametro diverso si osserva che la
transizione dal moto laminare a quello turbolento si verifica sempre in corrispondenza
di uno stesso valore (2000-2500) di un insieme adimensionato di variabili, detto
numero di Reynolds, definito da:
Re =
u·D
ρ·u·D
=
µ
ν
3.3
dove ν è la viscosità cinematica. Per Re < 2000 il moto sarà dunque laminare e per
Re > 2500 sarà turbolento, qualunque siano i valori assunti singolarmente dalle varie
grandezze.
Un altro parametro particolarmente importante nello studio della convezione è il
numero di Prandtl, definito come:
Pr =
ν
µ · cp
=
λ
α
3.4
in cui α = ρ · cp /λ è la diffusività termica, definita nel CAPITOLO 1.
Esiste una analogia fra trasporto di massa e di calore in un campo di pressioni
uniforme, evidenziata formalmente dal fatto che per P r ≈ 1 (ν = α) la distribuzione
adimensionale della temperatura è identica a quella delle velocità. In effetti per la
maggior parte dei gas P r è compreso fra 0.6 ed 1, mentre per i liquidi le variazioni
sono assai più sensibili.
3.2.
CONCETTO DI STRATO LIMITE
Una notevole semplificazione del problema la si ottiene introducendo il concetto di
strato limite. Tale concetto fu introdotto da Prandtl nel 1904 per studiare il moto di
un fluido adiacente ad una parete. Egli osservò che, ad una adeguata distanza dalla
parete, il moto del fluido non è più influenzato dalla presenza della parete e definì
perciò strato limite della velocità quella regione di fluido, adiacente alla parete, in cui,
a causa degli sforzi viscosi, esistono degli apprezzabili gradienti di velocità. Detta x la
108
3. CONVEZIONE
T
T
Ts T T
Ts T
T
y
t
(x)
x
Fig. 3.1 – Strato limite termico su una lastra piana.
direzione principale del moto ed u la componente di velocità lungo x, lo spessore δ(x)
dello strato limite dinamico viene determinato imponendo che u(x, δ) non differisca
dalla velocità nella regione indisturbata u∞ per più dell’1%.
Analogamente, esiste uno strato limite termico in cui la temperatura varia da Ts
(temperatura della parete) a T∞ (temperatura del fluido nella regione indisturbata).
La regione di fluido non compresa nello strato limite termico si comporta dunque
come un pozzo termico, in grado di assorbire il calore proveniente dallo strato limite
senza modificare la propria temperatura.
Anche in questo caso, lo spessore δ t dello strato limite termico viene determinato
imponendo che la differenza di temperatura |T (x, δt ) − Ts | sia pari al 99% della
differenza di temperatura fra fluido nella zona indisturbata e parete |T∞ − Ts |
(fig. 3.1).
Se si rapporta il flusso termico scambiato per convezione attraverso lo strato limite:
Q̇c = hc A (Ts − Tf )
con quello che sarebbe scambiato per pura conduzione attraverso lo strato limite:
Q̇k =
λ
(Ts − Tf )
δt
in cui λ è la conducibilità termica del fluido, si ottiene:
109
3.
CONVEZIONE
Q̇c /Q̇k =
hδt
λ
Se al posto dello spessore dello strato limite si riporta nell’espressione precedente la
generica lunghezza caratteristica L, si ottiene l’espressione del numero di Nusselt:
Nu =
3.3.
hL
λ
3.5
ANALISI DIMENSIONALE PER LA CONVEZIONE FORZATA
L’esperienza insegna che il coefficiente di scambio termico per convezione forzata
dipende dalle seguenti variabili indipendenti:
hc = f (u, µ, λ, L, ρ, cp )
3.6
dove:
u = velocità
µ = viscosità dinamica
λ = conducibilità termica
L = lunghezza caratteristica del problema (es.: diametro)
ρ = massa volumica
cp = calore specifico
Si hanno dunque 7 variabili (6 indipendenti) che dimensionalmente possono essere
espresse attraverso le 4 dimensioni fondamentali M, L, T, Θ (massa, lunghezza,
tempo e temperatura). Il teorema di Buckingham afferma che:
una relazione fra n variabili dipendenti ed indipendenti funzione
di m dimensioni fondamentali può essere espressa attraverso una
funzione fra (n − m) gruppi adimensionati.
La 3.6 darà dunque luogo ad una funzione di 7 – 4 = 3 gruppi adimensionati:
110
3. CONVEZIONE
f1 (π1 , π2 , π3 ) = 0
Si ipotizza una funzione monomia del tipo:
hc = A · ua · µb · λc · Ld · ρm · cnp
3.7
Essendo note le equazioni dimensionali delle 7 grandezze (tabella 3.1), si scrivono poi
le equazioni di congruenza dimensionale per le 4 dimensioni fondamentali.
M assa M :
1 =b+c+m
Lunghezza L :
0 = a − b + c + d − 3m + 2n
T empo t :
T emperatura Θ :
3.8
−3 = a − b − 3c − 2n
−1 = −c − n
Tab. 3.1 – Equazione dimensionale per le variabili del problema.
grandezza
hc
u
µ
λ
D
ρ
cp
unità di
misura s.i.
unità
fond. s.i.
equazione
dimensionale
W/(m2 K)
m/s
N s/m2
W/(m K)
m
kg/m3
J/(kg K)
kg/(s3 K)
m/s
kg/(s m)
kgm/(s3 K)
m
kg/m3
m2 /(s2 K)
M
1
0
1
1
0
1
0
L
0
1
-1
1
1
-3
2
T
-3
-1
-1
-3
0
0
-2
Θ
-1
0
0
-1
0
0
-1
Il sistema 3.7 è di 4 equazioni in 6 incognite. Esprimendo a, b, c, d in funzione di m, n
si ottiene:
a=m
b=n−m
c=1−n
d=m−1
111
3.
CONVEZIONE
Sostituendo nella 3.9 e raccogliendo i termini con uguale esponente si ottiene:
hc = A um µn−m λ1−n Lm−1 ρm cnp = A
ρuD
µ
m µ cp n λ
λ
L
da cui:
N u = A Rem Pr n
3.9
È opportuno sottolineare come nella 3.9 si sia giunti a due sole variabili indipendenti
(Re e P r), dalle sei che comparivano nella 3.6.
Per ricavare il valore del coefficiente A e degli esponenti m ed n che compaiono
nella 3.9 è necessario ricorrere a tecniche sperimentali. In Tab. 3.2 si possono trovare
tali valori per alcune configurazioni ricorrenti.
Tab. 3.2 – Valori delle costanti dell’equazione 3.9 per alcune configurazioni geometriche semplici.
Caso
A
n
Moto turbolento completamente sviluppato all’interno di
un condotto per fluido che si raffredda (equazione di
Dittus e Boelter)1
0.023 0.8
0.3
Moto turbolento completamente sviluppato all’interno
di un condotto per fluido che si riscalda (equazione di
Dittus e Boelter)1
0.023 0.8
0.4
Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per
strato limite laminare
0.664 0.5
0.33
Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per
strato limite turbolento(ReL > 105 ) 2
0.036 0.8
0.33
1
Le proprietà del fluido vanno calcolate alla temperatura media del fluido.
2
In questo caso la 3.9 fornisce il valore medio di N u nel tratto L.
112
m
3. CONVEZIONE
Per alcuni fluidi di uso comune (aria, acqua) esistono delle correlazioni semplificate
in cui si fornisce direttamente hc in funzione delle principali variabili indipendenti (la
velocità u e, a volte, una caratteristica dimensionale). Ad esempio, per aria che scorre
su una parete si ha:
hc = 3 + 2 u
3.4.
CONVEZIONE NATURALE
Applicando l’analisi dimensionale alla convezione naturale, è possibile ottenere:
Nu = f(Gr, Pr)
con Gr, numero di Grashof, definito da:
Gr =
g · β · ∆T · l3
ν2
3.10
dove
∆T = differenza di temperatura fra fluido (T∞ ) e parete (T0 )
L = lunghezza caratteristica
1
β = coefficiente di dilatazione termica, pari a
V
gas ideali, come l’aria
∂V
∂T
, ovvero 1/T per i
p
Le relazioni sono del tipo:
N u = C · (P r · Gr)m = C · Ram
3.11
con
Ra = Gr · P r
(numero di Rayleigh)
3.12
I numeri di Grashof e Prandtl vanno valutati alla cosiddetta temperatura di film Tf ,
definita come:
Tf = (Ts + T∞ )/2
113
3.
CONVEZIONE
Calcolo dello scambio termico per convezione naturale per alcuni casi particolari
I valori dei coefficienti C ed m dipendono dalla geometria del problema e dal valore
del numero di Rayleigh, come indicato nella tabella 3.3.
Tab. 3.3 – Costanti C ed m da usare nella 3.11.
Geometria
Ra
C
m
104 ÷ 109
0.59
1/4
109 ÷ 1013
0.10
1/3
2 · 104 ÷ 8 · 106
0.54
1/4
8 · 106 ÷ 1011
0.15
1/3
105 ÷ 1011
0.58
1/5
Piano o cilindro verticale
Piano orizzontale (flusso ascendente)
Piano orizzontale (flusso
discendente)
Quando il fluido è aria possono essere utilizzate le equazioni semplificate riportate in
tabella 3.4.
Tab. 3.4 – Espressioni semplificate di h c per l’ aria.
Configurazione
Regime
laminare (104 < Ra < 109 )
turbolento (Ra > 109 )
Piano o cilindro verticale
hc = 1.42 · (∆T /L)1/4
hc = 0.95 · (∆T )1/3
Piano orizzontale (flusso
ascendente)
hc = 1.32 · (∆T /L)1/4
hc = 1.43 · (∆T )1/3
Piano orizzontale (flusso
discendente)
114
´1/5
`
hc = 0.61 · ∆T /L2
3. CONVEZIONE
u
0
T
Ts1
Ta
Ts2
Fig. 3.2 – Campo termico e di velocità in una intercapedine.
Intercapedini d’aria
Il caso di intercapedini d’aria limitate da pareti è molto frequente in edilizia. Nelle
intercapedini si ha un doppio scambio termico convettivo parete calda-aria e ariaparete fredda che produce il tipico campo di moto e di temperatura riportato in
figura 3.2.
Per le intercapedini si ricorre talvolta al concetto di conducibilità termica equivalente
λe . Essa rappresenta il valore di conducibilità termica di un immaginario materiale
omogeneo inserito nell’intercapedine tale per cui, a parità di temperatura delle due
facce, il flusso per conduzione risulterebbe pari a quello effettivamente trasmesso
attraverso l’intercapedine per convezione naturale.
Si ha allora:
Q̇/A = hc · (T1 − T2 ) =
λe
(T1 − T2 )
δ
3.13
dove δ = spessore dell’intercapedine.
115
3.
CONVEZIONE
I valori di λe si ricavano attraverso il rapporto adimensionato:
N uδ =
λe
hc δ
=
λ
λ
in cui N uδ , numero di Nusselt calcolato per L = δ, rappresenta il rapporto fra il flusso
convettivo e quello che si avrebbe nel caso di pura conduzione. Esso è dato da:
n
m
N uδ = C · (Grδ · Pr) · (L/δ)
3.14
con:
Grδ = numero di Grashof calcolato perL = δ
L = altezza o lunghezza dell’intercapedine
C, m, n = coefficienti riportati nella tabella 3.5
Per numeri di Grashof inferiori a 2000 si assume λe ≡ λ, ovvero N uδ = 1. Ciò
significa che non si innescano moti convettivi e il trasporto di calore avviene per pura
conduzione.
Tab. 3.5 – Valori delle costanti dell’equazione 3.14 per alcune geometrie
semplici
Geometria
Verticale
Orizzontale
(flusso ascendente)
116
Grδ · P r
L/δ
C
m
n
6 · 103 ÷ 2 · 105
2 · 105 ÷ 1.1 · 107
11 ÷ 42
11 ÷ 42
0.197
0.073
-1/9
-1/9
1/4
1/3
1700 ÷ 7000
7000 ÷ 3.2 · 105
> 3.2 · 105
..........
..........
..........
0.059
0.212
0.061
0
0
0
0.4
1/4
1/3
4.
4.1.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI
EDILIZIE
SCAMBIO TERMICO MISTO IN INTERCAPEDINI
Si è visto nel CAPITOLO 1 (eq. 1.21) come il flusso di calore trasmesso attraverso una
parete piana multistrato in regime stazionario sia dato dall’espressione
Q̇
= U · (Ti − Te )
A
4.1
dove U, detta trasmittanza termica o coefficiente di scambio termico globale, è data
da (CAPITOLO 1, eq. 1.22):
−1
n
1
s
1
j
U = +
+
hi j=1 λj
he
Tutti i termini fra parentesi rappresentano delle resistenze termiche. Esistono alcuni
componenti di parete la cui resistenza termica non può essere determinata attraverso
il rapporto s/λ. Si tratta di intercapedini d’aria, blocchi di laterizio o cemento
alleggerito, etc. In questi casi si preferisce introdurre nella 1.22 direttamente la loro
resistenza termica, ovvero:
−1
n
s
1
1
j
+
Rj +
U = +
hi j=1 λj
he
4.2
Si esaminerà ora in particolare il calcolo della resistenza termica delle in intercapedini
d’aria, comunemente impiegate in edilizia, sia nelle pareti opache che in quelle
117
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
irraggiamento
convezione
ari a
T1
T2
Ta
Fig. 4.1 – Flussi termici in intercapedini.
vetrate. Nelle intercapedini si ha uno scambio termico per irraggiamento diretto fra
le due facce delle pareti, e uno scambio termico convettivo parete calda-aria e ariaparete fredda (vedi fig. 4.1). Il flusso complessivamente scambiato nell’intercapedine
vale dunque:
Q̇
=
A
Q̇
A
+
conv
Q̇
A
(hc + hr ) (T1 − T2 ) =
= hc (T1 − T2 ) + hr (T1 − T2 ) =
rad
T1 − T2
Rint
4.3
Lo studio dell’irraggiamento fra le due facce di un’intercapedine si può ricondurre a
quello fra due superfici piane, parallele e infinite, analizzato nel CAPITOLO 2. Il flusso
scambiato per unità di superficie vale in questo caso
Q̇
A
= σ Fε T14 − T24 = hr (T1 − T2 )
rad
con
3
hr = 4σ Fε Tm
=
1
ε1
3
4σTm
1
+ ε2 − 1
Dalla fig. 4.2 si vede che il valore di hr dipende debolmente dalla temperatura media
delle due facce (in K), ma è fortemente influenzato dalla loro emissività.
118
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
6.000
coefficiente radiativo h r (W/m 2 K)
5.000
4.000
Tm = 275 K
3.000
Tm = 290 K
2.000
1.000
0.000
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
F
Fig. 4.2 – Coefficiente radiativo h r in intercapedini per vari valori di F e Tm .
Per quanto riguarda la convezione in intercapedini, essa è stata analizzata nel
CAPITOLO
3. Si ha1 .
Q̇/A = hc · (T1 − T2 )
con
hc =
λe
δ
dove
δ = spessore dell’intercapedine
λe = conducibilità termica effettiva (o equivalente) dell’intercapedine
La conducibilità termica effettiva dipende a sua volta in modo complesso dallo
spessore dell’intercapedine, dalla differenza di temperatura e dalla lunghezza (altezza)
1
Si noti che, contrariamente alla consuetudine, il flusso convettivo non viene assunto proporzionale alla differenza fra la temperatura di una faccia e dell’aria, ma alla differenza fra le
temperature delle due facce.
119
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
d = 5 cm
d = 2 cm
d = 8 cm
1.600
1.400
hc (W/m 2 K)
1.200
1.000
0.800
0.600
0.400
0.200
0.000
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Differenza di temperatura fra le facce (°C)
Fig. 4.3 – Coefficiente convettivo h c in intercapedini al variare di differenza di
temperatura e spessore dell’intercapedine (L = 3m).
dell’intercapedine. In fig. 4.3 è illustrata la dipendenza dalla differenza di temperatura
e dallo spessore dell’intercapedine.
In definitiva le variabili da cui dipende la resistenza dell’intercapedine sono:
•
l’emissività delle facce
•
la differenza di temperatura fra le due facce
•
lo spessore dell’intercapedine
•
l’altezza dell’intercapedine
In generale si può dire che la resistenza dell’intercapedine aumenta fortemente al
diminuire dell’emissività delle due facce e diminuisce debolmente all’aumentare della
differenza di temperatura e al diminuire dell’altezza dell’intercapedine. Ha invece un
andamento variabile al variare dello spessore: cresce fino a circa 6 cm, poi diminuisce
lentamente.
Per intercapedini in pareti opache o vetrate non trattate l’emissività delle due facce è
circa uguale a 0.93-0.95, da cui risulta F = 0.87-0.90. Si può assumere in tal caso
Rint = 0.18-0.19 m2 K/W.
120
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
T
Ti
Tx
Te
Rtot
R0-x
R
Fig. 4.4 – Diagramma (T, R).
Viceversa, quando si impiegano vetri speciali, denominati basso-emissivi, che consentono di raggiungere valori di F = 0.10-0.20, si può avere Rint = 0.4-0.5 m2 K/W.
4.2.
DIAGRAMMA ( T, R )
La 4.1 può essere riscritta, ricordando la 1.19a
Ti − Te
Q̇
=
A
Rtot
La formula mostra che in regime stazionario le differenze di temperatura sono
proporzionali alle resistenze termiche. La costante di proporzionalità è proprio la
densità di flusso termico:
Ti − Te = Q̇/A · Rtot
4.4
Riportando le temperature su un diagramma (T, R), come indicato in fig. 4.4 si ottiene
una retta che consente di determinare la temperatura in una sezione qualsiasi (x)
della struttura in funzione della generica resistenza termica Ro−x dall’aria interna
alla sezione considerata.
121
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
4.3.
TRASMISSIONE DEL CALORE IN PARETI OPACHE IN PRESENZA DI
RADIAZIONE SOLARE
Si vuole calcolare il flusso trasmesso attraverso una parete multistrato di spessore s
e costituita da n strati, sulla cui faccia esterna incide un flusso termico radiativo di
origine solare. Siano Ti e Te le temperature dei due ambienti che essa separa. Si
tratta di un problema con condizioni al contorno del 3◦ tipo su entrambe le facce della
parete. In particolare, sulla faccia esterna si avrà:
Q̇ A
= he (Tn+1 − Te ) − α I
x=s
dove α è il fattore di assorbimento della parete e I l’irradianza solare, espressa in
W/m2 . Seguendo la procedura indicata nel PARAGRAFO 1.4 si ricava la differenza di
temperatura fra l’aria interna e la superficie esterna:
n
Q̇ sj
1
+
= Ti − Tn+1
A j=1 λj
hi
Aggiungendo a questa equazione la condizione al contorno sulla faccia esterna si
ottiene:
Q̇
U αI
= U (Ti − Te ) −
= U (Ti − Ts,a )
A
he
avendo chiamato temperatura sole-aria la quantità
Ts,a = Te +
4.4.
αI
he
4.5
IL PROBLEMA DELLA CONDENSA SUPERFICIALE
Quando la temperatura superficiale di una parete a contatto con l’aria interna scende
al di sotto della temperatura di rugiada si ha formazione di condensa. Se il fenomeno
è ricorrente si creano condizioni favorevoli allo sviluppo di colonie fungine e muffe
122
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
che deturpano l’aspetto della parete e creano un ambiente malsano per le persone che
vi risiedono2 .
Il problema si sintetizza nel confronto fra la temperatura superficiale
Tsi = Ti −
U
(Ti − Te )
hi
e la temperatura di rugiada Tr dell’aria interna, che a sua volta dipende, oltre che dalla
temperatura dell’aria, dalla sua umidità relativa (vedi il CAPITOLO 4 della PARTE
PRIMA ).
Per evitare la condensa superficiale occorre che sia:
Tsi > Tr
Tuttavia, poiché la temperatura superficiale interna risente delle variazioni della
temperatura esterna, è più conveniente effettuare il confronto utilizzando il concetto
di fattore di temperatura della parete:
f=
Tsi − Te
Ti − Te
4.6
in quanto si dimostra facilmente che questo è solo funzione delle caratteristiche di
resistenza termica della parete (Rtot ) e dello strato liminare interno (Ri ):
f=
Tsi − Te
Tsi − Te + Ti − Ti
Ti − Tsi
Ri
=
=1−
=1−
Ti − Te
Ti − Te
Ti − Te
Rtot
Occorre allora imporre che f sia superiore al valore massimo ammissibile fmax , dato
a sua volta da:
fmax =
2
Tr − Te
Ti − Te
Alcune muffe riescono a proliferare anche quando l’umidità relativa locale è inferiore al 100 %,
fino a valori prossimi all’80%.
123
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
4.5.
DIFFUSIONE DEL VAPORE E CONDENSA INTERSTIZIALE
La diffusione è quel particolare fenomeno di trasporto di massa provocato su scala
microscopica da gradienti di concentrazione presenti all’interno di una miscela di
gas. Per concentrazione si intende il rapporto fra la quantità di sostanza di uno dei
componenti la miscela e il volume totale della miscela. La condensa interstiziale è
un fenomeno che si verifica quando il vapore d’acqua, nella sua diffusione attraverso
una parete, incontra zone a temperatura più bassa della temperatura di saturazione del
vapore.
Legge di Fick
Si abbia un volume contenente una miscela di gas a concentrazione non uniforme.
Attraverso una superficie immaginaria tracciata in modo da dividere il volume
occupato dalla miscela in due parti, passeranno, per mera agitazione molecolare, più
molecole dal lato a concentrazione più elevata a quello a concentrazione più bassa che
non viceversa. Ne risulta un trasporto netto di massa nella direzione in cui il gradiente
di concentrazione è minore di zero.
L’esperienza dimostra che la portata di diffusione è proporzionale al gradiente della
concentrazione, secondo la legge, detta Legge di Fick, valida in regime stazionario:
∂C
ṅ
= −D ·
A
∂x
4.7
in cui
ṅ = flusso di quantità di sostanza, kmoli/s
D = diffusività, m2 /s
C = concentrazione molare, in kmoli/m3 , data da:
C=
n
V
Si osservi la perfetta analogia fra la 4.7 e la legge di Fourier, scritta in funzione della
diffusività termica α = λ/ρcp , che ha le stesse dimensioni di D :
Q̇
∂T
∂ (ρ cp T )
= −λ
= −α
A
∂x
∂x
124
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
Diffusione del vapore acqueo attraverso una parete
Esaminiamo adesso il caso della diffusione del vapore acqueo attraverso un materiale
permeabile. Poiché il vapore d’acqua è allo stato gassoso si può, con qualche
approssimazione, applicare l’equazione di stato dei gas ideali:
pV = nRT
in cui p è la pressione parziale del vapore nell’aria. Dalla definizione di concentrazione
molare si ricava
C=
p
RT
4.8
Sostituendo la 4.8 nella 4.7 si ha:
D ∂p
ṅ
=−
·
A
R T ∂x
o anche, moltiplicando per la massa molecolare µ:
ṁ
µ ∂p
∂p
= −D
= −δ
A
R T ∂x
∂x
4.9
avendo definito permeabilità al vapore la quantità
δ=
D
R∗ T
Applicando la 4.9 ad una parete piana multistrato in regime stazionario per flusso
di vapore monodimensionale, si ottiene, con procedimento del tutto analogo a
quello descritto per ricavare il flusso di calore per conduzione attraverso una parete
multistrato (CAPITOLO 1.4):
ṁ
= M · (pi − pe )
A
dove
M=
s
1
1
+
+
βi
δ βe
4.10
−1
4.11
è la permeanza al vapore della parete, che ha il suo analogo termico nella trasmittanza
termica U del CAPITOLO 1.4.
I termini riportati nella parentesi hanno le dimensioni di una resistenza alla diffusione
del vapore (Rv ); in particolare i coefficienti dimensionati β i e β e forniscono l’entità
125
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
della diffusione del vapore dall’aria alla parete e viceversa. Il loro valore è molto
elevato rispetto ai valori di δ/s dei principali materiali, per cui spesso si può assumere
1/βi = 1/βe = 0
Pertanto la 4.5 può essere riscritta come:
s −1
M=
δ
4.11 a
I valori di permeabilità di alcuni fra i materiali più comunemente impiegati in edilizia
sono forniti in Tabella 4.1.
Tab. 4.1 – Valori di permeabilità al vapor d’acqua (δ).
Materiale
(kg/s m Pa)
Materiale
(kg/s m Pa)
Aria
17.8 · 10−11
Legno di pino
0.10 · 10−11
Calcestruzzo da 2300
kg/m3
0.5 · 10−11
Muratura di mattoni
pieni e forati
2.0 · 10−11
Calcestruzzo di pomice da 280 kg/m3
5.9 · 10−11
Fibra minerale
(lastre)
Calcestruzzo leggero
1.8 ÷ 4.8 · 10−11
Cartonfeltro bitumato
1.8 · 10−14
Foglio di polietilene
0.2 ÷ 0.5 · 10 −14
Eternit
0.27 · 10−11
Polistirolo espanso
0.4 ÷ 0.8 · 10−11
Intonaco di gesso
2.9 · 10−11
Polistirolo estruso
0.21 · 10−11
Intonaco di malta di
cemento
0.9 · 10−11
PVC
Foglio di alluminio,
vetro cellulare
3 ÷ 15 · 10−11
0
0.8 ÷ 1.7 · 10−12
»
126
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
Tab. 4.1 – Valori di permeabilità al vapor d’acqua (δ).
Materiale
(kg/s m Pa)
Materiale
(kg/s m Pa)
Intonaco di malta e
calce
1.8 · 10−11
Resina epossidica in
lastre rinforzate con
fibra di vetro
0.83 · 10−15
Legno di faggio
0.05 · 10−11
Vermiculite, perlite e
argilla espansa
sciolta
17.8 · 10−11
Diagramma di Glaser
Il diagramma di Glaser costituisce un utile strumento non soltanto per la verifica dei
rischi di condensa in una parete, ma anche per la correzione di tale inconveniente.
Essa ha la resistenza alla diffusione del vapore in ascisse e la pressione parziale di
vapore in ordinate. E’ dunque un diagramma (p, Rv ) e gode delle stesse proprietà di
cui gode il diagramma (T, R) descritto al PARAGRAFO 4.2.
Il procedimento di costruzione del diagramma consiste nei seguenti passi:
a. Si riportano in ascisse, in successione, i valori delle resistenze s/δ alla
diffusione del vapore degli strati costituenti la parete, dall’interno all’esterno,
fino a raggiungere l’aria esterna (Rv,tot ).
b. Si riportano i valori delle pressioni parziali del vapore interna (pi ) ed esterna
(pe ), rispettivamente in corrispondenza di Rv = 0 e Rv = Rv,tot .
c. Si traccia la retta che unisce i due punti così ottenuti. Essa rappresenta
l’andamento delle pressioni parziali su ogni superficie attraversata dal flusso
di vapore. Infatti, analogamente alla 4.4, si ha
pe = pi −
ṁ
· Rv,tot
A
d. Conoscendo le temperature in corrispondenza dei vari strati si ricavano le corrispondenti pressioni di saturazione ps (vedi tab. 4.2 e fig. 4.1 della PARTE I) e
le si riportano sul diagramma di Glaser.
127
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
p
psi
pi
pse
pe
Rv,tot
Rv
Fig. 4.5 – Diagramma di Glaser per una parete in cui non si manifestano fenomeni di
condensa.
Tab. 4.2 – Valori della pressione di saturazione dell’acqua fra –20 ◦C e
39◦ C.
128
T (◦ C)
pvs (P a)
T (◦ C)
pvs (P a)
T (◦ C)
pvs (P a)
T (◦ C)
pvs (P a)
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
103
114
125
137
151
165
181
199
217
238
260
284
310
338
369
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
402
437
476
518
563
611
657
706
758
814
873
935
1002
1073
1148
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1228
1312
1403
1498
1598
1706
1819
1938
2064
2198
2339
2488
2645
2811
2985
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
3169
3363
3567
3782
4008
4246
4496
4759
5035
5324
5628
5947
6281
6632
7000
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
p
psi
pi
p1
p2
pse
pe
Rv,1
Rv,2
Rv,tot
Rv
Fig. 4.6 – Profilo delle pressioni reali in presenza di condensazione.
Se in nessun punto la pressione reale supera quella di saturazione si ha la situazione
di fig. 4.5.
In caso contrario si ha formazione di condensa all’interno della parete, evidenziata
dall’area tratteggiata (fig. 4.6). Tuttavia, in questo caso il profilo delle pressioni reali
cambia rispetto a quello ricavato con le considerazioni precedenti, poiché la pressione
reale non può mai superare la pressione di saturazione. Per ricavare il profilo di
pressione reale si deve tener conto del fatto che, poiché parte della portata di vapore
condensa, la portata uscente sarà minore di quella entrante.
Pertanto, devono essere rispettate le due condizioni:
– portata costante quando p < ps (
∂p
= costante)
∂Rv
– p ≤ ps in ogni sezione della parete
L’andamento delle pressioni reali che soddisfa le precedenti condizioni è quello in cui
la retta delle pressioni reali è tangente alla curva di saturazione (tratti pi −p1 e p2 −pe )
o coincide con essa (tratto p1 − p2 ).
129
4.
PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
p
psi
pi
Rv,add
pse
pe
Rv
Fig. 4.7 – Correzione del problema della condensa interstiziale mediante resistenza
aggiuntiva (barriera al vapore).
La portata di vapore, ovvero la pendenza dp/dRv , sarà costante nel tratto i − 1,
decrescente nel tratto 1 − 2 e di nuovo costante, ma inferiore a quella del tratto i − 1,
nel tratto 2 − e.
La portata condensata varrà dunque:
pi − p1 p2 − pe
ṁ
ṁ
∂p
∂p
ṁ
=
−
=
−
=
−
A cond
A in
A out
∂Rv i−1
∂Rv 2−e
Rv,1
Rv,2
Nel caso in cui si voglia correggere la stratigrafia della parete in modo da evitare la
formazione di condensa al suo interno, si può ancora utilizzare il diagramma di Glaser.
Si traccia la retta partente da pe e tangente alla curva di saturazione fino a raggiungere
il valore pi , sulla sinistra dell’asse (fig. 4.7). La distanza di tale punto dall’asse p
rappresenta la resistenza Rv,add aggiuntiva che deve essere introdotta, attraverso una
opportuna barriera al vapore, per evitare rischi di condensa.
4.6.
TRASMISSIONE DEL CALORE IN PARETI VETRATE
Nel caso di pareti vetrate, in presenza di radiazione solare, si ha un duplice fenomeno
di scambio termico, di cui si tiene conto separatamente. Vi è un flusso termico per
130
4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE
differenza di temperatura (trasmissione per conduzione, con condizioni al contorno
radiativo-convettive) e un flusso termico entrante per effetto della radiazione solare.
Il flusso termico per differenza di temperatura sarà dato, come in precedenza, dalla 4.1
Q̇
A
= U · (Ti − Te )
cond
Quello legato alla radiazione solare è somma di due componenti, una di trasmissione
diretta verso l’interno, l’altra dovuta all’assorbimento e riemissione verso l’interno
della radiazione
Q̇
A
= (τsol + n αsol ) I
4.12
sol
in cui
n = frazione riemessa verso l’interno della quota assorbita
αsol = fattore di assorbimento alla radiazione solare
τ sol = fattore di trasmissione alla radiazione solare
Spesso la quantità fra parentesi nella 4.12 viene detta fattore solare (g ) :
g = τ + n αsol
131
