Principi di visualizzazione

PARTE 13
Rel. 18/09/00 - visual1.cor
LE TECNICHE DI VISUALIZZAZIONE
(estratto)
1 - Introduzione
2 - Che cosa sono le visualizzazioni
3 - Traccianti solidi, liquidi e gassosi
4 - Misura di velocità con particelle traccianti
1 - Introduzione
L'osservazione visiva dell'evoluzione temporale e della distribuzione spaziale di opportune
grandezze fisiche, qualora possibile, può essere di notevole aiuto, non solo nella comprensione dei
fenomeni fisici, ma anche nella formulazione di modelli in grado di rappresentarli. Non fanno
eccezione i fenomeni fluidodinamici, per i quali la visualizzazione del moto del fluido attorno a
corpi o all'interno di condotti si è rivelata fondamentale nella formulazione della maggior parte delle
teorie oggi disponibili.
A questo proposito si devono ricordare gli esperimenti di visualizzazione condotti verso la fine del
secolo scorso da Osborne Reynolds e, all'inizio di questo secolo da Prandtl, per supportare le loro
fondamentali intuizioni e, soprattutto, il lavoro di Ernst Mach (1838-1916) che ebbe un peso non
trascurabile nella filosofia della scienza e, forse non a caso, un ruolo determinante nello sviluppo
delle tecniche di visualizzazione.
Tuttavia, oltre alla fondamentale importanza delle visualizzazioni dal punto di vista
fenomenologico, esse presentano ulteriori caratteristiche di notevole interesse.
La prima risiede nella possibilità di ottenere, dall'esame della registrazione della corrente
visualizzata (fotografica, magnetica o digitale), informazioni quantitative. La seconda, nella
possibilità di acquisire informazioni simultanee in una intera regione del campo di moto, anziché in
un singolo punto di misura, come avviene con la maggior parte delle classiche tecniche di misura
strumentali (sonde di pressione o di velocità, ecc.).
Inoltre, contrariamente ad altre tecniche di indagine che si avvalgono dell'uso di sonde poste
all'interno della corrente, molte delle tecniche di visualizzazione, se correttamente applicate, sono
scarsamente intrusive, ovvero non perturbano sensibilmente la corrente di fluido in esame. E' questa
una caratteristica di notevole importanza soprattutto quando si debbano studiare correnti al limite
della stabilità o della separazione.
Si deve infine tener presente che, quand'anche le tecniche di visualizzazione non si rivelassero del
tutto risolutive in termini di informazioni fornite, esse consentono comunque di acquisire,
generalmente in breve tempo, tutte quelle indicazioni sul campo di moto che risultano indispensabili
per un corretto impiego di altre (e più costose) tecniche di indagine (modulo e direzione locali della
velocità della corrente per il posizionamento di sonde, ecc.).
2 - Che cosa sono le visualizzazioni
Malauguratamente, la maggior parte dei fluidi, quali l'aria e l'acqua in condizioni normali, sono
mezzi uniformemente trasparenti alla luce ed il loro movimento rimane quindi invisibile all'occhio
umano durante l'osservazione diretta.
Prescindendo, per il momento, dalle caratteristiche specifiche delle varie tecniche, si può dire che la
visualizzazione di una corrente consiste nel rendere artificialmente visibile, ed eventualmente nel
registrare, la distribuzione spaziale e/o l'andamento temporale della velocità del fluido, oppure di
altre grandezze fisiche (quali, ad esempio, la densità) correlate al campo di moto in esame.
In certi casi, si tratta di riprodurre in modo controllato e possibilmente rigoroso quello che si
verifica spesso in natura per la presenza di traccianti o indicatori naturali o artificiali nell'atmosfera
(nubi, fumo, foglie, scie di condensazione di aviogetti, movimento di alberi ecc.) o nell'acqua (scie a
valle di corpi immersi, bolle di cavitazione, onde di superficie).
Tralasciando le correnti di fluidi dotati di caratteristiche fisiche particolari, quali i fluidi e le
sospensioni birifrangenti, e concentrando l'attenzione sui fluidi più diffusi, quali l'aria e l'acqua, ciò
può essere fatto:
- o introducendo nella corrente in esame delle sostanze traccianti che, grazie a particolari proprietà
ottiche, si prestino all'osservazione visiva (diretta o meno),
- oppure sfruttando fenomeni ottici già naturalmente presenti nella corrente in esame, e che
comportano variazioni locali dell'indice di rifrazione del fluido.
Le più comuni tecniche di visualizzazione possono essere suddivise in sei classi principali:
1) quelle basate sull'immissione dall'esterno di traccianti solidi, liquidi o gassosi,
2) quelle che sfruttano reazioni chimiche per produrre i traccianti direttamente in seno al fluido
(dall'esterno può essere fornita soltanto l'energia necessaria per il compiersi di tali reazioni),
3) quelle in cui il tracciante è costituito da elevate quantità di energia (termica o elettrica),
presenti naturalmente o immesse nella corrente dall'esterno,
4) le visualizzazioni di correnti supersoniche basate sull'analogia idraulica,
5) le tecniche di visualizzazione su superfici solide,
6) i cosiddetti "metodi ottici", che non richiedono l'immissione di alcun tipo di tracciante, ma
sfruttano i fenomeni ottici associati alla comprimibilità naturale del fluido (questi ultimi sono
evidentemente applicabili alle sole correnti di fluidi comprimibili).
Indipendentemente dal metodo impiegato, tutte le tecniche di visualizzazione comportano l'impiego
di opportuni dispositivi di illuminazione e, eventualmente, di ripresa e di registrazione permanente
delle immagini ottenute. Il termine "visibile" va inteso infatti in senso lato, ovvero non limitato alla
sola visibilità diretta consentita dall'occhio umano.
Alcuni fenomeni ottici sfruttati nelle tecniche di visualizzazione risultano infatti "visibili" soltanto
se illuminati con particolari sorgenti luminose (stroboscopiche, ultraviolette, laser, ecc.) e/o se
registrati a velocità molto superiori a quelle consentite dalla visione dell'occhio (fotografia e
cinematografia ad alta velocità), oppure su emulsioni fotografiche aventi una sensibilità alle
radiazioni luminose diversa da quella dell'occhio (ad es. sensibilità all'infrarosso o all'ultravioletto).
Si deve tener presente che, variando la tecnica di ripresa di una corrente inseminata con particelle o
conb fluidi traccianti, si possono evidenziare grandezze del tutto diverse. La visualizzazione delle
linee di flusso, ad esempio, richiede una ripresa fotografica con tempo di esposizione relativamente
breve, ma non brevissimo (V. Van Dyke, pag.12-21), mentre quella di una traccia richiede un
tempo di ripresa il più breve possibile. Per la traiettoria di una singola particella sono invece
necessari, o una sequenza di riprese fotografiche, oppure una ripresa cinematografica.
Se la corrente non è stazionaria, la scelta del tipo di tracciante (ad esempio, discreto o continuo),
delle modalità di immissione nella corrente (diffusa o localizzata) e della tecnica di ripresa sono
Parte 13 - pag. 2
pertanto fondamentali, dal momento che linee di flusso, tracce e traiettorie delle particelle fluide
forniscono informazioni completamente diverse (e complementari).
E' forse opportuno richiamare qui le definizioni di traiettorie, linee di flusso e tracce.
Si definisce traiettoria istantanea di una particella di fluido (in inglese particle path), all'istante , il
luogo delle posizioni occupate dal suo baricentro, nell'intervallo di tempo finito compreso tra un
istante iniziale e l'istante .
La traiettoria di una particella di fluido può essere quindi visualizzata soltanto usando una singola
particella tracciante, discreta, e registrandone (cinematograficamente o fotograficamente) il
percorso compiuto nell'intervallo tra
e .
Si definisce linea di corrente o di flusso istantanea (in inglese streamline), all'istante , ogni linea
che abbia in ciascuno dei suoi punti tangente parallela al vettore velocità istantanea 1.
Tale definizione implica che il trasporto di massa in direzione normale alle linee di flusso sia nullo.
Le linee di corrente sono le ∞2 soluzioni del sistema differenziale del primo ordine:
dx
dz
dy
=
=
v x (x,y,z,t ) v y (x,y,z,t ) v z (x,y,z,t )
Le linee di flusso in una corrente 2 possono essere visualizzate inseminando uniformemente la
corrente con una opportuna concentrazione di piccole particelle discrete e fotografandole con un
€
€ ciascuna €di esse venga
tempo di esposizione tale che
registrata sulla pellicola come un breve
trattino, le cui orientazione e lunghezza indicano, rispettivamente, la direzione ed il modulo della
velocità locale istantanea: le linee di flusso si ottengono tracciando le curve tangenti a questi trattini.
Se poi si adotta una sorgente luminosa di intensità (o colore) variabile nel corso dell'esposizione, è
possibile individuare anche il verso locale e istantaneo della corrente.
Da quanto detto si deduce che non è affatto possibile risalire alle linee di flusso con l'uso di
traccianti continui (a meno che, ovviamente, il moto non sia stazionario).
Si definisce infine traccia istantanea (in inglese filament line), all'istante , il luogo delle posizioni
occupate dalle particelle di fluido che sono transitate per un medesimo punto fisso
del campo di
moto, nell'intervallo di tempo finito compreso tra un istante iniziale
e . Ad ogni istante
,
le tracce sono pertanto le ∞3 linee d'equazione parametrica vettoriale
, equivalente alle
tre equazioni scalari:
x = x(x o ,y o ,z o ,t) ,
y = y(x o ,y o ,z o ,t) ,
z = z(x o ,y o ,z o ,t)
Una traccia può essere visualizzata immettendo nel punto un tracciante continuo oppure discreto,
a partire dall'istante
, e registrandone fotograficamente la distribuzione spaziale nell'istante 3
€
€
€
Le definizioni sopra riportate sono valide per un osservatore fisso con il sistema di riferimento del
laboratorio, ovvero solidale con il dispositivo attraverso il quale i traccianti sono immessi nella
corrente. Del tutto diverso è l'aspetto delle linee di flusso o di corrente se l'osservatore è in moto
relativo rispetto a tale sistema di riferimento. A questo proposito è opportuno citare un lavoro di
Hama (1962) in cui si descrivono le linee di flusso e le tracce in una corrente piana viscosa
perturbata con onde sinusoidali, registrate con un'apparecchiatura fotografica fissa, oppure in
movimento rispetto al riferimento del laboratorio (Figura 2.1). Egli mostra chiaramente, tra l'altro,
come il moto non-stazionario possa apparire perfettamente stazionario ad un osservatore che si
muova alla stessa velocità con cui si propagano le onde di perturbazione nel fluido.
1
2
3
Nel caso di visualizzazione sulla superficie di corpi, si parla di linee di flusso (o di corrente) limite, o di linee di
sforzo.
Si ricordi che, nel caso di correnti tridimensionali, per conoscere traiettorie, tracce e linee di flusso sono necessarie
almeno due riprese, ottenute da punti di vista distinti.
Si noti che può essere un istante anche successivo a quello di eventuale cessazione dell'immissione di tracciante.
Parte 13 - pag. 3
Figura 2.1
Propagazione di onde sinusoidali nella corrente a pelo libero in un canale. (a)
Linee di corrente viste da un osservatore solidale con la parete fissa e (b) in
movimento alla velocità di propagazione delle onde. (c) Traccia vista da un
osservatore solidale con la parete fissa (da Hama, '62).
3 - Traccianti solidi, liquidi e gassosi
La prima classe di tecniche di visualizzazione comprende, come si è detto, quei metodi basati
sull'immissione nella corrente di sostanze traccianti solide, liquide o gassose.
Rientrano in questa categoria tutte le tecniche più comuni per lo studio di correnti incomprimibili
che fanno uso di:
- immissione localizzata di miscele o sospensioni colorate in acqua, quali, ad esempio, miscele di
latte condensato, alcool e coloranti alimentari, o di coloranti, fluorescenti o meno, in emulsioni di
olii siliconici, quali il Rhodorsil (Figura 3.1),
Figura 3.1
Tracce di colorante in un vortice all'interno di un condotto circolare con asse
rettilineo. Fluido: acqua. Tracciante: colorante alimentare (da Sarpkaya, 1971).
- immissione localizzata di fumo in aria (ad esempio, fumo da combustione di sostanze contenenti
cellulosa, o da evaporazione di olii minerali leggeri, come mostrato in Figura 3.2),
- immissione diffusa di fumo in aria, con illuminazione a piani di luce;
- immissione localizzata o diffusa di bollicine di sapone riempite di elio in aria,
- immissione diffusa di bollicine di gas in acqua, con illuminazione a piani di luce;
e, al limite, possono considerarsi traccianti solidi (sebbene vincolati alla superficie del corpo in
esame, oppure ad una griglia di supporto) anche i sottili fili di lana che possono essere utilizzati in
correnti liquide o gassose (Figura 3.3).
Parte 13 - pag. 4
a)
b)
Figura 3.2
a): Tracce di fumo nella corrente d'aria attorno ad un profilo alare (da Ed.Serv.Inc)
b): Generatore di fumo a paraffina di Preston e Sweeting (da Bradshaw, 1970).
Figura 3.3
Visualizzazione dei vortici a valle di un'ala a delta ottenuta per mezzo di fili di lana
sostenuti da una griglia ortogonale alla corrente, posta nella scia.
I traccianti devono essere ovviamente visibili e, se le dimensioni delle particelle di cui essi sono
composti sono sufficientemente piccole, si può ipotizzare che il moto di tali particelle, in termini di
modulo e direzione istantanee del vettore velocità, approssimi quello delle particelle di fluido.
Queste tecniche di visualizzazione sono pertanto dei metodi indiretti in cui si osserva il moto del
tracciante in luogo di quello, invisibile, del fluido. Come già detto, però, questa costituisce
un'approssimazione e, sebbene lo scarto tra il moto del tracciante e quello del fluido possa essere
minimizzato, adottando particelle con densità e dimensioni opportune, esso non può mai essere
Parte 13 - pag. 5
completamente annullato. Se poi sono presenti gradienti delle variabili di stato termodinamico
(come, ad esempio, nelle correnti comprimibili), bisogna tenere conto anche del fatto che le
proprietà termodinamiche del tracciante possono essere alquanto diverse da quelle del fluido.
Pertanto, nel caso di correnti non-stazionarie e con gradienti significativi delle variabili
fluidodinamiche (ovvero, di fatto, in tutte le correnti di maggior interesse pratico e scientifico), la
visualizzazione del moto, pur insostituibile ed estremamente efficace, si rivela tutt'altro che banale e
comporta il ricorso a procedure e a dispositivi molto più complessi di quanto si possa immaginare.
Fluido in esame
Colorante
Autori
acqua
latte
Werlé, 1960; Werlé e Gallon, 1972
acqua salata
latte
Simpson, 1972
acqua
coloranti alimentari
Sarpkaya, 1971; Maxworthy, 1972
soluzione di polimeri in acqua
coloranti alimentari
Danohue et al., 1972
acqua
inchiostro da stampa bianco
Martin e Lodwood, 1964
acqua
crystal violet
Hide e Titman, 1967
acqua
viola genziana
Sullivan, 1971
acqua
nigrosina nera
Yeheskel e Kehat, 1971
acqua
blu di metile
McNaughton e Sinclair, 1966
soluzione zuccherina
anilina
Jayaweera e Mason, 1965
acqua
Rhodamine fluorescente
Csanady, 1963
acqua
fluorescina
Lewellen et al., 1966, Gaster, 1969
Tabella 3.1 Soluzioni coloranti usate per la visualizzazione delle tracce in correnti liquide.
Fluido
Particelle
Diametro
Campo applicazione
correnti a pelo libero
Autori
acqua
Hostaflon
acqua
alluminio
0.03÷0.1 mm transizione strato limite
Colac-antic e Görtler, 1970
acqua
cipria cosmetica
30 µm
Hasinger, 1968
acqua
polistirene
0.01÷0.2 mm scie
acqua salata
alluminio
acqua e glicerina polistirene
vortici
Brandone e Bernard, 1971
Wood, 1967
correnti stratificate
Martin e Long, 1968
correnti convettive
Douglas et al., 1972
olio siliconico
alluminio
0.03÷0.1 mm convezione naturale
Elder, 1965
aria
licopodio (seme)
30 µm
onde d'urto
Chen e Emrich, 1963
aria
goccioline d'olio
1 µm
onde d'urto
Chen e Emrich, 1963
aria
fumo di sigaretta
0.2 µm
onde d'urto
Chen e Emrich, 1963
aria
metaldeide
1 mm
galleria subsonica
Eicke e Wille, 1937
aria
olio atomizzato
1 µm
scie, vortici
Griffin e Votaw, 1973
aria
sferette di vetro
20 µm
galleria subsonica
Philbert e Boutier, 1972
aria
polvere di marmo
1 µm
galleria subsonica
Philbert e Boutier, 1972
elio
alluminio
2÷3 µm
ugelli supersonici
Fulmer e Wirtz, 1965
Tabella 3.2 Possibili combinazioni di fluidi e particelle traccianti per la misura della velocità.
Parte 13 - pag. 6
4 - Misura di velocità con particelle traccianti
Vale la pena di approfondire il problema della misura di velocità per mezzo di particelle traccianti,
che si riduce essenzialmente nel dare una risposta alla domanda: in quale misura una particella
segue il movimento del fluido in cui è stata immessa?
Esaminiamo, a titolo di esempio, il caso particolare del transitorio di accelerazione di una particella
tracciante immessa in una corrente con velocità nota, costante ed uniforme.
Ipotizziamo che la concentrazione di particelle traccianti sia sufficientemente bassa, di modo che
ogni singola particella abbia probabilità trascurabile di interagire con altre particelle e la presenza
del tracciante modifichi in misura trascurabile le proprietà fisiche del fluido in esame.
Ipotizziamo anche che le forze di campo e la massa apparente della particella siano trascurabili 4 e
supponiamo che questa sia immessa nella corrente con velocità iniziale nulla.
Assumiamo infine, in accordo con i dati riportati in Tabella 3.2, che il diametro della particella sia
estremamente piccolo 5 (dell'ordine di 10-1÷10-3 mm). Quest'ultima assunzione è fondamentale.
Innanzitutto, come risulterà chiaro nel seguito, soltanto un piccolo diametro, unito ad una velocità
relativa necessariamente ridotta, può produrre un elevato coefficiente di resistenza della particella
tracciante e, di conseguenza, garantire che, a parità di altre condizioni, essa seguirà fedelmente il
moto del fluido in cui è immessa. In secondo luogo, un piccolo diametro comporta, grazie all'azione
della tensione superficiale, che anche particelle gassose o liquide assumano una forma quasi
perfettamente sferica.
Sotto tali ipotesi, e denotando con
particella può essere scritta come:
la velocità della corrente, l'equazione del moto di una singola
Mp
dove: -
dU p
dt
=
2
1
ρf Ap C D U f − U p
2
(
(3.1)
)
è la massa della particella,
-
è la velocità istantanea
della particella,
€
è la velocità costante ed uniforme del fluido,
-
è il coefficiente di resistenza della particella, riferito all'area frontale
-
è la densità del fluido.
,
Per risolvere l'equazione del moto della particella sferica nell'incognita
, è quindi necessario
conoscerne il coefficiente di resistenza
, che è funzione della velocità relativa istantanea
attraverso il numero di Reynolds Re 6:
Re =
(
ρf dp U f − U p
µf
)
(3.2)
€
4
5
6
Queste ipotesi consentono indubbiamente di semplificare il problema, ma sono in contrasto reciproco e la loro
effettiva validità deve essere verificata caso per caso. La prima infatti è tanto più accettabile quanto più la densità
della particella approssima quella del fluido in cui è immersa (il peso è esattamente bilanciato dalla spinta idrostatica
soltanto quando tali densità coincidono); la seconda lo è invece nel caso in cui la densità della particella sia molto
maggiore di quella del fluido.
A rigore esiste anche un limite inferiore alle dimensioni delle particelle traccianti. Infatti, quando le loro dimensioni
tendono ad approssimare quelle delle singole molecole, esse sono soggette agli urti molecolari e descrivono delle
traiettorie a zig-zag (moti Browniani) che non rappresentano più il moto del fluido inteso come "continuo". Si tratta
in realtà di un limite di scarsa importanza pratica in quanto, qualora le dimensioni delle particelle fossero
confrontabili con quelle delle molecole, esse risulterebbero, di fatto, non più visibili.
Ovviamente, in generale, il coefficiente di resistenza dipende anche dal numero di Mach della corrente.
Parte 13 - pag. 7
Figura 3.1.1 Coefficiente di resistenza della sfera in funzione del numero di Reynolds basato sul
diametro, per Mach ≅ 0, riferito all'area frontale.  regime di Stokes,
.
Per sfere rigide 7, tale relazione è perfettamente nota 8 in un vasto campo di numeri di Reynolds ed è
riportata nel grafico di Fig. 3.1.1.
Il diagramma mostra che il coefficiente di resistenza della sfera è fortemente dipendente dal numero
di Reynolds. Per poter definire il coefficiente di resistenza
è quindi necessario stimare il valore
del numero di Reynolds, il quale dipende però dal valore istantaneo della velocità relativa, che è a
sua volta implicitamente dipendente dal coefficiente di resistenza
, secondo la (3.1).
Il problema può essere facilmente risolto se si impone che la corrente attorno alla particella sia in
regime di Stokes, ovvero abbia numero di Reynolds inferiore all'unità (o a qualche unità).
Questa imposizione può sembrare arbitraria, ma è invece perfettamente consistente con: a) l'aver
imposto alla particella di avere un diametro molto piccolo e b) l'esigenza (pena la completa inutilità
della visualizzazione) che la velocità relativa tra particella e fluido sia estremamente ridotta.
Quindi, nel caso particolare di regime di Stokes, in accordo con la legge  del diagramma 3.1.1, si
assume che:
Cd =
24
24µ f
=
Re ρ f d p U f − U p
(
)
(3.3)
e l'equazione di moto (3.1) diventa:
dU p
€
7
8
dt
=
18µ f
ρ p d 2p
(U f − U p )
(3.4)
A rigore, nel caso di gocce di liquido o di bolle gassose, il coefficiente dipende non solo dalla corrente esterna, ma
€
anche dai moti interni alla particella. Tale dipendenza può essere però trascurata qualora la loro viscosità sia
relativamente elevata, oppure il loro diametro sia molto piccolo.
Morsi e Alexander (1972) hanno verificato che il coefficiente di resistenza della sfera è approssimabile con una serie
di potenze di
, della quale è sufficiente considerare i soli primi tre termini:
purché i valori dei coefficienti della serie vengano adattati al particolare intervallo di numeri di Reynolds
considerato.
Parte 13 - pag. 8
Nell'ipotesi di
uniforme e costante, la soluzione della (3.4) è del tipo:
[
]
U p = U f 1− e−k(t−t 0 ) + U p 0 e−k(t−t 0 )
con
e, nel caso in cui la particella sia immessa nel fluido al tempo
ovvero U p 0 = 0€
, si ottiene:
[
U p = U f 1− e−kt
€
k=
18µ f
ρ p d 2p
(3.5)
con velocità iniziale nulla,
]€
(3.6)
La velocità della particella pertanto approssima quella del fluido con legge esponenziale e la sua
accelerazione è tanto più rapida quanto
più ridotte sono le sue dimensioni e la sua densità e quanto
€
maggiore è la viscosità del fluido in cui essa è immessa 9.
Si deve osservare che, nella presente trattazione, si sono tralasciati alcuni aspetti importanti, quali la
presenza di gradienti di velocità nella corrente.
Si consideri, ad esempio, l'istante iniziale di immissione di una particella sferica in una corrente
piana in direzione x, in cui sia presente un gradiente di velocità in direzione y. Sulla superficie
superiore della particella agiscono pressioni e sforzi tangenziali istantanei diversi da quelli che
agiscono sulla faccia inferiore: il gradiente di pressione esercita sulla particella una forza in
direzione normale ad x, mentre il gradiente di sforzo tangenziale produce una coppia che tende a
provocare una rotazione della particella.
Sebbene a regime tendano ad annullarsi sia il gradiente di pressione sia quello di sforzo tangenziale,
al contrario, durante il transitorio, la cui durata dipende dalla massa e dal momento d'inerzia della
particella, tali gradienti sono presenti in misura variabile e la traiettoria della particella può deviare
sensibilmente da quella rettilinea delle particelle di fluido.
Se i gradienti di velocità sono intensi, come nel caso di un vortice, le particelle traccianti sono
soggette ad una accelerazione radiale centrifuga (maggiore di quella agente sul fluido, se la loro
densità relativa è superiore a quella del fluido) e ad una accelerazione radiale centripeta dovuta
gradiente di pressione tra le sue superfici interna ed esterna, che sono entrambe funzioni piuttosto
complesse della sua velocità di rotazione istantanea. Anche in questo caso, pertanto, le traiettorie
delle particelle traccianti potranno differire sensibilmente da quelle del fluido (v. Fig. 3.1.2).
Gli effetti associati al diametro delle particelle traccianti e alla non uniformità della corrente sono
evidenti anche in figura 3.1.3, in cui sono riportate le traiettorie di particelle sferiche, calcolate
all'interno della corrente laminare stazionaria attorno ad un cilindro.
9
Si noti che, nella fase iniziale del moto della particella, i valori istantanei del termine
possono portare a
numeri di Reynolds anche superiori all'unità. In tal caso, la velocità della particella reale approssima quella del
fluido più rapidamente di quanto preveda l'equazione (3.6).
Parte 13 - pag. 9
Figura 3.1.2 Particelle con densità specifica pari a 2 in un vortice libero stazionario in acqua.
Diametro medio delle particelle 30 µm (da S.H.Hasinger, "An Experiment with
Particles in a Free Vortex", AIAA Journal, Vol. 6, No. 5, 1968).
Figura 3.1.3 Traiettorie di particelle traccianti sferiche nella corrente attorno ad un cilindro
circolare. Diametro del cilindro 25 mm, velocità 6 m/s, Re ≅10000, densità
particelle 1400 kg/m3. a) diametro particelle 100 µm, b) 10 µm (da Morsi e
Alexander, "An investigation of particle trajectories in two-phase flow systems",
Journal of Fluid Mechanics, vol. 55, part 2, 1972).
Parte 13 - pag. 10