QUANTITÀ DI MOTO 1. Introduzione Le domande di questa sezione

QUANTITÀ DI MOTO
Sommario. Questa è una serie di esercizi e problemi introduttivi. Gli obbiettivi principali sono due: capire cosa sono le grandezze «quantità di moto»,
«rapidità di variazione della quantità di moto» e «corrente di quantità di moto» (ed imparare a distinguerle tra loro) e imparare a scrivere l’equazione di
bilancio che regola la quantità di moto.
1. Introduzione
Le domande di questa sezione non richiedono calcoli, oppure solo calcoli molto
semplici. Sono importanti per verificare le informazioni ed i concetti di base.
1.1. Per cominciare.
(1) Qual è l’unità di misura della quantità di moto (simbolo px ) ?
(2) Qual è la relazione tra quantità di moto, massa e velocità di un corpo?
(3) L’unità di misura delle grandezze «rapidità di variazione della quantità
di moto» (simboli ṗx e dpx /dt, sono equivalenti tra loro) e «corrente di
quantità di moto (simbolo Ipx ) è la stessa. Qual è questa unità di misura?
Qual è la differenza tra queste due grandezze?
(4) Qual è la relazione tra dpx /dt, massa ed accelerazione?
(5) Cosa significa l’affermazione «la quantità di moto si conserva»?
(6) In quale caso la quantità di moto di un sistema è costante nel tempo?
Spiega e fai degli esempi concreti!
1.2. Qualche esercizio semplici per allenarsi.
(1) Determina la quantità di moto di un corpo di massa m nei casi che seguono.
(a) m = 2.5 kg e vx = +4.0 m/s;
(b) m = 4.8 kg e vy = −2.5 m/s;
(c) m = 5.0 kg e vx = −6.4 m/s, vy = 0 m/s, vz = +2.4 m/s.
(2) Per aumentare la velocità di un corpo di 15 m/s è necessario trasferirgli una
quantità di moto pari a 45 kg · m/s.
(a) Determina la massa del corpo.
(b) Supponi che lo stesso corpo si muova alla velocità di 30 m/s; determina
il tempo necessario per fermarlo se si è in grado di sottrargli 18 unità
di quantità di moto ogni secondo.
1.3. Due esempi.
(1) Nella figura 1.1 una palla viene lanciata e poi riafferrata al volo. Quando
la palla è in movimento contiene quantità di moto
(a) Da dove proviene la q.d.m. al momento del lancio (fig. 1.1a)? E dove
finisce al momento della presa (fig. 1.1b)?
(b) Qual è il ruolo della persona nelle due situazioni?
1
QUANTITÀ DI MOTO
(a)
2
(b)
Figura 1.1. Una palla viene lanciata ed afferata.
(2) Considera la situazione illustrata in figura 1.2 (e leggi la didascalia!) e
rispondi a queste domande?
(a)
(b)
Figura 1.2. Due persone sono in piedi, immobili, su una pista
di pattinaggio (possiamo considerare trascurabile l’attrito). Ad
un certo punto una delle due (Magda) spinge il compagno (Eric):
Eric si mette in movimento verso destra e Magda in movimento
verso sinistra. Orientiamo l’asse x da sinistra verso destra come di
consueto.
(a) Quanto vale la q.d.m. del sistema «Magda+ Eric» prima della spinta?
(b) Spiega perche possiamo considerare isolato il sistema, per quanto riguarda la q.d.m. orizzontale.
(c) Quanto vale la q.d.m. del sistema dopo la spinta?
(d) Si sa che mMagda = 54 kg e mEric = 85 kg. Dopo la spinta Eric procede
alla velocità di 1.2 m/s. A quale velocità si muove Magda dopo la
spinta?
(e) Descrivi lo scambio di quantità di moto orizzontale. Si sa che la spinta
dura 3.0 · 10−1 s: calcola la corrente di q.d.m. scambiata tra i due
durante la spinta.
(f) Supponi ora che sia stato Eric a spingere Magda. Cosa cambia, e cosa
non cambia, rispetto alla situazione precedente.
QUANTITÀ DI MOTO
3
1.4. Soluzioni. Per gli esercizi numerici vengono mostrati i passaggi solo se comportano qualche difficoltà.
1.4.1. Per cominciare.
(1) 1 Hy = 1 kg · ms
(2) La relazione costitutiva è espressa dall’uguaglianza
px = mvx
(e analoghe per le componenti y e z).
(3) dpx /dt è la rapidità con cui cambia la quantità di moto del sistema; Ipx è
la rapidità con la quale il sistema scambia quantità di moto con l’ambiente attraverso una porzione della sua frontiera; l’unità di misura delle due
grandezze è Hy/s = kg · sm2 = N.
(4) Partendo dalla relazone costitutiva otteniamo l’uguaglianza
dvx
dpx
=m
dt
dt
(e analoghe per le componenti y e z). Controlla le unità di misura!
(5) Significa che non si crea né si distrugge, e quindi che può cambiare all’interno del sistema solo se il sistema scambia quantità di moto con l’ambiente.
(6) La quantità di moto di un sistema è costante nel tempo in due casi:
(a) quando il sistema è isolato (ad esempio un sistema di corpi in movimento su un piano orizzontale privo di attrito è isolato per quanto
riguarda la q.d.m. orizzontale).
(b) quando entra q.d.m. tanto rapidamente quanto esce: ad esempio il caso
di una persona che spinge una cassa su un piano a velocità costante;
in questo caso la q.d.m. passa da Terra a cassa attraverso l’apparato
locomotore e da cassa verso Terra attraverso l’interfaccia di contatto.
1.4.2. Qualche esercizio semplice per allenarsi.
(1) (a) px = +10 Hy. (b) px = −12 Hy. (c) px = −32 Hy; py = 0 Hy; pz =
+12 Hy.
p(scamb.)
(2) (a) m = x4vx = 4515kg·m/s
= 3.0 kg. (b) Il corpo ha quantità di moto
m/s
90 Hy
px = 90 Hy, e al ritmo di 18 Hy
s occorrono 18 Hy/s = 5.0 s.
(3) La quantità di moto iniziale del primo corpo è pari a 42 kg · m/s, quella del
secondo corpo è pari a 0 unità; il corpo che si forma, pertanto, possiede 42
unità di quantità di moto (perché il sistema è isolato) e ha massa pari a
kg·m/s ∼
9.2 kg; la velocità di questo corpo quindi è vx = 429.2
= 4.6 m/s.
kg
1.4.3. Due esempi.
(1) Ricordiamo che la q.d.m. non può essere creata né distrutta.
(a) Proviene dalla Terra nel momento del lancio e finisce alla Terra nel
momento della presa.
(b) La persona è il tramite per il trasferimento di q.d.m. Dal punto di vista
dell’analogia idraulica, si comporta come un condotto nel momento
della presa e come una pompa idraulica nel momento del lancio.
(2) Questo problema porta la nostra attenzione sul fatto che la quantità di
moto può essere sia positiva sia negativa.
(a) 0 Hy, perché sono entrambi fermi.
QUANTITÀ DI MOTO
4
(b) È isolato perché in orizzontale non agiscono né l’attrito con il ghiaccio
né altre forze (ossia non ci sono scambi di q.d.m orizzontale con l’ambiente). Ricordiamo che le forze sono la misura della rapidità dello
scambio di q.d.m. tra sistema ed ambiente.
(c) Ancora 0 Hy perché il sistema «Magda+Eric è isolato».
(d) Si deve risolvere l’equazione
m
54 kg · vx + 85 kg · 1.2
= 0 Hy
s
(vx è la velocità di Magda dopo la spinta). La soluzione è
m
vx ∼
= −1.9
s
La velocità è negativa perché Magda si muove nel verso negativo
dell’asse x.
(Eric)
(Magda)
=
= −102 Hy e 4px
(e) Osserviamo che in seguito alla spinta 4px
+102 Hy: questo significa che 102 Hy passano da Magda ad Eric durante la spinta. La corrente di q.d.m. (media) durante la spinta
vale
102 Hy
Hy
Ip(spinta)
=
= 34
= 34 N
x
3.0 · 10−1 s
s
(f) La spinta di Eric potrebbe avere un’intensità diversa (più forte perché
Eric è presumibilmente più forte, o più debole perché è una persona
dall’animo gentile) ma in ogni caso la q.d.m. passerebbe da Magda ad
Eric.
2. Collisioni ed esplosioni
Le domande di questa sezione riguardano situazioni che sono in stretta analogia
con l’esempio dei vasi comunicanti.
2.1. Collisioni anelastiche. I prossimi esercizi si riferiscono alla figura 2.1
Figura 2.1. Il proiettile e la cassa formano un sistema isolato.
Durante la collisione il proiettile penetra per una distanza l nell’interfaccia plastica, fino a quando i due corpi ne formano uno
solo.
QUANTITÀ DI MOTO
5
(1) Un corpo di massa m1 = 8.4 kg si muove alla velocità v1x,in = 5.0 m/s e,
ad un certo punto, urta un corpo immobile di massa m2 = 8.0 · 10−1 kg,
ed i due rimangono collegati. Determina la velocità finale del corpo che si
forma, supponendo che il sistema sia isolato.
(2) Un corpo di massa m1 = 8.4 kg si muove alla velocità vx = 5.0 m/s e viene
urtato da un proiettile di massa m2 = 8.0 · 10−1 kg, ed i due rimangono collegati. Prima dell’urto il proiettile aveva quantità di moto p2,x = −50 Hy.
Il sistema costituito dal corpo e dal proiettile è isolato. Durante la collisione
il proiettile penetra per 2.4 cm nell’interfaccia plastica del blocco.
(a) Determina la velocità del proiettile prima della collisione.
(b) Determina la quantità di moto del corpo che si forma con la collisione.
(c) Determina la velocità del corpo che si forma con la collisione.
(3) Due corpi, uno di massa m1 = 2.00 kg e velocità v1,x = +8.00 m/s, l’altro
di massa m2 = 5.00 kg e velocità v2,s = −4.00 m/s, si muovono l’uno contro
l’altro e formano un sistema isolato. In seguito alla collisione formano un
corpo unico.
(a) Determina la velocità di questo corpo.
(b) Determina la quantità di moto trasferita dal corpo 1 al corpo 2.
(c) Determina la durata della collisione.
(d) Determina la corrente di q.d.m. scambiata tra i due corpi durante la
collisione e scrivi le equazioni di bilancio.
2.2. Esplosioni. Il genere di esplosione semplificata che prendiamo in considerazione in questi esercizi e problemi è rappresentata in figura 2.2
Figura 2.2. Un corpo in movimento esplode suddividendosi in
due frammenti. La distanza l tra i due frammenti alla fine
dell’esplosione verrà chiamata «separazione» dei frammenti.
(1) Una bomba di massa m = 6.0 kg si muove alla velocità di +50 m/s e ad
un certo punto esplode suddividendosi in due frammenti di massa l’uno il
doppio dell’altro (il frammento di massa minore è la parte anteriore della
bomba). Durante l’esplosione vengono trasferite 500 unità di quantità di
moto dal frammento piccolo a quello grande.
(a) Determina la velocità finale dei due frammenti.
(b) Si sa che la separazione a fine esplosione è pari a 5.4 cm: determina la
durata dell’esplosione.
QUANTITÀ DI MOTO
6
(2) Un carrello si muove alla velocità di 36 m/s e ad un certo istante espelle un
proiettile in verso opposto; Il carrello e il cannone (senza proiettile) hanno
massa pari a 120.0 kg, il proiettile ha massa pari a 8.0 kg. La lunghezza del
cannone è di 84 cm.
Figura 2.3. In questo meccanismo di propulsione il carrello
avanza verso destra sparando proiettili verso sinistra.
Dopo che il proiettile è stato espulso la velocità del carrello è di 54 m/s.
(a) Determina la velocità con la quale il proiettile esce dal cannone.
(b) Determina la q.d.m. scambiata tra i due corpi.
(c) Determina la durata del processo.
2.3. Soluzioni.
2.3.1. Collisioni anelastiche. Per studiare questi problemi dobbiamo anzitutto tracciare il grafico delle velocità dei due corpi in funzione del tempo.
(1) vx,fin ∼
= 4.5 m/s.
(2) La quantità di moto totale si mantiene costante perché il sistema è isolato.
(a) vx,proiettile = −6.25 ms .
(b) px,sistema = −8 Hy, e coincide con la quantità di moto del corpo che si
forma.
kg·m/s ∼
(c) La velocità richiesta è −89.2
= −0.9 ms .
kg
(3) Se orientiamo l’asse x da sinistra verso destra, il corpo 1 si trova a sinistra.
p1x,in = +16.0 Hy
p2x,in = −20.0 Hy
px,sistema = −4.0 Hy
kg·m/s ∼
(a) vx,fin = −4.0
= −0.57 ms .
7.0 kg
∼
(b) p1x,fin = −1.14 Hy, 4p1x ∼
= −17.1 Hy;
p2x,fin ∼
= −2.86 Hy, 4p2x ∼
= +17.1 Hy;
vediamo così che si trasferiscono 17.1 Hy dal corpo 1 al corpo 2.
QUANTITÀ DI MOTO
7
(c) Studiando il grafico delle velocità in funzione del tempo vediamo che
1 m
12 4t = 2.4 cm
2
s
e quindi 4t = 4.0 · 10−3 s.
(d) Dobbiamo dividere la q.d.m. scambiata tra i due corpi durante la
collisione per la durata del processo:
(sc.)
Ipx =
px
Hy
∼
= 4.3 · 103
4t
s
Le equazioni di bilancio sono
2.00 kg · a1x ∼
= −4.3 · 103 N
2.00 kg · a2x ∼
= +4.3 · 103 N
Con queste equazioni possiamo determionare le accelerazioni dei corpi;
le stesse accelerazioni possono essere determinate come di consueto con
la relazione ax = 4vx /4t: verificate che i risultati coincidono.
2.3.2. Esplosioni. Anche per risolvere i problemi sulle esplosioni dobbiamo anzitutto costruire il grafico delle velocità in funzione del tempo.
(1) Orientiamo l’asse x da sinistra a destra; il frammento a sinistra ha massa
m1 = 4.0 kg, il frammento a destra ha massa m2 = 2.0 kg.
(a) px1,in = +200 Hy, px2,in = +100 Hy.
px1,fin = −300 Hy, px2,fin = +600 Hy.
m
vx1,f in = −75 ms , vx2,fin
= +300 s .
1
m
m
(b) 2 300 s − −75 s 4t = 5.4 cm ⇒ 4t ∼
= 2.9 · 10−4 s
(2) Orientiamo l’asse x da sinistra verso destra; indichiamo con «1» il sistema
carrello+ cannone e con «2» il proiettile.
(a) La q.d.m. orizzontale del sistema è costante:
m
m
120.0 kg · 54 + 8.0 kg · v2x = 128.0 kg · 36
s
s}
|
{z
} |
{z
dopo
prima
La velocità richiesta è v2x ∼
= −234 m/s.
(b) Determiniamo la variazione di q.d.m delle due parti:
m
m
4p1x = 120.0 kg · 54 − 36
= +2160 Hy
s
s m
m
= −2160 Hy
4p2x ∼
= 8.0 kg · −234 − 36
s
s
3
Vediamo così che 2.16·10
Hy passano dal proiettile al resto del sistema.
1
m
m
(c) 2 54 s − −234 s 4t ∼
= 84 cm ⇒ 4t ∼
= 5.8 · 10−3 s
3. Equazione di bilancio
L’obbiettivo principale di questa sezione è imparare a scrivere l’equazione di
bilancio per la q.d.m in alcune situazioni concrete.
QUANTITÀ DI MOTO
8
3.1. Spinta e traino, sostegno e attrito. La spinta ed il traino vengono mediato
da un motore che collega Terra al corpo in movimento.
Nelle situazioni mostrate il motore è l’apparato locomotore di un essere umano;
per semplicità non ci occuperemo della dinamica di questo motore: ciò significa che
lo considereremo solo un tramite di q.d.m. e non ci preoccuperemo del fatto che
anch’esso può accumularne.
Indicheremo con N la forza (corrente di q.d.m.) di sostegno e con A la forza di
attrito. La spinta verrà indicata con T perché comporta sempre un qualche tipo di
tensione. Ricordiamo che la corrente di gravità si calcola con la relazione
Ip(gr.)
= mg
x
dove g è il campo di gravità terrestre:
N
g∼
= 9.8
kg
Per scrivere le equazioni di bilancio è utile, in primo luogo, tracciare tutte le correnti
sui disegni.
(1) Considera la situazione illustrata in figura 3.1.
(a) Scrivi le equazioni di bilancio per entrambi i corpi.
(b) Determina il sostegno subito dal blocco inferiore.
(c) Supponi che il blocco superiore aderisca al blocco inferiore senza strisciare. Determina la forza di attrito che lo mantiene in movimento.
(d) Supponi ora che la forza di attrito che mantiene in movimento il blocco
superiore sia pari a soli 15 N. Determina l’accelerazione dei due corpi.
(2) Scrivi le equazioni di bilancio per la situazione illustrata in figura 3.2
(3) Scrivi le equazioni di bilancio per la situazione illustrata in figura 3.3
3.2. Problemi di una certa gravità. In questi problemi un sistema di corde a
carrucole collega corpi in movimento.
(1) Una ragazza è in piedi su una bilancia in ascensore (figura 3.4).
(a) Scrivi le equazioni di bilancio per entrambi i corpi (l’ascensore e la
ragazza).
(b) Quanto vale il sostegno sulla ragazza se l’accelerazione dell’ascensore
è pari a +2.5 m/s2 ? E la tensione della fune?
(c) L’accelerazione dell’ascensore è pari a −1.8 m/s2 . Quanto vale la massa
misurata dalla bilancia?
(2) Il congegno illustrato in figura 3.5 è chiamato «macchina di Atwood».
(a) Determina l’accelerazione dei due corpi.
(b) Determina la tensione della fune.
(c) Quanto varrebbe l’accelerazione se le due masse fossero uguali?
(3) Considera la situazione descritta in figura 3.6. Qual è la forza di attrito
necessaria per mantenere il blocco superiore collegato al blocco inferiore?
(4) Considera la situazione descritta in figura 3.7. Qual è la massa misurata
dalla bilancia?
(5) Considera la situazione descritta in figura 3.8
(a) Scrivi le equazioni di bilancio per tutti e quattro i corpi.
(b) Determina le masse misurate dalle due bilance.
QUANTITÀ DI MOTO
9
3.3. Caduta libera. L’equazione di bilancio un corpo che cade (o sale) in aria è
maz = −mg + attrito
se possiamo trascurare l’attrito dell’aria l’equazione diventa semplicemente
maz = −
mg
e possiamo così concludere che l’accelerazione di un corpo in caduta libera è
m
ac.l. ∼
= −9.8 2
s
(in queste equazione l’asse z è orientato verso l’alto).
I due problemi che seguono sono importanti per capire la dinamica della caduta
libera.
(1) Studiamo la situazione descritta in figura 3.9.
(a) Determina il tempo di caduta e la velocità di impatto.
(b) Determina l’accelerazione del proiettile durante l’impatto.
(c) Determina la corrente di q.d.m. che fluise dal suolo verso il proiettile
durante l’impatto.
(2) Studiamo la situazione descritta in figura 3.10 .
(a) Determina la spinta esercitata dal cannone sul proiettile.
(b) Determina l’altezza massima che raggiunge il proiettile.
3.4. Soluzioni.
3.4.1. Spinta e traino, sostegno e attrito.
(1) Indichiamo con a1x e a2x le accelerazioni orizzontali dei due corpi. Si tenga
presente che le accelerazioni verticali di entrambi i corpi sono pari a 0 m/s2 .
(a) Le equazioni di bilancio sono
m1 a1x = T − A1 − A2
m2 a2x = +A2
II1, x
II2, x
0 = +N1 − N2 − m1 g
II1, z
0 = +N2 − m2 g
II2, z
(b) Il sostegno sul blocco superiore è
N2 ∼
= 118 N
(si ricava dalla quarta equazione). Sostituendo questo valore nella
terza troviamo
N1 ∼
= 647 N
(c) Trovare la risposta a questa domanda è relativamente complicato: dobbiamo, in primo luogo, determinare la accelerazioni dei corpi.
Nella situazione indicata le due accelerazioni sono uguali. Indichiamo con a il loro valore comune. Le prime due equazioni di bilancio
diventano
54 kg · a = 180 N − 20 N − A2
II1, x
12 kg · a = +A2
II2, x
QUANTITÀ DI MOTO
10
Sommando queste equazioni membro a membro otteniamo
66 kg · a = 160 N
II (sistema) , x
e quindi
m
s2
Ora possiamo sostituire questo valore nella seconda equazione:
A2 ∼
= 29 N
a∼
= 2.42
(d) Tutte le forze orizzontali sono ora conosciute, e possiamo usare dirattemente le equazioni di bilancio per determinare le accelerazioni:
54 kg · a1x = 180 N − 20 N − 15 N II1, x
12 kg · a2x = +15 N
II2, x
I valori cercati sono pertanto
m
s2
m
a2x = +1.25 2
s
Notiamo che a1x > 2.42 m/s2 , perché il corpo 1 è meno rallentato
rispetto a prima dall’attrito, e che a2x < 2.42 m/s2 , perché il corpo 2
è meno accelerato.
(2) Indichiamo (come prima) con a1x e a2x le accelerazioni orizzontali dei due
corpi. Si tenga presente che le accelerazioni verticali di entrambi i corpi
sono pari a 0 m/s2 .
Le equazioni di bilancio sono ancora
a1x = +2.87
m1 a1x = T − A1 − A2
II1, x
m2 a2x = +A2
II2, x
0 = +N1 − N2 − m1 g
II1, z
0 = +N2 − m2 g
II2, z
Si noti che da questo punto di vista non c’è nessuna differenza con il caso
della spinta.
(3) L’accelerazione orizzontale e quella verticale del corpo sono pari a 0 m/s2 .
Le equazioni di bilancio sono
0=T −N
II1, x
0 = +A − mg
II2, z
si noti che attrito e sostegno si sono scambiati di ruolo: ora è l’attrito a
contrastare la gravità (questo perché il piano di appoggio è verticale).
3.4.2. Problemi di una certa gravità.
(1) Indichiamo con az l’accelerazione verticale dell’ascensore (e quindi anche
della ragazza), con N il sostegno dell’ascensore sulla ragazza e con T la
tensione del cavo.
(a) Le equazioni di bilancio sono
m1 az = +N − m1 g
II1, z
m2 az = T − N − m2 g
II2, z
QUANTITÀ DI MOTO
11
(il bilancio in orizzontale è inutile, si riduce all’identità 0 ≡ 0).
(b) Dalla prima equazione ricaviamo
∼ 689 N
N = m1 (g + az ) =
Sostituiamo questo valore nella seconda equazione:
T = m2 (g + az ) + N ∼
= 7.33 kN
(1 kN = 1000 N).
(c) Dalla prima equazione ricaviamo
N = m1 (g + az ) ∼
= 409 N
per ricavare la massa misurata è sufficiente dividere per il campo di
gravità:
m∼
= 42 kg
(è come se l’ascensore fosse fermo e la ragazza avesse una massa di
42 kg).
(2) Indichiamo con T la tensione della fune. Osserviamo che
a1z = +a
a2z = −a
(l’asse z è orientato verso l’alto).
(a) Le equazioni di bilancio sono
m1 a = T − m1 g
II1, z
m2 (−a) = T − m2 g
II2, z
(b) Se sottraiamo la seconda equazione dalla prima otteniamo
(m1 + m2 ) a = (m2 − m1 ) g
A questo punto basta sostituire i valori:
m
a∼
= 3.92 2
s
(c) Sostuiamo il valore dell’accelerazione in una qualsiasi delle due equazioni per determinare la tensione della fune:
T ∼
= 37.1 N
(meglio sostituire in entrambe: deve risultare lo stesso valore, e questa
è una verifica del risultato).
(d) Sostituiamo il valore comune m al posto delle due masse:
ma = T − mg
II1, z
m (−a) = T − mg
II2, z
sottraiamo nuovamente le due equazioni:
2ma = 0
Come si poteva intuire facilmente in questo caso i due corpi non accelerano. Potrebbero però ancora muoversi a velocità costanti uguali in
valore assoluto: il corpo 1 in salita e il 2 in discesa.
(3) Indichiamo con A2 la forza di attrito sul blocco inferiore e con A3 la forza
di attrito sul blocco superiore.
QUANTITÀ DI MOTO
12
(4) Scriviamo in primo luogo le equazioni di bilancio:
m1 (−a) = T − m1 g
II1, z
m2 a = T − A2 − A3
II2, x
m3 a = +A3
II3, x
Sommiamo la seconda equazione con la terza e sottraiamo la prima:
(m1 + m2 + m3 ) a = m1 g − A2
Sostituendo i dati otteniamo il valore dell’accelerazione:
m
a∼
= 4.3 2
s
Ora sostituiamo questo valore nella terza equazione:
A3 ∼
= 12 N
Questo è il valore rischiesto nel problema.
(5) Indichiamo con T la tensione della fune e con N il sostegno dell’ascensore
sulla persona.
Le equazioni di bilancio sono
m1 a = T − m1 g
II1, z
m2 (−a) = T − N − m2 g
II2, z
m3 (−a) = +N − m3 g
II2, z
Procedendo compe prima troviamo
(m1 + m2 + m3 ) a = (m2 + m3 − m1 ) g
e quindi
m
s2
Sostituiamo ora questo valore nella terza equazione:
N = m3 (g − a) ∼
= 272 N
a∼
= 6.5
La massa indicata, pertanto, è pari a 28 kg.
(6) Indichiamo con T la tensione della fune, con N2 il sostegno dell’ascensore
su Hulk e con N4 il sostegno dell’ascensore su Suzie. Orientiamo come di
consueto l’asse z verso l’alto: ci aspettiamo che Hulk abbia un’accelerazione
negativa e che Suzie abbia un’accelerazione positiva, e quindi poniamo
a2z = −a
a4z = +a
(a) Le equazioni di bilancio sono
m1 (−a) = T − NA − m1 g
II1, z
m2 (−a) = +NA − m2 g
II2, z
m3 a = T − NB − m3 g
II3, z
m4 a = +NB − m4 g
II4, z
(b) Procedendo come prima vediamo che l’accelerazione è
m
a∼
= 3.28 2
s
la massa misurata di Hulk è 359 kg mentre quella di Suzie è 72 kg.
QUANTITÀ DI MOTO
13
3.4.3. Caduta libera. In questi problemi l’asse z è sempre orientato verso l’alto e
z = 0 m al suolo, e trascureremo (anche se non è del tutto realistico) l’attrito
dell’aria.
(1) L’altezza del proiettile in funzione del tempo durante la cadura libera è
m
z (t) = 320 m − 4.9 2 t2
s
mentre la velocità in funzione del tempo nella stessa fase è
m
vz (t) = −9.8 2 t
s
(a) Per trovare il tempo di caduta risolviamo l’equazione
m
320 m − 4.9 2 t2 = 0
s
la soluzione è t ∼
= 8.1 s; la velocità di impatto è vz = −79.2 m/s.
(b) Supponiamo che l’accelerazione del proiettile durante l’impatto sia costante; costruendo il grafico della velocità in funzione del tempo in
questa seconda fase vediamo che
1
m
−79.2
4t = −1.80 m
2
s
(4t è la durata dell’impatto). Vediamo così che
∼ 4.54 · 10−2 s
4t =
e quindi l’accelerazione in questa fase è
0 ms − −79.2 ms ∼
m
az ∼
=
= +1.74 · 103 2
4.54 · 10−2
s
(c) Per rispondere a questa domanda è sufficiente applicare l’equazione di
bilancio:
maz = N − mg
e sostituire il valore dell’accelerazione:
N = m (az + g) ∼
= 14.9 kN
(2) L’altezza del proiettile in funzione del tempo durante la cadura libera è
m
m
z (t) = 450 t − 4.9 2 t2
s
s
mentre la velocità in funzione del tempo nella stessa fase è
m
m
vz (t) = 450 − 9.8 2 t
s
s
(a) Procediamo come nell’esercizio precedente per determinare la durata
della spinta:
1
m
450 4t = 1.28 m
2
s
e quindi
4t ∼
= 5.69 · 10−3 s
Il proiettile riceve q.d.m. dal suolo attraverso i gas prodotti dalla
combustione delle polveri:
4px = 5400 Hy
QUANTITÀ DI MOTO
14
e quindi la forza subita dal proiettile è
N ∼
= 9.49 · 105 N
(b) Quando raggiunge l’altezza massima il proiettile si ferma (vz = 0 m/s)
e quindi il «tempo di volo» è dato dall’equazione
m
m
m
0
= 450 − 9.8 2 t
s
s
s
ed è
t∼
= 45.9 s
Sostituiamo questo valore nella funzione z (t):
z (45.9 s) ∼
= 10.3 km
QUANTITÀ DI MOTO
Figura 3.1. La massa del blocco inferiore è m1 = 54 kg, quella
del blocco inferiore è m2 = 12 kg. Si sa che la forza di attrito tra
il blocco inferiore e il suolo è pari a A1 = 20 N, e che la spinta è
T = 180 N.
Figura 3.2. In questa figura sono rappresentate solo le correnti
di q.d.m. orizzontale.
15
QUANTITÀ DI MOTO
Figura 3.3
Figura 3.4. La massa della ragazza è m1 = 56 kg; la massa
dell’ascensore è m2 = 540 kg.
16
QUANTITÀ DI MOTO
Figura 3.5. m1 = 5.4 kg e m2 = 12.6 kg.
Figura 3.6. Il corpo sospeso ha massa m1 = 8.2 kg, il blocco
inferiore ha massa m2 = 5.4 kg e il blocco superiore ha massa
m3 = 2.8 kg. La forza di attrito tra blocco inferiore e piano è pari
a 10 N.
17
QUANTITÀ DI MOTO
Figura 3.7. La massa del corpo a sinistra («1») è 120 kg, la massa
dell’ascensore («2») è 450 kg e la massa della persona («3») è 82 kg.
Figura 3.8. Suzie (susan Storm, la «donna invisibile») ha una
massa di 54 kg, Hulk ha una massa di 540 kg. Ciascun ascensore
ha massa pari a 450 kg.
18
QUANTITÀ DI MOTO
(a) I fase: caduta libera
(b) II fase: impatto
Figura 3.9. Il proiettile incomincia la caduta da quota 320 m;
la profondità del cratere che scava con l’impatto è di 1.80 m. La
massa del proiettile è 8.5 kg.
Figura 3.10. La «canna» di un cannone verticale è lunga 1.28 m;
il proiettile esce dalla bocca del cannone alla velocità di 450 m/s.
La massa del proiettile è 12 kg.
19