Appunti di
MECCANICA DEI FLUIDI
Corso di Fisica e Laboratorio – prof. Massimo Manvilli
SEZIONE ITI
ITCG Cattaneo con Liceo Dall’Aglio
STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA
Solidi :
le distanze intermolecolari sono piccolissime
quindi i legami tra le molecole sono molto forti
Le molecole non possono muoversi le une rispetto alle altre
Hanno una forma ed un volume proprio
Liquidi :
le distanze intermolecolari sono maggiori rispetto ai solidi
quindi i legami tra le molecole sono tali da permettere uno scorrimento reciproco
Hanno un volume proprio ma assumono la forma del recipiente che li contiene
Gas:
le distanze intermolecolari sono molto grandi
quindi i legami tra le molecole sono molto deboli ; le molecole si muovono in modo
quasi indipendente le une dalle altre
Non hanno nè un volume ne’ una forma propria
Tendono ad occupare tutto lo spazio disponibile
Plasma :
In fisica e chimica per plasma si intende un gas ionizzato, costituito da un insieme di
elettroni e ioni, ma globalmente neutro (cioè con carica elettrica complessivamente
nulla). il plasma è considerato come il quarto stato della materia, che si distingue
quindi da quello solido, da quello liquido e da quello gassoso.
Le cariche elettriche libere fanno sì che il plasma sia un buon conduttore di elettricità,
e che risponda fortemente ai campi elettromagnetici.
Mentre sulla terra la presenza del plasma è relativamente rara (fanno eccezione i
fulmini, le aurore boreali e le fiamme), nell'universo costituisce più del 99% della
materia conosciuta: di plasma sono fatti il Sole, le stelle e le nebulose. Inoltre, si ha
una formazione di plasma sullo scudo termico dei veicoli spaziali al rientro
nell'atmosfera.
FluidI:
sostanze in cui le molecole possono muoversi le une rispetto alle altre . Un fluido
può quindi essere un liquido , un gas o un plasma.
PESO SPECIFICO E DENSITA’
Peso Specifico :
Peso dell’unità di volume di una sostanza
Ps = Fp / V
Unità di misura nel S.I. : N/m3
es: Ps = 2000 N/m3 significa che ogni metro cubo di quella
sostanza ha un peso di 2000 N
1
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Densità
:
Massa dell’unità di volume di una sostanza
d= M/V
Unità di misura nel S.I. : Kg/m3
es: d = 100 Kg/m3
significa che ogni metro cubo di quella
sostanza ha una massa di 100 Kg
Peso specifico e densità sono ovviamente legati tra loro ; il legame è lo stesso che esiste tra Peso
e Massa di un corpo ( Fp=m*g ) in quanto si tratta di peso e massa di ogni metro cubo
Ps = d*g
FLUIDI E FORZE
Poichè le molecole di un fluido possono muoversi le une rispetto alle altre non risulta possibile
applicare forze concentrate ; le forze esercitate sui fluidi sono sempre distribuite sulla superficie
delle pareti o del fondo del recipiente che li contiene.
In realtà le forze sono sempre distribuite su una superficie; quando questa superficie è
particolarmente piccola noi consideriamo, approssimando la realtà, che sia concentrata in un
punto .
Per descrivere come la forza si distribuisce su una superficie viene introdotta una nuova
grandezza fisica denominata pressione
F
Pressione : Forza che agisce sull’unità di
Superficie
Il valore della pressione indica quindi , per esempio,
quanto forza agisce su ogni metro quadrato di
superficie
A
p = F/A
Come si calcola ?
in cui F è la forza ed A è l’area della superficie su cui
tale forza si distribuisce
Unità di misura della pressione nel S.I. :
Es :
N/m2 = Pa (Pascal)
p= 400 Pa significa che su ogni m2 di superficie agisce una forza di 400 N
Il Pascal, che deriva dal N, è una unità di misura piuttosto piccola per cui si fa spesso ricorso a
suoi multipli.
Nella pratica sono ancora in uso diverse unità di misura :
= 105 Pa
(100000 N/m2 = 10 t /m2 = 1 Kgp /cm2)
= 10-3bar
(meteorologia)
= 1,013 bar (pressione atmosferica a livello del
mare)
mmHg =Torr
760 mmHg
= 1Atm
(pressione atmosferica a livello del
mare)
Su queste unità di misura ritorneremo in seguito.
bar = multiplo del Pascal
Millibar = 1/1000 del bar
Atmosfera
1 bar
1 mbar = 1hPa
1 Atm
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Una stessa forza può essere applicata a superfici di area differente dando luogo a diversi valori
della pressione.
ESEMPIO :
F
Un oggetto viene appoggiato su un
tavolo in posizioni diverse.
Nel primo caso il suo peso si
distribuisce su una superficie
piuttosto ampia per cui la pressione
trasmessa al tavolo (p=F/A1) risulta
bassa.
Nel secondo caso la stessa forza,
P1 = F/A1
ovvero il peso dell’oggetto, si
distribuisce su una superficie più piccola per cui la pressione trasmessa
al tavolo (p=F/A2) avrà un valore molto superiore
ES:
F
P2 = F/A2 > P1
Gli Aghi
F
Gli aghi ed in generale gli oggetti appuntiti penetrano molto facilmente attraverso i
materiali su cui vengono premuti in quanto la supeficie di contatto risulta molto piccola .
In queste condizioni anche una forza non particolarmente elevata che spinge
l’ago può produrre valori di pressione molto elevati che il materiale non è in grado di
sopportare
Ecco perché è così facile “forarsi le dita “ con un ago
ES:
Le racchette da neve
Normalmente il nostro peso si distribuisce sull’area di appoggio dei piedi
La neve non è in grado di sopportare pressioni elevate per cui i piedi
possono facilmente sprofondare in essa.
Utilizzando le racchette da neve (o anche gli sci) il nostro peso viene
distribuito su una superficie di contatto molto più ampia ; il valore della
pressione di contatto diventa perciò notevolmente più basso.
La neve riesce a sopportare meglio questo valore della pressione, senza
farci sprofondare troppo.
ES:
I cammelli
I cammelli sono particolarmente adatti a camminare nel
deserto, oltre che per la loro nota resistenza alla sete,
anche perché sono dotati di zoccoli molto grandi che
consentono loro di non sprofondare troppo nella sabbia e
fare quindi meno fatica.
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Il comportamento dei fluidi è descritto da alcune famose leggi di cui tratteremo in seguito; in
particolare studieremo :
-
Il Principio di Pascal
La legge di Stevin
Il Principio di Archimede
Il Teorema di Bernoulli
(pag. 4)
(pag. 7)
(pag. 16)
(pag. 23)
e tutte le loro importanti conseguenze ed applicazioni .
PRINCIPIO DI PASCAL
La pressione esercitata in un punto di un fluido si trasmette a tutte
le altre molecole ed in tutte le direzione con la stessa intensità
indipendentemente dalla forma del recipiente
p
p
p
p
F
p
p
p
p
Apparecchio di Pascal
Si tratta di una sfera di vetro con uno stantuffo e fori distribuiti sulla superficie esterna.
Si può verificare che esercitando una pressione in una zona molto piccola (stantuffo) il liquido esce
da tutti i fori con la stessa intensità.
La pressione si è quindi trasmessa in tutte le direzioni con la stessa intensità.
Questo dipende dal fatto che il liquido tende ad espandersi in tutte le direzioni nello stesso modo
in quanto le molecole possono scorrere le une rispetto alle altre.
Il Principio di Pascal è fondamentale per capire il comportamento dei fluidi.
Esso inoltre afferma che la pressione trasmessa da un fluido ad un
elemento di superficie risulta sempre ortogonale alla superficie
stessa.
Questa affermazione può essere verificata sperimentalmente :
inserendo all’interno di un apparecchio contenente un liquido, come quello
in figura qui a fianco, un palloncino gonfio si può osservare come esso
venga deformato dalla pressione esercitata tramite lo stantuffo mantenendo
sempre la stessa forma ; ciò è possibile solamente nel caso in cui la
pressione sia ovunque perpendicolare alla sua superficie esterna.
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Attraverso i fluidi quindi le pressioni si trasmettono con modalità molto diverse rispetto a quanto
avviene per i solidi.
Solidi
Fluidi
F
F
p
p
p
p
La forza , divenendo una pressione,
si trasmette nella direzione originaria.
Poichè i legami tra le molecole sono
molto forti la deformazione laterale
del solido è molto piccola (a volte
trascurabile) .
Le pressioni che possono essere
trasmesse ad altri corpi posti a fianco
del solido o contenitori in cui è inserito
sono molto più piccole della p.
La forza determina una pressione che si
trasmette in tutte le direzioni con la
medesima intensità, poichè le molecole
possono scorrere le une sulle altre e
tendono ad espandersi in tutte le
direzioni nello stesso modo.
La deformazione laterale dipende dalla
resistenza e deformabilità del recipiente.
Il Torchio idraulico
F2
Si tratta di un dispositivo molto
utilizzato nei sollevatori idraulici delle
officine o delle industrie.
Può essere considerato una “leva
idraulica” in quanto consente di
equilibrare una forza elevata con una
forza minore (anche molto minore)
Lo schema di funzionamento è
riportato nella figura seguente ; è
ovviamente uno schema semplificato
rispetto ai sollevatori reali il cui
progetto deve tener conto
inevitabilmente di molti fattori tecnicopratici , risultando più complesso.
F1
P1
P1 = F1/A1
P1
P1
P1
A1 = area della stantuffo 1
A2 = area della stantuffo 2
F2
P1
F2 = P1*A2>F1
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La forza F1 determina tramite l’area A1 del primo stantuffo una pressione P1 = F1/A1 ; questa
pressione si trasmette a tutto il fluido ed in tutte le direzioni, quindi sia sulle pareti del recipiente
che sullo stantuffo n. 2.
Questo stantuffo ha però un’area maggiore della A1.
Se volessimo calcolare la forza complessiva (risultante) che spinge lo stantuffo 2 verso l’alto
dovremmo scrivere :
F2 = p1 * A2
ottenendo un valore molto più elevato di F1, in grado quindi di equilibrare un forza di intesità
maggiore.
Siccome p1 =F1/A1 , sostituendo questo valore nella precedente si ottiene :
F1
F2 =
A1 A2
F1
e dopo semplici passaggi
F2
=
A1
A2
possiamo cioè concludere che : il rapporto tra le due forze è uguale al rapporto tra le aree
dei due stantuffi.
Questo significa che data una forza F1 che noi (o un apparecchio a nostra disposizione) siamo in
grado di esercitare è sufficiente intervenire sul rapporto tra le aree degli stantuffi per poterne
“amplificare” a piacere l’intensità.
Questo tipo di apparecchiatura è molto utilizzato nella tecnica in tutti i casi in cui si produce
movimento mediante circuiti idraulici.
ESEMPIO :
Se l’area A2 fosse 10 volte maggiore dell’area A1 allora la forza F2 sul secondo
stantuffo diventerebbe 10 volte superiore a quella da noi esercitata sul primo !!!
Se non ci fossero limiti tecnico-pratici sarebbe possibile amplificare a piacere la forza
di cui disponiamo ; questa è una situazione simile a quella delle leve in cui tutto
dipende dal rapporto tra il braccio della forza motrice e quello della forza resistente
(ricordiamo il famoso detto : “datemi una leva e vi solleverò il mondo” )
Come per le leve possono essere individuati tre casi possibili :
F1 =
A1
F2
A2
A1>A2
A1
>1
A2
F1 > F2
svantaggioso
A1=A2
A1
=1
A2
F1 = F2
indifferente
A1<A2
A1
<1
A2
F1 < F2
vantaggioso
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LA LEGGE DI STEVIN E LA PRESSIONE IDROSTATICA
Pressione idrostatica : pressione dovuta al peso proprio dell’acqua in quiete
Consideriamo il contenitore della figura a sinistra.
La superficie del fondo è sottoposta ad una forza che
corrisponde al peso della colonna d’acqua soprastante
Consideriamo una superficie di lato 1m sul fondo del
contenitore e calcoliamo il peso dell’acqua che grava su di
essa .
La forza che agisce su un m2 di superficie però, per
definizione, corrisponde al valore della pressione
F = p = ps* V = ps * 1*1*h = ps*h
h
1
1
In cui : ps= peso specifico del fluido
V = volume della colonna d’acqua
Legge di Stevin
P = ps * h
La pressione dovuta al peso proprio di un fluido si calcola facendo il prodotto tra il peso
specifico del fluido e la profondità, indipendentemente dalla forma del recipiente
La pressione è direttamente proporzionale alla profondità
Si capisce bene infatti che raddoppiando l’altezza della colonna d’acqua (a parità di area di base)
raddoppierà il suo peso, triplicandone l’altezza triplicherà il suo peso e così via.
Naturalmente questa pressione, dovuta al fatto che i fluidi hanno un peso, segue il Principio di
Pascal e si trasmette da un punto in tutte le direzioni con la stessa intensità (quindi non solo sul
fondo ma anche sulle pareti laterali del contenitore.
ES: Recipiente di forma qualsiasi
Sia nel punto 1 che nel punto 2 il valore della pressione
si calcola mediante il dislivello tra il punto stesso ed il
pelo libero del liquido indipendentemente dalla forma
effettiva del recipiente.
P1 = ps * h
P2 = ps *h
h
Questo dipende dal fatto che la pressione P1(dovuta al
peso della colonna d’acqua soprastante il punto 1) si
trasmette in tutte le direzioni ( secondo il principio di
Pascal) ed arriva quindi con lo stesso valore anche al
punto 2. Quindi P1 = P2
P1
P2
ES: Differenze tra solidi e fluidi
Nei due recipienti in figura, contenenti la stessa
quantità di liquido (stesso peso complessivo) la
pressione sul fondo è la medesima in quanto
dipende solamente dalla profondità.
Confronta con l‘esempio a pagina 3 riguardante
una situazione simile per i corpi solidi
( V)
P1 = Ps*h1
( V)
P2 = Ps*h2 = P1
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ES: Diga con argine in terra
Il diagramma che rappresenta l’andamento delle
pressioni in base alla profondità è di tipo triangolare
(proporzionalità diretta).
Per questo motivo l’argine si allarga verso il fondo .
I valori delle pressioni sono indipendenti dalla estensione
del bacino ma dipendono esclusivamente dall’altezza del
battente d’acqua .
A parità di altezza un bacino piccolo ed uno grande
esercitano sull’argine le medesime pressioni.
P=ps*z
Z
I Vasi Comunicanti
Sono costituiti da recipienti di forma diversa, collegati tra
loro, in cui viene versato del liquido (di solito acqua).
Il liquido raggiunge spontaneamente lo stesso livello in tutti i
recipienti indipendentemente dalla loro forma
Questo accade perché nel caso in cui i livelli del liquido
fossero differenti i valori delle pressioni , calcolati da destra
e da sinistra, sarebbero differenti; nel caso in figura si
avrebbe che , in base alla legge di Stevin, la pressione P2
sarebbe maggiore della pressione P1 (in quanto H2 > H1).
In questa situazione il liquido verrebbe spinto verso il
contenitore n1 ; l’equilibrio si raggiunge solamente quando
i valori delle due pressioni diventano uguali ed opposti ;
questo accade quando le due altezze H1 ed H2 sono
uguali.
P1
P2
P1 = P2
H2
H1
Una eccezione al principio dei vasi comunicanti
P1
P2
P2 > P2
La Capillarità
Si può verificare sperimentalmente che se tra i vasi comunicanti
viene inserito un tubicino capillare, cioè di diametro molto piccolo il
fluido non raggiunge più lo stesso livello , ma sale molto più in alto
proprio nel tubicino più piccolo.
Come tutti possiamo facilmente osservare, nella zona vicino alla
parete del recipiente le molecole del liquido tendono a formando
quello che viene comunemente detto “menisco” (vedi figura
seguente).
Il menisco è dovuto al fatto che le molecole del liquido, oltre a
sentire la forza di attrazione verso le altre molecole vengono attirate
dalla parete del recipiente cui tendono ad aderire.
A seconda dell’entità di questa forza di adesione superficiale in
rapporto a quella cosiddetta di coesione con le altre molecole il
liquido può essere sollevato verso l’alto a trattenuto verso il basso.
menisco
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Fa
Fc
Fa
Fc
R
Acqua
La forza di a desione alle pareti
del re cipiente è molto ma gg iore
di qu ell a di coesione con le
altre molecole dl liquido
In vicinanza delle pareti le
mo le cole de l liquido si sollevano
R
Mercurio
La forza di a desione alle pareti
del re cipiente è molto min ore
di quella di coesione con le
altre mol ecole dl liquido
In vi cinanza delle pareti le
molecole de l liquido vengono
tirate verso il basso.
Ci sono due tipi di comportamento
differrenti a seconda del tipo di liquido
presente : nel primo caso la risultante
delle forze agenti sulle molecole
vicine al bordo è tale da sollevarle
verso l’alto (questo accade
tipicamente per l’acqua) mentre nel
secondo caso questa risultante ha
come effetto quello di trattenere verso
il basso le molecole vicine alla parete.
Nel caso dei liquidi che si comportano come l’acqua, quando le dimensioni del contenitore sono
molto piccole, il fenomeno del “menisco” interessa tutte le molecole della superficie che vengono
così sollevate verso l’alto; quando invece le dimensioni del condotto non sono piccole il fenomeno
interessa solamente le molecole vicine al bordo e non quelle della zona centrale.
NB : per il mercurio , poiché le sue
molecole vengono trattenute verso il
basso, il fenomeno della capillarità
produce un effetto del tutto opposto
a quello dell’acqua ; nei tubicini
capillari il fluido raggiunge un livello
più basso rispetto agli altri.
Acqua
Liquidi che “bagnano le superfici” :
Mercurio
sono quelli che si comportano come l’acqua ; le forze di
adesione sono superiori a quelle di coesione per cui il
liquido tende ad aderire alla superficie con cui viene a
contatto
Liquidi che “non bagnano le superfici” : sono quelli che si comportano come il mercurio ; le forze
di adesione sono inferiori a quelle di coesione per cui il
liquido tende a formare gocce o agglomerati compatti
senza distendersi sulla superficie (come le goccioline del
mercurio, che era chiamato per questo “argento vivo”))
Molto spesso nella nostra esperienza quotidiana abbiamo a che fare con il fenomeno della
capillarità :
ES. : Risalita dell’umidità nei muri
i materiali da costruzione sono porosi , cioè presentano al loro interno microscopici canali vuoti
attraverso i quali l’acqua presente nel terreno può risalire per capillarità anche ad altezze notevoli
ES : Carta assorbente :
è un tessuto fibroso ; tra le fibre della carta si formano condotti capillari
attraverso i quali i liquidi vengono “risucchiati” per capillarità
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La botte di Pascal
ovvero “il paradosso idrostatico”
Si tratta di una leggenda secondo cui Pascal
avrebbe scommesso con altre persone di riuscire a far
“scoppiare” una botte piena (nel senso di provocare la
fuoriuscita del liquido dai giunti), aggiungendo una
piccolissima quantità di liquido.
Mettendo a frutto le sue conoscenze sui fluidi egli
utilizzò un tubo lungo e sottile (non capilare) in grado
di contenere poca acqua pur essendo molto alto.
Collegato il tubo al foro della botte lo riempì di acqua
determinando nel punto A una pressione piuttosto
elevata.
Tale pressione , ottenuta su una piccola zona del
liquido , sfruttando l’altezza del tubo (la quantità di
liquido in esso contenuto non incide sul valore della
pressione), come noi sappiamo dalle pagine
precedenti, si trasmise a tutte le particelle ed in tutte
le direzioni.
L’involucro della botte, ed in particolare i giunti tra le
assicelle di legno non furono in grado di sopportare
questa pressione e la botte cominciò a perdere
vistosamente.
Naturalmente Pascal vinse la scommessa grazie alle
sue conoscenze scientifiche.
Alla base del suo strattagemma ci sono
evidentemente sia il Principio che porta il suo nome
che la legge di Stevin.
limite atm
o
LA PRESSIONE ATMOSFERICA
L’aria, pur essendo molto leggera , ha
un peso (circa 1/1000 di quello
dell’acqua) ; viene cioè tenuta a contatto
con la superficie terrestre dalla gravità
(per fortuna … altrimenti …….!!!).
Noi possiamo considerarci come abitanti
del fondo di un grandissimo oceano fatto
d’aria.
Come succede sott’acqua siamo
sottoposti alla pressione che deriva dal
peso del fluido che grava su di noi .
sfera
Atmosf
era
p
superfi
ci
terrestr e
e
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Patm
Patm/2
Patm/4
Patm/8
Non ci rendiamo conto facilmente di questo in quanto, dalla nascita, la superficie terrestre
costituisce il nostro habitat naturale, ma ci accorgiamo degli effetti prodotti da un cambiamento
della pressione cui siamo abituati.
Ad esempio gli areoplani che volano a quote particolarmente elevate H(Km)
(8000 – 10000 m) sono pressurizzati, cioè mantengono al loro interno
16,5
la stessa pressione che era presente a terra (maggiore di quella
esterna a quella quota) in modo da evitare disagi fisici ai passeggeri
(oltre ad evidenti problemi respiratori dovuti alla carenza di ossigeno).
11
La situazione in realtà è complicata dal fatto che non esiste un limite
ben definito per l’atmosfera , che diviene sempre più rarefatta
5,5
allontanandosi dalla superficie terrestre ; con l’altitudine cambia
anche il suo peso specifico per cui non esiste più la proporzionalità
diretta tra pressione ed altezza.
Il legame pressione-altitudine non è lineare ma ha l’andamento
qualitativamente rappresentato in figura.
Nonostante ciò concettualmente la legge di Stevin ci aiuta a capire la situazione reale e può
essere utilizzata per piccole variazioni di altezza.
P
ES. : L’altimetro
E’ uno strumento in
grado di determinare l’altitudine cui si trova in
base alla misura della pressione atmosferica .
Poiché quest’ultima varia anche in base alle
condizioni atmosferiche , per avere un risultato
abbastanza preciso è necessario tararlo ogni
volta che lo si vuole utilizzare.
Tra gli scienziati nacquero forti discussioni anche
sulla esistenza della pressione atmosferica,
finchè diverse semplici esperienze ne
confermarono la presenza. Alcune di queste
esperienze possono facilmente essere realizzate
in laboratorio ; facciamo due esempi:
ES : Magia in Laboratorio
Pa
Pa
Pa
P1
foglietto
di carta
Pa
P1 = ps*h
Pa > P1
h
Riempiamo completamente un recipiente di vetro (di forma
qualsiasi) con acqua e facciamo aderire al pelo libero del
liquido un piccolo foglio di carta in modo che non siano
presenti bolle d’aria all’interno.
Rovesciamo il recipiente tenendolo sospeso e verifichiamo
che il foglio di carta non cade, come dovrebbe fare per
effetto del peso dell’acqua che grava su di lui.
Vediamo di approfondire un po’ il discorso mettendoci nei
panni del foglietto di carta.
Quest’ultimo sente l’azione di due pressioni : quella
dall’alto verso il basso (P1) che è dovuta al peso dell’acqua
e si può calcolare con la legge di Stevin e quella dal basso
verso l’alto esercitata dall’aria che circonda il recipiente.
Evidentemente la pressione atmosferica è sufficiente ad
equilibrare quella idrostatica visto che il foglietto non cade
ma rimane in equilibrio.
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N.B. : la pressione atmosferica viene esercitata anche sulle pareti del recipiente ma il vetro è
sufficientemente robusto per sopportare queste forze ; anzi , essendo rigido , non permette alle
pressioni esterne di trasmettersi all’acqua interna (questo è il motivo per cui la pressione P1 è
solamente quella dovuta al peso dell’acqua).
Da questo semplice esperimento. che possiamo realizzare facilmente anche a casa, si può intuire
come la pressione atmosferica esista ed il suo valore non debba essere poi così piccolo.
Il Nostro esperimento in Laboratorio
ES : Gli emisferi di Magdeburgo
Si tratta di una famosa dimostrazione
eseguita nei pressi di Magdeburgo nel 1700
rappresentata in diversi quadri d’epoca.
In realtà la dimostrazione fu effettuata con lo
scopo di evidenziare l’efficienza di una
nuova pompa per fare il vuoto, realizzata da
Otto Von Guerike, che potremmo
considerare un tecnico dell’epoca.
Egli costruì due emisferi metallici che
potevano essere uniti con una flangia a
tenuta stagna, dotati di una valvola per
estrarre l’aria dal loro interno con la sua
nuova pompa a vuoto.
Pare che sia riuscito a dimostrare che la sua nuova invenzione avesse una efficienza
particolarmente elevata in quanto , dopo l’estrazione dell’aria interna, neppure i cavalli riuscirono a
separare gli emisferi.
La forza che tiene uniti i due emisferi nasce
Pa
dalla differenza tra la pressione interna e
quella esterna.
Estraendo l’aria mediante la pompa, pur non
F
F
ottenendo il vuoto assoluto, si produce una
Pi
drastica riduzione della pressione interna ;
più la pompa è efficiente e più si può ottenere
un vuoto spinto.
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Chiudendo la valvola cui è collegata la pompa non risulta facile separare i due emisferi in quanto
la pressione esterna, che è quella atmosferica, risulta molto maggiore di quella interna che , in
caso di vuoto molto spinto, può addirittura essere trascurabile.
Questo semplice esperimento, facilmente riproducibile in laboratorio, ci fa capire come il valore
della pressione atmosferica sia piuttosto elevato.
Il nostro esperimento in Laboratorio
Una volta dimostrata l’esistenza della pressione atmosferica fu Evangelista Torricelli il primo a
riuscire a determinarne il valore, a livello del mare, con una celebre esperienza che ci accingiamo
a descrivere.
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L’esperienza di Torricelli
Misura della pressione atmosferica
Evangelista Torricelli riempì completamente una lunga
provetta di mercurio poi , chiudendola ermeticamente, la
capovolse immergendola in una bacinella contenente
anch’essa mercurio ; fissata la provetta ad un sostegno la
aprì e potè osservare che il mercurio della provetta scese
fino a stabilizzarsi ad una altezza di 760 mm dal pelo libero
della vaschetta nel caso in cui l’esperimento fosse eseguito
in una località a livello del mare , indipendentemente dalla
forma della provetta stessa .
Vuoto
H = 760 mm
Il ragionamento di Torricelli
PHg
Pa
A
Pa
PHg = Ps*H = Pa
La prima considerazione da fare è che il mercurio della
provetta non scende a causa della pressione atmosferica
che agisce sulla superficie libera del fluido contenuto nella
vaschetta e, per il principio di Pascal , si trasmette a tutte le
altre molecole ed in tutte le direzioni , quindi anche verso
l’alto dentro la provetta, con la medesima intensità.
Supponiamo ora di essere una molecola di mercurio come
quella indicata con la lettera A nel disegno a fianco.
Sentiremmo una pressione dal basso verso l’alto pari a
quella atmosferica ed una dall’alto verso il basso dovuta
solamente al peso della colonna di mercurio presente nella
provetta; l’aria esterna infatti non riesce a trasmettere la
sua pressione al fluido della provetta in quanto il contenitore
di vetro è molto rigido e resistente e nella zona vuota in alto
non è potuta entrare altra aria.
Visto che le molecole di fluido sono in equilibrio in questa
configurazione si può concludere che le due pressioni
devono essere esattamente uguali e contrarie.
Torricelli potè quindi concludere che la pressione
atmosferica ha la stessa intensità di quella esercitata da
una colonna di mercurio alta 760 mm .
L’altezza della colonnina di mercurio in mm venne utilizzata per misurare la pressione.
Un mm di altezza della colonna di mercurio venne definito come 1 Torr in onore di Torricelli;
il valore della pressione atmosferica a livello del mare vale quindi 760 mmHg = 760 Torr .
( avete mai notato il medico che misura la pressione del nonno con lo sfigmomanometro ?)
Molti abbeveratoi per piccoli animali assomigliano all’apparato di Torricelli, pur utilizzando
acqua ; nonostante il recipiente contenga una certa quantità d’acqua ( ed in questo caso anche
di aria) quest’ultima non riesce ad uscire dalla bacinella, dalla quale un cagnolino può bere
tranquillamente, per effetto della pressione atmosferica,
Il valore di questa pressione può facilmente essere calcolato utilizzando la
legge di Stevin , avendo ovviamente a disposizione il valore del peso specifico del mercurio.
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Ps(Hg) = 13600*9,8 = 133280 N/mc
( 13600 Kgp/mc !!!)
Pa = Ps(Hg)*H = 133280* 0,76 = 101300 N/mq = 101300 Pa
Come risulta evidente poiché 100000Pa = 1 bar si può anche concludere che la pressione
atmosferica a livello del mare vale Pa = 1,013 bar spesso arrotondato a ≈ 1,00 bar .
Altre unità di misura per la pressione furono poi introdotte successivamente ; ancora oggi,
nonostante tutte le nazioni debbano adeguarsi alle unità del S.I. sono in uso tante differenti unità di
misura.
Atmosfera =
1 Atm è pari alla pressione esercitata dall’aria a livello del mare.
E’ una unità di misura pratica, molto comoda nell’uso quotidiano, che prende
come termine di paragone la pressione atmosferica a livello del mare.
Es : La pressione all’interno di un contenitore vale p = 3 Atm
Significa che la pressione interna al contenitore è il triplo di quella
esercitata dall’aria a livello del mare
Riassumiamo in questa tabella le principali unità di misura ancora utilizzate per la pressione :
Patm=
101300 Pa ( ≈ 105 Pa)
1 mbar (millibar)
= 1,013 bar ( ≈ 1 bar)
= 101,3 Pa ( ≈ 100 Pa)
1 Atm
= 1,013 bar ( ≈ 1 bar)
760 Torr
≈ 105 Pa = 1 bar
1 Kgp/cmq
≈ 105 Pa = 1 bar
N.B. Il peso specifico del mercurio è pari a 13,6 volte quello dell’acqua. Ciò significa che per
ottenere la pressione esercitata dalla colonnina di mercurio dell’esperienza di Torricelli
sarebbe stata necessaria una colonna d’acqua 13,6 volte più alta ovvero di altezza pari a
13,6 * 0,76 = 10,33 m !!
In effetti si può concludere che la pressione atmosferica è pari a quella
esercitata da una colonna d’acqua alta 10,33 m
Per questo si dice che, immergendosi in acqua, ad ogni 10 m circa di profondità
corrisponde un aumento di pressione di 1 Atmosfera
Quando su un orologio è indicato ad esempio “5 Atm” ( o anche “5 bar”) significa che può
resistere ad una immersione fino a circa 50 m di profondità , quando la pressione dell’acqua
diventa circa 5 volte quella esercitata dall’aria a livello del mare.
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Pressione Totale e Pressione Efficace
Pa
Se volessimo misurare la pressione
che agisce sul fondo di un lago
dovremmo tenere conto sia della
pressione atmosferica , esercitata
dall’aria sull’acqua , che di quella
idrostatica dovuta al peso dell’acqua
stessa (Stevin).
H
Ptot
Per ottenere il valore cercato
dovremmo quindi sommare queste
due pressioni :
Ptot = Pa + ps*H
Questo è il valore della Pressione Totale agente sul fondo del lago (e su tutti gli oggetti
che si trovano sul fondo)
A volte invece interessa conoscere solamente quanta pressione c’è in più ( o in meno)
rispetto a quella atmosferica che agisce su tutti i corpi nello stesso modo e costituisce la
condizione di “normalità” per noi abitanti della superficie terrestre.
Si fa allora riferimento alla Pressione Efficace che , per quanto detto , può essere
calcolata per semplice differenza :
Peff = Ptot – Pa
che nel nostro esempio coincide con la pressione idrostatica
IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
Pensiamo di pesare un oggetto metallico
tramite un dinamometro.
Eseguendo la pesata in aria (cioè come
facciamo normalmente) si otterrà un certo
valore ; immergendo l’oggetto in acqua
potremo facilmente verificare che il
dinamometro indicherà un valore inferiore; se
poi immergessimo l’oggetto in un liquido
diverso, come per esempio olio o alcool ,
otterremmo un valore differente dai primi due
(ma sempre inferiore a quello ottenuto in aria).
Il peso di un corpo quindi varia a seconda del
fluido in cui è immerso.
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E’ facile concludere che quando un corpo è immerso in un liquido riceve da quest’ultimo
una spinta dal basso verso l’alto che provoca una diminuzione di peso.
Questa spinta viene comunemente indicata come Spinta idrostatica o
Spinta di Archimede , in onore del grande scienziato di Siracusa che riuscì per primo a
capire fino in fondo il fenomeno ed a quantificarne il valore.
La leggenda narra che il grande Archimede, mentre faceva il
bagno, osservando il comportamento del suo corpo immerso
nell’acqua , abbia finalmente intuito il famoso principio che
descrive il funzionamento della spinta idrostatica ed in preda a
uno sfrenato entusiasmo sia uscito nudo dalla vasca correndo
ed urlando : “ Eureka! “ che significa “ho trovato !” .
Principio di Archimede :
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta
dal basso verso l’alto uguale al peso del volume
di liquido spostato
Per “liquido spostato” si intende il liquido che in precedenza si trovava nel volume
occupato dal corpo ; quindi un oggetto grande riceve una spinta maggiore di un oggetto
piccolo.
Cerchiamo ora di capire perché nasce la spinta di Archimede e come mai si può
concludere che debba essere uguale al peso del liquido spostato.
Perché esiste la spinta di Archimede ?
Facciamo un semplice esempio
Pensiamo di immergere in acqua un cubetto.
Sulla faccia superiore agirà una pressione
facilmente calcolabile con la legge di Stevin ,
mentre sulla faccia inferiore agirà una
pressione maggiore in quanto maggiore è la
profondità.
La differenza tra queste due pressioni dà
luogo alla spinta idrostatica verso l’alto.
H1
P1 = ps*H1
H2
Psin
V
P2 = ps*H2 > P1
Pdes
Le pressioni laterali variano linearmente con
la profondità ma si mantengono sempre uguali
ed opposte per cui si neutralizzano a vicenda.
Questa spinta agisce su tutti gli oggetti
immersi che però hanno ovviamente un peso.
A seconda che il valore di questa spinta sia
maggiore o minore del peso del cubetto
quest’ultimo verrà spinto verso l’alto o verso il
basso .
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Perché la spinta deve essere uguale al peso del liquido spostato ?
Ricordiamo che , noto il peso specifico del materiale di cui è costituito un corpo, si può
risalire al suo peso con un semplice calcolo : Fp = ps*V
Siccome la spinta idrostatica, secondo Archimede, è pari al peso del liquido che si trovava
precedentemente nel volume V occupato dal corpo, risulta immediato il calcolo del suo
valore.
Spinta idrostatica :
S = ps(H2O)*V
Fp = ps(H2O)*V
Fp = ps(mat)*V
V
V
materiale
S = ps(H2O)*V
Fp (materiale) ≠ S
liquido
S = ps(H2O)*V
Fp (liquido) = S
Si può allora rispondere alla domanda precedente facendo un semplice ragionamento :
Un corpo completamente immerso in un fluido è sottoposto all’azione di due forze : la
forza peso diretta verso il basso e la spinta idrostatica diretta verso l’alto.
A seconda di quale di queste due forze sia maggiore il corpo tenderà ad affondare o a
venire a galla.
Al posto dell’oggetto c’era, in precedenza, un identico volume di liquido , sottoposto alle
stesse due azioni : il proprio peso e la spinta esercitata dal liquido circostante.
Considerando che il volume di liquido V , presente prima al posto dell’oggetto, era in
equilibrio si può concludere che le due forze dovevano essere esattamente uguali ed
opposte , cioè la spinta verso l’alto doveva essere stata uguale e contraria al peso del
liquido V.
Si può infine ragionevolmente ritenere che il liquido posto attorno al volume V eserciti
sempre le stesse pressioni , ovvero spinga sempre nello stesso modo indipendentemente
dal materiale di cui è fatto il nostro oggetto, ed arrivare quindi alla conclusione di
Archimede.
Si pensa però che egli sia giunto alla formulazione del suo principio più per via sperimentale
che con ragionamenti simili a quello precedente.
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Il galleggiamento
In base alle considerazioni precedenti sulle forze
agenti su un corpo completamente immerso in un
fluido si possono identificare tre casi notevoli
Fp = ps(mat)*V
V
materiale
S = ps(H2O)*V
ps(mat) > ps(H2O)
Fp > S
quindi l'oggetto affonda
( la risultante delle forze è diretta verso il basso)
ps(mat) = ps(H2O)
Fp = S
quindi l'oggetto rimane nella posizione in cui
si trova ( la risultante delle forze è nulla)
ps(mat) < ps(H2O)
Fp < S
quindi l'oggetto galleggia
( la risultante delle forze è diretta verso l'alto)
Si può quindi concludere che tutti i materiali aventi peso specifico maggiore di
quello dell’acqua ( o del fluido in cui sono immersi) affonderanno mentre i
materiali “più leggeri” dell’acqua tenderanno a galleggiare
Una conseguenza del Principio di Archimede è che l’aria calda, più leggera di
quella fredda (peso specifico minore) tende a galleggiare su quest’ultima;
questo è il motivo per cui l’aria calda ( come il fumo del camino o di una
sigaretta) tende sempre ad andare verso l’alto.
Le Mongolfiere ed i Dirigibili
Le mongolfiere sfruttano il fatto che l’aria calda è più
leggera di quella fredda circostante.
L’aria calda contenuta nella mongolfiera viene spinta
verso l’alto ; siccome la differenza tra i due pesi specifici
è molto poca, per poter volare sono necessari volumi
d’aria calda piuttosto consistenti e comunque i carichi
trasportabili sono limitati.
I dirigibili hanno al loro
interno un gas inerte, più leggero dell’aria, quindi
riescono a volare sfruttando la spinta aerostatica.
Avendo in genere un volume molto grande riescono
a trasportare carichi maggiori rispetto alle
mongolfiere.
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Le Navi
Le navi di dimensioni consistenti hanno una struttura portante ed una scafo
metallici eppure galleggiano sull’acqua.
In effetti il volume della nave, anche a pieno carico, è caratterizzato dalla
presenza delle strutture, del personale e del carico , ma buona parte di esso è
occupato solamente da aria (molto più leggera dell’acqua); calcolando il peso
specifico medio ( cioè dividendo il peso complessivo per il volume occupato
come se si trattasse di un corpo omogeneo) è possibile constatare che si tratta
di un valore inferiore a quello dell’acqua.
In effetti una nave sta in equilibrio sotto l’azione del suo peso complessivo e
della spinta idrostatica ovvero del peso del liquido spostato dalla parte
immersa dello scafo (vedi figura).
Nave vuota
Nave carica
Fp
Fp=S
S
Fp' > Fp
Fp'=S'
S' > S
Aggiungendo carichi nella stiva succede che il peso complessivo aumenta e la
nave tende ad affondare ma, mentre affonda lo scafo sposta una maggiore
quantità di liquido quindi fa aumentare la spinta idrostatica.
Si arriva così ad una nuova situazione di equilibrio in cui il nuovo peso della
nave (maggiore di quello a vuoto) viene equilibrato dalla nuova spinta
idrostatica corrispondente al peso del liquido spostato (maggiore di quella
precedente)
Le navi da carico hanno di solito disegnata sullo scafo la linea di
galleggiamento che non deve essere superata per poter navigare in sicurezza;
il superamento di tale linea significherebbe aver superato il valore massimo
del carico ammesso per l’imbarcazione quindi una situazione di pericolo.
NB :
I galleggianti da pesca si comportano nello stesso modo a seconda della quantità di
piombini applicati al filo dal pescatore
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La forma dello scafo è molto importante
per la sicurezza della nave; infatti è
Fp
conformata in modo tale che , nel caso
l’imbarcazione si inclini su un lato, per
effetto ad esempio di vento trasversale, il
baricentro della parte immersa si sposti in
modo che le due forze agenti (peso della
nave e spinta idrostatica che possono
essere pensate applicate nei rispettivi
baricentri) vengano a costituire una
coppia con momento stabilizzante, tale
S
cioè da riportare la nave nella posizione
di equilibrio.
Ovviamente la forma è anche determinata dall’esigenza di ridurre il più
possibile la resistenza all’avanzamento
I Sommergibili
I sommergibili sono stati costruiti sul modello dei
pesci.
Come sappiamo i pesci fanno uso della vescica
natatoria, cioè una sacca che possono riempire
d’aria quando necessario.
Riempiendo la vescica d’aria diminuisce il peso
specifico medio del pesce
( ed aumenta quindi la spinta idrostatica) che in
questo modo riesce a raggiungere facilmente la
superficie ; quando il pesce vuole immergersi,
vuota la vescica per fare diminuire la spinta
idrostatica e riuscire agevolmente a spingersi
verso il fondo.
I sommergibili usano le camere stagne in cui è
presente l’aria come serbatoi per l’acqua che
può essere fatta entrare naturalmente
sfruttando la pressione idrostatica o uscire
tramite pompe apposite.
In questo modo si può far variare il peso specifico medio del sommergibile e
sfruttare la spinta idrostatica ad esempio per emergere più agevolmente o
rimanere in equilibrio alla profondità voluta (facendo in modo che il peso
specifico medio diventi uguale a quello dell’acqua).
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Il Densimetro
E’ uno strumento che serve a misurare il peso specifico
(o la densità) di un liquido. Si tratta di un bulbo di vetro con la
punta appesantita da un metallo ; può quindi galleggiare in
posizione verticale, come un galleggiante da pesca.
Immergendolo nel liquido esso trova la sua posizione di
equilibrio quando il suo peso viene equilibrato dalla spinta di
Archimede.
Tale spinta dipende dal peso del liquido spostato, quindi dal
volume immerso e dal peso specifico del liquido.
Nei liquidi con basso peso specifico esso affonderà in misura
maggiore in quanto per ottenere il valore della spinta pari
al proprio peso avrà bisogno di maggiore volume immerso
e viceversa.
Sul densimetro è riportata una scala graduata che riporta
in corrispondenza del pelo libero il valore del peso
specifico del liquido oggetto della misura.
Fp
Vi
S = Ps*Vi
Il Corpo Umano
Il nostro corpo è costituito principalmente
d’acqua, anche se non è omogeneo in
quanto ci sono parti pesanti (ad es. la testa )
ed altre leggere (ad es. i polmoni).
Il nostro peso specifico medio è quindi molto
vicino a quello dell’acqua ; può diventare
leggermente inferiore o leggermente
superiore a seconda della quantità d’aria presente nei polmoni.
Questo è il motivo per cui si galleggia più facilmente (ad esempio “facendo il
morto”) se si mantiene un po’ d’aria nei polmoni.
Non tutti sanno che si galleggia più facilmente (di poco) nell’acqua salata che
in quella dolce.
Questo è dovuto al fatto che, per la presenza del sale disciolto il peso specifico
dell’acqua salata risulta leggermente maggiore rispetto a quello dell’acqua
dolce; poiché la spinta idrostatica è data da S = ps(H2O)*V si può capire che ,
a parità di volume del corpo immerso tale spinta sarà maggiore nel caso di
peso specifico maggiore.
Un corpo qualsiasi galleggerebbe decisamente meglio se gettato in una vasca
contenente Mercurio (il cui peso specifico è 13,6 volte maggiore di quello
dell’acqua) che non in una normale vasca da bagno piena d’acqua ( … noi
per salvaguardare la nostra salute preferiamo ovviamente l’acqua!!)
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LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA NEI FLUIDI IN MOVIMENTO
L’EQUAZIONE DI BERNOULLI
Consideriamo un fluido in movimento all’interno di un tubo di sezione costante.
Supponiamo che il moto dei fluido sia “non turbolento” ovvero che non si formino vortici all’interno
del tubo , ma le particelle scorrano le une rispetto alle altre lungo linee continue che non si
intersecano tra loro (linee di flusso). In queste condizioni si dice che il moto del fluido è di tipo
“laminare” e può essere studiato in modo agevole.
Uno dei parametri fondamentali, di utilizzo pratico, che servono a descrivere il moto del fluido
all’interno di un condotto , è la portata in volume.
A = Area della sezione
retta del tubo
V = volume di fluido che attraversa
la sezione retta del tubo in 1 secondo
A = area della sezione retta del tubo (m2)
V=
delle particelle
V = ∆S = Spostamento
di fluido in 1 secondo
∆t
Portata = volume di fluido che attraversa
una sezione retta del condotto
nell’unità di tempo . Nel SI si
misura in m3/s .
∆S
∆t
= velocità del fluido all’interno del
tubo ovvero distanza percorsa
nell’unità di tempo dai filetti fluidi
(m/s)
V = Volume di fluido che attraversa la
sezione retta del tubo nell’unità di tempo
(m3/s)
V= A v
2
3
(m m/s) = (m /s)
A livello pratico sono ancora in uso diverse unità di misura della portata come ad esempio litri/sec
molto utilizzata in campo idraulico.
L’EQUAZIONE DI CONTINUITA’
A1
V1
V
V
Considerando un fluido in movimento
all’interno di un tubo a sezione variabile,
z
nell’ipotesi che si tratti di un fluido
incomprimibile si può facilmente constatare
V1
che nell’ intervallo di tempo ∆t il volume di
V2
fluido che attraversa la sezione A1 dovrà
essere uguale al volume di fluido che
attraversa la sezione A2.
1= 2 e
1 > 2 quindi V2 > V1 Infatti, se non fosse così, la parte di fluido
compresa tra le due sezioni dovrebbe
comprimersi oppure dovrebbero esserci perdite attraverso le pareti laterali del tratto considerato.
Escludendo quindi la compressibilità del fluido e la presenza di perdite questa condizione
comporta che i valori della portata nelle sezioni A1 ed A2 debbano essere uguali.
A2
A
V2
A
Equazione di Continuità
A 1 v1 = A 2 v2
Poiché la portata si mantiene costante la velocità del fluido cambia al variare della sezione del
tubo ; in particolare la velocità sarà maggiore dove la sezione del tubo è minore.
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Quando utilizziamo la “gomma” per lavare l’auto o gli attrezzi da lavoro
usiamo il “getto” , ovvero un accessorio particolare che restringe la
sezione di uscita dell’acqua provocando un notevole aumento della
velocità di efflusso.
Quando non abbiamo a disposizione nessun accessorio usiamo il dito
per ridurre la sezione di uscita ed ottenere un effetto simile.
Nel caso si verifichi una perdita lungo il percorso dell’acqua la velocità di efflusso subirà una
diminuzione in quanto la portata in uscita non sarà più uguale a quella in entrata.
Anche le condutture di una centrale idroelettrica , che portano l’acqua proveniente da una diga fino
alle pale di una turbina, presentano all’estremità un profilo “ a getto”.
Si tratta un particolare ugello che restringe la sezione del condotto, riducendo al minimo le perdite
per attrito o turbolenze e fa aumentare la velocità di efflusso, prima dell’urto con le pale della
turbina.
L’EQUAZIONE DI BERNOULLI
Consideriamo ora un fluido ideale che scorra in un tubo di sezione e quota variabile , come
mostrato in figura.
Lo spostamento del fluido nel condotto porterà la massa che si trova tra le sezioni 1 e 2 a trovarsi,
dopo un intervallo di tempo ∆t , tra le sezioni 1' e 2'.
Per effetto del movimento del fluido la massa m (ombreggiata in figura) nel tempo ∆t è stata
spostata dalla quota h1 (y1) alla quota h2 (y2) e la sua velocità è variata da v1 a v2.
Il movimento è dovuto all’azione delle forze di pressione che agiscono sul fluido.
In particolare la forza F1 dovuta alla pressione esercitata dal fluido che precede la sezione 1 ha
compiuto lavoro positivo, mentre la forza F2, dovuta al fluido che segue la sezione 2’ ha compiuto
lavoro negativo.
Lavoro compiuto dalle forze di pressione P1 :
L1 = p1 A1 ∆x1 = p1 V1
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Analogamente per il lavoro negativo compiuto dalle forze di pressione seguenti la sezione 2’:
Lavoro compiuto dalle forze di pressione P2 :
L2 = - p2 A2 ∆x2
= - p2
V2
Ne segue che il lavoro totale compiuto dalle forze di superficie (pressioni) è:
Lp = L1 + L2 = p1 V1 - p2 V2
Anche la forza di gravità compie un lavoro durante lo spostamento del fluido dalla quota h1 alla
quota h2 che corrisponde alla variazione di energia potenziale gravitazionale :
Lg = mgh1 – mgh2
Il Teorema dell’Energia Cinetica afferma che il Lavoro complessivo svolto sul fluido (in questo
caso dalle forze di gravità e di pressione) deve essere uguale alla variazione di Energia Cinetica
ovvero che :
Riordinando i termini portando al primo membro quelli con indice 1 ed al secondo quelli con indice
2 si ottiene :
A questo punto ricordando che :
e dividendo ambo i membri per V si ottiene :
poiché questa relazione vale tra qualunque coppia di sezioni o di punti si può concludere che :
che rappresenta la nota Equazione di Bernoulli
Può essere considerata come una applicazione del Principio di Conservazione dell’Energia ai fluidi
in movimento in quanto il termine al primo membro è direttamente correlato con la somma
dell’energia potenziale dovuta alle forze di pressione, di quella gravitazionale e dell’energia
cinetica posseduta dall’unità di massa.
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IMPORTANTI CONSEGUENZE ED APPLICAZIONI DELL’EQUAZIONE DI BERNOULLI
•Effetto Venturi
Se il tubo è orizzontale come in figura , non ci sono variazioni
di quota per cui il secondo termine dell’equazione di Bernoulli
si annulla ed otteniamo:
Poiché la somma dei due termini si mantiene costante, ad un
aumento di velocità dovrà corrispondere una diminuzione
della pressione.
Nella sezione 2, per l’equazione di continuità , la velocità del
fluido sarà maggiore rispetto a quella della sezione 1, ma la
pressione avrà un valore inferiore.
Il risultato può essere generalizzato : In una corrente fluida nelle zone in cui si ha un aumento di
velocità si verifica una diminuzione della pressione.
Questo fenomeno è noto anche come “Paradosso idrodinamico” e riesce a spiegare alcuni fenomeni naturali
piuttosto sorprendenti, come vedremo qui di seguito.
•Il Tennis di Bernoulli
Chi gioca a tennis sa che esistono due modi fondamentali di colpire la pallina :
Il Topspin e lo Slice , con cui si possono ottenere due effetti opposti : nel topspin la pallina tende a scendere
rapidamente dopo la rete ed a rimbalzare più in alto, mentre lo slice produce una traiettoria più bassa e tesa
con la pallina che arriva in profondità ed ha un rimbalzo molto più basso e teso.
I due effetti si ottengono imprimendo alla pallina due rotazioni di senso opposto attorno ad un asse
orizzontale.
Il fenomeno descritto qui di seguito che si verifica per tutti i corpi in movimento attraverso un fluido, è noto
come “Effetto Magnus” e può essere facilmente compreso alla luce dell’equazione di Bernoulli.
Il Topspin
Alla pallina viene impressa una rotazione nel verso indicato in figura (taglio con movimento della racchetta
dal basso verso l’alto).
La superficie della pallina, ruotando, trascina con se le molecole d’aria con cui viene a contatto.
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Nella zona superiore questa velocità ha verso opposto rispetto a quella relativa dell’aria rispetto alla pallina ;
la velocità di questi filetti fluidi tende perciò a diminuire.
Nella zona inferiore le due velocità si sommano ; la velocità dei filetti fluidi è leggermente maggiore rispetto
a quella della zona superiore.
Secondo l’equazione di Bernoulli nella zona in cui diminuisce la velocità si verifica un aumento della
pressione e viceversa, quindi la pressione superiore risulta leggermente maggiore di quella inferiore .
Questa differenza di pressione, che si aggiunge all’effetto della gravità, fa scendere la pallina molto
rapidamente, con un angolo di impatto col terreno piuttosto elevato e conseguente rimbalzo “alto” (vedi
schema seguente).
Lo Slice
Alla pallina viene impressa una rotazione nel verso indicato in figura, opposta rispetto al Topspin (taglio con
movimento della racchetta dall’alto verso il basso).
In questo caso, dato l’andamento delle velocità dell’aria , per le ragioni già richiamate in precedenza, la
pressione inferiore risulta leggermente maggiore rispetto a quella superiore.
La pallina allora viene sostenuta da questa differenza di pressione, che si oppone alla forza di gravità ,
muovendosi su una traiettoria molto più “tesa”, caratterizzata da un angolo di impatto col terreno piuttosto
ridotto e conseguente rimbalzo “basso” e teso (vedi schema seguente).
•Il Calcio di Bernoulli
L’ effetto Magnus viene sfruttato nei tiri cosiddetti “a giro” e nel calcio delle punizioni da posizione
favorevole per ottenere una traiettoria curva del pallone, in
grado di superare la barriera passandole sopra o aggirandola
lateralmente e rientrare insaccandosi quindi in rete ………….
ma non è per niente facile !
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-
Le ali degli areoplani e i rubinetti
Il funzionamento delle ali degli aerei è basato sul fatto che il
profilo dell’ala non è simmetrico.
Il profilo inferiore infatti risulta più piatto di quello superiore.
Questo fatto comporta che, durante l’avanzamento del
velivolo, le particelle d’aria che scorrono sulla faccia superiore
percorrano un cammino più lungo di quelle che scorrono
inferiormente , nello stesso intervallo di tempo.
La velocità dell’aria rispetto all’ala è quindi maggiore sopra
che sotto.
Bernoulli ci conferma che , per questo motivo, la pressione
inferiore diventa maggiore di quella superiore con il risultato
di dare luogo a quella che viene denominata portanza ovvero
la forza in grado di sostenere l’aereo.
Se l’ala viene inclinata rispetto all’orizzontale, all’effetto
precedente si somma la portanza dovuta alla componente della
resistenza dell’aria (forza opposta al movimento)
perpendicolare all’ala.
L’inclinazione delle ali non può superare i 15° in quanto, oltre alla maggiore resistenza all’avanzamento, si
formerebbero vortici e turbolenze che possono far diminuire drasticamente la portanza con conseguente
impossibilità di sostentamento dell’aereo.
Un effetto simile viene ottenuto con le pale delle eliche .
Nel caso di un aereo le eliche sono disposte in modo che la spinta sia diretta nello stesso verso del
movimento ; per l’elicottero invece la portanza è diretta verso l’alto.
Un fenomeno molto meno importante, ma più facilmente verificabile, basato sullo stesso principio, è il
seguente :
Facciamo uscire dal rubinetto un filetto fluido uniforme e privo di
turbolenze o vortici.
Avvicinandogli lentamente il dorso di un cucchiaio, sostenuto in
modo che sia libero di “dondolare” , ci aspetteremmo che durante
il contatto il cucchiaio fosse respinto verso l’esterno .
Non senza meraviglia si può verificare che il cucchiaio viene
attratto dal filetto fluido che si adatta al nuovo profilo con la
restrizione della vena .
Anche questo fenomeno inaspettato può essere spiegato alla luce
dell’effetto Venturi (ovvero dell’equazione di Bernoulli).
La restrizione della vena fluida comporta un aumento della
velocità del liquido con conseguente diminuzione della pressione
rispetto a quella atmosferica circostante .
La differenza tra la pressione della parte ristretta della vena fluida
e quella dell’aria che si trova sul lato opposto del cucchiaio lo
tiene premuto verso il fluido.
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- Le F1 con alettoni e “ minigonne”
Per avere maggiore aderenza, soprattutto in curva, le monoposto di F1 sfruttano moltissimo gli effetti
aerodinamici, cercando di limitare il più possibile la massa per avere minor inerzia .
Si fa largo uso degli alettoni che altro non sono che profili alari “capovolti” che devono produrre portanza
verso il terreno (ovvero deportanza).
Modificandone il profilo e l’inclinazione si ha maggiore spinta verso il terreno, ma con aumento anche
notevole della resistenza all’avanzamento.
I progettisti, da parecchi anni, hanno utilizzato un nuovo metodo per ottenere deportanza con ridotto
incremento della resistenza aerodinamica.
Il fondo della vettura è sagomato come riportato qualitativamente nella figura seguente ; tra il fondo vettura
e l’asfalto si forma un condotto simile ad un tubo di Venturi con sezione variabile in cui passa l’aria durante
il movimento.
Come abbiamo già avuto modo di chiarire nella zona in cui la sezione del tubo Venturi si restringe si ha un
aumento della velocità di flusso dell’aria ed una diminuzione della pressione rispetto a quella atmosferica
circostante, presente anche sopra la carrozzeria.
Il risultato è una spinta verso il basso che fa aumentare notevolmente l’aderenza , soprattutto in curva, con
minima riduzione delle velocità massime in rettilineo (come invece
avviene per gli alettoni).
La conformazione del profilo inferiore è studiata in modo da avere la
risultante delle pressioni nella zona più favorevole per il buon
funzionamento sia dell’avantreno che del retrotreno.
L’effetto Venturi è limitato dal fatto che l’aria, dopo essere entrata nel
canale, può in parte uscire lateralmente ; i progettisti sono però riusciti ad
ottenere comunque notevoli valori di deportanza sagomando
opportunamente la zona anteriore e soprattutto il “profilo estrattore”
posteriore.
Diversi anni fa per ottenere maggiore deportanza le
automobili erano state dotate di paratie laterali mobili, poste
all’estremità delle fiancate e tenute a contatto con l’asfalto
tramite apposite molle .
Le paratie , denominate “minigonne” , strisciando sull’asfalto
sigillavano lateralmente il tubo di Venturi inferiore,
garantendo grande deportanza.
Questi accessori furono proibiti in quanto le velocità di
percorrenza delle curve, grazie al cosiddetto effetto suolo ,
erano cresciute vertiginosamente, divenendo troppo
pericolose.
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•LA VELOCITA’ DI EFFLUSSO
Il Teorema di Torricelli per i fluidi
Supponiamo di avere a disposizione un recipiente dotato di un foro, di
piccole dimensioni, a distanza h dal pelo libero, da cui esce il fluido con
velocità V2.
Applicando il teorema di Bernoulli è possibile calcolare la velocità di
efflusso V2.
Consideriamo le due sezioni 1-1 e 2-2 poste in corrispondenza del pelo
libero e del foro di uscita.
Nell’ipotesi che la dimensione del recipiente sia molto più grande di
quella del foro si può considerare che la velocità di spostamento nella
sezione 1-1 sia pressochè nulla .
Il teorema di Bernoulli allora dice che :
Sez. 1-1
p1=patm altezza 1 = h
Sez. 2-2
p1=patm altezza 1 = 0
v1 ≈ 0
v = v2
Questa espressione coincide con quella del “Teorema di Torricelli” che
fornisce il valore della velocità di caduta libera di un corpo nell’ipotesi di
trascurabilità della resistenza dell’aria.
Possiamo quindi affermare che :
La velocità di efflusso da un foro di piccole dimensioni è la stessa che
il fluido acquisterebbe se cadesse liberamente nel vuoto dall’altezza h.
•L’ATTRITO INTERNO NEI FLUIDI IN MOVIMENTO
In tutte le considerazioni svolte fino a qui è stato
trascurato l’attrito interno al fluido, così come
l’attrito tra il fluido e le pareti del condotto entro il
quale fluisce.
L’esperienza dimostra che tale attrito esiste ed ha
alcune importanti conseguenze :
1 - La velocità della particelle non è costante su tutta la sezione ma ha un andamento parabolico con il
massimo nella zona centrale .
2 – Anche nel caso di condotto perfettamente orizzontale ed a sezione costante si verifica una
diminuzione della pressione lungo il percorso
3 – Per mantenere un fluido in moto in un condotto è necessario mantenere una differenza di
pressione tra le estremità del condotto
4 – Il valore della portata effettiva viene influenzato dalla differenza di pressione esistente, da
lunghezza e sezione del condotto e dall’attrito interno
Perdite di Carico : Diminuzione della pressione del fluido in direzione del movimento per effetto
degli attriti interni
Nella pratica tecnica si deve ovviamente tenere conto di questi effetti.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------NB : Quanto fin qui detto vale per il cosiddetto “ moto laminare” descritto a pag. 23 .
Lo studio del moto “turbolento” (presenza di turbolenze e vortici) risulta molto più complesso ed
esula dagli scopi di queste brevi note, richiedendo strumenti matematici di livello avanzato.
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