Seminario − Complementi di Geometria LS
Università di Bologna
CINETOSTATICA, CINEMATICA E GEOMETRIA DELLE RETTE
Così come molti concetti fisici sono naturalmente rappresentabili medianti i “classici” vettori tridimensionali, le forze e gli atti di moto sono naturalmente esprimibili, nello spazio proiettivo standard, mediante oggetti geometrico-algebrici chiamati ‘rette’ (o una loro estensione chiamata
screw).
1
Coordinate di Plücker di una retta
P2 = [ x2
y
z2 ]
T
y2
S
P1 = [ x1
r1
O
z
y1
z1 ]
T
x
S
Vettore arbitrario applicato sulla retta S:
(1)
⎡ L ⎤ ⎡ x2 − x1 ⎤
S = P2 − P1 = ⎢⎢ M ⎥⎥ = ⎢⎢ y2 − y1 ⎥⎥ .
⎢⎣ N ⎥⎦ ⎢⎣ z2 − z1 ⎥⎦
Momento della retta S:
(2)
⎡ P ⎤ ⎡ y1 z2 − z1 y2 ⎤
SO = r1 × S = ⎢⎢Q ⎥⎥ = ⎢⎢ z1 x2 − x1 z2 ⎥⎥ .
⎢⎣ R ⎥⎦ ⎢⎣ x1 y2 − y1 x2 ⎥⎦
S e SO definiscono univocamente la posizione di S nello spazio.
Coordinate di Plücker di S:
(3)
T
S = ⎡⎣S T ; SOT ⎤⎦ = [ L M
N ; P Q R]
Solo quattro tra le sei coordinate di Plücker sono indipendenti:
(4)
⎧⎪ L2 + M 2 + N 2 = S
⎨
⎪⎩S ⋅ SO = LP + MQ + NR = 0
1
T
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Le coordinate di Plucker possono ottenersi attraverso i minori di Grassmann:
1 x1
y1
z1
1 x2
y2
z2
⇓
(5)
L=
P=
1 x1
1 x2
= x2 − x1 ,
y1
z1
y2
z2
M=
= y1 z2 − z1 y2 ,
Q=
1
y1
= y2 − y1 ,
1 y2
z1
x1
z2
x2
N=
= z1 x2 − x1 z2 ,
1 z1
1 z2
R=
= z2 − z1 ,
x1
y1
x2
y2
= x1 y2 − y1 x2 .
Coordinate di Plücker di S in termini omogenei:
w1
w2
x1
x2
y1
y2
z1
z2
⇓
(6)
L=
w1
w2
x1
w
= w1 x2 − w2 x1 , M = 1
x2
w2
y1
w
= w1 y2 − w2 y1 , N = 1
y2
w2
z1
= w1 z2 − w2 z1 ,
z2
P=
y1
y2
z1
= y1 z2 − z1 y2 ,
z2
x1
= z1 x2 − x1 z2 ,
x2
y1
= x1 y2 − y1 x2 .
y2
Q=
z1
z2
R=
x1
x2
P2 =
1
[0 L M
w1
Punto improprio appartenente alla retta S (P2 → ∞):
(7)
w2 = 0
⇒
x2 = L w1 , y2 = M w1 , z2 = N w1
⇒
Distanza di S dall'origine:
(8)
S O = d OS × S ⇒
y
S
S
O
z
⇒ d OS =
S O = d OS S
dOS
x
2
SO
S
.
N]
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Retta all'infinito S∞ (P1 → ∞, P2 → ∞):
w1 = w2 = 0
⇓
(9)
0
L=
x1
0 x2
P=
y1
z1
y2
z2
= 0,
M=
= y1 z2 − z1 y2 ,
Q=
0
y1
0
y2
z1
x1
z2
x2
= 0,
N=
= z1 x2 − x1 z2 ,
R=
T
0
0 z2
x1
y1
x2
y2
(10)
S ∞ = ⎡⎣0T ; SOT ⎤⎦ = [ 0 0 0; P Q R ] ;
(11)
d SO = S O S → ∞ .
T
S∞ è la retta all'infinito sulla giacitura normale a SO:
S∞
Π1
S O n1 = n 2
Π2
Piani normali ai versori n1 e n2 e posti a distanza d1 e d2 dall’origine:
(12)
Π1 : r ⋅ n1 − d1 = 0,
Π 2 : r ⋅ n2 − d2 = 0 ;
Retta intersezione tra Π1 e Π 2:
(13)
S = ⎡( n1 × n 2 ) ;
⎣
T
( d 2n1 − d1n 2 )
T
T
⎤ .
⎦
Se n2 = ± n1 :
(14)
S ∞ = ⎡⎣ 0T ;
( d 2 ∓ d1 ) n1T ⎤⎦
3
T
T
z1
= ⎡⎣0T ; SOT ⎤⎦ .
= 0,
= x1 y2 − y1 x2 ;
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2
Cinetostatica del corpo rigido
Sia S una forza (“vettore applicato su una retta d’azione”):
S = F = Fs .
(15)
F = Fs
y
r
O
z
x
F
Coordinate di Plücker della forza:
(16)
T
F = ⎡⎣S T ; SOT ⎤⎦ = ⎡F T ;
⎣
(r × F )
T
T
T
⎤ = ⎡F T ; M OT ⎤ .
⎣
⎦
⎦
Una coppia (o “momento puro”) è un sistema di forze avente vettore risultante nullo (F = 0) e momento risultante diverso da zero (MO ≠ 0):
(17)
T
C = ⎡⎣0T ; M OT ⎤⎦ = F ∞
Una coppia è dunque interpretabile come una forza d’intensità nulla (o infinitesima) applicata su
una retta all’infinito.
Equilibrio di un sistema sottoposto ad un sistema di forze e coppie Fi:
(18)
⎪⎧∑ i Fi = 03
⎨
⎪⎩∑ i M i ,O = 03
⇒
⎡ Fi ⎤
⎥ = 06
⎣ i ,O ⎦
∑ F = ∑ ⎢M
i
i
i
Molti teoremi della cinetostatica, enunciati nell’ambito di uno spazio proiettivo standard, non necessitano di distinguere tra punti propri o impropri.
Es: N forze passanti per uno stesso punto sono equivalenti ad un’unica forza passante per lo stesso
punto.
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3
Cinematica del corpo rigido
Coppia rotoidale:
O
r
j
T
ω j , j −1 = q j s j
j −1
L’atto di moto del membro j rispetto al membro j−1 è un’istantanea rotazione, di ampiezza ωj,j−1dt,
intorno all’asse della coppia. L’atto di moto può dunque rappresentarsi mediante la velocità angolare ω j , j−1 = S applicata su tale asse.
Coordinate di Plücker dell’atto di moto rotatorio:
T
T
T
( r × ω j , j −1 ) ⎤⎦⎥ = ⎡⎢⎣ωTj , j −1;
T
(19) T = ⎡⎣S T ; SOT ⎤⎦ = ⎡⎢ω Tj , j −1 ;
⎣
T
T
( −ω j , j −1 × r ) ⎤⎦⎥ = ⎡⎣ωTj , j −1; OTj ⎤⎦ .
Coppia prismatica:
j
j− 1
T
v j , j −1 = q j s j
∞
L’atto di moto del membro j rispetto al membro j−1 è una pura traslazione d’intensità q j dt nella direzione sj ed è interpretabile come un’istantanea rotazione, di ampiezza nulla, intorno ad una retta
all’infinito sulla giacitura perpendicolare a sj.
Coordinate di Plücker dell’atto di moto traslatorio:
(20)
T
∞
T
T
T
= ⎡⎣S T ; SOT ⎤⎦ = ⎡⎣ω Tj , j −1 ; v Tj , j −1 ⎤⎦ = ⎡⎣0T ; v Tj , j −1 ⎤⎦ .
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Braccio robotico a tre gdl:
ω10 = q1s1
2
1
0
ω32 = q3s3
r13
O1
v 21 = q2s 2
O3
r1
r3
3
O
Velocità angolare del membro terminale rispetto al telaio:
(21)
ω30 = ω10 + ω 21 + ω32 = ω10 + ω32 .
Velocità del punto O3 rispetto al telaio:
(22)
O3 = O1 + ω10 × ( O3 − O1 ) + v 21 = ω10 × ( −r13 ) + v 21 = r13 × ω10 + v 21 .
Velocità del punto O rispetto al telaio:
O = O3 + ω30 × ( O − O3 ) = ( v 21 + r13 × ω10 ) + ( ω10 + ω32 ) × ( −r3 ) =
(23)
= v 21 + r13 × ω10 + r3 × ω10 + r3 × ω32 = v 21 + ( r13 + r3 ) × ω10 + r3 × ω32 =
= v 21 + r1 × ω10 + r3 × ω32 .
Atto di moto del membro terminale rispetto al telaio:
(24)
ω10 + ω32
⎤ ⎡ ω10 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ ω32 ⎤
⎡ω ⎤ ⎡
∞
T = ⎢ 30 ⎥ = ⎢
⎥ = ⎢r × ω ⎥ + ⎢ v ⎥ + ⎢r × ω ⎥ = T1 + T 2 + T 3 .
r
ω
v
r
ω
×
+
+
×
O
⎣ ⎦ ⎣1
10
21
3
32 ⎦
10 ⎦
32 ⎦
⎣ 21 ⎦ ⎣ 3
⎣1
N.B. L’atto di moto di un corpo rigido, ossia la velocità di un qualunque suo punto P rispetto ad un
riferimento, è univocamente definito allorché siano noti la velocità angolare ω del corpo e la velocità di almeno un suo punto O: P = O + ω × ( P − O ) .
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Ulteriore applicazione cinematica: analogia tra moto sferico e moto piano
Definizioni classiche:
Moto cinematicamente piano = tutti i punti descrivono traiettorie parallele ad uno stesso piano.
Moto cinematicamente sferico = tutti i punti descrivono traiettorie sferiche concentriche intorno ad
uno stesso punto.
Definizione nello spazio proiettivo standard:
Moto sferico = tutti i punti descrivono traiettorie sferiche concentriche intorno ad uno stesso punto
(proprio o improprio).
Molti teoremi e proprietà valgono a prescindere dal fatto che il centro del moto sia proprio o improprio, ad es.:
− formula di Grübler: gdl = 3 ( m − c − 1) + ∑ gdli ;
i =1, c
− le superfici primitive del moto relativo tra due corpi sono coni (in senso lato);
− assegnati tre corpi A, B e C, gli assi d’istantanea rotazione dei tre moti relativi devono essere
complanari (teorema di Aronhold-Kennedy);
− ecc. ecc.
7
