Suono e musica: le basi fisiche
dell’ armonia
Leonardo Castellani
Università del Piemonte Orientale
Torgnon , 14 Marzo 2013
• Sentiamo un suono quando il timpano dell’ orecchio è posto
in vibrazione da un’ onda sonora
• Un’ onda sonora è formata da zone di compressione e
rarefazione dell’ aria, che si propagano in tutte le direzioni
(se non ci sono ostacoli)
Alta pressione
(compressione)
Bassa pressione
(rarefazione)
Oscillazione del valore della pressione, nel tempo e nello spazio
p
Le molecole dell’ aria oscillano nella stessa direzione dell’ onda.
Le oscillazioni sonore sono quindi longitudinali.
(a) Onda longitudinale
(b) Onda trasversale
Le onde del mare non sono
nè completamente trasverse
nè completamente longitudinali
• Riassunto: per qualsiasi onda che si propaghi a velocità v :
v=λ/T
p
λ
A
λ = lunghezza d’ onda
T = periodo = tempo impiegato nel percorrere λ
f = frequenza = 1/ T = quante volte l’ onda oscilla in un secondo
→ ALTEZZA del suono . Si misura in Hertz (Hz)
A = ampiezza dell’ onda → VOLUME del suono
La FORMA dell’ onda dà invece il TIMBRO del suono !
ANDAMENTO PERIODICO
SUONO
ALTRIMENTI
RUMORE
Le frequenze (fondamentali) delle corde del pianoforte
Do8 = 4186 Hz
La4 = 440 Hz
La0 = 27.5 Hz
Esperimento con oscilloscopio:
le onde sonore di vari strumenti
Il VOLUME (o INTENSITA’) del suono
(legato all’ ampiezza A)
= energia trasmessa dall’ onda in un secondo
attraverso una superficie di 1 m2
Si misura in watt/m2
W/m2
Soglia del dolore
I0
Soglia della percezione
percezione
dolore
• Da cosa sono provocate le onde (oscillazioni) in natura ?
Da una eccitazione iniziale e da una forza di richiamo
• L’ eccitazione provoca uno spostamento x dalla posizione
di equilibrio
• La forza di richiamo F tende a riportare alla posizione di
equilibrio
• Per PICCOLI SPOSTAMENTI la forza di richiamo
è proporzionale allo spostamento (es: molla)
F=kx
Vediamo allora come oscilla una massa attaccata ad una molla:
Il moto della massa in questo caso
si chiama “moto armonico”.
Per questo motivo la forma dell’ onda
associata al movimento di m si chiama
onda armonica (oppure onda “pura”
o “sinusoidale” )
È l’ onda “più semplice”
• Le onde si possono SOVRAPPORRE !
Per esempio quando in mare si incontrano
due onde , le loro ampiezze si SOMMANO
Qualunque onda di frequenza f può ottenersi come
sovrapposizione di onde armoniche, di frequenze
n f (teorema di Fourier), con n = numero intero
n = 1 → FONDAMENTALE
n = 2 → PRIMA ARMONICA
n = 3 → SECONDA ARMONICA etc….
Ampiezze delle
armoniche
Analisi spettrale
Sovrapposizione di armoniche: non viene percepita come
un insieme di suoni a frequenze diverse, ma come un unico
suono, con data frequenza fondamentale. La presenza di
armoniche, variamente miscelate, produce il timbro del suono.
Meccanismo che permette di assegnare un’ unica sensazione di
altezza ad un tono complesso di strumento musicale
→ Analisi spettrale con oscilloscopio
• Abbiamo visto che una molla oscilla armonicamente, e può quindi
emettere (spostando periodicamente le molecole di aria nelle
sue vicinanze) un suono armonico. Esempio: diapason.
• Uno strumento musicale è molto più complesso di una molla
o di un diapason. Vengono messe in vibrazione corde oppure
colonne di aria in opportuni cilindri etc. Queste vibrazioni
eccitano altre parti dello strumento (che entrano in risonanza).
Perché gli strumenti musicali emettono suoni, cioè
onde periodiche di compressione, e non rumori (aperiodici) ?
A causa della riflessione delle onde, se fate vibrare una
corda tenuta fissa a due estremi, l’ onda riflessa interferisce
con l’ onda originaria, a meno che non si crei una
ONDA STAZIONARIA
• In genere in una corda vibrante (corda di chitarra, di
pianoforte, di clavicembalo…), o in una colonna d’ aria
vibrante (canna d’ organo, o di flauto etc..)
si creano sovrapposizioni di onde stazionarie,
con un’ onda di frequenza minima (la fondamentale)
accompagnata
da varie armoniche (con frequenze multiple della fondamentale)
• Però lo spettro di frequenze emesse da una chitarra o da
un violino non è semplicemente quello della corda che vibra.
Infatti il corpo della chitarra o del violino RISUONA per
alcune frequenze: le armoniche corrispondenti a quelle
frequenze vengono esaltate.
Il fenomeno della risonanza:
• Esempio: diapason su cassa di risonanza.
• Le onde sonore emesse da un diapason possono mettere in
vibrazione un altro diapason inizialmente “fermo”,
se le frequenze proprie dei due diapason sono uguali
• Esempio: altalena che oscilla con frequenza propria
di 1 Hz. Spinte di frequenza 1, 1/2, 1/3 Hz …
(una spinta ogni una, due, tre,…oscillazioni) possono metterla
in movimento ed ampliarne l’ ampiezza di oscillazione !
Tacoma Narrows
Bridge, 1940
Così nel pianoforte il La3 (220 Hz) mette in risonanza
il La4 (440 Hz ) dell’ ottava superiore
La4 (440 Hz)
La3 (220 Hz)
Con tecniche di interferometria olografica si ottengono
immagini delle onde stazionarie sul corpo dello strumento:
Ampiezza delle oscillazioni ≈ 10-5 cm
La serie armonica
• Pizzicando una corda (Sol2), si eccitano in generale
più armoniche. L’ altezza corrisponde alla fondamentale Sol2
• L’ ampiezza delle varie armoniche determina la forma
dell’ onda stazionaria sulla corda, cioè il timbro
• Le prime otto armoniche, in notazione musicale:
Sperimentare col pianoforte !
Consonanza e dissonanza
• sensazione soggettiva associata a due o più toni suonati
simultaneamente
• due suoni all’ unisono (stessa frequenza della fondamentale)
hanno le stesse armoniche
• Cosa succede se modifichiamo gradatamente l’ altezza
(cioè la frequenza) di uno dei due suoni ?
1) un solo suono, battimenti
(si percepiscono bene fino a circa Δf = 10 Hz)
2) oltre 15 Hz: spariscono i battimenti, e ruvidezza del suono
3) quando Δf raggiunge un certo valore critico Δf D :
si distinguono due toni separati. Rimane la ruvidezza.
4) quando Δf raggiunge un certo valore critico ΔfCB :
scompare la sensazione di ruvidezza
Dalla sovrapposizione di due onde di frequenze vicine:
battimenti
Frequenza dei battimenti = differenza delle frequenze delle due onde
L’ orecchio
35 mm
Frequenze diverse mettono in vibrazione
diverse zone di questa membrana
ΔfCB corrisponde a circa 1.2 mm
• La cochlea è un raffinatissimo analizzatore di spettro
• quando un’ onda sonora raggiunge la cochlea, la sua membrana
inizia a vibrare nelle varie zone corrispondenti
alle armoniche presenti nel suono.
Quando vibrano zone diverse della membrana che distano meno
di circa 1.2 mm, si ha sovrapposizione parziale delle zone,
con relativa “fatica” del cervello per decodificare le frequenze
Sensazione di spiacevolezza
due suoni sono sentiti come “consonanti” se le loro fondamentali
e le loro principali armoniche
non sono nella situazione di
“vicinanza fastidiosa” nella cochlea.
• Quali sono gli intervalli musicali per cui questo accade ?
• In ordine di consonanza:
1/1
2/1
3/2
4/3
unisono
ottava
quinta
quarta
Consonanze
“perfette”
5/3
5/4
6/5
8/5
sesta maggiore
terza maggiore
terza minore
sesta minore
Consonanze
“imperfette”
Rapporto tra le frequenze
A. Frova, Le Scienze, gennaio 2000
Le scale musicali
Un certo numero di note (insieme discreto di frequenze)
scelte in modo da fornire
il maggior numero possibile di combinazioni consonanti
quando due o più note vengano suonate contemporaneamente
Con questo criterio si costruiscono immediatamente
due scale:
Consonanze perfette e imperfette → scala “giusta”
Solo consonanze perfette
→ scala pitagorica
Esempio: costruzione della scala pitagorica
Costruita con l’ ottava (2/1), la quinta (3/2) e la quarta (4/3)
1/2
Scala pentatonale
4/3
3/2
4/3
do
f
re
9/8 f
3/2
sol
3/2 f
la
27/16 f
do
2f
Scala pitagorica
do
re
mi
fa
sol
1
9/8
81/64
4/3
3/2
9/8
9/8
256/243
9/8
la
27/16
9/8
si
do
243/128
9/8
2
256/243
9/8 = 1.125 = tono pitagorico
256/243 = 1.053 = semitono diatonico pitagorico
Poi generiamo fa# (quarta sotto si), do# (quarta sotto fa#),
sol# (quinta sopra do# ), la# (quarta sopra fa) e re# (quinta sotto la#)
Appare un nuovo semitono (per es. fa - fa#)
2187/2048 = 1.068 = semitono cromatico pitagorico
12 note
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si
1
256
243
9
8
32
27
81 4
64 3
729
512
I CENTS
NB
(9/8)6 2.027
3
2
128
81
27 16
16 9
243
128
Per un’analisi quantitativa dei rapporti di frequenze:
i CENTS. L’ ottava = 1200 CENTS.
SEMITONO TEMPERATO = 100 CENTS =
12
2
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si
1
256
243
9 32
8 27
81 4
64 3
729
512
3
2
0
114 204 294 408 498 612 702
128
81
27 16
16 9
243
128
816 906 996 1110
Intervalli puri (matematici):
quinta
= 3/2 = 702 cents
quarta
= 4/3 = 498 cents
terza maggiore = 5/4 = 386 cents
terza minore = 6/5 = 316 cents
sesta maggiore = 5/3 = 884 c.
sesta minore = 8/5 = 814 cents
Scala giusta (o naturale)
basata su rapporti semplici
costruita per ottave, quinte, terze pure
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si
1
16
15
9
8
6
5
5
4
0
112
204 316 386 498 603 702
do – re : 9/8 = 204 cents
re – mi : 10/9 = 182 cents
4
3
17
12
3
2
8
5
5
3
9
5
15
8
814
884 1018 1088
problema anche per
melodie senza accordi
Problemi: consonanze solo in poche tonalità
Restrizioni alle trasposizioni e alle modulazioni !
Problemi risolti con la scala TEMPERATA
Necessario un compromesso: si rinuncia alla “giustezza” degli
intervalli musicali, per ottenere invece un rapporto di frequenze
SEMPRE UGUALE tra i semitoni della scala
Questo rapporto è dato da
semitono temperato
12
2
= 1.0595 = 100 cents
I cents
Paragone tra le varie scale:
Frequenze della scala temperata
C D E F G A B
do re mi fa sol la si
Quinta: do-sol
deviazioni da consonanza matematica: 0,0,-5,-2 (temp)
sol# - mib
deviazioni: -24 (lupo),-2,+35,-2
Terza maggiore: do - mi
deviazioni : + 22, 0, 0, +14(temp)
Sesta maggiore : do – la
deviazioni: +22, 0, +6, +16(temp)
Scala pitagorica:
Scala giusta:
Scala temperata:
si apprezzano meno le differenze quando non ci sono
accordi!
Vari temperamenti
Pitagorico (per quinte pure): apprezzabile per stili armonici in cui
si favoriscono quinte e quarte (polifonia in Cina e Europa medioevale)
Perotin, Adam de la Halle, Petrus de Cruce , XIII secolo.
Guillaume de Machaut, XIV secolo.
Terze maggiori e minori non sono pure. Una quinta “del lupo”.
Quando un intervallo musicale si allontana troppo dalla consonanza
matematica, diventa troppo “stonato” per essere utilizzato (si
dice allora “del lupo”). Nei temperamenti antichi si tollerano
circa 22 cents sulle terze (come nelle terze pitagoriche) e
circa 11 cents sulle quinte. Un orecchio moderno è forse più esigente.
Nel XV secolo lo stile musicale evolve con maggiore enfasi su
terze e seste
necessità di temperamenti diversi
(“meantone tunings”: triadi maggiori quasi pure)
Temperamenti regolari (tutte le quinte temperate
con lo stesso numero di cents):
Aaron’s meantone, Silbermann.
Temperamenti irregolari: Kirnberger, Vallotti, Werckmeister,
il “ben temperamento” (quello del “Clavicembalo ben temperato”)
- ogni tonalità è usabile
- no lupi
- ottave pure
- tutti gli accordi suonano bene. Ben temperamento: terze maggiori
e quinte quasi pure per tonalità vicino a do, intervalli meno
puri, ma sempre accettabili, per tonalità lontane da do.
- ogni tonalità ha un suo “colore”. Si può scrivere musica
assecondando il colore della tonalità scelta.
Bach: clavicembalo ben temperato, 48 preludi e fughe, 2 in ogni
tonalità (maggiore e minore)
Temperamento equabile
Si diffonde dalla metà dell’ 800 (proposto da Mersenne verso
la metà del XVIII secolo).
Ogni scala suona nello stesso modo. Tutti gli accordi sembrano
ugualmente intonati.
Solo ottave pure
Tutte le tonalità abbastanza “interessanti”, ma tutte uguali tra loro
come colore.
Il migliore dei mondi?
Bach in “ben temperamento”
Musica medioevale in accordatura pitagorica
Chopin e romantica: temperamento equabile.
Frammenti musicali in vari temperamenti
Schubert: temperato
Bach: clavicembalo
giusto
organo
pitagorico
(pitagorico 1/6 comma)
Buxtehude
temperato
Handel
Senfl: pitagorico
Musica nella fisica ?
esempio contemporaneo: teoria delle stringhe (per spiegare le interazioni
fondamentali tra i componenti “ultimi” della materia)
LA MATERIA:
LEPTONI
QUARKS
LE INTERAZIONI e le particelle mediatrici
Elettromagnetica:
Forte:
Debole:
fotone γ
gluone
Z 0, W±
Gravitazionale
gravitone
Particelle puntiformi, senza struttura interna (fino a 10-18 metri)
Ragioni per una fisica “oltre il modello standard” . Ulteriori unificazioni
e-
ePer es: l’ interazione elettromagnetica
tra elettroni è mediata dai fotoni
γ
NOTA: le zone di interazione sono puntiformi
e-
e-
Per la gravitazione, lo stesso schema porta a inconsistenze
matematiche
E’ necessario superare il concetto di particella elementare
PUNTIFORME
Gli oggetti elementari sono STRINGHE, di estensione
~ 10-35 m
aperta
chiusa
Le zone d’ interazione
sono estese
I vari modi di vibrazione
corrispondono alle varie
particelle
Illusioni acustiche: effetto Schepard
R. Shepard, J. Acoust. Soc. Am 36 (1964) 2346
Bibliografia:
J. G. Roederer, The Physics and Psychophysics of Music,
1995 Springer
J. Jeans, Science and Music, 1937 (Dover 1968)
H. Helmholtz, On the sensations of tone, 1885 (Dover 1954)
J. Backus, The acoustical foundations of music, Norton 1969
M. Critchley, R.A. Henson, La musica e il cervello, Piccin 1987
A. Schönberg, Manuale di armonia, 1922 (Il Saggiatore 1963)
