ESPERIENZA 3
Misura delle magnitudini apparenti della galassia M 87 in banda B, V ed R e
determinazione della sua massa luminosa.
Obbiettivi:
Misurare, tramite acqusizione di immagini a lunga posa, le magnitudini apparenti
nelle tre bande fotometriche B, V, R, della galssia M 87.
Conoscendo la distanza, determinare le magnitudini assolute nelle tre bande.
Confrontare queste magnitudini con quelle del Sole per ottenere una stima della
massa della galassia in unità di masse solari.
Schema Esperienza
In questa esperienza acquisiremo e misureremo i flussi in banda V e B ed R della
galassia M 87 allo scopo di determinare le magnitudini apparenti della galassia in
queste bande.
1. Acquisiremo un certo numero di frames (sottoesposizioni) in ogni banda in
maniera da raggiungere un tempo totale di esposizione che ci permetta di
ottenere il rapporto S/N precedentemente calcolato (se non lo avete fatto prima,
calcolate il rapporto S/N aspettato per le nostre condizioni sperimentali e
confrontatelo con quello che effettivamente ottenete). Acquisiremo anche i
necessari frame di riduzione.
2. Dopo aver ridotto i dati, messo a registro le immagini e averle opportunamente
“sommate” tra loro procederemo alla astrometizzazione dei frames.
3. I frames astrometrizzati saranno usati sotto Aladin per individuare, usando un
catalogo di riferimento, un certo numero di stelle di calibrazione.
4. Le stelle di calibrazione saranno utilizzate per ottenere la calibrazione
fotometrica dei frames - relazione flusso-magnitudine.
5. Misurate utilizzando lo strumento fotometrico di Aladin il flusso della galassia
nelle tre bande. Misurate anche il flusso di background (fondo-cielo) e ricavate
il segnale dovuto alla SOLA galassia.
6. Usando le relazioni di calibrazione precedentemente ottenute ricavate le
magnitudini apparenti nelle tre bande. Calcolate gli errori associati.
7. Usando la relazione che lega la magnitudine apparente a quella assoluta e
utilizzando i dati di distanza della Galassia (ottenibili dal NED) ricavare la
magnitudine assoluta nelle tre bande con la sua incertezza sperimentale.
8. Confrontando i valori ricavati con le magnitudini assolute del Sole nelle tre
bande ricavate una stima di massa luminosa della galassia in unità di masse
solari.
1
0. Informazioni sul soggetto
M 87
M 87 (NGC 4486) è probabilmente la principale galassia dell’ammasso di galassie
della Vergine (Virgo Cluster).
Per maggiori informazioni su questa galassia vedi:
http://messier.seds.org/m/m087.html
e per accedere a numerosi dati (e immagini) relativi a M 87, vedi:
http://ned.ipac.caltech.edu/
inserendo il nome (M 87) nel campo OBJECTS del portale.
Riportate nella relazione qualche dato informativo.
1. Acquisizione dati al telescopio
Seguite le stesse procedure usate al telescopio per la precedente misura. Per ottenere
il tempo totale di esposizione saranno necessarie sottoesposizioni relativamente
lunghe. Sarà pertanto necessario guidare.
2. Riduzione e astrometrizzazione
Utilizzando MaxIm, eseguite le procedure usate per la precedente esperienza
(Riduzione dati CCD).
3. Stelle di calibrazione
Caricate i file astrometrizzati su Aladin e usate il catalogo NOMAD per individuare
quante più stelle di calibrazione possibile. Usate stelle del campo non sature o fuori
linearità. Potendo scegliere, escludete le stelle con i rapporti S/N più bassi.
Valutate con una certa oculatezza i dati di catalogo e gli oggetti che utilizzate per la
calibrazione
2
4. Calibrazione fotometrica
Misurate i flussi con lo strumento Apertura su Maxim, calibrando opportunamente i
raggi. Usate la misura del rapporto S/N effettuata dal software, anche se indicativa,
per escludere le stelle con basso rapporto.
Procedete nella calibrazione per ogni banda usando lo stesso metodo che avete
utilizzato nella precedente esperienza.
Questa procedura è una procedura semplificata. Per una calibrazione corretta sarebbe
opportuno seguire la procedura illustrata nel seguito. Non è necessario che la
utilizziate, ma è bene che la conosciate.
5. Calibrazione fotometrica corretta
Qui nel seguito è riportata una presentazione teorica su come si fa una calibrazione
fotometrica, in fotometria relativa, cioè usando per la calibrazione stelle acquisite
nello stesso frame su cui si eseguono le misure.
5.1. Fotometria relativa
Si supponga di aver osservato un certo campo stellare che includa sia gli oggetti di
cui si vuole determinare la magnitudine, sia un certo numero di stelle di campo, le cui
magnitudini e colori in un certo sistema fotometrico siano noti. Ovviamente, il fatto
di disporre della fotometria di oggetti nel campo rende l’operazione molto più
semplice, in quanto ciò permette di risolvere (almeno in larga parte) il problema
causato dalla mancata conoscenza delle condizioni di trasparenza del cielo al
momento delle osservazioni ed i coefficienti di estinzione nelle varie bande.
Se così non fosse dovremmo misurare i coefficienti di estinzione k nelle diverse
bande, misurando la magnitudine di stelle di magnitudine nota poste in diverse
condizioni di airmass X (diverse altezze sull’orizzonte) e usare la correzione dovuta
all’estinzione:
m (X) = m0 + k * X
(Vedi lezione sul Mezzo)
Come già visto, la magnitudine strumentale è semplicemente data da:
m = −2.5logf
Dove f è il flusso misurato con lo strumento di fotometria d’apertura.
Nel seguito, indicheremo con f∗ il flusso misurato sulla stella da calibrare, mentre con
fi indicheremo il flusso misurato, sulla stessa immagine, per la stella di riferimento i3
esima. Allo stesso modo, indicheremo con m∗ e mi le magnitudini strumentali del
nostro oggetto e della generica stella di riferimento, rispettivamente. Indicheremo
invece con lettere maiuscole le magnitudini calibrate (M∗ e Mi ), da non confondere
con le magnitudini assolute!
5.2. Punto zero e termine di colore
Nel caso in cui il nostro sistema fotometrico (che è composto dal CCD, dai filtri, dal
telescopio e dall’atmosfera soprastante) sia identico a quello in cui sono espresse le
magnitudini delle stelle di riferimento, il nostro problema sarebbe semplice. In tali
circostanze, infatti, le differenze fra magnitudini strumentali e magnitudini calibrate
sarebbero identiche (entro gli errori di misura), ovvero M∗ − m∗ = Mi − mi.
Invece che di una sola stella di calibrazione, come fatto in precedenza è meglio
usarne un certo numero N. Disponendo di N stelle di campo di riferimento, gli effetti
degli errori di misura si possono ridurre calcolando la media delle differenze fra le
magnitudini calibrate e strumentali delle stelle di riferimento:
(1)
Di fatto la media fornisce il valore medio della costante di calibrazione che spesso
viene indicata con M0, da cui:
M∗ = M0 + m∗
(2)
M0 è spesso indicato come punto zero, ed è caratteristico della strumentazione usata.
Ovviamente l’errore sulla magnitudine ottenuta è dato dai contributi degli errori di
misura del flusso e dalla indeterminazione sulla costante di calibrazione.
In linea di principio sarebbe quindi sufficiente sommare M0 alle magnitudini
strumentali per ottenere le magnitudini apparenti.
In realtà, nelle situazioni pratiche, il nostro sistema fotometrico sarà diverso da quello
in cui è stata ottenuta la fotometria di riferimento.
Quello che accade, in pratica, è che le bande passanti del nostro sistema non saranno
esattamente uguali a quelle di riferimento e, quindi, misureremo dei flussi che
saranno leggermente diversi da quelli che misureremmo se disponessimo del sistema
di riferimento. Ciò è essenzialmente dovuto al fatto che nessun oggetto celeste ha uno
spettro piatto.
Fortunatamente, almeno nel caso di stelle non troppo esotiche, gli spettri sono
abbastanza regolari ed è possibile applicare delle correzioni lineari alle magnitudini
ottenute, in modo da compensare per la deviazione dal sistema fotometrico standard.
4
Supponiamo di lavorare in banda V e con indice di colore (B-V), che è il caso che ci
interessa.
Invece della semplice espressione di calibrazione (2), dobbiamo scrivere:
V* = V0 + v* + γ VB−V (B − V )
(3)
Il termine correttivo γ, che dipende dall’indice di colore, è spesso indicato come
termine di colore. Anche il termine di colore è una caratteristica del sistema
fotometrico che stiamo usando e va determinato, appunto, usando delle stelle per le
quali qualcuno abbia già ottenuto le magnitudini nel sistema di riferimento.
5.3. Calcolo della soluzione fotometrica
Il calcolo del punto zero e del termine di colore è generalmente effettuato utilizzando
dei campi standard fotometrici (tipicamente quelli di Landolt o di Stetson). Tuttavia,
il procedimento da applicare al caso della fotometria relativa – come il nostro, in cui
usiamo stelle dello stesso campo per la calibrazione - è lo stesso.
Riprendendo l’equazione di colore per la banda V presentata nella sezione precedente (3), per ciascuna delle stelle di riferimento possiamo scrivere:
(4)
Dove Vi e Bi sono le magnitudini da catalogo e vi quella misurata.
Da questa semplice relazione si capisce come i punti che rappresentano ciascuna
stella si distribuiscono sul piano (B−V )÷V-v lungo una retta di cui il punto zero V0 è
l’intercetta ed il termine di colore γ la pendenza.
Usando un certo numero di stelle di riferimento (quindi con magnitudine nota in
banda B e V) e facendo un fit lineare dei punti yi = Vi-vi e xi = (B-V)i si ottengono
l’intercetta V0 e il coefficiente angolare γ.
A questi valori va associata un’incertezza che dipende soprattutto dalla precisione
con cui abbiamo misurato le magnitudini strumentali vi (Vedi Appendice 1).
Per calcolare la magnitudine V (o in un’altra banda) di una stella di cui si è misurata
la magnitudine strumentale v è necessario usare la (4). ma per usarla sembrerebbe
necessario conoscere già e magnitudini !
A questo punto ci occorrono delle relazioni che legano il colore strumentale a quello
5
standard, che sono del tipo:
(B − V ) = (B − V )0 + κ B−V (b − v)
(5)
Usando la relazione precedente per un certo numero di stelle di riferimento e usando,
come in precedenza, il metodo dei minimi quadrati, si ottengono (B-V)0 -intercetta- e
coefficiente angolare (anche qui con i loro errori).
In pratica:
1. si determinano il coefficiente angolare e l’intercetta della (5) usando le stelle di
riferimento
2. si determinano gli indici di colore (B-V) delle stelle da misurare
3. si determinano il coefficiente angolare e l’intercetta della (4) usando le stelle di
riferimento
4. Usando gli indici di colore ottenuti dalla 5 e le magnitudini strumentali si
ottengono dalla (4) le magnitudini in banda V.
5. Si ripete la stessa procedura per la banda B ed R, in quest’ultimo caso si usa
l’indice di colore (V-R).
5.4. Gli errori nelle misure fotometriche
Per determinare gli errori sui dati ottenuti V e (B-V) si applica la propagazione degli
errori alla (5) e alla (4).
L’errore sull’indice di colore (deviazione standard) è dato da:
2
σ B−V = σ (2B−V )0 + σ κ2B−V (b − v)2 + κ B−V
σ b2− v
(6)
dove i primi due termini sono gli errori sui parametri del fit lineare della (5) e
l’ultimo termine dipende dagli errori delle misure di magnitudine strumentale nelle
due bande:
σ b − v = σ b2 + σ v2
che a loro volta dipendono dal rapporto S/N della misura (vedi lezione sul rapporto S/
N).
6
L’errore sulla magnitudine è dato da:
2
σ V = σ v2 + σ V20 + σ γ2 (B − V )2 + γ 2σ B−V
(7)
In cui il primo termine dipende dell’errore sperimentale su v, il secondo e il terzo
sono le incertezze sui parametri del fit della (4) e l’ultimo termine si ricava dalla (6).
Per ridurre l’errore è opportuno usare un certo numero di stelle di calibrazione, per
ridurre l’incertezza sui parametri dei fit, e cercare di lavorare su stelle con il migliore
rapporto S/N possibile.
6. Riportare i dati
Riportate in tabella tutti i dati ottenuti. Mettere in evidenza i parametri di calibrazione
di ogni banda in maniera che sia facile individuarli.
7. Calcolare la magnitudine apparente nelle tre bande
Misurare il flusso della galassia nelle tre bande utilizzando lo strumento fotometrico
di Aladin. Verificare che l’apertura contenga la maggior parte del flusso (aiutatevi con
le curve di livello che definiscono i contorni a stesso flusso). Utilizzando il valore del
background e il numero di pixel ottenete il flusso della SOLA galassia. Calcolate il
rapporto S/N della misura (per ogni banda).
Usando le relazioni di calibrazione precedentemente trovate e il flusso misurato per la
galassia nelle tre bande ottenere la magnitudine apparente nelle tre bande con i
relativi errori.
A questo punto tenete conto che è necessario apportare alle magnitudini ottenuti le
opportune correzioni per l’estinzione intergalattica.
I valori degli opportuni coefficienti di estinzione per questa galassia li trovate sul
NED.
8. Calcolo della magnitudine assoluta
Usando la relazione che lega magnitudine apparente e magnitudine assoluta e
ricavando il valore dalla distanza dai database, calcolate le magnitudini assolute nelle
tre bande e i rispettivi errori.
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9. Stima della massa luminosa
Usando i valori di magnitudine assoluta del Sole calcolate la massa luminosa della
galassia in unità di masse solari. Associate a questi valori i loro errori.
Fate l’assunzione (estremamente semplificata) che tutte le stelle della galassia
emettano come il Sole.
Qui sotto solo riportate le magnitudini assolute del sole nelle tre bande utilizzate.
Assumete un errore (sigma) di circa 0.05 magnitudini su questi dati.
(Per maggiori dettagli: http://www.ucolick.org/~cnaw/sun.html)
Banda
Magnitudine
B
5.45
V
4.80
R
4.46
10. Osservazioni conclusive
Rispondete e commentate i seguenti punti:
Il valore del rapporto S/N teorico è confrontabile con quello sperimentale ?
(calcolate il rapporto S/N in funzione della magnitudine per il tempo di esposizione
totale utilizzato e confrontatelo con il valore misurato - sempre in funzione della
magnitudine - Ricordatevi che il valore fornito da Maxim va opportunamente corretto
tenendo conto del contributo del flusso della stella)
Le magnitudini apparenti ottenute per la galassia sono confrontabili con quelle note ?
Commentare le eventuali discrepanze..
La massa luminosa ottenuta è confrontabile con i dati noti ?
Commentate eventuali discrepanze.
Quale è la fonte maggiore di errore in questa misura ?
8
Appendice 1
Calcolo delle incertezze associate ai parametri del fit lineare
Fit lineare dell’equazione:
Vi − vi = V0 + γ VB−V (B − V )i
Essendo Bi e Vi le magnitudini di riferimento si suppone che siano date con maggior
precisione rispetto alla magnitudine sperimentale vi
xi = Bi - Vi
yi =Vi - vi
Δ = N ∑ x i2 + [∑ xi ]2
Incertezza in y. Di fatto legata agli errori di misura in v.
σ V2 − v =
1
[yi − (V0 − γ VB−V xi )]2
∑
N −2
Incertezza sui due parametri (intercetta e coefficiente angolare) del fit:
σ
2
V0
σ γ2V
=
B−V
σ V2 − v ∑ xi2
Δ
N σ V2 − v
=
Δ
9
