La Relatività
Generale
A. Einstein 1916
E’ Probabile che nel momento stesso in cui stava
elaborando la Teoria della Relatività ristretta,
Einstein fosse consapevole che la nuova
concezione cinematica dello spazio e del tempo
avrebbe messo in discussione l’altro caposaldo
della fisica di Newton: la GRAVITAZIONE.
Si dovettero però attendere ben 11 anni
(definiti dallo stesso Einstein “Anni difficili”)
prima che il fisico di Ulm riuscisse ad
elaborare una nuova teoria della gravitazione
compatibile con la relatività ristretta e che
potesse sostituire quella di Newton.
Il motivo di una così lunga attesa è imputabile alla complessità
matematica di tale teoria che richiede l’uso di strumenti matematici
all’epoca da poco inventati e che per molti non erano altro che
speculazioni puramente matematiche:
• Geometrie non euclidee
• Calcolo tensoriale
Stimolato dalla lettura del profondo riesame storico critico dei
fondamenti della meccanica compiuto da E. Mach, Einstein
cominciò a capire che il problema della Gravitazione doveva
essere legato all’inerzia e cominciò a lavorare ad una
generalizzazione della teoria della Relatività Ristretta (RR) ai
sistemi di riferimento accelerati.
La sua attenzione si concentrò su un fenomeno fisico ben noto
da tempo e sperimentato con grandissima precisione :
l’equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale
Galileo, lasciando cadere pietre di dimensioni
diverse, aveva dimostrato che la gravità è
indipendente dalla massa ossia che oggetti di
massa diversa si muovono con la stessa
accelerazione di gravità g.
Trascurando la relatività, si consideri un corpo soggetto all’azione dell’attrazione
della Terra. La forza a cui esso è soggetto viene espresso dalla gravitazione
universale
MT M
F =G
2
R
Possiamo calcolare l’accelerazione del corpo usando la
seconda legge della dinamica
F
a=
m
MT M
a=G 2
R m
La distinzione tra M e m rispecchia il fatto che la massa
gravitazionale M (responsabile dell’attrazione gravitazionale)
si misura attraverso l’attrazione che un altro corpo esercita
sul corpo mentre la massa inerziale si misura attraverso
l’accelerazione che una forza costante produce sul corpo
Nel 1909 il fisico ungherese Loránd Eötvös dimostrò
l’uguaglianza tra massa inerziale e quella gravitazionale
con una precisione incredibile (10-8). Più recentemente
Dicke è arrivato ad una precisione di 10-12.
Tale uguaglianza prende oggi il nome di principio di
equivalenza debole (PED).
Loránd Eötvös
Einstein si rese conto che l’uguaglianza tra massa inerziale
e massa gravitazionale era un fatto empirico di grandissima
importanza e lo estese introducendo un fondamentale
principio destinato a influenzare ogni futura teoria della
gravitazione
Principio di equivalenza Forte di Einstein (PEF) :
gli effetti prodotti sui fenomeni fisici dalla presenza di un
campo gravitazionale sono equivalenti (indistinguibili),
almeno localmente, a quelli prodotti da un’opportuna
accelerazione del sistema di riferimento.
Per capire il significato profondo di questo principio prendiamo in considerazione
l’esperimento concettuale (gedankenexperiment) del razzo.
L’astronave è, in realtà, un laboratorio spaziale
senza oblò o dispositivi che ci permettano di
guardare all’esterno. L’estensione è circoscritta
ad un dominio finito dello spaziotempo
In questo laboratorio un fisico, attrezzato di
metri, orologi e quant’altro necessario, effettua
esperimenti per seguire il comportamento della
materia, senza però poter osservare lo spazio
esterno.
Immaginiamo due osservatori collocati all’interno di due astronavi identiche. La
prima, A, ancora sulla rampa di lancio e la seconda, B, in accelerazione nello spazio.
Supponiamo anche che B si muova con un’accelerazione esattamente pari a quella
di gravità alla superficie terrestre.
Il PEF ci dice che gli osservatori O e O’, qualunque esperimento essi
eseguano, troveranno esattamente gli stessi risultati.
In altre parole, senza guardare fuori, nessuno dei due può portare alcuna prova
che permetta di stabilire se l’astronave si è già sollevata in volo.
L’osservazione che gli effetti prodotti da un campo gravitazionale sono
indistinguibili da quelli prodotti da un opportuno sistema di riferimento
accelerato fa comprendere ad Einstein che:
è possibile stabilire quali sono le leggi del moto in un campo
gravitazionale e quali effetti abbia un campo gravitazionale sulla
struttura dello spaziotempo semplicemente studiando quello che
accade in un sistema di riferimento opportunamente accelerato.
Deflessione della luce
La luce è costituita di fotoni privi di massa e quindi non dovrebbe essere deviata
dal campo gravitazionale. Einstein dimostra, usando il principio di equivalenza,
anche la luce deve essere deviata dalla gravità.
Consideriamo la nostra solita astronave e supponiamo di aver
montato su una parete un faretto che emetta un fascio di luce
laser parallela al pavimento.
In condizioni normali, ossia se il sistema è inerziale e lontano da
campi gravitazionali, il fascio si manterrà parallelo al pavimento
Cosa succede se ora l’astronave si muove con accelerazione pari a g verso l’alto?
A causa dell’accelerazione l’osservatore all’interno
dell’astronave vedrà il fascio luminoso seguire una
traiettoria curvata verso il basso, esattamente uguale
a quella che seguirebbe un qualsiasi altro corpo.
L’osservatore dell’astronave, non potendo guardare
all’esterno, può non sapere di essere su un’astronave
in accelerazione ma può pensare di trovarsi fermo
sulla superficie di un pianeta avente accelerazione di
gravità g verso il basso.
In questo caso, l’osservatore all’interno
dell’astronave attribuisce la deviazione
della luce alla forza gravitazionale!
Secondo la relatività generale,
la gravitazione è in grado di deviare
la traiettoria della luce,
malgrado essa non abbia massa
Effetti del campo gravitazionale sullo spaziotempo
Per determinare il modo in cui la gravità modifica lo spaziotempo consideriamo il
seguente esperimento mentale: immaginiamo di avere una piattaforma in
rotazione su cui siano collocati due osservatori. Il primo, O, si trova al centro ed
è immobile rispetto alle stelle fisse, il secondo, O’, è sul bordo e ruota assieme
alla piattaforma.
O vede ruotare O’ con velocità V = ωR e accelerazione a = ω2R.
Dal canto suo O’ percepirà un’accelerazione a’ = ω2R diretta verso l’esterno
rispetto al centro della piattaforma.
Non essendo O’ a conoscenza del fatto che la piattaforma è in rotazione, in base al
PEF, interpreterà a’ come un’accelerazione dovuta alla presenza di un campo
gravitazionale. Infatti, tutti i corpi nel suo sistema di riferimento, tenderanno a
muoversi verso l’esterno della piattaforma con accelerazione uguale.
Vediamo ora come O e O’ valutano le misure spazio-temporali.
Per maggior chiarezza osserviamo la piattaforma dall’alto.
O e O’ possono eseguire delle misure per determinare
il rapporto tra la circonferenza C e il raggio R.
O misura allora con uno stesso righello sia la lunghezza R
del raggio che quella C della circonferenza, trovando il valore
C
= 2π
R
Anche O’ esegue le stesse misure. Per il raggio R’ trova lo stesso valore di O.
Infatti, essendo perpendicolare alla direzione della velocità, esso non subisce il
fenomeno della contrazione delle lunghezze.
Le cose vanno diversamente per la circonferenza C’. Infatti, essa risulta parallela
alla direzione della velocità e quindi essa risulterà accorciata rispetto a C per
l’effetto della contrazione delle lunghezze nella direzione del moto. Pertanto C’
risulterà minore di C e quindi O’ otterrà come rapporto tra circonferenza e raggio
'
'
'
C C C
=
<
'
R R
R
C
< 2π
'
R
Quindi l’osservatore non inerziale trova un rapporto C’/R’ inferiore
a 2π e attribuisce tale risultato alla presenta della gravitazione.
A prima vista questo risultato può sembrare strano. Lo studio della geometria
euclidea ci ha insegnato che il rapporto tra circonferenza e raggio deve
essere uguale a 2π
Ma la matematica venne incontro ad Einstein:
i matematici dell’800 avevano dimostrato che
la geometria euclidea non è l’unica geometria
possibile. Esistono altre geometrie possibili in
cui il valore del rapporto C/R è diverso da 2π
Quindi l’osservatore inerziale, per il PEF,
attribuisce questo effetto alla gravitazione e
afferma che:
l’effetto del campo gravitazionale è quello di
modificare lo spazio rendendolo non euclideo!
In maniera analoga possiamo vedere l’effetto della gravitazione sul tempo.
Prendiamo in considerazione tre orologi
identici.
L’orologio 3 è inerziale in quanto
solidale con le stelle fisse.
Gli orologi 1 e 2 si trovano su una
piattaforma rotante. L’orologio 1 è al
centro mentre l’orologio 2 è al bordo.
L’orologio 1 è in quiete rispetto all’orologio 3 e quindi essi rimangono sincroni.
L’orologio 2 è in moto rispetto all’orologio 3 e quindi esso subisce la
dilatazione del tempo e rimane indietro rispetto all’orologio inerziale.
In base al PEF, possiamo pensare che l’orologio 1 si trovi in condizione di
assenza di gravità mentre l’orologio 2 è in presenza di un campo gravitazionale.
L’orologio 2 rimane indietro rispetto all’orologio 1. Sempre in base al
PEF tale ritardo è imputabile alla gravitazione.
Lo scorrere del tempo è quindi influenzato dalla presenza di
un campo gravitazionale
In particolare lo scorrere del tempo risulta
essere rallentato rispetto al tempo misurato da
un orologio posto in assenza di gravità.
L’effetto è tanto maggiore quanto è intenso
il campo gravitazionale:
il tempo misurato in un campo
gravitazionale scorre più lentamente del
tempo misurato da orologi posti in un
campo gravitazionale meno intenso
2φ
∆t = 1 + 2 ∆t0
c
Essendo
φ
il potenziale gravitazionale
M
φ = −G
r
A 10 km di altezza la dilatazione temporale è
~ 10-12 rispetto ad un orologio sulla superficie
La presenza del campo gravitazionale modifica sia la struttura dello spazio
sia lo scorrere del tempo.
Quindi l’effetto della gravitazione è quello di “deformare” lo
spaziotempo piatto della relatività ristretta (warped spacetime).
Il fisico e astronomo inglese Arthur Eddington propose un modo di
visualizzare questo effetto con una modalità che ha preso il nome di “telo
di Eddington”
In tale rappresentazione lo spazio
viene rappresentato con un telo
elastico teso. In assenza di masse
esso è piatto (geometria euclidea).
Se però mettiamo sopra di esso
un oggetto massivo, esso si
deforma!
Il principio di equivalenza forte di Einstein può essere enunciato anche in una
forma diversa da quella vista precedentemente ma del tutto equivalente:
Principio di equivalenza Forte di Einstein (PEF) ver. 2 :
in qualunque campo gravitazionale, anche non uniforme,
è possibile scegliere un sistema di riferimento locale
(sistema in caduta libera) in modo tale che gli effetti del
campo siano annullati.
Questo significa che non siamo in grado di distinguere, con nessun tipo di
esperimento, se siamo in assenza di gravità lontano da qualsiasi fonte di
gravità, oppure siamo in caduta libera in prossimità di un pianeta, di una
stella, …
Questa è la condizione in cui si trovano gli
astronauti dello Shuttle che si trovano nel
campo gravitazionale terrestre (a circa 300 km
dalla superficie terrestre e a tale altezza g vale
circa 9,0 m/s2) ma che essendo in continua
caduta libera non percepiscono il peso
La NASA per allenare i suoi
astronauti all’assenza di peso
usa un dc9 che viene portato ad
alta quota e poi mandato in
picchiata (caduta libera) per
alcuni secondi. In tale periodo le
persone che si trovano al suo
interno si trovano in assenza di
peso.
In fisica, i sistemi inerziali svolgono un ruolo importantissimo in quanto in
tali sistemi la fisica risulta “semplice”.
Inoltre, dato il moto di un oggetto in un certo riferimento inerziale, è possibile
ottenere la forma della traiettoria dell’oggetto in qualunque altro sistema di
riferimento inerziale applicando le leggi di trasformazioni che ci fanno passare da
un sistema di riferimento all’altro.
Consideriamo, ad esempio, la seguente situazione: una donna guarda un
ragazzo il quale, all’interno dell’autobus (che si muove a velocità costante v),
lancia una palla verso l’alto.
Secondo il ragazzo, la palla fa un moto rettilineo
verticale che può essere descritto dalle equazioni
x' = 0
1 2
y ' = − gt ' + voy t '
2
La donna da terra vede un moto più complicato.
Qual è l’equazione della traiettoria della palla vista
dalla donna?
Per ottenerla basta usare le
leggi di trasformazione che
collegano le coordinate x’, y’
del sistema del ragazzo con
le coordinate x,y del
riferimento della donna.
￬ x = x '+ vt
￭y = y '
t = t '
￮
Le trasformazioni
di Galileo!
Da cui si ottiene:
x = 0 + vt
1 2
y = − gt + voy t
2
Ricavando t dalla prima equazione e sostituendo nella seconda equazione si trova
1 g 2 voy
y=− 2 x +
x
2v
v
l’equazione della traiettoria della palla secondo la donna: una parabola!
Quindi studiando il moto del corpo in un sistema inerziale in cui esso è
molto semplice e poi usando le leggi di trasformazioni tra sistemi inerziali
possiamo ottenere l’equazione generale della traiettoria del corpo.
Einstein cercò di applicare questa idea per determinare le equazioni del moto dei
corpi nel campo gravitazionale.
Trascuriamo l’esistenza di qualunque altra forza se non quella gravitazionale.
Il primo problema affrontato da Einstein fu quello di identificare quali sono i
riferimenti inerziali in presenza di un campo gravitazionale (es. quello
prodotto dalla Terra).
Un sistema che si trova fermo sulla superficie della Terra è inerziale?
Dal PEF abbiamo però visto che la gravità può essere identificata con
un’accelerazione e quindi non è inerziale. La presenza della gravità è quindi
indice di non inerzialità!
Ma abbiamo visto che è possibile far sparire la gravità prendendo un sistema in
caduta libera.
In presenza di un campo gravitazionale prenderemo come
sistema inerziale un sistema di riferimento in caduta libera.
In un tale sistema ogni corpo (compresa anche la luce) non essendo
soggetta alla gravità (e non considerando la presenza di altre forze) si
muove di moto rettilineo uniforme
E’ importante però notare che questo discorso può valere per regioni
piccole. Se le dimensioni della nostra astronave in caduta libera fossero
troppo grandi il campo gravitazionale no sarebbe costante in direzione ed
intensità e non sarebbe possibile annullarlo completamente in ogni punto
con la caduta libera.
Ossia la validità dell’inerzialità vale solo in un intorno infinitesimo del
punto
In assenza di gravità è possibile usare un unico riferimento
inerziale per descrivere tutto lo spazio. Ovviamente è possibile
scegliere infiniti riferimenti inerziali con l’unica limitazione che si
muovano di moto rettilineo uniforme tra loro.
La presenza della gravitazione altera drasticamente questa
visione: la sua presenza “frantuma” il sistema di riferimento
inerziale della situazione precedente in una infinità di
infinitesimi riferimenti inerziali distinti l’uno dall’altro
I tre sistemi A, B, C sono tre di questi minuscoli riferimenti
inerziali. Notiamo che diversamente dal caso in cui la
gravità è assente, i riferimenti inerziali non si muovono di
moto rettilineo uniforme ma sono tra loro “accelerati”.
La frantumazione del riferimento inerziale infinito della situazione in assenza di
gravità può sembrare strano ma con un’analogia può diventare più comprensibile.
Supponiamo di voler descrivere la superficie della Terra attraverso un
riferimento cartesiano bidimensionale.
Se la Terra fosse piatta non ci sarebbero problemi. Potremmo farlo facilmente, anzi
potremmo scegliere tra infiniti riferimenti cartesiani bidimensionali che differiscono
per origine e/o orientamento degli assi.
Ma nel momento in cui ci accorgiamo che la Terra non è piatta comprendiamo
che la situazione precedente non è realizzabile.
In un intorno di un punto la Terra è praticamente piatta e in tale intorno potremo
usare un riferimento cartesiano ma se provassimo ad estenderlo a tutta la Terra
non funzionerebbe.
Quello che possiamo fare usare un riferimento cartesiano per
ogni “intorno” ricoprendo la terra di riferimenti cartesiani.
Questa cosa la vediamo realizzata negli atlanti: non è
possibile “spianare la Terra su una singola cartina per cui la
sua rappresentazione viene frantumata in tante cartine che
descrivono regioni quasi piatte.
Anzi, proprio l’impossibilità di avere un’unica cartina
ci dice che la Terra non è piatta!
Analogamente, Einstein interpretò l’impossibilità di avere, in presenza della
gravità, un unico riferimento inerziale che si estenda per tutto lo
spaziotempo come dovuto alla deformazione dello spaziotempo: esso non è
più piatto (ossia descrivibile dalla geometria euclidea) ma è “curvo”…
Abbiamo già detto che in ciascuno dei riferimenti
inerziali ogni oggetto si muove libero di moto
rettilineo uniforme. Supponiamo quindi di avere
un oggetto che abbia tale moto in B
Supponiamo quindi di avere un oggetto che abbia
tale moto in B. Cosa vede un osservatore in A?
Pur non essendo soggetto a forze (ricordiamo che
la forza di gravità è annullata dalla caduta libera e
trascuriamo le altre forze) essendo B un riferimento
inerziale ma accelerato rispetto ad A, l’osservatore
in A vedrà una traiettoria non rettilinea!
Possiamo pensare quindi che il corpo si muova intorno alla Terra passando da
un riferimento inerziale all’altro in ciascuno dei qual il corpo si muove
liberamente. Ma per A questo muoversi liberamente non implica un moto
rettilineo e quindi vedrà il corpo muoversi lungo una traiettoria curva.
Il fatto che la traiettoria del corpo, pur muovendosi liberamente, è curva è
imputabile non all’azione di una forza ma alla curvatura dello spaziotempo.
Einstein interpretò quanto visto nella seguente maniera:
Il campo gravitazionale provoca una
deformazione dello spaziotempo. Un
corpo che si trova nel campo
gravitazionale non è soggetto ad alcuna
forza ma si muove di moto libero che
però non è rettilineo poiché lo spazio
non è più “piatto”.
La traiettoria è una geodetica di tale
spaziotempo curvo.
La geodetica è l’analogo della retta
per gli spazi curvi: è una particolare
curva che descrive la traiettoria più
breve fra punti di un particolare spazio
Poiché le sorgenti del campo gravitazionale sono le masse e
l’energia (da m=E/c2) Einstein concluse che la presenza di
materia ed energia modifica lo spaziotempo che non potrà più
essere descritto dalla geometria euclidea
Equazione gravitazionale di Einstein
• Le masse creano un campo gravitazionale che incurva lo spaziotempo
• I corpi che si muovono in un tale spaziotempo incurvato seguono traiettorie
che sono linee geodetiche ovvero linee di minima distanza
• Il legame matematico fra le masse generatrici del campo gravitazionale e la
curvatura dello spaziotempo è data dall’equazione di Einstein.
Esprimiamola in forma sintetica e concettuale (in realtà si tratta di una
equazione molto complessa) :
curvatura dello spaziotempo = distribuzione della masse
Si tratta di una equazione in grado di descrivere in modo completo un sistema
di masse in interazione gravitazionale :
Le masse si muovono seguendo linee geodetiche in uno spaziotempo la
cui curvatura è definita dalle masse stesse in movimento
(la traiettoria reale è la proiezione della geodetica dello spaziotempo nello spazio–
quindi la traiettoria reale non è una geodetica del solo spazio)
1
8π G
Rµν − g µν R = − 4 Tµν
2
c
Rµν
Tensore di curvatura di Ricci
R
Scalare di curvatura
g µν
Tensore metrico
Tµν
Tensore Energia-impulso
VERIFICHE SPERIMENTALI
DELLA RELATIVITA’ GENERALE
(immagine del telegramma originale inviato da Campbell a Eddington in cui dava conto del risultato
positivo dell’esperimento sulla deviazione della luce prevista dalla relatività generale, eseguito
durante l’eclissi di Sole del 1919)
La relatività generale è ormai una teoria ben verificata
sperimentalmente.
Numerose sono le situazioni sperimentali che hanno
permesso la verifica diretta della validità e delle
conseguenze della teoria della relatività generale.
Si noti, comunque, che ci si devono aspettare effetti piccoli
(e dunque difficili da rivelare o da distinguere da altri effetti)
in quanto, ad esempio, il contributo relativistico alla
curvatura spaziale in prossimità della terra è dell'ordine di
una parte su cento milioni. Ancora sul sole l'effetto è cento
volte maggiore, dunque pur limitato ad una parte su un
milione.
Deflessione della Luce
Abbiamo visto che il campo gravitazionale è in
grado di deviare la luce. Se la luce proveniente da
una stella, nel suo viaggio verso la Terra, passa
in prossimità del Sole, essa verrà deviata e la
stella ad un osservatore sulla Terra apparirà nella
posizione B invece che in quella reale A
Einstein propose di verificare tale deviazione durante
un’eclisse in quanto grazie ad essa è possibile
osservare la posizione apparente di stelle molto
vicine al bordo del disco solare. Confrontando poi la
posizione di queste stelle in tale situazione con la
posizione delle stesse stelle in assenza del Sole è
possibile misurare la deviazione della Luce. La
verifica fu fatta con successo in occasione dell’eclisse
di Sole del 1919.
In realtà anche la fisica classica è in grado di spiegare
la deflessione della luce assumendo che la luce abbia
massa pari a m = E/c2.
Un calcolo basato sulla fisica newtoniana però conduce
ad un risultato per la deviazione di θ=0.87".
L'osservazione sperimentale fornisce un valore vicino al
doppio (θ = 1.75") per la deviazione del raggio luminoso.
Nella teoria einsteniana si ammette che la deviazione è causata dal percorso
curvo che il raggio deve fare in uno spazio curvo. In base a questa
descrizione, la formula per la deviazione fornisce in eccellente accordo con
l'osservazione sperimentale.
Deflessione della luce delle stelle prodotta dal campo
gravitazionale del Sole
Valore della
deviazione della
luce nel caso di
passaggio radente
in funzione della
distanza b del
raggio di luce dal
centro del Sole.
4GM ⊕
θ =−
= −1.75 arc sec
2
R⊕ c
R⊕ = 6.96 ⋅1010 cm
M ⊕ = 1.99 ⋅1033 g
La misura può essere fatta
solo durante le eclissi e la
presenza
della
corona
solare limita le osservazioni
a b>2R
Lenti gravitazionali
Profondamente legato al precedente fenomeno,
l’esistenza delle lenti gravitazionali è un altro
fenomeno fisico previsto dalla teoria della relatività
generale: poiché,come visto, la forza gravitazionale è in
grado di deflettere i raggi di luce, è possibile che
quando un corpo di grande massa viene a trovarsi
fra una sorgente di luce e l'osservatore, i raggi di
luce provenienti dalla sorgente vengano deviati in
modo tale da provocare un'amplificazione del
segnale luminoso simile a quella causata da una
lente.
Fra i fenomeni più spettacolari prodotti
dalle lenti gravitazionali c'e' certamente
il cosiddetto anello di Einstein e la
croce di Einstein.
Lenti gravitazionali 2
Un allineamento perfetto tra osservatore,
un ammasso sferico e una galassia
distante può creare un “anello di Einstein”
• Solitamente l’allineamento non è
perfetto e/o l’ammasso di galassie
non è sferico;
• in questo caso si osservano archi
piuttosto che anelli completi.
In alcuni casi invece di crearsi degli
archi o degli anelli si creano immagini
multiple dello stesso oggetto (es. croce
di Eistein, immagine multipla di un
quasar creato da una massa invisibile
posta tra il quasar e la Terra)
Anello di
Einstein
Croce di
Einstein
Precessione del perielio
In astronomia viene chiamato precessione del
perielio il fenomeno per cui, per effetto delle
interazioni gravitazionali tra i pianeti del sistema
solare, le loro orbite non sono ellissi fisse e
immutabili, come prevederebbero le leggi di
Keplero, ma cambiano lentamente forma, in
particolare l'asse dell'ellisse ruota lungo il
piano dell'orbita così che la posizione del
perielio si sposta gradualmente.
Tra tutti i pianeti del sistema solare, Mercurio è quello che presenta la precessione
del perielio più accentuata, essendo il più vicino al Sole.
Il fenomeno è previsto dalla teoria della gravitazione universale di Isaac Newton,
ma Urbain Le Verrier, per primo, scoprì che questo pianeta avanza più
velocemente di quello che prevede la teoria stessa: dalle osservazioni infatti è
risultato che la longitudine del perielio, cioè la somma della longitudine del nodo
ascendente e l'argomento del perielio, aumenta di 574" (secondi d'arco) ogni
secolo. Il dato previsto teoricamente tenendo conto dell'interazione con gli altri
pianeti è invece di 531"/secolo, con uno scarto di 43".
Nel 1919 Albert Einstein annunciò che la sua teoria
della relatività generale prevedeva una precessione del
perielio dei pianeti anche in assenza di interazione tra di
essi (mentre la meccanica classica prevede in tal caso
che l'orbita sia un'ellisse fissa e immutabile), e che
l'entità di questa precessione per Mercurio
corrispondeva allo scarto osservato.
GM
6π
≈ 0.1035arc sec
2
2
a (1 − ε )c
per rivoluzione
L’effetto relativistico della precessione può diventare significativo in
stelle binarie PSR 1913+16 ha precessione di periastro di 4.2° anno
Red-shift gravitazionale
•
•
•
Un orologio posto in un campo
gravitazionale intenso, siccome lo
spaziotempo ne è fortemente
incurvato, viene visto rallentare
rispetto ad un orologio posto
lontano dal campo. Il tempo in un
campo gravitazionale scorre
(rispetto ad un punto lontano) tanto
più lentamente quanto è maggiore
è l’intensità del campo.
Conseguentemente, la luce
proveniente da una stella
massiccia (che genera un forte
campo gravitazionale) sarà vista
con frequenza minore, quindi più
rossa
Questo fenomeno si chiama redshift (spostamento verso il rosso)
gravitazionale (da non confondersi
con il red-shift cosmologico (vedi
più avanti))
GPS: global positioning system
24 satelliti
Altitudine da terra: 20000 Km
Periodo di rotazione: 12 ore
Precisione: 5-10 metri
Almeno 4 satelliti sono sempre visibili da ogni punto
della Terra ad ogni istante.
Ogni satellite ha un orologio atomico.
Il ricevitore GPS compara i segnali degli orologi di diversi
satelliti per usare poi il metodo del posizionamento sferico
per individuare la sua posizione sulla superficie della Terra.
Affinchè possa funzionare correttamente ci deve essere perfetta
sincronia tra gli orologi sui satelliti e quelli a Terra.
E’ stato necessario tener conto degli effetti sullo scorrere del tempo previsti
dalle due teoria della Relatività per un corretto funzionamento del GPS
altrimenti si avrebbe un grosso errore nella determinazione della posizione!
Relatività ristretta – dilatazione dei tempi
rispetto all‘osservatore sulla Terra, gli orologi sui satelliti sono più lenti (7μs/giorno)
Relatività generale – curvatura dello spazio-tempo
rispetto all'osservatore sulla Terra, gli orologi sui satelliti sono più veloci ( 46μs/giorno)
Anticipo di 39μs/giorno
Errore
Errore di
di 10
10 Km
Km al
al giorno
giorno
se
se non
non si
si tengono
tengono conto
conto delle
delle
correzioni
correzioni della
della RR
RR ee della
della RG
RG
BUCHI NERI
L’esistenza dei buchi neri è una delle previsioni più note della relatività.
La sua notorietà è legata anche al nome (dovuto al fisico John Wheeler)
e alla fantascienza che lo ha frequentemente usato in romanzi e film.
Buchi neri
•
Ogni stella passa la maggior parte dalla sua vita in una
situazione di relativa stabilità legata all’equilibrio tra le
forze gravitazionali che tenderebbero a farla collassare su
se stessa e la pressione della radiazione prodotta dalle
reazioni nucleari che avvengono nel suo nucleo.
•
Una stella, quando le reazioni nucleari che la tengono in
equilibrio si esauriscono, inizia un processo di collasso
gravitazionale.
•
A seconda della massa della stella questo
collasso può dar luogo a diversi risultati:
– Se la massa è paragonabile a quella del Sole
il collasso darà luogo, dopo una serie di
contrazioni ed espansioni, a una stella di
piccole dimensioni (nana bianca) che pian
piano si raffredderà fino a spegnersi.
– Se la stella supera una certa massa (circa 5
masse solari) essa muore trasformandosi in
supernova e in certi casi il nucleo collassa su
se stesso e il collasso termina solo quando
esso si trasforma in una stella a neutroni
(pulsar) del raggio di pochi chilometri.
Se la massa della stella è ancora maggiore niente può arrestare il processo
di collasso producendo un buco nero.
La massa del buco nero si concentra in un punto (chiamato singolarità)
avente densità infinita.
Nel buco nero la concentrazione di massa è tale da incurvare lo spazio
attorno a sé in modo che la luce (come ogni altro corpo) non ne può più uscire
Un buco nero, quindi, è in grado di assorbire massa ed energia dall’esterno ma
non è più in grado di emetterne (si suppone avvenga in effetti una lenta
“evaporazione” a causa di effetti quantistici)
La singolarità è circondata da
una superficie immaginaria,
detta orizzonte degli eventi. Se
qualcosa (massa o energia)
entra all’interno di tale superficie
non ne può più uscire.
Il raggio di tale superficie
sferica viene chiamato
raggio Schwarzschild
2GM
Rs = 2
c
Per una massa come quella del Sole
il raggio di Schwarzchild è di 3 km!
Tutto ciò che si trova all’interno dell’orizzonte degli eventi è
inaccessibile per sempre dall’esterno
L’intensità del campo gravitazionale in prossimità dell’orizzonte degli eventi è
tale che spazio e tempo sono fortemente deformati e in prossimità di esso
succedono cose molto strane. Consideriamo un osservatore che precipita nel
buco nero.
L’osservatore che attraversa l'orizzonte non si accorge
di nulla di strano e procede verso la singolarità in un
tempo finito per il suo orologio
L’osservatore lontano dal buco nero vede l'altro
osservatore avvicinarsi all'orizzonte ma mai raggiungerlo
Si crede che esistano numerosissimi buchi neri. In particolare si crede
che nel centro delle galassie sia presente un gigantesco buco nero
avente massa corrispondente a milioni di masse solari.
Ovviamente l’osservazione diretta di un buco
nero è impossibile. Sono possibili solo
osservazioni indirette.
Indicatori di possibili buchi neri possono essere:
Stelle che appaiono ruotare intorno ad un
compagno invisibile;
Sorgenti di intense emissioni di raggi X e γ
(dovute alla caduta di materiale sul disco di
accrescimento che circonda il buco nero (vedi
figure qui a fianco)
Lenti gravitazionali generati da masse
invisibili.
Jet da galassie.
...
Immagine artistica di Cygnus X-1
Immagine artistica di Cygnus X-1
NASA-ESA
Galassia M87
Galassia Centaurus A
In realtà non è vero che niente può uscire dall’orizzonte degli eventi. Il
fisico inglese Stephen Hawking ha dimostrato che, per effetti quantistici, iI
buco nero può emettere radiazione sotto forma di elettroni e fotoni. Se il
buco nero non fosse alimentato da altra materia potrebbe evaporare.
Questo è quello che dovrebbe accadere ad ipotetici microspopici buchi
neri previsti da alcune teorie
Un po’ di Fantascienza!
Buchi bianchi: oggetti che emettono materia, al contrario dei
buchi neri. Parte dei wormhole
Wormholes: altamente instabili. Scorciatoie attraverso lo spazio-tempo
Un po’ di Fantascienza 2!
Alcubierre drive: viaggi a velocità warp?
Nel 1994, il fisico messicano Miguel Alcubierre proposto un metodo per poter effettuare viaggi
interstellari. Studiando attentamente la RG Alcubierre ha mostrato che è ipoteticamente
possibile creare una sorta di onda spaziotemporale per cui è possibile far sì che il tessuto
dello spazio davanti a un veicolo spaziale si contragga e lo spazio dietro si espanda. La
nave cavalcherebbe questa onda all'interno una regione conosciuta come una bolla di
curvatura (al cui interno lo spazio è piatto). Dal momento che la nave non è in movimento
all'interno di questa bolla, ma è trasportata con essa gli effetti relativistici come la dilatazione di
tempo non si applicano nel modo in cui si avrebbe nel caso di una nave in movimento ad alta
velocità attraverso lo spaziotempo piatto.
Grazie alla la contrazione dello spazio di fronte a essa e alla distenzione dello spazio
dietro di essa, l’astronave potrebbe raggiungere la sua destinazione più veloce di un
fascio luminoso che viaggi al di fuori della bolla di curvatura.
Tuttavia, non si conoscono, per il momento, metodi per creare un tale bolla di
curvatura in una regione che non contenga già uno, o di lasciare la bolla una volta al
suo interno.
ONDE GRAVITAZIONALI
Onde gravitazionali
•
•
•
Se una grande quantità di materia
subisce una rapida accelerazione
(per esempio in un collasso
gravitazionale di una stella) la
curvatura dello spazio-tempo
subisce una “increspatura”,
vengono cioè generate onde
gravitazionali, simili alle onde
dell’acqua
Tali onde furono previste
teoricamente da Einstein ed hanno
la caratteristica di viaggiare alla
velocità della luce c ed essere
onde trasversali (come la luce)
Le onde gravitazionali, data la loro
estrema debolezza, non sono state
ancora verificate sperimentalmente
nonostante i diversi esperimenti in
atto.
Generate dall’accelerazione di oggetti massivi
• Esempi di sorgenti astrofisiche:
Big Bang
Formazione di galassie.
Buchi neri binari
Formazione di stelle a Neutroni
durante una supernova
Stelle a neutroni coalescenti
Superstringhe
In particolare la produzione di OG dovrebbe avvenire in sistemi
binari con due oggetti massivi che ruotano l’uno intorno all’altro.
Le forti accelerazioni dovute all’attrazione gravitazionale
dovrebbe produrre OG che porterebbero via energia meccanica al
sistema. Come conseguenza di tale perdita i due oggetti
dovrebbero pian piano collassare l’uno sull’altro.
Negli anni ‘70 R.Hulse e J.Taylor hanno osservato un sistema
binario di pulsar rotanti il cui periodo di rotazione diminuisce
di 75 millisecondi ogni anno. Qusta è considerata una prova
indiretta dell’esistenza delle onde gravitazionali.
Ricerca delle onde gravitazionali
Esistono diversi progetti rivolti alla rilevazione di eventuali onde
gravitazionali. Quasi tutti si basano sulla tecnica dell’interferometria laser.
Un raggio laser viene diviso in raggi e diretti
lungo i due bracci dell’interferometro. I due
raggi sono riflessi indietro da specchi posti
alla fine dei bracci.
I raggi vengono fatti rimbalzare più volte
verso il fondo del braccio grazie a altri
specchi posti all’inizio dei bracci (central
mirror) allo scopo di aumentare la distanza
percorsa dalla luce e aumentare la sensibilità
dell’interferometro.
Alla fine i due raggi raggiungono il rivelatore dando luogo ad una figura di
interferenza.
Il passaggio di un’onda gravitazionale, deformando lo spazio al suo passaggio
provocherebbe una variazione della lunghezza dei bracci che genererebbe un
cambiamento della figura di interferenza.
Locations of detectors
LIGO: American
VIRGO: French and Italian
Government built laser
interferometer near Pisa, Italy
GEO: British and German
interferometer near Hannover
TAMA: Japanese interferometer
in Tokyo
AGIO: Australian interferometer
Picture source: http://www.ligo-la.caltech.edu/Posters/poster18.html
LIGO: Livingston Observatory (USA)
VIRGO: Pisa (Italia)
LISA: Laser Interferometer Space Antenna
Molte delle speranze nella rilevazioni
delle onde gravitazionali risiedono in
LISA: il principio di funzionamento è
più o meno simile a quello degli
interferometri laser sulla Terra ma in
questo caso LISA è posto nello
spazio.
spaceplace.jpl.nasa.gov/ lisa_fact2.htm
I bracci di Lisa potrebbero essere
lunghi 5 milioni di Km permettendo
di rilevari anche onde di piccola
intensità prodotti da stelle doppie o
dalla fusione di buchi neri nel centro
della nostra galassia.
La data prevista del lancio dovrebbe essere il 201?.
Il sistema funziona come un transponder ottici. Ogni spacecraft invia fasci laser
agli altri due e riceve quelli emessi da questi e agganciati in fase con i fasci
entranti. Mediante misura della fase relativa dei fasci si misurano le variazioni di
percorso (dovute ad OG)
