Magnetismo

Magnetismo
La magnetite
In natura esiste un materiale dalla caratteristiche peculiari, la magnetite.
Si tratta di un minerale ad alto contenuto ferroso noto sin dall’antichità e che era
presente in grosse quantità nei pressi della città di Magnesia in Asia Minore.
La sua caratteristica è di attrarre tutti i materiali ferrosi.
Studiando con attenzione questo fenomeno si osserva che in ogni pezzo di
magnetite si possono individuare due opposte quantità, che per il momento
chiameremo poli magnetici, di segno opposto.
Quando si avvicina ad un pezzo di magnetite un
N S
materiale ferroso su questo si induce una coppia di
cariche magnetiche con la stessa caratteristica. A
questo punto le cariche di segno opposto si
N S
N S
attraggono e quelle di ugual segno si respingono.
Si dice che tra i due oggetti si è sviluppata una
forza di interazione magnetica
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N
S
N
S
2
Il campo magnetico
Quanto descritto nella diapositiva precedente appare del tutto
comportamento di un dipolo elettrico.
Studiando l’andamento delle forze di attrazione magnetiche si
costruire le linee di forza esattamente corrispondenti alle linee
elettrostatiche prodotte da un dipolo elettrico.
Possiamo allora, usando la stessa tecnica adoperata per definire
elettrico, definire un nuovo ente fisico che chiameremo.
campo magnetico
che viene solitamente indicato col simbolo B.
Nel Sistema MKS viene misurata in
Tesla (T)
simile al
possono
di forza
il campo
Un’altra unità di misura molto utilizzata è il
Gauss (G)
Tale che
1 T = 104 G
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La carica magnetica
Molto di quanto detto per il campo elettrico può essere applicato anche al
campo magnetico ma in questo caso esiste una particolarità molto importante.
Mentre nel caso elettrico è possibile separare gli elementi di un dipolo in modo
da avere i singoli monopoli, nel caso magnetico ciò non è possibile.
Se comunque frammentiamo un pezzo di magnetite i pezzi saranno sempre e
soltanto dipoli magnetici
Una seconda caratteristica delle cariche magnetiche è legata alla loro
generazione.
Se prendiamo un pezzo di ferro esso normalmente non presenta alcuna
caratteristica magnetica ma se lo sottoponiamo ad un campo magnetico
esterno essi si magnetizza, ovvero acquisisce una struttura di dipolo magnetico.
Allontanando il campo magnetico il pezzo di ferro perde le sue caratteristiche
magnetiche solo se il campo di magnetizzazione iniziale era molto debole.
Una ulteriore caratteristica del magnetismo è che essa ha effetto significativo
solo su alcuni materiali, principalmente il ferro.
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Forza di Lorentz
Consideriamo ora un magnete permanente, ovvero un pezzo di magnetite.
Questo magnete genera nello spazio circostante un campo magnetico.
Se all’interno di questo spazio poniamo una carica elettrica q si osserva che il
campo magnetico non ha nessun effetto sulla carica.
Se ora, invece di tener ferma la carica elettrica la poniamo in moto con velocità
v si osserva che sul corpo viene ad agire una forza che è perpendicolare al
vettore velocità.
Studiano con attenzione l’andamento della forza si ricava che
r
r r
F = qv ∧B
ovvero la forza agente è perpendicolare sia al campo che alla velocità.
Unendo a questa forza dovuta al campo magnetico anche quella dovuta al
campo elettrico si ottiene la forza di Lorentz:
(
r
r r r
F = q E +v ∧B
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)
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Campo magnetico e corrente
Consideriamo di nuovo un magnete permanente.
Se nelle vicinanze del magnete poniamo un filo percorso da corrente
osserviamo che sull’intero filo agisce una forza che ancora una volta è
perpendicolare al filo.
Possiamo interpretare questa forza come l’azione combinata della forza di
Lorentz su ognuno degli elettroni in moto che costituiscono la corrente
Preso un elemento dl di filo su di esso agirà una forza data da
r r
r
dF = I dl ∧ B
La forza totale si ottiene con un processo di integrazione.
Possiamo concludere affermando che un filo percorso da corrente risente
l’effetto del campo magnetico.
Ma vale anche l’opposto?
Ovvero un campo magnetico risente l’effetto di una corrente che circola in un
filo?
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Campo magnetico da un filo
Consideriamo ora un filo nel quale circola una corrente i.
Se avviciniamo un magnete, ad esempio l’ago di una bussola, possiamo
osservare che il magnete si orienta in una direzione perpendicolare all’asse del
filo.
Di conseguenza possiamo affermare che un filo rettilineo nel
quale circola corrente produce intorno a sé un campo
magnetico.
dl
Si può sperimentalmente verificare che vale la
r
legge di Biot-Savart
r s
µ i dl ∧ r
B (r ) = 0 ∫
4π γ r3
i
P
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, r la distanza dal punto in cui si
calcola il campo rispetto all’elemento di filo, dl l’elemento di filo ed i la corrente
che circola nel filo.
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Filo rettilineo
Consideriamo ora un filo rettilineo (supposto di lunghezza infinita) nel quale
circola una corrente I.
Possiamo applicare la legge di Biot Savart e mostrare
che filo rettilineo nel quale circola corrente produce
intorno a sé un campo magnetico le cui linee di forza
sono circonferenze con centro nel filo e giacenti in un
piano perpendicolare al filo.
Si può sperimentalmente verificare che
B (r ) =
I
µ0
I
2π r
dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto, r la distanza dal filo ed I la
corrente che circola nel filo.
Se invece il filo ha lunghezza L allora il campo magnetico, per un punto a
distanza a dal filo ha intensità
B (P ) =
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L
µ0 I
2 π a a 2 + L2
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Il teorema di Ampere
Il risultato appena descritto può essere generalizzato enunciando il
Teorema di Ampere
B
Consideriamo una linea chiusa qualsiasi. Si può definire
circuitazione del vettore B
l’integrale
r r
∫ B ⋅ dl
i1
i2 i3
Enunciamo ora il teorema di Ampere
La circuitazione del campo magnetico B è pari al prodotto della permeabilità
magnetica del vuoto per la somma delle correnti che attraversano la superficie
delimitata dalla linea chiusa
In formula
r r
∫ B ⋅ dl
= µ0 ∑ ii
i
dove la somma algebrica va estesa a tutte le correnti che attraversano la
superficie delimitata dalla linea chiusa su cui è calcolata la circuitazione
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Forza magnetica tra due fili
Abbiamo visto che un filo percorso da corrente genera un campo magnetico e
che d’altra parte subisce anche l’azione di una forza a causa del campo
magnetico. Vediamo allora cosa accade tra due fili percorsi da corrente.
Il primo conduttore, percorso da corrente i1, produce
2
nello spazio circostante un campo magnetico B1. Il
secondo conduttore, percorso da corrente i2, produce
nello spazio circostante un secondo campo B2.
Di conseguenza sul primo filo agirà una forza F1 dovuta
1
a B2 e su secondo filo agirà una forza F2 dovuta a B1.
1
2
Tendendo conto delle formule per determinare il campo
magnetico prodotto da una corrente e quella che
fornisce la forza agente su una corrente si ha
B
B
i
i
µ0 L
F1 = F2 =
i1 i2
2π d
Queste forze sono attrattive se le correnti scorrono nello stesso verso e
repulsive nel caso opposto.
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La spira circolare
Consideriamo un filo arrotolato sino a formare un circuito circolare. Viene detto
spira
Vogliamo calcolare il campo magnetico prodotto da una corrente i che circola in
questa spira di raggio r.
Possiamo applicare la legge di Biot Savart e mostrare
che il campo magnetico ha un andamento piuttosto
complesso con linee di flusso che transitano
all’interno della spira e si chiudono all’esterno.
Il campo viene prodotto in tutto lo spazio circostante
ma è particolarmente significativo lungo la direzione
perpendicolare alla spira dove il campo è parallelo a
tale direzione e vale, a grande distanza dalla spira,
B=
µ0 i R 2
2 z3
avendo indicato con z la distanza del punto dal piano della spira e con R il
raggio della spira stessa
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Momento di dipolo
Abbiamo visto che una spira circolare produce un campo magnetico il cui
andamento è esattamente uguale a quello prodotto da un dipolo elettrico.
Definiamo allora una nuova grandezza:
r
r
pH = I S
dove I è la corrente che circola nella spira ed S è il vettore perpendicolare alla
superficie e di intensità pari all’area racchiusa dalla spira. Questa grandezza
prende il nome di
momento di dipolo magnetico
Il vettore momento di dipolo magnetico è quindi perpendicolare alla spira e di
verso tale da rispettare la regola del prodotto vettoriale
Con questa definizione il campo elettrico prodotto da una spira circolare a
grande distanza dalla spira e lungo l’asse di questa assume una forma molto
simile a quella che si ha nel caso elettrico
r µ0 pr H
B=
2π z3
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Il solenoide
Partiamo ora dal caso di una spira ma supponiamo ora di avere molte spire
avvolte strettamente in modo da creare un cilindro che prende il nome di
solenoide
Se supponiamo che il solenoide sia di
lunghezza infinita possiamo immediatamente
dedurre che il campo magnetico, dovendosi le
sue linee di forza chiudersi, si trova solo
all’interno del solenoide ed ha una direzione
parallela all’asse del solenoide stesso.
Per determinare il campo magnetico possiamo allora, invece che partire dalla
legge di Biot Savart, far uso più semplicemente del teorema di Ampere.
Come vedremo in questo caso il teorema di Ampere gioca, per il campo
magnetico, lo stesso ruolo che il teorema di Gauss gioca nel caso del campo
elettrico: è, tra l’altro, un utile strumento per la determinazione del campo.
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Campo magnetico di un solenoide
Ricordiamo che il teorema di Ampere afferma che la circuitazione del campo
magnetico dipende solo dalla somma delle correnti che circolano all’interno
della linea chiusa
r r
∫ B ⋅ dl = µ ∑ i
i
0
i
Preso un solenoide alla consideriamo una linea chiusa
come indicata in figura e notiamo che il campo è
diverso da zero solo all’interno ed ha direzione
parallelo all’asse, Ne consegue che solo il tratto in blu
della linea contribuisce alla circuitazione.
h
L
B L = µ0 ∑ ii
i
Ma la corrente i circola in ognuna delle spire e pertanto, detto n il numero di
spire per unità di lunghezza, si ha
B = n µ0 i
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Forza magnetica su un dipolo
Per studiare l’effetto del campo magnetico su un dipolo prendiamo in
considerazione una spira, che per semplicità, supporremo di forma rettangolare,
immersa in un campo magnetico costante, parallelo al piano della spira.
Su ognuno dei 4 rami della spira il campo magnetico
genera una forza. Se ora supponiamo che la spira possa
ruotare rispetto ad un asse verticale possiamo osservare
che le due forze agenti sui rami orizzontali non producono
effetto (correnti parallele al campo) mentre quelle agenti sui
rami verticali producono un momento torcente di intensità
i
B
τ = Ai B
dove con A si è indicata l’area racchiusa dalla spira.
Questo momento torcente tende ad orientare la spira in senso perpendicolare al
campo magnetico esterno, in modo che il campo magnetico prodotto dalle
correnti abbia una direzione opposta a quella del campo magnetico esterno.
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Il magnetismo nei materiali
Prendiamo in considerazione un atomo di un materiale generico.
Il nucleo è costituito da neutroni e protoni. Questi ultimi posseggono un
momento magnetico intrinseco detto spin che può assumere solo due valori.
Accade allora che se il numero di protoni è pari il momento magnetico totale è
nullo mentre se il numero di protoni è dispari si ha un piccolissimo spin totale.
L’effetto dominante è però quello elettronico.
Ogni singolo elettrone “ruota” intorno al nucleo e quindi è equivalente ad una
corrente che circola in una spira. Esso pertanto possiede un momento
magnetico, collegato al suo momento angolare. A questo momento magnetico
si aggiunge quello di spin.
Quando si prendono in considerazione tutti gli elettroni di un atomo il momento
totale di spin si annulla (se il numero di elettroni è positivo) oppure assume un
valore piccolissimo. Per quanto riguarda l’altro termine del momento magnetico,
possiamo notare la sua orientazione, per ogni elettrone, è di regola casuale e
pertanto il totale è nullo.
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Diamagnetismo
Prendiamo in considerazione un materiale con numero pari di elettroni.
Per quanto abbiamo detto ogni atomo possiede allora un momento magnetico
complessibo pari a zero.
In presenza di un campo magnetico esterno gli elettroni subiscono la forza di
Lorentz e quindi vengono accelerati generando un effetto che prende il nome di
precessione di Larmor
Si viene a generare pertanto un momento di dipolo magnetico complessivo che
produce un effetto debolmente repulsivo.
I materiali che hanno questo comportamento sono detti:
diamagnetici
Tutti i materiali sono soggetti a questo effetto ma in alcuni predomina un effetto
diverso.
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Paramagnetismo
Prendiamo in considerazione un materiale con numero dispari di elettroni.
Per quanto abbiamo detto ogni atomo possiede allora un piccolissimo momento
magnetico.
In assenza di campo magnetico esterno i singoli atomi hanno una orientazione
casuale del momento magnetico e pertanto l’effetto totale è nullo.
In presenza di un campo magnetico esterno, invece, questo tende a far
allineare i singoli momenti magnetici di spin atomici ed inoltre si ha una
orientazione privilegiata per quanto riguarda i momenti magnetici associata al
moto di rivoluzione degli elettroni. Ciò genera un effetto complessivo,
contrastato dall’agitazione termica, che è molto superiore a quello generato
dalla precessione di Larmor.
Questo momento magnetico totale genera una forza attrattiva agente sul
materiale che quindi tende a spostarsi secondo la direzione del campo
magnetico esterno.
I materiali che hanno questo comportamento sono detti
Paramagnetici
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Ferromagnetismo
Alcuni materiali hanno un comportamento simile ai paramagneti ma
estremamente più intenso. Sono i
ferromagneti
In questo caso i singoli momenti magnetici atomici non sono scorrelati tra di loro
ma interagiscono in modo che si generano zone con momento magnetico
diverso da zero, dette.
domini
Di regola, in assenza di campo magnetico esterno, i diversi domini sono
orientati casualmente e l’effetto macroscopico è pertanto nullo.
Sotto l’azione di un campo magnetico, invece, i diversi domini si orientano
preferenzialmente lungo la direzione del campo e l’effetto è di generare un forte
momento di dipolo magnetico.
La magnetite ha la sua caratteristica poiché è un minerale che è solidificato
sotto l’azione del campo magnetico terrestre che ha indotto una orientazione
privilegiata e quindi la formazione del magnete permanente.
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Campo magnetico nella materia
Come abbiamo visto quando il campo magnetico interagisce con la materia
crea (ex novo o preesistente) un momento di dipolo nel materiale. Questo
momento di dipolo genera a sua volta un campo magnetico all’interno del
materiale.
Di conseguenza all’interno del materiale si viene a creare la sovrapposizione di
un campo magnetico esterno e di uno interno.
Questo campo magnetico interno può essere espresso in termini di
intensità di magnetizzazione
definito come momento magnetico delle molecole per unità di volume:
M=
µm
V
Si può allora scrivere il campo magnetico totale come
(
r r
v
B = µ0 H + M
)
dove H è detto intensità magnetica
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Suscettività magnetica
Nella diapositiva precedente abbiamo definito l’intensità di magnetizzazione M.
Sperimentalmente si nota che questo vettore dipende dalla intensità magnetica
H secondo la relazione
r
r
M = χm H
dove χm prende il nome di
suscettività magnetica
Per i diversi tipi di sostanze abbiamo
Sostanze diamagnetiche
χm negativo costante tra -10-4 e -10-9
Sostanze paramagnetiche
χm positivo costante tra +10-6 e +10-3
Sostanze paramagnetiche
χm grandemente positivo variabile
dove il costante o variabile è riferito al valore di H.
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Permeabilità magnetica
Con la definizione della suscettività possiamo scrivere
(
)
r
r
r
r
v
B = µ0 H + χ m H = µ0 (1 + χ m ) H = µ H
dove µ prende il nome di
permeabilità magnetica
Per i diversi tipi di sostanze abbiamo
Sostanze diamagnetiche
µ lievemente maggiore di µ0
Sostanze paramagnetiche
µ lievemente maggiore di µ0
Sostanze paramagnetiche
µ fortemente maggiore di µ0
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Isteresi magnetica
Come abbiamo detto precedentemente la suscettività di un materiale
ferromagnetica cambia al variare della intensità magnetica.
B
Consideriamo un materiale ferromagnetico mai
magnetizzato in precedenza. Quando l’intensità
magnetica è nulla lo sarà anche il campo magnetico ma
H
al crescere dell’intensità magnetica crescerà anche il
campo magnetico, come indicato dalla curva nera, sino a
raggiungere un valore di saturazione..
Se ora iniziamo a ridurre l’intensità magnetica anche il campo magnetico
diminuirà ma secondo una curva diversa, quella indicata in rosso.
Raggiunta la nuova saturazione (ma col verso invertito) riprendiamo ad
aumentare l’intensità magnetica. Di nuovo il campo magnetico aumenterà ma
ancora una volta lungo una nuova curva, quella in bleu.
Ne consegue che il materiale, anche ad intensità magnetica nulla genererà un
campo magnetico diverso da zero. Il corpo si è magnetizzato ovvero è divenuto
un magnete permanente.
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Induzione elettromagnetica
Abbiamo già visto che se un circuito percorso da corrente viene investito da un
campo magnetico su di esso viene ad agire un momento della forza.
Ma cosa accade se nel circuito, inizialmente, non circola corrente?
Supponiamo che in regione dello spazio vi sia un campo magnetico non
uniforme ed all’interno di questa regione facciamo muovere con velocità v un
circuito nel quale inizialmente non vi sia circolazione di corrente.
Ciò che accade è che durante il
movimento si genera, ai capi del
circuito, una forza elettromotrice ε.
+
+ +
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+
+
+
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+
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+
Legge di Faraday - Neumann
+
ed obbedisce alla
v
+
Induzione elettromagnetica
+ +
Questo fenomeno prende il nome di
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Legge di Faraday - Neumann
Supponiamo una regione dello spazio in cui vi sia un campo magnetico B ed un
circuito di forma qualsiasi ma ricoprente una superficie S. Si definisce
flusso di campo magnetico concatenato con un circuito
la grandezza
r r
Φ B = ∫ B ⋅ ds
S
dove l’integrale va esteso a tutta la superficie racchiusa dal circuito e per ds si
è indicato il vettore perpendicolare alla superficie ed uscente da questa.
Se il campo magnetico è uniforme dovunque si ponga il circuito il flusso
concatenato è sempre lo stesso ma se il campo è disuniforme il posizionamento
del circuito in diverse posizioni implica un flusso concatenato diverso.
Sperimentalmente vale la relazione
dΦ B
dt
ε =−
Il segno negativo viene anche detto legge di Lenz.
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Significato della legge di Faraday-Neumann
Nel caso descritto precedentemente si è considerato un campo magnetico
costante nel tempo ma disuniforme nello spazio ed un circuito in moto
In questo caso la variazione di flusso concatenato è legato alla variazione di
posizione del circuito. Possiamo però immaginare anche una situazione diversa
nella quale la posizione del circuito resta invariata ma il campo magnetico è
variabile nel tempo.
Anche in questo caso il flusso di campo magnetico concatenato col circuito
varia nel tempo e quindi nel circuito viene indotta una forza elettromotrice.
In ogni caso vale la Legge di Faraday-Neumann
Questa legge può essere compresa notando che la fem indotta tende a far
circolare corrente nel circuito. Tale corrente produce a sua volta un campo
magnetico nello spazio circostante.
Possiamo interpretare il tutto, allora, dicendo che il circuito reagisce alla
variazione di campo magnetico creando un controcampo (il segno –
dell’equazione) che bilancia la variazione del campo esterno.
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Induzione tra circuiti
Abbiamo visto che un circuito percorso da corrente produce un campo
magnetico e che d’altra parte un circuito soggetto ad un campo magnetico può
produrre una fem indotta.
Consideriamo un circuito nel quale transita una corrente
i1 e pertanto viene prodotto un campo magnetico B
1
proporzionale alla corrente i.
Questo campo magnetico si concatena con una seconda
spira e, per la legge di Faraday-Neumann, produce una
fem indotta.
In formula possiamo scrivere che
dΦ B
di1
dt
dt
i
B
ε
ε =−
∝
Il coefficiente di proporzionalità dipende dal tipo di circuito che crea il campo e
dal modo in cui il campo magnetico viene trasferito dal primo circuito al secondo
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27
Autoinduzione
Un circuito percorso da corrente produce un campo magnetico che si
concatena con il circuito stesso per cui esso genera ai capi del circuito una fem.
Per descrivere analiticamente il fenomeno prendiamo allora un solenoide.
Sappiamo che il solenoide, di lunghezza d molto grande rispetto al suo
diametro, produce al suo interno un campo magnetico
B = n µ0 i
Il flusso di campo magnetico concatenato con tutto il solenoide è allora
r r
Φ B = ∫ B ⋅ ds = n d (n µ0 i ) S = n 2 d µ0 i S
S
e quindi la fem indotta è
ε =−
dΦ B
di
di
= − n 2 µ0 S d = − L
dt
dt
dt
dove con L abbiamo indicato una nuova grandezza detta induttanza.
L’induttanza si misura, nel sistema MKS, in
Henry (H)
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Induttanza
L’elemento circuitale appena descritto prende il nome di induttanza e possiamo
vedere come si comporta all’interno di un circuito
Ricordiamo che abbiamo precedentemente studiato altri due elementi circuitali
a)
la resistenza
b)
il condensatore
Anche se questi tre elementi circuitali sono stati descritti separatamente,
qualunque elemento possiede, in realtà, tutti e tre gli aspetti, ovvero un
semplice filo è sia una resistenza elettrica, sia un condensatore che una
induttanza.
Nella pratica si costruiscono tre tipi di elementi, la resistenza, il condensatore e
l’induttanza ma nel trattarli si deve tener presente che essi hanno anche gli altri
due elementi, come termini parassiti.
Precedentemente abbiamo studiato il circuito Resistenza + Condensatore, detto
circuito RC. Ora dobbiamo inserire anche una induttanza, cioè dobbiamo
studiare i circuiti LR, LC e LCR.
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Circuito LR
Consideriamo o un circuito costituito da un generatore, un interruttore, una
resistenza ed una induttanza.
Consideriamo o un circuito costituito da un
R
generatore, un interruttore, una resistenza ed una
induttanza.
ε
Poiché l’induttanza ha effetto solo quando le
L
correnti variano la situazione finale deve
prevedere una corrente dipendente solo dalla
resistenza, ovvero
I0 =
ε
R
L’induttanza entra in funzione solo durante il transiente iniziale. Infatti mentre la
corrente passa dal valore iniziale nullo al valore finale I0 la sua variazione
induce una controtensione ai capi dell’induttanza che fa appunto variare la
corrente in maniera non improvvisa ma graduale.
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Corrente in un circuito LR
Determiniamo ora l’andamento della corrente nel circuito LR.
La corrente circola nella resistenza, ove la legge di Ohm ci fornisce la caduta di
potenziale, a causa dell’azione combinata del generatore e dell’induttanza.
In formula
di
R i = ε + εL = ε − L
dt
Possiamo allora scrivere
τ
Integrando e ricordando il valore della
corrente finale si ha
i = I 0 (1 − e − t /τ )
ε/R
Corrente
di
ε = Ri + L
dt
dove τ è la costante di tempo ed è data da
L
τ=
R
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Tempo
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Circuito LC
Studiamo ora un circuito costituito da un condensatore ed una induttanza.
Anche se non vi è un generatore possibili disturbi esterno possono far sì che in
un qualunque istante si generi una corrente i il cui valor medio su lungo tempo è
nullo ma che istantaneamente può essere anche diversa da zero.
L’insorgere di questa corrente crea di conseguenza una fem indotta nella
induttanza e quindi la carica del condensatore
L
di
q = −C L
dt
Dalla definizione della corrente ricaviamo allora
C
d 2q
q + LC 2 = 0
dt
Questa equazione è già stata incontrata in meccanica e prende il nome di
equazione armonica
La sua soluzione è
q = Q0 sin (ω t + ϕ 0 )
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con ω 2 = L C
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Circuito risonante
Quello che accade in un circuito LC, pertanto, è che automaticamente un
segnale esterno generi un segnale sinusoidale di pulsazione.
ω = LC
Nel circuito che abbiamo descritto manca qualunque perdita di energia per cui
tale segnale persisterebbe sempre. Nella realtà, però, vi è sempre un elemento
resistivo, almeno con parassita, per cui si ha una perdita di energia che dopo un
certo tempo fa annullare il segnale.
Quello che accade è che un disturbo
esterno induce un segnale nel circuito
RLC. La risposta del circuito alla
frequenza del disturbo, però, è tale che
solo una piccola frazione delle frequenze
vengono “sentite” dal circuito che in
corrispondenza di queste si comporta
come
Circuito risonante
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Energia associata al campo magnetico
Vediamo quanto lavoro occorre compiere per generare un campo magnetico.
Tale energia corrisponderà a quella accumulata nel campo magnetico.
Prendiamo in considerazione un circuito costituito da una induttanza, una
resistenza ed un generatore. L’equazione che regola il circuito è
di
ε = Ri + L
dt
e il lavoro fatto dal generatore è dato da
dL = R i 2 dt + L i di
che, integrata, fornisce
1 2
Li
2
Il primo termine sappiamo essere l’energia dissipata per effetto Joule nella
resistenza mentre il secondo termine rappresenta l’energia spesa per creare il
campo magnetico nell’induttanza. Se si fa riferimento alla formula
dell’induttanza di un solenoide, risulta che la densità di energia è
1
u B = µ0 B 2
2
L = R i 2 ∆t +
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