Metodi Matematici II

Metodi Matematici II
Algebra Lineare. Simulazione Test Preliminare
DOMANDA 1
Sia A∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha un’unica soluzione.
Allora il sistema lineare Ax=b
può non ammettere
è possibile ed ammette
a
; b
soluzioni ;
una sola soluzione;
è possibile ed ammette
c
; d non è possibile;
infinite soluzioni;
DOMANDA 2

1 3 1 2
Discutere il seguente S.L.: 0 1 0 2  .
-1 2 -1 0

DOMANDA 3
Si è costruita una matrice A accostando m vettori di Rn . Allora:
a r (A) ≤ m se n > m; b r (A) = n;
c r (A) = m;
d r (A) = max (n, m);
DOMANDA 4
al variare del parametro α quale sia il rango della matrice A =
· Discutere
¸
1 2
, con α ∈ R.
3 α
DOMANDA
· 9 2 ¸5
10
Sia P = 10
una matrice di transizione per un sistema con distribuzione
1
8
10 £ 10
¤T
iniziale D0 = 50 50 . Allora lo stato del sistema dopo due periodi ha prima
componente pari a:
DOMANDA 6
Un gestore che dispone di un capitale di 40 deve costruire un portafoglio immunizzato ad un fattore di rischio, sapendo che i due titoli hanno sensibilità ad
un fattore di rischio di 5 e -3 e che i loro prezzi sono pari a 10. La quantità da
acquistare dei due titoli è:
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
DOMANDA
7¯


1 2 0 ¯¯ 0
a è possibile ∀α;
Il S.L. 0 3 6 ¯¯ 3  :
c se α = 1, è determinato;
0 1 2 ¯ α
b è impossibile ∀α;
d se α 6= 1, è impossibile;
DOMANDA 8 ·
¸
0.9 0.8
Data la matrice T =
, determinare la distribuzione stazionaria di un
0.1 0.2
sistema la cui somma delle componenti è 100%:
DOMANDA 9
Se A ∈ R4,4 ha determinante pari a 5. Allora det(2A) è pari a
DOMANDA 10
·
¸
·
¸
¡
¢T
1 2
0 1
−1
−1
,eB =
, allora: (AB)−1 ha elemento 2,2 pari a:
Se A =
0 3
2 3
DOMANDA 11
Due gestori hanno ottenuto rispettivamente una performance del 5% e dell’8%
£
¤T
gestendo due portafogli descritti dalla seguente composizione: fondo1 = 0.2 0.8 ,
£
¤T
fondo2 = 0.5 0.5 . Indici di mercato puri hanno registrato una performance
rispettivamente del 4% e del 10%. L’extraperformance dei due gestori è data da:
ex1 = ....., ex2 = .......
DOMANDA 12
Si consideri la matrice P di transizione da marca a marca:


0.6 0 0.3
 0
1 0 
0.4 0 0.7
£
¤T
Dato che la distribuzione iniziale del sistema è 150 50 100 , quale il
numero di elementi nella seconda marca dopo 50 periodi?
DOMANDA 13
£
¤T
£
¤T
Siano dati i tre vettori x1 = −2 1 1
, x2 = 2 −3 −1 , x3 =
£
¤T
£
¤T
2 −5 −1 . Stabilire se il vettore x4 = −3 5 1
sia o meno rappresentabile come combinazione lineare dei primi tre vettori e se si quali siano i
coefficienti della c.l. che genera x4 .
2
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
3
DOMANDA
14


1 2 3 4 5 6
£
¤
Sia AT =  2 3 4 5 6 7  e B T = 1 2 3 . Calcolare la componente
3 4 5 6 7 8
(1, 2) della matrice prodotto (AB)T .
DOMANDA 15
Calcolare la matrice inversa di A =
·
¸
1 2
.
4 1
DOMANDA
16 ¸
·
2 2 2
: ha soluzione.
Il S.L.:
0 1 2
DOMANDA
¸
· 9 17
2
10
10
una matrice di transizione che descrive il passaggio tra
Sia P =
1
8
10
10
due classi di rating (AAA e BBB). Una banca ha un portafoglio clienti descritto
£
¤T
dallo stato iniziale D0 = 100 0 . Per ogni cliente presente nella classe BBB,
la banca sopporta un costo di 100E per periodo. Quale l’ammontare dei costi
complessivi che la banca sopporterà nei prossimi due anni?
DOMANDA 18
Discutere il sistema lineare omogeneo con matrice A =
·
−1 1 0
0 1 1
¸
R. d.
Il sistema omogeneo è sempre possibile. Poichè la matrice A ha rango 2 e
n = 3, il sistema ammette ∞1 soluzioni Infatti, si trova che le soluzioni sono date
da (t, t, −t), con t ∈ R.
DOMANDA 19
Sia A ∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞2 soluzioni. Allora il
a è sempre possibile; b è possibile se r (A|b) = 1
sistema lineare Ax=b:
c ammette ∞2 soluzioni, ∀b; d è sempre impossibile, ∀b;
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
4
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
Metodi Matematici II
Algebra Lineare: Soluzioni Simulazione Test Preliminare
DOMANDA 1
Sia A∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax=0 ha un’unica soluzione.
Allora il sistema lineare Ax=b
può non ammettere
è possibile ed ammette
a
; b
soluzioni ;
una sola soluzione;
è possibile ed ammette
c
; d non è possibile;
infinite soluzioni;
R. b.
Poichè il S.L. omogeneo ha una sola soluzione, r (A) = 3. Di conseguenza
r (A|b) = 3, ∀b ∈ R3 . e il S.L. non omogeneo è possibile ed ammette una sola
soluzione.
DOMANDA 2


1 3 1 2
Discutere il seguente S.L.: 0 1 0 2  .
-1 2 -1 0
R. Mediante eliminazione gaussiana con la sequenza di operazioni


1 3 1 2
R3=R3+R1; R3=R3-5R2, si arriva alla forma ridotta  0 1 0 2  da
0 0 0 -8
cui si deduce che il SL è impossibile.
DOMANDA 3
Si è costruita una matrice A accostando m vettori di Rn . Allora:
a r (A) ≤ m se n > m; b r (A) = n;
c r (A) = m;
d r (A) = max (n, m);
R. a.
Si ricorda che r (A) ≤ min (n, m). Di conseguenza la risposta corretta è a.
DOMANDA 4
al variare del parametro α quale sia il rango della matrice A =
· Discutere
¸
1 2
, con α ∈ R:
3 α
R. b.
Si ha che il det(A) = α − 6. Se α 6= 6, questo è diverso da zero, e quindi
r (A) = 2. Se α = 6, si ha r (A) = 1.
DOMANDA 5
5
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
Sia P =
·
9
10
1
£10
2
10
8
10
¸
una matrice di transizione per un sistema con distribuzione
¤T
iniziale D0 = 50 50 . Allora lo stato del sistema dopo due periodi è descritto
£
¤T
dal vettore: D2 = ....... ......
£
¤T
R. D2 = 58.5 41.5
Trovo:
¸
· 9 2 ¸· 9 2 ¸·
50
10
10
10
10
D2 = PD1 = PPD0 = 1 8
1
8
50
10
10
10
10
· 9 2 ¸·
¸
55.0
10
10
=
8
1
45.0
· 10 10¸
58.5
=
41.5
DOMANDA 6
Un gestore che dispone di un capitale di 40 deve costruire un portafoglio immunizzato ad un fattore di rischio, sapendo che i due titoli hanno sensibilità ad
un fattore di rischio di 5 e -3 e che i loro prezzi sono pari a 10. La quantità da
acquistare dei due titoli è:
R. d.
Devo risolvere il S.L.
¸·
¸
·
¸ · 1
¸·
3
n1
5 −3
0
8
80
=
1
10 10
40
n2
− 18 16
che ha soluzione:
·
n1
n2
¸
=
·
3
2
5
2
¸
DOMANDA
7¯


1 2 0 ¯¯ 0
a è possibile ∀α;
Il S.L. 0 3 6 ¯¯ 3  :
c se α = 1, è determinato;
0 1 2 ¯ α
R. d.
b è impossibile ∀α;
d se α 6= 1, è impossibile;
¯

0
1 2 0 ¯¯
3 
Faccio l’operazione elementare R3 = R3 −R2 /3 e ottengo: 0 3 6 ¯¯
¯
0 0 0 α−1
per cui se α 6= 1, il sistema è impossibile.
DOMANDA 8

6
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
¸
9 8
Data la matrice
, la distribuzione stazionaria di un sistema la
1 2
cui somma delle componenti è 100%, è:
R. d.
La distribuzione stazionaria D è soluzione del sistema lineare
1
T= 10
·
TD = D
da cui:
(T − I) D = 0
cioè l’autovettore della matrice (T − I) associato all’autovalore 1. Il SL omogeneo
è:
¸¶
¸ ·
µ·
1
10 0
9 8
D = 0
−
0 10
1 2
10
¸
·
−1 8
D = 0
1 −8
da cui:
−d1 + 8d2 = 0 → d1 = 8d2
¤T
e le infinite soluzioni sono 8t t , t ∈ R/0. Scegliendo quella per cui la somma
delle componenti è pari a 1, si ha 8t + t = 1, cioè t = 1/9:
£
D=
£
8
9
1
9
¤T
DOMANDA 9
Se A∈ R4,4 ha determinante pari a 5, allora det (2A) è pari a:
R.
Si ricorda la proprietà per cui se A∈ Rn,n allora det(αA) = αn det(A). Nell’esercizio,
n=4, α = 2, det(A) = 5, per cui det(2A) = 24 ∗ 5
DOMANDA
10¸
¸
¸
·
·
·
¡
¢
T
1
2
0
1
.......
.......
−1
, e B−1 =
, allora: (AB)
Se A−1 =
=
0 3·
....... .......
¸ 2 3
¡
¢T
0 2
R. (AB)−1 =
3 13
7
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
Si ricorda che date due matrici A, B: (AB)−1 = B−1 A−1 e (AB)T = BT AT .
Allora:
¡
¡
¢T
¢T
= B−1 A−1
(AB)−1
¸¶T
¸·
µ·
1 2
0 1
=
0 3
2 3
¸¶T
¸¶T µ·
µ·
0 1
1 2
=
2 3
0 3
¸
¸·
·
0 2
1 0
=
1 3
2 3
¸
·
0 2
=
3 13
DOMANDA 11
Due gestori hanno ottenuto rispettivamente una performance del 5% e dell’8%
£
¤T
gestendo due portafogli descritti dalla seguente composizione: fondo1 = 0.2 0.8 ,
£
¤T
fondo2 = 0.5 0.5 . Indici di mercato puri hanno registrato una performance
rispettivamente del 4% e del 10%. L’extraperformance dei due gestori è data da:
ex1 = ....., ex2 = .......
R. ex1 = −3.8%, ex2 = 1%.
Poichè i benchmark di mercato sono indici puri, e quindi rispettivamente de¤T
£
¤T £
e 0 1 , i fondi gestiti possono essere facilscritti dalle composizioni 1 0
mente ricostruiti come combinazione lineare dei fondi di mercato:
¸
·
· ¸
· ¸
0.2
0
1
=
+ 0.8
0.2
0.8
1
0
¸
·
· ¸
· ¸
0.5
0
1
=
+ 0.5
0.5
0.5
1
0
La performance del primo fondo spiegata dal mercato è:
0.2 ∗ 4% + 0.8 ∗ 10% = 0.8% + 8% = 8.8%
e quindi la extraperformance che misura la capacità del primo gestore è:
5% − 8.8% = −3.8%,
addirittura negativa.
8
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
La performance del secondo fondo spiegata dal mercato è:
0.5 ∗ 4% + 0.5 ∗ 10% = 2% + 5% = 7%
e quindi la extraperformance che misura la capacità del primo gestore è:
8% − 7% = 1%.
DOMANDA 12
Si consideri la matrice P di transizione da marca a marca:


0.6 0 0.3
 0
1 0 
0.4 0 0.7
£
¤T
Dato che la distribuzione iniziale del sistema è 150 50 100 , quale il
numero di elementi nella seconda marca dopo 50 periodi?
R. 50
Si osserva che se si è nella seconda marca non si può mai uscire. O se si è in
altre marche non si può mai passare alla marca due. Di conseguenza il numero di
elementi che saranno nella marca due in qualsiasi periodo saranno sempre pari a
50.
DOMANDA 13
£
¤T
£
¤T
Siano dati i tre vettori x1 = −2 1 1
, x2 = 2 −3 −1 , x3 =
£
¤T
£
¤T
2 −5 −1 . Stabilire se il vettore x4 = −3 5 1
sia o meno rappresentabile come combinazione lineare dei primi tre vettori e se si quali siano i
coefficienti della c.l. che genera x4 .
R.
Per verificare che x4 è c.l. dei rimanenti vettori occorre esaminare il SL
¯
−2 2
2 ¯¯ −3
1
−3 −5 ¯¯ 5
1
−1 −1 ¯ 1
Si osserva che, applicando la regola di Sarrus, si ha det (A) = 0, cosı̀ che nulla
può dirsi sul rango di A. Procediamo all’eliminazione gaussiana con le seguenti
operazioni: R1=R1/-2
¯
1 −1 −1 ¯¯ 3/2
1 −3 −5 ¯¯ 5
1 −1 −1 ¯ 1
9
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
R2=R2-R1; R3=R3-R1
¯
1 −1 −1 ¯¯ 3/2
0 −2 −4 ¯¯ 5 − 3/3
0 0
0 ¯ 1 − 3/2
Poich+ r (A) = 2 e r (A|b)=3, si ha che x4 non è esprimibile come c.l. di x1 , x2 e
di x3 .
DOMANDA
14


1 2 3 4 5 6
£
¤
Sia AT =  2 3 4 5 6 7  e B T = 1 2 3 . Calcolare la componente
3 4 5 6 7 8
(1, 2) della matrice prodotto (AB)T .
R. 20
Si osserva che (AB)T = B T AT e che per calcolare la componente (1, 2) occorre
considerare la prima riga di B e la seconda colonna di A. Per cui l’elemento
desiderato è
1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 = 20.
DOMANDA 15
Calcolare la matrice inversa di A =
·
¸
1 2
.
4 1
DOMANDA
16 ¸
·
2 2 2
Il S.L.:
: ha soluzione.
0 1 2
£
¤T
R. x = −1 2
Dalla seconda equazione si ottiene immediatamente x2 = 2 che sostituito nella
prima equazione da: 2x1 = 2 − 2x2 = 2 − 4 e quindi x1 = −1.
DOMANDA
¸
· 9 17
2
10
10
una matrice di transizione che descrive il passaggio tra
Sia P =
1
8
10
10
due classi di rating (AAA e BBB). Una banca ha un portafoglio clienti descritto
£
¤T
dallo stato iniziale D0 = 100 0 . Per ogni cliente presente nella classe BBB,
la banca sopporta un costo di 100E per periodo. Quale l’ammontare dei costi
complessivi che la banca sopporterà nei prossimi due anni?
R. 2700E
10
M.M.II Simulazione Test Prova Parziale di Algebra Lineare
Si ha:
D1 =
D2 =
·
·
9
10
1
10
9
10
1
10
2
10
8
10
2
10
8
10
¸·
¸ ·
¸
100
90
=
0
10
¸
¸ ·
¸·
83.0
90
=
17.0
10
e quindi le perdite attesi ammontano: 10*100E+17*100E=2700E
DOMANDA 18
¸
·
−1 1 0
Discutere il sistema lineare omogeneo con matrice A =
0 1 1
R. d.
Il sistema omogeneo è sempre possibile. Poichè la matrice A ha rango 2 e
n = 3, il sistema ammette ∞1 soluzioni Infatti, si trova che le soluzioni sono date
da (t, t, −t), con t ∈ R.
DOMANDA 19
Sia A ∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞2 soluzioni. Allora il
a è sempre possibile; b è possibile se r (A|b) = 1
sistema lineare Ax=b:
c ammette ∞2 soluzioni, ∀b; d è sempre impossibile, ∀b;
R. b.
Se il SL omogeneo ha ∞2 soluzioni, significa che r (A) = 1. Quindi la risposta
corretta per il Teorema di Rouchè Capelli è la b).
11