Teoria dei Giochi

Teoria dei Giochi
Anna Torre
Almo Collegio Borromeo 4 marzo 2010
email: [email protected]
sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2010.html
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
“DECISORI RAZIONALI INTERAGENTI” di Fioravante Patrone,
edizioni PLUS, Pisa 2006
A. Torre
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COME DESCRIVERE UN GIOCO
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
COME DESCRIVERE UN GIOCO
Una importante classificazione che occorre fare nel contesto dei
giochi discende dalla risposta alla seguente domanda:
“Vi è oppure no per i giocatori la possibilità di sottoscrivere
accordi vincolanti?”
In presenza di questa possibilità si parla di giochi cooperativi, in
caso contrario si parla di giochi non cooperativi.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
COME DESCRIVERE UN GIOCO
Una importante classificazione che occorre fare nel contesto dei
giochi discende dalla risposta alla seguente domanda:
“Vi è oppure no per i giocatori la possibilità di sottoscrivere
accordi vincolanti?”
In presenza di questa possibilità si parla di giochi cooperativi, in
caso contrario si parla di giochi non cooperativi.
Parleremo di giochi non cooperativi a due giocatori.
A. Torre
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Giochi non cooperativi
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Due modalità rappresentative:
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Due modalità rappresentative:
la forma estesa
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Due modalità rappresentative:
la forma estesa
la forma strategica.
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Due modalità rappresentative:
la forma estesa
la forma strategica.
Un gioco è in forma estesa quando la descrizione è fatta mossa per
mossa fino ad arrivare a presentare tutte le situazioni finali, ciascuna
esito univoco di una data serie di mosse.
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Due modalità rappresentative:
la forma estesa
la forma strategica.
Un gioco è in forma estesa quando la descrizione è fatta mossa per
mossa fino ad arrivare a presentare tutte le situazioni finali, ciascuna
esito univoco di una data serie di mosse.
La forma normale (o strategica) invece precisa le strategie. Le
strategie in questa descrizione sono un dato del problema, mentre
nella forma estesa il dato sono le mosse, ed un compito di chi
analizza il gioco è proprio quello di dedurre da queste le strategie di
ogni giocatore.
A. Torre
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Giochi non cooperativi
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Un’ulteriore distinzione è quella fra
giochi ad Informazione completa e
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Un’ulteriore distinzione è quella fra
giochi ad Informazione completa e giochi ad Informazione
incompleta.
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Un’ulteriore distinzione è quella fra
giochi ad Informazione completa e giochi ad Informazione
incompleta.
In un gioco a Informazione completa le regole del gioco e le funzioni
di utilità di tutti i giocatori sono conoscenza comune dei giocatori.
A. Torre
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Giochi non cooperativi
Un’ulteriore distinzione è quella fra
giochi ad Informazione completa e giochi ad Informazione
incompleta.
In un gioco a Informazione completa le regole del gioco e le funzioni
di utilità di tutti i giocatori sono conoscenza comune dei giocatori.
Questo non è particolarmente realistico.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Giochi non cooperativi
Un’ulteriore distinzione è quella fra
giochi ad Informazione completa e giochi ad Informazione
incompleta.
In un gioco a Informazione completa le regole del gioco e le funzioni
di utilità di tutti i giocatori sono conoscenza comune dei giocatori.
Questo non è particolarmente realistico.
L’ipotesi di informazione incompleta porta a una teoria più sofisticata
ma anche più soddisfacente, proprio in quanto più aderente alla
realtà.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Giochi non cooperativi
Un’ulteriore distinzione è quella fra
giochi ad Informazione completa e giochi ad Informazione
incompleta.
In un gioco a Informazione completa le regole del gioco e le funzioni
di utilità di tutti i giocatori sono conoscenza comune dei giocatori.
Questo non è particolarmente realistico.
L’ipotesi di informazione incompleta porta a una teoria più sofisticata
ma anche più soddisfacente, proprio in quanto più aderente alla
realtà.
Nell’ambito di un fenomeno, ad esempio economico o biologico,
accade di rado che tutte le informazioni siano note a tutti i
protagonisti.
A. Torre
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La forma estesa consiste in una descrizione dettagliata di tutte le
possibili partite. È stata introdotta da von Neumann e Morgenstern
(1944) e formalizzata da Kuhn (1953)
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
La forma estesa consiste in una descrizione dettagliata di tutte le
possibili partite. È stata introdotta da von Neumann e Morgenstern
(1944) e formalizzata da Kuhn (1953) Iniziamo con un esempio
FIAMMIFERI
Ci sono due mucchietti di due fiammiferi ciascuno.
Due giocatori a turno levano un certo numero (strettamente positivo)
di fiammiferi tutti dallo stesso mucchio.
Chi toglie l’ultimo fiammifero perde.
A. Torre
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La forma estesa consiste in una descrizione dettagliata di tutte le
possibili partite. È stata introdotta da von Neumann e Morgenstern
(1944) e formalizzata da Kuhn (1953) Iniziamo con un esempio
FIAMMIFERI
Ci sono due mucchietti di due fiammiferi ciascuno.
Due giocatori a turno levano un certo numero (strettamente positivo)
di fiammiferi tutti dallo stesso mucchio.
Chi toglie l’ultimo fiammifero perde.
Costruiamo un albero.
A. Torre
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La forma estesa consiste in una descrizione dettagliata di tutte le
possibili partite. È stata introdotta da von Neumann e Morgenstern
(1944) e formalizzata da Kuhn (1953) Iniziamo con un esempio
FIAMMIFERI
Ci sono due mucchietti di due fiammiferi ciascuno.
Due giocatori a turno levano un certo numero (strettamente positivo)
di fiammiferi tutti dallo stesso mucchio.
Chi toglie l’ultimo fiammifero perde.
Costruiamo un albero.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Cominciamo con il descrivere tutte le possibili mosse del primo
giocatore all’inizio della partita. Cosa può fare il primo gicatore? Può
togliere dal primo mucchietto uno o due fiammiferi oppure fare la
stessa cosa dal secondo mucchietto. Naturalmente c’ è simmetria tra
le operazioni che si possono fare sul primo e sul secondo mucchietto
e quindi possiamo pensare che possa solo togliere dal primo.
Indichiamo con:
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Cominciamo con il descrivere tutte le possibili mosse del primo
giocatore all’inizio della partita. Cosa può fare il primo gicatore? Può
togliere dal primo mucchietto uno o due fiammiferi oppure fare la
stessa cosa dal secondo mucchietto. Naturalmente c’ è simmetria tra
le operazioni che si possono fare sul primo e sul secondo mucchietto
e quindi possiamo pensare che possa solo togliere dal primo.
Indichiamo con:
a “toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Cominciamo con il descrivere tutte le possibili mosse del primo
giocatore all’inizio della partita. Cosa può fare il primo gicatore? Può
togliere dal primo mucchietto uno o due fiammiferi oppure fare la
stessa cosa dal secondo mucchietto. Naturalmente c’ è simmetria tra
le operazioni che si possono fare sul primo e sul secondo mucchietto
e quindi possiamo pensare che possa solo togliere dal primo.
Indichiamo con:
a “toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
b “toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
A. Torre
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A questo punto cosa può fare il secondo giocatore?
Se il primo giocatore ha scelto a può scegliere le mosse:
A “toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
A. Torre
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A questo punto cosa può fare il secondo giocatore?
Se il primo giocatore ha scelto a può scegliere le mosse:
A “toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
B “toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
A questo punto cosa può fare il secondo giocatore?
Se il primo giocatore ha scelto a può scegliere le mosse:
A “toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
B “toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
C “toglie 2 fiammiferi dal secondo mucchietto”
A. Torre
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Se il primo giocatore ha scelto b può scegliere le mosse:
A. Torre
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Se il primo giocatore ha scelto b può scegliere le mosse:
D “toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
A. Torre
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Se il primo giocatore ha scelto b può scegliere le mosse:
D “toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
E “toglie 2 fiammiferi dal secondo mucchietto”
A. Torre
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Se il primo giocatore ha scelto b può scegliere le mosse:
D “toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
E “toglie 2 fiammiferi dal secondo mucchietto”
A questo punto se sono state scelte b ed E il gioco è finito e ha vinto
I.
Altrimenti gioca I.
È chiaro capire cosa può fare I e poi II
A. Torre
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Indichiamo con
A. Torre
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Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
A. Torre
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Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
A. Torre
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Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
e“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
e“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
f“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
A. Torre
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Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
e“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
f“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
g“toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
A. Torre
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Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
e“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
f“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
g“toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
F“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
e“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
f“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
g“toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
F“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
G“toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Indichiamo con
c“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
d“toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto”
e“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
f“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
g“toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
F“toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto”
G“toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto”
A. Torre
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gioca I
c
gioca II
PP
PP
PPb
a
PP
gioca II
J
gioca II"b
J E
D
"
b
J
"
b
J
b C
A "
B
gioca I
"
b
vince I
"
b
"I
b
g
gioca
gioca I
gioca I
e
d
gioca II
vince II
vince II
F
vince I
vince II
f
G
vince I
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Per il momento non abbiamo ancora un gioco: abbiamo una “game
form”.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Per il momento non abbiamo ancora un gioco: abbiamo una “game
form”.
Per avere un gioco dobbiamo conoscere le funzioni di utilità dei due
giocatori.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Per il momento non abbiamo ancora un gioco: abbiamo una “game
form”.
Per avere un gioco dobbiamo conoscere le funzioni di utilità dei due
giocatori.
Abbiamo degli esiti che non son quantificati. Come viene interpretato
“vince I” dai due giocatori? Potremmo dire 1 per il primo giocatore e
-1 per il secondo se supponiamo che i giocatori vogliano vincere. ma
siamo sicuri che l’utilità della vittoria per il primo giocatore sia uguale
all’utilità della vittoria per il secondo?
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Per il momento non abbiamo ancora un gioco: abbiamo una “game
form”.
Per avere un gioco dobbiamo conoscere le funzioni di utilità dei due
giocatori.
Abbiamo degli esiti che non son quantificati. Come viene interpretato
“vince I” dai due giocatori? Potremmo dire 1 per il primo giocatore e
-1 per il secondo se supponiamo che i giocatori vogliano vincere. ma
siamo sicuri che l’utilità della vittoria per il primo giocatore sia uguale
all’utilità della vittoria per il secondo?
Se ci fosse un premio di 1000 euro e il giocatore I fosse uno studente
mentre il giocatore II un imprenditore affermato?
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Per il momento non abbiamo ancora un gioco: abbiamo una “game
form”.
Per avere un gioco dobbiamo conoscere le funzioni di utilità dei due
giocatori.
Abbiamo degli esiti che non son quantificati. Come viene interpretato
“vince I” dai due giocatori? Potremmo dire 1 per il primo giocatore e
-1 per il secondo se supponiamo che i giocatori vogliano vincere. ma
siamo sicuri che l’utilità della vittoria per il primo giocatore sia uguale
all’utilità della vittoria per il secondo?
Se ci fosse un premio di 1000 euro e il giocatore I fosse uno studente
mentre il giocatore II un imprenditore affermato?
Abbiamo descritto l’albero di un gioco finito a informazione perfetta.
Un gioco descritto tramite una successione finita di mosse (finito) si
dice a informazione perfetta se lo stato del gioco è noto (pubblico) ai
due giocatori dopo ogni mossa.
A. Torre
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Teorema di Zermelo Kuhn. Kuhn “Extensive Games and the Problem
of Information” Contributions to the theory of Games II (1953)
307-317
A. Torre
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Un gioco descritto tramite una successione finita di mosse (finito) si
dice a informazione perfetta se lo stato del gioco è noto (pubblico) ai
due giocatori dopo ogni mossa: il gioco dei fiammiferi è a
informazione perfetta mentre la morra cinese non è a informazione
perfetta.
A. Torre
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Cerchiamo di scrivere la forma strategica del gioco dei fiammiferi. Le
strategie del primo giocatore sono:
s1 =a,c s2 =a,d s3 =b,c s4 =b,d
Le strategie del secondo sono:
t1 =A,D t2 =A,E t3 =B,D t4 =B,E t5 =C,D t6 =C,E
e il gioco in forma strategica
A. Torre
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I/II
s1
s2
s3
s4
t1
1
-1
-1
-1
t2
1
-1
1
-1
t3
1
1
-1
-1
t4
1
1
1
1
t5
-1
-1
-1
-1
t6
-1
-1
1
1
A. Torre
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Per descrivere i giochi in forma estesa ci restano ancora due
problemi:
Come descrivere il caso di mosse contemporanee?
Come descrivere la situazione in cui ci sono “mosse del caso"?
A. Torre
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gioca 1
@
@
C
F @ S
@
@
gioca 2
gioca 2
gioca 2
@
..........................................................
A
A
A
C FA S
C FA S
C FA S
A
A
A
A
A
A
0
-1
1
1
0
-1
-1
1
0
0
1
-1
-1
0
1
1
-1
0
Gioco a informazione imperfetta (mosse contemporanee):
Qui ho scritto il gioco con i valori di utilità convenzionali per i due
giocatori: 1 per la vittoria, 0 per il pareggio e -1 per la sconfitta.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Morra cinese La forma strategica è:
C
F
S
C
0
1
-1
F
-1
0
1
S
1
-1
0
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato
A. Torre
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POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare
Se I ha passato, il gioco è finito.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare
Se I ha passato, il gioco è finito.Se ha rilanciato, tocca a II, il quale
può:
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare
Se I ha passato, il gioco è finito.Se ha rilanciato, tocca a II, il quale
può:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare e vedere, nel qual caso il giocatore I deve mostrare la
sua carta.
A. Torre
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POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare
Se I ha passato, il gioco è finito.Se ha rilanciato, tocca a II, il quale
può:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare e vedere, nel qual caso il giocatore I deve mostrare la
sua carta.
se I ha la carta “alta”, cioè A, II deve dare 2 euro a I
se I ha la carta “bassa”, cioè K, I deve dare 2 euro a II
A. Torre
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POKER SEMPLIFICATO
C’è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta “alta” (cioè
quella che vince) e K è la carta bassa.
Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che
estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare
Se I ha passato, il gioco è finito.Se ha rilanciato, tocca a II, il quale
può:
passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II
rilanciare e vedere, nel qual caso il giocatore I deve mostrare la
sua carta.
se I ha la carta “alta”, cioè A, II deve dare 2 euro a I
se I ha la carta “bassa”, cioè K, I deve dare 2 euro a II
Il gioco può essere rappresentato dal seguente albero:
A. Torre
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PA
s
(−1, 1)
0
H
H
H
HH K
A
1/2 HH
1/2
HH
I s
HsI
@
@
@ P
@ R
R
K
@ K
@ A
@
@
II
s
@s
@s
A
A
(−1, 1)
S A P
S A P
A
A
A
A
s
s
As
As
(2, −2)
(1, −1)
A. Torre
(−2, 2)
(1, −1)
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\
I \II
P
S
PA PK
(−1, 1)
(−1, 1)
PA RK
(0, 0)
(−3/2, 3/2)
RA PK
(0, 0)
(1/2, −1/2)
RA RK
(1, −1)
(0, 0)
I payoff sono diventati semplicemente i valori attesi dei payoff con la
distribuzione di probabilità assegnata.
NB: la strategia RA RK prevede (per via di RK ) che il giocatore I bluffi.
A. Torre
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Finora siamo partiti dalla forma estesa per descriverne poi la forma
strategica, ma è possibile anche dare un gioco direttamente in forma
strategica.
A. Torre
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Dilemma del prigioniero
NC
C
NC
5,5
6,0
C
0,6
1,1
dove il primo giocatore sceglie le righe della matrice e il secondo le
colonne.
A. Torre
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Battaglia dei sessi
T
S
T
2,1
0,0
S
0,0
1,2
dove il primo giocatore sceglie le righe della matrice e il secondo le
colonne.
A. Torre
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Il passaggio dalla forma estesa a quella strategica sul piano
concettuale (non su quello pratico) è semplice. Lo è altrettanto il
passaggio inverso? In altre parole, dato un gioco in forma strategica
è possibile sempre descriverlo in forma estesa? La risposta è: “sì in
maniera banale se accettiamo che l’informazione non sia perfetta”.
Se invece la domanda è: Dato un gioco in forma strategica è
possibile darne una versione in forma estesa come gioco a
informazione perfetta? La risposta a questa domanda in generale è:
“no, e anche quando è possibile non è unica la forma estesa che dà
la forma strategica fissata”.
A. Torre
Teoria dei giochi 2010-Almo Collegio Borromeo
Gioco in forma strategica con due giocatori: Tentativo di soluzione :
massimo ombra.
(X, Y, f , g)
f (x̄, ȳ) ≥ f (x, y),
g(x̄, ȳ) ≥ g(x, y)
per ogni x ∈ X, y ∈ Y
A. Torre
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L
R
T 5,5 0,0
B 0,0 5,5
Nemmeno l’esistenza del massimo ombra assicura che esiste una
soluzione: gioco di coordinamento. A volte non c’è divegenza di
interessi ma solo difficoltà di coordinamento. Se i due tizi hanno la
possibilità di comunicare prima di entrare nella stanza e schiacciare il
bottone.
A. Torre
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Strategia dominante
(X, Y, f , g)
f (x̄, y) ≥ f (x, y)
per ogni x ∈ X x 6= x̄, y ∈ Y
Se il giocatore I ha una strategia dominante, I giocherà x̄
A. Torre
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DILEMMA DEL PRIGIONIERO
I/II
L
R
T
5,5 0,6
B 6,0 1,1
Osserviamo il gioco dal punto di vista di ciascun giocatore:
I/II L R
T
5, 0
B
6 1
I/II L R
T
5 6
B 0 1
La soluzione è: i giocatori giocano il primo B e il secondo R e
prendono 1 ciascuno, ma il risultato è inefficiente.
A. Torre
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