Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Variabili multiple
Considerando due variabili continue X e Y, la densità di probabilità congiunta moltiplicata
per dx·dy
f X ,Y ( x, y) dx dy
rappresenta la probabilità di estrazione della coppia di valori x,y in un intervallo dx·dy
La probabilità marginale di una variabile (escludendo cioè l’effetto dell’altra) vale:
f X (x) f X ,Y (x, y)dy
Se X e Y sono indipendenti, allora
fY ( y) f X ,Y (x, y)dx
f X ,Y ( x, y) f X ( x) fY ( y)
La probabilità cumulata si esprime invece come:
FX ,Y ( x, y) prob( X x, Y y)
x
y
f X ,Y ( x, y)dxdy
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Variabili multiple
Considerando due variabili continue X e Y, si definisce la covarianza il momento di secondo
ordine sulle medie
Cov( X , Y ) E( X X )(Y Y )
E (Y ) Y
E( X ) X
E( XY Y X XY X Y ) E ( XY ) X E(Y ) Y E( X ) X Y E ( XY ) X Y
in cui E ( XY )
xy f X ,Y ( x, y)dxdy
Il coefficiente di correlazione indica il grado di relazione lineare tra le due variabili
X ,Y
Cov( X , Y )
XY
- Se ρ =1, i punti sono distribuiti esattamente su una retta con pendenza positiva
- Se ρ =-1, i punti sono distribuiti esattamente su una retta con pendenza negativa
1
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Distribuzione bivariata gaussiana
La coppia di variabili continue X e Y, ha distribuzione bivariata gaussiana se la sua densità
congiunta è esprimibile come:
f X ,Y ( x, y)
1
2 X Y
1
exp
2
2
1
2 1
x
X
X
x X y Y y Y
2
XY
Y
2
2
Esempi di distribuzioni bivariate con probabilità marginali gaussiane
ρ=0
ρ = 0.9
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Considerando la variabile aleatoria continua Y, con densità fY(y) si ricorda che
Media o valore atteso
Varianza
E(Y ) Y ~ y fY ( y)dy
Y
Var(Y ) E (Y Y )2 E(Y 2 ) Y2
Assegnata inoltre una funzione φ(Y), vale la seguente relazione:
E Y ~ y fY ( y)dy
Y
Se si hanno due variabili aleatorie continue con distribuzione congiunta fX,Y(x,y) risulta
E X , Y ~ ~ x, y f X ,Y ( y)dy
X Y
2
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Funzione costante (Y ) aY
Media o valore atteso
E Y ~ a y fY ( y)dy a ~ y fY ( y)dy a E (Y )
Y
Y
Var Y a Var(Y
(Y )
Varianza
2
S ( X ,Y ) X Y
Somma di due variabili X e Y
ES X , Y S E( X ) E(Y )
Media o valore atteso
Varianza
S2 X2 Y2
S2 X2 Y2 2 X Y
per variabili indipendenti
D ( X ,Y ) X Y
Differenza di due variabili X e Y
ED X , Y D E( X ) E(Y )
Media o valore atteso
Varianza
per variabili correlate
S2 X2 Y2
S2 X2 Y2 2 X Y
per variabili indipendenti
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
per variabili correlate
Algebra delle Variabili Casuali
P ( X ,Y ) X Y
Prodotto di due variabili X e Y
Media o valore atteso
Varianza
i
EP X , Y P E ( X ) E(Y ) Cov( X Y ) X Y X Y
P2 X2 Y2 Y2 X2 X2 Y2 2X Y X Y 2 X2 Y2
Q ( X ,Y ) X / Y
Quoziente di due variabili X e Y
Media o valore atteso
Varianza
EQ X , Y Q
Q2
X2
Y2
X Y
1
Y Y
Y
X
X
Y
Y2 X2
2 2 2 X Y
X Y
X
Y
3
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Regressione lineare
L’analisi di regressione lineare serve a determinare una relazione di tipo lineare tra due
variabili X e Y. Se X è la variabile indipendente (ad es. l’allungamento imposto durante una
prova di trazione su un provino), si cerca di verificare se vi è una relazione lineare con la
variabile dipendente Y (ad es. il carico misurato) del tipo:
Y a1 x a0
dove ε rappresenta una variabile errore casuale con media nulla
Avendo a disposizione y1, y2,…yn osservazioni della variabile dipendente corrispondenti a
x1, x2, … xn osservazioni della variabile dipendente, l’obiettivo è quindi quello di trovare i
migliori coefficienti â1 e â0 possibili in modo da ridurre lo scarto tra i valori osservati di Y e
quelli stimati.
n
Lo scarto (quadratico) da minimizzare vale:
Err2 yi a1 xi a0
2
i 1
n
Err2
2 yi a1 x a0 0
a0
i 1
n
Err2
2 yi a1 xi a0 xi 0
a1
i 1
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Regressione lineare
Ponendo uguale a zero le due derivate si ottiene un sistema nelle due incognite a1 e a0,
che risolto porta alla conclusione
aˆ0
yi xi2 xi xi yi
n x xi
2
i
2
aˆ1
n xi yi xi yi
n xi2 xi
2
a0 e a1 sono i coefficienti della miglior retta
interpolante i punti assegnati. I residui valgono: i yi yˆi yi aˆ1 xi aˆ0
Si calcola quindi l’errore complessivo
come la somma degli scarti quadratici: RSS Err2
((residual sum of squares,
q
, o devianza residua))
L’errore standard, che dà una misura della
dispersione dei punti attorno alla retta, vale:
SY | X
n
n
y yˆ y aˆ x aˆ
2
i 1
i
RSS
n2
i
2
i 1
i
1 i
0
y yˆ
2
i
i
n2
SY|X è quindi una stima della deviazione standard dell’errore
4
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Regressione lineare
definendo invece il TSS (total sum of squares,
o devianza totale)
TSS
y
y
2
i
l media
di di tuttii i
con y a rappresentare la
valori osservati di y
Si arriva a determinare il coefficiente di determinazione:
R 2 1
RSS
TSS
R2 < 0.5
Correlazione lineare non significativa
0.5< R2< 0.9
Correlazione lineare modesta
R22 > 0.9
Correlazione lineare forte
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio tratto dal es. 4.4 del libro
Calcolare la tolleranza dimensionale complessiva secondo il metodo 6σ di una barra
rettilinea costituita dalla giunzione di 3 segmenti aventi le seguenti dimensioni:
LA = 100±0.1
100±0 1
LB = 70±0.08
LC = 30±0.03
5
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio tratto dal es. 4.4 del libro
Calcolare la tolleranza dimensionale complessiva secondo il metodo 6σ di una barra
rettilinea costituita dalla giunzione di 3 segmenti aventi le seguenti dimensioni:
LA = 100±0.1
100±0 1
LB = 70±0.08
LC = 30±0.03
Ragionando in modo deterministico, la dimensione finale sarà data da: 200±0.21
Se invece si considera che le tolleranze indicate corrispondono all’intervallo (-3σ,+3σ) di
una gaussiana centrata sulla quota nominale, si può scrivere:
A 100
A 0.1 / 3 0.0333
B 70
B 0.08 / 3 0.0267
La variabile aleatoria S pari alla somma delle 3 lunghezze sarà:
C 30
C 0.03 / 3 0.01
S A B C 200 mm
S A2 B2 C2 0.043 mm
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio tratto dal es. 4.4 del libro
Il campo di tolleranza ±3σ corrisponderà quindi ad un range di ±0.129 mm centrato
intorno al valore nominale di 200 mm.
toll.
200 mm
Ciò significa che se ci si mette
contemporaneamente nella situazione
peggiore per tutte e tre le barre si ha
un’escursione massima di ±0.21, ma il
99 73% degli assemblati avrà
99.73%
un’escursione compresa in ±0.129 mm.
Si può infine calcolare la probabilità di
superamento del valore 200.21:
200.21 200
R(200,21) 1
0.043
... 0.0000005205
6
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio tratto dal es. 4.10 del libro
Si hanno a disposizione i dati relativi alla resistenza a rottura Rm di un
composito a base polimerica PA caricato con fibre, ottenuti da alcune
prove di trazione con diverse percentuali di carica di fibra.
Si chiede di studiare la dipendenza della resistenza dalla percentuale di
carica.
% fibra Rm [Mpa]
0
54
0
62.6
0
62.2
0
62.5
0
61.6
0
59.1
0
56.7
0
54.9
0
59.1
0
52.4
0
53.8
0
54.2
20
102
20
100.9
20
102
20
104.2
20
99.3
20
97.3
20
98.5
20
101.7
20
99
20
100.8
20
101.4
20
102.7
30
121
30
119.1
30
123
30
121
30
108.6
30
115.8
30
115.2
30
118
30
118.2
30
118.5
30
120.9
30
120.4
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio tratto dal es. 4.10 del libro
Occorrerà fare uno studio di regressione lineare, considerando la % di fibra
come variabile indipendente x, e la resistenza Rm come variabile dipendente
140
120
Rm [MPa]
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
% fibra (in peso)
…e calcolare quindi la retta che meglio interpola i punti sperimentali
y aˆ0 aˆ1 x
xi
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
yi
54
62.6
62.2
62.5
61.6
59.1
56.7
54.9
59.1
52.4
53.8
54.2
102
100.9
102
104.2
99.3
97.3
98.5
101.7
99
100.8
101.4
102.7
121
119.1
123
121
108.6
115.8
115.2
118
118.2
118.5
120.9
120.4
7
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
xi
yi
0
54
0
62.6
0
62.2
0
62.5
0
61.6
0
59.1
0
56.7
0
54.9
0
59.1
0
52.4
0
53.8
0
54.2
20
102
20 100.9
20
102
20 104.2
20
99.3
20
97.3
20
98.5
20 101.7
20
99
20 100.8
20 101.4
20 102.7
102 7
30
121
30 119.1
30
123
30
121
30 108.6
30 115.8
30 115.2
30
118
30 118.2
30 118.5
30 120.9
30 120.4
TOT 600 3322.6
Esercizio
…e calcolare quindi la retta che meglio interpola
i punti sperimentali
y aˆ0 aˆ1 x
con i coefficienti pari a:
aˆ0
aˆ1
yi xi2 xi xi yi
n xi2 xi
2
n xi yi xi yi
n xi2 xi
2
Conviene quindi creare un foglio di lavoro,
aggiungendo le 3 colonne x2, y2 e xy e
calcolare la somma di ogni colonna
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Y aˆ0 aˆ1 x
con i coefficienti pari a:
aˆ0 58.33512
aˆ1 2.03756
Per calcolare il coefficiente di determinazione
occorre calcolare la somma di tutti i residui, e
quindi aggiungere due colonne relative ai valori
stimati di ysi ed ai residui εi.
RSS 421.186
yi
1
yi 92.294
n
2
R2 1
xi
yi
0
54
0
62.6
0
62.2
0
62.5
0
61.6
0
59.1
0
56.7
0
54.9
0
59.1
0
52.4
0
53.8
0
54.2
20
102
20 100.9
20
102
20 104.2
20
99.3
20
97.3
20
98.5
20 101.7
20
99
20 100.8
20 101.4
20 102.7
30
121
30 119.1
30
123
30
121
30 108.6
30 115.8
30 115.2
30
118
30 118.2
30 118.5
30 120.9
30 120.4
TOT 600 3322.6
RSS
SY | X
3.520
36 2
TSS y yi 23670.4
RSS
421.186
1
0.982206
TSS
23670.4
xi*yi
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2040
2018
2040
2084
1986
1946
1970
2034
1980
2016
2028
2054
3630
3573
3690
3630
3258
3474
3456
3540
3546
3555
3627
3612
66787
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio
Si ottiene:
xi^2
yi^2
0
2916.0
0
3918.8
0
3868.8
0
3906.3
0
3794.6
0
3492.8
0
3214.9
0
3014.0
0
3492.8
0
2745.8
0
2894.4
0
2937.6
400
10404.0
400
10180.8
400
10404.0
400
10857.6
400
9860.5
400
9467.3
400
9702.3
400
10342.9
400
9801.0
400
10160.6
400
10282.0
400
10547 3
10547.3
900
14641.0
900
14184.8
900
15129.0
900
14641.0
900
11794.0
900
13409.6
900
13271.0
900
13924.0
900
13971.2
900
14042.3
900
14616.8
900
14496.2
15600 330327.9
xi^2
yi^2
xi*yi
0
2916.0
0
0
3918.8
0
0
3868.8
0
0
3906.3
0
0
3794.6
0
0
3492.8
0
0
3214.9
0
0
3014.0
0
0
3492.8
0
0
2745.8
0
0
2894.4
0
0
2937.6
0
400
10404.0 2040
400
10180.8 2018
400
10404.0 2040
400
10857.6 2084
400
9860.5
1986
400
9467.3
1946
400
9702.3
1970
400
10342.9 2034
400
9801.0
1980
400
10160.6 2016
400
10282.0 2028
400
10547.3 2054
900
14641.0 3630
900
14184.8 3573
900
15129.0 3690
900
14641.0 3630
900
11794.0 3258
900
13409.6 3474
900
13271.0 3456
900
13924.0 3540
900
13971.2 3546
900
14042.3 3555
900
14616.8 3627
900
14496.2 3612
15600 330327.9 66787
ysi
εi^2 (y‐ym)^2
58.3
18.8
1466.5
58.3
18.2
881.8
58.3
14.9
905.7
58.3
17.3
887.7
58.3
10.7
942.1
58.3
0.6
1101.9
58.3
2.7
1267.0
58.3
11.8
1398.3
58.3
0.6
1101.9
58.3
35.2
1591.6
58.3
20.6
1481.8
58.3
17.1
1451.2
99.1
8.5
94.2
99.1
3.3
74.1
99.1
8.5
94.2
99.1
26.1
141.7
99.1
0.0
49.1
99.1
3.2
25.1
99.1
0.3
38.5
99.1
6.8
88.5
99.1
0.0
45.0
99.1
2.9
72.3
99.1
5.4
82.9
99.1
13.1
108.3
119.5
2.4
824.0
119.5
0.1
718.5
119.5 12.5
942.8
119.5
2.4
824.0
119.5 118.0
265.9
119.5 13.4
552.5
119.5 18.2
524.7
119.5
2.1
660.8
119.5
1.6
671.1
119.5
0.9
686.7
119.5
2.1
818.3
119.5
0.9
789.9
‐‐ 421.186 23670.4
8
Corso
Affidabilità delle costruzioni meccaniche
Algebra delle Variabili Casuali
Esercizio
…ed infatti
aˆ0 58.33512
aˆ1 2.03756
R 2 0.982206
140
120
Rm [MPa]
100
y = 2.03756x + 58.33512
R² = 0.98221
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
% fibra (in peso)
9
