Fondamenti di Meccanica delle Strutture:
a.a. 2003/2004
Ginevra Salerno
Dipartimento di Strutture, Università di Roma 3, via Vito Volterra, 62, 00146 Roma
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1
Sulla natura assiomatica delle leggi della meccanica
Le leggi della meccanica hanno natura assiomatica. Un assioma meccanico è un dichiarazione di
contenuto meccanico che non viene dimostrata, che viene assunta ome vera e da cui vengono logicamente tratte delle conseguenze. Tale dihiarazione viene assunta vera perchè è stata osservata
sperimentalmente e l’esperienza sensibile non l’ha mai negata. Talvolta una dichiarazione viene
elevata al rango di assioma anche perchè, se quella fosse vera, altri fenomeni apparentemente
diversi troverebbero una spiegazione unica e più semplice.
Le tre leggi di Newton sono solitamente così presentate:
• Principio di inerzia: un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme
finchè non interviene una forza ad alterare il suo moto;
• In un sistema di riferimento galileiano esiste una legge di proporzionalitè diretta fra la forza
applicata ad un corpo e la sua accelerazione, dove la massa è la costante di proporzionalità;
• Principio di azione e reazione: ad ogni azione (forza) corrisponde una reazione (forza)
eguale e contraria.
Da Newton in poi, gli sviluppi della meccanica descritti in termini vettoriali, ossia in termini
di forze ed accelerazioni, prendono il nome di Meccanica Newtoniana. In contemporanea, si
sviluppa una formulazione della meccanica basata sul pricipio di conservazione dell’energia,
detta Meccanica Lagrangiana. La formulazone vettoriale e quella energetica sono praticamente
equivalenti: vengono qui presentate entrambe, anche le la potenza istantanea prende il posto
dell’energia.
2
2.1
Caratterizzazione dinamica dei vincoli
Introduzione
I vincoli sono stati finora introdotti come dispositivi atti a limitare il moto dei corpi cui sono
applicati e ne è stata presentata la caratterizzazione cinematica. D’ora innanzi ai vincoli dal
punto di vista dinamico, ossia caratterizzandoli come forze che agiscono sui corpi cui sono applicati. L’idea che un vincolo possa essere rappresentato anche come una forza è razionalmente
fondata. Infatti, da una parte la teoria delle forze definisce queste come interazione fra corpi;
dall’altra il principio di inerzia sancisce che un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme fino a quando non intervenga un ente esterno (la forza) a modificare il suo
stato cinematico. Poichè un vincolo non è altri che un dispositivo (e quindi un corpo) che interagisce con un altro corpo, modificandone il moto, allora è rappresentabile come una forza, che
chiameremo reazione vincolare.
In realtà sarebbe più corretto parlare di un sistema di forze che il vincolo esercita; tuttavia,
l’esatta distribuzione di questo sistema di forze è di difficile calcolo ed affrontare questo sforzo
1
presupporrebbe che nel cuore dei nostri interessi ci fosse anche la conoscenza del moto del vincolo.
Per esigenze di semplicità di calcolo, decidiamo di interessarci solo a quello che succede al corpo.
Poichè il corpo è rigido e poichè per un corpo rigido due sistemi di forze aventi la medesima
risultante ed il medesimo momento risultante rispetto ad uno stesso polo sono equivalenti, allora
tutto quello che interessa della reazione vincolare è appunto la risultante ed il momento risultante
rispetto al punto in cui il vincolo risulta applicato.
2.2
Vincoli perfetti
I vincoli che utilizziamo sono vincoli perfetti o lisci o privi di attrito. Essi sono caratterizzati
dalla circostanza che la reazione vincolare spende potenza nulla per ogni atto di moto consentito
dal vincolo stesso (assioma dei vincoli perfetti), ovvero che:
P v = Rv ·v(O) + Mv (O)·w = 0
(1)
∀(v(O), w) consentiti dal vincolo stesso (O è il punto del corpo in cui è applicato il vincolo).
Se ci riflettiamo un attimo ci rendiamo conto come questa definizione corrisponda all’idea che
abbiamo della parola perfezione. Considerato che un vincolo è un dispositivo che limita il
moto, annullandone alcune componenti e consentendone altre, possiamo ritenere che sia perfetto qualora esso compia appieno questo compito, ossia quando annulli completamente alcune
componenti del moto e ne consenta completamente delle altre, senza opporre resistenza alcuna.
Ciò premesso, nei paragrafi che seguono caratterizzeremo la reazione vincolare di alcuni vincoli
perfetti basandoci su quanto richiesto dall’assioma (1). Poichè stiamo trattando problemi in 2D,
la caratterizzazione in componenti delle grandezze meccaniche in gioco è la seguente:
Rv = R1v i + R2v j,
2.2.1
v(O) = v1 (O)i + v2 (O)j,
Mv (O) = M v (O)k,
w = θ̇k
Il vincolo di incastro
Il vincolo di incastro è un vincolo triplo. Annulla la velocità di rotazione del corpo cui è applicato
e la velocità del punto cui è applicato. Quindi l’unico atto di moto consentito è l’atto di moto
nullo, ovvero (v(O) = 0, w = 0). Pertanto, la potenza della reazione vincolare
P v = Rv ·v(O) + Mv (O)·w
risulterà nulla qualunque sia il valore di Rv ed Mv (O). In generale, a meno che ragioni di
bilancio non richiedano diversamente, si avrà Rv = 0 ed Mv (O) = 0.
Figure 1: Reazione vincolare di un incastro
2
Figure 2: Reazione vincolare della cerniera
2.2.2
Il vincolo di cerniera esterna
Il vincolo di cerniera è un vincolo doppio, che annulla la velocità del punto del corpo cui è
applicato. L’unico atto di moto consentito dal vincolo è la velocità di rotazione w. Pertanto, la
potenza della reazione vincolare
P v = Rv ·v(O) + Mv (O)·w = M v (O)θ̇
risulterà nulla solo se M v (O) = 0. In generale, a meno che ragioni di bilancio non richiedano
diversamente, si avrà R1v = 0 ed R2v = 0.
2.2.3
Il vincolo di doppio pendolo esterno
Il vincolo di doppio pendolo è un vincolo doppio. Quello disegnato in figura ha l’asse dei pendoli
orizzontale e quindi, insieme alla velocità di rotazione, annulla la componente orizzontale della
velocità del punto O cui è applicato, ovvero (v1 (O) = 0, w = 0). Poichè l’unico atto di moto
consentito dal vincolo è v2 (O), la potenza della reazione vincolare
P v = Rv ·v(O) + Mv (O)·w = R2v v2 (O)
risulterà nulla solo se R2v = 0. In generale, a meno che ragioni di bilancio non richiedano
diversamente, si avrà R1v = 0 ed Mv (O) = 0.
Nel caso in cui il doppio pendolo abbia l’asse dei pendoli verticale, con ragionamento analogo
si dimostra che la potenza della reazione vincolare
P v = Rv ·v(O) + Mv (O)·w = R1v v1 (O)
risulta nulla solo se R1v = 0. In generale, si avrà R2v = 0 ed Mv (O) = 0.
2.2.4
Il vincolo di carrello
Il carrello è un vincolo semplice. Annulla la componente perpendicolare al piano di scorrimento
del punto cui è applicato. Il carrello in figura ha piano di scorrimento orizzontale, quindi l’atto
di moto consentito è (v1 (O) = 0, w = 0). Pertanto, la potenza della reazione vincolare
P v = Rv ·v(O) + Mv (O)·w = R1v v1 (O) + M v (O)θ̇
risulterà nulla solo se R1v = 0 ed M v (O) = 0. In generale, a meno che ragioni di bilancio non
richiedano diversamente, si avrà R2v = 0.
Con ragionamento analogo, si dimostra che per un carrello con un piano di scorrimento
verticale, l’unica componente della reazione vincolare che può essere diversa da zero è R1v . Per
un carrello con un piano di scorrimento inclinato di un angolo generico, la reazione vincolare
avrà diversa da zero la componente della risultante perpendicolare al piano di scorrimento.
3
Figure 3: Reazione vincolare del doppio pendolo
2.2.5
Il vincolo di cerniera interna
Il vincolo di cerniera interna è un vincolo doppio quando collega due soli corpi. Esso annulla la
velocità relativa dei punti dei corpi cui è applicata. L’atto di moto che questo vincolo consente è la
velocità di rotazione relativa. Ciò premesso, vediamo di caratterizzarne la reazione vincolare. Per
i motivi suddetti il dispositivo agirà su entrambi i corpi tramite un sistema di forze riducibili al
risultante applicato nel punto O di applicazione del dispositivo ed al momento risultante rispetto
ad O. Siano Rv1 , Mv1 (O) e Rv2 , Mv2 (O) le azioni dinamiche del dispositivo rispettivamente sui
corpi 1 e 2 (vedi figura). La potenza spesa dalla reazione vincolare varrà:
P v = Rv1 ·v1 (O) + Mv1 (O)·w1 + Rv2 ·v2 (O) + Mv2 (O)·w2
(2)
che deve essere zero (per l’assioma dei vincoli perfetti) per ogni atto di moto consentito dal
vincolo. Poichè il vincolo impone v1 (O) = v2 (O) (che chiameremo v(O) la (2) si specializza
come segue:
P v = (Rv1 + Rv2 )·v(O) + Mv1 (O)·w1 + Mv2 (O)·w2
(3)
che ha da essere nulla per ogni atto di moto consentito dal vincolo, ossia per ogni v(O), w1 e
w2 . Annullando la (3) per i tre seguenti atti di moto, si ottengono le equazioni:
• per v(O) = 0 e w1 = w2 = 0 si ottiene:
Rv1 + Rv2 = 0 → Rv1 = −Rv2
• per w1 = 0 e v(O) = w2 = 0 si ottiene:
Mv1 (O) = 0
4
Figure 4: Reazione vincolare di un carrello
• per w2 = 0 e v(O) = w1 = 0 si ottiene:
Mv2 (O) = 0
che definiscono la reazione vincolare cercata, come mostrato in figura (5).
2.2.6
Il vincolo di doppio pendolo interno
Il doppio pendolo interno rimuove due gradi di libertà. Esso annulla la componente in asse ai
pendoli della velocità relativa dei punti dei corpi cui è applicata, nonchè la velocità di rotazione
relativa. Caratterizziamone la reazione vincolare. Il vincolo agisce su entrambi i corpi tramite
un sistema di forze riducibili al risultante applicato nel punto O di applicazione del dispositivo
ed al momento risultante rispetto ad O. Siano Rv1 , Mv1 (O) e Rv2 , Mv2 (O) le azioni dinamiche del
vincolo rispettivamente sui corpi 1 e 2 (vedi figura). La potenza spesa dalla reazione vincolare
vale pertanto:
v
v
v
v
P v = R1i
v1i (O) + R1j
v1j (O) + Mv1 (O)·w1 + R2i
v2i (O) + R2j
v2j (O) + Mv2 (O)·w2
(4)
che deve essere zero (per l’assioma dei vincoli perfetti) per ogni atto di moto consentito dal
vincolo. Poichè il vincolo impone w1 = w2 = w) ed inoltre (in questo caso in cui l’asse dei
pendoli è orizzontale) v1i (O) = v2i (O) = vi (O)), la (4) si specializza come segue:
v
v
v
v
P v = (R1i
+ R2i
)vi (O) + R1j
v1j (O) + R2j
v2j (O) + (Mv1 (O) + Mv2 (O))·w
(5)
che ha da essere nulla per ogni atto di moto consentito dal vincolo, ossia per ogni vi (O), w,
v1j (O) e v2j (O). Annullando la (5) per i quattro seguenti atti di moto, si ottengono le equazioni:
• per vi (O) = 0, w = 0, v1j (O) = v2j (O) = 0 si ottiene:
v
v
v
v
(R1i
+ R2i
) = 0 → R1i
= −R2i
5
R2
R1
Figure 5: Reazione vincolare della cerniera interna
• per w = 0, vi (O) = v1j (O) = v2j (O) = 0 si ottiene:
(Mv1 (O) + Mv2 (O)) = 0 → Mv1 (O) = −Mv2 (O)
• per v1j (O) = 0, w = 0, vi (O) = v2j (O) = 0 si ottiene:
v
R1j
=0
• per v2j (O) = 0, w = 0, vi (O) = v1j (O) = 0 si ottiene:
v
R2j
=0
che definiscono la reazione vincolare cercata, come mostrato in figura (6).
3
3.1
Gli assiomi di bilancio ed il problema della statica
L’equazione del moto di un punto materiale
In un sistema di riferimento inerziale la legge del moto di un punto materiale P di massa m su
cui è applicato la forza f è la seguente:
f =ma
(6)
ove a è l’accelerazione del punto P (vedi figura (7.a)). Tale legge è valida per ogni istante t in cui
il moto viene monitorato in quanto la forza dipende da t. La legge funziona come un principio
di selezione dei moti del punto materiale: non tutti i moti di P sono possibili, ma solo quelli
che soddisfano la (6). Possiamo tuttavia riscriverla in un modo diverso, che chiami in causa il
concetto di potenza meccanica.
Mettiamo in evidenza la forza inerziale f in = −m a e riscriviamo la (6) come segue (vedi
figura (7.b)):
f − m a = 0 → f ni + f in = 0
(7)
6
M1(
M2(
)
)
R1 R 2
Figure 6: Reazione vincolare del glifo interno
Figure 7: L’equazione del moto di un punto materiale
in cui con l’apice ni abbiamo indicato le forze non inerziali. Si noti innanzitutto che la riscrittura
della legge del moto (6) nella forma (7) ne mette in evidenza la sua struttura di equazione di
bilancio, sostenendo che il sistema di tutte le forze applicate ad un punto materiale deve essere a
risultante nullo1 Inoltre, moltiplicando scalarmente entrambi i membri della (7) per un qualsiasi
vettore v dello spazio ambiente, essa diverrà:
f ni ·v + f in ·v = 0, ∀v
(8)
Se al vettore v diamo il significato di velocità virtuale2 del punto materiale P , l’analisi dimensionale ci rivela che il primo e, quindi, entrambi i membri della (8) hanno la dimensione della
potenza meccanica. La (9) può essere ancora una volta riscritta nella forma (vedi figura (7.c)):
P∗ = P∗
ni
+ P∗
in
= 0, ∀v
(9)
ed accettata come formulazione alternativa della legge del moto newtoniana: in un dato un
sistema di riferimento, non tutti i moti di un dato punto materiale sono possibili, ma sono
verificabili solo quelli per cui in ogni istante t la potenza spesa da tutte le forze agenti sul punto,
inerziali e non inerziali, sia nulla per ogni velocità virtuale.
1 L’equazione del momento risultante è in questo caso tautologica essendo tutte le forze applicate ad uno stesso
punto.
2 Con il termine virtuale intendiamo che v non coincida necessariamente con la velocità effettiva, realizzata nel
moto dall’accelerazione a = f /m, ma sia un qualunque vettore applicato nella posizione iniziale di P , che violi o
no i vincoli a cui il punto P è soggetto a seconda se siamo o no interessati al calcolo della reazione vincolare.
7
3.2
L’assioma di bilancio per un corpo rigido
A differenza del punto materiale, il corpo rigido è un corpo esteso che, in una sua qualunque
configurazione, occupa una regione dello spazio ambiente euclideo. Inoltre, i campi di velocità
cui è soggetto il corpo rigido godono di una serie di proprietà e possono essere descritti in termini
di un numero finito di parametri (gradi di libertà); infine, non esistono nei corpi rigidi masse
concentrate bensì una massa distribuita descritta da una funzione densità di massa ρ definita
sul volume da questo occupato.
A parte queste, non esistono differenze concettuali fra l’assioma di bilancio per un punto
materiale (in qualunque forma (6) (7) o (9) si intenda esporlo) e l’assioma di bilancio per un
corpo rigido. Per motivi di sintesi privilegiamo l’assioma di bilancio nella sua espressione in
termini di potenza virtuale.
Affermiamo che:
in un dato sistema di riferimento, un corpo rigido B non può subire tutti i possibili
moti χ, ma solo quelli per i quali ad ogni istante t la potenza P ∗ spesa da tutte le
forze (inerziali e non) agenti su B per ogni atto di moto rigido virtuale sia nulla.
Abbiamo già dimostrato che, dato un qualsiasi sistema di forze agente su di un corpo rigido,
la potenza spesa da questo sistema di forze per l’atto di moto rigido parametrizzato dalla velocità
del polo v( ) e dalla velocità angolare w assume la forma:
P = R·v( ) + M( )·w
ove (R, M( )) sono rispettivamente il risultante ed il momento risultante rispetto ad del sistema
di forze. L’assioma di bilancio stabilisce che, per selezionare moti effettivamente realizzabili, la
potenza spesa deve essere nulla per ogni atto di moto rigido. Indichiamo con v∗ ( ) e w∗ i
parametri del generico atto di moto rigido. L’assioma di bilancio equivarrà:
P = R·v∗ ( ) + M( )·w∗ , ∀v∗ ( ), ∀w∗
(10)
che equivale a sancire che il sistema di forze sia bilanciato, ossia:
R = 0,
3.3
M( ) = 0, ∀
(11)
Il problema della statica
L’assioma di bilancio tiene conto di tutte le forze agenti sul corpo in esame. Una prima interessante distinzione va fatta fra forze inerziali e non inerziali, in quanto la presenza delle prime è
garanzia di movimento del corpo in esame. In un sistema di riferimento inerziale, per un corpo
che in una data configurazione assume in E la posizione B ed ammette densità di massa ρ, le
forze inerziali per l’intero corpo B assume la forma:
8
fBin =
ρ a dV
(12)
B
Ci poniamo ora quello che viene chiamato il problema statico, ossia la definizione delle condizioni sotto cui il corpo permane nel suo stato di quiete. Risulta evidente che se un corpo è
in quiete in una certa configurazione, le sue forze inerziali sono nulle (condizione necessaria);
tuttavia, l’annullarsi delle forze inerziali non è condizione sufficiente di quiete perchè il corpo
potrebbe muoversi di moto (traslatorio) rettilineo uniforme. L’annullarsi delle forze inerziali
insieme con la condizione che esista nella configurazione iniziale almeno un punto del corpo a
velocità nulla è condizione sufficiente di quiete. Ciò premesso, ammettendo che esista questo
punto a velocità nulla, garanzia di quiete è l’annullarsi delle forze inerziali e, quindi, della potenza
spesa dalle medesime.
8
Ritorniamo all’assioma di bilancio (10). La potenza spesa si distinguerà anzitutto in potenza
spesa dalle forze inerziali e quelle delle forze non inerziali, ovvero:
P∗ = P∗
ni
+ P∗
in
= 0, ∀v∗ ( ), ∀w∗
(13)
che consentirà di distinguere, nell’assioma di bilancio, fra il risultante ed il momento risultante
delle forze inerziali dal risultante e momento risultante delle forze non inerziali:
Rni + Rin = 0,
Mni ( ) + Min ( ) = 0, ∀
(14)
Porsi il problema statico significa porsi la seguente domanda: si verificano le seguenti condizioni?
P∗
in
= 0, ∀v∗ ( ), ∀w∗ ,
Rin = 0,
Min ( ) = 0, ∀
(15)
Ma per verificarsi le (15), debbono necessariamente essere valide anche le seguenti:
P∗
ni
= 0, ∀v∗ ( ), ∀w∗ ,
Rni = 0,
Mni ( ) = 0, ∀
(16)
ricavabili direttamente dalle (15) e dagli assiomi di bilancio (13) (14).
Interessiamoci più direttamente delle forze non inerziali: esse sono distinguibili in forze attive
e reazioni vincolari e quindi anche la potenza spesa, così come i rispettivi risultanti e momenti
risultanti, sono distinguibili in attivi e vincolari. Allora, (16) si specializza ancora come segue:
P∗
a
+ P∗
v
= 0, ∀v∗ ( ), ∀w∗ ,
Ra + Rv = 0,
Ma ( ) + Mv ( ) = 0, ∀
(17)
e, dato che le forze attive sono generalmente un dato del problema, mentre le reazioni vincolari
sono incognite, si interpreta come segue: ce la fanno le reazioni vincolari a bilanciare, in accordo
con le (17) le forze attive, di modo che, per soddisfare le equazioni di bilancio, non debbano
necessariamente nascere forze inerziali?
La prima delle (17) ci fornisce una soluzione immediatamente operativa. Difatti, poichè
stiamo utilizzando solo vincoli perfetti, nel caso in cui la potenza venga testata per atti di moto
che non violino i vincoli, ossia atti di moto consentiti dai vincoli, si avrebbe P ∗ v = 0; in tal
caso, basterebbe testare l’annullarsi della potenza delle sole forze attive per gli unici atti di moto
consentiti dai vincoli per verificare se il problema statico ammetta o meno una qualche soluzione.
Pertanto, il verificarsi della seguente condizione:
P∗
a
=0
(18)
per ogni atto di moto consentito dai vincoli, è garanzia che il problema statico ammetta almeno
una soluzione.
9
