Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO del 18/01/12
Soluzioni
★ Per tutti: Il fondo di un serbatoio d’acqua ha un
foro circolare di diametro d1=2.5 cm (detto
sezione 1) a cui è attaccato un tubo. Una
sezione del tubo (detta sezione 2) si trova h1 =
15 m al disotto della sezione 1 ed è anch’essa
circolare con diametro d2=1.5 cm. Supponendo
che la velocità dell’acqua nella sezione 1 sia
v1=3 m/s, qual’è la differenza di pressione tra le
due sezioni del tubo?
Solo per 9 CFU: supponiamo adesso che la
superficie della sezione 1 sia trascurabile rispetto
alla superficie libera dell’acqua nel serbatoio e
che l’acqua esca liberamente a contatto con
l’aria nella sezione 2. Se l’acqua nel serbatoio è
profonda Δh = 2 m, qual’è la velocità dell’acqua
in uscita dalla sezione 2? In questo caso v1 non
è nota.
sezione 1
h1 sezione 2
Δh
sezione 1
h1 sezione 2
Per tutti: Si applicano la conservazione della portata ed il teorema di Bernoulli ovvero
v1 d12 = v2 d22 da cui v2 = v1 (d1/d2)2 = 8.3 m/s
p1 + 1/2 d v12 + d g h1 = p2 + 1/2 d v22 + d g h2
ovvero
p2 - p1 = d g (h1-h2) + 1/2 d (v12-v22)2
p2 - p1 = 103 kg m-3 * 9.8 m s-2 * 15 m + 0.5 * 103 kg m-3 (32-8.32) m2 s-2
= 1.17 105 Pa = 1.17 atm
Solo per 9 CFU: Se si applicano la conservazione della portata ed il teorema di
Bernoulli tra le sezioni 0 (superficie libera dell’acqua) e 2 ci si rende conto facilmente
che si rientra nel caso del Teorema di Torricelli per cui
v2 = [2 g (Δh+h1)]0.5 = 18.3 m/s
★ Una macchina di Carnot adopera come termostato a bassa temperatura una miscela di
acqua e ghiaccio, ha un rendimento η=0.25 ed assorbe ad ogni ciclo una quantità di
calore pari a Q1 = 3 kJ. Calcolare la temperatura dei termostati, il lavoro eseguito e la
quantità di calore Q2 ceduta al termostato a bassa temperatura. Si calcoli inoltre la
variazione di entropia della macchina lungo l’isoterma di compressione, supponendo
che utilizzi del gas perfetto. Infine, si calcoli quanto ghiaccio viene sciolto ad ogni ciclo
nel termostato a bassa temperatura.
La temperatura del termostato freddo (miscela di acqua e ghiaccio) è ovviamente
T2 = 273.15 K
Per trovare T1 basta ricordare che per una macchina di Carnot
η = 1 - T2/T1 ovvero T1 = T2 / (1 - η) = 364.2 K
Il rendimento è definito come
η = L / Q1
da cui
L = η Q1 = 0.75 kJ
per il primo principio applicato al ciclo
0 = Q1-Q2-L ovvero
Q2 = Q1-L = 2.25 kJ
La variazione di entropia lungo l’isoterma di compressione è data da ΔS = -Q2 / T2 poiché
la trasformazione è isoterma ed il calore Q2 è ceduto
per cui
ΔS = -Q2 / T2 = -8.2 J K-1
Infine il ghiaccio sciolto nel termostato ad ogni ciclo è dato da
m = Q2/qfus = 6.7 g
dove si è convertito Q2 in calorie.
★ Un gas perfetto monoatomico esegue il ciclo
A→B→C rappresentato in figura costituito da una
espansione isoterma (A→B), una compressione
isobara (B→C) ed una trasformazione isocora
(C→A). Si determinino le variabili di stato del
sistema nei punti A, B, C, sapendo che PB=1/4PA
e TB=227 °C (si considerino PA e VA, come valori
dati). Si calcoli il rendimento del ciclo
(considerando il calore assorbito in A→B e C→A)
e lo si confronti col rendimento dei cicli di Carnot
che lavorano tra T1=TB, T2=TC. Si calcoli PA nel
caso in cui VA = 10 litri e ci siano m = 40 g di He.
P
A
C
B
Stato A:
TA = TB = 227 °C = 500 K
(P, V, T) = ( PA, VA, TA = 500 K)
Stato B:
consideriamo la trasformazione A→B ed applichiamo l’equazione di stato del gas perfetto;
se T=cost. possiamo scrivere
PAVA = PBVB ovvero VB = PAVA / ( 1/4 PA) = 4 VA
per cui le variabili di stato in B sono (P, V, T) = ( 1/4 PA, 4 VA, TB = 500 K)
Stato C:
VC = VA (isocora)
PC = PB = 1/4 PA
applicando la legge dei gas perfetti
V
TC = PC VC / n R = 1/4 PA VA / n R = 1/4 n R TA / n R = 1/4 TA
per cui le variabili di stato in C sono (P, V, T) = ( 1/4 PA, VA, TC = 125 K)
Il rendimento è definito come
η = lavoro eseguito / calore assorbito
Il lavoro eseguito è
L = LAB+LBC poiché in C→A il lavoro è nullo (trasformazione isocora); notare che il lavoro in
B→C è eseguito sul sistema e quindi deve essere negativo (compressione).
L = n R TA ln (VB/VA) + PB (VC-VB) = n R TA [ln (4) - 3/4]
Il calore assorbito in C→A (isocora) si ottiene semplicemente da
QCA = n CV (TA-TC ) = n 3/2 R (3/4 TA) = 9/8 n R TA
Il calore assorbito in A→B è semplicemente pari al lavoro eseguito (ΔEint = Q-L e ΔEint =0
per trasformazione isoterma) ovvero
QAB = n R TA ln (4)
Il rendimento è pertanto
η = (LAB+LBC) / (QAB + QCA) = n R TA [ln (4) - 3/4] / n R TA [9/8 + ln (4)] = [ln (4) - 3/4] / [9/8 +
ln (4)] = 0.25
Il rendimento del ciclo di Carnot che lavora tra T1=TA, T2=TC è
η = 1 - TC/TA = 3/4
maggiore del rendimento del ciclo in esame.
Infine, He ha peso atomico 4 per cui n = 40 g / (4 g/mol) = 10 mol
PA = n R TA / VA = 10 mol * 8.13 J/K/mol * 500 K / ( 10 dm3 ) = 4.16 105 Pa = 4.16 atm