Il dipolo irraggiante Il dipolo irraggiante `e un esempio di soluzione

Il dipolo irraggiante
Il dipolo irraggiante è un esempio di soluzione delle equazioni dei potenziali
ritardati particolarmente utile in pratica. Le equazioni (nel vuoto)
∂2A
= −µ0 j
∂t2
∂2φ
%
2
∇ φ − µ0 0 2 = − ,
∂t
0
∇ 2 A − µ0 0
(1)
ammettono come soluzione generale per sorgenti localizzate
µ0 Z
j(r2 , t − r12 /c)
A(r1 , t) =
dV2
4π
r12
Z
1
%(r2 , t − r12 /c)
dV2
.
φ(r1 , t) =
4π0
r12
(2)
Per moti delle cariche con velocità molto più piccole della velocità della luce
possiamo sostituire i ritardi con l’espressione più semplice t−r12 /c → t−r1 /c,
inoltre nelle zone lontane in cui r2 r1 = r gli integrali si semplificano in
µ0 1 Z
dV2 j(r2 , t − r/c)
4π r Z
1 1
φ(r, t) =
dV2 %(r2 , t − r/c) .
4π0 r
A(r, t) =
(3)
Assumiamo ora che il tipo di dsitribuzione di carica e di corrente sia dovuto
al moto di una distribuzione a carica totale nulla e con momento di dipolo
variabile nel tempo e tale da produrre quindi una corrente (sia t0 = t − r/c)
=
Z
j(r2 , t0 ) dV2 =
Z
Z
∂r2
%(r2 , t0 ) dV2 =
∂t0
%(r2 , t0 ) v2 (t0 ) dV2 =
d Z
%(r2 , t0 ) r2 (t0 )dV2 =
dt0
= ṗ|t0 =t−r/c .
=
(4)
In conclusione
A(r, t) =
µ0 1 Z
µ0 ṗ|t0 =t−r/c
.
dV2 j(r2 , t − r/c) =
4π r
4π
r
1
(5)
Per determinare il campo magnetico prodotto occore calcolare B = ∇ × A,
ricordando che p = ẑ p e quindi A = ẑ Az , mentre Ax = Ay = 0:
Bx
By
Bz
∂Az
µ0
∂Az ∂Ay
−
=+
=−
=
∂y
∂z
∂y
4π
∂Ax ∂Az
∂Az
µ0
=
−
=−
=−
∂z
∂x
∂x
4π
= 0,
"
#
y ṗ|t0 =t−r/c p̈|t0 =t−r/c
+
r
r2
cr
"
#
x ṗ|t0 =t−r/c p̈|t0 =t−r/c
+
r
r2
cr
(6)
ed in notazione compatta
h
B(r, t) =
µ0
4π
ṗ + rc p̈
i
t0 =t−r/c
r3
×r
.
(7)
Nel caso in cui si possano trascurare gli effetti dei ritardi (r/c → 0), il campo
magnetico si semplifica a quello noto dovuto ad un dipolo elettrico variabile
nel tempo1 ed il campo nelle prossimità del dipolo non risente degli effetti di
ritardo:
µ0 ṗ|t0 =t × r
.
(8)
B(r, t) ≈
4π
r3
Il potenziale ϕ(r, t) può essere ricavato dalla condizione di Lorentz ∇ · A +
1 ∂ϕ
= 0.
c2 ∂t
∂ϕ
∂Az
µ0
= −c2 ∇ · A = −c2
= −c2
∂t
4π
i ∂z
h
r
1 z ṗ + c p̈ t0 =t−r/c
1
=
=
2
4π0 r
r
4π0
ovvero
h
p + rc ṗ
∂ ṗ|t0 =t−r/c
=
∂z
r
i
h
·r
ṗ + rc p̈ 0
t =t−r/c
r3
,
(9)
i
·r
1
t0 =t−r/c
,
(10)
4π0
r3
che si riduce al potenziale di dipolo noto trascurando i ritardi, ovvero nelle
zone vicine al dipolo (r/c → 0)
ϕ(r, t) =
ϕ(r, t) ≈
1
Per un elemento di corrente B =
I ∆l =
d
dt q ∆l
µ0
4π
1 p|t0 =t · r
.
4π0
r3
I
R
dl2 ×r12
3
r12
= ṗ
2
≈
µ0
4π
I ∆l ×
(11)
r
r3
=
µ0
4π
ṗ ×
r
r3 ,
dato che
Il campo elettrico deve essere calcolato dai potenziali
E(r, t) = −∇ϕ −
∂A
=
"∂t
(p? · r) r
1
1 1
?
−p
+
3
+ 2 (p̈ × r) × r
=
3
2
4π0 r
r
c
#
, (12)
t0 =t−r/c
dove
r
ṗ .
c
Ancora una volta, nelle zone in cui i ritardi possono essere trascurati, il
campo si riduce a quello di un dipolo elettrico statico, ed il tempo è un puro
parametro
"
#
(p · r) r
1 1
−p + 3
.
(13)
E(r, t) ≈
4π0 r3
r2
t0 =t
p? = p +
Nelle zone molto lontane dalle sorgenti (la cosiddetta zona delle onde) le
espressioni per i campo elettrici e magnetici si semplificano notevolmente ed
i termini che dipendono dall’inverso della distanza dominano, si ottiene
1 1 p̈|t0 =t−r/c × r̂ × r̂
,
E(r, t) ≈
4π0 c2
r
1 1 p̈|t0 =t−r/c × r̂
B(r, t) ≈
.
4π0 c3
r
(14)
Queste soluzioni hanno le notevoli proprietà
E = |E| θ̂ ,
B = |B| φ̂ ,
|E| = c|B| =
1 1 p̈|t0 =t−r/c
sin θ ,
4π0 c2
r
(15)
cioè: il campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra di loro e perpendicolari alla direzione di propagazione (r̂) ed il modulo del campo elettrico
è c-volte quello del campo magnetico, cioè obbediscono alle proprietà delle
onde piane nel vuoto.
3
potenza irraggiata
La potenza irraggiata nella zona delle onde è valutabile tramite il vettore di
Poynting
1
1
hS · r̂i = h(E × B) r̂i =
µ0
µ0
1
4π0 c2
2
"
#2
1 p̈|t0 =t−r/c
h
sin θ i
c
r
(16)
e la potenza irraggiata su tutto l’angolo solido risulta
Z
Z
2
1
1 2
1
hp̈|
i
sin2 θ da =
0 =t−r/c
t
4π0 c2 c
r2
2
Z
1
1 2
1
i
hp̈|
sin2 θ r2 sin θdθdφ =
= 0 c2
0 =t−r/c
t
4π0 c2 c
r2
2
8π
1 2
1
hp̈|t0 =t−r/c i
=
= 0 c2
2
4π0 c
c
3
2
1
1 2
=
hp̈| 0
i.
(17)
3 4π0 c3 t =t−r/c
hS · r̂i da = 0 c2
4