3 Campo elettrostatico nei mezzi materiali

3 Campo elettrostatico nei mezzi materiali
Introduzione
Dallo studio delle leggi fondamentali dell’elettromagnetismo nello spazio vuoto se ne deduce che la valutazione del campo e.m. è possibile solo quando sono note le distibuzioni
delle sorgenti (cariche o correnti elettriche) che lo generano. Nella maggior parte delle
situazioni reali, però, i fenomeni elettrici e magnetici possono manifestarsi all’interno dei
mezzi materiali e pertanto è indispensabile considerare anche questo tipo di fenomenologia. Sfortunatamente, per la valutazione del campo e.m. in presenza di mezzi materiali
non è possibile seguire l’approccio usato per lo spazio vuoto: la distribuzione di cariche
e correnti non è nota a priori e deve essere calcolata contestualmente al campo e.m..
Infatti, un qualunque corpo materiale è composto in ultima analisi da cariche elettriche
microscopiche positive e negative mescolate in modo tale che in una regione di spazio
piccola la quantità di carica totale è nulla. Inoltre, in funzione della natura fisica del
corpo materiale, tali cariche sono più o meno libere di muoversi al suo interno. E’ quindi
chiaro che quando esso è immerso all’interno di un campo elettrico, le cariche microscopiche di segno opposto si allontanano le une dalle altre e di conseguenza, venendo
meno la neutralità locale della carica, è indotta all’interno del corpo una distribuzione
di cariche. Quest’ultima a sua volta genera un campo elettrico che perturba il campo
elettrico applicato il quale modifica di conseguenza la distibuzione di carica all’interno
del corpo materiale. Inoltre, non bisogna dimenticare che il campo elettrico interno può
agire anche sulla distribuzione di carica che genera il campo elettrico applicato. Se fosse
nota la distribuzione di cariche indotta nel materiale sarebbe possibile riportare il calcolo
del campo generato dalle cariche esterne ed interne a quello generato dalle stesse come
se agissero nel vuoto. Tale operazione è però vanificata dal fatto che la distribuzione
di carica all’interno dei corpi è il risulatato sia di equilibri tra le forze elettriche agenti
sulle cariche stesse sia di vincoli imposti dalla struttura della materia. Pertanto, non è
possibile assegnare a priori né la distribuzione di cariche indotte né il campo risultante.
In definitiva, nel trattare l’interazione del campo e.m. con un corpo materiale è necessario fare una distinzione tra campo primario e campo interno. Il primo è quello che
sarebbe presente nello spazio in assenza del corpo materiale, il secondo è quello realmente presente all’interno del corpo materiale ed è fornito dalla sovrapposizione tra il
campo primario e il campo generato dalla distribuzione di correnti e cariche elettriche
prodotte dal campo primario stesso. Il campo interno ha in generale una struttura molto
complessa che dipende dalle proprietà elettriche del corpo, dalla sua forma e dimensioni,
dalla configurazione dell’ambiente circostante e dalle caratteristiche del campo primario.
Per sviluppare una teoria elettrodinamnica dei mezzi materiali continui si dovrebbe, in linea di principio, partire dalla comprensione dei fenomeni elettrici e magnetici
29
3.1. Fenomeni di polarizzazione
30
esisteniti nello spazio tra gli atomi e le molecole costituenti il mezzo materiale considerando che, anche per i corpi più densi, i nuclei atomici occupano una piccola parte
del volume atomico totale. In queste ipotesi, le regioni di spazio intermolecolari sono
sede di campi elettrici, e(r, t), e magnetici, b(r, t), che agiscono praticamente nel vuoto.
Sfortunatamente, una teoria microscopica ha impliciti problemi di natura pratica legati
alla presenza di brusche variazioni spaziali e temporali. Infatti, è necessario considerare
che i campi sono molto intensi in vicinanza delle cariche e decadono rapidamente nelle
regioni intermedie, e che la dinamica degli elettroni induce rapide variazioni temporali.
Un modo per superare questi problemi, consiste nel considerare una teoria macroscopica
attraverso la quale è possibile ricavare delle grandezze macroscopiche da inserire nelle
equazioni di Maxwell. In una teoria di questo tipo, le sorgenti microscopiche del campo
elettromagnetico sono modellate con un sistema classico di cariche e correnti nel vuoto
che generano dei campi microscopici. Si suppone successivamente che le misure effettuate da un osservatore macroscopico corrispondano ad una media, fatta sia rispetto
alle coordinate spaziali sia rispetto al tempo, delle grandezze microscopiche. In questo
modo, è possibile ignorare le variazioni microscopiche delle grandezze fisiche in quanto
mediate su elementi di volume grandi rispetto a quelli molecolari.
Un approccio rigoroso per l’interpretazione delle proprietà dei mezzi materiali dovrebbe essere fondato sull’applicazione della fisica moderna. Tale metodologia è però alquanto complessa perché richiede l’uso della meccanica quantistica, per l’interpretazione dei
fenomeni e.m. a livello microscopico, e della statistica quantistica per l’interpretazione
delle proprietà macroscopiche della materia. Un secondo approccio, formalmente meno
complesso ma ovviamente più limitato, è basato invece sull’uso della fisica classica e in
particolare sull’elettrodinamica classica. Esso trova la sua espressione nelle equazioni
di Maxwell ed in particolare le equazioni fondamentali dell’elettrodinamica dei mezzi
continui sono ottenute per mezzo di una operazione di media sulle equazioni di Maxwell
nel vuoto. Questo modo di procedere fu usato per la prima volta da H.A. Lorentz ed è
caratterizzato dal fatto che le equazioni che ne scaturiscono non dipendono dalla teoria
che descrive le proprietà atomiche della materia ma solo dalla natura fisica del mezzo e
dal modo in cui il campo varia nel tempo.
3.1 Fenomeni di polarizzazione
Quando un mezzo materiale è immerso in un campo e.m. i fenomeni macroscopici che
si manifestano possono essere inclusi in tre grandi categorie: fenomeni di conduzione
elettrica, fenomeni di polarizzazione elettrica e fenomeni di polarizzazione magnetica.
Molto spesso può riscontrarsi la presenza significativa di uno solo di tali fenomeni, oppure
di più di uno o può accadere che nessuno di essi sia significativo.
Nella conduzione elettrica l’azione del campo e.m. sui portatori liberi di carica consente loro di muoversi su lunghezze macroscopiche: il risultato è l’insorgere di distrubuzioni
di cariche e correnti, denominate cariche e correnti libere, che possono essere di tipo
superficiale e/o volumetrico. Il fenomeno della polarizzazione elettrica è invece caratterizzato dal campo elettrico di polarizzazione generato dalla distribuzione macroscopica
Ing. Luciano Mescia
3.1. Fenomeni di polarizzazione
31
del momento di dipolo elettrico indotto dall’azione dal campo e.m. sul nateriale. Infine, il
fenomeno della polarizzazione magnetica è caratterizzato da un campo magnetico di polarizzazione che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo magnetico
indotto dal campo e.m. agente sul materiale.
Nel seguito sarà analizzato più nel dettaglio il fenomeno della polarizzazione elettrica.
Un materiale dielettrico è generalmente costituito da molecole globalmente neutre in
cui gli elettroni sono legati agli atomi da intense forze che consentono loro solo piccoli
spostamenti rispetto alla posizione di equilibrio. Di conseguenza, al contrario dei mezzi
conduttori, anche sotto l’applicazione di un intenso campo elettrico non ci sono flussi
netti di corrente elettrica attraverso un dielettrico. Invece, si osserva sperimentalmente
che un dielettrico può influenzare il campo elettrico nelle sue vicinanze. Si consideri,
per esempio, un condensatore a facce piane parallele caricato con una quantità di carica
q. Se tra le armature del condensatore c’è il vuoto, detta σ = q/A la densità di carica,
dove A è l’area della lastra, si avrà che le cariche elettriche produrranno all’interno del
condensatore un campo elettrico E0 = σ/ϵ0 . Se l’interstizio tra le due lastre è riempito
con un dielettrico, l’esperienza dimostra che varia sia il potenziale di ciascuna lastra sia
il campo elettrico all’interno del condensatore. Tale fenomeno, può essere interpretato
corretamente se si ipotizza la comparsa di un campo elettrico all’interno del dielettrico.
Quest’ultimo, a sua volta, può essere associato alla comparsa sulle superfici estreme del
dielettrico di cariche superficiali che schermano parzialmente le cariche che si trovano
sulle armature del condensatore. Tutto ciò può essere spiegato intuitivamente osservando
che in assenza di sollecitazioni esterne il campo elettrico prodotto da un dielettrico è
nullo in quanto non essendoci nessuna perturbazione i contributi dovuti alle due cariche
opposte si bilanciano. Quando invece in corpo è immerso in un campo elettrico esterno
le cariche positive sono sollecitate a spostarsi lungo la direzione del campo, mentre quelle
negative nella direzione opposta. Pertanto, anche se complessivamente la carica totale
è nulla, gli spostamenti indotti, pur essendo dell’ordine delle dimensioni molecolari,
alterano la distribuzione di carica di equilibrio e creano dei campi elettrici non nulli
all’interno del dielettrico. In questa situazione il dielettrico si dice polarizzato.
Per valutare il contributo dato al campo elettrico da un dielettrico polarizzato, esso
viene guardato come un mezzo avente proprietà variabili con continuità nello spazio.
Però, da quanto detto in precedenza, risulta che un elementino infinitesimo di dielettrico
polarizzato, pur rimanendo globalmente neutro, in seguito allo spostamento delle cariche
acquista un momento di dipolo non nullo. Di conseguenza, lo studio delle proprietà
dei dielettrici polarizzati può essere ricondotto alla valutazione del campo elettrico e
potenziale prodotto da un dipolo elettrico.
3.1.1 Espansione in serie di multipoli del potenziale elettrostatico
Considerando una distribuzione continua di carica elettrica contenuta in una regione
limitata di spazio di volume V , si vuole ricavare l’espressione del potenziale in un generico
punto P a grande distanza dalla distribuzione di carica. Come mostrato in figura 3.1
indicando con r′ il vettore che collega l’origine O del sistema di riferimento con il generico
punto P ′ , appartenente alla regione di spazio V , con ρ(r′ ) la densità di carica di volume
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3.1. Fenomeni di polarizzazione
32
V
R=r-r'
P
∆V
r’ P’
z
r
θ
O
y
x
Figura 3.1: Potenziale generato da una distribuzione continua di carica ρ(r′ )
nel punto P ′ e con r il vettore che collega il punto O con il generico punto di osservazione
P , si avrà che il potenziale nel punto P è
∫
ρ(r′ )
1
ϕ(r) =
dV
4πϵ0 V |r − r′ |
dove con |r − r′ | si è indicata la distanza tra P e P ′ . In particolare se θ indica l’angolo
tra i vettori r e r′ si ha:
v
]
[( )
u
′ 2
′
√
u
r
r
′
t
r − r = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ = r 1 +
(3.1)
− 2 cos θ
r
r
da cui
1
1
= √
′
|r − r |
r 1+x
(3.2)
dove si è posto
( ′ )2
r
r′
x=
− 2 cos θ
r
r
Sviluppando in serie di Maclaurin si ottiene
1
1
3
5
√
= 1 − x + x2 − x3 + . . .
2
8
16
1+x
e sostituendo nella (3.1) si ottiene
[
]
( )
( )
( )
( )
1
1
1 r′ 2 r′
3 r′ 4 3 r′ 2
3 r′ 3
2
=
1−
+ cos θ +
+
cos θ −
cos θ + . . .
|r − r′ |
r
2 r
r
8 r
2 r
2 r
[
]
( )
( )
1
r′
3 cos2 θ − 1 r′ 2 5 cos3 θ − 3 cos θ r′ 3
=
1 + cos θ +
+
+ ...
r
r
2
r
2
r
( ′ )n
∞
1∑
r
=
Pn (θ)
(3.3)
r
r
n=0
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3.1. Fenomeni di polarizzazione
33
dove Pn sono i polinomi di Legendre. Inoltre, osservando che r′ · r = r′ r cos θ, la (3.3)
può essere scritta nella forma più compatta
[ (
]
(
)
)
1
1 r′ · r
1 3 r′ · r 2 r′2
1
+ 3
−
= + 2
+ ...
(3.4)
|r − r′ |
r r
r
r 2
r
2
Sostituendo la (3.4) nella relazione che fornisce il potenziale e considerando solo i primi
tre termini si ha:
[ ∫
[ (
] ]
( ′ )
)
∫
∫
1
1
1
r ·r
1
3 r′ · r 2 r′2
′
′
′
ϕ(r) ≈
ρ(r )dV + 2
ρ(r )
dV + 3
ρ(r )
−
dV
4πϵ0 r V
r V
r
r V
2
r
2
Poiché il vettore r è indipendente dalla variabile d’integrazione r′ è possibile ottenere:
[ ∫
[ (
] ]
)
∫
∫
1
1
r
1
3 r′ · r 2 r′2
′
′ ′
′
ϕ(r) ≈
ρ(r )dV + 3 ·
ρ(r )r dV + 3
ρ(r )
−
dV
4πϵ0 r V
r
r V
2
r
2
V
(
)
K0 K1 K2
1
(3.5)
≈
+ 2 + 3
4πϵ0
r
r
r
dove
∫
ρ(r′ )d3 r′ = Q
∫
r·p
r
ρ(r′ )r′ dV =
K1 = ·
r V
r
[ (
]
)2
∫
′
3 r ·r
r′2
′
K2 =
ρ(r )
dV
−
2
r
2
V
K0 =
(3.6a)
V
(3.6b)
(3.6c)
Il primo termine che compare nella (3.5) è detto termine di monopolo. Esso fornisce il
potenziale che sarebbe prodotto nel punto P se tutta la carica Q, fornita dalla (3.6a),
della distribuzione di cariche fosse concentrata nell’origine O. Tale termine può essere
associato ad una valutazione di prima approssimazione del potenziale misurato da un
osservatore a grande distanza dalla distribuzione di carica. Si osservi che tale contributo
può essere nullo quando nella distribuzione di carica vi è una quantità di carica positiva
uguale a quella della carica negativa. In questi casi, tuttavia, non è detto che le azioni
elettriche siano nulle, visto che già per il caso più semplice di due cariche puntiformi
uguali e contrarie poste ad una certa distanza tra loro, il campo elettrico e il potenziale
in un generico punto dello spazio sono in generale non nulli. In tali situazioni, il secondo
termine della (3.5) può essere diverso da zero. Esso prende il nome di termine di dipolo
e fornisce un contributo che varia con l’inverso del quadrato della distanza. In esso
interviene la grandezza vettoriale p che prende il nome di momento di dipolo della
distribuzione di carica. In particolare, dalla (3.6b) si osserva che in questa grandezza
è in qualche modo considerata la distribuzione delle cariche all’interno del volume V .
Essa inoltre dipende dal punto rispetto al quale viene calcolata ed in particolare è nulla
Ing. Luciano Mescia
3.1. Fenomeni di polarizzazione
34
quando viene calcolata rispetto al baricentro. Invece, nei sistemi a carica totale nulla il
momento di dipolo diventa una proprietà intrinseca del sistema in quanto non dipende
dal punto rispetto al quale è calcolato. Infatti, se si indica con D lo spostamento rispetto
all’origine il momento di dipolo è:
∫
∫
( ′
)
′
′
p =
ρ(r ) r − D dV =
ρ(r′ )r′ dV − QD = p − QD
(3.7)
V
V
p′
e se Q = 0 risulta
=p
Il terzo termine della (3.5) prende il nome di momento di quadrupolo della distribuzione. Generalmente, questo termine di ordine superiore è trascurabile rispetto agli
altri due. Però, quando entrambi i termini sono nulli il potenziale a grandi distanze è
generato dal momento di quadrupolo. In realtà la (3.5) è una approssimazione linitata
solo ai primi tre termini dello sviluppo in serie da cui essa deriva. Esistono infatti altri
termini di ordine superiore che per gli scopi che ci proponiamo di affrontare possono
essere considerati trascurabili.
3.1.2 Campo elettrico e potenziale prodotti da un dipolo elettrico
Come semplice esempio si considerino due cariche puntiformi, aventi rispettivamante
carica +q e −q, poste a una distanza d una dall’altra. Si supponga inoltre di posizionare
il sistema di riferimento nella posizione occupata dalla carica negativa. Considerando
punti dello spazio molto lontani, il potenziale è fornito da una forma semplificata della
relazione (3.3) in quanto il termine di monopolo non da nessun contributo (visto che
la carica totale del sistema Q è nulla) e il termine di quadrupolo, in virtù della sua
dipendenza da 1/r3 , è trascurabile. Pertanto, il potenziale sarà:
ϕ(r) ≈
p cos θ
p·r
=
3
4πϵ0 r
4πϵ0 r2
(3.8)
dove p = qd è il momento di dipolo e θ è l’angolo formato dai vettori d e r. Dalla
(3.8) si osserva che a grande distanza il potenziale e di conseguenza il campo elettrico
non dipendono separatamente da q o da d, ma dal loro prodotto. Di conseguenza,
effettuando solo una misura di potenziale non è possibile avere informazioni sulle cariche
che costituiscono il sistema. Infatti, anche un dipolo formato dalle cariche +2q e −2q
poste alla distanza d/2 induce in punti lontani un potenziale esprimibile dalla (3.8).
L’approssimazione fatta a proposito di punti lontani vale anche per i punti vicini
al dipolo se si considera una schematizzazione limite dove si fa tendere d a zero e si
aumenta contemporaneamente la quantità di carica q (al limite fino a renderla infinita)
in modo che il prodotto qd (modulo del momento di dipolo) rimanga costante. Il dipolo
caratterizzato dalla proprietà che, per ogni punto dello spazio la loro distanza è grande
rispetto alla distanza tra le due cariche è detto dipolo elementare. In questa circostanza,
nello sviluppo in serie (3.5) rimane solo il termine di dipolo e quindi la (3.8) si trasforma
in una ugualianza. Infatti, il termine di quadrupolo è:
[
]
1
3(r · d)2 d2
q
− 3
8πϵ0
r5
r
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3.1. Fenomeni di polarizzazione
dl
35
P
r
dθ
ar
aθ
pr
θ
θ
p
p
pθ
(a)
(b)
Figura 3.2: Campo elettrico del dipolo elettrico
che contenendo la dipendenza da qd2 tenderà a zero quando d tende a zero e qd è
mantenuto costante. Analogamente, anche i termini di multipolo di ordine superiore
tenderanno a zero visto che contengono i prodotti qd3 , qd4 ecc.
Dalla (3.8) si osserva ancora che il potenziale prodotto dal dipolo decresce più rapidamente con la distanza rispetto a quello generato da una carica puntiforme e che le
superfici equipotenziali non sono più sferiche come accadeva per le cariche puntiformi.
La prima osservazione è giustificata dal fatto che essendo il sistema costituito da due
cariche di segno opposto, esse tendono a compensare i loro effetti, mentre la seconda
considerazione è giustificabile osservando che nella (3.8) compare la funzione cos θ. Infatti, considerando la superficie sferica di raggio r e con centro nel dipolo elementare,
il potenziale passa dal valore p/(4πϵ0 r2 ) al valore nullo quando l’angolo θ varia da 0 a
π/2.
Da quanto detto risulta evidente che il campo elettrico generato dal dipolo non è
radiale, ma oltre al componente radiale Er possiede anche quello trasversale Eθ . Infatti,
ricordando che E = −∇ϕ, il campo elettrico lungo una determinate direzione è dato
dalla derivata fatta rispetto alla direzione considerata cambiata di segno. Pertanto,
come illustrato in figura 3.2(a) e osservando che dl = rdθ si ha:
( )
p cos θ ∂
1
2p cos θ
∂ϕ
ar =
ar
E r = − ar = −
2
∂r
4πϵ0 ∂r r
4πϵ0 r3
∂ϕ
∂ϕ
p sin θ
aθ =
E θ = − al = −
aθ
∂l
r∂θ
4πϵ0 r3
da cui
E = Er + Eθ =
1
(2p cos θar + p sin θaθ )
4πϵ0 r3
Scomponendo il vettore p lungo le direzioni ar e aθ (vedi figura 3.2(b)) si ha:
p = p cos θar − p sin θaθ
da cui
p sin θaθ = p cos θar − p
Ing. Luciano Mescia
3.1. Fenomeni di polarizzazione
36
Sostituendo quanto ottenuto nell’espressione del campo elettrico si ottiene:
1
1
(3p cos θar − p) =
[3(p · ar )ar − p]
4πϵ0 r3
4πϵ0 r3
[
]
1
3(r · p)r
p
=
− 3
4πϵ0
r5
r
E=
(3.9)
Dalla (3.9) si osserva che anche il campo elettrico generato da un dipolo si annulla più
rapidamente di quello generato dalla carica puntiforme. Inoltre, visto che esso possiede
sia il componente radiale sia quello trasverso, muovendosi su una superficie sferica la
direzione del campo non coincide con quella del raggio vettore e il modulo passa da
p/(2πϵ0 r3 ) a −p/(4πϵ0 r3 ) quando l’angolo θ va da 0 a π/2. Infatti, per θ = 0, essendo
i vettori p e r paralleli, il prodotto scalare p · ar è uguale a p, mentre per θ = π/2,
essendo p e r ortogonali, si ha che p · ar è nullo.
3.1.3 Campo elettrico e potenziale generato da distribuzioni di
polarizzazione
Anche se il concetto di dipolo elementare fa riferimento a una schematizzazione limite,
esso risulta essere molto utile nel momento in cui si vogliono analizzare sistemi, come
ad esempio atomi e molecole, che pur avendo una carica totale nulla possono presentare
un momento di dipolo diverso da zero oppure ne possono acquistare uno per effetto di
sollecitazioni esterne.
Da un punto di vista macroscopico, un dielettrico non polarizzato può essere visto
come un continuo avente densità di carica elettrica nulla in ogni suo punto in quanto il
baricentro della carica positiva coincide con quello della carica negativa. L’applicazione
di un campo elettrico esterno invece perturba tale condizione di equilibrio generando
delle deformazioni nella distribuzione di atomi che a loro volta inducono la formazione
di dipoli. Pertanto, visto il numero elevato di atomi un modello adatto a trattare un
dielettrico è quello di schematizzarlo per mezzo di una distribuzione continua di dipoli e
perciò il contributo macroscopico dato dal materiale al campo elettrico può essere valutato riferendosi ad una distribuzione continua caratterizzata dal vettore di polarizzazione
P dato dalla relazione
∆p
dp
= lim
= p0 N
(3.10)
P=
∆V →0 ∆V
dV
Quindi come per la distribuzione continua di carica è possibile esprimere la carica per
unità di volume con la funzione scalare ρ(r′ ), anche la distribuzione continua di dipoli
può essere caratterizzata da una funzione vettoriale P(r′ ) che individua il momento di
dipolo per unità di volume.
Si vuole ora calcolare il contributo dato al campo elettrico e al potenziale da una
distribuzione nota di polarizzazione. In un primo momento, si farà l’ipotesi che la polarizzazione sia un dato del problema e che, una volta polarizzato il mezzo, essa sussiste
anche quando svanisce l’effetto del campo elettrico esterno. Tale ipotesi, consente di
analizzare solo gli effetti associati alla polarizzazione del mezzo. Successivamente, sarà
Ing. Luciano Mescia
3.1. Fenomeni di polarizzazione
37
V
P(r’)
an
A
R=r-r'
∆V
r’
S
Q
z
r
y
O
x
Figura 3.3: Camp elettrico e potenziale prodotti da una distribuzione di polarizzazione
ricavato il campo elettrico totale come sovvrapposizione tra il campo elettrico esterno e
il campo elettrico dovuto alla polarizzazione.
Facendo riferimento alla figura 3.3, sia V la regione di spazio che contiene la polarizzazione P. Detto O il punto che individua l’origine del sistema di riferimento, indicando
con r il raggio vettore che collega O al punto A, dove si vuole calcolare il potenziale, e
con r′ il raggio vettore che collega O al generico punto Q della distribuzione, si avrà che
la funzione vettoriale P è una funzione di r′ . Suddividendo V in tanti volumi infinitesimi
dV , ogni singolo volumetto avrà momento di dipolo dp = PdV . Tale dipolo produce nel
punto A il potenziale elementare
dϕ(r) =
1 P(r′ ) · (r − r′ )
1 dp · (r − r′ )
=
dV
4πϵ0 |r − r′ |3
4πϵ0
|r − r′ |3
e sovrapponendo gli effetti si avrà che il potenziale ϕ prodotto in A dall’intera distribuzione di polarizzazioe è:
∫
P(r′ ) · (r − r′ )
1
dV
(3.11)
ϕ(r) =
4πϵ0 V
|r − r′ |3
Ma
(
r − r′
= −∇
|r − r′ |3
e quindi
1
ϕ(r) =
4πϵ0
1
|r − r′ |
∫
′
)
P(r ) · ∇
′
(
=∇
′
(
V
1
|r − r′ |
1
|r − r′ |
)
)
dV
Dall’identità vettoriale ∇ · (f A) = A · ∇f + f ∇ · A si ha che
(
)
(
)
P(r′ )
1
1
′
′
′
∇ ·
= P(r ) · ∇
+
∇′ · P(r′ )
′
′
|r − r |
|r − r |
|r − r′ |
da cui si ricava
′
P(r ) · ∇
Ing. Luciano Mescia
′
(
1
|r − r′ |
)
′
=∇ ·
(
P(r′ )
|r − r′ |
)
−
1
∇′ · P(r′ )
|r − r′ |
(3.12)
3.1. Fenomeni di polarizzazione
38
Sostituendo quanto ottenuto nella (3.12) si ottiene:
(
)
∫
∫
1
P(r′ )
1
1
′
ϕ(r) =
∇ ·
dV −
∇′ · P (r′ )dV
′
4πϵ0 V
|r − r |
4πϵ0 V |r − r′ |
da cui, applicando il teorema della divergenza, si ricava:
∫
∫
P(r′ ) · an
1
∇′ · P(r′ )
1
dS
−
dV
ϕ(r) =
4πϵ0 S |r − r′ |
4πϵ0 V |r − r′ |
∫
∫
1
1
1
1
=
σp (r′ )
dS +
ρp (r′ )
dV = ϕ1 (r) + ϕ2 (r)
′
4πϵ0 S
|r − r |
4πϵ0 V
|r − r′ |
(3.13)
dove S è la superficie che delimita il volume V e an è la normale a tale superficie. Quindi
il potenziale ϕ è dato dalla sovrapposizione dei potenziali che sarebbero generati da una
distribuzione di carica sulla superficie S con densità superficiale
σp (r′ ) = P(r′ ) · an = Pn
(3.14)
e da una distribuzione di cariche volumetriche con densità
ρp (r′ ) = −∇′ · P(r′ )
(3.15)
Il campo elettrico può essere ricavato come gradiente rispetto alla coordinata r del
potenziale ϕ(r) e cioé:
∫
∫
′
′
1
1
′ r−r
′ r−r
σp (r )
ρ
(r
)
E(r) =
dS
+
dV
(3.16)
p
4πϵ0 S
4πϵ0 V
|r − r′ |3
|r − r′ |3
I risultati ottenuti sono di notevole importanza perchè evidenziano la possibilità di descrivere la polarizzazione tramite una distribuzione di cariche sulla superficie S con
densità σp e nel volume con densità ρp . Dalla (3.14) si osserva che quando il dielettrico
è polarizzato la carica superficiale di polarizzazione è sempre presente. Dalla (3.15) si
vede invece che la carica di polarizzazione distribuita nel volume è presente solo quando
∇ · P ̸= 0. Nei casi in cui P è uniformemente distribuito (P = costante) in tutto il
dielettrico occorre considerare solo le cariche presenti sulle superfici più esterne visto che
∇ · P = 0. Tale sistuazione si verifica in tutti i dielettrici lineari e omogenei.
Per meglio chiarire l’aspetto fisico di questo tipo di equivalenza può essere utile fare
delle considerazioni più intuitive.
L’esistenza di carica sulla superficie del dielettrico può essere spiegata osservando che
la polarizzazione di ciascun atomo genera uno spostamento relativo delle cariche elettriche. Infatti, il momento di dipolo p0 di ogni singolo atomo può essere pensato come
generato da due cariche elementari +q0 e −q0 poste ad una distanza d. Come illustrato
in figura 3.4, all’interno del dielettrico tali spostamenti non danno luogo a nessun accumulo di carica perché per ogni carica di un certo segno esiste nelle immediate vicinanze
una carica di segno opposto. Sulla superficie esterna del dielettrico si può avere invece un eccesso di carica visto che non è presente nelle immediate vicinanze una uguale
Ing. Luciano Mescia
3.2. Teorema di Gauss in presenza di dielettrici
an
l
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
39
+Pn2
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
P
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
an
-Pn1
Figura 3.4: Carica superficiale di polarizzazione
quantità di carica di segno opposto. Tale eccesso di carica è dovuto agli atomi che si
trovano distribuiti all’interno di uno spessore l. Per quanto riguarda la carica volumetrica di polarizzazione la spiegazione è meno immediata. Se la lastra dielettrica piana di
figura 3.4 ha una densità di polarizzazione che cresce durante il passaggio dalla superficie inferiore a quella superiore, la densità di carica superficiale sulle due faccie estreme
non sarà più la stessa. Infatti, sulla superficie inferiore ci sarà una carica negativa con
densità σp1 = Pn1 , mentre su quella superiore ci sarà una carica positiva con densità
σp2 = Pn2 . Essendo Pn2 > Pn1 , e quindi σp2 > σp1 , il numero di cariche positive sarà
maggiore di quelle negative per il semplice motivo che le due superfici sono uguali. Dovendo però il dielettrico avere una carica complessiva nulla occorre che al suo interno
sia distribuita una quantità di carica negativa tale da rendere nulla la carica complessiva. La situazione appena descritta può essere infatti schematizzata immaginando di
suddividere il materiale, con sezioni perpendicolari alla direzione di polarizzazione, in
elementi sufficientemente piccoli da considerare la polarizzazione uniforme all’interno di
ognuno di essi. Di conseguenza, ogni elemento può essere sostituito da due distribuzioni
di carica superficiale di segno opposto e di uguale quantità sulle due superfici estreme.
Considerando due elementi contigui, sulla superficie di separazione si localizzaranno una
quantità di carica positiva e una negativa. Quella positiva si ha quando la superficie di
separazione si pensa appartenente all’elementino inferiore, quella negativa si ha quando
la superficie di separazione si pensa appartenente all’elementino superiore. Sommando
algebricamente queste due quantità di carica si ottiene un eccesso di carica negativa
dovuta al fatto che il modulo di P nell’elementino superiore è maggiore di quello nell’elementino inferiore. Pertanto, applicando lo stesso ragionamento per tutti gli elementini
si avrà un eccesso di carica negativa distribuita all’interno del volume.
3.2 Teorema di Gauss in presenza di dielettrici
Nei casi pratici in cui un materiale dielettrico è sottoposto all’azione di un campo elettrico
generato da cariche libere, è molto utile estendere in teorema di Gauss ricavato nel
caso particolare dello spazio vuoto. Come detto in precedenza, l’azione di un campo
elettrico su un dielettrico induce una polarizzazione che può essere valutata considerando
le cariche di polarizzazione superficiale e volumetrica. Di conseguenza, il teorema di
Ing. Luciano Mescia
3.2. Teorema di Gauss in presenza di dielettrici
40
dielettrico
QL
S
S’
V
Figura 3.5: Teorema di Gauss in un dielettrico
Gauss nekl vuoto deve valere anche in un generico dielettrico purchè si consideri, oltre
alla carica libera, la carica di polarizzazione, Qp . A tale scopo, si consideri una superficie
chiusa S posta all’interno del dielettrico che delimita una regione di spazio di volume V
che contiene una carica libera QL . Si ipotizzi inoltre che questa carica libera sia posta
sulla superficie S ′ di un conduttore (vedi Fig. 3.5). Per il teorema di Gauss si ha
I
QL + Qp
(3.17)
E ·an dS =
ϵ0
S
dove la carica di polarizzazione Qp è data da
I
∫
I
∫
Qp =
σp dS +
ρp dV =
P ·an dS +
S′
V −V ′
S′
V −V ′
−div PdV
(3.18)
Nella (3.18) l’integrale di superficie è esteso solo su S ′ perchè questa è la sola superficie
limite del dielettrico sulla quale si può localizzare la distribuzione superficiale di carica.
Inoltre, la superficie S non è considerata perchè essa non è una superficie limite del
dielettrico.
Dal teorema della divergenza si ha
∫
I
I
I
−div PdV = −
P ·an dS = − P ·an dS −
P ·an dS
V −V ′
S+S ′
S
che sostituita nella (3.18) fornisce la relazione
I
Qp = − P ·an dS
S′
(3.19)
S
Sostituendo la (3.19) nella (3.17) si ricava in definitiva
I
I
ϵ0 E ·an dS = QL −
P ·an dS
S
da cui
S
I
(ϵ0 E + P) ·an dS = QL
S
Ing. Luciano Mescia
(3.20)
3.2. Teorema di Gauss in presenza di dielettrici
41
Definendo un nuovo campo macroscopico D detto induzione elettrica
D = ϵ0 E + P
(3.21)
è possibile esprimere il teorema di Gauss in presenza di dielettrici come
I
D ·an dS = QL
(3.22)
S
Immaginando inoltre che la carica libera possa essere espressa in termini di una densita
volumetrica di carica ρ contenuta in V , e considerando il teorema della divergenza si ha
I
∫
∫
D ·an dS =
div DdV =
ρdV
S
V
V
da cui si ottiene la forma differenziale del teorema di Gauss in presenza di dielettrici
div D = ρ
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(3.23)