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Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più
gradi di libertà con il metodo dell’Analisi Modale
Lezione 2/2
Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture
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La risposta a carichi variabili con la stessa legge
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Si consideri un vettore di carico della forma
p(t) = s f (t)
in cui tutte le componenti variano nel tempo con la stessa legge f (t).
Il vettore s prende il nome di vettore di eccitazione e rappresenta la distribuzione spaziale,
indipendente dal tempo, delle componenti del carico. Si nota che il carico equivalente a un’azione
sismica ha la stessa forma della relazione precedente. Il vettore s può essere espresso nella
somma di N contributi modali come segue
N
N
i=1
i=1
s = ∑ s i = ∑ Γ i M φi
Il coefficiente Γi viene detto fattore di partecipazione modale e può essere calcolato attraverso le
proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa M
N
φ s = ∑ Γ i φnT M φi
T
n
i=1
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La risposta a carichi variabili con la stessa legge
legge
…
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φnT s = Γ nφnT M φn
φnT s
φnT s
Γn = T
=
φn Mφn M n
Pertanto, il vettore di eccitazione modale sn assume la forma
s n = Γ n M φn
Si nota che sn non dipende da come i modi sono stati normalizzati, al contrario di Γn. Si osserva,
inoltre, che il vettore sn è proporzionale alle forze d’inerzia associate al modo n-esimo. Tali forze,
infatti, si ottengono dalla relazione
fIn (t) = M
u n (t) = Mφn qn (t)
e la loro distribuzione è data dal vettore Mϕn, proporzionale a quella di sn. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture
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La risposta a carichi variabili con la stessa legge
legge
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Nel caso in esame, il carico modale generalizzato assume la forma
N
Pn ( t ) = φ p ( t ) = φ s f ( t ) = ∑ Γ i φnT M φi f ( t ) = Γ n M n f ( t )
T
n
T
n
i=1
e le equazioni del moto in termini di coordinate modali si scrivono
qn (t) + 2ξnω n qn (t) + ω n2 qn (t) = Γ n f (t)
n = 1, 2, ..., N
Il fattore di partecipazione modale Γn, pur dipendendo da come sono stati normalizzati i modi,
rappresenta una misura del grado di partecipazione alla risposta totale del modo n-esimo.
Ponendo
qn (t) = Γ n Dn (t)
si ha
n (t) + 2ξnω n D n (t) + ω n2 Dn (t) = f (t)
D
n = 1, 2, ..., N
Queste equazioni sono formalmente identiche a quelle di un sistema lineare viscoso a un grado di
libertà con massa unitaria, rapporto di smorzamento ξn, e frequenza naturale ωn, sollecitato da un
carico f(t). Quindi, tali equazioni possono essere risolte utilizzando gli stessi procedimenti
sviluppati per i sistemi lineari viscosi a un grado di libertà. Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture
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La risposta a carichi variabili con la stessa legge
legge
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Risolte le equazioni del moto disaccoppiate e determinate le coordinate modali attraverso le
relazioni
q (t) = Γ D (t)
n
n
n
i contributi modali alla risposta si ottengono dalle relazioni
u n (t) = φn qn (t) = φnΓ n Dn (t)
Per ogni contributo modale, il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioni interne assume
la forma
fSn (t) = Ku n (t) = Γ n Kφn Dn (t) = Γ nω n2 Mφn Dn (t) = s nω n2 Dn (t)
La quantità ωn2Dn(t) ha le dimensioni di un’accelerazione e viene in genere indicata come
pseudo-accelerazione. Ponendo
An (t) = ω n2 Dn (t)
si può infine scrivere
fSn (t) = s n An (t)
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Nel caso di azioni sismiche, il vettore di carico assume la forma
p eq (t) = −Mr
u g (t)
Si nota che anche in questo caso tutte le componenti variano con la stessa legge
temporale. Ponendo
s = Mr
si può quindi definire il vettore di eccitazione modale
s n = ( Mr )n = Γ n M φn
in cui il fattore di partecipazione modale è dato dall’espressione
φnT s
φnT Mr
L
Γn = T
= T
= n
φn Mφn φn Mφn M n
in cui si è posto
Ln = φnT Mr
Si può quindi scrivere
s n = ( Mr )n =
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Ln
M φn
Mn
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Nel caso di azioni sismiche, le equazioni del moto in termini di coordinate modali si
specializzano come segue
qn (t) + 2ξnω n qn (t) + ω n2 qn (t) = − Γ nug (t)
n = 1, 2, ..., N
n (t) + 2ξnω n D n (t) + ω n2 Dn (t) = −
D
u g (t)
n = 1, 2, ..., N
oppure
avendo posto
qn (t) = Γ n Dn (t)
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Risposte modali
Il contributo dell’n-esimo modo alla risposta in termini di spostamenti un(t) è dato da
Γ
u n (t) = φn qn (t) = φnΓ n Dn (t) = n2 φn An (t)
ωn
Il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioni assume la forma
fSn (t) = s n An (t)
L’n-esimo contributo modale rn(t) alla generica risposta r(t) può essere calcolato, per ogni istante
di tempo desiderato, attraverso un’analisi statica della struttura sollecitata dalle forze fSn(t).
Indicando con rnst l’aliquota della risposta corrispondente al vettore sn, si può scrivere
rn (t) = rnst An (t)
È importante sottolineare che la quantità rnst è indipendente dalla modalità di normalizzazione
dei modi.
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Risposta totale
La risposta totale si ottiene sommando i contributi di tutte le risposte modali, cioè
N
N
n=1
n=1
Γn
φ A (t)
2 n n
n=1 ω n
N
u(t) = ∑ u n (t) = ∑ Γ nφn Dn (t) = ∑
Il vettore delle forze assume la forma
N
N
n=1
n=1
fS (t) = ∑ fSn (t) = ∑ s n An (t)
Il generico parametro di risposta r(t) può essere calcolato, per ogni istante di tempo desiderato,
sommando i contributi di tutte le risposte modali
N
N
n=1
n=1
r(t) = ∑ rn (t) = ∑ rnst An (t)
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Sommario del procedimento
1.  Si calcolano le frequenze ωn e i modi naturali di vibrazione φn.
2.  Si assegnano i rapporti di smorzamento modali ξn.
3.  Il vettore di eccitazione Mr si suddivide nelle sue componenti modali sn.
4.  Per ogni contributo modale si esegue un’analisi statica della struttura soggetta alle forze sn e un’analisi dinamica del sistema lineare viscoso a un grado di
libertà di frequenza ωn e rapporto di smorzamento ξn, soggetto all’accelerazione del suolo ug (t).
L’analisi modale consiste, quindi, nell’analisi statica della struttura sollecitata dagli N insiemi di
forze sn (n = 1, 2, …, N) e nell’analisi dinamica di N differenti sistemi a un grado di libertà. La risposta sismica della struttura è data dalla combinazione delle risposte modali.
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Edifici multipiano con pianta simmetrica
Si consideri il caso di edifici multipiano con due assi di simmetria in pianta e impalcati rigidi nel
proprio piano, sollecitati da un’accelerazione del suolo diretta secondo uno degli assi di
simmetria. In questo caso il vettore pseudostatico r ha componenti tutte unitarie e verrà indicato con il
simbolo 1, cioè r =1
Nel caso specifico si ha
N
N
Ln = L = φ M1 = ∑ miφin
h
n
T
n
i=1
N
M n = φ Mφn = ∑ m φ
T
n
2
i in
i=1
φnT M1
Lhn
Γn = T
=
=
φn Mφn M n
∑mφ
i in
i=1
N
∑mφ
2
i in
i=1
sin = Γ n miφin
fSin = sin An (t)
uin (t) =
Γn
st
φ
A
(t)
=
u
An (t)
in
n
in
2
ωn
in cui mi è la massa dell’i-esimo impalcato.
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Il taglio modale alla base risulta
N
N
i=1
i=1
Tbnst = ∑ sin = Γ n ∑ miφin = Γ n Lhn =
h
n
( )
Lhn
2
L h
Ln =
= mn*
Mn
Mn
Tbn (t) = Tbnst An (t) = mn* An (t)
Si nota che il generico contributo modale del taglio alla base è dato da un’espressione analoga a
quella relativa a un sistema lineare a un grado di libertà.
La quantità mn* prende il nome di massa modale efficace e risulta indipendente da come sono
stati normalizzati i modi naturali di vibrazione.
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Il momento ribaltante modale alla base risulta
N
N
i=1
i=1
M = ∑ hi sin = Γ n ∑ hi miφin
st
bn
da cui ponendo
N
L = ∑ hi miφin
θ
n
i=1
si ottiene
h
n
L θ
M =Γ L =
Ln
Mn
st
bn
θ
n n
L )
(
=
h 2
n
Mn
Lθn
= mn*hn*
h
Ln
M bn (t) = mn*hn* An (t)
Anche il generico contributo modale del momento ribaltante alla base è dato da un’espressione
analoga a quella di un sistema lineare a un grado di libertà. La quantità hn* prende il nome di altezza modale efficace e risulta indipendente da come sono
normalizzati i modi naturali di vibrazione.
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Analisi sismica di sistemi lineari
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I contributi modali alla risposta alla base di un sistema simmetrico a molti gradi di libertà sono
associati a una massa mn* posta all’altezza hn* rispetto al piano delle fondazioni. La massa e l’altezza modale efficace del modo n-esimo dipendono dalla distribuzione delle masse
lungo l’altezza dell’edificio e dalla forma del modo e sono indipendenti da come sono stati
normalizzati i modi. La somma delle masse di tutti gli impalcati del sistema è uguale alla somma di tutte le masse
modali efficaci, infatti
N
∑m
i
= 1 M1 = 1 s = 1
T
T
N
T
i=1
∑s
=1
T
n
n=1
N
∑Γ
n
Mφn
n=1
⎛ N
⎞
= ∑ Γ n 1 Mφn = ∑ Γ n ⎜ ∑ miφin ⎟ =
⎝ i=1
⎠
n=1
n=1
N
(
)
T
N
N
= ∑Γ nL = ∑
h
n
n=1
N
(L )
n=1
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h 2
n
Mn
N
= ∑ mn*
n=1
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Analisi sismica di sistemi lineari
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Generalmente i valori delle masse modali efficaci diminuiscono al crescere dell’indice del modo. Ciò consente di stabilire un criterio per considerare un numero di contributi modali notevolmente
inferiore a N: una precisione sufficiente può essere raggiunta quando la somma delle masse
modali efficaci, cioè della massa complessiva partecipante al moto, raggiunge una percentuale
ritenuta sufficiente della massa totale dell’edificio, per esempio il 90%. Di solito bastano pochi contributi modali per raggiungere questa percentuale.
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