RISOLUZIONE DEL PROBLEMA N

RISOLUZIONE DEL PROBLEMA N° 7
Prima di tutto facciamo il disegno e scriviamo i dati:
AB = 48cm
AABCD =
EF =
12
AEFGI
35
1
AB
2
GI = 3 AB
α = 30°
L
M
β
α
N
Q
LM = 48cm
2
LN = AB
3
P
Svolgimento:
Area del quadrato: 48 x 48 = 2304
Diagonale del quadrato : AD = 48 2 + 48 2 = 67,88
Area del trapezio isoscele = divido l’area del quadrato per 12.
Perché? Vi disegno qui una spiegazione grafica. Immaginiamo di dividere l’area del
trapezio in 35 pezzettini (i famosi trentacinquesimi), per il quadrato dobbiamo invece
prenderne solo 12. Guardate l’immagine:
Quando dividiamo per 12 il valore dell’area del quadrato, troviamo
La misura di uno di quei quadratini rossi. Quando moltiplichiamo per
35, troviamo la misura del totale dei quadratini rossi dentro il trapezio.
2304 : 12 = 192
192 x 35 = 6720
Quindi Area del trapezio = 6720 cm2
Perché mi serve l’area del trapezio se il problema non la richiede?
Perché dall’area del trapezio posso ricavare l’altezza del trapezio, procedendo tramite
formula inversa:
Area del trapezio = [(B+b) x h]/2
Quindi h = (Area x 2)/(B+b)
Base minore = 48:2 = 24 cm
Base Maggiore = 48 x 3 = 144 cm
H = (6720 x 2) / ( 24 + 144)
H = 13440/ 168
H = 80
Perché ci serve l’altezza?
Utilizziamo l’altezza del trapezio per trovare il suo lato obliquo. Applichiamo il teorema di
Pitagora come per la diagonale del quadrato.
Troviamo prima il segmento HI. Sottraiamo dalla base maggiore la base minore e
dividiamo tutto per 2:
144 – 24 = 120
120/2 = 60
FI = 80 2 + 60 2 = 100
Quindi il perimetro sarà: 144 + 24 + 100 + 100 = 368
Area del parallelogramma:
prima di tutto troviamo il lato più piccolo: 48:3 = 16 x 2 = 32 cm
poi andiamo a guardare il triangolo con l’angolo alfa (α)
Sicuramente ricorderete che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°
Il triangolo LNQ ha un angolo retto (quello che l’altezza del parallelogramma forma con la
base dello stesso) e un angolo di 30° (ce lo dice i l problema). 180°-90°-30° = 60°
L’angolo in beta (β) è di 60°, quindi abbiamo a che fare con la metà d i un triangolo
equilatero. L’altra metà la dovete immaginare…ricordate che i triangoli equilateri hanno
tutti gli angoli di 60°?
Ve lo disegno qui, con la metà immaginaria.
L
M
β
α
N
Q
P
R
Spero che la figura del parallelogramma sia abbastanza chiara.
Il triangolo LNR è equilatero. Infatti l’angolo in N è il doppio dell’angolo alfa, quindi vale 60°
L’angolo beta abbiamo già detto che misura 60° e pe r arrivare a 180° l’angolo in R non
può che valere anche lui 60°.
Se il triangolo è equilatero, i suoi lati sono tutti uguali.
Quindi LQ , è la metà del lato LR, oppure del lato LN, che noi già conosciamo.
32 : 2 = 16
La nostra area sarà la solita base x altezza. 48 x 16 = 768 cm2