Corso di Fisica I
Prof. M. Cobal
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Moto rettilineo
Introduzione alla cinematica
Meccanica: studio del moto di un corpo.
Cominciamo dal punto materiale
(più semplice!!!!)
Cinematica del punto materiale:
branca della meccanica che studia il movimento dei corpi senza
domandarsi quali sono le cause che lo producono. Nella cinematica vengono
definite le variabili necessarie per descrivere il moto dei corpi.
CINEMATICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA
GEOMETRICO
DINAMICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA DELLE
CAUSE
PUNTO MATERIALE: punto matematico senza dimensione
dimensioni piccole rispetto al sistema che si sta
studiando
Sistema di riferimento
• Per descrivere il moto serve un sistema di riferimento.
• Sistema di riferimento: insieme di corpi, fissi relativamente l uno all altro, rispetto
ai quali definiamo la posizione del corpo studiato e il suo movimento.
• Esempio: la stanza nella quale ci troviamo. In tal caso la posizione del corpo che
studiamo può essere definita misurandone le distanze dalle pareti.
• La scelta del sistema di riferimento è del tutto arbitraria.
Sistema di coordinate
• Utilizzato per dare una descrizione matematica del movimento rispetto al sistema
di riferimento. Sistema di coordinate ancorato al sistema di riferimento.
• Il sistema di riferimento è qualcosa di fisico, il sistema di coordinate è qualcosa di
geometrico.
• Possiamo sempre scegliere fra infiniti sistemi di coordinate quello che meglio si
presta alla descrizione del problema.
Sistema di coordinate cartesiane ortogonali
Sistema di coordinate polari
Punto materiale
• Descrivere il moto di un corpo di forma arbitraria può essere molto complicato.
• Il caso più semplice è quello del cosiddetto punto materiale, per descrivere il
quale sono sufficienti 3 coordinate cartesiane ortogonali per il moto nello
spazio, mentre ne bastano 2 nel piano e 1 sola se il moto avviene lungo una
retta.
Traiettoria
• Un punto materiale muovendosi nello spazio occupa successivamente
un infinità di posizioni successive.
• Si chiama traiettoria il luogo dei punti occupati successivamente dal punto
materiale nel suo moto. Si tratta in genere di una linea curva.
• Se la linea è chiusa il moto è limitato e il punto percorre continuamente la
medesima traiettoria, come nel caso delle orbite planetarie.
Moto unidimensionale
x(t)=????
X0
Istanti t1 e t2 con posizioni corrispondenti x1 e x2
Δx x2 − x1
vm =
=
Δt
t 2 − t1
Velocità media
Velocità istantanea
dx
vm =
dt
t
⇒
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt
t0
Moto unidimensionale
Velocità media
î
xi
Δx
x
X=0
Vm
t=0
Vm =
10/3/06
xf
Δt
ti
Δx
Δt
=
t
tf
( xf - xi ) î
( tf - ti )
[L]
[T]
m
s
Piano x-t
x(t) ≡ equazione oraria
x
x1
x2
x3
…
xn
t1
t2
t3
…
tn
x(t)
posizione istante per istante
n
xn
Δx
x1
1
θ
Δt
θ
t1
Vm =
t
tn
Δx
= tg θ
Δt
Velocità istantanea
x
x3
x2
xf
xi
tangente in P
Q
Δx3
Δx2
lim
Vi =
Q
Δt
0
Δx
Δt
Q
P
=
Δt3
dx
dt
Δt2
θ
ti
Δt1
t3
t2
tf
t
modulo = tg θ
direzione data dalla retta
del moto rettilineo
modulo vi = tg θ
x
xR
xQ
xS
xP
Q
R
S
viP =
tgθP
>0
ViQ =
tgθQ
>0
viR =
tgθR
=0
viS =
tgθS
<0
P
θQ
θS
θP
t
tS
Parte da xP, arriva in xRdove si ferma e torna indietro
Moto rettilineo uniforme
Velocità = costante
dx
vm =
= cost = v
dt
t
⇒
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt = x0 + v(t − t0 )
t0
x
x0
t0
t
Accelerazione
variazione di v nel tempo
Accelerazione media
Δv
Δt
am =
=
( vf - vi ) î
( tf - ti )
[L]
[T]
m
s2
[T]
Accelerazione istantanea
ai =
lim
Δt
0
Δv
Δt
=
dv
dt
d
=
dt
dx
dt
=
d2x
dt2
Piano v-t
v(t) ≡
v
v1
v2
v3
…
vn
t1
t2
t3
…
tn
velocità istante per istante
v(t)
Q
vQ
Δv
vP
P
θ
Δt
θ
tP
am =
t
tQ
Δv
= tg θ
Δt
x(t)
x(t ) = 5 + 3t + 7t 2
d
vx = x ( t )
dt
d
vx = x ( t ) = 3 + 14 t
dt
d
d d
d2
ax = vx ( t ) =
x(t ) = 2 x(t )
dt
dt dt
dt
d
ax = v x ( t ) = 14
dt
14
10
06
θ
x(t ) = 5 + 3t + 7t
2
tgθ = 14
vx = 3 + 14t
02
ax = 14
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Δv v2 − v1
am =
=
Δt t 2 − t1
dv
a=
dt
Se l accelerazione è costante
dx
am =
= cost = a
⇒
dt
t
v(t ) = v0 + ∫ a(t )dt
⇒
t0
t
v(t ) = v0 + ∫ a(t )dt = v0 + a(t − t0 )
t0
inoltre per la posizione
t
1
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt = x0 + ∫ [v0 + a(t − t0 )]dt = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 ) 2
2
t0
d
d
vx = x(t ) → ∫ vx dt = ∫ x(t ) = x(t )
dt
dt
d
d
ax = vx(t ) → ∫ a x dt = ∫ vx (t )dt = vx (t )
dt
dt
a x ⇒ ∫ a x dt = vx (t ) ⇒ ∫ vx dt = x(t )
a x (t )
vx = ∫ a x (t)dt + v0x
x(t ) = ∫ v x (t )dt = ∫ ∫ (a x (t )dt + ∫ v0 x dt
a x (t ) = 5
vx = ∫ ax (t )dt = 5t + v0 x
1 2
x(t ) = ∫ vx (t )dt = ∫ 5tdt + ∫ v0 x dt = 5t + v0 xt + x0
2
ALCUNI
ESEMPI
a(t ) = k = a0 x
java
vx = ∫ a x (t )dt = ∫ a0 x dt = a0 x t + v0 x
1
x(t ) = ∫ vx (t )dt = ∫ (a0 xt + v0 x )dt = a0 x t 2 + v0 x t + x0
2
vx = v0 x + a0 xt
a x (t ) = a0 x
a
v
a0 x
v0 x
t
1
x(t ) = x0 + v0 xt + a0 xt 2
2
x
x0
t
t
Esempio
Sia data la legge oraria di una particella in movimento, che, esprimendo tutte le
grandezze in unità del SI, sia:
x(t)= 3t2 + 6t - 2
Calcolare la velocità nell istante t=2 e l'accelerazione in quello stesso istante.
Svolgimento:
Sapendo che la velocità istantanea è dx/dt:
v=x'(t)= 6t + 6
Quindi, la velocità nell'istante t=2 è:
v(2)=x'(2)= 6.2 + 6 = 18
Ovviamente anche questo valore sarà in unità SI, ovvero in m/s. Mentre
l'accelerazione, essendo la derivata della velocità rispetto al tempo è
a(t)=x''(t) = 6
(in questo caso particolare, a è una costante, cioè non dipende da t. Però è bene
sottolineare che nel caso generale anche a dipende dal tempo)
Moto verticale
Accelerazione di gravità g=9.8 m/s2.
Applico le equazioni viste in precedenza considerando
quelle che sono le condizioni iniziali ossia
•
•
g
lascio l oggetto da una certa quota h con velocità v=0
Avrò:
a = cost = − g
t
⇒
v(t ) = v0 + a(t − t0 ) = − gt
1 2
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt = h + ∫ [− gt ]dt = h − gt
2
t0
Esempio
Esempio
Goccia di pioggia che cade da 3000 m. Con che velocità arriva al suolo??
a = cost = − g
⇒
v(t ) = v0 + a(t − t0 ) = − gt
t
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt = h + ∫ [− gt ]dt = h −
t0
1 2
x(t ) = h − 2 gt
v(t ) = − gt
1 2
gt
2
h=3000 m
da cui
t=24.73 s
v=242.61 m/s ossia 873 Km/h!!!!
Moto rettilineo smorzato
a=-kv
dv
= −kv
dt
dv
= −kdt
v
dv t
v
∫ v = ∫ − kdt ⇒ ln v = −kt
v0
t0
0
v
− kt
v = v0 e
v0
− kt
x
=
1
−
e
k
(
)
Moto periodico
Moto periodico: quando ad intervalli di tempo regolari la particella torna a passare nella
stessa posizione con la stessa velocità.
Se immaginiamo una pallina che cade verticalmente e rimbalza in modo
perfettamente elastico su un piano orizzontale, oppure una biglia che rimbalza fra le
sponde di un biliardo urtandole perpendicolarmente, così da muoversi avanti e
indietro lungo un segmento di retta, abbiamo due esempi (anche se solo ideali) di
moto periodico unidimensionale.
Si tratta di due moti diversi: qual è la legge oraria e come è fatto il grafico di x(t) nei
due casi?
Consideriamo un particolare tipo di moto periodico, che ha particolare
importanza anche perché alla sua descrizione si rifanno anche numerosi altri
fenomeni fisici, non limitati al solo campo della meccanica.
Il moto a cui ci riferiamo si chiama moto armonico.
Moto armonico
Si ha un moto armonico semplice lungo un asse rettilineo quando la sua legge
oraria è del tipo:
x( t ) = A cos (ωt + φ)
A - ampiezza.
ω - frequenza angolare o pulsazione, ed ha dimensione del reciproco di un tempo.
φ - argomento del coseno al tempo t=0; quindi cambiare la fase è equivalente a
ridefinire l'origine dei tempi.
cos (ω t + φ ) varia tra -1 e 1. L'ampiezza in cui si muove l'oggetto è 2A.
Se passa un tempo T=2π / ω, φ cambia proprio di 2π .
T - esprime la durata di un'oscillazione completa. Si chiama periodo del moto.
Esiste un'ultima quantità che viene indicata generalmente con f o con ν la quale è
uguale all'inverso di T.
Si chiama frequenza e descrive quanti angoli giri compie l'argomento del coseno
nell'unità di tempo.
Visto che un giro sono 2π radianti, è evidente che vale la relazione
f=1/T= ω / 2π
Questa relazione (con tutte le sue possibili inverse) può essere considerata come
definizione di frequenza e pulsazione (una volta definito il periodo, o di periodo e
frequenza (una volta definita la pulsazione) ecc.
Moto periodico: velocità ed accelerazione
Abbiamo ora gli elementi per analizzare velocità ed accelerazione dei moti
armonici. Se deriviamo la legge oraria in funzione del tempo otteniamo
v(t ) =
dx
= − Aω sin(ωt + ϕ )
dt
Controlliamo le dimensioni e verifichiamo che v è effettivamente una velocità:
[v]=[LT-1].
Deriviamo ancora ed otterremo l'accelerazione:
a(t ) =
dv
= − Aω 2 cos(ωt + ϕ )
dt
notiamo che in particolare
a(t ) = −ω 2 x(t )
L’ accelerazione è proporzionale allo spostamento dallo zero, secondo un fattore di
proporzionalità negativo: tipico dei moti armonici. Dalla costante di proporzionalità
è possibile dedurre T (ovvero f, ovvero ω)
Moto periodico: grafico di x, v ed a
T
x( t ) = A cos( ωt + ϕ )
v(t ) = − Aω sin(ωt + ϕ )
a(t ) = − Aω 2 cos(ωt + ϕ )
