risposta dinamica delle strutture

Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Costruzioni In Zona Sismica
Prof. Ing. Camillo Nuti
Università Degli studi Roma Tre
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
RISPOSTA DINAMICA DELLE STRUTTURE
1.1
L’Oscillatore semplice
Una struttura che la cui una massa può schematizzarsi come concentrata in un punto è detta
“oscillatore semplice”. Segue da tale schema che lo stato di deformazione strutturale è noto
quando è noto il moto della massa, unica fonte delle forze di inerzia che agiscono sulla
struttura. Esempi di oscillatore semplice sono mostrati in Figura 1.
Figura 1 esempi di strutture schematizzabili come un oscillatore semplice e schema
strutturale.
Con riferimento alla figura si osserva che le masse del ponte e del serbatoio sono
essenzialmente concentrate in sommità. Nel ponte si osserva che le travi tampone
2
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dell’impalcato sono ciascuna appoggiate da un lato su un carrello e dall’altro su una cerniera,
pertanto il ponte in senso longitudinale può essere schematizzato con tanti oscillatori
semplici (se si assume nullo l’attrito dei carrelli) costituiti ciascuno da una pila priva di massa
(massa trascurabile) e dalla massa in sommità, somma di quella della stampella e della trave
tampone collegata alla stampella con una cerniera.
Le due strutture indicate in Figura 1 possono quindi essere schematizzate come una massa
sopportata da strutture elastiche di sostegno prive di massa. Nella figura si è indicato lo
schema a portale con trave infinitamente rigida. La rigidezza alla traslazione orizzontale è K
(K/2 per ciascun piedritto).
E’ possibile scrivere l’equazione di equilibrio alla traslazione della massa. Detta :
x; x&; &x& lo spostamento relativo della massa rispetto alla base e le sue derivate prima e seconda
rispetto al tempo (velocità ed accelerazione relativa) ed &y& la accelerazione della base rispetto
ad un sistema fisso, cioè l’accelerazione del terreno, la forza di inerzia Fi è data dal prodotto
della massa m per l’accelerazione assoluta &x& + &y& :
Fi = m ⋅ ( &x& + &y&)
La forza elastica di richiamo nella posizione di quiete: x=0 vale
Fee = k ⋅ x
Vi è poi una forza dissipativa, di tipo quindi non conservativo, che è comodo ai fini degli
sviluppi per la soluzione elastica in forma chiusa mettere nella forma di dissipazione viscosa:
Fd = d ⋅ x&
Infine può agire sulla massa una generica forza F.
Per l’equilibrio della massa si deve avere che ad ogni istante:
Fi + Fd + Fe = F
sostituendo si ottiene:
m ⋅ ( &x& + &y&) + d ⋅ x& + k ⋅ x = F
(1
Naturalmente nella espressione la accelerazione del terreno &y& e la storia della forza
esterna F sono note, oltre ad essere note m, k, d, caratteristiche meccaniche della struttura,
pertanto si può portare a secondo membro i termini noti:
3
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m ⋅ &x& + d ⋅ x& + k ⋅ x = F − m ⋅ &y& ( 2
i termini m ⋅ &x&; m ⋅ &y& hanno le dimensioni di una forza ma non hanno significato fisico, la loro
somma è la forza di inerzia. Tuttavia è consuetudine chiamare il secondo “forza di
trascinamento” della struttura.
1.1.1 Soluzione dell’equazione di equilibrio
Risolvere l’equazione differenziale ( 2
vuol dire trovare la funzione x(t) che soddisfa
l’eguaglianza. La ( 2 è una equazione differenziale a coefficienti costanti. La soluzione si
trova come somma dell’integrale generale, che è la soluzione dell’equazione ( 2 con termine
noto nullo, che rappresenta l’equazione di equilibrio in assenza di moto del terreno e di forze
esterne ed è detta equazione omogenea associata, l’ integrale particolare che soddisfa il caso
con il termine noto assegnato, nel caso in questione F − m ⋅ &y& .
Si divida la ( 2 per la massa m, si ottiene l’equazione:
&x& +
(3
d
k
F
d ⋅ x& + ⋅ x = − &y&
m
m
m
si vede quindi che le tre grandezze m, d, k non intervengono nel l'equilibrio in maniera
indipendente tra loro, ma legate da un rapporto; si pone allora
k
d
d
(4
= ω 2 ; = 2νω ⇒ ν =
m
m
2ωm
ν è detto rapporto di smorzamento, (essendo il rapporto tra il coefficiente di smorzamento d
ed il prodotto 2ωm detto smorzamento critico) e vale per le strutture reali tra lo 0.5 ed il 5%,
quest’ultimo valore essendo quello tipico degli edifici.
Come si vedrà nel seguito, una struttura avente uno smorzamento pari al critico, e quindi
ν=1, caso che non si verifica per alcuna struttura dell'ingegneria civile, allontanata dalla sua
4
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posizione di equilibrio, vi ritorna asintoticamente senza compiere alcuna oscillazione.
1.1.1.1 SOLUZIONE PER IL CASO DI TERMINE NOTO UGUALE A ZERO
(oscillazioni libere)
&x& + 2νω ⋅ x& + ω 2 ⋅ x = 0
per ν = 0
(5
L'integrale generale, che rappresenta la soluzione del problema, essendo il
termine noto nullo, è del tipo:
x = A cos ωt + Bsinωt
(6
in cui le costanti A e B devono essere determinate ponendo le condizioni ai limiti, in questo
caso si ha per t =0 x = x0 ; x& = x&0 (condizioni iniziali) :
x0 = A cos(ω 0) + Bsin(ω 0) ⇒ x0 = A
x&0 = −ωAsin(ω 0) + ωB cos(ω 0); ⇒ x&0 = ωB cos(ω 0) ⇒ B =
x&0
ω
sostituendo i valori trovati nell'integrale generale si ha:
x = x0 cos ωt +
x&
ω
(7
sinωt
L’espressione della risposta mostra che la storia degli spostamenti di una struttura priva di
smorzamento è periodica, essendo somma di due funzioni periodiche che assumono lo stesso
valore dopo per valori dell’argomento ωt che differiscono di un multiplo di 2π. Pertanto
ragionando in termini di tempo la risposta assume gli stessi valori quando:
5
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ωt = 2π ⇒ t =
2π
ω
= 2π
m
=T
k
(8
Il valore T viene pertanto detto periodo proprio della struttura, ed è una grandezza che
dipende dalle caratteristiche meccaniche della stessa. Esso è il tempo che intercorre tra due
oscillazioni consecutive di massima ampiezza di una struttura nelle sue oscillazioni libere. Si
noti che esso aumenta con la massa e diminuisce con la rigidezza. I valori del periodo delle
strutture civili variano in genere tra qualche decimo di secondo ed al più qualche secondo.
Ad esempio per gli edifici a telaio vale la regola empirica: T=0.1N ove N è il numero dei
piani, col che si capisce che in Italia la gran parte degli edifici ha periodi compresi tra 0.1 e 1
secondo (1-10 piani). Vengono in genere dette “rigide” le strutture con periodo inferiore a
0.2-0.3 secondi, “medie” tra 0.3 e 0.6-0.7 secondi flessibili al di sopra di 0.8-1 secondo. I
terremoti in generale impegnano particolarmente gli edifici con periodo compreso tra 0.1 e
0.6-0.8 secondi, cioè proprio il campo di periodi propri dell’edilizia corrente italiana. Sono
meno sensibili i grattacieli, che hanno periodi spesso superiori ai 3 secondi ed i grandi ponti,
si pensi ad esempio che il Golden Gate Bridge di S Francisco ha il periodo proprio in senso
trasversale di 18.2 secondi ed in senso verticale di 10.2 secondi.
Per 0<ν <l, (le strutture reali hanno sempre ν >0, in genere ν non supera il 5-10%) la
soluzione è:
x = e −νωt [ A cos ω1t + B sin ω1t ] ;
x = e −νωt [ x0 cos ω1t +
x&
ω
sinω1t ] ;
(9
ω1 = ω 1 − ν 2
l'espressione tra parentesi è analoga a quella trovata per ν = 0 con la sola differenza la
frequenza ω è leggermente minore a causa dello smorzamento. Questa diminuzione della
frequenza è trascurabile per i valori di smorzamento tipici delle strutture civili: si tenga
6
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presente che se ν = 0.20 ω1=0.98ω.
Si hanno pertanto oscillazioni di frequenza e quindi di periodo pressoché uguali a quelli precedenti, ma di ampiezze decrescenti per effetto del termine esponenziale negativo che
contiene il rapporto di smorzamento ν.
Analogamente a quanto fatto in precedenza si determinano le costanti A e B imponendo le
condizioni iniziali e si ottiene l’espressione ( 10:
x = e −νωt [ x0 cos ω 1t +
; ω1 = ω 1 − ν
sinω1t ]
ω1
( 10
2
x = e −νωt [ x0 cos ωt +
7.521
x& 0 + νωx0
x& 0
ω
sinωt ] ;
( 11
10
5
x( t , 0)
x( t , 0.05 )
x( t , 0.20 )
0
x1( t , 0.20 )
5
− 7.52
10
0
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
2.1
2.4
2.7
3
3
t
Figura 2 Funzioni di risposta x(t,ν), per diversi valori dello smorzamento. La funzione
x(.) è valutata con l’espressione approssimata ( 11, la funzione x1(.) con l’espressione
esatta ( 10. I valori adottati sono m=25.35 t, k=1000 kN/m. Spostamento iniziale x0 =3
7
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m, velocità iniziale =40 m/sec. Si noti l’influenza di ν.
Il prodotto νωx0 è trascurabile rispetto a x& 0 , così come ω1 differisce poco da ω, pertanto dal
punto di vista pratico è possibile utilizzare l’espressione della risposta non smorzata
moltiplicata per il termine smorzante esponenziale, secondo l’espressione ( 11, come peraltro
dimostrato dalla Figura 2.
Da questa espressione sembrerebbe che una struttura più rigida (ωgrande) a parità di
smorzamento ν, smorzi le oscillazioni più rapidamente; ma in realtà questo non avviene
spesso poiché non è esattamente valido che la viscosità sia direttamente proporzionale alla
velocità, come è stato assunto nello scrivere la equazione del moto.
ν=1
(smorzamento critico) manca il termine oscillatorio e si ha:
x = e −νωt [ x0 (1 + ωt )]
( 12
è un caso che non presenta nessun interesse pratico.
Esaminiamo il caso avente condizioni iniziali : spostamento nullo e velocità assegnata.
x0 = 0 ⇒ x0 = A = 0
x& 0 = ωB cos(ω 0) ⇒ B =
x& 0
ω
La legge del moto diviene quindi:
x = e −νωt [
x = e −νωt [
x& 0
ω1
x& 0
ω
sinω1t ] ; ω1 = ω 1 − ν 2
sinωt ] ;
( 13
( 14
8
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7
7
5.25
3.5
1.75
x( t , 0.10 )
x1( t , 0.10 )
0
1.75
3.5
5.25
−7
7
0
0.25
0.5
0
0.75
1
1.25
1.5
t
1.75
2
2
Figura 3 Funzioni di risposta x(t,ν), nel caso di spostamento iniziale x0 =0, velocità
iniziale =40 m/sec.. La funzione x(.) è valutata con l’espressione approssimata ( 13 la
funzione x1(.) con l’espressione esatta ( 14. I valori adottati sono m=25.35 t, k=1000
kN/m.
Il problema fisico e lo studio di una vibrazione provocata da una forza del tipo F(t) applicata
per un tempo estremamente limitato. Si definisce impulso la seguente espressione:
I = lim
Δε → 0
t0 +ε
∫ F (t )dt ;
( 15
t0
9
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10
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del moto Riscrivendo l'equazione
m&x& + k ⋅ x = F (t )
( 16
si possono integrare vari membri da t0 t0+Δε calcolarne il limite per Δε che tende a 0:
lim
Δε → 0
t0 +ε
t0 +ε
t0 +ε
t0
t0
t0
∫ m&x&dt +
t0 +ε
lim
Δε → 0
lim
Δε → 0
∫
t0
m
∫ k ⋅ xdt =
dx&
dt +
dt
∫ F (t )dt
t0 +ε
t0 +ε
t0
t0
∫ k ⋅ xdt =
t0 +ε
t0 +ε
t0 +ε
t0
t0
t0
∫ F (t )dt
( 17
∫ mdx& + ∫ k ⋅ xdt = ∫ F (t )dt
S
S
11
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Ottenendo, per Il termine noto, l'espressione dl una forza impulsi va.
Il primo termine, In cui si è espressa 1’accelerazione come derivata della velocità rispetto al
tempo, rappresenta, dopo la semplificazione, l’integrale di un differenziale di una funzione,
quindi la funzione stessa. Il secondo termine invece si può risolvere solo esplicitando la
funzione x(t), ma essendo lo intervallo infinitesimo possiamo approssimarla con una
funzione lineare x(t)=at
Si ottiene allora:
m[ x& ]tt 00 + ε + k ⋅ a[
x 2 t0 +ε
]t = I
2 0
( 18
il primo termine è la differenza tra la velocità finale e quella iniziale moltiplicata per la
massa, ma essendo la velocità, la velocità iniziale è tuttavia nulla, pertanto essa rappresenta la
velocità che ha la massa su cui ha agito l'impulso, e quindi e la velocità del moto che ne
deriva. Il secondo termine al tendere dell’intervallo a zero, risulta essere un infinitesimo di
ordine superiore e quindi trascurabile; si ha quindi:
mx&0 = I ⇒ x&0 =
( 19
I
m
Sostituendo quindi la legge del moto derivante da una forza impulsiva assume la seguente
espressione:
x=
I 1 −νωt
e sinωt ;
mω
( 20
12
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chiamata "funzione di risposta a impulso e Indicata con il simbolo h(t).
Se l’impulso anziché all’istante t=0 agisce all’istante t=τ, allora lo spostamento x all’istante t
dovuto all’impulso dipende dal tempo intercorso Δt=t-τ, pertanto si ha
x(t ) =
I (τ ) 1 −νω ( t −τ )
e
sinω (t − τ ) ;
m ω
( 21
La generica storia di forze F(t), può essere pensata come successione di impulsi F(τ)dτ
6.718
10
1.232
1.5
1
5
0.5
F ( t)
F ( 1) ⋅ h( t , 1 , 0.05 )
0
F ( 2) ⋅ h( t , 2 , 0.05 )
0
F ( 3) ⋅ h( t , 3 , 0.05 )
− 1.617
5
0.5
0
0
1
2
3
4
t
5
6
1
6
− 1.053 1.5
0
0.9
1.8
2.7
0
Figura
4
Esempio
di
forza
1.5
1
tre impulsi per t=1,2,3 e loro
0.5
ff( t)
4.5
4.5
1.5
continua ed effetto all’istante 4.5 di
somma (in basso a destra)
3.6
t
0
0.5
1
− 1.5 1.5
0
0
0.9
1.8
2.7
t
3.6
4.5
4.5
La risposta al tempo t diviene quindi la sovrapposizione degli effetti di tutti gli impulsi che
precedono il tempo t, cioè:
13
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t
x(t ) = ∫
0
F (τ ) 1 −νω ( t −τ )
e
sinω (t − τ )dτ ;
m ω
( 22
Assumendo come F(τ) proprio il termine noto della equazione di equilibrio ( 2, e sostituendo
nella ( 22 si ottiene:
− ma(τ ) 1 −νω (t −τ )
e
sinω (t − τ )dτ
m ω
0
t
x(t ) = ∫
t
x(t ) = ∫ a (τ )
0
1
ω
e −νω ( t −τ ) sinω (t − τ )dτ
( 23
La espressione ( 23 è detta risposta ad un accelerogramma nel dominio del tempo o anche
“integrale di Duhamel”.
Volendo eseguire un calcolo approssimato, ma più efficiente dal punto di vista del tempo di
calcolo, si può osservare che è sufficiente tener conto degli impulsi che precedono l’istante t
di calcolo di un tempo multiplo del periodo di non oltre 10 volte, ad esempio per una
struttura con T=0.5, è sufficiente considerare un tempo precedente di non oltre 5 secondi.
1.1.2 Lo spettro di risposta
Osservando la espressione ( 23 si nota come, dato un accelerogramma, la risposta dipenda
esclusivamente dai due parametri, ν ed ω. Pertanto due strutture aventi gli stessi valori di ν
ed ω hanno la stessa storia della risposta, ed in particolare la stessa risposta massima. In
generale nelle costruzioni civili non si è interessati all’intera storia della risposta ma ai valori
massimi delle sollecitazioni e degli spostamenti. Una volta noto lo spostamento massimo
Xmax, la sollecitazione massima vale:
Fmax = k ⋅ X max
( 24
14
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E’ possibile così dimensionare la struttura se si vuole che resti in campo elastico. In
alternativa, noto Xmax, è possibile dimensionare la struttura perché sopporti lo spostamento
Xmax.
Dal punto di vista del progettista è pertanto molto utile dato un accelerogramma disporre di
un diagramma dove in ascisse sono riportati i periodi propri T ed in ordinata il valore di
Xmax. Si possono costruire curve per diversi valori del rapporto di smorzamento ν.
Si osserva che ricavata lo spostamento massimo, e la relativa forza, è possibile chiedersi
quale è la accelerazione che produrrebbe una uguale forza di inerzia:
Fmax = k ⋅ X max = m ⋅ Sa
( 25
Invertendo la ( 23 si ottiene:
Sa =
( 26
k
⋅ X max ⇒ Sa = ω 2 ⋅ X ma
m
Se tutta l’energia di deformazione si trasformasse in energia cinetica, cosa che avverrebbe in
assenza di smorzamento, si avrebbe:
E=
1
1
( 27
2
2
⋅ k ⋅ X max
⋅ = ⋅ m ⋅ Svmax
⇒ Svmax = ω ⋅ X max
2
2
Dalla ( 23 e ( 23 si ottiene il legame tra Sa ed Sv:
Sa = ω ⋅ Sv
( 28
15
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EC8 Amax=1 (m/sec^2)
2,50E-01
Xmax(m)
2,00E-01
smorz=0
1,50E-01
smorz=0.05
1,00E-01
smorz=0.10
5,00E-02
0,00E+00
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
T(sec)
V (m/sec)
Ec8 Amax=1 (m/sec^2)
8,00E-01
6,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
smorz=0
smorz=5%
smorz=10%
T (sec)
Sa (M/sec^2)
Ec8 Amax=1(m/sec^2)
8,00E+00
7,00E+00
6,00E+00
5,00E+00
4,00E+00
3,00E+00
2,00E+00
1,00E+00
0,00E+00
0,000
smorz=0
smorz=5%
smorz=10%
1,000
2,000
3,000
4,000
T(sec)
Figura 5 Spettri di risposta in spostamento, pseudovelocità e pseudoaccelerazione, per
diversi valore dello sporzamento. In basso spettro di risposta in scala trilogaritmica.
16
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Ec8 Amax=100 (cm/sec^2)
1,00E+04
V (m/sec)
1,00E+03
smorz=0
1,00E+02
smorz=5%
smorz=10%
1,00E+01
0,100
1,00E+00
1,000
10,000
T (sec)
Figura 6 spettro di risposta in velocità in scala logaritmica.
Sv ed Sa sono dette Pseudovelocità e Pseudoaccelerazione dell’oscillatore, non essendo
esattamente la velocità o l’accelerazione assoluta dello stesso. Si osserva in particolare che la
accelerazione assoluta deve tendere al valore della accelerazione del terreno per T che tende a
zero, cioè per strutture infinitamente rigide che traslano quindi con il terreno, inoltre la
velocità relativa deve tendere alla velocità del terreno quando la struttura è infinitamente
flissibile, quando cioè T tende all’infinito, poiché la massa in tal caso rimane ferma rispetto
al sistema fisso mentre il terreno si muove. Vi sono pertanto deifferenze tra pseudovelocità e
velocità
relativa della struttura in corrispondenza dedi periodi lunghi, mentre la
accelerazione assoluta differisce dalla pseudoaccelerazione in prossimità di T=0.
Si osserva infine che, come detto,nel caso di struttura molto flessibile, la massa tende a
rimanere ferma, pertanto lo spostamento relativo è pari a quello assoluto del tereno U0,
pertanto lo spettro di risposta in spostamento deve tendere a U per T che tende all’infinito.
17
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1.1.2.1 Spettri di risposta di accelerogrammi
(a)
Spettri di risposta su roccia
5
San Rocco5 NS
San Rocco5 EW
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
7 eventi sismici
(14 accelerogrammi)
Tarc4 NS
Tarc4 EW
4
M=5.5-6.0
Robic3 NS
Robic3 EW
3
Gebze2 NS
Gebze2 EW
Hercegnovi2 NS
Hercegnovi2 EW
Robic4 NS
Robic4 EW
San Rocco3 NS
San Rocco3 EW
Media
2
1
0
EC8 - Sott. A
0
1
Periodo, T (s)
2
3
Gebze1 NS
Gebze1 EW
5
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
M>6.0
10 eventi sismici
(20 accelerogrammi)
Hercegnovi1 NS
Hercegnovi1 EW
4
Ulcjni1 NS
Ulcjni1 EW
Bagn1 NS
Bagn1 EW
Sturno1 NS
Sturno1 EW
S.G. La Molara NS
S. G. la Molara EW
Tolm2 NS
Tolm2 EW
3
2
1
0
0
1
Periodo, T (s)
2
3
Hercegnovi5 NS
Hercegnovi5 EW
San Rocco4 NS
San Rocco4 EW
Robic1 NS
Robic1 EW
Media
EC8 - Sott. A
Figura 7 spettro di risposta per accelerogrammi reali a confronto con il loro spettro medio e
lo spettro normativo su roccia per terremoti intensi (Tipo 1)
18
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Gli spettri di risposta sopra illustrati si riferiscono ad accelerogrammi registrati su roccia
selezionati (vedi Rey et al. 2002) 1 dallo European Strong Motion Database, con particolare
riferimento a quelli relativi ai terremoti del Friuli, Montenegro e Izmit. Gli accelerogrammi
sono stati normalizzati dividento le ordinate per il picco di accelerazione, pertanto l’ordinata
dello spettro di risposta al periodo proprio T=0 vale 1.
Una operazione che spesso viene effettuata per ricavare spettri di progetto è quella di fare la
statistica di spettri di risposta rappresentativi, con qualche criterio, della situazione di
interesse. Una analogia di minimo è quella delle caratteristiche di intensità epicentrale, e di
situazione geologica e geotecnica del sito ove si vuol valutare lo spettro.
Nelle figure sono mostrati anche gli spettri ottenuti mediando quelli relativi ai diversi
accelerogrammi. Si ottengono così forme più regolari di quelle relative ai singoli
accelerogrammi. Si noti come a intensità epicentrale maggiori (in magnitudo), riportati nella
figura inferiore, corrispondano accelerogrammi con spettri di risposta con la zona di massima
amplificazione più estesa. Questa situazione è rilevabile in modo pressoché sistematico.
Pertanto è da attendersi che gli spettri su roccia relativi a zone di pericolosità sismica
inferiore, cioè quelle ove l’azione sismica attesa è minore, dovrebbero avere una estensione
della zona di massima amplificazione minore.
1.1.2.2 Spettri di risposta ricavati a partire dalle caratteristiche di sismicità
regionale
Dato l’ epicentro di un terremoto di nota intensità sono state messe a punto per via statistica
funzioni, dette leggi di attenuazione, che a partire dalle caratteristiche di intensità epicentrale,
danno, in base alla distanza del sito ove si vuole valutare lo spettro di risposta, il valore delle
ordinate spettrali medie. Con opportune operazioni di media si possono così calcolare, a
partire dalle caratteristiche di sismicità locale, spettri di risposta di sito, in genere su roccia,
sempre su terreno a superficie orizzontale, che tengono conto delle caratteristiche di sismicità
1
Rey J. , Faccioli E., Bommer J. (2002). Derivation of design soil coefficients (S) and response spectra shapes for eurocode 8 using the
European Strong Motion Database. Journal of Seismology, 547-555
19
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del territorio circostante.
A titolo di esempio si riportano i valori ricavati per alcune città Italiane [Nuti, Rasulo &
Vanzi, 2005] 2 .
0,90
N u t i R a su l o Va n z i
0,80
0,70
S e r v i z i o S i sm i c o
Catania
CATANIA
CATANIA
Messina
MESSINA
MESSINA
Napoli
NAPOLI
NAPOLI
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
Messina, Zona 1°, Catania e Napoli, Zona 2°, Confronto tra spettri di risposta T=475 anni
ottenuti a partire dalla recente classificazione INGV, ottenuti con la classificazione GNDT
2001 dal SSN, Rivalutati da Sabetta Pugliese da [Nuti, Rasulo& Vanzi 2005]
2
Nuti,C., Rasulo, A., Vanzi, I., (2005) “Proposta per la Valutazione della Classificazione Sismica del Territorio Italiano” Rapporto Tecnico
N1/2005 Dipartimento di Strutture Università degli Studi RomaTre.
20
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
0,45
NutiRas uloVanzi
0,40
0,35
Se rvizioSis m ico
RW Rom eo
Firenze
FIRENZE
FIRENZE
Genova
GENOVA
GENOVA
Palermo
PALERMO
PALERMO
Roma
ROMA
ROMA
Trieste
TRIESTE
TRIESTE
Venezia
VENEZIA
VENEZIA
Verona
VERONA
VERONA
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
Confronto tra spettri di risposta con periodo medio di ritorno 475 anni ottenuti a partire dalla
recente classificazione INGV, ottenuti con la classificazione GNDT 2001 dal SSN, Rivalutati
da Sabetta Pugliese, da [Nuti, Rasulo& Vanzi 2005]
La tecnica più diffusa per la valutazione statistica a partire dai dati di sismicità del territorio è
quella messa a punto da Cornell nel 1969. Per un approfondimento si rimanda a testi più
specializzati.
Le forme spettrali così ottenute dipendono oltre che dalle leggi di attenuazione dalla
definizione delle caratteristiche della sismicità regionale. Si noti ad esempio che gli spettri
ottenuti con la recente classificazione dell’INGV 2004, sono più bassi di quelli ottenuti a
partire dalla precedente classificazione del GNDT 2001.
Si noti come le forme spettrali così ottenute sono anch’esse piuttosto regolari, e presentano
21
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
una certa analogia con quelle ottenute con operazioni di media di spettri di accelerogrammi
naturali. La cosa è d’altronde da attendersi in quanto le leggi di attenuazione sono ricavate
per via statistica dalle registrazione degli accelerogrammi naturali.
Se invece degli spettri con periodo medio di ritorno 475 anni si valutano quelli con periodo
72 anni, corrispondenti a probabilità di superamento del 50% in 5° anni, si possono ottenere
forme spettrali quali quelle della figura seguente:
0,14
Bari
0,12
Bologna
Catania
0,10
Firenze
Genova
0,08
Messina
Milano
0,06
Napoli
Palermo
Roma
0,04
Torino
Trieste
0,02
Venezia
0,00
0,00
Verona
0,50
1,00
1,50
2,00
Spettri medi con periodo medio di ritorno 72 anni.
22
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
1.1.2.3 Spettri di risposta risposta di norma
Le normative nazionali ed internazionali definiscono in genere le forme spettrali in relazione
alle caratteristiche delle formazioni più superficiali del terreno. Ad esempio l’Eurocodice 8 fa
riferimento alle caratteristiche degli strati sino a 30 metri di profondità. Questa profondità
non ha un particolare valore scientifico, piuttosto rappresenta un valore sino al quale si
spingono i sondaggi che si effettuano per la valutazione delle caratteristiche geotecniche dei
terreni di fondazione quando si deve costruire un edificio. Il fondamento scientifico si basa
sulla valutazione che spesso a 30 metri di profondità gli strati di terreno divengono molto
compatti per cui non ha interesse pratico indagare le caratteristiche a profondità più grandi.
Qualora le caratteristiche del terreno siano di qualità scadente a profondità maggiori, è
pertanto opportuno fare studi specifici.
E’ tuttavia ormai riconosciuto che le forme spettrali attese in un sito specifico dipendono non
solo dalle caratteristiche degli strati superficiali, ma anche dalle caratteristiche alla sorgente
sismica e dai terreni attraversati. Pertanto si ritiene che sia quantomeno opportuno che le
forme spettrali vengano definite a livello regionale attraverso studi specifici che tengano
conto di tutti i possibili parametri, non ultimo la morfologia locale.
L’ Eurocodice 8 dà la seguente espressione per lo spettro elastico di progetto:
23
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
ξ: smorzamento spettrale
Spettro elastico dell’Eurocodice 8
24
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Settri elastici per terremoti intensi: Tipo I
25
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Valo ri dei parametri nell’EC8, terremoti intensi: Tipo I
Settri elastici per terremoti deboli: Tipo II
26
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Valo ri dei parametri nell’EC8, terremoti debolo: Tipo II
27
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
La proposta di annesso tecnico nazionale dell’EC8, di gennaio 2005, rporta i seguenti valori
dei parametri
Zona sismica
1-2
3, 4
Categoria
suolo
A
B
C-D-E
A
S
TB
TC
TD
1,00
1,15
1,30
1,00
0,10
0,15
0,20
0,05
0,40
0,60
0,80
0,35
4,50
5,00
6,00
1,50
B
1,20
0,10
0,45
1,50
C-D-E
1,35
0,15
0,60
2,00
Valori dei parametri dello spettro di risposta elastico della componente verticale di
accelerazione per lo SLU
Zona sismica
1-2
3, 4
Categoria
suolo
A
B
C-D-E
A
S
TB
TC
TD
1,00
1,15
1,30
1,00
0,10
0,15
0,20
0,05
0,40
0,60
0,80
0,35
4,50
5,00
6,00
1,50
B
1,20
0,10
0,45
1,50
C-D-E
1,35
0,15
0,60
2,00
Valori dei parametri dello spettro di risposta elastico delle componenti orizzontali di
accelerazione per lo SLD
Lo spettro di risposta relativo alla componente verticale è generalmente concentrato su
frequenze più elevate di quello per le componenti orizzontali.
L’Eurocodice 8 dà le seguenti espressioni:
28
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
I parametri sono dati nella seguente tabella:
Nell’annesso tecnico nazionale si danno i gli stessi valori.
29
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
1.1.2.4 Confronto tra spettri normativi ed alcune proposte in lettratura
Confronti EC8 / Annex Italiano / OPCM 3274/Pitilakis
Terremoti Tipo 1
Sottosuolo Tipo B
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Sottosuolo Tipo A
5
A - EC8
A - Annex Naz.
A - OPCM
A - Pitilakis
4
3
(a)
2
1
0
0
1
2
3
Periodo, T (s)
5
B - EC8
B - Annex Naz.
B - OPCM
B1,B2 - Pitilakis
4
3
(b)
2
1
0
4
0
1
C2,C3 - Pitilakis
2
(c)
1
0
0
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
C - EC8
C1,C2 - Annex Naz.
B,C,E - OPCM
3
1
2
Periodo, T (s)
3
4
D - EC8
C3,C4 - Annex Naz.
D - OPCM
D1,D2 - Pitilakis
4
3
2
(d)
1
0
0
1
Sottosuolo Tipo E
E - EC8
C6 - Annex Naz.
B,C,E - OPCM
E - Pitilakis
3
2
(e)
1
0
0
1
2
Periodo, T (s)
3
30
4
5
5
4
3
Sottosuolo Tipo D
Sottosuolo Tipo C
5
4
2
Periodo, T (s)
4
2
Periodo, T (s)
3
4
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Confronti EC8 / Annex Italiano / OPCM 3274/Pitilakis
Terremoti Tipo 2
Sottosuolo Tipo B
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Sottosuolo Tipo A
5
A - EC8
A - Annex Naz.
A - OPCM
A - Pitilakis
4
3
(a)
2
1
0
0
1
2
Periodo, T (s)
3
6
B - EC8
B - Annex Naz.
B - OPCM
B1,B2 - Pitilakis
5
4
3
(b)
2
1
0
4
0
1
C - EC8
C1,C2 - Annex Naz.
B,C,E - OPCM
C2,C3 - Pitilakis
2
(c)
1
0
0
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
5
3
1
2
Periodo, T (s)
3
4
D - EC8
C3,C4 - Annex Naz.
D - OPCM
D1,D2 - Pitilakis
4
3
2
(d)
1
0
0
1
Sottosuolo Tipo E
7
6
5
4
3
(e)
2
1
0
1
2
Periodo, T (s)
3
4
5
8
0
3
Sottosuolo Tipo D
Sottosuolo Tipo C
4
2
Periodo, T (s)
4
31
2
Periodo, T (s)
3
4
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
1.1.2.5 Testo della Ordinanza della Protezione Civile 3274 relativo alla
definizione della Azione Sismica
Si riporta il testo dell’allegato tecnico alla Ordinanza di Protezione Civile 3274. Si tratta di
una formulazione simile a quella dell’EC8 e relativi Annessi tecnici nazionali. Per questi
ultimi si veda anche il sito Web: www.coordinatore.it.
32
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
33
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
34
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35
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36
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
1.2
SOLUZIONE PER IL CASO IN CUI IL TERMINE NOTO E' UNA FORZA
COSINUSOIDALE
L'espressione d’’equilibrio della massa del sistema, in assenza di smorzamento, è la seguente:
m&x& + d ⋅ x& + k ⋅ x = F0 cos Ωt
&x& + 2νω ⋅ x& + ω 2 ⋅ x =
F0
cos Ωt
m
( 29
Ove Ω rappresenta la frequenza della eccitazione esterna. In questo caso la soluzione
dell’equazione differenziale è la somma dell 'integrale generale (uguale a quello trovato nel
caso di oscillazioni libere) e dell 'integrale particolare che varia nel tempo con la stessa
frequenza della eccitazione esterna indipendentemente dalla struttura:
x = e −νωt [ A cos ω1t + B sin ω1t ] + [ A1 cos Ωt + B sin Ωt1 ] ( 30
Nella espressione ( 23 il primo termine della addizione è l’integrale generale, esso
all’aumentare di t tende a zero, la legge del moto a regime, quindi, sarà rappresentata dal
integrale particolare:
x(t ) = [ A1 cos Ωt + B1 sin Ωt1 ]
( 31
Basterà allora calcolarsi I valori delle costanti A1 e B1. Si deriva quindi due volte l'integrale
particplare ricavando le espressioni di della velocità e accelerazioni relative in funzione delle
costanti A1 e B1 incognite. Queste espressioni, sostituite ai vi valori nella equazione
differenziale, ci permettono di calcolare lare i valori di A1 e B1 che la soddisfano.
37
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
A1 =
F0
ω 2 − Ω2
m (ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
B1 =
F0
2νωΩ
2
m (ω − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
( 32
Sostituendo queste espressioni nell'integrale particolare si ha la soluzione:
1
x(t ) =
F0
m
x(t ) =
F0
M (ν , ω , Ω) ⋅ cos(Ωt − φ )
m
(ω − Ω ) + 4ν 2ωΩ
2
cos(Ωt − φ )
( 33
1
M (ν ,ω , Ω) =
φ = artg (
2 2
(ω − Ω ) + 4ν ωΩ
2
2 2
2
=
A12 + B12
B1
2νωΩ
)= 2
A1
(ω − Ω 2 )
Ove la fonzione M(ν,ω,Ω) è detta funzione di trasferimento, φ è l’angolo di sfasamento
della risposta.
Si vede, quindi, che l'ampiezza della risposta e direttamente proporzionale all’'intensità
della eccitazione ma dipende anche, tramite la funzione di trasferimento dalla frequenza
dell 'eccitazione, da quella della struttura, dallo smorzamento.
Esplicitando la funzione M(.) si ha:
M (ν ,ω , Ω) =
β=
1
ω
1
2
(1 −
Ω
ω
2
) 2 + 4ν 2
2
Ω2
ω2
Ω2
ω2
M (ν ,ω , Ω) =
( 34
1
1
ω
(1 − β 2 ) 2 + 4ν 2 β 2
2
38
=
1
ω2
⋅ μ (ν , β )
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
μ (ν , β ) =
1
(1 − β 2 ) 2 + 4ν 2 β 2
sostituendo questa nuova funzione nell’espressione della risposta ( 33 si ottiene:
x(t ) =
F0 1
⋅
⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ ) =
m ω2
x(t ) =
F0 m
⋅ ⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ ) =
m k
( 35
F
x(t ) = 0 ⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ ) = xst ⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ )
k
10
10
7.5
μ ( 0.01 , β )
μ ( 0.05 , β )
μ ( 0.10 , β )
5
μ ( 0.20 , β )
2.5
0.124
0
0
0
0.5
1
1.5
2
β
2.5
3
3
Figura 7 Andamento del coefficiente di amplificazione μ(ν,β) per diversi valori dello
smorzamento ν.
Dalla terza delle ( 35 si può dare una interpretazione della risposta dinamica. Essa è data
39
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
essenzialmente dalla stessa espressione della risposta statica, rapporto tra forza e rigidezza k,
sfasata rispetto alla applicazione della forza di un tempo t=φ/Ω, ed amplificata di un fattore
pari a μ(ν,β) detto per questo "funzione di amplificazione dinamica".
La funzione di amplificazione dinamica dipende dallo smorzamento e dal rapporto tra la
frequenza eccitatrice e quella della struttura.
Se β=0 si ha il caso di forza statica (Ω=O) o di struttura infinitamente rigida (ω=∞). Il valore
di μ(ν,β=0) vale 1. Se β=∞, si ha il caso struttura molto flessibile con periodo proprio molto
lungo (ω=0) o di eccitazione ad alta frequenza (Ω=∞) (ω=∞). il valore di μ(ν,β=∞)=0. Se
β=1, si ha il (ω=Ω) cioè di frequenza propria uguale alla frequenza di eccitazione, il valore di
μ(ν,β=1)=1/(2ν), pertanto se lo smorzamento è piccolo il coefficiente di amplificazione
diviene molto grande. La situazione è detta di risonanza, ed al limite, dopo molte oscillazioni
la struttura può amplificare moltissimo l’effetto dell’azione.
1.2.1 Valutazione del transitorio
Se si vuole valutare il transitorio si deve risolvere l’equazione differenziale ( 23. L’integrale
particolare dell’equazione del moto è quello illustrato, si ricava d’altronde sostituendo il
secondo termine della soluzione generale, cioè la soluzione particolare nella equazione di
equilibrio, ricavando le espressioni di A e B sopra illustrate:
x = e−νωt [ A cosω1t + B sin ω1t ] + [ A1 cos Ωt + B1 sin Ωt1 ] ( 36
ω 2 − Ω2
F0
A1 =
m (ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
B1 =
F0
2νωΩ
2
m (ω − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
( 37
40
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Derivando la espressione ( 23 si ottiene l’espressione della velocità, si possono così imporre
le condizioni iniziali e da queste ricavare le espressini di A e di B in funzione di A1, B1 e
dello spostamento e velocità iniziali:
x0 = [ A cosω1 0 + B sin ω1 0] + [ A1 cos Ω0 + B1 sin Ω01 ]
( 38
x&0 = −νωe −νωt [ A cosω1t + B sin ω1t ] + e −νωt [− Aω1 sin ω1t + Bω1 cosω1t ] + [− A1Ω sin Ωt + BΩ sin Ωt1 ]
x0 = A + A1
( 39
x&0 = −νω[ A cosω1 0] + Bω1 cosω1 0 + B1Ω cos Ω1 0] = −νωA + Bω1 + B1Ω
A = x0 − A1
B=
x&0
ω1
+
B Ω x& νω
BΩ
νω
A+ 1 = 0 +
( x0 − A1 ) + 1
ω1
ω1 ω1 ω1
ω1
0.184
( 40
0.2
0.1
x( t)
x1( t)
0
x2( t)
0.1
− 0.108 0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
t
2.5
3
3
41
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
0.18
0.2
0.1
x( t)
x1( t)
0
x2( t)
0.1
− 0.129 0.2
0
0.5
0
Figura 8
1
1.5
2
2.5
3
t
3
Forzante cosinusoidale. In alto: risposta nel caso di periodo proprio
T=0.127sec, periodo della forzante Θ=2 sec, coeff. di smorzamento ν=0.05, ampiezza
della forzante F=100, massa 0.4 (la rigidezza è quindi pari a 1000).In basso: risposta nel
caso di periodo proprio T=0.28 sec e massa 2.0, gli altri parametri sono immutati.
x: risposta totale, x1: integrale generale, x2: risposta senza contributo del transitorio
Le espressioni ( 40 sono diverse da 0 anche nel caso in cui velocità e spostamento iniziale
sono nulli, pertanto il transitorio dà sempre luogo ad una alterazione della risposta, che tende
ad annullarsi con le oscillazioni. Ad esempio, in Figura 8 si nota che la risposta totale x(t), è
diversa inizialmente dalla sola risposta a regime x2(t), la differenza è data dal contributo del
transitorio x1(t).
Nella figura è ben evidente il fatto che l’applicazione della forzante già diversa da 0 dà luogo
ad un considerevole differenza nella fase iniziale tra forzante e risposta, differenza che tende
a ridursi dopo poche oscillazioni. L’effetto del transitorio è più modesto se viene applicata
una forzante del tipo Fsin(Ωt) che parte anch’essa dal valore nullo al tempo t=0.
Nel caso di forzante sinusoidale le costanti A1 e B1 divengono:
B1 =
ω 2 − Ω2
F0
m (ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
A1 = −
F0
2νωΩ
2
m (ω − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
42
( 41
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Sono pertanto uguali alle espressioni della forzante cosinusoidale ma sono scambiate ed una,
la A1 con segno invertito, mentre le A e B dell’integrale generale si ottengono imponendo
che la soluzione completa soddisfi le condizioni iniziali, hanno pertanto le medesime
espressioni ( 40, ove A1 e B1 hanno le espressioni appena trovate.
0.2
0.103
0.1
x( t)
x1( t)
0
x2( t)
0.1
− 0.102 0.2
0
0.5
1
0
1.5
2
2.5
3
t
3
Figura 9 Forzante sinusoidale: risposta nel caso di periodo proprio T=0.28sec, periodo
della forzante Θ=2 sec, coeff. di smorzamento ν=0.05, ampiezza della forzante F=100,
massa 2 (la rigidezza è quindi pari a 1000) (tranne la forzante è il secondo caso della
Figura 8)
x: risposta totale, x1: integrale generale, x2: risposta senza contributo del transitorio
1.2.2 Risposta al moto del terreno
Se il moto del terreno è del tipo A(t)=a0 sin ωt, l’equazione di equilibrio è la stessa ( 29 nella
quale a termine noto è il termine -m a0 sin ωt, anziché la forzante F sin ωt. La risposta è
quindi quella appena vista ove al termine F si sostituisce -m a0. Il rapporto tra la
accelerazione assoluta del sistema e la accelerazione alla base, è detto tramittanza del
sistema:
( &x&(t ) + a (t )) max
1 + (2νω / Ω) 2
=(
)1 / 2
2 2
2
a0
(1 − (ω / Ω) ) + 2ν (ω / Ω)
( 42
Questa espressione è la medesima che si ottiene nel caso di forzante sinusoidale tra forza
43
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
totale di risposta e forza agente:
(dω ⋅ x& + k ⋅ x) max
F0
La stessa relazione vale tra spostamento assoluto, somma di quello relativo e quello del
terreno, e spostamento del solo terreno. La trasmittanza ha pressoché lo stesso valore del
coefficiente di amplificazione, salvo per valori molto elevati dello smorzamento.
10
10
7.5
Tr ( 0.01 , Ω )
Tr ( 0.05 , Ω )
Tr ( 0.10 , Ω )
5
Tr ( 0.20 , Ω )
2.5
0.042
0
0
20
40
60
80
Ω
0
100
100
Figura 10. Andamento della trasmittanza in una struttura con frequenza propria w=10
per diversi valori del coefficiente di smorzamento
Si noti che la risposta diviene quindi:
x(t ) =
ma0
m
1
(ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
cos(Ωt − φ )
( 43
x(t ) = a0 M (ν , ω , Ω) ⋅ cos(Ωt − φ )
M (ν ,ω , Ω) =
φ = artg (
1
(ω − Ω ) + 4ν ωΩ
2
2 2
2
B1
2νωΩ
)= 2
A1
(ω − Ω 2 )
44
=
A12 + B12
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
La funzione M() è detta funzione di trasferimento, se si vuole la risposta in accelerazione la
funzione va derivata due volte rispetto al tempo, ottenendo quindi la funzione di
trasferimento in accelerazione relativa: Ω2M().
M (ν ,ω , Ω) =
β=
1
ω
1
2
(1 −
Ω
2
ω2
) + 4ν
2
2
Ω2
ω2
Ω2
ω2
( 44
M (ν ,ω , Ω) =
μ (ν , β ) =
1
1
ω 2 (1 − β 2 ) 2 + 4ν 2 β 2
1
(1 − β 2 ) 2 + 4ν 2 β 2
45
=
1
ω2
⋅ μ (ν , β )
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
1.3
Valutazione della Risposta in Forma Numerica.
1.3.1 Calcolo della risposta dinamica al passo: Metodo di integrazione al passo
dell’equazione del moto
In genere, disponendo di un calcolatore, è conveniente integrare numericamente l’equazione
di equilibrio dinamico:
m&x&(t ) + dx& (t ) + kx(t ) = −ma(t )
(1
piuttosto che non risolvere l’integrale di Duhamel o la soluzione relativa alla sovrapposizione
in frequenza. Si tratta di discretizzare il tempo in intervalli di dimensione costante Δt,
sufficientemente piccoli e scrivere l’equazione dinamica non in forma differenziale ma in
forma finita. La funzione spostamento e le sue derivate sono calcolate in corrispondenza dei
tempi ti, in cui è stato discretizzato il fenomeno.
I metodi numerici rappresentano l’unica soluzione per il calcolo della risposta se la struttura
entra in campo non lineare. Peraltro stime della risposta non lineare possono essere fatte con
metodi approssimati basati su approssimazioni lineari della risposta.
Si illustrano nel seguito due metodi di integrazione numerica: il primo delle differenze
centrali, nel quale l’incognita di spostamento all’istante i+1, è espressa in funzione dello
spostamento e delle sue derivate (velocità ed accelerazione) agli istanti precedenti: i ed i-1, è
detto per questo un metodo esplicito; il secondo, chiamato metodo di Newmark, esprime lo
spostamento all’istante i+1 in funzione degli spostamenti agli istanti i ed i-1, ma anche della
accelerazione all’istante i+1, lo stesso in cui viene calcolato lo spostamento, e che è
anch’esso una incognita. Il metodo, almeno in linea di principio, richiede di iterare a partire
da un valore di tentativo della accelerazione all’istante i+1, ed è per questo detto implicito.
46
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1.3.1.1 Metodi espliciti: le differenze centrali
La velocità all’istante i può essere espresse come rapporto incrementale tra quelle agli istanti
i+1 ed i-1:
x& i =
xi +1 − xi −1
2Δt
(2
L’accelerazione si può ottenere dal rapporto tra l’incremento della velocità tra i+1 ed i , ed i
ed i-1:
x& i+ =
&x&i =
xi +1 − xi − xi − xi −1
; x& i =
Δt
Δt
(3
xi +1 − 2 xi + xi −1
(Δt )2
(4
Sostituendo la (3 e la (2 nella equazione di equilibrio dinamico (1 si ottiene:
m
xi +1 − 2 xi + xi −1
(Δt )
2
+d
xi +1 − xi −1
+ kxi = − ma(t i )
2Δt
(5
Raccogliendo i termini con lo stesso indice e portando a destra dell’uguale i termini che
dipendono da i ed i-1 si ottiene:
⎡
⎡ m
⎡ m
d ⎤
d ⎤
2m ⎤
x
−
+
⎥ xi −1 − ⎢k −
⎥ xi +1 = −ma(t i ) − ⎢
⎢
2
2
2 Δt ⎦
2Δt ⎦
(Δt )2 ⎥⎦ i
⎣
⎣ (Δt )
⎣ (Δt )
(6
La (6 è una equazione ricorrente, all’istante i+1 sono note tutte le grandezze relative agli
istanti precedenti, pertanto è possibile ricavare lo spostamento x relativo ad i+1.
La (6 può essere vista come la classica Kx=F, in cui la F è il secondo membro.
Si noti inoltre come nella (6 compaia il termine Kxi, che rappresenta la forza elastica
47
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all’istante i. Qualora la struttura abbia comportamento non lineare l’espressione relativa alla
forza di richiamo è f(x), pertanto la (1 diviene :
m&x&(t ) + dx& (t ) + f ( x(t )) = −ma(t )
(7
e la (5 diviene:
⎡ m
⎡ m
⎡
2m ⎤
d ⎤
d ⎤
+
−
x
⎢
⎥ xi +1 = − ma(t i ) − ⎢
⎥ xi −1 − ⎢ f ( xi ) −
2
2
2 i⎥
Δ
Δ
2
2
t
t
(
)
(
)
(
)
Δ
Δ
Δ
t
t
t
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
(8
Si deve osservare come anche la forza di richiamo non lineare sia nota in quanto è proprio
quella relativa al passo precedente. Nessuna differenza, nemmeno di complessità di calcolo,
vi è in questo caso nel passaggio da una analisi lineare ad una non lineare.
Si deve infine osservare che per il calcolo del primo passo t=Δt=i+1, non è possibile definire
lo spostamento all’istante i-1 da inserire nella (6 o nella (8.
Se si specializzano la (2 e la (4 per t=0, ricavando velocità ed accelerazione al tempo t=0,
ricavando dalla (2 la xi+1, e sostituendola nella (4, e ricavando da questa xi-1, si ottiene:
2
xi −1 = xi − Δtx& i − (Δt ) &x&i /2
(9
È chiaro che le grandezze all’istante t=0 sono un dato del problema, in generale sono nulle.
Vi sono due requisiti essenziali cui i metodi di integrazione al passo devono soddisfare:
devono essere “stabili”, e devono assicurare la “convergenza” alla soluzione esatta. Il primo
requisito è dovuto alla caratteristica che alcuni sistemi di integrazione numerica hanno di
divergere indefinitamente se il passo di integrazione non è sufficientemente piccolo rispetto
al periodo proprio della struttura. Più precisamente se si calcola la risposta dell’oscillatore
semplice non smorzato nel caso di oscillazioni libere il cui risultato esatto è: Acos ωt, nel
caso del metodo delle differenze centrali la risposta può risultare non oscillatoria ed anzi
cresce indefinitamente se Δt>T/π. Il metodo dà comunque luogo a risposte sinusoidali ma
con periodi inferiori rispetto a quello reale, questa tipo di errore, detto di convergenza, si
riduce al diminuire del rapporto Δt/T come si vede in figura.
48
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0
(T'-T)/T
-0,05
0
0,1
0,2
0,3
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
dt/T
Metodo delle differenze centrali, scostamento tra periodo proprio calcolato ed effettivo per
oscillazioni libere non smorzate
In pratica nel caso sismico la necessità di rappresentare l’azione in modo accurato impone in
genere di scegliere un passo di integrazione non superiore a 0.02 secondi, mentre valori tipici
vanno da 0.005 a 0.01 secondi. Pertanto, nel caso di strutture civili, ad un grado di libertà,
nelle quali il periodo proprio è in genere superiore a 0.1 secondi, il rapporto Δt/T è inferiore
a 10, il metodo risulta pertanto stabile (Δt/T<1/π: condizione di stabilità) ed accurato (si veda
la figura). Se la struttura entra in campo plastico i due requisiti divengono più facili da
soddisfare, in quanto l’effetto globale è equivalente ad un allungamento del periodo.
In definitiva i passi da seguire nella programmazione del metodo delle differenze centrali
sono i seguenti:
passo iniziale: valutazione dell’accelerazione al tempo t=0 (eq.(1, eq.(9, (8:
&x&(t = 0) =
(−dx& (t = 0) − kx(t = 0) − ma(t = 0))
m
x −1 = x0 − Δtx& 0 − (Δt )
2
&x&0
2
(10
⎡ m
⎡ m
⎡
2m ⎤
d ⎤
d ⎤
x
+
−
⎢
⎥ x1 = −ma (t 0 ) − ⎢
⎥ x −1 − ⎢k −
2
2
2 Δt ⎦
2 Δt ⎦
(Δt )2 ⎥⎦ 0
⎣ (Δt )
⎣ (Δt )
⎣
A tutti i passi successivi (eq.(8):
49
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⎡ m
⎡ m
⎡
2m ⎤
d ⎤
d ⎤
x
+
−
⎢
⎥ xi +1 = −ma (t i ) − ⎢
⎥ xi −1 − ⎢k −
2
2
2Δt ⎦
2Δt ⎦
(Δt )2 ⎥⎦ i
⎣ (Δt )
⎣ (Δt )
⎣
(11
Se si devono calcolare le altre grandezze di passo si utilizzano la (2 e la (4:
x& i =
&x&i =
xi +1 − xi −1
2Δt
xi +1 − 2 xi + xi −1
(Δt )
(12
2
50
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1.3.1.2 Metodi impliciti: il metodo di Newmark
Si ipotizzi che si possa approssimare l’accelerazione di risposta (relativa) in ogni passo con
una accelerazione costante pari alla media delle accelerazioni di inizio (punto i) e fine passo
(punto i+1).
In tale ipotesi si possono ricavare le grandezze del moto lungo il passo ed a fine passo:
&x&i =
&x&i +1 + &x&i
2
&x&i +1 + &x&i
2
(14
Δt 2
(&x&i +1 + &x&i )
= xi + x& i Δt +
4
(15
x& i +1 = x& i + Δt
xi +1
(13
La (14 può essere scritta come
x& i +1 = x& i + [(1 − 0.5)Δt ]&x&i + (0.5Δt ) &x&i +1
[
(16
] [
]
xi +1 = xi + x& i Δt + (0.5 − 0.25)Δt 2 &x&i + 0.25Δt 2 &x&i +1
(17
Le espressioni (14a ed (14b possono essere generalizzate secondo le due espressioni seguenti
dovute a Newmark (1):
x& i +1 = x& i + [(1 − α )Δt ]&x&i + (αΔt ) &x&i +1
[
] [
(18
]
xi +1 = xi + x& i Δt + (0.5 − β )Δt 2 &x&i + βΔt 2 &x&i +1
(19
Se i valori di α e β sono rispettivamente 0.5 e 0.25 le due espressioni coincidono con le (16 e
(17. Si trova immediatamente che se i valori di α e β sono rispettivamente 0.5 e 1/6, le due
espressioni coincidono con la soluzione relativa al caso in cui l’integrazione nel passo si
esegua utilizzando una variazione lineare della accelerazione relativa tra inizio e fine passo
(secondo la ben nota regola dei trapezi).
La (19 può essere utilizzata per ricavare lo spostamento di fine passo. La (18 per ricavare la
velocità di fine passo. Si deve utilizzare un criterio iterativo assegnando inizialmente un
valore di tentativo alla accelerazione. Se a fine passo, sostituendo i valori trovati nella
51
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equazione di equilibrio dinamico (1 si ottiene un valore della accelerazione sufficientemente
prossimo a quello di tentativo, si può ritenere di aver raggiunto la convergenza, altrimenti si
deve iterare sino a convergenza.
1.3.1.3 Riferimenti bibliografici
Newmark,N.M., 1959, A Method of Computation for Structural Dynamics”, Journal of
Engineering Mechanics Division, ASCE 85
52
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1.3.2 Stima della risposta massima non lineare
E’ stato dimostrato che lo spostamento massimo di un oscillatore semplice elasto plastico
soggetto ad un accelerogramma, se il periodo proprio è elevato, è circa uguale a quello
dell’oscillatore indefinitamente elastico. Pertanto il taglio massimo nella struttura è pari al
taglio elastico diviso per la duttilità massima richiesta.
Se il periodo proprio è breve, la risposta in spostamento è tale da aver la stessa energia di
deformazione massima dell’oscillatore elastico indefinito. Detta Eel=1/2 Kxe2, detta Eep=1/2
Kxy2+1K (xu-xy)= K xuxy-1/2 Kxy2, uguagliando i due termini si ha:
xu=0.5(xe2/ xy+ xy)= 0.5(q2 xy+ xy)
esprimendo xu normalizzato rispetto ad xy si ha:
μ=xu/ xy = 0.5[(xe/ xy) 2+ 1)]= 0.5(q2 + 1)
53
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
q rappresenta il fattore di riduzione della forza: q=Fe/Fy
8.5
10
9
8
7
6
μ ( x)
5
4
3
2
1
1
0
1
1.5
2
1
2.5
3
x
3.5
4
4
duttilità richiesta se T con l’ipotesi di ugual Energia in funzione di x= xe/ xy=q
In genere se l’azione sismica è rappresentata dallo spettro di risposta elastico di progetto, ed
il periodo proprio si trova nella zona a velocità costante: T>Tc , si assume valida l’ipotesi di
ugul spostamento, al di sotto di tale periodo l’ipotesi di ugual energia è ragionevolmente
cautelativa.
Detto q il rapporto tra forza di inerzia massima Fe se la struttura rimane in campo elastico e la
resistenza della struttura Fy , qualora il periodo della struttura T* sia inferiore a Tc si può
utilizzare l’espressione :
*
d max
d e*,max ⎡
T ⎤
= * ⎢1 + ( q* − 1) C* ⎥ ≥ d e*,max
q ⎣
T ⎦
per il calcolo della riposta massima in spostamento, nella espressione data de,max è lo
spostamento nel caso di risposta elastica.
54
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d( q , 0.8⋅ Tc)
d( q , 0.7⋅ Tc)
d( q , 0.6⋅ Tc)
d( q , 0.4⋅ Tc)
q
55
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2 Coordinate Generalizzate
Si consideri il telaio a 2 piani della figura.
dimensioni pilastri:
base
b := 0.3
altezza
h := 0.3
Altezza di piano
h p := 3
Lunghezza trave
L := 6
Interasse telai
in := 5
Momento d'inerzia pilastri
Ip :=
1
12
56
b⋅ h
3
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DATI MECCANICI (si trascura la deformabilità assiale e per taglio, le travi sono infinitamente
rigide
Modulo elastico CLS
E := 30000000(kN /m2)
massa impalcato
mi := 0.7
(ton/m2)
Masse sulla trave di piano
mt := mi⋅ in
(ton /m)
mt = 3.5
Massa di piano
m := mt ⋅ L
m = 21
Rigidezza dei pilastri
kpp := 12
Rigidezza di piano
kp := n ⋅ kpp
E⋅ Ip
hp
(ton)
3
kpp = 9 × 10
3
4
kp = 1.8 × 10
57
(kN/m)
(kN/m)
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EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE
Il sistema di equazioni che governano il moto della struttura si possono ricavare utilizzando differenti
metodi :
1 ) Equilibrio alla d'Alambert (scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico)
2 ) Metodo energetico (Principio di Hamilton o della conservazione dell'energia totale del
sistema)
3 ) Elementi finiti
Mentre il metodo 3) è utilizzato ampiamente nei programmi di calcolo perchè si presta ad un elevato
grado di automatizzazione, i primi due metodi sono il frutto del tradizionale approccio alla dinamica
Lagrangiana.
Con riferimento al telaio dell'esempio viene ora descritto il metodo 1).
Nella figura accanto sono illustrate le sollecitazioni di taglio ad ogni piano (verso ed ampiezza). Il
telaio è soggetto ad uno spostamento alla base xg. Effettuando l'equilibrio alla traslazione delle masse
di piano possiamo scrivere il sistema di equazioni seguenti, ognuna delle quali mostra come la forza
d'inerzia (proporzionale all'accelerazione assoluta della massa) equilibri la reazione elastica
(proporzionale alla rigidezza di piano kp e dipendente dallo spostamento relativo di piano).
x1 + &&
xg ) − k p ( x2 − x1 ) + k p x1 = 0
⎧⎪m( &&
⎨
x2 + &&
xg ) + k p ( x2 − x1 ) = 0
⎪⎩m( &&
(1
58
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che si può riscrivere mettendo a fattor comune le incognite x1 e x2 ossia gli spostamento
relativii piano (vedi figura).
⎧⎪mx&& + 2k p x1 − k p x2 = − mx&&g
⎨
⎪⎩mx&&2 − k p x1 + k p x2 = −mx&&g
Volendo scrivere le precedenti in forma compatta si può utilizzare la notazione matriciale:
x1 ⎫ ⎡ −2k p
⎡ m 0 ⎤ ⎧ &&
⎬+ ⎢
⎢ 0 m ⎥ ⎨ &&
⎣
⎦ ⎩ x2 ⎭ ⎣ − k p
−k p ⎤ ⎧ x1 ⎫
⎡ m 0 ⎤ ⎧1⎫
xg
⎨ ⎬ = −⎢
⎥
⎥ ⎨ ⎬ &&
k p ⎦ ⎩ x2 ⎭
⎣ 0 m ⎦ ⎩1⎭
&& + DX
& + KX = −MI&&
MX
xg
nella quale M è la matrice delle masse, K è la matrice delle rigidezze, I è il vettore di
trascinamento ed X è il vettore incognito degli spostamenti di piano. Il termine a secondo
membro rappresenta il vettore delle forze equivalenti al sisma.
Nel caso dell'esempio le matrici delle masse e delle rigidezze assumono le espressioni:
⎡m 0 ⎤
M =⎢
⎥
⎣ 0 m⎦
⎡ 2k p
K =⎢
⎣−k p
−k p ⎤
k p ⎥⎦
⎡ 21 0 ⎤
M =⎢
⎥
⎣ 0 21⎦
⎡ 3.6 ⋅104
K =⎢
4
⎣ −1.8 ⋅10
matrice delle masse
−1.8 ⋅104 ⎤
⎥
1.8 ⋅104 ⎦
matrice delle rigidezze
Se si ipotizza di conoscere una soluzione del tipo X := φ⋅ y( t) , ove y(t) è uno scalare che viene
detto la coordinata generalizzata e serve a modulare il vettore φ, quest’ultimo dà la forma
della deformazione.
Ad esempio:
59
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⎡ 0.115⎤
⎥
⎣0.186 ⎦
φ1 = ⎢
Spostamenti del primo e secondo piano
Per il principio dei lavori virtuali il lavoro delle forze interne ed esterne fatto in uno
spostamento virtuale deve essere nullo perché vi sia equilibrio.
Sostituendo a X l’espressione dello spostamento X=φ y e le sue derivate temporali, assunto
proprio δX=φ δy quale spostamento virtuale, premoltiplicando i termini dell’equazione di
equilibrio si ottiene:
∂y ⋅ φ T Mφ &&
y + ∂y ⋅ φ T MI&&
xg + ∂y ⋅ φ T Dφ y& + ∂y ⋅ φ T Kφ y = 0
Dividendo per δy si ottiene:
φ T Mφ &&y + φ T MI&&
xg + φ T Dφ y& + φ T Kφ y = 0
Che può riscriversi come:
φ T Mφ &&y + φ T Dφ y& + φ T Kφ y = −φ T MI&&xg
Da cui:
φ T Mφ &&y + φ T Dφ y& + φ T Kφ y = −φ T MI&&xg
Ponendo:
60
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φ T Mφ = m
φ T Dφ = d
φ T Kφ = k
φ T MI = L
L’equazione di equilibrio si riscrive:
my&& + dy& + ky = − Lx&&g
m = massa generalizzata, d = smorzamento generalizzato, k = rigidezza generalizzata.
Dividendo per la massa generalizzata si ottiene:
&&
y + 2νω y& + ω 2 y = − p&&
xg
Ove p=L/m, è detto coefficiente di partecipazione.
L’equazione è quella di un oscillatore semplice soggetto ad una accelerazione amplificata p
volte rispetto a quella effettiva.
In alternativa si può vedere
61
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
2.1.1 Analisi Modale (Appunti a Parte)
62
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
2.1.2 Le analisi di spinta
Se si usa il metodo delle coordinate generalizzate, assumendo che il vettore spostamento sia
descritto da una deformata φ, un vettore che dà lo spostamento della struttura relativo a
ciascun grado di libertà, modulato da uno scalare y(t), l’equazione di equilibrio di una
struttura a più gradi di libertà:
&& + KX = −MI&&
MX
xg
(1
Può essere riscritto come:
MΦ&&
y + KΦy& = −MI&&
xg
(2
Che premoltiplicando per la trasposta della deformazione dà luogo alla equazione (principio
dei lavori virtuali):
& y& = −ΦT MI&&
ΦT MΦ&&
y + Φ T KΦ
xg
(3
Si può riscrivere la (3 nella forma consueta:
m&y& + ky = L&x&g
(4
Si supponga di aver normalizzato ad 1 la deformata in corrispondenza di un grado di libertà
di piano. Con tale assunzione il valore di y coincide con lo spostamento del grado di libertà
ove il vettore di forma vale 1.
Nella (3 il termine a secondo membro che moltiplica l’accelerazione del terreno può essere
visto come la massa m* di un oscillatore semplice equivalente alla struttura:
63
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φ T MI = m * = L
Dividendo per la massa generalizzata la (4 assume la usuale forma:
&y& + ω 2 y = p&x&g
(5
Dividendo per il coefficiente di partecipazione p si ottiene:
&y&
y
+ ω 2 = &x&g
p
p
(6
La (6 può essere vista come l’equazione di equilibrio di un oscillatore semplice la cui
risposta è data in termini di spostamento relativo: u=y/p.
u&& + ω 2 u = &x&g
(6
Se si assume che la massa dell’oscillatore semplice sia m*, occorre che la rigidezza non sia la
rigidezza generalizzata ma assuma il valore
k*=ω2 m*.
Sostituendo a m* l’espressione che viene dalle equazioni (3 e (4 si ottiene:
k * = ω 2 m* =
(7
φ ′Kφ
φ ′MI
φ ′MI = φ ′Kφ
=k⋅p
φ ′Mφ
φ ′Mφ
Il taglio alla base della struttura soggetta alle forze F=Kx =Kφy, è dato da:V= FT I. Se si
usano le forme modali vale la relazione:
F = Kφy = ω 2 Mφy
(8
Se si postmoltiplica a sinistra e a destra della virgola i termini della (8 per il vettore I di
trascinamento orizzontale si ottiene, come appena visto, il taglio alla base della struttura:
64
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V ( y ) = F ′I = φ ′KIy = ω 2φ ′MIy = ω 2 Ly = ω 2 m* y =
k *
m y = k ⋅ p⋅ y
m
(9
Pertanto la (4 si può riscrivere:
m&y& +
V ( y)
= L&x&g
p
(10
Sino a che il legame è lineare si ha che V è proporzionale a y,:
L
V ( y)
V ( y)
y
&y& +
= L&x&g ;
=V( ) ;
p
p
p
p
(11
L
y
&y& + V ( ) = L&x&g ;
p
p
(12
Se il legame è lineare tra V ed y vale la (12. Essa rappresenta esattamente la equazione di
equilibrio dinamico dell’oscillatore equivalente che si usa nelle analisi, mettendo la curva di
spinta con taglio alla base e spostamento del punto ove l’autovettore vale 1 quale forza di
richiamo e massa pari alla somma delle masse pesate.
65
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
3 Rappresentazione degli accelerogrammi in serie di fourier: lo
spettro di potenza
Dato un accelerogramma, ad esempio Tolmezzo NS del 1976:
Accelerogramma del Friuli
Questo accelerogramma registrato ad intervalli di 0.01 secondi per un totale di 3728 punti, ha
una durata di 37, 28 secondi. Può essere approssimato con una funzione del tipo serie di
Fourier:
66
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
n
n
0
1
f (t ) = ∑ An cos ω n t + Bn sin ω n t = A0 + ∑ An cos ω n t + Bn sin ω n t
essendo :
ωn =
2π
n
D
il primo termine della serie è nullo in una funzione a media nulla quale un accelerogramma.
Per esprimere l’accelerogramma in serie di fourier, occorre determinare il valore delle
costanti An e Bn. Esse vanno scelte in modo che minimizzino lo scarto tra la funzione da
approssimare a(t), l’accelerogramma, e la funzione approssimante f(t). Se il numero di
termini che si utilizzano è pari al numero di punti della funzione, lo scarto è evidentemente
nullo, si potrebbe infatti scrivere un sistema di n equazioni in n incognite, ma il beneficio che
si ottiene con la nuova formulazione è nullo.
Se il numero di termini che si considera è modesto, si può avere un beneficio reale, riducendo
al dimensione del problema da trattare.
In realtà, oggi non è tanto interessante questo aspetto, quante la comprensione di alcune
alcune caratteristiche del dell’accelerogramma che ci consentono di capire la fisica del
problema.
Le costanti An e Bn si ottengono cercando i valori che minimizzano lo scarto quadratico
medio tra la a(t) e la funzione approssimante f(t):
D
1
S = ∫ ( a (t ) − f (t )) 2 dt
D0
derivado S rispetto ad An eBn si ottengono le seguenti espressioni:
D
2
An = ∫ a (t ) cos ω n tdt
D0
D
Bn =
2
a (t ) sin ω n tdt
D ∫0
67
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
il pregio della formulazione è che si può inizialmente scegliere un numero limitato di
armoniche approssimanti, valutare graficamente la differenza con la funzione da
approssimare, e successivamente aggiungere un certo numero di termini sino a che il risultato
non sia soddisfacente. Lo scarto diminuisce all’aumentare del numero di termini della serie.
L’espressione di Fourier può ssere riscritta nella forma:
N
f (t ) = ∑ C n (cos ω n t − φ n )
0
Cn =
An + Bn
φ n = ar tan g
Bn
An
Poiché si dimostra che, se N=∞, detta W la potenza media dell’accelerogramma:
D
W =
1
1 N
2
2
(
)
a
t
dt
=
Cn
∑
∫
D0
2 1
un criterio per decidere come arrestare il calcolo di nuove armoniche è che la differenza tra la
valutazione esatta della potenza e quella approssimata considerando un numero limitato di
armoniche, sia modesta:
δ=
D
1
1 N
2
2
(
)
a
t
dt
−
Cn ≤ ε
∑
∫
D0
2 1
68
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
3.1
Esercizio
Dato il terremoto del Friuli 1976 (Tolmezzo N-S)
Cliccando su QBasic si avvia il Basic. Si esegue quindi il programma ACC.
Il file accorciato a 16.64 secondi si trova su FR76C.TXT.
Si esegua il calcolo senza A0 con sole 10 armoniche. La maggiore è 2Π10/D=
62.8/16.64=3.774
Sullo schermo appaiono l’accelerogramma di input, gli spettri dei Cn, funzione del periodo o
della frequenza, il massimo valore f della funzione approssimante ed il massimo valore dello
scarto quadratico medio tra funzione approssimante e da approssimare ( cioè
l’accelerogramma).
Si può quindi chiedere il calcolo della risposta all’accelerogramma. Viene prima calcolata la
funzione di trasferimento e quindi data la funzione di risposta.
69
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
Si riporta l’accelerogramma registrato a Tolmezzo (Friuli) nel 1976 in
direzione N-S
3728
1.030
0.746
-4.200
1.956
-2.057
-1.288
-14.914
9.692
-7.446
-3.385
16.835
-10.205
9.036
-24.444
16.524
-7.588
13.122
-7.488
-34.623
33.643
2.381
15.484
-28.684
7.693
-6.486
-19.232
32.235
-10.285
1.517
-15.110
-11.662
-3.850
52.468
7.956
12.321
-12.997
33.712
-16.983
19.921
25.247
-28.850
-25.745
-75.981
-56.571
-90.145
-112.785
66.002
69.324
115.654
18.892
-11.756
-79.201
327.202
-7.318
-167.418
-171.046
134.479
-28.979
-35.570
197.178
-84.703
-139.795
-58.654
-1.460
-31.081
-11.812
141.744
-141.979
0.01
0.242
-0.470
1.570
-3.093
3.275
-7.449
-4.067
-0.410
-4.173
-5.886
18.306
-6.252
1.656
-11.323
4.267
-6.880
25.450
-13.114
-26.801
33.379
2.615
10.354
-24.700
-8.452
16.586
-16.271
37.385
-10.196
1.075
5.896
-21.028
23.586
36.537
9.447
0.649
4.911
23.551
-25.309
38.601
27.587
-53.540
-17.516
-81.981
-65.164
-100.937
-103.972
101.114
51.187
108.825
18.151
-11.298
-26.897
284.853
-39.496
-185.474
-126.496
135.659
-31.415
1.236
230.309
-87.183
-121.091
-39.138
-6.641
-73.902
35.800
113.780
-153.161
0.694
-1.502
5.500
-7.597
9.037
-11.520
7.137
-8.458
0.945
-8.094
13.177
-3.566
-7.907
9.984
-4.304
-5.316
19.569
-14.012
-20.238
26.240
1.216
-3.243
-10.525
-20.981
16.162
-12.889
37.654
-5.922
2.177
9.479
-29.407
47.122
9.490
10.907
-9.303
18.065
5.663
-29.187
47.292
23.917
-61.623
-6.303
-75.387
-70.473
-99.959
-75.167
121.493
39.890
99.651
15.435
-14.284
29.415
219.231
-78.712
-198.709
-80.096
125.172
-51.728
35.138
256.519
-62.896
-116.125
-2.349
15.557
-100.272
88.337
88.167
-169.602
3.565
-3.579
8.715
-11.130
11.900
-14.012
18.596
-14.894
5.666
-14.333
7.741
-5.923
-20.746
34.131
-15.977
-4.050
10.164
-4.032
-20.662
21.035
3.411
-8.574
2.669
-22.691
13.770
-9.267
37.457
-3.955
5.926
19.169
-31.409
47.625
-16.238
10.270
-4.353
16.670
-3.674
-22.220
32.653
26.488
-52.552
-3.168
-65.537
-59.406
-102.932
-39.153
131.876
40.172
83.068
10.884
-26.414
96.002
180.607
-117.662
-218.224
-25.073
91.069
-61.176
60.900
248.027
-39.996
-116.749
13.899
47.321
-109.410
117.774
39.292
-169.281
6.524
-5.915
10.109
-12.400
11.359
-17.919
23.726
-15.228
9.853
-17.551
3.702
-9.042
-29.110
44.684
-20.198
-5.700
-2.084
2.159
-10.311
15.853
12.389
-6.752
25.935
-14.870
7.817
0.204
31.756
-0.579
4.907
38.839
-33.429
28.320
-26.227
22.897
-0.757
13.821
-12.426
-17.469
27.065
33.026
-33.889
-9.614
-61.311
-44.667
-107.037
-22.019
134.961
42.913
61.953
4.653
-39.834
188.305
157.938
-143.519
-249.891
33.397
31.672
-66.416
90.781
218.094
-48.888
-117.086
9.223
60.594
-105.690
133.282
-30.710
-164.690
70
8.010
-7.641
9.087
-12.434
9.094
-21.512
22.734
-11.878
12.057
-8.021
-1.142
-9.814
-25.322
40.992
-15.913
-7.657
-19.398
-4.796
6.171
8.788
26.478
-13.007
52.653
-18.084
-11.997
15.200
20.122
-2.589
-2.608
33.837
-37.394
19.614
-10.483
31.555
-8.296
12.772
-15.624
-18.149
34.461
29.342
-10.199
-22.274
-60.733
-49.367
-107.930
-7.475
115.187
56.004
46.849
-5.002
-56.093
272.754
120.535
-154.440
-271.794
69.700
-15.172
-76.329
119.302
158.424
-71.780
-114.642
5.590
61.090
-90.759
144.016
-73.801
-179.816
6.942
-9.198
8.304
-10.938
5.900
-23.808
23.027
-10.072
8.780
5.170
-5.117
-3.580
-22.783
38.523
-13.580
-10.471
-23.693
-17.110
13.831
1.659
30.348
-18.665
52.851
-36.712
-26.636
23.309
10.557
-9.057
-19.491
7.622
-36.243
33.306
13.911
21.204
-16.796
11.311
-10.225
-6.469
28.741
14.152
-1.791
-37.927
-57.211
-62.878
-113.809
16.143
88.189
85.658
36.143
-11.033
-83.682
311.470
72.844
-153.364
-258.594
86.748
-36.666
-72.480
146.133
52.415
-101.606
-89.945
7.851
51.634
-64.246
150.367
-98.453
-205.140
3.628
-8.822
6.543
-6.852
2.958
-22.719
19.992
-9.034
2.090
12.051
-8.831
7.112
-26.936
32.400
-11.055
-5.746
-12.745
-29.267
22.615
-0.346
20.839
-21.996
29.671
-36.930
-24.559
25.766
-0.036
-5.477
-30.711
-7.080
-24.691
50.255
17.059
13.649
-19.743
21.794
-10.178
9.141
20.775
-4.661
-16.050
-57.761
-53.898
-73.808
-116.545
37.407
77.751
111.202
25.003
-11.414
-101.188
325.965
28.269
-153.573
-217.361
112.313
-39.938
-57.848
172.977
-43.557
-136.068
-64.354
8.371
18.284
-38.512
154.964
-127.017
-220.481
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
-206.629
174.407
82.161
16.103
-64.624
76.894
-69.375
-192.698
-36.952
103.002
164.892
-23.568
37.208
-128.112
-73.202
-61.781
98.357
57.884
68.733
-35.553
-63.388
-87.706
48.786
70.633
68.833
-47.026
-56.353
-12.508
108.110
14.784
-70.195
-45.681
-37.506
-22.178
38.626
52.323
-14.981
28.824
9.619
-2.635
-14.358
-2.366
3.405
-42.714
1.811
-0.849
27.971
2.057
8.059
15.624
34.747
-2.307
-37.475
-24.815
-8.719
21.935
23.356
2.501
-39.698
-13.428
-8.509
-3.292
-4.042
-8.445
14.241
9.151
16.158
7.901
16.258
-2.825
1.356
-3.858
-168.373
171.862
-26.230
14.881
-50.202
93.714
-63.570
-189.265
-22.785
117.865
141.695
-20.968
64.398
-148.863
-50.010
-39.249
84.527
47.980
68.965
-46.500
-84.779
-23.338
43.597
64.283
55.075
-56.243
-60.571
13.872
102.014
4.174
-66.056
-42.705
-34.814
-18.962
36.810
51.470
-3.680
22.387
10.467
-7.571
-11.431
-1.476
-4.553
-41.893
13.278
-14.726
22.574
12.467
0.598
27.359
28.703
-9.543
-35.696
-17.635
-7.064
28.032
17.087
-4.145
-39.663
-12.614
-5.141
-8.804
-2.594
-4.770
17.243
11.539
16.823
7.575
11.585
-5.491
-0.135
-6.800
-120.294
177.612
-57.095
20.445
-17.752
92.082
-72.129
-167.604
-1.140
124.246
108.386
-18.578
73.704
-163.340
-43.637
-2.217
72.955
45.986
59.851
-47.095
-121.369
20.484
52.716
58.347
36.466
-54.566
-61.913
32.284
89.897
-2.950
-63.224
-43.446
-33.509
-13.744
31.012
44.354
5.750
16.686
8.839
-11.734
-8.842
-0.717
-12.910
-38.686
24.915
-23.037
13.818
24.301
-7.212
37.319
26.874
-20.084
-35.861
-10.558
-3.693
33.360
11.134
-10.852
-34.337
-11.782
-1.507
-11.964
-2.605
-1.464
18.719
13.903
17.077
7.207
7.602
-8.085
-2.179
-8.855
-47.679
212.639
-43.857
22.950
19.380
63.623
-94.143
-142.128
16.277
140.592
53.244
-16.507
49.877
-172.804
-53.347
37.743
60.655
53.630
43.770
-41.343
-157.267
37.821
65.150
55.963
19.536
-50.140
-61.326
46.783
74.697
-10.705
-62.577
-48.541
-35.586
-5.492
26.285
28.932
17.326
13.299
7.043
-14.575
-6.499
2.527
-21.867
-35.785
34.065
-10.617
1.877
31.817
-11.666
44.695
25.797
-29.675
-38.473
-6.370
-0.251
37.321
7.074
-18.275
-26.557
-11.435
2.457
-12.248
-3.866
-0.612
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18.010
-0.675
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-26.653
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
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8.300
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10.213
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
14.070
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3.169
0.587
-6.263
11.865
-1.154
5.666
6.676
9.743
0.284
9.083
8.487
-11.014
-16.041
3.968
0.433
-9.155
-5.552
0.965
7.531
0.278
-5.893
-1.217
5.850
14.143
-3.486
0.607
3.391
-15.144
5.775
6.551
-7.095
-0.997
1.077
0.307
2.390
6.373
-0.630
-8.083
4.036
-0.063
4.147
2.016
-3.304
-1.166
-4.797
-3.843
-5.302
-7.261
-2.650
-0.476
5.864
-5.339
1.674
5.873
-2.253
7.190
3.515
-0.795
-1.306
3.590
17.214
0.353
-5.607
-0.333
-7.919
6.867
9.562
-11.609
-8.583
0.875
-1.757
-9.082
2.982
0.804
-6.780
10.059
3.110
4.575
6.674
11.426
1.596
8.524
8.351
-12.610
-15.923
4.298
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2.564
8.720
1.196
-8.496
-2.674
7.715
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-1.084
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3.791
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-2.342
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-6.552
2.727
4.599
-1.509
5.831
3.084
-0.053
-0.774
2.870
15.203
0.330
-6.042
-2.186
-5.914
8.553
7.240
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2.311
0.955
-6.753
5.845
5.702
5.003
5.359
11.666
3.026
8.422
6.742
-13.542
-14.312
3.967
-1.697
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7.809
3.118
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-5.136
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10.918
4.297
-11.079
-11.279
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-0.633
-7.131
2.390
1.390
-6.596
1.322
6.288
5.547
4.355
9.300
4.897
7.930
4.808
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-11.912
2.814
-3.352
-11.532
-3.222
5.483
6.341
3.769
-9.787
-6.445
9.902
8.583
-7.563
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-2.565
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0.913
-1.350
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5.587
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1.580
-1.243
2.031
-0.113
5.079
6.330
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-6.985
-6.042
4.957
-8.502
-1.995
-1.267
-3.456
5.662
-6.351
4.805
2.181
2.201
4.371
1.930
-0.458
2.514
-0.625
73
8.027
0.203
-2.633
-5.363
-0.372
12.066
1.455
-8.281
-11.647
-4.550
-0.076
-4.340
2.711
1.002
-4.659
-2.753
6.763
5.696
4.230
6.265
6.844
7.146
1.757
-14.770
-8.906
1.562
-4.373
-10.558
-3.143
5.107
5.485
3.388
-7.770
-5.994
10.828
6.072
-6.451
-1.353
-6.317
-2.003
4.221
-2.715
0.968
-2.565
4.331
-3.329
7.067
5.451
1.477
2.324
0.285
-0.757
3.598
5.807
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-8.090
-6.762
5.054
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3.198
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-0.520
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2.175
11.811
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4.015
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4.164
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1.702
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7.204
-0.090
7.366
2.366
0.596
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4.003
-4.037
2.163
-0.254
1.080
-7.094
2.803
11.621
-3.382
-5.222
-6.840
-4.526
-3.957
0.325
1.015
-1.665
4.277
-6.401
8.665
6.810
5.511
1.783
8.076
7.749
-5.533
-14.766
-1.048
0.766
-6.324
-7.917
-3.406
6.310
1.507
-0.789
-1.769
-0.453
13.022
1.513
-2.754
1.395
-12.838
3.001
4.975
-9.123
1.366
-3.541
3.026
-0.941
7.312
2.642
-3.282
5.115
-1.284
0.512
1.082
1.122
-1.612
-7.110
-7.631
0.470
-7.256
1.144
2.801
1.667
-1.450
-0.562
7.853
-0.495
8.230
2.480
0.220
-0.810
4.472
-5.164
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
-5.435
4.316
3.756
1.084
3.417
-3.948
-6.585
-5.163
-4.425
-3.687
-2.605
-0.914
-3.358
7.213
1.777
-1.690
6.893
2.616
4.719
-5.904
-2.634
-1.611
8.404
-1.934
-4.779
-2.805
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5.267
0.824
3.856
0.763
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7.444
2.178
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-4.560
0.459
2.513
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0.644
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1.062
1.670
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1.808
-0.960
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3.731
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2.720
1.698
1.835
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-1.903
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7.813
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-3.001
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4.639
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0.661
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2.876
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2.755
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0.100
-0.085
2.188
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0.060
0.041
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-1.072
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4.153
-2.138
1.789
-0.873
-0.001
8.094
4.218
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3.474
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-2.419
3.934
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-2.449
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7.752
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1.375
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1.759
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-1.144
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1.794
-3.224
-2.982
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
-4.895
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Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2005 2006
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