serie di renard

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SERIE DI RENARD
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
In this paper we show a possible connection between Renard’s series and
Fibonacci’ series with ratio 1,05 and 1,618.
Besides in the observations there are links in the Renard numbers with
some of the most famous numbers in the Theory of Numbers.
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Indice:
1. SERIE DI RENARD............................................................................................................................................................ 3
2. OSSERVAZIONI ............................................................................................................................................................... 10
3. RIFERIMENTI .................................................................................................................................................................. 15
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1. SERIE DI RENARD
Leggendo la nuova Garzantina di matematica, alla voce “numeri”, ci siamo imbattuti
nei “Numeri di Renard”, usati in meccanica applicata, ma mai sentiti prima. Incuriositi,
abbiamo sospettato una possibile vicinanza tra alcuni di essi e i numeri di Fibonacci (o
ad essi molto vicini) , nella parte bassa (circa i terzultimi o i penultimi) delle relative
tabelle.
Iniziamo col riportare parzialmente la relativa voce di Wikipedia, in particolare la
tabella, che conferma il nostro sospetto:
Serie di Renard
Renard Jules Poil de carotte. CD Audio ISBN:9788853606518 (LaFeltrinelli.it)
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Una serie di Rénard di ordine k è una successione numerica di k elementi, iniziante con
il numero 1 e in cui il (k+1)-esimo elemento è il numero 10; nella successione l'n-esimo
termine differisce dal precedente (n-1)esimo per un fattore pari alla radice k-sima di 10.
In termini matematici:
Dove R(i,k) sta per i-esimo termine della serie di Rénard di ordine k. Ad esempio, la
serie di Rénard R10 (k=10) è costituita dai seguenti elementi :
R(0,10) vale quindi 1.00, R(1,10) vale 1.25 e così via.
Questa serie è stata adottata come standard ISO 3 nel 1952.
....
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Le serie R
serie R5 serie R10 serie R20 serie R40
10
10,6
10
10
11,2
10
11,2
11,8
12,5
12,5
12,5
14
13,2
14
15
16
17
16
16
18
16
18
19
20
20
20
22,4
21,2
22,4
25
25
31,5
25
23,6
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28
26,5
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35,5
30
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37,5
40
42,5
40
40
45
40
45
47,5
50
50
50
56
53
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71
71
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...”
Ora riportiamo la stessa tabella con le evidenze , in rosso, sulla nostra sospetta
connessione con i numeri di Fibonacci ( a partire dal 13) o con numeri ad essi
vicinissimi, come circa la media di due numeri di Renard consecutivi:
Le serie R
serie R5 serie R10 serie R20 serie R40
10
10,6
10
10
11,2
10
11,2
11,8
12,5
12,5
12,5
14
13,2
14
16
16
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25
25
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25
28
30
31,5
31,5
31,5
35,5
33,5
35,5
37,5
40
42,5
40
40
45
40
45
47,5
50
50
50
56
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56
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85
90
100
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Come possiamo notare, le parti intere di 13,2 e 21,2 sono numeri di Fibonacci.
La media aritmetica di 33,5 e 35,5 è 34,5, , con 34 numero di Fibonacci successivo a 21
La media aritmetica di 53 e 56 è 54,5 ≈ 55 numero di Fibonacci successivo a 34
90 ≈ 89 numero di Fibonacci successivo a 55
Abbiamo quindi la serie iniziale parziale della serie di Fibonacci 13, 21, 34, 55, 89
(mancano chiaramente i piccoli numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8)
Notiamo che tali numeri o loro medie si trovano sempre al terzultimo o al penultimo
posto della relativa sottotabella.
Conclusioni
Possiamo concludere che il nostro sospetto si è mostrato esatto, e possiamo
parzialmente spiegare che tale relazione è possibile poichè si tratta in entrambi i casi di
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serie geometriche; mentre nella serie di Fibonacci la ratio tende al numero aureo
1,618, nella serie di Renard la ratio è molto più piccola, mediamente nell’ordine di
1,05, e anche molto vicina alla radice cubica di 1,618 = 1,06, ma anche alla media
1,045 tra 1,06 e 1,03 , quarta radice di 1,618, e questo spiega il maggior numero di
termini nella serie di Renard, circa sette tra un numero di Fibonacci il successivo.
Proponiamo ad altri matematici eventualmente interessati l’approfondimento teorico e/o
pratico di tale ormai evidente relazione tra serie di Renard e serie di Fibonacci.
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2. OSSERVAZIONI
La serie principale R5 consiste dei seguenti 5 numeri arrotondati:
R5: 1.00
1.60
2.50
4.00
6.30
Esaminiamo in dettaglio questi numeri.
Il numero 100,2 ≈ 1,6 è un’approssimazione della famosa sezione aurea o rapporto
aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti
figurative e della matematica, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali
la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.
Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della
formula:
Il numero 100,4 ≈ 2,5 compare nella magnitudine apparente (m) di un corpo celeste è
una misura della sua luminosità rilevabile da un punto di osservazione, di solito la
Terra. Il valore della magnitudine è corretto in modo da ottenere la luminosità che
l'oggetto avrebbe se la Terra fosse priva di atmosfera. Maggiore è la luminosità
dell'oggetto celeste minore è la sua magnitudine. La magnitudine apparente di un
oggetto non è una misura della sua luminosità intrinseca: quanto un oggetto appaia
luminoso dalla Terra dipende infatti, oltre che dalla sua luminosità assoluta, anche dalla
sua distanza. Un oggetto molto distante può apparire molto debole, anche se la sua
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luminosità intrinseca è elevata. Una misura della luminosità intrinseca dell'oggetto è la
sua magnitudine assoluta (M), che equivale alla magnitudine che l'oggetto avrebbe se si
trovasse alla distanza di 10 parsec dalla Terra (~32,6 anni luce). Per i pianeti e gli altri
corpi del sistema solare la magnitudine assoluta equivale alla magnitudine apparente
che il corpo avrebbe se si trovasse alla distanza di 1 UA sia dal Sole che dalla Terra. La
magnitudine assoluta del Sole è 4,83 nella banda V (giallo) e 5,48 nella banda B (blu).
Poiché
come:
, la magnitudine apparente m nella banda x può essere definita
,
è il flusso osservabile nella banda x e
e
sono rispettivamente la
dove
magnitudine e il flusso di un oggetto di riferimento, ad esempio la stella Vega.
L'incremento di una magnitudine corrisponde a una diminuzione di un fattore di
. Per le proprietà dei una differenza di magnitudini di
può
essere convertita in una differenza di flusso mediante la seguente formula:
.
Se ad esempio dovessimo calcolare il rapporto fra la luminosità del Sole e quello della
Luna piena. La magnitudine apparente media del Sole è -26,74, quella della Luna piena
mediamente è -12,74.
Differenza di magnitudine:
Rapporto fra le luminosità:
Visto dalla Terra il Sole appare 400 000 volte più luminoso della Luna piena , ma il
nostro Astro è quasi 400 volte più lontano dal nostro pianeta rispetto alla distanza media
della Luna la quale ovviamente riflette , in piccola parte , la luce ricevente .
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Il numero 100,6 ≈ 4 è un numero potente in quanto è un intero positivo m tale che, per
ogni numero primo p che divide m, anche p2 divide m. Equivalentemente, un numero
potente è il prodotto di un quadrato per un cubo, ovvero può essere scomposto nella
forma m = a2b3, dove a e b sono interi positivi (eventualmente uguali a 1).
Nel nostro caso:
4=22 * 13
Inoltre à l’unico numero che permette di sommare e moltiplicare per uno stesso numero
e ottenere 4:
2+2 = 2*2 =4
Il numero 100,8 ≈ 6,3 è un’approssimazione di 2 volte il Pi greco che è una costante
matematica indicata con π (si scrive pi dove le lettere greche non sono disponibili),
utilizzata in matematica e fisica.
Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la misura della lunghezza
della circonferenza e la misura della lunghezza del diametro di un cerchio, o anche
come l'area di un cerchio di raggio 1.
π è un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due interi,
come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero
trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da
Ferdinand von Lindemann nel 1882. Ciò significa che non ci sono polinomi con
coefficienti razionali di cui π è radice, quindi è impossibile esprimere π usando un
numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
Il valore di 2π è dato da:
2π = 6,283185307179586476925286766559
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e quindi si avvicina moltissimo a 6,3.
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I numeri della serie R5 derivano dai numeri matematici più famosi e le relazioni non
sono sicuramente casuali ma sono intrinseche alle proprietà dei numeri.
Naturalmente anche i numeri della serie R10, R20, R40 e R80 dipendono sempre
dagli stessi numeri di prima in quanto proporzionali a R5.
Notiamo, inoltre, che π e Φ = 1,61803398… sono connessi attraverso le relazioni di
Ramanujan.
È ben conosciuto che la serie dei numeri di Fibonacci esibisce un carattere “frattale”,
dove le forme ripetono la loro similarità partendo dal fattore di riduzione 1 / φ =
5 −1
(Peitgen et al. 1986). Un tale fattore compare anche nella famosa
2
0,618033 =
identità “frattale” di Ramanujan (Hardy 1927):
0,618033 = 1 / φ =
5 −1
= R(q) +
2
5
 1 q f 5 (−t ) dt 
3+ 5

1+
exp
1/ 5
4/5 
∫
2
 5 0 f ( −t ) t 




3 
5
,
R(q) +
π = 2Φ −
5
q
20 


3+ 5
1
f (−t ) dt 

1+
exp

∫
0 f ( −t 1 / 5 ) t 4 / 5 
2
5


 
e
dove
Φ=
,
(1)
(2)
5 +1
.
2
Inoltre ricordiamo che π deriva anche dalle seguenti identità (Ramanujan’s paper:
“Modular equations and approximations to π” Quarterly Journal of Mathematics, 45
(1914), 350-372.):
π=

 2 + 5 3 + 13 
12
24

,
(2a)
e
log 
π
=
log

130
2
142




(
)(
)
 10 + 11 2 

+


4


 10 + 7 2  

  . (2b)


4


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Dalla (2b), abbiamo che:
24 =
π 142

log 


 10 + 11 2 

+


4


 10 + 7 2  




4


. (2c)
E 24 è proprio il numero che è connesso ai modi corrispondenti alle vibrazioni fisiche
delle stringhe bosoniche
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3. RIFERIMENTI
- 1) Wikipedia