Alcune osservazioni sul moto di rotazione
Vogliamo considerare il moto di un corpo rigido con un punto fisso che prendiamo come origine del
sistema di riferimento fisso R, in cui le coordinate di un punto vengono denotate con xα α = 1, 2, 3
(dove x1 = x, x2 = y, x3 = z). Con R̃ invece denotiamo una terna cartesiana mobile solidale (in cui le
coordinate di un punto vengono indicate con x˜α α = 1, 2, 3) con il corpo rigido (per esempio nel caso
di un parallelepido con un vertice fisso possiamo prendere la terna individuata dai tre lati che escono dal
vertice). Indichiamo con S la trasformazione che connette le coordinate nei due sistemi di riferimento.
Questa deve essere una trasformazione lineare delle coordinate con la proprietá di essere ortogonale1 ,
cioé,
x̃ = Sx
(1)
dove la proprietá di ortogonalitá si esprime attraverso la condizione
SS T = S T S = 1
(2)
T
Z Spesso é conveniente usare una notazione a componenti: tenendo presente che Sαβ
= Sβα , la (2) per
esempio si puó riscrivere come
Sαβ Sγβ = Sβα Sβγ = δαγ
(3)
dove é stata adottata la convenzione che indici ripetuti si intendono sommati e δαγ indica il simbolo di
Kronecker, ovvero gli unici elementi non nulli sono quelli diagonali per i quali δ vale uno.
Un esempio semplice si riferisce alla rotazione del corpo rigido di un angolo φ attorno all’asse z: la
corrispondente matrice di trasformazione sará
cos φ sin φ 0
(4)
Sφ = − sin φ cos φ 0
0
0 1
E’ facile verificare che la matrice Sφ soddisfa il requisito di ortogonalitá, per esempio
cos φ sin φ 0
cos φ − sin φ 0
1 0 0
− sin φ cos φ 0 · sin φ
cos φ 0 = 0 1 0
0
0 1
0
0 1
0 0 1
(5)
Z Vogliamo vedere come in effetti la proprietá di ortogonalitá discende dal requisito che le distanze vengano
preservate: cioé per un generico punto
D = rα rα = D̃ = r̃α r̃α
(6)
T
D̃ = r̃α r̃α = Sαβ rβ Sαγ rγ = Sβα
Sαγ rβ rγ
(7)
Infatti
e quindi, per avere D̃ = D bisogna imporre
T
Sβα
Sαγ = δβγ
(8)
1
Un riferimento semplice per le nozioni di algebra lineare coinvolte nel testo é A.G. Kuroš, Corso di algebra
superiore, Editori Riuniti.
1
e cioé che la matrice sia ortogonale.
Nel sistema di riferimento R̃ ogni punto del corpo rigido é fermo e quindi, chiamando A un generico
punto del corpo rigido, avremo
dr̃A
= ṽA = 0
(9)
dt
ovvero, usando la legge di trasformazione tra i due sistemi di riferimento,
d
(Sαβ rAβ ) = 0
dt
(10)
A meno che il corpo rigido sia immobile la matrice S dipende esplicitamente dal tempo (ad esempio
in (4) l’angolo φ é una funzione del tempo), quindi la derivata in (10) consta di due termini, e quindi,
ricordando che la derivata di una matrice é una matrice avente come elementi le derivate della matrice
di partenza, otteniamo
ṽAβ = 0 = Ṡβγ rAγ + Sβγ vAγ
(11)
dove ġ = dg/dt indica la derivata rispetto al tempo. Riprendendo la notazione matriciale possiamo
scrivere
SvA = −ṠrA
(12)
Per ottenere quindi un’espressione per la velocitá di un punto generico é quindi sufficiente moltiplicare
a sinistra l’equazione (12) per la matrice trasposta S T , ottenendo cosı́
S T SvA = vA = −S T ṠrA
(13)
La (13) giá implica un risultato importante: in ogni punto A la velocitá é una funzione lineare della posizione, dove i coefficienti della trasformazione lineare non dipendono dal punto A, essendo espressi dalla
matrice di trasformazione S. La legge di trasformazione puó peró essere ulteriormente caratterizzata se
notiamo che la matrice O = −S T Ṡ é antisimmetrica, cioé
Oµν = −Oνµ
(14)
La proprietá di antisimmetria puó essere verificata derivando rispetto al tempo la relazione S T S = 1,
infatti, osservando che la derivata della matrice unitá é zero otteniamo
Ṡβα Sβγ + Sβα Ṡβγ = −Oγα − Oαγ = 0
(15)
Z E’ facile rendersi conto che in uno spazio vettoriale a N dimensioni una matrice antisimmetrica dipende
da N (N − 1)/2 parametri, e quindi nello spazio tridimensionale la matrice O dipende da tre parametri e puó
essere scitta nella forma standard
0 −a
b
0 −c
O = a
(16)
−b
c
0
Se ora nella (16) indichiamo a = ωz , b = ωy e c = ωx , la (13) puó essere riscritta come
vA x
=
ωy zA − ωz yA
(17)
vA y
=
ωz xA − ωx zA
(18)
vA z
=
ωx yA − ωy xA
(19)
e quindi
vA = ω × rA
2
(20)
dove il vettore ω (velocitá istantanea di rotazione) non dipende dal particolare punto A considerato.
Ancora una volta un esempio semplice del procedimento é rappresentato dalla rotazione attorno all’asse
fisso z
cos φ − sin φ 0
−φ̇ sin φ
φ̇ cos φ 0
cos φ 0 · −φ̇ cos φ −φ̇ sin φ 0
O = −S T Ṡ = sin φ
(21)
0
0 1
0
0 0
0 −φ̇ 0
= φ̇
(22)
0 0
0
0 0
che, secondo lo schema generale che abbiamo descritto, corrisponde a ω = (0, 0, φ̇).
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