Sorgenti del campo
magnetico.
n Campo
magnetico prodotto da una corrente
n Prima legge elementare di Laplace
n Legame campo elettrico e magnetico
Campo magnetico prodotto da
una corrente
n
Prima legge elementare di Laplace
q
campo magnetico prodotto da un elemento dl di
filo percorso dalla corrente i, alla distanza r
! !
! µ idl ! e
0
r
i
d
B
=
!
P
4! r 2
dl e r
r
µ0
Tm
H
= 10!7
= 10!7
4!
A
m
!
dB
i
∝ 2
r
regola vite destrorsa
H
m
Permeabilita` magnetica del vuoto
µ0 = 4! ! 10"7 ! 1.26 ! 10"6
Campo magnetico prodotto da
una corrente
n
Prima legge elementare di Laplace
q
strumento di calcolo della sovrapposizione dei
contributi al campo magnetico
! !
! µ idl ! e
r
dB = 0
4! r 2
i
!
dl e
r
r
P
!
dB
! !
! µ i dl ! e
r
B= 0 !
"
4!
r2
Campo magnetico prodotto da
una corrente
n
Prima legge elementare di Laplace
q
i
strumento di calcolo della sovrapposizione dei
contributi al campo magnetico
!
dl e r ! !
!
r'
O
r !r'
!
r
P
!
dB
! !
! µ i dl ( r ') ! ( r! " r! ')
B= 0 !
#
! ! 3
4!
r "r'
Campo magnetico prodotto da
una corrente
n
Distribuzioni tridimensionali di corrente
! !
! µ i dl ( r ') ! ( r! " r! ')
B= 0 !
#
! ! 3
4!
r "r'
!
!
idl ! JdV
! µ
B= 0
4!
"
! !
J ! er
dV
2
r
Carica puntiforme in moto
! µ
B= 0
4!
"
! !
J ! er 3
d x
2
r
!
!
J = nq v
Contributo di ciascuna singola carica
(campo generato da una carica puntiforme)
Campo elettrico
!
E!
!
qer
4!" 0 r 2
E!LAB = E!q
! !
! µ q v!
er
0
B=
4! r 2
v ! c ! ! !1!! !1
! LAB ! q
LAB
q
E! = ! E!
E
"E
!
! !
( ! ! 1)
B = ! 0 µ 0 v! E
se
Carica puntiforme in moto
!
! !
B = ! 0 µ 0 v! E
collega i campi elettrico e magnetico di una
carica puntiforme in moto ( β << 1)
1
1
8 m
! 0µ0 = 2 ! c =
! 3 " 10
s
c
! 0µ0
vE
E
B! 2 =!
c
c
Esempio: filo rettilineo
percorso da corrente
n
Filo percorso da corrente i. Determinare il campo
magnetico a distanza h dal filo.
ez
! !
! µ i dl ! r
dB = 0
4! r 3
i
O
z
dz
h
φ
θ
r
P
In P il campo e` ortogonale e
diretto verso l interno del foglio
! !
dl ! r = rdz sin !
µ0 i cos " dz
µ0 i sin " dz
=
dB =
2
4!
4! r
r2
Esempio: filo rettilineo
percorso da corrente
n
Filo percorso da corrente i. Determinare il campo
magnetico a distanza h dal filo.
ez
O
z
dz
h
φ
θ
r
P
µ0 i cos " dz
dB =
4!
r2
z = htan !
d!
! dz = h(tan ! )'d ! = h 2
cos
!
h
r=
cos !
Esempio: filo rettilineo
percorso da corrente
n
Filo percorso da corrente i. Determinare il campo
magnetico a distanza h dal filo.
ez
O
z
dz
h
φ
θ
r
P
µ0 i cos "
d"
dB =
h 2
2
4! h
cos "
2
cos "
µ0 i cos "
dB =
d"
4! h
Esempio: filo rettilineo
percorso da corrente
n
Filo percorso da corrente i. Determinare il campo
magnetico a distanza h dal filo.
µ0i ! 2
ez
B=
O
z
dz
h
φ
θ
r
P
!
4! h
!1
cos ! d !
µ0i
B=
sin ! 2 ! sin ! 1 )
(
4! h
mandando la lunghezza del filo all infinito
ϕ1 → −
ϕ2 → +
π
2 sin ! ! sin ! " 2
2
1
π
2
µ0i
B=
2! h
Esempio: spira quadrata
n
Campo nel centro del quadrato
Ogni lato e` un filo di lunghezza a
a
a
Dista a/2 dal centro del quadrato
µ0i "
B=
sin (! 2 ) ! sin (! 1 )$%
#
"
"
a
! 1 =! ,! 2 =
4!
4
4
2
µ
i
µ 0 i ( 2 " 2 %+
0
*
''- =
=
! $$ !
2
a *) 2 # 2 &-,
4!
2
!
a
2
P
a
a
un lato
Esempio: spira quadrata
n
Campo nel centro del quadrato
! µ i ! 2$
B = 0 #2 &
2! a #" 2 &%
a
a
un lato
moltiplicando per 4
i
a
a
! 2 2µ i !
0
B=
ez
!a
2
(corrente antioraria)
P
2 2µ 0 ia
2µ 0 2m
B=
=
! a ! a2
! a3
Esempio. Spira circolare.
n
Spira circolare piana di raggio r. Campo
sull asse passante per il centro, a distanza z.
P
!
r
z
R
i
dl
dϕ
!
!
dl = Rd ! e!
!
!
!
r = ! R e! + zez
! !
! µ i dl ! r
dB = 0
4! r 3
!
!
!
µ0 i Rd ! e! ! "R e! + z ez
=
4!
r3
(
)
Esempio. Spira circolare.
n
Spira circolare piana di raggio r. Campo
sull asse passante per il centro, a distanza z.
P
!
r
R
i
dl
dϕ
!
!
!
! µ i Rd ! e! ! "R e! + z ez
dB = 0
4!
r3
(
r
ez
r
eϕ
r
eρ
! !
!
e! ! e! = "ez
! ! !
e! ! ez = e"
)
Esempio. Spira circolare.
n
Spira circolare piana di raggio r. Campo
sull asse passante per il centro, a distanza z.
P
!
r
R
i
dl
dϕ
!
!
!
! µ i Rd ! e! ! "R e! + z ez
dB = 0
4!
r3
(
!
!
µ0 i Rd ! R ez + z e!
=
4!
r3
(
)
)
Esempio. Spira circolare.
n
Spira circolare piana di raggio r. Campo
sull asse passante per il centro, a distanza z.
P
!
r
R
i
dl
dϕ
!
! $
!
! µ iR
R
e
+
z
e
z
!
B = 0 ' d! #
&
3
4! 0
r
#"
&%
2!
2!
!
e!
! d! r
3
=0
0
2
µ0 iR 2 !
R µ 0 iR 2 2 !
µ
iR
0
Bz =
d! 3 =
d
!
=
!
!
4! 0
r
4! r 3 0
2r 3
Esempio. Spira circolare.
n
Spira circolare piana di raggio r. Campo
sull asse passante per il centro, a distanza z.
P
!
r
R
i
dl
µ0 iR 2
µ0 iR 2
Bz =
=
3
2r
2 R2 + z 2
(
z = 0 ! Bz (0) =
dϕ
z ! R ! Bz (z) !
µ0 iR 2
( )
2 z
( )
2 R
µ0 iR 2
2
)
3/2
2
3/2
3/2
µ0i
=
2R
µ0 iA µ0 2m
=
=
3
4! z 3
2! z
Dipolo magnetico – dipolo
elettrico
µ0 2m
Bz (z) !
3
4! z
stessa struttura del dipolo elettrico
a grande distanza rispetto alle dimensioni
lineari della distribuzione
campo elettrostatico di un dipolo elettrico
energia potenziale di interazione
tra due dipoli elettrici
! !
U12 = ! p2 " E1 =
!
E=
1 # ! ! !
3( p ! er )er "
3$
4!" 0 r
!%
p&
! ! ! ! %
1 #! !
p " p2 ! 3( p1 " er )( p2 " er )&
3$ 1
4!" 0 r
Dipolo magnetico – dipolo
elettrico
µ0 2m
Bz (z) !
3
4! z
campo magnetico del dipolo
stessa struttura del dipolo elettrico
a grande distanza rispetto alle dimensioni
lineari della distribuzione
!
µ0 # ! ! ! ! %
B=
3( m ! er )er " m&
3$
4! r
energia potenziale di interazione
tra due dipoli magnetici
! !
! ! ! ! %
µ0 # ! !
U12 = ! m2 " B1 =
m " m2 ! 3( m1 " er )( m2 " er )&
3$ 1
4! r
Dipolo magnetico – dipolo
elettrico
µ0 2m
Bz (z) !
3
4! z
forza tra due dipoli
momento rispetto
all asse di rotazione
stessa struttura del dipolo elettrico
a grande distanza rispetto alle dimensioni
linari della distribuzione
!
!
F = !"U
"U
M! = !
!!
Solenoide rettilineo
n
Conduttore avvolto secondo un elica cilindrica di
passo piccolo rispetto alla sua lunghezza d
dz
r
R
z
φ
z
N
n=
d
singola spira
spire per unita` di lunghezza
P
zP
µ0 2m
Bspira =
3
4π r
µ0 2π R 2 i µ0 R 2 i
=
=
3
2r 3
4π r
Solenoide rettilineo
dz
r
R
z
z
φ
2
µ
nR
i
0
dB = Bspira ndz =
dz
3
2r
r sin ! = R
(z P ! z)tan ! = R
P
zP
lungo l asse del solenoide
Rd !
dz =
sin 2 !
Solenoide rettilineo
ϕ1
P
zP
ϕ2
2
µ0 nR i
µ0 ni
dB =
dz =
sin ! d !
3
2
2r
!2
µ0 ni
µ0 ni
B=
sin ! d ! =
cos ! 1 ! cos ! 2 )
!
(
2 !1
2
Solenoide rettilineo
ϕ1
P
zP
µ0 ni
B=
cos ! 1 ! cos ! 2 )
(
2
misurando z dal
centro del solenoide
ϕ2
Solenoide rettilineo
ϕ1
Se
#%! " 0
d !R!$ 1
%&! 2 " !
P
zP
ϕ2
! cos ! 1 " cos ! 2 # 2
µ0 ni
B=
cos ! 1 ! cos ! 2 ) " B# = µ 0 ni
(
2
Solenoide rettilineo
-d/2
d/2
Per R/d << 1 il campo e` approssimativamente costante in una vasta
zona. Al crescere di R/d la zona si restringe e si estende la zona
all esterno in cui il campo differisce apprezzabilmente da zero.
