Unificazione elettrodebole
Fatti:
a)Le forze delle interazioni elettromagnetica e debole, apparentemente molto
diverse, lo e’ in virtu’ della grande massa dei mediatori deboli W/Z. Rimane
la domanda perche’ il fotone e’ senza massa mentre i W/Z la hanno grande.
b)Il fattore di vertice eelettromagnetico e’ puramente vettoriale mentre quello
debole carico e’ V-A: γ µ (1 − γ 5 )
Ancora piu’ complicati sono quelli deboli neutri: sin2θW…
Per il punto b) possiamo utilizzare il “trucco” di assorbire la matrice (1-γ5) nella
Definizione dello spinore:
(1 − γ 5 )
(1 − γ 5 )
u L ( p) =
u ( p );
e' il proiettore di elicita' negativa
2
2
N.B. uL e’ autostato di elicita’ solo nel limite di massa nulla: le equazioni di
Dirac si disaccoppiano per i due stati di elicita’ (come per il neutrino).
1
Piu’ in generale
(1 − γ 5 ) seleziona la componente negativa di elicita’.
2
Nel limite ultrarelativistico la massa e’ trascurabile e uL tende ad essere
uno stato di elicita’ pura (negativa).
(1 + γ 5 )
(1 + γ 5 )
u R ( p) =
u ( p );
e' il proiettore di elicita' positiva
2
2
E per le antiparticelle
Per gli spinori aggiunti:
(1 − γ 5 )
(1 + γ 5 )
v( p ), vR ( p ) =
v( p )
2
2
vL ( p ) =
5
u + (1 − γ 5 ) 0
(1 + γ 5 )
+ 0 (1 + γ )
γ =u γ
=u
uL ≡ u γ =
2
2
2
(1 − γ 5 )
(1 − γ 5 )
(1 + γ 5 )
vL = v
, uR = u
, vR = v
2
2
2
+
L
0
Spinori
chirali
Accoppiamenti di corrente carica
νe
L’accoppiamento al vertice contribuisce alla
W- matrice M come: ν γ µ (1 − γ 5 )e ≡ J −
µ
2
e
Corrente carica negativa analoga alla corrente elettrica:
e
γ
e
− eγ µe
2
Un po’ di algebra con i γ5:
(
)
(1 − γ 5 )
1
1− γ 5
2
;
= 1 − 2γ 5 + (γ 5 ) =
4
2
2
(1 − γ 5 ) (1 + γ 5 )
(1 − γ 5 )
(1 − γ 5 ) 2 (1 + γ 5 ) (1 − γ 5 )
γµ
=
γµ ⇒γµ
=γµ
=
γµ
2
2
2
4
2
2
Quindi la corrente carica debole si scrive in modo compatto ( e simile al caso e.l.m.):
J µ− = ν Lγ µ eL
Cioe’ il vertice e’ vettoriale ma si accoppia solo ai fermioni left
Piu’ in generale scriviamo lo spinore come:
u=
(1 − γ 5 )
(1 + γ 5 )
u+
u ≡ uL + uR
2
2
Anche la corrente elettrica puo’ essere scritta in termini di spinori chirali con una
notazione simile alla corrente debole:
J µem = −e γ µ e = −(eL + eR )γ µ (eL + eR ) = −eLγ µ eL − eRγ µ eR
I termini incrociati sono nulli e nota che le correnti deboli e e.l.m. conservano la chiralita’
Aggiungiamo anche una corrente debole carica positiva:
e
W+ con
νe
J µ = eLγ µν L
+
Introduciamo una notazione piu’ compatta: definiamo un doppietto left-handed:
ν e + 0 1 − 0 0
χ L = ;τ = , τ =
0 0
1 0
e L
Le matrici τ definiscono le correnti
cariche: τ− manda ν öe e viceversa τ+
La corrente carica (≤) si scrive in maniera compatta:
J µ = χ Lγ µτ χ L
±
±
0 1 2 0 - i 3 1 0
In termini di matrici di Pauli: τ = ,τ =
,τ = 0 1
1
0
i
0
1
1 1
τ = (τ ± iτ 2 )
2
±
e
Questa struttura e’ analoga a quella di uno spin ½: ν rappresenta un doppietto di
isospin debole, τ ± sono operatori (di salita e di discesa) per passare da uno stato
all’altro: da (e) a (ν) come nel caso di spin ordinario (e anche di isospin forte).
Ma allora ci deve essere anche la possibilita’ di trasformare secondo τ3: (e) in (e) e
(ν) in (ν) le correnti neutre?
1
1
1
J µ3 = χ Lγ µ τ 3 χ L = ν Lγ µν L − eLγ µ eL
2
2
2
Ma Jµ3 accoppia sono i fermioni left (V-A) e sappiamo anche che le correnti
deboli neutre sono piu’ complicate: ci sono anche i fermioni right.
Introduciamo anche un’altra quantita’: l’ipercarica debole Y miscuglio di corrente
elettromagnetica e J3: Y=2Q-2t3 (t3= 3a componente dell’isospin debole) e una
corrente di ipercarica debole JµY:
J µY = 2 J µem − 2 J µ3 = −2eRγ µ eR − eLγ µ eL − 2ν Lγ µν L
Caratteristiche:
-Y=1 per il doppietto leptonico e Y=1/3 per quello di quark;
-Conserva l’isospin debole (sia la parte e.l.m. che debole conservano l’isospin)
-il III termine accoppia solo lo spinore left (il neutrino).
In altre parole abbiamo combinato 2 doppietti di isospin ottenendo:
a) Un isotripletto: ν L eL , (ν Lν L − eL eL ), eLν L ⇒ J ± , J 3
b) Un isosingoletto (ν Lν L + eL eL )che sommato alla parte right (e.l.m.) mi da la corrente Y
La struttura si estende anche agli altri leptoni e quark: 6 doppietti di spin isotopico debole :
1 ν
2 e ν µ ν τ u c t
:
,
,
,
,
,
χL =
− 1 e L µ L τ L d ' L s ' L b' L
2
r
3 correnti di isospin debole: J µ = 1 χ Lγ µτrχ L
2
2
1 corrente di ipercarica: J µ = 2 J µ − 2 J µ con J µ = ∑ Qi (uiLγ µ uiL + u Rγ µ uiR )
i =1
sommata sulle particelle di un doppietto e su tutti i doppietti
Y
em
3
em
Vogliamo che lagrangiana cosi’ costruita sia invariante sotto trasformazioni di SU(2),
rotazioni nello spazio dello spin isotopico debole. Tali rotazioni possono essere globali
o locali.
µ
Ad es. Possiamo imporre che la lagrangiana di Dirac: iψ γ ∂ µψ − m ψ ψ dove Ψ
e’ un
r r
iσ ⋅θ
vettore a due componenti (di isospin debole) sia invariante sotto SU(2): ψ → e ψ
2
Possiamo anche imporre che tale lagrangiana sia anche invariante moltiplicando
La funzione d’onda per una fase: ψ → eiθψ
(trasformazione U(1)).
r
Se θ ,θ sono fasi globali cioe’ si applicano a tutti i campi in ogni regione dello spazio
r
la invarianza e’ automatica. Se invece sono funzioni di xµ : θ ( xµ ),θ ( xµ ) parleremo di
Invarianza di gauge locale e, in questo caso l’invarianza della lagrangiana di Dirac
non e’ automatica ma e’ possible a patto di:
a)Nel caso di U(1) introdurre un nuovo campo vettoriale: il potenziale elettronagnetico
Aµ, i termini di potenziale di Maxwell e l’accoppiamento campo-fermione carico
(
)
L = iψ γ µ ∂ µψ − m 2ψ ψ −
16
π
(
)
F µν Fµν − qψ γ µψ Aµ
Jµ= corrente elettromagnetica
Richiedere l’invarianza di gauge locale per SU(2) della lagrangiana libera di Dirac
porta a:
a)Tre campi vettoriali 2 carichi e 1 neutro che costituiscono i campi di gauge. Rimane
il problema della loro massa che, perche’ la gauge sia preservata dovrebbe essere
nulla.
Se vogliamo costruire una teoria unificata elettrodebole la sua
Lagrangiana dovra’ essere invariante sotto trasformazioni locali
U(1) x SU(2)
Conservazione della carica elettrica
Conservazione dell’isospin debole
Modello di Glashow,Weinberg,Salam
Ingredienti:
a)Le
r tre correnti di isospin debole si accoppiano conrun isotripletto di bosoni intermedi
W con costante di accoppiamento gW. I campi W sono quelli generati dall’
invarianza su SU(2).
b) La corrente di ipercarica si accoppia con costante g’/2 a un bosone intermedio
isosingoletto B (originato dall’invarianza di gauge U(1)).
r r µ g' Y µ
iL = −i gW J µ ⋅W + J µ B (cfr.QED : J µem Aµ )
2
r rµ
1
µ1
2
µ2
3
µ3
J
⋅
W
=
J
W
+
J
W
+
J
W
µ
µ
µ
Esplicitamente per la parte di isospin debole: µ
±
1
2
1
2
O piu’ chiaramente definendo le correnti cariche: J µ = χ Lγ µτ χ L ± iχ Lγ µτ χ L = J µ ± J µ
±
E i bosoni fisici: Wµ =
[
1
Wµ1 m Wµ2
2
]
la parte di isospin debole diventa:
r rµ
1 + µ+ 1 − µ−
J µ ⋅W =
J µW +
J µW + J µ3W µ 3
2
2
L’accoppiamento ai bosoni W+,W- si calcola facilmente:
νe
e
W-
−i
[
]
gW − µ −
g
J µW = −i W ν γ µ (1 − γ 5 )e W µ −
2
2 2
Con il corretto fattore di vertice:− i
[
gW
ν γ µ (1 − γ 5 )e
2 2
]
Ma la simmetria SU(2)xU(1) e’ rotta : gli stati neutri si mischiano
Aµ = Bµ cosθW + Wµ3 sin θW
Z µ = − Bµ sin θW + Wµ3 cosθW
Aµ e Zµ sono gli stati fisici osservabili
Mentre sinθW e’ un parametro libero
Scriviamo esplicitamente anche la parte neutra dell’interazione:
g'
− i gW J µ3W µ 3 + J µY B µ = −i
2
g'
{ gW sin θW J µ3 + cosθW J µY A µ +
2
g'
3
Y µ
g
cos
θ
J
sin
θ
J
−
W µ
W µ Z }
W
2
Dalla corrente di ipercarica
J µY = 2 J µem − 2 J µ3
estraggo:
quindi l’accoppiamento al potenziale e.l.m Aµ sara’:
J µem =
1 Y
J µ + J µ3
2
g'
3
Y µ
em µ
g
sin
θ
J
θ
J
A
=
eJ
A
+
cos
W
W
µ
W
µ
µ
2
g'
g
θ
=
cosθW = e
sin
W
W
Per consistenza dovro’ quindi avere:
2
Vediamo anche l’accoppiamento allo Z:
e
g'
e sin θW
Y µ
em
3
3
3 µ
cos
−
(
sin
cos
2
2
θ
θ
=
−
θ
−
−
g
J
J
Z
i
J
J
J
µ
µ ) Z =
W µ
W µ
W µ
W
2
cosθW 2
sin θW
= −i
[
]
e
J µ3 cos 2 θW + J µ3 sin 2 θW − sin 2 θW J µem Z µ =
sin θW cosθW
[
]
− ig Z J µ3 − sin 2 θW J µem Z µ , da cui g Z =
e
sin θW cosθW
Estraiamo da qui gli accoppiamenti deboli neutri:
All’interazione di neutrino contribuisce solo J3µ
ν
v
Z
g
1
− ig Z ν Lγ µν L Z µ = −i Z
2
2
1− γ 5 µ
ν
γ
µ 2 ν Z
1
1
da cui CνA = , CVν =
2
2
All’interazione neutra di un elettrone: partecipano sia Jµ3 che Jµem
e
Z
e
1
g
− ig Z [− eLγ µ eL − sin 2 θW (−e γ µ e)] = −i Z
2
2
−
1− γ 5
2
e
γ
e
−
2
sin
θ
(
−
e
γ
e
)
W
µ =
µ
2
ig Z 1
1
[− + 2 sin 2 θW ]e γ µ e − e γ µ (−γ 5 )e
2
2
2
CV
CA
Se prendiamo un quark u:partecipano sia Jµ3 che Jµem
u
Z
g
2
1
− ig Z [− u Lγ µ u L − sin 2 θW ( u γ µ u )] = −i Z
3
2
2
−
u
1− γ 5 4 2
u
u
u
u
γ
sin
θ
(
γ
)
−
W
µ
=
µ
2
3
ig Z 1 4 2
1
[ − sin θW ]u γ µ u + u γ µ (−γ 5 )u
2 2 3
2
CV
CA
Problemi:
Perche’ la simmetria SU(2)xU(1) e’ rotta?
Perche’ B e W3 si mischiano per dare Z e A attraverso un angolo sin θW?
Perche ‘ il fotone e’ senza massa mentre W e Z sono massivi?
Perche’ esistono tre famiglie di leptoni e quark?
Modello minimale
gW2
MW
e
e
GF
=
=
, gZ =
,
,
gW =
M
Z
sin θW
sin θW cosθW 8M W2
cosθW
2
g 2Z
2
M
Il parametro ρ = Z
g 2W
2
MW
=1
Le particelle mediatrici dell’interazione sono:
W ± , Z , γ (+ H (Higgs))
I parametri del modello sono : α , G F , sin 2 θW
La teoria e’ determinata
α=
1
(a Q 2 = me2 ) 0.004 ppm
137.03599976(50)
G F = 1.16639(1) × 10-5 GeV − 2 (decadimento del µ ) 9 ppm
sin 2θW = 0.230 ± 0.005 (dal rapporto correnti neutre/cariche in interazioni di ν )
Ma sin2θW e’ ottenibile anche in altri modi:
(
)
e2
πα / 2GF
a) sin θW = 2 ,ottenibile dalla misura di GF e M W : sin 2 θW =
,
2
gW
MW
2
M W2
b)derivato dalle masse dei bosoni: ρ = 2
;
M Z cos 2 θW
c)da esperimenti di neutrino di corrente neutra e corrente carica: g Z /gW
a),b),c) nel modello standard dovrebbero fornire lo stesso valore.
Deviazioni possono indicare:
NUOVA FISICA
Correzioni radiative (oltre l’ordine albero) ai diagrammi del modello standard. Ad es.
ν
e
ν
Z
ν
Z
e
ν
W+
W-
e
Z
e
Possiamo parametrizzare l’effetto di queste correzioni radiative, definiamo:
MW
(
πα /
=
2GF
sin θW
)
1
2
≡
A
sin θW
A = 37.2810 ± 0.0003 GeV
Prendiamo la definizione di sin θW dalla misura σNC/ σCC di neutrino a bassa
energia e trasferiamo la correzione radiativa sulla massa del W:
A
MW =
sin θW 1 − ∆r
11 2 M H2
G
2
2
− 3 cot θW mt + M W ln 2 + ...
∆r ~ ∆α +
2
3
MW
8 2π
∆r varia in gran parte perche’ varia α:
α=
1
1
alla massa dello Z
→
137 128
∆r dipende fortemente dalla massa del top
∆r dipende solo logaritmicamente dalla massa del Higgs: se mH varia da 100
a 1000 GeV ∆r varia di circa 1%.
Meccanismo di Higgs
Lagrangiana di Dirac L = iψ γ µ ∂ µψ − mψ ψ
da cui le equazioni di Eulero-Lagrange:
∂L
∂L
− ∂µ
= 0 ⇒ equazione di Dirac
∂ψ
∂ (∂ µψ )
L’invarianza per U(1)ïPotenziale A ïtermine di interazione. Tecnicamente
si realizza l’invarianza della lagrangiana sostituendo al posto della ∑ la
derivata covariante :
∂ µ → Dµ = ∂ µ − ieAµ
Nel caso della lagrangiana elettrodebole l’invarianza e’ per U(1)xSU(2) con
la conseguente introduzione dei campi W (tripletto) e B (singoletto). In questo
caso la derivata covariante si scrive:
r r
g'
∂ µ → Dµ = ∂ µ − i Y ⋅ Bµ + g W I ⋅ Wµ
2
Gli stati fisici neutri sono pero’ A e Z che sono un miscuglio di W3 e B (sin θW)
Finora gli stati fisici sono tutti senza massa: un termine esplicito di massa:
m 2ψ ψ violerebbe la invarianza di gauge.
Il meccanismo di Higgs propone che la massa dei bosoni intermedi nasca dalla loro
interazione con un nuovo campo scalare: il campo di Higgs Φ che ha valore di
aspettazione sul vuoto (vev) diverso da zero.
La condizione minimale per Φ e’ che sia un campo scalare complesso.
Riscriviamo la derivata covariante usando I campi fisici W≤, A e Z
[
−
+
∂ µ → Dµ = ∂ µ − i eQ ⋅ Aµ + gW ( I +Wµ + I −Wµ ) + g '2 + gW2 ( I 3 − Q sin 2 θW ) Z µ
Con eQ carica elettrica del fermione.
Il campo scalare complesso di Higgs Φ contribuisce alla lagrangiana con:
Dove il primo e’ un termine cinetico (“p2”) e il secondo
*
L = (∂Φ )(∂Φ ) − V (Φ )
e’ un termine di potenziale che si puo’ scrivere come:
V = µ 2 ΦΦ * + λ (ΦΦ * ) 2
Dove il primo e’ un termine di massa e il secondo
un termine di autointerazione
Cerchiamo il minimo di V (il valore sul vuoto) in funzione di Φ. Il coefficiente
λ deve essere > 0 altrimenti il minimo non e’ stabile.
]
Il coefficiente µ2, invece puo’ essere sia positivo che negativo:
a) µ2> 0 : il potenziale ha un unico minimo a Φ=0.
V(Φ)
Im(Φ)
Re(Φ)
Il vuoto (il punto di minimo) ha una chiara
simmetria
Min V
b) µ2< 0 I minimi sono negativi e degeneri su una circonferenza di raggio
− µ2
Φ=
≡v/ 2
2λ
V(Φ)
Im(Φ)
Re(Φ)
V e’ attrattivo a piccoli |Φ| e repulsivo
a grandi.
I minimi sulla circonferenza sono
Min V tutti equivalenti e collegabili attraverso
una fase (U(1))
Se µ2<0 ho infiniti stati di minima energia degeneri. La massa e’ una quantita’
immaginaria? No! Contano solo le deviazioni rispetto al minimo di potenziale
Tecnicamente posso definire un nuovo campo:
per cui |η|=valore di aspettazione del vuoto = 0
− µ2
η = Φ−v = Φ−
2λ
Inserendo η nella lagrangiana il coefficiente che moltiplica η2 : −µ2=2λv2 rappresenta
il termine (quadratico) di massa.
Il modello minimale richiede un doppietto di campi scalari dotati sia
di isospin debole che di ipercarica:
Y
I3
Φ + Φ1 + iΦ 3 1 1 / 2
0 =
1 1 / 2
i
Φ
+
Φ
Φ 2
4
Il potenziale V = µ 2 Φ + Φ +* + µ 2 Φ 0 Φ 0* + λ (Φ + Φ +* ) 2 + λ (Φ 0 Φ 0* ) 2
µ2
se µ < 0, ha un anello di minimi a Φ Φ + Φ Φ = −
= v2
2λ
2
+
+*
0
0*
E’ un raggio in uno spazio 4-dimensionale
Tutti i minimi sono equivalenti e si passa da uno all’altro attraverso
una trasformazione di SU(2)
Rompiamo la simmetria scegliendo Φ3,Φ4=0
Inoltre richiedo anche Φ1=0 cosi che il campo Φ ha solo componenti Φ2
0 0
0|Φ |0 ≡ Φ = − µ2 ≡ v
2λ 2
Abbiamo “consumato”( “rotto”) la simmetria SU(2) rimane quella
U(1) della carica elettrica Q=I3+Y
1 0
Q=
L’operatore di carica elettrica Q e’:
0 0
che lascia invariato il vev di Φ:
Il campo residuo Φ2 e’ a carica nulla
Ridefiniamo la variabile di campo come:
− µ2
η =Φ±
2λ
e riscriviamo la lagrangiana:
− µ2
*
2 2
3
4
L = (∂ µη ) (∂ µη ) − µ η ± µ λη − λη +
λ
Termine di massa
2
costante
Applichiamo a questa lagrangiana la derivata covariante
[
−
+
∂ µ → Dµ = ∂ µ − i eQ ⋅ Aµ + gW ( I +Wµ + I −Wµ ) + g '2 + gW2 ( I 3 − Q sin 2 θW ) Z µ
Il primo termine della lagrangiana sara’
gW2 + g , 2 2
gW2 η 2
W W +
( DΦ ) ( DΦ ) =
η Z Z + e 2 A A(Q Φ ) 2
2
2
*
η = valore di aspettazione del campo di Higgs nel vuoto
gW2 + g ,2
gW η
MW =
, MZ =
η,
2
2
sin θW
MW
se g' = g W
,MZ =
.
cosθW
cosθW
Quanto vale η?
gW2
2M W
G
η=
=
, se
2
gW
2 8M W
1
η=
= 246 GeV
1/ 2
(G 2 )
=0
]
Che cosa abbiamo fatto?
L’invarianza SU(2)xU(1) implica quattro gradi di liberta’. L’introduzione del
bosone di Higgs e la rottura di 3 dei gradi di liberta’ genera polarizzazioni
longitudinali di W+,W- e Z che acquistano quindi massa.
Il quarto grado di liberta’ diventa un campo fisico scalare neutro: il bosone di Higgs.
Fisicamente:
Il vuoto emette e assorbe quanti (virtuali) del campo di Higgs i quali trasportano
isospin debole e ipercarica che quindi possono accoppiarsi ai bosoni intermedi
che quindi acquistano massa
H
W
W
Il fotone (e il gluone) che non trasporta isospin debole o ipercarica Y non si
accoppiano con il bosone di Higgs e quindi resta senza massa.
Bibliografia
a)D.Griffiths “Introduction to elementary particles”, Harper & Row PUB
b)D. Green “Lectures in particle physics”, World Scientific.
c)R.K.Ellis et al. “QCD and Collider Physics”, Cambridge University Press.
