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4.5.2 Teoremi di trigonometria
Le formule di Briggs, che prendono il nome dal loro scopritore, il matematico inglese Henry Briggs (1561-1630),
maggiormente conosciuto per i suoi studi sui logaritmi in base 10 (talvolta chiamati briggiani in suo onore). Tali formule
permettono di determinare le formule goniometriche per gli angoli di un triangolo conoscendone i lati.
`sin(alpha/2)=sqrt(((p-b)(p-c))/(bc)`
`cos(alpha/2)=sqrt((p(p-a))/(bc)`
`tan(alpha/2)=sqrt(((p-b)(p-c))/(p(p-a))`
nelle quali p indica il semiperimetro, ossia `p=(a+b+c)/2`. Per dimostrarle si devono utilizzare le formule di bisezione
del seno e del coseno, che riportiamo qui sotto ma non dimostriamo in questa sede.
Formule di bisezione
`sin(alpha/2)=+-sqrt((1-cosalpha)/2)`, `cos(alpha/2)=+-sqrt((1+cosalpha)/2)`
4.5.2.1 Formule di Briggs
Dato un triangolo avente lati di lunghezza a, b e c si indichi con p il suo semiperimetro, ossia `p=(a+b+c)/2`.
Il seno dell'angolo `alpha/2`, con `alpha` angolo opposto al lato a, è `sin(alpha/2)=sqrt(((p-b)(p-c))/(bc)`.
Dimostrazione
Se p è il semiperimetro allora a+b+c=2p, da cui seguono le relazioni indicate:
2(p-a)=-a+b+c
2(p-b)=a-b+c
2(p-c)=a+b-c
Dal teorema di Carnot `a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosalpha` si può ricavare il coseno di `alpha` con la formula inversa
`cosalpha=(-a^2+b^2+c^2)/(2·b·c)`
Sostituendo nelle formule di bisezione si ottiene
`sin(alpha/2)=sqrt((1-(-a^2+b^2+c^2)/(2·b·c))/2)=sqrt((2bc+a^2-b^2-c^2)/(4bc))=sqrt((a^2-(b^2+c^2-2bc))/(4bc))=`
`=sqrt((a^2-(b-c)^2)/(4bc))=sqrt(((a-b+c)(a+b-c))/(4bc))=sqrt((2(p-b)2(p-c))/(4bc))=sqrt(((p-b)(p-c))/(bc))`
Le dimostrazioni delle altre formule di Briggs sono analoghe alla dimostrazione appena vista.
Le formule di Briggs permettono una dimostrazione molto rapida della formula di Erone per il calcolo dell'area di un
triangolo, che ovviamente non è la dimostrazione fornita da Erone di Alessandria due millenni fa. Utilizzando la formula
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di duplicazione del seno
`sin(2alpha)=2sinalphacosalpha`
e dividendo per 2 tutti gli angoli si ha
`sin(alpha)=2sin(alpha/2)cos(alpha/2)`
Si possono ora sostituire al posto di `sin(alpha/2)` e `cos(alpha/2)` i valori ricavati dalle formule di Briggs, ottenendo
`sinalpha=2sqrt(((p-b)(p-c))/(bc))sqrt((p(p-a))/(bc))=2sqrt((p(p-a)(p-b)(p-c))/(b^2c^2))=`
`=2sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))/(bc)`
Invertendo tale formula si ottiene
`(bcsinalpha)/2=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))`
Per 4.5.1.2 l'area di un triangolo qualunque è `text(Area)=1/2bc·sinalpha`, da cui segue che
`text(Area)=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))`,
che è la formula di Erone.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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