Fisica Generale B

L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica
Fisica Generale B
•! Abbiamo visto che le componenti dei campi elettrico e magnetico di
un’onda elettromagnetica soddisfano l’equazione di d’Alambert:
!2" =
" = Ex , E y , Ez , Bx , By , Bz
•! Una volta che siano noti sia gli indici di rifrazione delle varie
sostanze trasparenti che riempiono lo spazio, sia la posizione e le
proprietà superficiali dei corpi opachi (assorbenti e riflettenti)
presenti, il problema dell’ottica si riduce a trovare la soluzione
dell’equazione di d’Alambert che soddisfa tutte le condizioni al
contorno.
13. Ottica Geometrica
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Domenico
Galli
1 #2"
,
v 2 #t 2
April 28, 2011
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cn=Domenico Galli
Date: 2011.04.28 17:42:55 +02'00'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica
(II)
L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica
(III)
•! Il problema è matematicamente estremamente difficile. Conviene
quindi sviluppare teorie approssimate dei fenomeni luminosi che
abbiano il vantaggio di una maggiore semplicità.
•! Questa approssimazione vale quando le dimensioni e i raggi di
curvatura delle superfici d’onda e delle superfici di separazione dei
mezzi sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda.
•! L’ottica geometrica è una teoria approssimata.
•! Le superfici sono scomposte in elementi infinitesimi piani, ai quali si
applicano le leggi della propagazione rettilinea, della riflessione e
della rifrazione.
•! Una volta ricavate, da modelli ondulatori, le leggi della riflessione e
della rifrazione per superfici d’onda piane e illimitate e superfici di
separazione dei mezzi pure piane e illimitate, esse si applicano anche
nei casi di superfici non piane e limitate.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
2!
•! A queste superfici elementari si applica il concetto di raggio
luminoso, inteso come asse di un cono di luce di apertura
infinitesima e dunque come linea perpendicolare ai fronti d’onda.
3!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
4!
L’Approssimazione dell’Ottica Geometrica
(IV)
Propagazione Rettilinea della Luce
•! Ottica geometrica (propagazione rettilinea della luce): lo spazio
invaso dalla luce, al di là di uno schermo forato opaco, è limitato al
solo cono avente per vertice la sorgente puntiforme S e per base il
contorno del foro.
•! L’approssimazione dell’ottica geometrica non vale più quando la
lunghezza d’onda diviene confrontabile o superiore alle dimensioni
delle superfici e ai raggi di curvatura.
•! Quando ciò accade, si presentano i fenomeni di diffrazione, non
previsti dall’ottica geometrica.
•! Diffrazione: deviazione dalla propagazione rettilinea.
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Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
5!
Propagazione Rettilinea della Luce (II)
!""!##$
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Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
6!
Diffrazione
•! Una lente convergente avente il fuoco in S trasforma le onde
sferiche in onde piane.
•! Se ! << a le onde passano attraverso la fenditura e lo schermo
proietta un’ombra netta (ottica geometrica). La luce viaggia per
percorsi rettilinei che possiamo rappresentare come raggi.
•! Ottica geometrica (propagazione rettilinea della luce): lo spazio
invaso dalla luce, al di là di un diaframma forato opaco, è un cilindro
avente per base il contorno del foro.
•! Se invece ! diventa confrontabile con a, allora la luce si espande nella
regione dell’ombra geometrica (diffrazione).
•! Diffrazione: il fascio si allarga.
Allargamento del fascio a causa della diffrazione
'(!)
*$)%"+,)
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'(!)
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!
.)(/)
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!"$$%#//"0"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
7!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
8!
Diffrazione (II)
Diffrazione (III)
•! A causa della diffrazione, un fascio di luce tende sempre ad
allargarsi. La diffrazione impone perciò un limite inferiore alla
larghezza angolare di un fascio.
•! L’ottica geometrica non può essere utilizzata quando la dimensione
trasversale di un fascio (e dunque la dimensione della fenditura che
lo ha generato) è dello stesso ordine di grandezza o più piccola della
lunghezza d’onda:
•! L’angolo con cui un fascio di luce si allarga è dell’ordine del rapporto
tra lunghezza d’onda e dimensione trasversale del fascio:
!!
a < !"
# % Ottica geometrica non può essere utilizzata
a ! !$
"
a
9!
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Diffrazione (IV)
•! Diffrazione di un bordo
rettilineo (fenomeni
diffrattivi di Fresnel).
•! La zona illuminata si
estende nell’ombra
geometrica fino alla
distanza: ! l 2.
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10!
Diffrazione (V)
•! Non si può utilizzare l’ottica geometrica quando siano presenti sul
percorso della luce fenditure di larghezza confrontabile con la
lunghezza d’onda.
l
•! Non si può utilizzare l’ottica geometrica neppure nel caso in cui si sia
interessati a un dettaglio su una scala di distanze confrontabili con
la lunghezza d’onda.
Allargamento
del fascio di luce
Diffrazione
Ottica geometrica
d
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11!
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12!
Il Raggio Luminoso
Riflessione e Rifrazione
•! Il raggio luminoso è una traiettoria perpendicolare al fronte d’onda
che indica la direzione in cui si muove l’onda.
•! Legge della riflessione: il raggio riflesso giace nel piano di
incidenza (cioè il piano definito dal raggio incidente e dalla normale
nel punto di incidenza P), inoltre:
•! Il raggio è una comoda costruzione geometrica. Non è un’entità
fisica.
!r = !i
!"#$%&'
•! Legge della rifrazione o legge di Snell: il raggio rifratto giace nel
piano di incidenza (cioè il piano
"
definito dal raggio incidente e
(%
))
*"+
dalla normale nel punto di
*,
*
.
incidenza P), inoltre:
',/ ' !
'(!)
*$)%"+,)
!"#$%#&&#
'(!)
0"#()
!
sin ! i
n
= 2,
sin ! t n1
c
n=
v
"
$3
$4
%
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
#
13!
Principio di Huygens-Fresnel
14!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Principio di Huygens-Fresnel (II)
•! Christian Huygens (1629-1695), Augustin Jean Fresnel (1788-1827).
•! Nell’intervallo di tempo !t le onde
secondarie (sferiche) raggiungono
tutte il raggio c !t.
$
!"#$
%&'
–! Dopo un tempo !t la nuova posizione del fronte d’onda sarà la superficie
di inviluppo di queste onde secondarie, ovvero la superficie tangente a
tutte le onde secondarie.
()#
$
'! ,
!'+
'*'
•! L’inviluppo di queste onde (cioè la superficie
tangente a tutte le onde secondarie) è la
superficie del fronte d’onda al tempo t = t0 + !t .
%
(*
–! Ogni elemento di un fronte d’onda è sorgente di un’onda sferica
secondaria, di ampiezza proporzionale all’ampiezza dell’onda incidente nel
punto considerato;
!
"#
()#
$(
*'
*
!
'
''! ,
•! Nota la posizione del fronte d’onda al tempo t0, il principio di
Huygens-Fresnel consente di determinare la posizione del fronte
d’onda al tempo t0 + !t:
!"#
$%&
'
+
'!'
•! I punti blu sul fronte d’onda al
tempo t = t0 sono sorgenti di onde
secondarie sferiche (disegnate in
blu tratteggiato nella figura).
•! Il principio di Huygens-Fresnel è una costruzione geometrica che
consente di prevedere la propagazione di un fronte d’onda del quale
si conosce la posizione a un dato istante.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
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/&0#$(*".&
15!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
16!
Principio di Huygens-Fresnel (III)
Principio di Huygens-Fresnel. Formulazione
Matematica di Kirchhoff
•! Il principio di Huygens-Fresnel produce risultati
soddisfacenti anche in caso di diffrazione.
•! Gustav Kirchhoff (1824-1887).
•! La superficie di inviluppo delle onde secondarie
indica infatti una propagazione delle onde anche
nella zona di ombra geometrica.
•! L’onda secondaria è sfasata di 90º rispetto all’onda incidente.
%
$
!"#$%&'()#$(*'*'#'+'#,#
!"#$%&'()#$(*'*'#'+'#,
! " !"
#
#
•! Somma delle ampiezze in luogo dell’inviluppo.
•! L’onda secondaria è attenuata di un fattore K(!) (fattore di
inclinazione):
( )
K ! =
1
1 + cos !
2"
(
)
Non si ha quindi propagazione
indietro.
!"#$%-'#$(&
.&/#$(*"-&
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17!
Principio di Huygens-Fresnel e Legge della
Riflessione
18!
Principio di Huygens-Fresnel e Legge della
Riflessione (II)
•! Consideriamo, in un certo istante t0, il fronte d’onda AG. Si ha:
•! La superficie di inviluppo delle onde secondarie è il piano per FC.
GÂC = ! i
•! I triangoli rettangoli AFC e AGC sono congruenti:
•! Tale fronte d’onda, per
procedere fino a C deve
percorrere la distanza:
AFC ! AGC
avendo l’ipotenusa condiviso
e i cateti FA = s = GC.
GC = s
•! Segue che gli angoli
corrispondenti dei due
triangoli sono congruenti:
e impiegando il tempo:
!t =
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s
v
! r = FĈA = GÂC = ! i
!r = !i
•! Nello stesso tempo !t, il
fronte dell’onda secondaria
in A è divenuto una superficie sferica
di raggio s = AF.
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19!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
20!
Principio di Huygens-Fresnel e Legge della
Rifrazione
Principio di Huygens-Fresnel e Legge della
Rifrazione (II)
•! Consideriamo, in un certo istante t0, il fronte d’onda AE. Si ha:
EÂC = ! i
•! Tale fronte d’onda, per procedere fino
a C deve percorrere la distanza:
EC = s1
•! La superficie di inviluppo delle onde secondarie è il piano per FC.
•! Si ha pertanto:
!"#$%&'#$()
*$+*(&$%&
s2 v 2
=
s1 v1
"),,*#
*$+*(&$%&
sin ! t
s
v
= AC = 2 = 2
s1
sin ! i
s1 v1
s1
v1
AC
•! Nello stesso tempo !t, il fronte
dell’onda secondaria in A è divenuto una
superficie sferica di raggio s2 = AF:
s2 = v 2 !t = v 2
"),,*#
*$+*(&$%&
s2
e impiegando il tempo:
!t =
!"#$%&'#$()
*$+*(&$%&
sin ! t
!"#$%&'#$()'-&+#$()"*)
sin ! i
=
v2
v1
!"#$%&'#$()'-&+#$()"*)
s1
v1
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21!
Specchio Piano
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
22!
Specchio Piano (II)
•! La sorgente puntiforme O è
denominata oggetto.
•! L’immagine dista dallo specchio quanto l’oggetto. Infatti:
AÔB = OB̂n (alterni interni) !
#
OB̂n = nB̂r (legge riflessione) #
" %
nB̂r = pB̂I (opposti al vertice) #
ˆ (alterni interni) #$
pB̂I = AIB
•! I prolungamenti dei raggi
riflessi oltre lo specchio si
incontrano nel punto I
detto immagine.
ˆ %
AÔB = AIB
AOB & AIB
•! Dalla congruenza dei due triangoli, segue in particolare che:
AI ! OA
d I = dO
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23!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
24!
L’Occhio
Formazione dell’Immagine nell’Occhio
•! L’occhio è schematizzabile mediante un diottro sferico (non una
lente).
•! Il diottro trasforma un’onda sferica divergente in un’onda sferica
convergente.
•! L’onda sferica divergente emessa dall’oggetto (sorgente puntiforme)
converge nell’immagine sulla retina.
!""#$$!!
)#$%('
!
*+,#)-%.%/01!(0'/
!
2'3.%/0%/)'""%/!&!.#($)%.%/
%&&'"%(# !
!
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25!
26!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Nomenclatura
Formazione dell’Immagine nell’Occhio (II)
•! Una sorgente puntiforme di luce O (punto oggetto) emette un’onda
luminosa sferica (in un mezzo omogeneo e isotropo).
•! Un oggetto esteso può essere pensato come un insieme di sorgenti
puntiformi.
•! Una porzione di questa sfera si può rappresentare con un fascio di
raggi che passano tutti per il medesimo punto O (fascio di raggi
omocentrico).
•! L’immagine, formata sulla retina, è l’insieme delle immagini di tutte le
sorgenti puntiformi.
•! L’immagine sulla retina di un oggetto esteso risulta rovesciata e
rimpicciolita.
•! Se l’onda investe un sistema ottico, l’onda che esce può essere
sferica convergente o divergente (sistema ottico stigmatico) o
non-sferica (sistema ottico astigmatico: i raggi uscenti non sono
omocentrici).
%&&'"%(#
•! Il punto immagine si dice reale se i raggi passano effettivamente
attraverso di esso, si dice virtuale se passano attraverso di esso
soltanto i prolungamenti dei raggi.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
27!
)#$%('
!""#$$!
•! Il punto in cui passano tutti i raggi emergenti da un sistema ottico
stigmatico si dice punto immagine. Punto oggetto e punto immagine si
dicono anche punti coniugati.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
28!
!""#$$!
*#
$
%(
'
!"
./#001%!
%&&'"%(#
)#'*#
)#$%(
'
•! L’immagine sulla retina di una
sorgente puntiforme riflessa
da uno specchio è uguale a
quella di una sorgente
puntiforme che si trovi nella
posizione dell’immagine virtuale.
•! L’immagine sulla retina
%&&'"%(#)*#'+#
di una sorgente estesa
riflessa da uno specchio
è uguale a quella di una
sorgente estesa che si
trovi nella posizione
dell’immagine
$$!
virtuale.
"#
!
%&&'"%(#
+%)$,'*#
Specchio piano (IV)
-.#//0%!
Specchio piano (III)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
%&
,% &'
*$ "%
-' (#
+#
29!
L’Immagine Speculare
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
30!
L’Immagine Speculare (II)
•! L’immagine speculare di una mano sinistra è una mano destra e
viceversa.
•! Come mai lo specchio scambia la destra e la sinistra ma non l’alto e il
basso?
•! Come mai lo specchio
scambia la destra e
la sinistra ma non
l’alto e il basso?
•! Il concetto di “alto”
è un vettore polare:
–! Vettore con origine
nei piedi e vertice
in testa.
•! Il concetto di
“destra” è un
vettore assiale:
–! Prodotto vettoriale
dell’“avanti” con
l’“alto”.
mano destra
mano sinistra
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31!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
32!
L’Immagine Speculare (III)
L’Immagine Speculare (IV)
•! L’alto è inteso come la parte del nostro corpo in cui si trova la testa.
•! Vediamo come si presenta l’immagine riflessa di un vettore polare e di
un vettore assiale.
•! Ma la mano destra non è intesa come la mano in cui si trova la fede.
Se così fosse non ci sarebbe lo scambio destra-sinistra.
•! Consideriamo due vettori polari a e b e il loro prodotto vettoriale c,
che è un vettore assiale:
!
!
a = a1ı̂ + a2 !ˆ + a3k̂,
b = b1ı̂ + b2 !ˆ + b3k̂
! ! !
c = a ! b = a2 b3 " a3b2 ı̂ + a3b1 " a1b3 !ˆ + a1b2 " a2 b1 k̂ =
•! La destra è intesa come prodotto vettoriale dell’“avanti” con l’“alto”.
(
•! Perciò il concetto di destra è un vettore assiale.
) (
) (
)
= c1ı̂ + c2 !ˆ + c3k̂
•! L’immagine speculare di questi vettori è:
!
!
a! = a1ı̂ + a2 !ˆ " a3k̂,
b! = b1ı̂ + b2 !ˆ " b3k̂
! ! !
c! = a! # b! = $% a2 "b3 " "a3 b2 &' ı̂ + $% "a3 b1 " a1 "b3 &' !ˆ + $% a1b2 " a2 b1 &' k̂ =
= "c1ı̂ " c2 !ˆ + c3k̂
( ) ( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
33!
L’Immagine Speculare (V)
( )
( )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
34!
Riflessione Totale
•! Vettori polari e vettori assiali si trasformano diversamente per
riflessione speculare.
•! Quando un raggio di luce incide sulla superficie che separa due
mezzi trasparenti con diverso indice di rifrazione n1 e n2 di solito si
produce sia un raggio riflesso, sia un raggio rifratto.
•! I vettori polari invertono soltanto la componente perpendicolare allo
specchio.
•! Il flusso di energia del raggio incidente è pertanto suddiviso: parte
è nel raggio riflesso, parte nel raggio rifratto.
•! I vettori assiali invertono le due componenti parallele allo specchio.
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
35!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
36!
Riflessione Totale (II)
Riflessione Totale (III)
•! Tuttavia:
•! L’angolo critico "c è l’angolo di incidenza "i in corrispondenza del
quale l’angolo del raggio rifratto con la normale r è pari a "t = 90°.
–! Se n1 > n2, ovvero se la luce passa da un mezzo con indice di rifrazione
più elevato n1 a un mezzo con indice di rifrazione minore n2;
•! Per la legge di Snell si ha:
–! E se l’angolo di incidenza "i è maggiore dell’angolo critico "c;
•! Allora la luce non
attraversa più la
superficie, neanche
parzialmente, e il
raggio è
totalmente
riflesso (non c’è
raggio rifratto).
sin ! t n1
=
sin ! i n2
per cui per l’angolo
critico si ha:
!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
37!
Riflessione Totale (IV)
! c = arcsin
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
38!
Riflessione Totale (V)
•! Se non si ha riflessione totale, il raggio riflesso è sempre attenuato
rispetto al raggio incidente, in quanto parte del flusso di energia si
trasferisce al raggio rifratto.
n2
n1
•! Si osservi che la funzione arcsin(x) è definita soltanto per x ! #$ "1,1%& ,
per cui l’angolo "c è definito soltanto se n2 < n1.
•! Se invece si ha riflessione totale allora il raggio riflesso non è
attenuato rispetto al raggio incidente, in quanto si ritrova nel raggio
riflesso tutto il flusso di energia del raggio incidente.
•! La riflessione
totale si verifica
soltanto se:
"$ n2 < n1
#
%$! i > ! c
!
sin 90° n1
=
sin ! c
n2
n
! c = arcsin 2
n1
•! Pertanto in una fibra ottica, che deve trasferire un flusso di luce a
grande distanza, è essenziale non avere perdite dovute a raggi
rifratti che escono dalla fibra:
!
–! Per eliminare questo tipo di perdite è necessario che le riflessioni del
raggio sulla parete della fibra siano sempre riflessioni totali.
con
'"()!(
n
! c = arcsin 2
n1
!"#$%&
'"()!(
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
39!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
40!
Riflessione Totale (VI)
Prisma
!"#$%&'(!"#
#%)#'*%+,"
•! Consideriamo un prisma, costituito di materiale trasparente (con
indice di rifrazione superiore all’aria), investito da un raggio di luce.
•! Chiamiamo n l’indice di rifrazione del materiale di cui è costituito il
prisma e consideriamo 1 l’indice di rifrazione
dell’aria.
•! Il raggio subisce 2 rifrazioni:
•! Se la fibra è eccessivamente curvata, può
accadere che la riflessione non sia più una
riflessione totale e conseguentemente ci sia
una perdita nel flusso di energia, dovuta al
raggio rifratto che esce dalla fibra.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
–! Entrando nel prisma;
–! Uscendo dal prisma.
41!
Prisma (II)
42!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Prisma (III)
•! Dalla misura dell’angolo # del prisma e dell’angolo minimo di
deviazione del raggio $min si può determinare l’indice di rifrazione
del materiale di cui è costituito il prisma.
•! Infine, nel triangolo DBC l’angolo esterno " è pari alla somma dei due
angoli interni non adiacenti:
•! Per la legge di Snell, nelle 2 rifrazioni si ha:
•! Differenziando la legge si Snell si ha:
(
)
(
sin i
= n ! sin i = nsin r
sin r
sin i
=n
sin r
sin r ! 1
=
sin i! n
cos i di = n cos r dr ! di = n
1
sin r " 1
=
! sin r " = sin i"
n
sin i" n
1
cos r " dr " = cos i" di"
n
1 cos i"
dr " =
di"
n cos r "
•! Inoltre nel triangolo ABC la somma degli
angoli è un angolo piatto, per cui:
(
) (
) (
)
! + 90° " r + 90° " r # = 180°
! = r + r#
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
)
! = i " r + i# " r # = i + i# " r + r # = i + i# " $
43!
! = r + r"
cos r
dr
cos i
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
44!
Prisma (IV)
Prisma (V)
•! Differenziando i precedenti risultati si ha, essendo # costante:
•! Otteniamo quindi:
cos r cos i"
cos r " cos i
di" # di" = !
di
cos i cos r "
cos r cos i"
di"
cos r " cos i
d$ di + di"
=
= 1+
= 1!
di
di
cos r cos i"
di
%! = r + r "
%r + r " = !
%dr + dr " = 0
( &
( &
&
'# = i + i" $ !
' i + i" = # + !
'di + di" = d#
di = !
•! Riassumendo:
$
cos r
&di = n cos i dr
&
1 cos i!
&
di!
% dr ! =
n cos r !
&
&dr ! = "dr
&di + di! = d#
'
di = n
•! Quando $ è minimo si ha:
$
cos r
&di = n cos i dr
&
1 cos i!
&
di!
%dr ! =
n cos r !
&
&dr ! = "dr
&di + di! = d#
'
$( = r + r !
%
'# = i + i! " (
$&i = i#
d!
cos r # cos i
=0 "
= 1 " % min min
cos r cos i#
di
#
&'rmin = rmin
cos r
cos r
cos r 1 cos i"
cos r cos i"
dr = !n
dr " = !n
di" = !
di"
cos i
cos i
cos i n cos r "
cos i cos r "
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
45!
Prisma (VI)
!
$"imin = imin
#
!
%$rmin = rmin
' rmin =
( = i + i! ) & = 2imin ) & ' imin
sin imin sin
n=
=
sin rmin
46!
Prisma (VII)
•! Quando $ è minimo si ha, di conseguenza:
& = rmin + rmin
! = 2rmin
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
( min + &
2
&
sin
2
&
2
( +&
= min
2
$
cos r
&di = n cos i dr
&
1 cos i!
&
di!
%dr ! =
n cos r !
&
&dr ! = "dr
&di + di! = d#
'
$( = r + r !
%
'# = i + i! " (
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
47!
•! Abbiamo così trovato l’indice di rifrazione n in funzione dell’angolo #
del prisma e dell’angolo minimo di deviazione del raggio $min:
n=
sin
! min + "
2
"
sin
2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
48!
Il Diottro Sferico
Il Diottro Sferico (II)
•! Il diottro sferico è una superficie sferica che separa due mezzi
trasparenti con diverso indice di rifrazione.
•! Per la legge di Snell si ha, per il raggio rifratto nel punto Q:
sin i n2
=
sin r n1
•! N.B.: Un diottro non è un mezzo materiale, non è costituito di
materiale. Un diottro è una superficie geometrica (immateriale) che
separa due materiali trasparenti diversi:
•! Inoltre, poiché due angoli supplementari hanno lo stesso
seno, sin ! " x = sin x , si ha:
(
–! P.es.: aria-vetro, aria-acqua, acqua-vetro, ecc.
sin i = sin AQ̂C
!"#$$%#&'()%"*#
sin AĈQ = sin A! ĈQ
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
49!
Il Diottro Sferico (III)
•! Applicando il teorema dei seni al triangolo AQC si ha:
sin AQ̂C
AC
=
sin AĈQ
AQ
!
sin i sin A" ĈQ
=
x+ R
AQ
•! Applicando il teorema dei seni al triangolo A$QC si ha:
sin r
CA!
=
sin A! ĈQ
A! Q
"
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
50!
Il Diottro Sferico (IV)
•! Dalle precedenti uguaglianze otteniamo:
sin i n2
=
sin r n1
sin i = sin AQ̂C
sin AĈQ = sin A! ĈQ
sin r
sin A! ĈQ
=
x! # R
A! Q
sin i sin A! ĈQ #
=
%
x+ R
AQ
%
$ '
sin r
sin A! ĈQ %
=
x! " R
A! Q %&
AQ
A! Q
AQ
A! Q
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
51!
=
sin r x + R
sin i x ! " R
=
n1 x + R
n2 x ! " R
sin i
sin r
AQ =
A! Q
x+ R
x! " R
sin i n2
=
sin r n1
sin i = sin AQ̂C
sin AĈQ = sin A! ĈQ
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
52!
Il Diottro Sferico (V)
Il Diottro Sferico (VI)
•! Tuttavia, per piccole vergenze " (fasci di raggi parassiali, ovvero
fasci di raggi poco inclinati sull’asse), il sistema diventa
approssimativamente stigmatico:
AQ n x + R
•! Il diottro sferico è un sistema non-stigmatico:
–! Al variare di Q sulla superficie del diottro x% non rimane costante
(infatti il I membro AQ/A$Q varia, mentre nel II membro sono tutte
costanti eccetto x$).
%' AQ ! AO = x
!"0 # &
#
(' A$ Q ! A$ O = x $
n x+R
= 1
A! Q n2 x ! " R
AQ
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
53!
Il Diottro Sferico (VII)
x+R
x! " R
= n1
x
x!
$n n '
# n2 " n1 = R & 1 + 2 )
% x x! (
# n2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
=
1
n2 x ! " R
54!
Il Diottro Sferico (VIII)
•! Otteniamo quindi, per fasci di raggi parassiali (piccole vergenze "):
n1 x + R
x
=
n2 x ! " R x !
n1 x + R
x
!
n2 x $ ) R x $
A! Q
•! I fuochi sono i punti coniugati dei punti all’infinito.
•! La prima e la seconda distanza focale si ottengono perciò,
dall’equazione del diottro, come:
$
$
R'
R'
# n2 & 1 " ) = n1 & 1 + )
x(
x! (
%
%
n1 n2 n2 " n1
+ =
x x!
R
n2
f 2 = lim x # =
R
x!"
n2 $ n1
•! Ovvero l’equazione del diottro:
n1 n2 n2 " n1
+ =
x x!
R
f2 =
n2
R
n2 ! n1
f1 = lim x =
x ! "#
f1 =
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
55!
n1
R
n2 $ n1
n1
R
n2 ! n1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
56!
Il Diottro Sferico (IX)
Il Diottro Sferico (X)
•! Il diottro crea una corrispondenza biunivoca tra punti oggetto A e
punti immagine A$.
•! Data la definizione dei fuochi:
"
n2
'" f1 n1
R$
$ =
n2 ! n1 $
& (# f 2 n2
#
n1
$f ! f = R
R$
f1 =
1
)% 2
n2 ! n1 $%
n1
n2 " n1
x x!
R
n2 " n1 f1 n2 " n1 f 2 n2 " n1
+
=
R x
R x!
R
f2 =
+
n2
=
•! Il diottro crea perciò una corrispondenza biunivoca tra punti alla
sinistra del diottro (spazio oggetto) e punti alla destra del diottro
(spazio immagine).
•! Calotte sferiche di raggio x + R sono trasformate in calotte sferiche
di raggio x"#R.
L’equazione del diottro si può anche scrivere nella forma:
f1 f 2
+
=1
x x!
•! Se l << x + R le
due calotte si
approssimano
con due piani
(piani coniugati).
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
!"#$%&
&''())&
57!
Il Diottro Sferico (XI)
!"#$%&
%**#'%+(
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
58!
Il Diottro Sferico (XII)
•! Approssimazione di Gauss:
•! Dall’equazione del diottro:
x ! n2 x ! " R
=
x n1 x + R
–! Fasci di raggi parassiali: piccola vergenza ".
–! Oggetto di piccole dimensioni trasversali: l << x + R.
e dalla similitudine dei triangoli BAC e B$A$C:
x! " R l !
=
x+R l
segue che l’ingrandimento lineare trasversale G è costante per
ciascuna coppia di piani coniugati a distanza fissata x e x$:
x ! l ! n2
=
x
l n1
G=
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
59!
l ! x ! n1
=
x n2
l
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
60!
Il Diottro Sferico (XIII)
Il Diottro Sferico (XIV)
•! Si ha inoltre:
•! Per costruire graficamente le immagini è utile considerare raggi
particolari:
QO #
%
! " tan ! " x
x %
AO
=
$ ' K= !
!
tan ! x "
QO QO %
tan ! " !
=
x " %&
A" O
tan ! !
QO
=
–! Il raggio passante per il centro di curvatura del diottro non viene
deviato dal diottro.
–! I raggi che incidono sul diottro paralleli all’asse ottico convergono sul
secondo fuoco.
•! L’ingrandimento angolare (o rapporto di convergenza) K è costante
per ciascuna coppia di punti coniugati a distanza fissata x e x$:
K=
–! I raggi che escono dal primo fuoco vengono deviati dal diottro in modo
da risultare paralleli all’asse ottico.
"! x
=
" x!
•! Si ha inoltre:
G!K =
n1
n2
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
61!
Il Diottro Sferico (XV)
n1
R > 0,
n2 ! n1
x > f1 " 0 <
f2 =
•! Costruzione dell’immagine: R > 0, n2 > n1, 0 < x < f1:
n2
R>0
n2 ! n1
f1
<1 "
x
f2
x#
= 1!
•! Immagine reale e capovolta.
f1 =
f1
> 0 " x# > 0
x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
62!
Il Diottro Sferico (XVI)
•! Costruzione dell’immagine: R > 0, n2 > n1, x > f1:
f1 =
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
f1 f 2
+
=1
x x!
63!
n1
R > 0,
n2 ! n1
0 < x < f1 "
f2 =
n2
R>0
n2 ! n1
f1
>1 "
x
f2
x#
= 1!
•! Immagine virtuale e diritta.
f1
< 0 " x# < 0
x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
f1 f 2
+
=1
x x!
64!
Il Diottro Sferico (XVII)
Il Diottro Sferico (XVIII)
•! Costruzione dell’immagine: R > 0, n2 < n1:
f1 =
n1
R < 0,
n2 ! n1
f1
<0 "
x
f2
x#
f2 =
= 1!
•! Costruzione dell’immagine: R < 0, n2 > n1:
n2
R<0
n2 ! n1
f1 =
f1
> 0 " x# < 0
x
f1 f 2
+
=1
x x!
•! Immagine virtuale e diritta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
0 < x < f1 "
f2 =
f2
x#
= 1!
•! Immagine virtuale e diritta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
f1
> 0 " x# < 0
x
f1 f 2
+
=1
x x!
•! Immagine virtuale e diritta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
f1 =
f1
< 0 " x# < 0
x
x#
= 1!
66!
•! Costruzione dell’immagine: R < 0, n2 < n1, x > f1:
n2
R>0
n2 ! n1
f1
>1 "
x
f2
n2
R<0
n2 ! n1
Il Diottro Sferico (XX)
•! Costruzione dell’immagine: R < 0, n2 < n1, 0 < x < f1:
n1
R > 0,
n2 ! n1
f1
<0 "
x
f2 =
65!
Il Diottro Sferico (XIX)
f1 =
n1
R < 0,
n2 ! n1
f1 f 2
+
=1
x x!
67!
n1
R > 0,
n2 ! n1
x > f1 " 0 <
f2 =
n2
R>0
n2 ! n1
f1
<1 "
x
f2
x#
= 1!
•! Immagine reale e capovolta.
f1
> 0 " x# > 0
x
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
f1 f 2
+
=1
x x!
68!
Lo Specchio Sferico
Lo Specchio Sferico (II)
•! La riflessione può essere formalmente descritta come una rifrazione
tra due mezzi aventi rispettivamente indici di rifrazione n1 = 1 e
n2 = "1.
•! Dalle proprietà del diottro sferico:
"
n1
R
$ f1 =
n2 ! n1
$
#
$ f = n2 R
$ 2 n !n
2
1
%
•! Si tratta, ovviamente, di un artificio formale, in quanto l’indice di
rifrazione fisico è sempre positivo:
–! È il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel
mezzo.
" f1 f 2
=1
$ +
$ x x&
#
$G = l & = x & n1
$%
x n2
l
si trovano le proprietà dello specchio sferico ponendo:
$" n1 = 1
#
%$ n2 = !1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
69!
Lo Specchio Sferico (III)
•! Ponendo n1 = 1 e n2 = "1, si ottiene:
"
R
$ f1 = !
2
#
R
$ f2 =
2
%
$1 1
2
& ! =!
R
& x x"
R
&
&f =± 2
%
&G = l " = ! x "
&
l
x
&
#" x
&K = =
# x"
'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
70!
Lo Specchio Sferico (IV)
"
n1
R
$ f1 =
n2 ! n1
$
#
$ f = n2 R
$ 2 n !n
2
1
%
" f1 f 2
=1
$ +
$ x x&
l & x & n1
$
#G = =
x n2
l
$
$
'& x
$K = =
' x&
%
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
71!
•! Specchio convesso (R > 0):
$1 1
2
& ! =!
x
R
x
"
&
R
&
&f =+ 2
%
&G = l " = ! x "
&
l
x
&
#" x
&K = =
# x"
'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
72!
Lo Specchio Sferico (V)
Lo Specchio Sferico (VI)
•! Specchio concavo (R < 0), 0 < x < f :
•! Specchio concavo (R < 0), x > f :
$1 1
2
& ! =!
R
& x x"
R
&
&f =! 2
%
&G = l " = ! x "
&
l
x
&
#" x
&K = =
# x"
'
$1 1
2
& ! =!
R
& x x"
R
&
&f =! 2
%
&G = l " = ! x "
&
l
x
&
#" x
&K = =
# x"
'
73!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Lo Specchio Sferico (VII)
•! Costruzione dell’immagine: R > 0:
f =
R
>0
2
x>0 !
Lo Specchio Sferico (VIII)
R
2
1 1
2
! =!
x x"
R
f =
1 1 2
= + > 0 ! x" > 0
x" x R
74!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
•! Costruzione dell’immagine: R < 0, 0 < x < f :
f =!
R
>0
2
0<x< f =!
•! Immagine virtuale
e diritta.
R
2
"
1
2
>!
x
R
"
1 1 2
= + > 0 " x# > 0
x# x R
R
2
1 1
2
! =!
x x"
R
f =
•! Immagine virtuale
e diritta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
75!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
76!
Lo Specchio Sferico (IX)
•! Costruzione dell’immagine: R < 0, x > f :
R
>0
2
R
"
x> f =!
2
f =!
1
2
<!
x
R
"
1 1 2
= + < 0 " x# < 0
x# x R
Sistemi Ottici Centrati
R
2
1 1
2
! =!
x x"
R
f =
•! Nei ragionamenti eseguiti sul diottro, è importante che l’oggetto
puntiforme A sia sorgente di un fascio di raggi omocentrico; non è
importante il modo in cui questo fascio è ottenuto.
•! Immagine
reale e
capovolta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
77!
Sistemi Ottici Centrati (II)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
78!
Sistemi Ottici Centrati (III)
•! In particolare A può essere una sorgente puntiforme di luce; ma A
può essere anche l’immagine stigmatica di una sorgente puntiforme di
luce, ottenuta mediante un altro sistema ottico.
•! Un fascio omocentrico parassiale resta allora omocentrico per un
numero qualsiasi di rifrazioni (e riflessioni) in un sistema ottico
centrato. Quindi il punto A produce, nel sistema ottico centrato,
un’immagine stigmatica A(N) (reale o virtuale).
•! Quindi la legge dei punti coniugati si può applicare successivamente a
tutte le superfici rifrangenti di un sistema ottico complicato:
l’immagine dell’i-esimo diottro è l’oggetto per il diottro
(i + 1)-esimo.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
•! Si chiama sistema ottico centrato un sistema costituito da due o più
superfici sferiche, aventi tutte i centri su di una stessa retta, le
quali separano mezzi trasparenti di diverso indice di rifrazione
(diottri) o costituiscono superfici riflettenti (specchi).
79!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
80!
Sistemi Ottici Centrati (IV)
Lente Semplice
•! Il più semplice sistema ottico centrato è la lente.
•! Una piccola porzione di un piano, situato nel primo mezzo,
perpendicolarmente all’asse ottico del sistema centrato sarà
riprodotto nell’ultimo mezzo rifrangente sul piano coniugato, sempre
perpendicolare all’asse ottico.
•! La lente è un sistema ottico costituito dalla successione di due
diottri semplici, in cui il primo e il terzo indice di rifrazione sono
uguali.
•! Una lente si dice sottile se il suo spessore è piccolo rispetto ai raggi
di curvatura R# e R$ delle due superfici.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
81!
Lente Semplice (II)
82!
Lente Sottile
•! Posto n = n2 n1, si ha, per i due diottri:
# n1 n1n n1n " n1
=
% +
R!
% x1 x !
$
% n1n + n1 = n1 " n1n
% " x! + d x
R!!
2
&
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
# 1 n n "1
% + =
R!
% x1 x !
$
% n + 1 = 1" n
%& " x ! + d x 2
R!!
•! Se lo spessore della lente è trascurabile rispetto alle distanze
dell’immagine e dell’oggetto, si ha:
n1 n2 n2 " n1
+ =
x x!
R
$ 1 n n #1
& + =
R!
& x x!
d ! x! " % 1
& n + 1 = 1# n
&' # x ! x 2
R!!
( 1
1
1
1 +
+
= n #1 * #
x1 x 2
) R! R!! -,
(
)
)1
1
1
=
+ +
+ x1 x 2 F
*
+ 1 = n !1 # 1 ! 1 &
%$ R" R"" ('
+F
,
(
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
83!
# 1 n n "1
% + =
R!
% x1 x !
$
n
1
1" n
%
+
=
%& " x ! + d x 2
R!!
(Equazione della lente sottile)
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
84!
Lente Sottile (II)
Lente Sottile (III)
•! L’inverso della distanza focale, 1/F, è detto convergenza della lente.
•! Dalla similitudine dei triangoli OA1B1 e OA2B2 segue che:
•! Se F è espresso in metri, 1/F, è espresso in diottrie [m"1].
OA1 B1 ! OA2 B2
•! Per esempio, se la distanza focale di una lente è pari a 25 cm, la sua
convergenza è pari a 4 diottrie.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
85!
G=
l2 x2
=
l1 x1
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
86!
Lente Sottile (V)
•! Si ha inoltre:
! 2 tan ! 2 QO
!
=
!1 tan !1 OA2
l2 OA2 x2
=
=
l1 OA
x1
1
•! L’ingrandimento lineare trasversale G è costante per ciascuna coppia
di piani coniugati a distanza fissata x e x#.
Lente Sottile (IV)
K=
! G=
•! Tipi di lente convergente:
QO
OA1
=
OA1
OA2
=
x1
x2
K=
! 2 x1
!
!1 x2
biconvessa
$ 1
1 '
1
= n #1 & #
>0 " F >0
F
% R! R!! )(
(
R! > 0, R!! < 0 "
•! L’ingrandimento angolare (o rapporto di convergenza) K è costante
per ciascuna coppia di piani coniugati a distanza fissata x e x#. Infine:
K !G = 1
)
piano- convessa
R! > 0, R!! " # $
& 1
1 )
1
= n %1 ( %
>0 $ F >0
F
' R! R!! +*
(
)
menisco- convergente
0 < R! < R!! "
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
87!
$ 1
1
1 '
= n #1 & #
>0 " F >0
F
% R! R!! )(
(
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
88!
Lente Sottile (VI)
Lente Sottile (VII)
•! Tipi di lente divergente:
•! Costruzione dell’immagine: 0 < F < x1:
0 < F < x1 !
biconcava
$ 1
1 '
1
= n #1 & #
<0 " F <0
F
% R! R!! )(
(
R! < 0, R!! > 0 "
)
1
1 1
= " > 0 ! x2 > 0
x2 F x1
1
1
1
+
=
x1 x 2 F
•! Immagine reale e capovolta.
piano- concava
R! " #, R!! > 0 $
& 1
1 )
1
= n %1 ( %
<0 $ F <0
F
' R! R!! +*
(
)
menisco- divergente
0 < R!! < R! "
$ 1
1
1 '
= n #1 & #
<0 " F <0
F
% R! R!! )(
(
)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
89!
Lente Sottile (VIII)
!
90!
Lente Sottile (IX)
•! Costruzione dell’immagine: 0 < x1 < F:
0 < x1 < F
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
•! Costruzione dell’immagine: F < 0 < x1:
1
1 1
= " < 0 ! x2 < 0
x2 F x1
F < 0 < x1 !
•! Immagine virtuale
e diritta.
1
1 1
= " < 0 ! x2 < 0
x2 F x1
•! Immagine virtuale e diritta.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
91!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
92!
Condizioni per la Formazione di
un’Immagine Stigmatica e Indistorta
Aberrazione Sferica
•! Le costruzioni geometriche esposte sinora sono valide se sono
soddisfatte, almeno approssimativamente, le seguenti condizioni:
•! Caustica: superficie che inviluppa l’insieme dei raggi di un fascio
rifratto.
–! Fasci di raggi parassiali: piccola vergenza %.
•! In assenza di aberrazione sferica la caustica si riduce a un punto
(vertice del
fascio
omocentrico).
–! Oggetto di piccole dimensioni trasversali: l << x + R.
–! Indice di rifrazione indipendente dalla lunghezza d’onda.
•! In presenza di
aberrazione
sferica la
caustica ha un
asse di
simmetria ma
non un centro
di simmetria.
•! Queste condizioni non possono essere verificate in alcune condizioni
pratiche:
–! Grandi aperture di diaframma (grandi %): sono necessarie per avere
immagini luminose.
–! Obiettivi grandangolari: sono utilizzati per ottenere immagini da oggetti
di grandi dimensioni (grandi l).
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
93!
Aberrazione Sferica (II)
!"#$%&!"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
94!
Correzione dell’Aberrazione Sferica
•! A causa dell’aberrazione sferica un oggetto puntiforme produce
sullo schermo un’immagine nella forma di un cerchietto (cerchietto di
diffusione) illuminato irregolarmente.
•! Lamina di correzione asferica.
•! Una lente di vetro crown (n = 1.5) con un rapporto 1:6 dei raggi di
curvatura il cui lato più convesso è rivolto verso i raggi paralleli ha
aberrazione minima.
•! L’aberrazione sferica si conserva anche nel caso di un punto
luminoso giacente sull’asse del sistema, caso in cui tutte le altre
aberrazioni scompaiono (con luce monocromatica).
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
•! Specchio parabolico.
95!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
96!
Coma
Coma (II)
•! Se un oggetto puntiforme si trova fuori dall’asse ottico, la sua
immagine ha la forma di una macchia con un pennacchio luminoso,
simile alla forma di una cometa (dal greco %&µ', chioma).
•! Se l’oggetto si trova fuori dall’asse ottico, i raggi passanti per i
bordi della lente convergono — non soltanto a distanza diversa
dalla lente rispetto ai raggi passanti per il centro — ma anche a
distanza diversa dall’asse ottico. Questa è l’origine dell’aberrazione
di coma .
97!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Astigmatismo dei Fasci Inclinati
Astigmatismo dei Fasci Inclinati (II)
•! L’oggetto puntiforme L produce due immagini stigmatiche a forma di
segmento.
•! Il piano meridiano contiene la sorgente e passa per l’asse ottico.
•! Il piano sagittale è perpendicolare al piano meridiano.
'(
&
$%
!"#
–! Sulla prima (di orientamento sagittale) sono a fuoco i raggi giacenti sul
piano meridiano.
%
#$
"
)"*
98!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
–! Sulla seconda (di orientamento meridiano) sono a fuoco i raggi giacenti
sul piano sagittale.
%
"#$
"*
()
•! Su di un piano
&'
$%
intermedio il
!"#
fascio ha
!"#$%&+#,"--#.(
sezione
circolare (cerchio di
minima confusione).
!"#$%&+#,"--#.(
!
!!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
!!!
99!
!
!!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
!!!
100!
Curvatura di Campo
Distorsione
•! La superficie su cui l’immagine è a fuoco non è un piano.
•! Si osserva con oggetti estesi, anche utilizzando sistemi di piccola
apertura.
•! Inoltre raggi giacenti su piani meridiani e sagittali sono a fuoco
su superfici diverse.
•! Ha origine nella variazione dell’ingrandimento trasversale con la
distanza dall’asse.
non distorta
distorsione a cuscino
101!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Aberrazione Cromatica
distorsione a botte
102!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Lenti Acromatiche
•! Scegliendo in maniera appropriata i parametri si possono fare
coincidere i fuochi di 2 (o persino di 3) lunghezze d’onda.
!"#$%&&#
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
'#((#
103!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
!"#$%&/01)#&!)*+,2-"
•! La struttura più semplice di una lente acromatica è composta da una
lente biconvessa di vetro crown (n = 1.52) incollata a una appropriata
lente divergente di vetro flint (n = 1.65).
!"#$%&'$%()&!)*+,-."
•! Poiché l’indice di rifrazione varia con la lunghezza d’onda
(dispersione) anche la distanza focale varia con la lunghezza d’onda.
104!
L’Occhio
L’Occhio (II)
•! La curvatura della superficie del cristallino, che è il più rifrangente
dei mezzi che compongono l’occhio, può volontariamente modificarsi
per mezzo del muscolo ciliare, onde mettere a fuoco oggetti posti a
distanze diverse (accomodazione).
R% (anteriore)
R%% (posteriore)
spessore
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105!
L’Occhio (III)
vicino
lontano
6 mm
10 mm
5.5 mm
6 mm
4 mm
3.6 mm
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106!
L’Occhio (IV)
•! Il foro di entrata della luce nell’occhio (pupilla) è limitato dall’iride, un
diaframma muscolare pigmentato situato tra la cornea e il cristallino
(la quantità di pigmento determina il colore dell’occhio).
•! Se si trascura l’accomodazione, l’occhio può essere schematizzato,
con buona approssimazione, come un diottro, di raggio pari a
circa!6 mm, situato circa 2 mm dietro la cornea, che separa l’aria
dall’umor acqueo/corpo vitreo (modello ridotto dell’occhio).
•! L’iride, contraendo e dilatando la pupilla, modifica l’apertura relativa
dell’occhio per adattarlo a oggetti di diversa luminosità.
•! Il diametro della pupilla può variare da 1 mm a 10 mm.
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107!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
108!
Alcune Definizioni Fotometriche
La Macchina Fotografica
•! Intensità del flusso luminoso, !: energia trasportata per unità di
tempo da un fascio di luce [ET –1].
•! Un’immagine reale rovesciata dell’oggetto è formata da una lente o
una combinazione di lenti (obiettivo) sul piano della pellicola.
•! Illuminamento o illuminanza o irradiamento o densità del flusso
luminoso E = d! / dS: energia trasportata per unità di tempo e per
unità di superficie [ET –1L–2].
•! Se l’oggetto è in movimento è necessario esporre la
pellicola per tempi brevi.
•! Intensità luminosa di una sorgente puntiforme in una direzione
fissata E = d! / d$: energia emessa dalla sorgente, per unità di
tempo, in un angolo solido d( attorno alla direzione fissata e riferita
all’unità di angolo solido [ET –1].
•! In tal caso
l’apertura del
diaframma deve
essere più ampia
possibile per potere
raccogliere luce sufficiente a
impressionare la pellicola.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
109!
L’Otturatore
,)--".'-#
'**/%#*'%)
•! Splendore o brillanza o luminosità di una sorgente estesa
% = d2! / (d$ dS): energia emessa da una parte della sorgente avente
superficie dS, per unità di tempo, in un angolo solido d( attorno alla
direzione fissata e riferita all’unità di angolo solido e all’unità di
superficie della sorgente [ET –1L–2].
!"#$%#&&#
'(")**"+'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
Il Diaframma
•! L’otturatore evita che la luce che incide sull’obiettivo raggiunga
normalmente la pellicola.
•! Il diaframma è un sistema meccanico che varia il foro (pupilla) di
entrata della luce nell’obiettivo.
•! Si apre per una breve frazione di tempo (da 30 s a 1/4000 s) durante
lo scatto.
•! L’angolo in cui si propaga la luce nella
macchina fotografica è dato da 2",
dove:
•! La luce che raggiunge la pellicola è proporzionale al tempo di
esposizione.
! ! tan ! =
,)--".'-#
!"#$%#&&#
'**/%#*'%)
•! Se il tempo di esposizione è
lungo (> 1/60 s) e l’oggetto è
in movimento, la foto può
risultare “mossa”.
110!
a/2
F
a è il diametro della pupilla e F è la
distanza focale dell’obiettivo.
#$!%&!''!
!
"
'(")**"+'
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
111!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
112!
Il Diaframma (II)
Il Diaframma (III)
•! L’angolo solido corrispondente è:
•! L’illuminamento della pellicola si ottiene integrando l’intensità
luminosa K dell’oggetto sull’angolo solido $: Ee = K (.
2%
& #
#
! = ( d" $ sin # d# = 2% *+ ) cos# ,-0 = 2% *+ ) cos# + cos0 ,- =
' 0
#
= 2% 1 ) cos# = 4% sin
2
)
•! Risulta:
#$!%&!''!
0
(
•! Ee e K hanno le stesse dimensioni [Ee] = [K] = [ET"1L" 2].
Ee = K! = K " 4# sin 2
poiché vale l’identità trigonometrica:
2
!
2
!
1 " cos ! = 2sin 2
2
!
% a / 2(
# a2
=
K
= K #$ 2 = K # '
4 F2
& F *)
2
cos ! = 1 " 2sin 2
$
$
! K " 4#
=
2
4
2
2
!
cos 2! = cos ! " sin ! = 1 " 2sin !
2
#$!%&!''!
2
•! L’illuminamento della pellicola Ee è
proporzionale ad a2/F2, dove a è il diametro della pupilla
e F è la distanza focale dell’obiettivo.
"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
113!
Il Diaframma (IV)
"
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
114!
Diaframma e Otturatore
•! Il rapporto:
•! L’energia elettromagnetica che raggiunge la pellicola è
proporzionale all’illuminamento Ee e al tempo di esposizione !t:
Ee ! a 2
!
K 4 F2
2
è detto luminosità dell’obiettivo,
mentre a/F è detta apertura relativa.
•! Negli obiettivi usualmente è indicato
il rapporto N = F/a:
–! Per esempio, un obiettivo da
50 mm “f/2” ha N = F/a = 2, ovvero
a = F/N = 2.5 cm.
!t
"a#
E $ Ee !t $ % & !t = 2
N
'F(
#$!%&!''!
•! Solitamente le macchine fotografiche hanno una scala di diaframmi
con valori N differenti per un fattore &2:
–! 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22, 32, 45;
!
•! e una scala di tempi di esposizione !t differenti per un fattore 2:
–! 1, ", #, 1/8, 1/15, 1/30, 1/60, 1/125, 1/250, 1/500, 1/1000, 1/2000;
"
–! Un obiettivo da 100 mm “f/2” ha N = 2,
ovvero a = 5 cm.
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115!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
116!
Diaframma e Otturatore (II)
Profondità di Campo
•! Per quanto concerne l’energia elettromagnetica E che raggiunge la
pellicola, e dunque l’esposizione della pellicola, raddoppiare il tempo
di esposizione !t equivale a dividere N per &2.
(minima
profondità
di campo)
•! Le seguenti coppie di valori (N, !t) sono equivalenti per
impressionamento della pellicola:
N
!t
Apertura relativa diaframma
Tempo di esposizione
16
1/60
11
1/125
8
1/250
5.6
1/500
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(massima
profondità
di campo)
117!
Profondità di Campo (II)
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
118!
Profondità di Campo (III)
•! Fissata la focale F dell’obiettivo e la distanza x% della pellicola
dall’obiettivo, esiste a rigore un solo valore della distanza x, alla
quale si può porre un oggetto, in modo che esso risulti nitido sulla
pellicola (immagine puntiforme di un oggetto puntiforme).
•! Dall’equazione della lente sottile segue, differenziando:
1 1 1
+ =
x x! F
# 1&
# 1&
dx !
dx
" d% ( + d% ( = 0 "
=) 2
$ x'
$ x! '
x2
x!
formula che mette in relazione una variazione della distanza x
dell’oggetto con una variazione della distanza x$ dell’immagine.
•! Tuttavia avvicinando o allontanando l’oggetto rispetto a tale posizione
la nitidezza decresce gradualmente.
•! Di fatto, entro un certo intervallo di distanze [x +!x, x &!x] la
perdita di nitidezza è trascurabile se comparata ad altri limiti nella
risoluzione dell’immagine (diffrazione, aberrazioni, grana della
pellicola).
•! Un’immagine non proprio puntiforme di un oggetto puntiforme è
perciò accettabile, purché il suo diametro !A sia inferiore alla
risoluzione.
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119!
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
120!
Profondità di Campo (IV)
Profondità di Campo (V)
•! Dalla similitudine dei 2 triangoli in figura segue inoltre che:
dA
dx !
dx !
=
!
A x ! + dx ! x !
" dx = #
x2
x 2 x!
x 2 dA
d
x
=
#
dA
=
#
!
x! A
x! 2
x! 2 A
1 1 1
+ =
x x! F
dx
dx !
=" 2
x2
x!
•! Considerando incrementi finiti e trascurando il segno di !x, si ottiene:
!x =
•! Osserviamo ora che:
!x =
( ) = $ 1 # 1' x > 0
! ( "A) &% F x )( A
! "x
x 2 !A $ 1 1 ' 2 !A
=
#
x
A
x " A &% F x )(
2
•! La profondità di campo !x, aumenta se aumenta la tolleranza
accettabile !A.
x 2 !A $ 1 1 ' 2 !A
=
#
x
A
x " A &% F x )(
( ) = $ 1 # 1 ' x "A $ #
! "x
!A
&% F
x )(
2
&%
1'
<0
A2 )(
•! La profondità di campo !x, diminuisce aprendo il diaframma.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
121!
Profondità di Campo (VI)
•! Inoltre:
( ) = $ 2x # 1' "A > 0
! "x
!x
&% F
)( A
x 2 !A $ 1 1 ' 2 !A
=
#
x
A
x " A &% F x )(
( )=#
!F
•! Per una data illuminazione dell’oggetto, più coppie (N, !t)
corrispondono a una corretta illuminazione della pellicola.
•! Chiudendo il diaframma e aumentando il tempo di esposizione:
–! Aumenta la profondità di campo;
•! La profondità di campo !x aumenta se aumenta la distanza x
dell’oggetto.
! "x
122!
Diaframma e Otturatore (III)
!x =
(x > F )
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
–! Diminuisce la capacità di fermare un oggetto in movimento.
1 2 "A
x
<0
A
F2
•! La profondità di campo !x, diminuisce se aumenta la focale F
dell’obbiettivo.
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
123!
N
!t
Apertura relativa diaframma
Tempo di esposizione
16
1/60
11
1/125
8
1/250
5.6
1/500
massima profondità di campo;
massimo rischio di “mosso”
minima profondità di campo;
minimo rischio di “mosso”
Domenico Galli – Fisica Generale B – 13. Ottica Geometrica!
124!
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Domenico Galli
Dipartimento di Fisica
[email protected]
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