CdS in Ingegneria Energetica, Universit`a di Bologna Programma

CdS in Ingegneria Energetica, Università di Bologna
Programma dettagliato del corso di Fisica Generale T-A
prof. S. Pellegrini
Introduzione. Il metodo scientiﬁco. Principi e leggi della Fisica. I modelli in Fisica.
Grandezze ﬁsiche e loro misurazione. Grandezze principali e derivate. Dimensioni delle grandezze
ﬁsiche. Leggi ﬁsiche e analisi dimensionale. Sistemi di unità di misura SI e cgs. Incertezze associate
alla misura: errori sistematici, errori casuali, legge di Gauss, e risultato di una misurazione. Cifre
signiﬁcative. Misure di tempo; il secondo. Misure di lunghezza; il metro. Misure di massa; il
chilogrammo.
Calcolo vettoriale. Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Notazioni e deﬁnizioni vettoriali. Somma e diﬀerenza di vettori; proprietà commutativa ed associativa. Prodotto di uno scalare
per un vettore; dimensioni ﬁsiche di grandezze vettoriali. Versori e direzioni orientate. Scomposizione di vettori; vettori componenti e parte scalare di un vettore. Prodotto scalare e sue proprietà.
Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione (individuata da un versore). Modulo della
somma e modulo della diﬀerenza (legge di Carnot) di due vettori. Prodotto vettoriale: deﬁnizione
e proprietà. Legge dei seni. Sistemi di riferimento. Rappresentazione cartesiana ortogonale di un
vettore: terna ortogonale destra, scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani, componenti
cartesiane, coseni direttori, modulo, rappresentazione della direzione orientata di un vettore tramite
il suo versore. Equivalenza fra le rappresentazioni vettoriali tramite coordinate cartesiane e tramite
modulo e due angoli. Espressioni cartesiane delle operazioni fra vettori. Prodotto vettoriale triplo
e prodotto misto e loro proprietà. Vettore posizione e sua rappresentazione in sistemi di coordinate
cartesiane ortogonali, polari piane, sferiche e cilindriche. Relazione fra versori cartesiani ortogonali e versori polari piani. Vettore spostamento e distanza. Trasformazione delle componenti dei
vettori per traslazione e per rotazione del sistema di riferimento. Il concetto di derivata e principali funzioni derivate; proprietà principali delle derivate. Derivate di vettori e loro proprietà.
Derivata di vettore espressa in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ﬁsso. Derivata di
vettore di modulo costante. Derivate di versori e di vettori: modulo, direzione, verso. Il vettore ω
nell’espressione della derivata di un versore. Derivate dei versori radiale e trasverso costituenti la
base ortogonale locale del sistema di coordinate polari piane. Vettori applicati. Momento polare ed
assiale di un vettore applicato; contributo nullo al momento assiale da parte della componente del
vettore parallela all’asse. Sistemi di vettori applicati: risultante e momento risultante; la coppia.
Sistemi di vettori equivalenti. Riduzione di un sistema di vettori ad un unico vettore equivalente:
casi particolari di vettori concorrenti e vettori paralleli. Centro dei vettori paralleli.
Cinematica. La cinematica come descrizione del moto rispetto ad un sistema di riferimento
(SdR); il modello del punto materiale. Equazione vettoriale del moto. Rappresentazione intrinseca
della traiettoria: ascissa curvilinea, equazione della traiettoria e legge oraria. Il vettore velocità;
velocità media ed istantanea. La velocità nella rappresentazione intrinseca della traiettoria; il versore tangente e la velocità scalare. Rappresentazione cartesiana della velocità. Accelerazione media
–2–
ed istantanea e sua rappresentazione cartesiana. Accelerazione e sua rappresentazione intrinseca:
piano osculatore e cerchio osculatore; componente tangenziale e centripeta. Deﬁnizione e signiﬁcato
di integrale indeﬁnito e deﬁnito, per funzione scalare e vettoriale. Classiﬁcazione dei moti: uniforme, uniformemente accelerato; rettilineo e circolare. Derivazione delle corrispondenti equazioni
orarie, e dell’andamento temporale della velocità scalare e delle componenti tangenziale e centripeta
dell’accelerazione. Espressione dei versori intrinseci della traiettoria nei moti circolari, e rappresentazione di posizione, velocità, accelerazione rispetto ad essi; casi di moto circolare uniforme ed
uniformemente accelerato. Rappresentazione cartesiana di posizione, velocità ed accelerazione, nel
caso di moto circolare. Il vettore velocità angolare ω
. L’accelerazione angolare. Moti periodici.
Equazione diﬀerenziale delle componenti cartesiane del vettore posizione nel moto circolare uniforme; soluzione generale e determinazione delle costanti ampiezza e fase iniziale. Moto oscillatorio
armonico: equazione diﬀerenziale e soluzione per posizione, velocità, accelerazione; sfasamento tra
esse, punti di massimo e minimo; condizioni iniziali del moto e determinazione delle costanti della
soluzione. Moto piano in coordinate polari: espressioni per i vettori posizione, velocità e accelerazione. Il problema inverso della cinematica: scrittura dei vettori posizione (come integrale della
velocità) e velocità (come integrale della accelerazione). Il moto dei gravi come problema inverso:
vettori posizione e velocità, moto piano; scrittura delle componenti x(t), y(t) e vx (t), vy (t); indipendenza dei moti lungo x e lungo y. Scrittura della traiettoria y(x) nel caso di proiettile che
parte dall’origine del SdR, e nel caso generale. Caso del proiettile con velocità iniziale in direzione
orizzontale, che parte da una certa quota: rappresentazione cartesiana di posizione, velocità, accelerazione, traiettoria, ascissa di atterraggio, tempo di caduta (indipendente da v0x ). Caso di
proiettile che parte dall’origine del SdR: coordinate del punto di quota massima; tempo necessario
a raggiungerla; velocità in essa; gittata, sua dipendenza dall’angolo di v0 con l’orizzontale, velocità
all’atterraggio. Moti relativi: trasformazione dei vettori posizione, velocità, accelerazione quando
descritti in un SdR ﬁsso e in uno mobile. Derivazione e signiﬁcato delle espressioni per la velocità
di trascinamento e per l’accelerazione di trascinamento. Accelerazione di Coriolis. Espressione per
la velocità di trascinamento e per l’accelerazione di trascinamento nei casi particolari di: 1) ω=0
(traslazione relativa dei sistemi di riferimento); 2) ω = 0, sistemi in sola rotazione relativa. Espressione dei vettori posizione, velocità, accelerazione rispetto sistemi di riferimento in moto relativo
rettilineo uniforme (trasformazioni di Galileo), e in moto relativo circolare uniforme.
I principi della dinamica. Deﬁnizione di forza come causa del moto o di deformazione;
forze a distanza e di contatto; punto di applicazione. La forza peso. Il dinamometro e la deﬁnizione
operativa di forza. Carattere vettoriale della forza; principio di sovrapposizione delle forze. Concetti
di quiete ed equilibrio. Vincoli e reazione vincolare; vincoli lisci e scabri. Il piano inclinato liscio
e i componenti della forza peso ad esso parallelo e ortogonale. I tre principi fondamentali della
dinamica newtoniana. Il principio di inerzia e i sistemi di riferimento inerziali; trasformazioni di
Galileo. Il sistema di riferimento terrestre. Proporzionalità tra forza ed accelerazione da esperimenti
con piani inclinati: il secondo principio della dinamica e la massa inerziale. Il problema inverso
della cinematica nota la forza, la massa, e le condizioni iniziali. Additività della massa inerziale.
Unità di misura della forza nei sistemi SI, cgs e pratico degli ingegneri. Massa inerziale e peso.
–3–
L’interazione gravitazionale; il campo di forza gravitazionale e g; approssimazione del valore del
campo con g=9,8 m/s2 sulla superﬁcie terrestre. Quantità di moto e sua variazione per l’azione
di una forza; generalizzazione del secondo principio. Impulso di una forza. Teorema dell’impulso.
Momento angolare. Teorema del momento dell’impulso. Forze centrali e conservazione del momento
angolare rispetto il centro della forza; moti piani; costanza della velocità areolare.
Applicazioni dei principi della dinamica. Forze applicate su corpi puntiformi e derivazione
del moto risultante. Corpi appoggiati su superﬁci lisce, soggetti all’azione di forza costante (attiva
o vincolare) applicata direttamente o tramite ﬁlo; il concetto di tensione. Tensione nel ﬁlo ideale,
e nel ﬁlo dotato di massa non trascurabile. Tensione nel ﬁlo ideale fra due corpi vincolati. La
macchina di Atwood e la misura di g. La forza peso w come forza costante: caduta di un grave nel
vuoto, moto del proiettile; moto lungo un piano inclinato senza attrito, e confronto con il caso della
caduta libera. Moto in un mezzo che oppone una forza resistente descritta dalla legge di Stokes
(attrito viscoso); soluzione per la velocità e velocità limite. Forze elastiche e legge di Hooke; moto
oscillatorio armonico di un corpo soggetto a forza elastica. Costante elastica della molla, molle
in serie ed in parallelo. Comportamento dei materiali elastici: deformazione massima di un corpo
elastico (limite elastico); modulo di Young e limite di rottura. Moto di un corpo soggetto a forza
elastica e forza resistente (descrivente attriti e resistenza del mezzo): casi del moto supercritico
o sovrasmorzato, smorzato critico, e sottocritico o sottosmorzato (con pseudoperiodo). Confronto
fra i tre casi di smorzamento, decrescita esponenziale con il tempo dell’ampiezza, valore del coefﬁciente di resistenza β rispetto un βcritico ; tempo caratteristico di raggiungimento della posizione
di equilibrio. Il pendolo semplice: soluzione s(t) nella rappresentazione intrinseca, per piccole oscillazioni; dipendenza del periodo dalla lunghezza del ﬁlo ed indipendenza dalla massa del corpo;
dimostrazione della proporzionalità fra massa inerziale e gravitazionale. Il pendolo come misura del
tempo e di g. Calcolo dei valori di ampiezza massima e fase iniziale a partire dalle condizioni iniziali.
Calcolo della reazione vincolare del ﬁlo in funzione di s(t). Attrito radente statico; valore massimo
Rτmax e sua dipendenza dalla forza di carico e dal coeﬃciente di attrito statico. Attrito radente dinamico: espressione per l’intensità, coeﬃciente di attrito dinamico, direzione e verso. Caduta lungo
un piano inclinato scabro. Attrito statico, locomozione e rotolamento. Dinamica dei moti circolari:
descrizione in un SdR inerziale, tramite le componenti tangenziale e centripeta di accelerazione e
forza. La forza centripeta: caso del pendolo conico (in cui è fornita dalla tensione del ﬁlo), casi
dell’oggetto fermo su piattaforma rotante e dell’auto in curva (in cui è fornita dall’attrito radente
statico), caso di curva sopraelevata (in cui è fornita dalla reazione vincolare della strada). Moto
circolare in un piano verticale. Sistemi di riferimento non inerziali e seconda legge di Newton. Forze
vere e forze apparenti (o ﬁttizie); espressioni per la forza di trascinamento e la forza di Coriolis.
Dinamica nei sistemi di riferimento non inerziali: a bordo di un treno accelerato (casi della molla
compressa e del pendolo inclinato), su un veicolo dotato di attrito radente in moto rettilineo che
decelera, in un ascensore accelerato verso l’alto e verso il basso. Dinamica su piattaforma rotante:
descrizione delle forze nel SdR inerziale S e in quello non-inerziale solidale con la piattaforma S ;
deviazione prodotta dalla forza di Coriolis. Il sistema di riferimento terrestre: contributo della forza
centrifuga e verticale del luogo (deviata verso Sud rispetto alla direzione radiale nell’emisfero Nord,
–4–
e verso Nord nell’emisfero Sud); moto in verticale, di caduta libera, deviato verso Est in ambedue
gli emisferi Nord e Sud; moto su un piano orizzontale tangente alla superﬁcie terrestre (deviazione
verso la destra di un osservatore che guarda nella direzione e verso di v , nell’emisfero Nord, e
verso sinistra nell’emisfero Sud). Proporzionalità fra massa inerziale e gravitazionale indicata dalla
indipendenza della direzione della verticale di un luogo dal corpo che la traccia.
L’energia ed il lavoro. Forme in cui si presenta l’energia, principio della sua conservazione
per sistemi isolati, equivalenza fra energia (E) e lavoro (L). Deﬁnizione di lavoro per forza costante;
lavoro resistente e motore. Deﬁnizione di lavoro come integrazione su percorso del lavoro elementare;
dipendenza del lavoro dal percorso, e dal sistema di riferimento. Proprietà additiva dei lavori.
Dimensioni e unità di misura del lavoro. Deﬁnizione di energia cinetica K e teorema delle forze
vive: dimostrazione e signiﬁcato. Dimensioni dell’energia. Campi di forze conservativi: dipendenza
del lavoro solo dagli estremi del percorso. Forze posizionali. L’operatore diﬀerenziale vettoriale
formale nabla: il gradiente e il rotore. Dimostrazione della necessarietà e suﬃcienza, aﬃnchè il
lavoro dipenda solo dagli estremi del percorso, di quattro condizioni (valide simultaneamente):
esistenza di una funzione scalare della posizione V tale che δL=−dV; circuitazione nulla della
forza; relazione tra le componenti della forza e quelle del gradiente di V; rotore nullo per la forza.
Deﬁnizione dell’energia potenziale, a meno di una costante arbitraria. Campi di forze conservativi ed
espressione dei relativi potenziali (forza peso, forza elastica, forze centrali a simmetria sferica, forza
centrifuga). Superﬁci equipotenziali e perpendicolarità della forza ad esse; direzione e orientazione
della forza verso energie potenziali inferiori. L’attrito dinamico e la forza di resistenza viscosa come
forze non conservative. Metodo generale di calcolo dell’energia potenziale di una forza conservativa
come integrale del lavoro elementare, su un percorso qualsiasi nello spazio; esempio per una forza
le cui componenti sono espresse in coordinate cartesiane: dimostrazione della conservatività con il
criterio del rotore nullo, e calcolo della sua energia potenziale. Energia meccanica (EM ) e legge
di conservazione dell’energia meccanica per forze conservative; generalizzazione al caso che include
forze non conservative, come uguaglianza tra lavoro delle forze non conservative e variazione di EM .
Conservazione dell’energia meccanica ed equazione del moto per moti unidimensionali. Equilibrio
stabile come punto di minimo dell’energia potenziale. Caso del corpo appeso ad una molla: energie
potenziali, forza come gradiente dell’energia potenziale totale, punto di equilibrio come centro
dell’oscillazione prodotta da una [opportuna] forza di tipo elastico. Trasformazione dell’energia da
cinetica a potenziale e viceversa, per un singolo corpo (casi della discesa lungo piano inclinato, e del
pendolo). Energia cinetica e potenziale dell’oscillatore armonico: espressioni per V e K in funzione
del tempo, e calcolo di EM (costante del moto). Trasformazione dell’energia da potenziale a cinetica
per un sistema di due corpi, con trasferimento di energia da un corpo ad un altro: caso dei pesi
nella macchina di Atwood, e conservazione dell’energia meccanica dell’intero sistema. Macchine
semplici: forza resistente e forza motrice; vantaggio meccanico; caso della doppia carrucola. La
potenza.
Dinamica dei sistemi. Centro di massa (CM) per un sistema discreto. Densità di massa
(volumetrica, superﬁciale e lineare), centro di massa di un sistema continuo. Quantità di moto
–5–
totale Q di un sistema e primo teorema del centro di massa. Forze interne ed esterne ad un
sistema. Principio della conservazione di Q per un sistema isolato e prima equazione cardinale
della meccanica; secondo teorema del centro di massa. Momento angolare totale P di un sistema.
Principio della conservazione di P per un sistema isolato e seconda equazione cardinale della meccanica. Formulazione moderna del terzo principio della dinamica. Terzo teorema del centro di
massa. Equazioni cardinali e sistemi che esse possono descrivere completamente; numero di gradi
di libertà di un sistema, per particelle libere e vincolate, per un corpo rigido libero. Equazioni
cardinali rispetto un polo ﬁsso: analogie e diﬀerenze fra le descrizioni del moto date della prima
equazione (moto di traslazione risultante da forze esterne, accelerazione e massa) e dalla seconda
equazione (moto di rotazione risultante dal momento delle forze, accelerazione angolare e momento
d’inerzia). Momento della forza o torcente come grandezza ﬁsica che dipende dall’intensità della
forza, dalla sua direzione, verso e punto di applicazione; casi di momento nullo; momento della sola
componente della forza perpendicolare all’asse di rotazione come vettore parallelo all’accelerazione
angolare prodotta dalla forza. Sistemi di forze parallele e baricentro. Equazioni cardinali rispetto
al CM. Moto rispetto al CM. Teorema di Koenig per il momento angolare; validità della seconda
equazione cardinale nel sistema di riferimento (non necessariamente inerziale) con origine nel CM,
e mobile ma con orientazione ﬁssa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Teorema di
Koenig per l’energia cinetica. Teorema delle forze vive per un sistema. Il fenomeno dell’urto: le
forze impulsive e la conservazione delle grandezze dinamiche Q e P negli urti. Casi di sistema
libero e vincolato. Variazione dell’energia meccanica e dell’energia propria negli urti. Variazione
dell’energia cinetica negli urti: casi di urto elastico, anelastico, esplosivo. Variazione della quantità
di moto delle singole particelle, e della loro velocità, negli urti unidimensionali: descrizione rispetto
ad un SdR inerziale qualsiasi e rispetto il SdR con origine nel CM. Urto elastico uni-dimensionale
centrale: velocità dopo l’urto in funzione di quelle prima dell’urto, e in funzione delle masse di proiettile e bersaglio; variazione di energia cinetica di proiettile e bersaglio, in funzione delle loro masse;
potere frenante. Il pendolo balistico e la misurazione della velocità del proiettile. L’equilibrio e la
statica; equazioni cardinali della statica.
Il corpo rigido. Cinematica del corpo rigido: moto generico come combinazione di moto
di traslazione e rotazione attorno asse opportuno. Espressione delle velocità dei punti del corpo
rispetto ad un SdR ﬁsso, utilizzando anche un SdR solidale con il corpo rigido e in moto con
esso. Espressioni per Q e per P nei casi di: moto traslatorio del corpo rigido, rotatorio con asse
di rotazione ﬁsso, rotatorio con asse di rotazione in traslazione. Momento angolare totale di un
sistema rigido ruotante attorno asse ﬁsso, rispetto un punto dell’asse di rotazione: componenti
parallelo ed ortogonale all’asse di rotazione. Il momento di inerzia assiale. Precessione di P
attorno l’asse ﬁsso di rotazione. Moto di rotolamento puro attorno asse in traslazione parallela
come moto rotatorio semplice attorno asse di istantanea rotazione passante per il punto di contatto
istantaneo fra corpo e piano d’appoggio. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia assiale:
espressione e calcolo per sistema continuo, nei casi di: disco omogeneo (asse per il centro del disco,
e perpendicolare al disco); sbarra (assi perpendicolari alla sbarra, per il CM e per un estremo);
cilindro cavo e pieno (asse di simmetria). Dinamica dei sistemi rigidi rotanti attorno asse ﬁsso:
–6–
componente assiale dei termini che entrano nella seconda equazione cardinale (momento delle forze
e momento angolare). Momento assiale delle forze: contributo del solo componente della forza
ortogonale all’asse di rotazione; segno del momento assiale (rispetto all’orientazione scelta per l’asse)
e verso della rotazione. Soluzione della seconda equazione cardinale per casi di: carrucola massiva
rotante per azione di un peso; macchina di Atwood; pendolo ﬁsico. Componente perpendicolare
all’asse ﬁsso di rotazione del momento angolare, e reazioni vincolari. Assi liberi (o permanenti)
di rotazione. Conservazione del momento angolare assiale. Energia cinetica di un sistema rigido:
componenti di traslazione e di rotazione; calcolo dell’energia cinetica per disco in rototraslazione
su un piano orizzontale, descrivendo il moto come 1) traslazione del CM e rotazione attorno un
asse per il CM; 2) rotazione attorno asse passante per il punto di contatto istantaneo fra disco
e piano. Lavoro delle forze agenti su sistemi rigidi: relazione fra lavoro elementare, momento
delle forze e spostamento angolare (per il moto di rotazione del corpo rigido); espressione generale
per il lavoro delle forze agenti su un corpo rigido che rototrasla. Lavoro nullo della forza di attrito
radente nel rotolamento puro; conservazione dell’energia meccanica nella discesa (puro rotolamento)
di un cilindro lungo piano inclinato scabro. Cilindro in rototraslazione su un piano orizzontale:
prima e seconda equazione cardinale (calcolo dei momenti rispetto asse per il CM), e relazione fra
avanzamento del CM e angolo di rotazione del cilindro. Urto elastico di asta verticale vincolata.