MAGNETOSTATICA Potenziale vettore Ricordiamo le seguenti identità ∇ × (∇f ) = 0 ∇ ⋅ (∇ × v ) = 0 ∇×E = 0 U : ∇U = − E Poiché ⇒∃ ∇⋅B = 0 A :∇× A = B I potenziali U ed A non sono unici infatti U è definito a meno di una costante f0 mentre A ′ = A + ∇f soddisfa ancora l’equazione precedente. (Invarianza di gauge) f0 viene utilizzata per annullare il potenziale all’infinito mentre f si può usare oltre che per annullare A' all’infinito anche per annullare divA ' in tutto lo spazio. Per questo è sufficiente risolvere: ∇ ⋅ A + ∇2 f = 0 Equazione che ammette una e una sola soluzione una volta fissate le condizioni al contorno MAGNETOSTATICA Potenziale vettore Se ammettiamo ∇ ⋅ A = 0 allora diventa molto semplice scrivere: µ 0 J = ∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A = −∇ 2 A O meglio: ∇ 2 A = − µ 0 J equazione generale del potenziale vettore La cui soluzione formale è Questa è analoga all’espressione µ A(r ) = 0 4π V (r ) = soluzione dell’equazione di Poisson ∫ 1 4πε 0 ∇ 2V = − J (r′) 3 d r′ r − r′ ρ (r′) ∫ r − r′ ρ ε0 d 3r ′ MAGNETOSTATICA Esempio1: filo indefinito percorso da corrente µI B= 0 4π ∫ +∞ −∞ dl × ∆r ∆r 3 = µ0 I t 2π r µ0 I r A=− ln k 2π r0 Esempio2:spira percorsa da corrente µ 0 I dl × ∆r µ 0 πR 2 I Bz = = k 3 3/ 2 ∫ 2 2 4π 2π (R + z ) ∆r µ 0 I dl µ 0 πR 2 In × r A= = ∫ 4π r 4π r2 MAGNETOSTATICA Esempio3: Solenoide con n spire per unità di lunghezza Sull’asse: B = µ 0 nIi MAGNETOSTATICA In analogia con quanto avviene nei dielettrici, all’interno dei materiali magnetici si trovano dei dipoli magnetici elementari che si orientano seguendo il campo magnetico esterno. I mezzi nei quali i dipoli magnetici si orientano parallelamente al campo esterno si dicono paramagnetici I mezzi nei quali i dipoli magnetici si orientano antiparalleli al campo esterno si dicono diamagnetici In alcuni mezzi permane un orientamento anche dopo che è stato rimosso il campo esterno, questi materiali si chiamano ferromagneti ed in essi la magnetizzazione è funzione non solo del campo presente ma anche della storia passata del mezzo (memorie magnetiche). MAGNETOSTATICA In analogia con quanto già fatto per i mezzi dielettrici possiamo riscrivere le equazioni di Maxwell per il campo magnetico nei mezzi introducendo una densità di corrente microscopica del mezzo Jm: ∇⋅B = 0 ∇ × B = µ0 (J + J m ) E , sempre in analogia con i dielettrici, introduciamo un vettore polarizzazione magnetica M come prodotto della densità di dipoli microscopici n per il valor medi del dipolo m M = nm MAGNETOSTATICA Se interpretiamo i singoli dipoli come dovuti a delle spire elementari allora nel caso di magnetizzazione uniforme la densità di corrente Jms è confinata alla superficie, infatti i contributi interni al volume del materiale si cancellano. In questo caso la relazione con il vettore polarizzazione magnetica è: J ms = M × n Questo non avviene nel caso di magnetizzazione inomogenea per la quale vi è una densità di corrente residua internamente al materiale Jmv. In questo caso la relazione con il vettore polarizzazione magnetica è: J mv = ∇ × M MAGNETOSTATICA Poiché le equazioni di Maxwell non sono adatte a descrivere le discontinuità dovute alle superfici utilizziamo le correnti di volume Jmv. ∇ × B = µ0 (J + J mv ) = µ0 (J + ∇ × M ) E definendo H= 1 µ0 B − M otteniamo ∇⋅B = 0 ∇×H = J In analogia con le corrispondenti equazioni per il campo elettrico ∇⋅D = ρ ∇×E = 0 Notiamo che l’equazione per H si può riscrivere in forma integrale ∫λH ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS = ∑ Σ i Ii Dove le Ii sono le correnti concatenate alla linea chiusa λ. Teorema di circuitazione di Ampere MAGNETOSTATICA E’ possibile scrivere una relazione semplice fra B,H ed M solo nei mezzi magnetici omogenei ed isotropi. Nel qual caso i due vettori sono paralleli e vale: B = µ H = µ0 µ r H M = χmH Con µ permeabilità magnetica, e χ m = µ − 1 suscettività magnetica MAGNETOSTATICA In presenza di una superficie di separazione fra due materiali magnetici possiamo ricavare delle relazioni analoghe a quelle per i vettori campo elettrico e induzione dielettrica. H t1 = H t 2 µ1 H t1 = µ 2 H t 2 Bt1 µ1 = Bt 2 µ 2 Bn1 = Bn 2 tan θ1 µ1 = tan θ 2 µ 2 Legge di rifrazione del campo magnetico MAGNETOSTATICA Nelle sostanze diamagnetiche la suscettività magnetica è negativa ed indipendente dalla temperatura. Nelle sostanze paramagnetiche la suscettività magnetica è positiva e dipende dalla temperatura T e dalla densità ρ secondo la legge di Curie, dove C è una costante che dipende dalle proprietà atomiche. Cρ χm = T Nelle sostanze ferromagnetiche la suscettività magnetica dipende dalla storia passata del materiale. Si può disegnare una curva di isteresi. Le sostanze ferromagnetiche divengono paramagnetiche al di sopra di una temperatura critica detta temperatura di Curie. MAGNETOSTATICA Valori tipici della µdl permeabilità relativa iniziale µdm permeabilità relativa massima Hc campo di coercizione µ0Ms magnetizzazione di saturazione wk lavoroper un ciclo (area della curva) Tc temperatura di Curie