Compito del 28 apr 2005 Compito A

Facoltà di Ingegneria
Prova scritta di Fisica II – 28.04.2005 – Compito A
Nota: ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
C2
Nm 2
Esercizio n. 1 (grado di difficoltà: 1)
Quattro condensatori di capacità C 1 = 6 mF, C 2 = 9 mF, C 3 = 12 mF, C 4 = 4 mF
sono collegati come mostrato in figura. La differenza di potenziale tra i terminali
A e B vale V = VA − VB = 40 mV .
Calcolare:
- la capacità equivalente tra i terminali A e B
- l’energia elettrostatica complessiva immagazzinata nei 4 condensatori
- la carica sul condensatore di capacità C 1 = 6 mF .
A
C1
C3
C2
C4
B
Rispondere quindi alle seguenti domande:
1. la capacità equivalente tra i terminali A e B
A. 10 µF
B. 130 µF
C. 4 mF (*)
D. 36 mF
2. l’energia elettrostatica immagazzinata nel sistema dei 4 condensatori vale
A. 3.2 µJ (*)
B. 80.5 µJ
C. 40.1 mJ
D. 60.8 mJ
3.
la carica sul condensatore di capacità C 1 = 6 mF (che è uguale alla carica sul condensatore equivalente tra i
terminali A e B) ha valore
A. 1 µC
B. 160 µC (*)
C. 4 mC
D. 71 mC
Esercizio n. 2 (grado di difficoltà: 1)
In un sistema di riferimento cartesiano, di origine O ed assi x, y, z (con versori rispettivamente î , ĵ e k̂ ), il potenziale
1
V
V
elettrostatico ha espressione V(x, y, z ) = a x 2 + b z con a e b costanti dimensionali di valori: a = 1 2 e b = 1 .
2
m
m
Determinare:
- l’energia potenziale elettrostatica di una carica q 1 = +2 µC , posta nel punto P ≡ (1,1,2 )
- la forza elettrostatica F su una carica q 2 = −1 nC posta nel punto S ≡ (2,1,0)
Nota: se non altrimenti indicato, è inteso che le distanze sono espresse in metri; ad esempio P ≡ (1,1,2 ) significa che per
P è x = 1 m, y = 1 m, z = 2 m . Si ricorda che la relazione tra campo elettrico e potenziale nel punto (x,y,z) è:
∂V
∂V ˆ ∂V
E(x, y, z ) = −∇ V (x, y, z ) = −
î −
j−
k̂
∂x
∂y
∂z
Rispondere quindi alle seguenti domande:
4. l’energia potenziale elettrostatica della carica q 1 = +2 µC nel punto P ≡ (1,1,2 ) vale
A. 5 µJ (*)
B. 107 µJ
C. 10 mJ
D. 35 mJ
5.
la forza elettrostatica F sulla carica q 2 = −1 nC nel punto S ≡ (2,1,0) vale
A. F = î + 2 ˆj + k̂ ⋅ 10 −9 N
B.
C.
D.
(
)
F = ( î + 2 k̂ )⋅ 10 N
F = (î + 2 ĵ)⋅ 10 N
F = (2 î + k̂ )⋅ 10 N (*)
−9
−9
−9
(
)
Si noti, a titolo di esempio, che la scrittura F = î + 2 ˆj + k̂ ⋅ 10 −9 N significa
Fx = 1 ⋅ 10 N, Fy = 2 ⋅ 10 N , Fz = 1 ⋅ 10 N .
−9
−9
−9
Esercizio n. 3 (grado di difficoltà: 1)
Un elettrone, di carica –q e massa m q , viene sparato in un condensatore piano, vuoto, avente armature di area A e a
distanza d l’una dall’altra (con d << A ). Il
++++++++++++++++++++++++
condensatore è carico e la differenza di potenziale tra le
d/4
armature vale VC .
vi
d
mq
d
L’elettrone entra nel condensatore alla distanza
da
y
2
d/2
ciascuna delle due lastre e con velocità v i parallela alle
lastre. All’uscita dal condensatore, l’elettrone è a distanza
x ---------------------------------d
dalla lastra carica positivamente.
4
Determinare il modulo della velocità v f dell’elettrone all’uscita dal condensatore, trascurando l’effetto della gravità.
Rispondere quindi alle seguenti domande
6. con riferimento alla figura, ed assumendo nullo il potenziale della lastra carica negativamente, il potenziale in un
punto generico P ≡ (x, y ) all’interno del condensatore vale
A.
B.
7.
VC
(x + y )
d
V = VC y 2
V=
VC y
d2 x
V
D. V = C y (*)
d
il modulo della velocità v f con cui l’elettrone esce dal condensatore ha espressione
C.
V=
A.
vf =
B.
vf = vi
C.
v f = v i2 +
qVC
(*)
2m q
D.
v f = v i2 −
qVC
mq
qVC
4m q
Esercizio n. 4 (grado di difficoltà: 1,5)
Un cilindro retto di materiale isolante, di altezza H e raggio R, contiene carica negativa distribuita
simmetricamente rispetto al proprio asse con densità volumica ρ( r ) = Ar 3 , dove A è una costante < 0.
Si risponda alle seguenti domande:
8. La carica totale posseduta dal cilindro vale:
2πAHR 5
A. Q =
(*)
5
4πAHR 3
B. Q =
5
R
r
H
12πR 4
H
7
13πHR 2
D. Q =
5A
C.
9.
Q=
Assumendo che R H << 1 in maniera che si possa considerare il cilindro come se fosse indefinito, si calcoli,
utilizzando la legge di Gauss, il campo elettrostatico E( r ) esternamente al cilindro, in un generico punto P a
distanza r dall’asse dove r >R:
AR 5 1
A. E( r ) =
⋅ r (*)
5ε 0 r
B.
E( r ) = −
C.
E( r ) = −
D.
AR 5 1
⋅ r
5ε 0 r
R
r
4ε 0 r 2
3r
E( r ) =
r
2πε 0
Esercizio n. 5 (grado di difficoltà: 1,5)
Un filo, sottile, non conduttore, carico, e’ piegato a forma di semicirconferenza di raggio
R, come mostrato in figura.
Se la sua carica e’ distribuita con densità lineare λ = λ 0 (cos θ + sin θ) , dove θ è l’angolo
mostrato in figura, si studino le proprietà elettrostatiche di questa distribuzione di carica e
si risponda alle seguenti domande:
R
O
10. La carica elettrica totale posseduta dal filo vale:
A. Q = 0
B. Q = λ 2πR
C. Q = 2λ 0 R (*)
D. Q = (1 2)λ
11. Il potenziale elettrostatico V misurato nel centro O della semicirconferenza vale, rispetto al suo valore, considerato
nullo, all’infinito:
λ
A. V(O) =
4πε 0 R
B.
V (O ) =
C.
V( O ) =
D.
λ
ε0 R 2
λ0
(*)
2πε 0
V( O ) = 0
Esercizio n. 6 (grado di difficoltà: 1)
Quattro cariche puntiformi rispettivamente di intensità Q1= +q,
Q2 = -2q, Q3 = +q, q4 = -2q, sono posizionate ai vertici di un
quadrato di lato L, come mostrato in figura.
Studiare le proprietà elettrostatiche di questa configurazione di
carica dal punto di vista energetico e rispondere alle seguenti
domande:
12. l’energia
potenziale
elettrostatica
associata
alla
configurazione di cariche mostrata in figura, calcolata
rispetto al suo valore nullo all’infinito, vale:
Q1
Q4
Q2
Q3
A.
U elettr =
q2
4πε 0 L
B.
U elettr =
q2
5 2 − 16 (*)
8πε 0 L
C.
U elettr =
q2
4πε 0 L2
(
)
D. U elettr = 0
13. il lavoro che e’ necessario compiere dall’esterno per spostare la carica Q3 dalla sua posizione iniziale, mostrata in
figura, all’infinito, vale:
16q
A. Westerno =
πε 0 L
B.
Westerno =
q2
4πε 0 L2
C.
Westerno =
q2
8 − 2 (*)
8πε 0 L
D.
Westerno = 0
(
)
Altre domande:
14. “Campo elettrostatico conservativo” significa che:
A. il campo e’ variabile nel tempo
B. il campo non dipende dalla posizione spaziale
C. il lavoro compiuto dal campo su una carica puntiforme è indipendente dal percorso seguito dalla carica (*)
D. il lavoro compiuto dal campo su una carica puntiforme è nullo per ogni cammino scelto
15. la capacità di un condensatore dipende
A. dal materiale di cui sono fatte le armature
B. dal dielettrico compreso tra le armature (*)
C. dalla differenza di potenziale applicata alle armature
D. dalla carica elettrica sulle armature.
16. la forza che si esercita tra due cariche puntiformi uguali, Q1 e – Q2 poste nel vuoto a distanza R risulta:
A. dipendere dal reciproco del quadrato della distanza (*)
B. dipendere dalla distanza elevata al cubo
C. non dipendere dalla distanza
D. dipendere dalla velocità relativa tra le cariche
17. in un materiale conduttore carico all’equilibrio elettrostatico si verifica che:
A. la carica in eccesso si distribuisce esclusivamente sulla superficie del conduttore (*)
B. la carica in eccesso si distribuisce uniformemente in tutto il volume del conduttore
C. la carica in eccesso rimane localizzata al centro del conduttore
D. la carica in eccesso viene bilanciata dalla carica gia’ presente nel conduttore
C1
A
Soluzioni
Esercizio n.1
I condensatori di capacità C 3 e C 4 sono in serie, quindi sono equivalenti ad un
C3
C2
C4
C2
CS
B
condensatore di capacità C S =
C3C 4
= 3 mF
C3 + C4
C1
A
Il condensatori di capacità C 2 e C S sono in parallelo, quindi hanno capacità
equivalente
C P = C 2 + C S = 12 mF .
B
Infine il condensatore C1 è in serie con il condensatore di capacità C P , quindi la capacità
totale tra i morsetti A e B risulta:
C P C1
CT =
= 4 mF .
C P + C1
A
CP
B
A
La energia elettrostatica complessiva del sistema dei 4 condensatori vale
2
1
1
U = C T V 2 = 4 ⋅ 10 − 3 F 40 ⋅ 10 − 3 V =
2
2
1
⋅ 4 ⋅ 1600 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 −6 F V 2 = 3200 ⋅ 10 −9 J = 3.2 ⋅ 10 3 ⋅ 10 −9 J = 3.2 µJ
2
(
)(
C1
)
CT
B
I condensatori di capacità C1 e C P sono in serie e quindi hanno cariche Q 1 e Q P uguali tra loro ed uguali alla carica
sul condensatore equivalente di capacità C T : Q 1 = Q P = Q T .
La carica Q T sul condensatore equivalente, di capacità C T = 4 mF , può essere facilmente calcolata:
Q T = C T V = 4mF ⋅ 40mV = 160 ⋅10 −6 C = 160 µC .
Esercizio n.2
L’energia potenziale della carica q 1 = +2 mC nel punto P ≡ (1,1,2 ) m vale
U = q 1 V (P ) = q 1 V (1,1,2 ) = 2 µC ⋅
1
V
V
5
2
⋅1
⋅ (1m ) + 1 ⋅ (2m ) = 2 µC ⋅ V = 5 µJ
2 m2
m
2
Il campo elettrico in un punto di coordinate (x, y, z ) vale:
∂V
∂V
∂V
E(x, y, z ) = −∇ V (x, y, z ) = −
î −
ĵ −
k̂ = −ax î − b k̂
∂x
∂y
∂z
In particolare, nel punto S ≡ (2,1,0) , il campo elettrico vale
V
V
V
E(S) = E(2,1,0) = −1 2 ⋅ 2m î − 1 k̂ = − 2 î − 1 k̂
m
m
m
V
N
Si noti che il campo elettrico è espresso nell’unità
=
m
C
(
)
La forza elettrostatica sulla carica q 2 = −1 nC , nel punto S ≡ (2,1,0) , vale:
(
)
(
) mV =
V
N
= (2 î + k̂ ) nC = (2 î + k̂ ) nC = (2 î + k̂ ) nN = (2 î + k̂ )⋅ 10 N
m
C
F = q 2 E(S) = q 2 E(2,1,0) = q 2 − ax î − b k̂ = −1 nC ⋅ − 2 î − 1 k̂
−9
Esercizio n. 3
Il campo all’interno del condensatore è uniforme ed ha valore
V
E = − C ˆj
d
( î e ĵ sono i versori dell’asse x e y).
Il potenziale di un punto generico P ≡ (x, y ) all’interno del condensatore, assumendo nullo il potenziale V− della lastra
negativa del condensatore ( V− = 0 ), risulta:
P
V(P ) − V− = V (P ) = − E ⋅ d s = −
S
P
−
S
(
)
VC ˆ
V
j ⋅ dx î + dy ĵ = C
d
d
P
dy =
S
VC
d
y
dy =
0
VC
y
d
dove si è indicato con S un punto qualsiasi della lastra carica negativamente.
L’energia potenziale elettrostatica dell’elettrone quando l’elettrone entra nel condensatore vale quindi:
V d
V
d
U ent = −q ⋅ V
= −q C = −q C
2
d 2
2
analogamente, l’energia potenziale elettrostatica dell’elettrone quando l’elettrone esce dal condensatore vale:
3V
d
3d
= −q ⋅ V
U usc = −q ⋅ V d −
= −q C
4
4
4
Poiché il campo elettrico è conservativo possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia (cinetica
+potenziale) al moto dell’elettrone, tra la posizione in cui esso entra nel condensatore e quella in cui esce dal
condensatore:
V
3V
qVC
1
K ent + U ent = K usc + U usc
m q v i2 − q C = 12 m q v f2 − q C
v f = v i2 +
2
2
4
2m q
Esercizio n.4
La carica elettrica contenuta all’interna del volume cilindrico è data da
R
Q = dq =
ρdv = Ar 3 (2πrHdr ) =
Vcilindro
0
2πAHR 5
5
Nell’ipotesi che H sia tale che H>>R possiamo considerare il cilindro infinitamente lungo ed applicare la legge di Gauss
1
E ⋅ ndA =
ρdv
ε
0 V
A
A
dove, data la simmetria cilindrica esibita dalla distribuzione di carica, A è una superficie gaussiana cilindrica coassiale
col cilindro e avente raggio di base pari a r.
Esternamente al cilindro di carica, cioè per r>R abbiamo che
1 2πAHR 5
E2πrH =
ε0
5
da cui si ricava facilmente che
AR 5 1
E( r ) =
⋅ r
5ε0 r
Esercizio n.5
La carica elettrica totale posseduta dal filo non conduttore è data dalla seguente espressione:
π
Q = dq =
λdl = (λ 0 (sin θ + cos θ) Rdθ) = 2λ 0 R
Filo
0
Il valore del potenziale elettrostatico V(O) nel punto O, rispetto al suo valore nullo all’infinito, potrebbe in linea di
principio essere calcolato applicando la definizione di potenziale elettrostatico, ovvero:
∞
V( O ) − V ( ∞ ) = E ⋅ d s
O
in quanto la conservatività del campo elettrostatico ci consente di scegliere il cammino più semplice tra i punti A e B,
ma rimane la difficoltà di non conoscere l’espressione esplicita del campo elettrostatico lungo tutti i punti del cammino
anche quello più semplice. Pertanto questa strada non è percorribile per la risoluzione del quesito.
Ma, ricordando che il potenziale elettrostatico, rispetto all’infinito, di una carica puntiforme dq, vale:
dq
dV =
4πε 0 r
possiamo ricorrere al Principio di Sovrapposizione degli effetti per scrivere che:
V(O) = dV =
1
4πε 0
dq
r
che nel nostro caso diventa banalmente:
1
dq
1
1
V(O) = dV =
=
dq =
4πε 0 Filo r
4πε 0 R
4 πε 0 R
λdl =
Filo
1
λ
Q= 0
4πε 0 R
2πε 0
Esercizio n.6
L’energia potenziale elettrostatica posseduta dalla struttura di cariche descritta è semplicemente il lavoro che è
necessario compiere dall’esterno in maniera da portare ciascuna carica elettrica dall’infinito alla posizione richiesta.
Calcolando esplicitamente questo lavoro per ciascuna delle cariche, tenendo conto che Festerna = − FElettrostatica sommando
tutti i contributi ottenuti si perviene facilmente alla seguente espressione:
U elettrostatica =
1
2
qiq j
i≠ j
4πε 0 rij
che nel nostro particolare caso diventa:
q 1q 3
qq
q 2q 4
q2
U elettrostatica = 4 1 2 +
+
=
(5 2 − 16)
4πε 0 L 4πε 0 L 2 4πε 0 L 2 8πε 0 L
con ovvio significato delle quantità utilizzate.
Il lavoro, fatto dall’esterno, necessario per portare la carica q3 dalla posizione occupata in figura all’infinito vale:
q2
(8 − 2 )
Westerno = − WElettrostatico = U finale − U iniziale = U finale =
8πε 0 L
dove
q2
U finale =
( 2 2 − 4)
4πε 0 L
è l’energia potenziale della configurazione delle tre cariche rimanenti dopo l’allontanamento di q3 all’infinito e
q2
U iniziale =
(5 2 − 16)
8πε 0 L