L10 Variabili casuali - Università di Macerata

Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 Le variabili casuali
Cristina Davino
Le variabili casuali
Una variabile casuale è una variabile che
determinati valori con determinate probabilità;
assume
Ad una variabile casuale è associata una regola che
assegna a ciascun valore che la variabile può assumere la
corrispondente
o
po d
probabilità
p
obab à
lancio di 3 monete;
Esempio:

X P(X)
TTT 3
⅛
TTC 2
⅛
TCT 2
⅛
CTT 2
⅛
TCC 1
⅛
CTC 1
⅛
CCT 1
⅛
CCC 0
⅛
X P(X)
0
⅛
1
⅜
2
⅜
3
⅛
v.c.X= numero di teste uscite
P(X)
0
1
2
3
X
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Variabile statistica e variabile casuale
Distribuzione di probabilità della v.c X:
• Variabile statistica: deriva dalla classificazione di dati rilevati,
rilevati
 ad ogni possibile valore della v.c X si associa una probabilità
cioè viene definita empiricamente una volta conosciuti i dati ed
averli classificati.
• Variabile casuale (X): assume valori nello spazio dei numeri
reali secondo una funzione di probabilità P(X)
Il concetto di variabile casuale è strettamente legato
g
a q
quello di
esperimento, a quello, cioè, di una prova il cui risultato è incerto.
E diverso,
E’
diverso dunque,
dunque dal concetto di variabile definita su una popolazione,
popolazione
di cui io posso conoscere o meno il valore che questa assume sulle
singole unità, ma rispetto alla quale non c’è nulla di incerto.
X P(X)
v.c.
discreta
0
⅛
1
⅜
2
⅜
3
⅛
f x  P X  x
Assumono un numero finito di valori x1, x2, …, xn,
con probabilità p1, p2, …, pn
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Distribuzione di probabilità della v.c X:
 ad ogni possibile valore della v.c X si associa una probabilità
X P(X)
v.c.
discreta
f x  P X  x

X
P(X)
TTT…
50
?
0
⅛
TTC…
49
?
1
⅜
TCT…
..
?
2
⅜
3
⅛
CTT…
..
?
TCC…
..
?
CTC…
..
?
CCT…
1
?
CCC…
0
?
Cristina Davino
Le variabili casuali discrete
Assumono un numero finito di valori x1, x2, …, xn,
con probabilità p1, p2, …, pn
Nel caso discreto, la funzione f(x) definisce la funzione di probabilità della v.c. X
che
h rappresenta
t quella
ll funzione
f
i
che
h associa
i ad
d ognuno dei
d i possibili
ibili valori
l i xi la
l
corrispondente probabilità:
f  xi   P X  xi 
Esempio: Lancio di tre monete
f  x0   P  X  0   P  C  C  C  
Esistono delle formule algebriche che consentono di calcolare, per
v.c. X
Numero di teste uscite
1 1 1 1
  
2 2 2 8
f  x1   P  X  1  P T  C  C    C  T  C    C  C  T    3
8
f  x2   P  X  2   P T  T  C   T  C  T    C  T  T    3
8
1 1 1 1
f  x3   P  X  3  P T  T  T     
2 2 2 8
ciascun valore di una variabile casuale, la probabilità che esso si verifichi
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L variabili
Le
i bili casuali
li discrete
di
t
Esempio: Lancio di tre monete
f  x0   P  X  0  
1
8
v.c.
Le variabili casuali discrete
Numero di teste uscite
f(x)
f  x1   P  X  1  3
8
f  x2 
f  x3 
In molti casi, può essere necessario trovare la probabilità che la v.c. X assuma
un valore inferiore o uguale ad un dato valore xk. Tale probabilità viene definita
probabilità cumulata ed è descritta dalla funzione di ripartizione, che viene
indicata con F(xk).
Quindi, se x1, x2, …, xn sono i valori possibili di X ordinati in senso crescente,
Quindi
crescente la
probabilità cumulata sarà:
F  xk   f  x1   f  x2     f  xk 
 P  X  2  3
8
1
 P  X  3 
8
Esempio: Lancio di tre monete
0
1
2
3
X
(numero
di teste)
. La funzione di probabilità
à f(x) di tipo discreto soddisfa le condizioni:
1 f  xi   0
1.
Cristina Davino
2
2.
 f  xi   1
i
1
8
 P  X  1  3
8
 P  X  2  3
8
1
 P  X  3 
8
f  x0   P  X  0  
f  x1 
f  x2 
f  x3 
v.c.
Numero di teste uscite
1
F(x)
8
1 3
F  x1   
8 8
1 3 3
F  x2    
8 8 8
1 3 3 1
F  x3     
8 8 8 8
F  x0  
0
1
2
3
X
(numero
di teste)
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L variabili
Le
i bili casuali
li continue
ti
Le variabili casuali continue
Una variabile casuale continua è una v.c.
v c che può assumere un
numero infinito di valori compresi in un intervallo di ampiezza finita o
infinita.
A differenza di quanto accade nel caso discreto, non è possibile
ottenere la probabilità che la variabile assuma un qualsiasi valore
interno all’intervallo sommando le probabilità dei singoli punti che lo
compongono, in quanto i punti sono infiniti e una somma infinita di
valori finiti non può dare ll’unità
unità.
Una variabile casuale X è, allora, continua se esiste una funzione f(x)
tale che:
b
P  a  X  b 
 f  x  dx
a
dove a e b sono numeri reali qualsiasi, con a<b.
F n ione di densità di probabilità:
Funzione
probabilità la ffunzione
n ione matematica f(
f(x)) per ccuii
l’area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è
uguale alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo
Il c.d. paradosso della continuità viene risolto ricorrendo al concetto di
area, assegnando probabilità a singoli intervalli piuttosto che a singoli
punti e rappresentando le probabilità come delle aree su degli
intervalli.
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Le variabili casuali continue
Le variabili casuali continue
Proprietà della funzione di densità di probabilità (f.d.p.):
(f d p ):
1) f(X=x)=0
(la probabilità di ottenere esattamente il risultato
nulla anche se l’evento
3)
x è generalmente
x non è strettamente impossibile)
2) f(x)0

 f xdx  1

(l’area sottesa alla funzione è uguale a 1)
Cristina Davino
F
Funzione
i
di ripartizione:
i
ti i
F x  P X  x 

x

f  x  dx
d
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Le
i bili casuali
li
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Esempio
n
Valore atteso di una vv.c
c discreta: X  E X   xi Pxi 
Un amico
U
i
cii propone un gioco
i
i cuii risultati
i lt ti possono essere A,
A B o C con probabilità
b bilità
di realizzarsi pari, rispettivamente, a 0,1, 0,2 e 0,7. Se esce A, si vincono 20 euro,
se esce B se ne vincono 10 mentre se esce C se ne perdono 10.
i1
Varianza di una v.c discreta:
n
Ci si chiede quale sarà
à il guadagno, o la perdita, che ci si deve attendere per un
numero elevato di giocate.
2X  xi   X  Pxi 
2
i 1
X  E  X  
Valore atteso di una v.c continua:
Varianza di una vv.c
c continua:
E’ chiaro che il risultato del gioco sarà dato dall’ammontare che si vince quando si
presenta A o B, ognuno moltiplicato per le rispettive probabilità, sommato
all’ammontare che si perde quando si presenta C, ponderato con la rispettiva
probabilità.
Avremo dunque: 20  0,1  10  0,2  10  0,7   3

 x f  x  dx
Il gioco ha, cioè, un valore negativo, e più precisamente una perdita di 3€ a partita.
I 3 euro non rappresentano ll’ammontare
ammontare che si perde in una singola giocata ma ciò
che si perderebbe in media, per partita, se si giocasse un numero elevato di volte
(infatti, nella singola giocata o si vincono 10 o 20 euro o se ne perdono 10, ma non
se ne potranno mai perdere 3). Questa somma, tuttavia, rappresenta una sintesi
dei diversi risultati del gioco, i quali portano a perdere, in media, 3 euro ogni
giocata, e quindi non si avrà interesse a giocare perché il gioco non è equo.

 X2 

  x    f  x  dx
2
X

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La variabile casuale di Bernoulli
X ~ Ber(p)
E’ una v.c. che
h trae
t
origine
i i
d una prova nella
da
ll quale
l
interessa verificare se l’evento E si è verificato o meno. E’
legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due
possibili risultati vengono indicati con i termini “successo”
(1) e “insucesso” (0), (senza per questo intendere che
l’evento
successo
sia
necessariamente
un
evento
piacevole!…)
Formalmente, una v.c. X discreta si definisce v.c. di Bernoulli
se assume il valore 1 con probabilità p e il valore 0 con
probabilità 1-p. La sua distribuzione di probabilità è:
P  X  x   p x 1  p 
1 x
Cristina Davino
La variabile casuale di Bernoulli
X ~ Ber(p)
I suoi momenti caratteristici risultano essere:
E X   p
;
Var  X   p 1  p 
;
N.B. – La varianza della v.c. di Bernoulli assume
a o e massimo
ass o (
(1/4)
/ ) qua
quando
do è p
p=1/2.
/
E’ questo,
valore
infatti, il caso di massima incertezza, in cui risulta più
difficile prevedere il risultato.
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L v.c. binomiale
La
bi
i l
U esempio
Un
i
• Esperimento binomiale: n prove bernoulliane (ogni
prova può avere solo due possibili risultati) indipendenti,
ognuna delle quali ha la stessa probabilità di successo
 successo o insuccesso;
 probabilità costante in tutte le prove
Cristina Davino
(Borra S., Di Ciaccio A. – Statistica)
Da un collettivo di donne incinte ne sono state estratte a caso tre.
Ciascuna di loro aspetta un solo bambino.
La probabilità che nasca un maschio a ciascuna di loro è nota e
pari a 0,503.
1) D1: possibili esiti  M o F
2) D2: possibili esiti  M o F
3) D3: possibili esiti  M o F
n=3 prove bernoulliane
 estrazioni indipendenti (estrazioni con ripetizione).
ripetizione)
V.C. Binomiale X: numero di successi in n prove
p: probabilità di successo in una prova
1-p:
1
p: probabilità di insuccesso in una prova
1)
1 nasce un maschio
D1  
0 nasce una femmina
D1 ~ Ber(0,503)
2)
1 nasce un maschio
D2  
0 nasce una femmina
D2 ~ Ber(0,503)
3)
1 nasce un maschio
D3  
0 nasce una femmina
D3 ~ Ber(0,503)
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U esempio
Un
i
-qual
-qual
qual
-qual
-qual
q
è
è
è
è
la
la
la
la
probabilità
probabilità
probabilità
probabilità
p
Cristina Davino
U esempio
Un
i
che
che
che
che
si
si
si
si
abbiano 0 maschi?
abbia 1 maschio?
abbiano 2 maschi?
abbiano 3 maschi?
Sequenza 1:
D1(femmina), D2(femmina), D3(maschio)
(1-p)  (1-p)  p= (1 - p) 2  p= 0,124
Sequenza 2:
D1(femmina), D2(maschio), D3(femmina)
(1-p)  p (1-p) = (1 - p) 2  p= 0,124
Sequenza 3:
D1(maschio), D2(femmina), D3(femmina)
p  (1-p)
(
)  (1-p)
(
) = (1
( - p)) 2  p= 0,124
0 2
P(1 maschio)=
maschio) P(Sequenza 1 o Sequenza2 o Sequenza3)=
Sequenza3)
= 3  p  (1 - p) 2 = 0,373
Numero di possibili sequenze di 1 maschio e 2 femmine: 3
Numero di prove: n=3
u e o di
d successi:
success x=1
Numero
n!
3!
3  2 1


3
2 1
x!n  x ! 1!3  1!
 n
n!
n x
nx
P  X  x     p x 1  p  
p x 1  p 
x! n
n-x
x !
x
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U esempio
Un
i
U esempio
Un
i
Un sistema informativo aziendale deve raccogliere, processare,
immagazzinare e distribuire informazione al fine di facilitare i
processi di pianificazione,
pianificazione decisione e controllo.
controllo Uno dei compiti
del sistema informativo consiste in una revisione degli ordini di
vendita della società p
per individuare eventuali errori nella
forma o nell’informazione contenuta.
Per esempio
p
vendita,
-qual
-qual
-qual
-qual
-qual
Presso una casa farmaceutica la probabilità che un ordine
venga giudicato insoddisfacente dal sistema informativo è
stimata pari a 0,1.
0 1 Sulla base di questa informazione,
informazione la
società vuole calcolare la probabilità che si abbia un certo
numero di segnalazioni
g
in un dato campione
p
di ordini di
vendita.
Sequenza 1
Cristina Davino
se in un g
giorno vengono
g
realizzati q
quattro ordini di
è
è
è
è
è
la
la
la
la
la
probabilità
probabilità
probabilità
probabilità
probabilità
che
che
che
che
che
Primo
Secondo
ordine
ordine
Segnalato Segnalato
p=0,1
p=0,1
si
si
si
si
si
abbiano 0 ordini scorretti?
abbia 1 ordine scorretto?
abbiano 2 ordini scorretti?
abbiano 3 ordini scorretti?
abbiano 4 ordini scorretti?
Terzo
ordine
Non segnalato
1-p=0,9
Quarto
ordine
Segnalato
p=0,1
P(3
( ordini segnalati
g
nella sequenza
q
p
precedente)=
)
p  p  (1-p)  p = p3  (1 - p) = 0,009
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U esempio
Un
i
Sequenza
q
1:
segnalato, segnalato, non segnalato, segnalato
p  p  (1-p)  p = p3  (1 - p) = 0,009
Sequenza 2:
segnalato, segnalato, segnalato, non segnalato
p  p  p  (1-p) = p3  (1 - p) = 0,009
0 009
Sequenza 3:
segnalato,
g
, non segnalato,
g
, segnalato,
g
, segnalato
g
p  (1-p)  p  p = p3  (1 - p) = 0,009
Sequenza 4:
non segnalato, segnalato, segnalato, segnalato
(1-p)  p  p  p = p3  (1 - p) = 0,009
Cristina Davino
Cristina Davino
U esempio
Un
i
Numero di possibili
ibili sequenze: 4
P(3 ordini scorretti) = 4  0,0009 = 0,0036
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L v.c. binomiale
La
bi
i l
Cristina Davino
L v.c. binomiale
La
bi
i l
Distribuzione di probabilità di X:
numero di combinazioni in
cui possono presentarsi x
successi in n prove.
prove
Esempi
p p
per n=7 e n=20 (p
(p=0,5))
 n
n!
n x
nx
P  X  x     p x 1  p  
p x 1  p 
x! n-x  !
x
numero di prove
effettuate
proporzione di casi che realizzano
un successo nella p
popolazione
p
(0<p<1)
E X   np
V X   np1  p
Var
X ~ Bin(n,p)
(
)
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Cristina Davino
L v.c. bi
La
binomiale
i l relativa
l ti
X
n
Cristina Davino
L v.c. binomiale:
La
bi
i l un esempio
i
• Esperimento: 50 lanci di una moneta
proporzione di successi in n prove
• v.c X: numero di teste uscite in 50 lanci
• numero di prove effettuate: 50 (n)
X
E   p
n
 X  p1  p
Var   
n
n
• probabilità di successo in un lancio: 1/2
5036
 50  1 36  1 
P  X  36   
1  
36
2
 2
 
5036
50!
1  1

1  
36! 50-36 ! 2  2 
36
n
n!
n x
n x
P  X  x     p x 1  p  
p x 1  p 
x! n-x
n x !
x
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Cristina Davino
L v.c. binomiale:
La
bi
i l un esempio
i
Cristina Davino
a) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia
Dall'inventario
Dall
inventario di 48 automobili spedite ad un gruppo di rivenditori
rivenditori,
ricevuto 8 automobili le riceva tutte con radio difettose?
risulta che 12 automobili avevano difetti nell'installazione della radio.
• P(X=8) ?
Q al è la probabilità che un
Qual
n particolare rivenditore
ri enditore che abbia ricevuto
rice to
•n
n= 8
8 automobili:
• p=12/48=0,25
•1
1-p=
p 0,75
0 75
a)) Le
L riceva
i
t tt con radio
tutte
di difettose?
dif tt
?
n
n!
n x
n x
P  X  x     p x 1  p  
p x 1  p 
x! n-x  !
x
b) Non ne riceva nessuna con radio difettosa?
c) Ne riceva almeno una con radio difettosa?
• 8 automobili
bili estratte a caso d
dalla
ll produzione
d i
 esperimento
i
bi
binomiale
i l
• probabilità di successo (la radio è difettosa)  p=12/48
• v.c X: numero di radio difettose in 8 auto estratte a caso dalla produzione
 8
8!
8 8
8 8
P  X  8     0,258  0, 75  
0,258  0, 75 
8! 8-8  !
 8
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2014--2015 Le variabili casuali
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Cristina Davino
b) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia
ricevuto 8 automobili non ne riceva nessuna con radio difettosa?
c) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia
ricevuto 8 automobili ne riceva almeno una con radio difettosa?
• P(X=0) ?
• n= 8
• p=12/48=0,25
• 1-p= 0,75
n
n!!
n x
n x
P  X  x     p x 1  p  
p x 1  p 
x! n-x  !
x
8
8!
8 0
80
P  X  0     00,25
250  0,
0 75  
0,25
0 250  0,
0 75 
0! 8-0  !
 0
Cristina Davino
•n= 8
• p=12/48=0,25
p
,
• 1-p= 0,75
P(X>=1) =P(X=1)+P(X=2)+…P(X=8)=1-P(X=0)
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Cristina Davino
La variabile casuale di Poisson
Cristina Davino
La variabile casuale di Poisson
Si consideri una prova che può avere solo due possibili esiti chiamati,
chiamati
successo e insuccesso. Si è interessati a contare quante volte si
verifica l’evento successo in un certo arco temporale prefissato
(oppure anche in un certo ambito spaziale: ad esempio un
un’area
area
prefissata).
La v.c.
v c di Poisson misura la probabilità di ottenere x successi
riferendosi però non più a n prove bernoulliane ma ad un ambito
circoscritto, temporale o spaziale.
Una v.c. di Poisson soddisfa i seguenti postulati che valgono per
qualsiaisi sottointervallo considerato
1. La probabilità del manifestarsi dell’evento è costante su tutta la durata
dell’osservazione (in qualsiasi sottointervallo).
2. L’intervallo può essere suddiviso in sottointervalli sui quali la probabilità del
verificarsi di un evento è piccola e la probabilità del manifestarsi di più di un
successo in un sottointervallo (o in una sottoarea) è trascurabile (di fatto
possiamo porla pari a zero) rispetto alla probabilità che se ne verifichi uno solo
Es.:
• Clienti ad uno sportello bancario in un
giorno
• Telefonate
un’ora
al
centralino
VV.FF.
ma
anche…
• n° di globuli rossi per mm3 di sangue
•n
n° di errori tipografici per pagina
stampata
in
•…
• Auto al casello autostradale ogni ora
3.Il manifestarsi di un evento in un sottointervallo non influenza la probabilità
3
del manifestarsi di un evento in un altro sottointervallo. Gli eventi sono, cioè,
indipendenti.
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La variabile casuale di Poisson
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La variabile casuale di Poisson
X ~ Po()
Al centralino
t li
d i Vigili
dei
Vi ili del
d l Fuoco
F
di Macerata
M
t arrivano
i
i media
in
di 2
chiamate in un’ora
Se si osserva un p
processo di Poisson,, il numero di eventi che si manifestano in
ogni intervallo è una v.c. di Poisson. Se tali eventi si manifestano al tasso
costante , il valore di  indicherà il numero di eventi che, in media, si
manifesterà per ogni sottointervallo.
V.C di Poisson: numero di chiamate che arrivano al centralino dei
Vigili del Fuoco di Macerata in un’ora
In una v.c. di Poisson gli eventi si manifestano al tasso costante .
X
0
1 ora
1
2
3
P(x)
0.135335 0.270671 0.270671
0.180447044
1 minuto P(x)
0.967216 0.032241 0.000537
0.00000597
………
Definizione:
Una v.c. X, discreta,
di
segue una distribuzione
di ib i
di Poisson
i
con
parametro  se X assume i valori 0,1,2,… con probabilità definite
dalla funzione:
P  X  x   e 
x
x!
E  X    ; Var  X   
(e è il numero di Nepero, pari a 2.7183)
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La variabile casuale di Poisson
P  X  x   e 
Esercizio:
Cristina Davino
X ~ Po()
x
La variabile casuale di Poisson
Cristina Davino
X ~ Po()
Differenza tra la distribuzione di Poisson e la binomiale
x!
IIn un centro
t commerciale,
i l ttra lle 18 e lle 20 arrivano,
i
in
i media,
di 7 clienti
li ti all
minuto. Supponendo che il numero di clienti si distribuisca secondo una
legge di Poisson, si calcoli:
• la probabilità che in un minuto arrivino 3 clienti
Per una distribuzione binomiale il numero n di prove è finito e il numero x
di successi non può superare n.
Per una distribuzione di Poisson, il numero di prove è essenzialmente
infinito e il numero di successi può essere infinitamente grande anche se la
probabilità di avere x successi diventa molto piccola al crescere di x
• la probabilità che in un minuto arrivino meno di 2 clienti
• la probabilità che in tre minuti arrivino 20 clienti
Esercizio:
Un libro di 200 pagine contiene 10 errori di stampa. Scegliendo a caso una
pagina, si calcoli:
Approssimazione della distribuzione di Poisson alla
Binomiale
Quando n ∞ la distribuzione di Poisson con parametro =np può servire
come approssimazione alla legge binomiale di parametri n e p
• la probabilità che ci siano 2 errori
• la probabilità che ci siano più di 2 errori
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Approssimazione della distribuzione di
Poisson alla Binomiale
Esercizio:
La probabilità
L
b bilità che
h una persona sia
i allergica
ll
i ad
d un farmaco
f
è parii a 0,002.
0 002
Scegliendo a caso un gruppo di 1000 persone, determinare:
• la probabilità che più di 2 persone siano allergiche
• la probabilità che nessuna sia allergica
La v.c. normale
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La v.c. normale
La v.c. normale
Spessore
p
di 10000 rondelle di ottone p
prodotte da
un’azienda
Spessori
(in cm)
<0.0180
Da 0.0180
Da 0.0182
Da 0.0184
Da 0.0186
Da 0
0.0188
0188
Da 0.0190
Da 0.0192
Da 0.0194
Da 0.0196
Da 0.0198
Da 0.0200
> 0.0202
0.0048
0.0122
0.0325
0.0695
0.1198
0 1664
0.1664
0.1896
0.1664
0.1198
0.0695
0.0325
0.0122
0.0048
10000
Totale
1 Curva degli errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica
1.
2 Distribuzione di una caratteristica di una popolazione
2.
Frequenze
relative
a 0.0182
a 0.0184
a 0.0186
a 0.0188
a0
0.0190
0190
a 0.0192
a 0.0194
a 0.0196
a 0.0198
a 0.0200
a 0.0202
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3. Dimensione effettiva di oggetti prodotti in serie, che si cerca di
produrre in modo identico
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La distribuzione Normale
La distribuzione Normale
Una variabile casuale X segue
g
una distribuzione Normale,, con media  e varianza 2, se
la sua funzione di densità di probabilità è data da:
2
1 x 
f x 
1
2
2
e

2
Una variabile casuale X segue
g
una distribuzione Normale,, con media  e varianza 2, se
la sua funzione di densità di probabilità è data da:
2
1 x 
f x 
2
Caratteristiche della distribuzione Normale
f(x)
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68%
1
2
2
e

2
2
Caratteristiche della distribuzione Normale
f(x)
1 Forma campanulare e simmetrica
1.
1 Forma campanulare e simmetrica
1.
2. Media, mediana e moda coincidenti
2. Media, mediana e moda coincidenti
3. Punto di flesso a distanza  dalla media
3. Punto di flesso a distanza  dalla media
4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo ±



X



X
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La distribuzione Normale
La distribuzione Normale
Una variabile casuale X segue
g
una distribuzione Normale,, con media  e varianza 2, se
la sua funzione di densità di probabilità è data da:
2
1 x 
f x 
95%
1
2
2
e

2
Una variabile casuale X segue
g
una distribuzione Normale,, con media  e varianza 2, se
la sua funzione di densità di probabilità è data da:
2
1 x 
1
f x 
2
2
99%
Caratteristiche della distribuzione Normale
f(x)
Cristina Davino
2
2
2. Media, mediana e moda coincidenti
3. Punto di flesso a distanza  dalla media
3. Punto di flesso a distanza  dalla media
4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo ±
4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo ±
5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo ±2



1 Forma campanulare e simmetrica
1.
2. Media, mediana e moda coincidenti

e
Caratteristiche della distribuzione Normale
f(x)
1 Forma campanulare e simmetrica
1.


2
5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo ±2

X


6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo
±3
±3
X
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La distribuzione Normale
La distribuzione Normale
Una variabile casuale X segue
g
una distribuzione Normale,, con media  e varianza 2, se
la sua funzione di densità di probabilità è data da:
2
1 x 
f x 
1
2 2
e

2
Una variabile casuale X segue
g
una distribuzione Normale,, con media  e varianza 2, se la sua funzione
di densità di probabilità è data da:
f x 
2
Caratteristiche della distribuzione Normale
f(x)
Cristina Davino
2 2
2. Media, mediana e moda coincidenti
3. Punto di flesso a distanza  dalla media
3. Punto di flesso a distanza  dalla media
4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo ±
4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo ±
5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo ±2


X
7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento,
a parità di forma, della curva sull’asse delle X.
1 x 
2 2
1 Forma campanulare e simmetrica
1.
2. Media, mediana e moda coincidenti

e

Caratteristiche della distribuzione Normale
f(x)
1 Forma campanulare e simmetrica
1.
6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo ±3
2
1
5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo ±2

6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo ±3
X
7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento
della curva, a parità di forma, sull’asse delle X.
8. Un aumento o una diminuzione della varianza determina,
rispettivamente, una minore o una maggiore concentrazione di valori
attorno al valore medio.
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Cristina Davino
La distribuzione Normale
La v.c. normale
X ~ N ,  
Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale,
con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0,2 grammi.
Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è
compreso tra 5,12 grammi e 5,30 grammi?
 x   
2
f x  
1
 2
Cristina Davino
e
f(x)
2 2
y 
Proprietà:
•  =media;  = sqm
• f(x) è simmetrica intorno a 
• il massimo
i
di f(x)
f( ) (moda)
( d ) sii ha
h in
i corrispondenza
i
d
di x= 
• punti di flesso: 
•  = Mo = Me
• i valori della curva normale dipendono da  e 
1
  2
e

 x   2
2 2
X ~ N(5;0,04)
5
5,12
P 5,12
5 12  X  5,30
5 30  
 = 0,2
=5
5,30
X

5,30
5,12
1
  2
e

 x   2
2 2
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2014--2015 Le variabili casuali
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Cristina Davino
La distribuzione Normale standardizzata
Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale,
con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0,2 grammi.
Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è
compreso tra 5,12 grammi e 5,30 grammi?
f(x)
Qualsiasi distribuzione Normale può essere
ricondotta ad una distribuzione con media nulla e
varianza unitaria mediante la trasformazione:
Z 

E Z 
=0

X
x 
 E
 0
  
Z~N
X 
x 
Var  Z   Var
V 
 1
  
2 = 1
Le aree sotto la curva Normale standardizzata possono essere calcolate e
tabulate una volta per tutte!
La tavola della
distribuzione
normale
standardizzata
Cristina Davino
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Cristina Davino
La distribuzione Normale
standardizzata
La v.c. normale standardizzata
Z 
X ~ N0,1
1
X

f x  
1
2
e
Cristina Davino
f(x)
=5
X~N
 = 0,2
Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5,12 e 5,30
grammi?
1 2
Z
2
Fr
P 5,12  X  5,30 
Proprietà:
•=0
5
5,12
5,30
f(x)
•=1
X
Z 
• il massimo
di f(x)
i
f( ) sii ha
h per x=0
0
• punti di flesso: x=1
X 

~
N
=0
=1
Quali sono i valori standardizzati di X1=5,12 e X2=5,30?
Z1 
• i valori della curva normale standardizzata sono tabulati
0
0,6
1,5
Z
5,12  5
 0, 6
0,2
0,
5,30  5
X2  
 1,5

Z2 
0,2

X1  


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Cristina Davino
La distribuzione Normale standardizzata
La distribuzione Normale
standardizzata
f(x)
X~N
Un’impresa
p
p
produce p
pomodori ed il p
processo di inscatolamento è stato
=5
 = 0,2
Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5,12 e 5,30
grammi?
Fr
P 5,12  X  5,30   0,2075
5
5,12
5,30
f(x)
regolato in modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media,
una quantità di pomodori pari a 13 etti.
etti Lo ss.q.m.
q m del peso netto
effettivo è 0,1 etti e si suppone che i pesi siano distribuiti normalmente.
Si determini
d t
i i la
l probabilità
b bilità che
h un b
barattolo
tt l preso a caso contenga
t
una
quantità di pomodori compresa tra 13 e 13,2 etti.
X
Z 
X 

~N
=0
=1
Quali sono i valori standardizzati di X1=5,12 e X2=5,30?
Qual è la probabilità compresa tra Z1=0,6 e Z2=1,5?
• X: peso inscatolato
• Z  X  13 ~ N(0,1)
0,1
P  0,
Fr
0 6  Z  1,5
1 5
0
0,6
1,5
Z
Cristina Davino
 0, 4332  0,2257  0,2075
• P(13<X<13,2) ??
X~ N(13; 0,1)
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Cristina Davino
La distribuzione Normale standardizzata
Cristina Davino
La distribuzione Normale standardizzata
13,2  13 
 13  13
P13  X  13,2  P
Z
  P0  Z  2 
0,1 
 0,1
L’altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media
180cm e scarto quadratico medio 10cm. Calcolare la probabilità che
un ragazzo scelto a caso dal gruppo abbia una statura superiore a
190cm.
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La distribuzione Normale
Approssimazione della distribuzione binomiale
Z
I parametri  e  sono noti,
noti si vuole conoscere la probabilità che
la v.c. X assuma valori compresi all’interno dell’intervallo a, b
(a<b).
X  b
a 


P a  X  b   P 
  P z a  Z  z b 

 
 
Cristina Davino
Se n è grande
Z
X  np
~Z  0,1
0 1
npq
 X n   p ~Z  0,1
0 1
pq
n
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Cristina Davino
Approssimazione della distribuzione binomiale
Esempio: determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la
faccia 5 compaia almeno 60 volte
• Lancio di un dado  esperimento binomiale
Cristina Davino
Dove e come studiare
• S.
S B
Borra, A.
A Di Ci
Ciaccio
i (2008) – Statistica
St ti ti – Metodologie
M t d l i per le
l
scienze economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 9 (escluso
paragrafi 9.6, 9.8.3, 9.8.4, 9.8.5, 9.11).
• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 9
(escluso paragrafi 9.7, 9.8, 9.9), Cap. 10.
• probabilità di successo (la faccia uscita è il 5)  p=1/6=0,17
• v.c X: numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci

60  400  0,17 
  P Z  1,06 
P  X  60   P  Z 



400
0
,
17
0
,
83


Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 Le variabili casuali
Riepilogo
Le variabili casuali
 Variabili
V i bili casualili di
discrete
t




Funzione di probabilità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Varianza
 Variabili casuali continue




Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Varianza
 Distribuzione di Bernoulli, binomiale, binomiale relativa
 Distribuzione
Di ib i
di P
Poisson
i




Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale
Distribuzione Normale
Distribuzione Normale standardizzata
Approssimazione della distribuzione standardizzata alla Binomiale
Cristina Davino
File “esercizi variabili casuali e distribuzioni campionarie.pdf”