Logica dei Predicati:

Logica dei Predicati:
1
Semantica
Corso di Logica e Reti Logiche, a.a. 2014-15
Roberto Basili
(Università di Roma Tor Vergata)
Roberto Basili
4/22/2015
2
Outline
 Obbiettivi della Semantica
 Riferimento nel Mondo e verità
 La nozione di interpretazione
 Semantica della FOL
 Alcune riflessioni sulla sostituzione
 Conseguenza semantica e Deduzione in FOL
 Esempi ed esercizi proposti
Roberto Basili
4/22/2015
3
Esempi di linguaggi
 Linguaggio puro dei predicati
 L’operatore di uguaglianza è assente
 Simboli di predicati n-ari sono denotati con le lettere: Pn,
Qn, Mn, …
 Simboli costanti: a, b, c, …
 Nessun simbolo funzionale
 Esempi di FBF:
 x Q(x)  P(x)
 x y ( P(x,y)  M(y))  Q(y).
 xM(x)  y(W(y)  L(x,y)).
Roberto Basili
4/24/2015
4
Esempi di linguaggi (2)
 Linguaggio della teoria dei numeri (interi)
 L’operatore di uguaglianza è presente
 Un solo simbolo di predicato binario : ‘<‘
 Simbolo costante: 0
 Simboli funzionali
 Unario: s (successore)
 Binari: x, +
 Esempi di FBF:
 xy (x + s(y)) = s(x+y)
 x ( (x=0)  y (x = s(y)) )
 xy ((x<y)  s(x)<s(y))
Roberto Basili
4/22/2015
5
Un esempio motivante
 Interpretazione nel dominio: {a, b, c, d, e}
 Le funzioni si preservano?
 Es. Hat la funzione unaria che dato un blocco identifica il
blocco che ci sta sopra; ad es. Hat(b)=a
 On= {<a, b>, <b, c>, <d, e>}
 Clear= {a, d}
 Table= {c, e}
 Block= {a, b, c, d, e}
 On= {<c, b>, <d, e>}
 Clear= {a, c, d}
 Table= {a, b, e}
 Block= {a, b, c, d, e}
Roberto Basili
4/22/2015
6
Il significato: il problema e la
prospettiva
 Cosa significa assegnare significato ad una formula?
La sua verità è indipendente dallo stato del mondo?
 Problemi:
 Verità vs. (im)possibilità
 Contingenza vs. Validità
 Applicazioni:
 Verificare le proprietà di affermazioni/teoremi utili ad una
disciplina
 Unicità dello 0
 Verificare le proprietà dei programmi
 Fornire regole di deduzione a sistemi di ragionamento
Roberto Basili automatico
4/22/2015
7
Calcolo dei Predicati:
Formule Ben Formate (FBF)
 Ogni formula atomica è una formula;
 Ogni espressione della forma j, se j è una formula;
 Ogni espressione della forma
 (j  y),
 (j  y),
 (j  y)
 (j  y)
è una formula, se j e y sono formule;
 Ogni espressione della forma
 xj
e
xj
è una formula, se x è una variabile e j è una formula.
Roberto Basili
4/22/2015
9
Interpretazione: il dominio
 L’interpretazione dei i simboli non logici richiede
necessariamente un insieme non vuoto D di individui,
detto dominio dell’interpretazione.
 L’idea è che D contenga tutti gli individui (di
qualunque natura) che costituiscono l’universo del
discorso di una certa applicazione.
 Esempio:
 D : l’insieme dei blocchi e oggetti fisici contenuti in una
stanza,
 D : l’insieme dei numeri naturali,
 D : l’insieme dei punti di uno spazio euclideo, o l’insieme
degli esseri umani.
 Attenzione: è necessario non confondere i simboli che
denotano elementi del dominio (come a, b, c, ...) con i
simboli (a, b, c, ...) che costituiscono le costanti del
linguaggio formale.
Roberto Basili
4/22/2015
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Interpretazione dei simboli
del linguaggio logico
Definiamo allora la funzione d’interpretazione i(.) nel
modo seguente:
 per ogni costante a, l’interpretazione i(a) è
un elemento di D; (funzione di scelta)
 per ogni funtore f di arità n, l’interpretazione i(f) è
una funzione i(f) : Dn  D;
 per ogni predicato P di arità n, l’interpretazione i(P) è
una funzione
i(P) : Dn  {0,1},
ovvero la funzione caratteristica di una relazione
n-aria su D.
Roberto Basili
4/22/2015
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Interpretazione delle variabili
 E le variabili?
 Si tratta di un’ulteriore funzione e(.) tale che:
 per ogni variabile x, l’assegnamento e(x) è un
elemento di D.
 Vedremo più avanti come la funzione e(.) ci permetta
di assegnare un significato ai quantificatori.
Roberto Basili
4/22/2015
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Interpretazione dei termini
del linguaggio
 Definiamo cosa denotino i termini del linguaggio, dati
un assegnamento e(.) ed un modello (struttura)
M = D, i(.),
 dove D è il dominio ed i(.) una funzione
d’interpretazione.
 La interpretazione (anche detta denotazione) *t di un
termine t è l’elemento del dominio così definito:
 *a = i(a) per ogni costante a del linguaggio;
 *x = e(x) per ogni variabile x del linguaggio;
 *f(t1,...,tn) = i(f)(*t1,...,*tn) per ogni termine funzionale del
linguaggio di arità n.
Roberto Basili
4/22/2015
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Interpretazione dei predicati
del linguaggio
 Un assegnamento e(.) ed un modello
M = D, i(.),
 dove D è il dominio ed i(.) una funzione
d’interpretazione, ci consentono anche di interpretare
i simboli predicativi, Pn nei termini di relazioni n-arie in
D.
 Formalmente:
 La denotazione *Pn di un predicato n-ario è una
relazione
*Pn  Dn
Roberto Basili
4/22/2015
 La soddisfacibilità di una formula j rispetto ad un modello
M ed un assegnamento e(.), si denota con
Uguaglianza
(M, e) = j
sintattica (in L)
e si definisce ricorsivamente:
 (M, e) = j sse j = , (M, e)  j sse j = 

14
Semantica del FOL
Uguaglianza
semantica (i.e. in D)
 (M, e) = P(t1, …, tn) sse <*t1, …, *tn> *P  Dn
 (M, e) = t1= t2
sse *t1=*t2
 (M, e) = j sse (M, e)  j
 (M, e) = j y sse
(M, e) = j
e (M, e) = y
 (M, e) = j y sse
(M, e) = j
oppure (M, e) = y
 (M, e) = j  y sse
(M, e) = j
implica che (M, e) = y
 (M, e) = j  y (M, e) = j e (M, e) = y oppure
(M, e)  j e (M, e)  y
 ...
Roberto Basili
4/22/2015
15
Semantica del FOL (2)
 La soddisfacibilità di una formula j rispetto ad un modello
M ed un assegnamento e(.), si denota con
(M, e) = j
e si definisce ricorsivamente:
 …
 (M, e) = xj
sse
per ogni dD, (M, e) = j (d/x)
 (M, e) = xj sse esiste un certo dD, per cui è verificato che
(M, e) = j (d/x)
Roberto Basili
4/22/2015
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Esempio
 Sia:
j: x y P(y,x)
(1)
 M1 - Mondo 1. D è l’insieme degli esseri umani e
l’interpretazione di P è «padre di».
 La formula (*) ci appare vera, i.e. (M1,e) = j
 M2 - Mondo 2. D è l’insieme dei numeri naturali e
l’interpretazione di P è «maggiore di» (<).
 La formula (*) ci appare per altri motivi vera, i.e.
(M2,e) = j
Ogni Mondo costituisce una interpretazione diversa ed
indipendente.
Roberto Basili
4/22/2015
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Verità di una formula
 Diciamo che una formula F è soddisfatta dalla
valutazione IV, se IV(F) = 1.
 Una formula F è soddisfacibile se esiste una
valutazione IV, tale che IV(F) = 1.
 Notare che data IV, stabilire se IV(F) = 1 è un calcolo
facile.
 Viceversa trovare IV tale che IV(F) = 1 può essere molto
difficile (computazionalmente).
 Una formula F è una tautologia se per ogni
valutazione IV, F è soddisfatta dalla valutazione IV.
 Una formula F è una contraddizione se per ogni
valutazione IV, F non è soddisfatta dalla valutazione IV.
Roberto Basili
4/22/2015
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Variabili, Connettivi e
Quantificatori
 Esempi:
x (P(X)  Q(X))
vs. x (P(X)  Q(X))
x (P(X)  Q(X)) vs.
x (P(X)  Q(X))
 Osserviamo quindi che:
(M1, e1) = j sse
(M2, e2) = j
corrisponde ad una equivalenza tra (M1, e1) ed (M2, e2)
 In particolare esse debbono coincidere con tutte le scelte
su:
 Simboli costanti e funzionali che occorrono in j (M1, M2)
 Variabili che occorrono in j (e1 vs. e2)
 Simboli predicativi che occorrono in j (M1, M2)
Roberto Basili
4/22/2015
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Variabili e Quantificatori
 In realtà debbono concordare SOLO sulle variabili
libere, poiché la semantica delle varabili quantificate
è sotto il controllo della proprietà per cui:
(M1, e1) = j sse
(M2, e2) = j
 Allora ragionando sul ruolo delle variabili vincolate …
 Esempio (formula chiusa)
x y (P(x,y)  z P(y,z))
 Immaginiamo M per cui D corrisponda ai numeri interi e P
sia ‘‘
 La soddisfacibilità qui non dipende da alcun
assegnmento e().
Roberto Basili
4/22/2015
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Modelli e formule
 Se per ogni assegnazione e() si ha che
(M, e) = j
(e questo è sempre vero per formule chiuse) allora si
dice che j è conseguenza logica di M, si scrive
M = j
e che M è un modello per j .
 Una scrittura alternativa è:
=M j
 Se j è tale che M = j è vera per ogni M, allora
diciamo che j è una formula valida del calcolo
Roberto Basili
4/22/2015
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Validità e contingenza
 Tutte le formule non valide sono contingenti
 Esempi:
P(a)
x ( S(x,100)  y Q(y,x) )
x (C(x)  y( P(x,y,a) ) )
Roberto Basili
4/22/2015
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Formule logiche e lingue
 If Bill or John is leaving, then Mary and Sue aren’t
happy
(leave(b)  leave(j))  (happy(m)  happy(s))
 Every cat gave a book to Bill
x (cat(x)  y( give(x,y,b) ) )
 Ogni amica di Bill gli ha regalato un libro
Roberto Basili
4/22/2015
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Insiemi di formule e
soddisfacibilità
 Un insieme di formule  è soddisfacibile se esiste un
modello ed un assegnamento (M, e) tale che valga
(M, e) = j
per ogni j
 Nel caso in cui tutte le formule j1, …., jn in  sono
chiuse, la soddisfacibilità coincide con la verità di
tutte le formule di ji
 In qualche modo stiamo asserendo la verità secondo il
modello M della congiunzione logica (
i ji ) di tutte le
formule di .
⋀
Roberto Basili
4/22/2015
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Implicazione Logica di
formule
 Dati un insieme di formule  ed una formula j, si dice
che  implica logicamente j che si scrive
 = j
sse per ogni modello ed assegnamento (M, e) tale
che valga
(M, e) = 
 si verifica anche
(M, e) = j
Roberto Basili
4/22/2015
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Esempio di implicazione logica
 Nel mondo M dei blocchi
 Fatti:
 On= {<c, b>, <d, e>}
 Table= {a, b, e}
 Block= {a, b, c, d, e}
 Linguaggio
 Costanti = {a,b,c,d,e}
 Predicati = {on2, block1, table1, clear1}
  = { block(a), …, block(e),
table(a), table(b), table(e),
on(c,b), on(d,e),
x ( (block(x)  y on(y,x))  clear(x)) }
 Se j = clear(c) si può dire:
 = j
Roberto Basili
4/22/2015
26
Esempio di implicazione logica
 Nel mondo M dei blocchi
 Fatti:
 On= {<c, b>, <d, e>}
 Table= {a, b, e}
 Block= {a, b, c, d, e}
 Linguaggio
 Costanti = {a,b,c,d,e}
 Predicati = {on2, block1, table1, clear1}
  = { block(a), …, block(e),
table(a), table(b), table(e),
on(c,b), on(d,e),
x ( (block(x)  y on(y,x))  clear(x)) }
 Qual’è la interpretazione i(.) in M per cui:
 = j
Roberto Basili
4/24/2015
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Esempio di implicazione
logica (2)
 E’ ancora vero che  = clear(c) j se lo
stato del mondo M è cambiato?
 E’ vero che
(M, e)  j
 Ma è anche vero che M non è più
un modello per  poiché si verifica
anche
(M, e)  
(infatti ad esempio table(a) è falso!)
 Il legame tra  e j è preservato !!
Roberto Basili
4/22/2015
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Equivalenza Semantica nel
FOL
 Date due formule j e y, esse sono semanticamente
(o logicamente) equivalenti e si scrive
j y
se per ogni modello ed assegnamento (M, e) si
verifica che:
(M, e) = j
Roberto Basili
sse (M, e) = y
4/22/2015
Ancora sulla sostituzione
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 Data la definizione di equivalenza segue che due formule che
differiscono per i soli nomi delle variabili legate sono equivalenti.
 Infatti: sia (M, e) un modello ed un assegnamento, t un termine
allora vale che
 1. Se y non compare in t, allora la denotazione *t secondo il
modello (M, e) per cui e(x)=d
corrisponde alla denotazione
§
*t(y/x) del termine t(y/x) secondo il modello (M, e) per cui
e(y)=d.
 2. Se y non compare in una formula j allora detti (M, e) ed
(M, e’) che differiscono per la sola assunzione e(x)=d ed
e(y)=d, si ha che
(M, e) = j
sse (M, e’) = j(y/x)
§
t(y/x) denota la riscrittura del termine t in cui ogni occorrenza della
variabile x è sostituita con la variabile y.
Roberto Basili
4/22/2015
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Sostituzione e variabili libere
 Nella formula contingente
y (x = y)
(per esempio vera per una interpretazione verso
insiemi con più elementi distinti)
Il termine y non è liberamente sostituibile ad x poiché
x è nell’ambito di uno dei quantificatori di y.
 Infatti sostituendo y al posto di x otterremmo una
formula evidentemente falsa
y (y = y)
Roberto Basili
4/22/2015
Sostituzione e Quantificatori
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 Si ha che:
1. x j  x j
2. x j  x j
3. x j  x j
4. x j  x j
 La 1 coincide con: (M, e) = x j
sse (M, e) = x j

(M, e) = x j ci dice che per ogni dD si ha che j(d/x) è vera, e cioè che
per ogni dD segue M= x j(d/x)

Quindi per nessun dD segue (M, e)= j(d/x)

Quindi (M, e)  x j(d/x)

Quindi (M, e) = x j(d/x)

(il viceversa segue dal non ver mai usato alcuna ipotesi direzionale)
Roberto Basili
4/22/2015
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Alcune equivalenze utili
 x y j  y x j
 x y j  y x j
 x j  j se x var(j)
  x j  j se x var(j)
 x (j  y)  x j  x y
 x (j  y)  x j   x y
 x (j  y)  x j  y
se x var(y )
  x (j  y)  x j  y
se x var(y ))
 ??? x (j  y)  x j  x y
Roberto Basili
4/22/2015
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Riflessione: perché logica
del primo ordine
 Le variabili nel FOL possono essere usate per denotare
oggetti del dominio (i.e. membri di D), non per
rappresentare funzioni, predicati o formule.
 Sebbene D possa contenere funzioni o predicati, i
nomi di tali funtori o predicati non possono essere usati
al posto di funzioni o predicati del linguaggio
f x f(x)=x
(esistenza dell’identità)
f Identita(f)
p Buonaqualita(p)  Ha(giorgio,p)
p Buonaqualita(p)  p(giorgio)
Roberto Basili
4/22/2015
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Esercizi (1)
 Determinare possibili formule valide tra le seguenti:
 xH(x)  (x G(x, f(y))  H(y))
 x H(a)  G(b)  L(x,g(b,x))
 x (P(x)  Q(x))  x (P(x)  Q(x))
 x (P(x)  P(x))  x (P(x)  P(x))
 x H(x)  G(b)  x L(x,b)
 x (H(x)  G(b)  P(x,y))  x L(x,b)
 x (H(x)  G(b)  P(x,y))  x L(x,b)
Roberto Basili
4/22/2015
Esercizi (2)
 Dimostrare le seguenti conseguenze logiche
 x P(x)  P(x) 

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 x P(x)  P(x)  x P(x)  P(x)
 x P(x)  Q(x)  x P(x)  Q(x)
Roberto Basili
4/22/2015
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Genealogie
Roberto Basili
4/22/2015
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Genealogie (2)
 Scrivere in un linguaggio del primo ordine un insieme
di formule per la genealogia della pagina
precedente.
 Progettare una interpretazione e il corrispondente
insieme di parametri che rendano il grafo di pagina
precedente un modello per le formule
 Dimostrare per via semantica, che l’enunciato
«Crono è un avo di Apollo»
è una conseguenza logica delle formule scritte.
Roberto Basili
4/22/2015
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Riferimenti
 [2] C.L. Chang and Lee R.C.T. Symbolic Logic and
Mechanical Theorem Proving. Academic Press, 1973. trad. it.
Tecniche Nuove.
 [5] E. Mendelson. Introduction to Mathematical Logic. Van
Nostrand, 1964. Trad. it. Boringhieri.
 Carlucci Aiello Luigia, Pirri Fiora, Strutture, logica, linguaggi,
2005, 336 p., Editore Pearson (collana Accademica).
 McCarthy, J., and P. Hayes (1969). Some philosophical
problems from the standpoint of artificial intelligence. In B.
Meltzer and D. Michie, eds., Machine Intelligence 4,
Edinburgh University Press, Edinburgh, UK.
 Nilsson, N. J. (1998). Artificial intelligence: A new synthesis,
Morgan Kaufmann, San Francisco, CA.
 Anche: dispense M. Cialdea Mayer. Logica (Home page)
Roberto Basili
4/22/2015